Optica de Fourier y filtrado espacial

(1)

Optica de Fourier y filtrado espacial

Objetivo

Estudiar la óptica de Fourier y la formación de imágenes con luz cohe-rente.

Difracci´

on de Fraunhofer

Sea una onda plana de luz coherente que incide sobre una pantalla opa-ca que tiene una abertura de cualquier forma que está opa-caracterizada por una función de transmisión t(x, y) similar a la producida por un negativo fotográfico, como se muestra en la Fig. (1).

f

Plano

de Fourier

x´

y´

x

y

t(x,y)

(2)

Se puede demostrar que la intensidad I(x0_{, y}0_{) de la figura de difracci´on al}

infinito o de Fraunhofer que se observa sobre el plano focal (x0_{, y}0_{) (tambi´en}

denominado plano de Fourier) de una lente convergente de distancia focal f, se puede evaluar a trav´es de la expresi´on [1], [2], [3], [4]

I(x0, y0) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z Z ∞t(x, y)exp[− ik f (xx 0₊_yy0_)]_dxdy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 (1)

donde k = 2π/λ es el módulo del vector de onda, siendo λ la longitud de onda de la luz. La Ec (1) es la transformada de Fourier de la función de transmisión t(x, y), calculada para las frecuencias espaciales fx = x0/λf y

fy =y0/λf, las cuales se miden en cm−1 [2].

Por lo tanto:

I(x0, y0) =|F{t(x, y)}|2 (2)

dondeF{}es el operador que genera la transformada de Fourier. Las frecuen-cias espaciales bajas son aquéllas que están ubicadas a una distancia pequeña del origen de coordenadas del plano de Fourier (x0_{, y}0_{). Como sucede en la}

teor´ıa de series de Fourier, las frecuencias espaciales bajas dan informaci´on sobre los detalles gruesos de la funci´ont(x, y). Las frecuencias espaciales altas sirven para definir los detalles finos de t(x, y).

La Ec. (1) es válida en aquellos casos en que se verifica la teor´ıa escalar de la difracción que desprecia la interacción entre los campos eléctrico y magnético. Esta aproximación es válida cuando la dimensión media de la abertura es grande comparada con λ y la pantalla donde está ubicada la abertura es opaca a la radiación incidente (o sea que la pantalla no irradia). Además, debe verificarse la aproximación de rayos paraxiales, la lente no debe presentar aberraciones y su diámetro debe ser lo suficientemente grande como recoger todas las ondas difractadas por la abertura. En la práctica, estas últimas aproximaciones no se verifican dado que cualquier lente posee aberraciones y además funciona como un filtro pasabajos, el cual rechaza las frecuencias espaciales mayores a las determinadas por su radio y permite pasar a todas las menores.

Caso de una red de difracci´

on unidimensional

Consideremos un caso unidimensional en el cual la abertura difractante se cubre con una transparencia que tiene una función de trasmisión tipo cuadrada (red de difracción), como se muestra en la Fig. (2).

(3)

t(x)

x

a

Figura 2: Caso de una red de difracci´on unidimensional.

Calculando la transformada de Fourier det(x), se puede demostrar que la figura de difracci´on producida por este objeto es similar a la que se muestra en la Fig. (3) [2].

000

111

000

111

111 ₀₀

₁₁

00

11 ₀₀₀₀₀

00000

₁₁₁₁₁

11111

x´

Figura 3: Figura de difracci´on de Fraunhofer producida por una red unidi-mensional.

Las frecuencias espaciales se alejan del eje central de acuerdo con la ex-presi´on

senθ = mλ

a (3)

con m= 0,1,2, ..y donde el ´anguloθ y el orden de difracci´onmse muestran en la Fig. (4).

Formaci´

on de im´

agenes y filtrado espacial

(4)

000 000 000 111 111 111 00 11 m = 0 m = 1

θ

x´

Figura 4: M´aximos de la figura de difracci´on producida por una red unidi-mensional.

por un haz plano coherente. La lente transformadora 1 generar´a la transfor-mada de Fourier del objeto sobre el plano π1. Este espectro de difracci´on

ac-tuará como objeto para la lente 2, la cual se puede demostrar que generará la transformada de Fourier inversa de la anterior transformada. La formación de imágenes como un proceso de doble difracción fue propuesta por Abbe[2]. En el plano de Fourier π1 se pueden insertar máscaras o filtros para

evi-tar que ciertas frecuencias espaciales lleguen al plano imagen. Este proceso se conoce como filtrado espacial. Actualmente, estos métodos se siguen usando para procesar distintas imágenes, pero la generación óptica de la transfor-mada de Fourier fue reemplazada por su evaluación mediante computadoras usando los algoritmos conocidos como FFT (fast Fourier transform o trans-formada rápida de Fourier).

Dado que las lentes se comportan como filtros pasabajos, las mismas están limitadas en su capacidad para reproducir las frecuencias espaciales altas contenidas en un objeto real iluminado con luz coherente. Por consiguiente, en la imagen aparecerá una pérdida de nitidez y de resolución.

(5)

π 1

f1 f1 f2 f2

plano objeto lente 1 _plano _(Fourier) lente 2 _{plano Imagen}

Figura 5: Sistema ´optico usado para generar im´agenes con luz coherente.

Desarrollo experimental

Para realizar los experimentos de filtrado espacial, similares a los publica-dos por A. Porter en 1906[1], se usa un sistema ´optico como el esquematizado en la Fig. (6). 00 00 00 11 11 11 000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 00 11 f2 plano Imagen lente 2 f2 f1 1 f (Fourier) plano lente 1 plano objeto colimadora lente π 1 f laser objetivo microscopio

Figura 6: Sistema ´optico para realizar las experiencias de filtrado espacial.

Como objeto se coloca una pantalla opaca con una abertura circular ocu-pada por distintas mallas finas de alambre (redes de difracción bidimensio-nal). Una vez finalizada la alineación del sistema óptico, se deben observar y fotografiar los espectros de difracción y las imágenes obtenidas. En parti-cular, se deben analizar y explicar los resultados obtenidos en los siguientes casos:

1. sin modificar las frecuencias espaciales;

2. dejando pasar, con la ayuda de una rendija, s´olo a las frecuencias espaciales horizontales que contengan al orden cero;

(6)

ver-4. idem al caso 2, pero adem´as eliminando las frecuencias espaciales altas;

5. idem al caso 2, pero eliminando las frecuencias espaciales bajas; Como experiencia complementaria se propone ampliar un negativo cualquie-ra pacualquie-ra observar la gcualquie-ranulosidad producida por la emulsi´on. Fotogcualquie-rafiarlo y colocarlo como objeto en el sistema ´optico usado. Filtrar las altas frecuencias con una abertura circular para obtener una imagen en tonos de gris. Discutir los resultados obtenidos. Si es posible, realizar la experiencia anterior degra-dando una imagen con ruido al azar mediante una computadora. Para filtrar el ruido, usar un programa de FFT (se recomienda usar el software Matlab).

Referencias

[1] E. Hecht,Optics, Third Edition, Addison-Wesley, 1998.2. R.

[2] D. Guenther,Modern Optics, Wiley, 1990.

[3] M. Fran¸con, Optical Image Formation and Processing, Academic Press, 1979.4.