+ : X V X. (+) P : V X u P + u. (P + u) + v = P + (u + v). Nota La propiedad 1) de la definición anterior implica, en primer lugar, que

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Cap´ıtulo 1

El espacio af´ın

1.1

Introducci´

on. Dependencia lineal af´ın

La Geometr´ıa af´ın sobre un cuerpoktiene como objetos b´asicos los siguientes: un conjunto no vac´ıoX, cuyos elementos ser´an llamados puntos, que notaremos por letras may´usculasP, Q, R, etc., y unk-espacio vectorialV de dimensi´on finita, cuyos elementos ser´an llamados vectores o flechas, y que notaremos por letras min´usculas negritas,u,v,w, etc. Hay, adem´as, una acci´on + del grupo aditivo deV sobreX, que corresponde a la idea intuitiva de mover un punto P a un puntoQmediante un vector ucon origen en

P y extremo enQ. Formalicemos el concepto de espacio af´ın. En lo que viene a continuaci´on se fijar´a el cuerpok, y todos los espacios vectoriales que se consideren lo tendr´an como dominio de escalares. Definici´on 1.1.1.– Un espacio af´ın es una terna (X, V,+) formada por un conjunto no vac´ıo X, un espacio vectorialV de dimensi´on finita,n, sobre un cuerpok, y una aplicaci´on

+ :X×V −→ X

(P,u) 7−→ P+u , que verifica las condiciones siguientes:

1. Para cadaP ∈X, la aplicaci´on

(+)P : V −→ X

u 7−→ P+u es biyectiva.

2. Para cadaP ∈X, y para cadau,v∈V, se verifica:

(P+u) +v=P+ (u+v).

Nota 1.1.2.– La propiedad 1) de la definici´on anterior implica, en primer lugar, que

P+u=P+v=u=v.

En segundo lugar, fijado P ∈X, para todoQ∈X, existe un ´unico vectoru∈V tal queP+u=Q. Se escribir´au=−−→P Q, y se dir´a que es el vector de origenP y extremoQ. Si, en la propiedad 2), se escribe

Q=P+u, R=Q+v, esta propiedad se relee as´ı: −→

P R=−−→P Q+−−→QR.

(2)

2 CAP´ITULO 1. EL ESPACIO AF´IN »»»»»» »»»»»» »»»»»»: HH HH HH HHHj»»»»»» »»»»»» »»»»»»: HH HH HH HHHj P Q R S

Figura 1.1: Teorema de Thales paralelo Finalmente, de esta ´ultima ecuaci´on se deduce que

−−→

P P =−−→P P+−−→P P =⇒−−→P P =0 y

−−→

P Q+−−→QP =−−→P P =0=⇒−−→P Q=−−−→QP .

Ejemplo 1.1.3.– El ejemplo fundamental de espacio af´ın es el espacio af´ın num´erico, dado por X =

V = kn, y la acci´on + que es la suma de vectores de kn. Es trivial comprobar que se satisfacen las

condiciones de la definici´on 1.1.1.

Teorema 1.1.4.– Teorema de Thales paralelo. Sean P, Q, R, S ∈X cualesquiera. Se verifica que −−→

P Q =−→SR si y s´olo si −→P S =−−→QR. Este teorema es tambi´en conocido por el nombre de teorema de las partes de paralelas comprendidas entre paralelas (Ver figura 1.1).

Definici´on 1.1.5.–Dependencia lineal af´ın. Diremos que los puntos{P0, P1, . . . Pr} son af´ınmente

independientes si los vectores{−−−→P0P1,−−−→P0P2, . . . ,−−−→P0Pr} son linealmente independientes. En caso contrario

se dir´an af´ınmente dependientes.

1.2

Variedades lineales afines

Definici´on 1.2.1.– Un subconjuntoLdeX se llamar´a una variedad lineal af´ın si, o bienL=∅, o bien existe un punto P ∈Ly un subespacio vectorial W deV tales que

L=P+W ={P+u|u∈W}.

El subespacio W depende s´olo deL, y se denotar´a, en lo sucesivo, por D(L), llam´andoselevariedad de direcci´on de L. Se llamar´a dimensi´on de una variedad lineal af´ın a la de su variedad de direcci´on. Se convendr´a que la dimensi´on del conjunto vac´ıo es −1. N´otese que los puntos son las variedades lineales afines de dimensi´on cero, y el espacio entero X es la ´unica variedad lineal af´ın de dimensi´on m´axima n. Se utilizar´an los nombres cl´asicos de rectas para las variedades lineales afines de dimensi´on 1, planos para las de dimensi´on 2 e hiperplanos para las de dimensi´onn−1.

1.3

Sistema de referencia af´ın. Coordenadas de un punto

De manera an´aloga a como se define base en el espacio vectorial V, conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio, definiremos ahora sistema de referencia af´ın en el espacio af´ın

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(X, V,+). Veamos antes la siguiente

Proposici´on 1.3.1.– SiLes una variedad lineal af´ın de dimensi´on r, el n´umero m´aximo de puntos de

L af´ınmente independientes esr+ 1.

Definici´on 1.3.2.– Dado un espacio af´ın(X, V,+)de dimensi´onn, un sistema de referencia af´ın Res un conjuntoordenadoden+ 1 puntos af´ınmente independientes R={P0, P1, . . . Pn}.

Por abuso de lenguaje se dir´a que un sistema de referencia af´ın es un conjunto R = {O,u1, . . . ,un},

donde O es un punto fijo, que llamaremosorigen de coordenadas yB={u1, . . . ,un} es una base deV.

HaciendoP0=OyPi=P0+ui, todo funciona como en la definici´on.

Nota 1.3.3.– Fijado un sistema de referencia af´ın,

R={O,u1, . . . ,un},

se pueden asignar coordenadas cartesianas a los puntos deX, de modo similar a como se hace en ´algebra lineal al asignar coordenadas a un vector, una vez fijada una base. En este caso, la asignaci´on se hace de la forma siguiente: a cada punto P ∈X se le asocian las coordenadas (x1, . . . , xn) del vector −−→OP en la

base B={u1, . . . ,un}.

Definici´on 1.3.4.– A la n-upla(x1, . . . , xn)le llamaremos coordenadas cartesianas deP respecto deR,

y usualmente se escribir´a:

P = (x1, . . . , xn)

Se establece as´ı una aplicaci´on biyectiva

ΦR:X −→kn

que a cada punto le asigna sus coordenadas cartesianas, y que es la composici´on de ((+)O)−1 con la

biyecci´on deV sobrekn que asocia coordenadas respecto de Ba cada vector deV.

Definici´on 1.3.5.– Se dice que M es el punto medio de el segmento ABsi verifica que AB~ = 2AM~ . Fijado un sistema de referencia se verifica que

MR =1

2(AR+BR). Nota 1.3.6.– Cambio de Sistema de Referencia Af´ın. Sean

R={O,u1, . . . ,un}, R0 ={O0,u01, . . . ,u0n}

dos sistemas de referencia afines dondeO0 = (a

01, . . . , a0n), coordenadas respecto deR, yu0i= (ai1, . . . , ain),

i= 1, . . . , n, coordenadas respecto deB.

Sea P ∈X,P = (x1, . . . , xn), coordenadas respecto deRy P = (x01, . . . , x0n), coordenadas respecto de

R0. Se tiene xj =a0j+ n X i=1 x0 iaij

que, matricialmente se escribe as´ı:

¡ 1 x1 . . . xn ¢ =¡ 1 x0 1 . . . x0n ¢      1 a01 . . . a0n 0 a11 . . . a1n .. . ... ... 0 an1 . . . ann     

(4)

4 CAP´ITULO 1. EL ESPACIO AF´IN

1.4

Ecuaciones de una variedad lineal af´ın

En el espacio vectorialV =kn los subespacios vectoriales vienen dados por ecuaciones impl´ıcitas. Dicho

de otra manera, un subespacio vectorial es el conjunto de soluciones enknde un sistema derecuaciones

homog´eneas con n inc´ognitas, para cualquier entero r no negativo. Vamos a ver c´omo las variedades lineales afines son tambi´en conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Fijaremos un sistema de referencia y trabajaremos en el espacio af´ın num´erico X=V =kn.

SeaL6=∅una variedad lineal af´ın enkn,P = (a

1, . . . , an)∈L, y supongamos queD(L) es el subespacio

vectorial de ecuaciones

a11y1 + . . . + a1nyn = 0

..

. ... ...

ar1y1 + . . . + arnyn = 0

Entonces, un punto Q= (x1, . . . , xn)∈Lsi y s´olo si−−→P Q∈D(L), o sea, si y s´olo si

a11(x1−a1) + . . . + a1n(xn−an) = 0 .. . ... ... ar1(x1−a1) + . . . + arn(xn−an) = 0 o bien a11x1 + . . . + a1nxn = b1 .. . ... ... ar1x1 + . . . + arnxn = br donde bi= n X j=1 aijaj , i= 1, . . . , r

Por tanto, los puntos deLson las soluciones de un sistema compatible derecuaciones conninc´ognitas, que se llaman ecuaciones impl´ıcitas de L. Obs´ervese que las ecuaciones impl´ıcitas de L se obtienen a partir de las de D(L) modificando los t´erminos independientes nulos por los bi en la forma arriba

indicada. Rec´ıprocamente, las ecuaciones impl´ıcitas de D(L) se obtienen de las deL haciendo cero los t´erminos independientes. Esto prueba que, rec´ıprocamente, todo conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales es una variedad lineal af´ın. El conjunto vac´ıo no es una excepci´on, pues es el conjunto de soluciones de un sistema incompatible.

Nota 1.4.1.– Las ecuaciones param´etricas de una variedad lineal af´ın L no vac´ıa tienen tratamiento an´alogo a las deD(L): si

y1 = λ1c11 + . . . + λscs1

..

. ... ...

yn = λ1c1n + . . . + λscsn

son las ecuaciones param´etricas de D(L), entonces las deLson

x1 = a1 + λ1c11 + . . . + λscs1

..

. ... ... ...

xn = an + λ1c1n + . . . + λscsn.

Aprovechando los resultados del ´algebra lineal, se ve que un hiperplano af´ın posee una ´unica ecuaci´on im-pl´ıcita independiente, mientras que una recta posee unas ecuaciones param´etricas con un solo par´ametro. En general, una variedad lineal af´ın de dimensi´ons, 0≤s≤ntienen−secuaciones impl´ıcitas indepen-dientes, y unas ecuaciones param´etricas conspar´ametros.

Nota 1.4.2.– Ecuaci´on continua de la rectaSearuna recta,r=A+hvicon A= (a1, . . . , an) y

v= (v1, . . . , vn). Se llama ecuaci´on continua de la recta a la ecuaci´on de la forma

x1−a1

v1 =· · ·=

xn−an

(5)

Nota 1.4.3.– Haces de hiperplanosDada una variedad lineal af´ınLde ecuaciones impl´ıcitas      a11x1+. . .+a1nxn = a10 .. . ar1x1+. . .+arnxn = ar0

Se llama haz de hiperplanos que contienen aLal conjunto de hiperplanos de ecuaciones

r

X

i=1

λi(ai1x1+. . .+ainxn−ai0) = 0,

dondeλi∈k, para cada icon 1≤i≤r.

Figure

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