Física y Química 1º de Bachillerato TEMA 8 Electrostática
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(2) 8.- En los vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 m se han colocado tres cargas eléctricas de 2 µC, ─3’5 µC y 6’5 µC tal y como indica la figura. Calcular el vector intensidad de campo eléctrico total creado por las tres cargas en el punto P, situado en la mitad de la hipotenusa. 6’5 µC P -3’5 µC. 2 µC. Solución:. 19177 i − 9650 j N/C. 9.- Calcular la distancia a la que el potencial eléctrico debido a una carga puntual de 4 mC tiene un valor de 250 V. ¿Qué energía potencial tendría otra carga de ─7’2 µC situada a esa distancia de la primera? Solución:. 144 Km. ─0’0018 J. 10.- Tres cargas eléctricas de ─2 µC, 3’5 µC y 7’2 µC ocupan respectivamente los puntos del plano A (2, 3), B (6, 4) y C (3, 5) m. Calcular el potencial eléctrico existente en el punto P (10, 8) m y la energía potencial que tendrá una carga de prueba de ─5 µC situada en el punto P. Solución:. 12160 V. ─0’06 J. 11.- Dos cargas eléctricas de 4 µC y ─6 µC están separadas una distancia de 50 m. Averiguar en qué lugar entre ellas, situado en el segmento que las une, existe un potencial de ─1500 V. Solución:. a 30 m de la primera. 12.- El potencial eléctrico en un punto A de un campo eléctrico es de ─500 V y en otro B es de 650 V. a) Calcular la energía potencial que tiene una carga de 20 mC ocupando el punto A b) Averiguar el trabajo que realizará el campo eléctrico si la carga anterior se desplaza hasta el punto B Solución:. ─10 J. -23 J. 13.- Un tubo de descarga de rayos catódicos consiste en una ampolla de vidrio en la que se han introducido dos electrodos y se ha hecho el vacío. Al someter a los electrodos a una gran diferencia de potencial los electrones son arrancados del cátodo y se mueven velozmente hasta alcanzar el ánodo. En uno de tales tubos los electrodos están a una diferencia de potencial de 5500 V. Calcular la velocidad con que los electrones llegan al ánodo. DATOS: masa del electrón = 9'11 ⋅ 10 −31 Kg carga del electrón = − 1'602 ⋅ 10 −19 C Solución:. 43981 Km/s. 14.- Calcular el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando una carga de ─5 µC se aleja desde una distancia de 8 m hasta 15 m de otra carga de 8 mC. Solución:. ─21 J.
(3) PROBLEMA 1 Uno de los cuerpos perderá 3’2 trillones de electrones y adquirirá por tanto una carga positiva de. (. )(. ). q = n ⋅ qe = 3'2 ⋅1018 ⋅ 1'602 ⋅10 −19 = + 0'51 C El otro cuerpo capturará los electrones anteriores y su carga total será igual y opuesta a la anterior, es decir de − 0'51 C. PROBLEMA 2 Dividiendo por la masa atómica del hierro, que es 55’85 uma, obtenemos el número de átomos-gramo del elemento g 23 Nº atm-g = = = 0'412 atm-g Ar 55'85 El número de átomos de hierro se obtiene multiplicando ahora el número de atm-g por el número de Avogadro. (. ). Nº de átomos = nº atm-g x NA = 0'412 ⋅ 6'023 ⋅10 23 = 2'48 ⋅10 23 átomos Si de todos ellos el 20 % pierden un electrón, se habrán perdido en total Nº de electrones perdidos =. 0'2 2'48 ⋅10 23 = 4'96 ⋅10 20 electrones 100. De esta manera se habrá cargado positivamente el trozo de metal con una carga positiva de. (. )(. ). q = nº de e − ⋅ qe = 4'96 ⋅10 20 ⋅ 1'602 ⋅10 −19 = 79'47 C. PROBLEMA 3 El módulo de la fuerza de atracción viene dado por. FC = K. q2 d2. FC = K. sustituimos los valores conocidos. Despejando el valor de la carga obtenemos que q = 0'996 C. q1 q2 d2. siendo q1 = q2 = q. 6'2 ⋅10 −3 = 9 ⋅109. q2 1'2 2.
(4) PROBLEMA 4 En el vacío la constante de Coulomb tiene un valor de K = 9 ⋅109. Nm 2 y en el agua es 81 veces C2. menor, es decir. K (agua ) =. 9 ⋅109 Nm 2 = 1'11 ⋅108 81 C2. Aplicamos la ley de Coulomb en las dos situaciones. En el vacío En el agua . 12 ⋅10−3 = 9 ⋅109 F = 1'11⋅108. q1 q2 102. q1 q2 152. Dividimos una ecuación por la otra y obtenemos 12 ⋅10 −3 9 ⋅109 152 = F 1'11 ⋅108 10 2. F = 6'58 ⋅10 −5 N. →. PROBLEMA 5 Para que la carga de prueba q permanezca en reposo se debe dar la circunstancia de que las fuerzas que actúan sobre ella debido a las otras dos sean iguales y opuestas. Esto solo puede suceder cuando dicha carga se sitúe en un punto de la recta que une las dos cargas iniciales.. 0’6-x. x Q1. Suponemos que ese punto está a una distancia x de la primera carga y por tanto a una distancia 0’6-x de la segunda. F1. q. F2. Q2. Como las fuerzas F1 y F2 son iguales en módulo, tenemos que. Q1 q x2 Q2 q F2 = K (0 '6 − x )2 F1 = K. q1 q2 = 2 x (0'6 − x )2. . K. Q1 q Q2 q =K 2 x (0'6 − x )2. 3 ⋅10 −6 6 ⋅106 = x2 (0'6 − x )2. 3 6 = 2 x (0'6 − x )2. Efectuando las transformaciones adecuadas se obtiene una ecuación de 2º grado cuyas soluciones son x = −1'45 m 3 x 2 + 3'6 x − 1'08 = 0 x = 0'25 m La solución correcta es la segunda, x = 0'25 m , pues la otra nos da un punto situado a la izquierda de la carga q1 donde las fuerzas F1 y F2 son iguales pero no opuestas con lo que la carga de prueba no estaría en reposo..
(5) PROBLEMA 6 a) Si la carga Q que crea el campo está situada en el origen de coordenadas. Z. El campo eléctrico viene dado por. E=K. P r. Q r r3. Q Y. r = OP = 10 i + 5 j + 7 k m 2 2 2 r = 10 + 5 + 7 = 13 '19 m. X. E = 9 ⋅109. (− 5 ⋅10 ) (10 i + 5 j + 7 k ) = − 196100 i − 98050 j − 137270 k 13'19 −3. N /C. 3. b) Si la carga Q que crea el campo se sitúa en el punto R (1, 3, 2). Z. R. Q. En este caso el campo eléctrico viene dado por. rRP. P. rR. E=K. rP. Y. Q rRP 3 rRP. rRP = rP − rR = 9 i + 2 j + 5 k m rRP = 9 2 + 2 2 + 52 = 10'49 m. X. E = 9 ⋅109. (− 5 ⋅10 ) (9 i + 2 j + 5 k ) = − 350856 i − 77968 j − 194920 k 10' 49 −3. 3. N /C.
(6) PROBLEMA 7 a) Cálculo de la fuerza. (. ). F = q ⋅ E = (− 2'5 ⋅10 −3 ) 2100 i + 3000 j − 2500 k = − 5'25 i − 7'5 j + 6'25 k N. F=. (− 5'25)2 + (− 7'5)2 + 6'252. = 11'08 N. b) Cálculo de la distancia E = 2100 i + 3000 j − 2500 k. Sabemos que. y. E = 21002 + 3000 2 + (− 2500) = 4434 N / C 2. El módulo del campo eléctrico es. E=K. Q r2. donde r es la distancia al punto. 4434 = 9 ⋅10. Sustituimos los valores conocidos. 9. 3 ⋅10 −6 r2. r = 2'47 m. Despejando obtenemos que. PROBLEMA 8 Elegimos el sistema de referencia indicado en la figura, de manera que los vectores de posición de los puntos considerados son los siguientes. 3. A = (0,0 ) B = (0,3) C = (4,0 ) 4 3 D = , 2 2 . B r2. 2. P 1. 1. rB = 3 j rC = 4 i rP = 2 i +1'5 j. r3. r1. A. rA = 0. C 2. 3. r1 = AP = 2 i + 1'5 j r2 = BP = 2 i − 1'5 j r = CP = −2 i + 1'5 j 3. 4. 5. y las distancias. Y entonces los vectores que van desde cada una de las cargas hasta el punto P son los siguientes. r = 2 2 + 1'52 = 2'5 m 1 2 2 r2 = 2 + (− 1'5) = 2'5 m r = (− 2 )2 + 1'52 = 2'5 m 3.
(7) Los vectores intensidad de campo, debidos a cada una de las cargas, los calculamos a continuación. (. )(. ). E1 = K. −6 Q1 9 2 ⋅ 10 r = 9 ⋅ 10 2 i + 1'5 j = 2304 i + 1728 j N / C 1 r13 2'53. E2 = K. −6 Q2 9 6'5 ⋅ 10 r = 9 ⋅ 10 2 i − 1'5 j = 7488 i − 5616 j N / C 2 r23 2'53. E3 = K. −6 Q3 9 − 3'5 ⋅ 10 r = 9 ⋅ 10 − 2 i + 1'5 j = 4032 i − 3024 j N / C 3 r33 2'53. (. )(. (. ). )(. ). El campo total será la suma vectorial de los tres. (. ) (. ) (. ). E = E1 + E2 + E3 = 2304 i + 1728 j + 7488 i − 5616 j + 4032 i − 3024 j N / C E = 13824 i − 6912 j N / C. PROBLEMA 9 a) Cálculo de la distancia Utilizamos la fórmula del potencial creado por una carga puntual 4 ⋅10 −3 250 = 9 ⋅10 r. Q V =K r. 9. r = 144000 m. b) Cálculo de la energía potencial. (. ). E P = q ⋅ V = − 7'2 ⋅10 −6 ⋅ 250 = − 0'0018 J. PROBLEMA 10 a) Cálculo del potencial eléctrico en el punto (10, 8) Las distancias desde cada una de las cargas al punto considerado son las siguientes. r1 = r2 =. (10 − 2)2 + (8 − 3)2 = 9'43 m (10 − 6)2 + (8 − 4)2 = 5'66 m (10 − 3)2 + (8 − 5)2 = 7'62 m. r3 = Los potenciales eléctricos son. (. ). Q1 − 2 ⋅10 −6 = 9 ⋅109 = −1909 V r1 9'43 Q 3'5 ⋅10 −6 V2 = K 2 = 9 ⋅109 = 5565 V r2 5'66 Q 7'2 ⋅10 −6 V3 = K 3 = 9 ⋅109 = 8504 V r3 7'62. V1 = K. (. ). (. ).
(8) El potencial total se obtiene sumando los potenciales debidos a cada una de las cargas V = V1 + V2 + V3 = −1909 + 5565 + 8504 = 12160 V b) Energía de la carga de prueba q. (. ). EP = q ⋅ V = − 5 ⋅10 −6 ⋅12160 = − 0'06 J. PROBLEMA 11 En dicho lugar el potencial es V = V1 + V2 = −1500 V . Está a una distancia x de la primera carga y a 50-x de la otra. Así pues tenemos que r1 = x , y también que r2 = 50 − x . Q1. Q2. Q1 4 ⋅10 −6 =K r1 x Q − 6 ⋅10 −6 V2 = K 2 = K r2 50 − x. V1 = K x. (. 50-x. ). . Como la suma de los dos potenciales debe ser igual a -1500 V escribimos la siguiente ecuación 9 ⋅109. (. ). − 6 ⋅10 −6 4 ⋅10 −6 + 9 ⋅109 = −1500 x 50 − x. Efectuando las transformaciones necesarias se convierte en la siguiente ecuación de 2º grado cuyas soluciones van a continuación x = 30 m Soluciones x = −40 m. 15 x 2 + 150 x − 18000 = 0. Se toma como válida la primera solución x = 30 m ya que la otra no corresponde a un punto situado entre las dos cargas.. PROBLEMA 12 a) Cálculo de la energía potencial. (. ). EPA = q ⋅ VA = 20 ⋅10 −3 ⋅ (− 500 ) = − 10 J b) Cálculo del trabajo. (. ). TAB = q (VA − VB ) = 20 ⋅10 −3 ⋅ (− 500 − 650 ) = − 23 J Es un trabajo negativo, es decir, resistente y por tanto el campo eléctrico se opone al movimiento espontáneo de la carga entre esos dos puntos. Esto se debe a que dicha carga es positiva y el potencial en B es mayor que en A..
(9) PROBLEMA 13 Según el principio de conservación de la energía mecánica la suma de la energía cinética más la potencial se mantiene constante. Si tomamos como punto inicial A al electrodo de donde parten los electrones (CÁTODO) y punto final B el electrodo donde llegan (ÁNODO) podemos escribir que. Cátodo. ECA + EPA = ECB + EPB. Ánodo B. A. 0 + q VA =. 1 2 mvB + q VB 2. q VA − q VB =. 1 2 mvB 2. q (VA − VB ) =. 1 2 mvB 2. 5500 v Sustituyendo los datos conocidos en la última de las igualdades. (− 1'602 ⋅10 )⋅ (− 5500) = 12 (9'11⋅10 )v −19. −31. 2 B. La diferencia de potencial entre los electrodos VAB = VA − VB tiene signo negativo pues los electrones se mueven espontáneamente desde A hasta B, con lo cual de suceder que VA < VB Despejamos el valor de vB vB =. (. ). 2 ⋅ − 1'602 ⋅10 −19 ⋅ (− 5500 ) = 43'981 ⋅106 m / s = 43981 KM / s −31 9'11 ⋅10. PROBLEMA 14 La relación entre el trabajo realizado por la fuerza eléctrica y el potencial del campo eléctrico cuando una carga q se mueve entre dos puntos es. Q 1 1 Q TAB (FE ) = q (VA − VB ) = q K − K = KqQ − rB rA rA rB Para calcular este trabajo sustituimos los valores numéricos conocidos. (. )(. )(. ). 1 1 TAB = 9 ⋅109 ⋅ − 5 ⋅10 −6 ⋅ 8 ⋅10 −3 ⋅ − = − 21 J 8 15 . El trabajo es negativo, es decir resistente, ya que las cargas son de distinto signo y se atraen. Por esta razón el campo eléctrico se opone a su separación y realiza un trabajo resistente..
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