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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

UNIVERSIDAD POLITECNiCA DE MAD

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^-TESIS DOCTORAL

SIMULACIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DE LA

MAQUINA DE INDUCCIÓN EN RÉGIMEN

TRANSITORIO. COMPARACIÓN DE MODELOS

POR: D. JOSÉ ÁNGEL SÁNCHEZ FERNANDEZ

INGENIERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

DIRECTOR DE LA TESIS: D. PEDRO GARCÍA GUTIÉRREZ

DR. INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN

PROFESOR TITULAR DE ELECTROTECNIA DE LA E.T.S. DE

INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE LA U.P.M.

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TESIS DOCTORAL

SIMULACIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DE LA MAQUINA DE

INDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO. COMPARACIÓN DE

MODELOS

POR: D. JOSÉ ÁNGEL SÁNCHEZ FERNANDEZ INGENIERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

DIRECTOR DE LA TESIS: D. PEDRO GARCÍA GUTIÉRREZ DR. INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN PROFESOR TITULAR DE ELECTROTECNIA DE LA E.T.S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE LA U.P.M.

EL TRIBUNAL CALIFICADOR PRESIDENTE:

VOCALES^—W i

f^^^^^_j

ACUERDA OTORGARLE LA CALIFICACIÓN DE: ^^TV CUÍA l^Ál^O^

(3)

A mi familia.

(4)

AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a todos los que han contribuido a que esta tesis doctoral sea una realidad.

En primer lugar a mi director de tesis y leal amigo D. Pedro García Gutiérrez por su paciencia, apoyo constante y criticas positivas durante todo el proceso de realización de la misma. Seria difícil encontrar a otro director que haya dedicado tantas horas a ayudar a su doctorando.

A D. José Román Wilhelmi Ayza que me introdujo en el camino de la investigación cuando, al terminar la carrera, iniciaba mi andadura profesional y me ayudo siempre con comentarios y sugerencias a mejorar esta tesis.

A D. José Jesús Fraile Mora por su apoyo, y por su revisión critica de la misma contribuyendo a mejorarla con múltiples ideas.

A mi familia que soporto con infinita paciencia los momentos malos que pase durante algunas etapas de su realización.

A todo el personal del área de Ingeniería Eléctrica del Departamento que de un modo u otro siempre me ayudaron.

(5)

RESUMEN

En esta Tesis se han comparado los modelos de máquina de inducción más utilizados para la simulación de su fimcionamiento en régimen transitorio. El objetivo ha sido buscar el modelo más adecuado para cada tipo de estudio. La metodología empleada ha consistido en elaborar una serie de programas que permitan realizar simulaciones con cada modelo de máquina para cada tipo de estudio y comparar la precisión de los resultados obtenidos con cada modelo y el tiempo de cálculo que consume. Los modelos considerados han sido: exacto, implícito, corregido, reducido y mecánico. Los tipos de estudio considerados han sido: arranque de motores, estabilidad transitoria, conexión y desconexión de generadores de inducción y transferencia de alimentación. Adicionalmente se ha considerado la posible conveniencia de incluir los efectos de la saturación magnética en el entrehierro de la máquina.

Las conclusiones han sido las siguientes:

1. Para conocer los valores máximos puntuales es necesario emplear el modelo exacto. 2. La saturación magnética ejerce una influencia despreciable mientras la máquina esté

conectada a una red que le fije tensión y frecuencia y una influencia grande cuando está desconectada de la misma.

3. En consecuencia es conveniente tener en cuenta la saturación magnética en transferencias de alimentación y es necesario tenerla en cuenta para simular el comportamiento de generadores de inducción separados de la red.

4. Si no se desean conocer valores máximos puntuales los modelos más convenientes en función del tipo de estudio son:

• Para arranques: el modelo mecánico.

• Para estabilidad transitoria: el modelo reducido.

• Para transferencias de alimentación: el modelo implícito. • Para generadores de inducción: el modelo exacto.

5. Si se va a tener en cuenta la saturación magnética en el entrehierro el modelo más conveniente es el exacto.

(6)

ABSTRACT

In this thesis all the induction machine models more frequently used for the simulation of their transient response have been compared. The objective: to fmd the more suitable model for each study type. The method of search has been based in writing several computer programs and conducting simulations with each machine model and each study type, in order to compare the precisión of the results obtained with each model and the computer burden required. The models being compared are: exact, implicit, corrected, reduced and mechanic. The study types under consideration have been: motor starting, transient stability, switching on and off induction generators and bus transfer. It has also been considered the possible need of including the effect of the air gap flux saturation in all the studies.

The main conclusions of the study are summarized in what foliows: 1. To obtain with reasonable accuracy the peak valúes the exact model is needed.

2. The magnetic saturation of the main flux is not of concern if the machine is connected to a fixed voltage and frecuency electrical network, but is very important if the machine is isolated from this type of network.

3. Acordingly is advisable to have in account the magnetic saturation of the main flux in bus transfer studies and is a must in the simulation of the response of the induction generators isolated from the network.

4. If the required accuracy in the peak valúes is not very high, the more suitable models for each study type are:

• For motor starting studies the mechanic model.

• For transient stabiliy studies the standard reduced model. • For bus transfer studies the implicit model.

• For the simulation of induction generators disconnected from the power grid the exact model.

5. If the effect of the magnetic saturation of the main flux has been taken into account the more suitable model is the exact model.

(7)

ÍNDICE DE LA TESIS

Lista de símbolos 1

Capítulo 1: Introducción 4

1 Necesidad y problemática de los estudios de transitorios en máquinas de

inducción. 4 2 Objetivos de la tesis. 5

3 Organización de la exposición. 6

Capitulo 2: Panorámica de la situación actual de los estudios de

transitorios en máquinas de inducción. 7

1 Introducción. 7

1.1 Arranque de motores. 7 1.2 Estudios de estabilidad transitoria. 7

1.3 Transferencias de alimentación. 8

1.3.1 Transferencia rápida. 8 1.3.2 Transferencia "en fase" o transferencia síncrona. 8

1.3.3 Transferencia lenta. 8

(8)

2 Modelos de máquinas de inducción. 9 2.1 Modelo exacto. 9 2.2 Modelo reducido. 11 2.3 Modelo implícito. 12 2.4 Modelo de Richards [6]. 14 2.5 Modelo mecánico. 15

3 Aplicaciones de estos modelos. 16

3.1 Arranque de motores. 16 3.2 Estudios de estabilidad transitoria. 16

3.3 Transferencias de alimentación. 16 3.4 Conexión y desconexión de generadores de inducción. 17

4 Modelos de la saturación magnética. 17

Capitulo 3: Integración numérica de sistemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias 19

1 Introducción. 19 2 Métodos de Runge-Kutta. 19

2.1 Solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. 19

2.2 Métodos de Runge-Kutta. 19 2.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. 21

3 Optimización de los algoritmos de Runge-Kutta. 21

3.1 Maximización de la estabilidad. 21 3.2 Maximización del grado de la integración. 22

4 Algoritmo de control de paso. 23

(9)

Capitulo 4: Simulaciones efectuadas y comparaciones entre modelos de máquinas de inducción. -. 24

1 Introducción. 24 2 Consideraciones previas a la simulación. 24

2.1 Arranque de motores. 24 2.2 Estudios de estabilidad transitoria. Huecos de tensión. 25

2.3 Transferencias de alimentación. 26

2.3.1 Transferencia rápida. 27 2.3.2 Transferencia lenta. 28 2.3.3 Conexión y desconexión de generadores de inducción, autoexcitados o no. 28

3 Modelos de máquinas de inducción. 29

4 Simulaciones efectuadas. 29

4.1 Arranque de un motor. 29 4.2 Estudios de estabilidad transitoria. Huecos de tensión. 32

4.3 Estudios de conexión y desconexión de generadores de inducción. 35

4.4 Estudios de transferencias de alimentación. 38

5 Consideraciones de eficiencia. 40

(10)

1 Introducción. 42 2 Conclusiones. 42

2.1 Arranque de máquinas. 43 2.2 Estudios de estabilidad transitoria. 43

2.3 Estudios de conexión y desconexión de generadores de inducción. 43

2.4 Estudios de transferencias de alimentación. 43

2.5 Recomendaciones. 44

3 Aportaciones originales. 44 4 Futuras líneas de investigación. 44

Bibliografía 46

Apéndices:

1 Notación compleja. 52 2 Cálculo del par electromagnético. 54

3 Modelos de doble Jaula. 56 4 Modelo del flujo de entretiierro. 59

5 Extensión a doble jaula del modelo de Richards. 60 6 Fórmulas de Runge-Kutta de 3° y 4° orden. 62

6.1 Fórmulas generales de Runge-Kutta de tercer orden. 62 6.2 Fórmulas generales de Runge-Kutta de cuarto orden. 62

(11)

7.1 Cálculo de YQ para Runge-Kutta de segundo orden. 64 7.2 Cálculo de Y^ para Runge-Kutta de tercer orden. 64 7.3 Cálculo de Y^ para Runge-Kutta de cuarto orden. 64

8 Simulación de la apertura de un interruptor con modelo exacto. 66

9 Parámetros empleados en las simulaciones. 69

10 Arranque de motores. 73 11 Estudios de estabilidad transitoria. 106

12 Generadores de inducción. 203 13 Transferencias de alimentación. 276 14 Listado de los programas realizados. 325

(12)

LISTA DE

SÍMBOLOS

E n general, se representan con negrita los símbolos q u e corresponden a magnitudes vectoriales o complejas y sin negrita los q u e corresponden a magnitudes escalares; se utiliza el subíndice S para indicar variables correspondientes al estator, el subíndice R variables correspondientes al rotor, 1 y 2 a la primera y segunda j a u l a o primer y segundo d e v a n a d o rotórico, el subíndice e para el entrehierro, y los subíndices " d " y " q " p a r a referirse a los ejes directo y transversal.

e, : Error d e truncamiento local

Gm : P a r electromagnético por unidad

G, : P a r resistente por unidad

h : L o n g i t u d del paso d e integración

H : Constante d e inercia del conjunto m á q u i n a equipo conducido en segundos

le : M o d u l o d e la corriente d e magnetización por unidad

I^ : Corriente d e magnetización compleja (led - jleq) por unidad

I m { } : Parte imaginaria del n u m e r o complejo entre llaves

IR : Corriente rotórica compleja (IR,, - JIR,) por unidad (simple j a u l a )

IR, : Corriente rotórica compleja (IR,<I - J I R I , ) p o r unidad j a u l a 1

IR2 : Corriente rotórica compleja (lR2d - jlR2q) por unidad j a u l a 2

Is : Corriente estatórica compleja (Isa - jisq) por unidad

j : U n i d a d imaginaria

p : O p e r a d o r derivada con respecto al tiempo

Rs : Resistencia por fase del estator por unidad

RR : Resistencia por fase del rotor por unidad

RR, : Resistencia p o r fase d e la primera j a u l a del rotor por unidad

RR2 : Resistencia por fase de la segunda j a u l a del rotor por unidad

(13)

UR : Tensión en bornes del rotor compleja (URJ - JUR,) por unidad (simple jaula)

URI : Tensión en bornes del primer devanado del rotor compleja (UR,<J - J U R , , ) por

unidad

URZ : Tensión en bornes del segundo devanado del rotor compleja (UR2d - JURJ,) por

unidad

Us : Tensión en bornes del estator compleja (Usd - jUg,) por unidad V : Tensión compleja (y¿ - j V,) por unidad

Xs : Reactancia por fase del estator por unidad

X„ : Reactancia de magnetización por fase por unidad XR : Reactancia por fase del rotor por unidad

XRI : Reactancia por fase de la primera jaula del rotor por unidad XR2 : Reactancia por fase de la segunda jaula del rotor por unidad 0, : Ángulo del flujo de entrehierro en radianes por segundo 9R : 7\ngulo del flujo rotórico en radianes por segundo

9R, : Ángulo del flujo rotórico de la primera jaula en radianes por segundo 0R2 : Ángulo del flujo rotórico de la segunda jaula en radianes por segundo 9s : Ángulo del flujo estatórico en radianes por segundo

9v : Ángulo de la tensión en bornes del estator en radianes por segundo Ted : Flujo de entrehierro según el eje directo por unidad

Te, : Flujo de entrehierro según el eje transversal por unidad T . : Flujo de entrehierro complejo (*F«i - j T , , ) por unidad Te : Modulo del flujo de entrehierro por unidad

Te' : Derivada del modulo del flujo de entrehierro (T^) respecto al modulo de la intensidad que lo crea (X) por unidad

TR,, : Flujo rotórico según el eje directo por unidad T R , : Flujo rotórico según el eje transversal por unidad

(14)

*PR : M o d u l o del flujo rotórico por unidad

T R : Flujo rotórico complejo (TR<I - J T R , ) por unidad

T R I Í : Flujo rotórico según el eje directo en la jaula 1 por unidad

T R I , : Flujo rotórico según el eje transversal en la jaula 1 por unidad T R , : M o d u l o del flujo rotórico en la jaula 1 por unidad

TRI : Flujo rotórico complejo (^RH - j ^ i , ) por unidad jaula 1 *FR2d : Flujo rotórico según el eje directo en la jaula 2 por unidad TR2q : Flujo rotórico según el eje transversal en la jaula 2 por unidad TR2 : M o d u l o del flujo rotórico en la j a u l a 2 por unidad

T R I : Flujo rotórico complejo (TRJÍ - J T R J , ) por unidad jaula 2

*Fsd : Flujo estatórico según el eje directo por unidad *Psq : Flujo estatórico según el eje transversal por unidad Ts : Modulo del flujo estatórico por unidad

^ s '• Flujo estatórico complejo (^Psd - j^sq) por unidad co : Velocidad de giro en radianes por segundo

(O o : Velocidad de giro sincrónica en radianes por segundo

Q. : Factor de corrección del modelo corregido (Ver epígrafe 2.4 del Cap. II)

adimensional Superíndices

(15)

CAPITULO 1 : INTRODUCCIÓN

1 Necesidad y problemática de los estudios de transitónos en máquinas de inducción.

En general, se dice que un sistema está en régimen permanente cuando es posible representarlo mediante un conjunto de variables de estado cuyos valores no varíen con el tiempo. Cuando esto no es posible se dice que está en régimen transitorio. Un régimen transitorio puede considerarse como la evolución de un sistema entre dos regímenes permanentes. El estudio de los sistemas en régimen permanente es, en general, más sencillo que el de los sistemas en régimen transitorio, sin embargo hay situaciones en las que es necesario estudiar el régimen transitorio.

En lo que a las máquinas de inducción se refíere se realizan estudios de su comportamiento transitorio, fundamentalmente, en los siguientes casos:

- Evaluación de arranques de motores.

- Estudios de estabilidad transitoria de sistemas eléctricos. - Estudios de transferencias de alimentación.

- Estudios de conexión-desconexión de generadores de inducción.

Para realizar estos estudios existen varios modelos que representan el comportamiento transitorio de la máquina de inducción, cada uno con sus ventajas e inconvenientes. Todos los modelos parten del hecho de que esta máquina tiene devanados en estator y rotor, y que es una maquina rotativa. Un modelo completo de esta máquina tiene que tener variables de estado que representen el comportamiento transitorio de ambos devanados y de las masas giratorias. Este modelo, llamado modelo exacto, tiene un tiempo de calculo relativamente alto y por ello se suelen utilizar varias simplificaciones en el mismo. Estas simplificaciones se basan en que los tiempos que tardan en extinguirse los modos propios de las variables de estado que representan los distintos devanados y las masas giratorias son muy distintos.

Las variables de estado asociadas al estator son la que tienen una evolución mas rápida y por tanto, salvo en el modelo exacto, el transitorio electromagnético que tienen asociado es el primero que desprecian todos los demás modelos. Las variables de estado asociadas al rotor tienen una evolución mas lenta que las del estator y mas rápida que la asociada a la inercia de la máquina, por esto también son despreciadas en algún modelo. En función del tipo de estudio que se desee hacer las simplificaciones descritas en este párrafo tienen mayor o menor importancia.

En un arranque, el tiempo total necesario para completarlo es mucho mayor que el necesario para que se extingan los modos propios asociados a los transitorios de estator y rotor. Por este motivo, en principio, parece razonable pensar que se puede estudiar el régimen transitorio ocasionado por el arranque de un motor despreciando los fenómenos transitorios que se produzcan en sus devanados de estator y rotor.

En los estudios de estabilidad transitoria de una red eléctrica el problema a estudiar son las máquinas síncronas, ya que son las principalmente afectadas por este problema. Sin embargo, para que los resultados de la simulación sean realistas, es necesario una representación adecuada de la carga que tienen conectada estas máquinas. Una parte importante, la principal en la mayoría de los casos, la constituyen máquinas de inducción. Por ello, en los estudios de estabilidad transitoria es necesario incluir, además de máquinas síncronas, máquinas de inducción. En estos estudios, los tiempos

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necesarios para determinar si existe o no estabilidad en el sistema son, en general, lo suficientemente largos como para despreciar el transitorio asociado a los devanados estatóricos, pero no lo suficiente como para despreciar el transitorio en los devanados rotóricos. Por este motivo, para este tipo de estudios se desarrolló una simplificación, debida a Krause et alteri [4], que se conoce como modelo reducido o modelo de estabilidad transitoria que desprecia los transitorios estatóricos. Este modelo se ha utilizado ampliamente para todo tipo de estudios desde su presentación, sin comprobar detalladamente su validez.

En los estudios de transferencias de alimentación se estudia normalmente el problema asociado con desconectar un grupo de motores, pertenecientes a una instalación industrial (normalmente a una central generadora aunque no siempre sea asi), de una alimentación para conectarlos luego a una alimentación alternativa. Para este tipo de estudios se ha venido utilizando el modelo reducido a que se ha hecho referencia en el párrafo anterior, no obstante algunos autores han criticado su validez, el mismo Krause [5], por ejemplo, que ha propuesto algunas alternativas para paliar los inconvenientes de este modelo. En este contexto Richards [6] ha propuesto un modelo que corrige las deficiencias del modelo reducido en este tipo de estudios a costa de aumentar el tiempo de calculo necesario en las simulaciones. Paralelamente, aunque con una finalidad diferente, Wilhelmi [7] desarrollo un modelo que también corrige las deficiencias del modelo reducido en este tipo de estudios a costa, también, de aumentar el tiempo de calculo empleado en las simulaciones.

Los estudios de la operación de generadores de inducción son mas recientes que los otros, dado que este tipo de máquina no se ha utilizado como generador hasta que las crisis del petróleo han hecho necesario plantearse la utilización de fuentes de energía que por su carácter disperso no se habían utilizado de una manera sistemática. Por este motivo, carácter disperso, la complejidad del sistema de control característico de las máquinas síncronas es un severo inconveniente; por ello se utilizan, tímidamente al principio y ahora de manera general máquinas de inducción como generadores. En este tipo de estudios inicialmente se utilizó también el modelo reducido pero en la actualidad se utiliza de manera casi exclusiva el modelo exacto. Además algunos autores tienen en cuenta también, de una manera aproximada, la saturación magnética del flujo principal.

2 Objetivos de la tesis.

El objetivo de esta tesis es realizar una evaluación rigurosa de las ventajas e inconvenientes de cada modelo en los diferentes tipos de estudio. Esta evaluación general comparando todos los modelos en todos los tipos de estudio es una laguna de la bibliografía consultada. Existen comparaciones parciales, un ejemplo bastante bueno es la referencia [12]. En general, cuando un autor presenta un modelo nuevo lo compara con otro en un tipo de estudio concreto, pero una comparación general de ventajas e inconvenientes no existe. Rellenar ese hueco es el objetivo principal de esta tesis. Para ello se comparara la precisión de un modelo con sus requisitos en tiempo de cálculo. El patrón de comparación será el modelo exacto [1,2].

En la bibliografía consultada se ha detectado otra laguna en lo que se refiere a la saturación del flujo de entrehierro. Fundamentalmente, se ha analizado su influencia en el fimcionamiento de los generadores de inducción pero no en el resto de los tipos de

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estudio. Por ello en esta tesis se va a considerar la influencia de la saturación en todos los estudios, asi como, la adecuación de los diferentes modelos para tenerla en cuenta.

Existen en el mercado aplicaciones informáticas que incorporan algunos de los modelos de máquina que se van a considerar en esta tesis. No obstante, para poder incluir en la comparación el tiempo de cálculo, es necesario que las diferencias entre los programas de ordenador que utilicen los distintos modelos sean mínimas. Esto implica que ha de ser el mismo programa para todos los modelos, lo que obliga, en la práctica, a hacer un conjunto de programas especifico para realizar la comparación de modelos.

En esta tesis no se van a considerar los modelos que consisten en la utilización de un procedimiento especial de integración [19]. Asi como tampoco se va a comparar la utilización de modelos de simple jaula frente a modelos de doble jaula y por tanto tampoco se consideraran modelos híbridos que tienen en cuenta la segunda jaula de una forma aproximada [26] y [27].

3 Organización de la exposición.

A continuación de este capítulo de introducción se presenta una panorámica de la situación actual de los estudios de transitorios en máquinas de inducción y se da una descripción detallada de los diferentes modelos que se van a considerar, con saturación y sin ella. Posteriormente se expone, detalladamente también, el algoritmo de integración numérica del sistema de ecuaciones diferenciales que resulta de cualquier modelo que se escoja. A continuación se comentan las simulaciones efectuadas.

Basándose en los resultados de estas simulaciones se dan las conclusiones de la tesis, se presentan las aportaciones originales y se sugieren futuras líneas de investigación en relación con la misma.

(18)

CAPITULO 2: PANORÁMICA DE LA SITUACIÓN ACTUAL DE

LOS ESTUDIOS DE TRANSITORIOS EN MAQUINAS DE

INDUCCIÓN

1 Introducción.

El fiíncionamiento normal de cualquier sistema suele caracterizarse por un comportamiento en régimen permanente, o por un conjunto de comportamientos en régimen permanente. Por ello, para estudiar el funcionamiento de todos los sistemas suelen utilizarse modelos en régimen permanente. No obstante, en algunas ocasiones es necesario conocer la evolución temporal de los sistemas entre dos estados, correspondan estos a funcionamientos en régimen permanente o no. Por ello es necesario disponer de modelos que reflejen el comportamiento transitorio de los sistemas.

Las máquinas de inducción no son una excepción a las consideraciones generales realizadas en el párrafo anterior. En este capítulo se va a pasar revista a los principales modelos de máquinas de inducción en régimen transitorio y a las principales aplicaciones de estos modelos en el estado actual de la técnica.

1.1 Arranque de motores.

El arranque de un motor consiste en hacerlo pasar de un estado estacionario de reposo (desconectado de la red) a un estado de fiíncionamiento en régimen permanente conectado a la misma, y moviendo una carga especificada. Al estudiar el arranque de un motor o conjunto de motores se pretende conocer, fundamentalmente, los siguientes parámetros:

-Tiempo de arranque del motor con la carga especificada. -Magnitud y duración de la sobreintensidad producida.

-Magnitud y duración del hueco de tensión introducido en la red.

-Magnitud del máximo par que soportan tanto el eje del motor como cualquier elemento que tuviera acoplado.

Si no desean conocerse todos los parámetros es posible utilizar un modelo más sencillo que si desean conocerse todos.

1.2 Estudios de estabilidad transitoria.

En los estudios de estabilidad transitoria se considera un sistema conteniendo máquinas síncronas, así como máquinas de inducción y cargas estáticas. Se hace la hipótesis de que en un momento dado, con el sistema fiíncionando en estado estacionario, se produce una perturbación que puede motivar la actuación de interruptores, modificando así la configuración inicial del sistema. Durante el fiincionamiento con tensión reducida las máquinas síncronas aumentan su ángulo de par y las de inducción pierden velocidad de giro; la estabilidad del sistema depende de que las máquinas sean capaces de alcanzar un estado de funcionamiento en régimen permanente.

(19)

1.3 Transferencias de alimentación.

Las transferencias de alimentación se producen cuando un grupo de motores (generalmente pertenecientes a una central generadora) pasan de estar alimentados desde una barra a estar alimentados desde otra. El procedimiento pasa por desconectar a los motores de la red, aunque manteniéndolos conectados entre sí, durante un cierto tiempo y reconectarlos luego a otra barra. El retrasar el instante de reconexión un cierto tiempo se hace para reducir las sobreintensidades y oscilaciones de par que podrían producirse tras la reconexión. En general, se desea conocer la evolución temporal, durante el periodo de desconexión de la red, de la tensión en bornes de los motores, así como su velocidad de giro, ya que las condiciones de reaceleración de estas máquinas después de la reconexión dependen de esas magnitudes Se van a comentar a continuación, siguiendo la referencia [3], las tres estrategias principales para realizar transferencias de alimentación de grupos de motores.

1.3.1 Transferencia rápida.

La transferencia rápida consiste en realizar la transferencia en el menor tiempo posible con la finalidad de reducir al mínimo el periodo en que los motores están desconectados de una alimentación. La ventaja de este procedimiento reside en que al mantener elevada la tensión residual de los motores, el par de reconexión es alto y la reaceleración no suele plantear problemas, pudiéndose transferir, en general, todas las cargas conectadas a la barra o barras en cuestión. El valor típico del tiempo de desconexión oscila entre 5 y 10 ciclos.

1.3.2 Transferencia "en fase" o transferencia síncrona.

Este modo de transferencia consiste en realizar la reconexión cuando el ángulo de fase de la tensión residual y el de la fíjente alternativa coinciden. Para realizar esto es necesario un dispositivo que anticipe en qué momento se producirá esta coincidencia para conseguir que el interruptor de alimentación cierre precisamente en ese instante.

1.3.3 Transferencia lenta.

Esta transferencia consiste en mantener el grupo de motores desconectado de toda fuente de alimentación el tiempo suficiente para que su tensión residual haya caído a un valor suficientemente bajo (típicamente entre un 25 y un 30 por ciento de la tensión nominal). Esta operación puede hacerse o bien mediante un dispositivo que mida la tensión residual e impida la reconexión hasta que se alcance ese valor, o bien manteniendo la desconexión un tiempo prefijado. El primer procedimiento tiene el inconveniente de un coste mayor, acrecentado por el hecho de que la medida ha de ser independiente de la fi-ecuencia, y el segundo presenta la dificultad de depender del estado de carga previo del sistema, estado que normalmente puede corresponder a composiciones muy diferentes de la carga conectada.

(20)

1.3.4 Conexión y desconexión de generadores de inducción, autoexcitados o no.

La conexión de generadores de inducción se realiza a velocidades de giro muy próximas a la de sincronismo y sus condiciones de funcionamiento nominal corresponden también a velocidades muy próximas a la de sincronismo. Estas características, funcionamiento a velocidades próximas a la de sincronismo, hacen que su modelización no requiera la utilización de rotores de doble jaula. Los estudios transitorios, en este caso, pretenden determinar la evolución temporal de la tensión residual tras la desconexión, y los valores máximos y mínimos de la corriente y la tensión tras la reconexión. En estos estudios, según todos los autores que han estudiado este tema recientemente, por ejemplo [15, 16], tiene una notable importancia la modelización detallada de la saturación magnética en el hierro de la máquina.

2 Modelos de máquinas de inducción.

Las ecuaciones que rigen el funcionamiento transitorio de las máquinas de inducción son conocidas desde finales de la primera mitad del presente siglo, pero su carácter de sistema de ecuaciones diferenciales no lineales las hace prácticamente inabordables hasta que se generaliza la disponibilidad de ordenadores digitales y su enorme potencia de cálculo. Para la descripción de los diferentes modelos se va a seguir la metodología de la referencia [1]. En el Apéndice 1 de esta tesis puede encontrarse una explicación de la notación compleja empleada partiendo de la forma clásica de las ecuaciones de Park para la máquina de inducción. En todos los modelos se van a utilizar los parámetros de la máquina, y consecuentemente todas las variables de la misma o de la red exterior, expresadas por unidad en una base homogénea. Esta puede ser la propia de la máquina o una basada en la red exterior (base sistema) en cualquier caso las ecuaciones de todos los modelos son igualmente validas.

2.1 Modelo exacto.

Ecuación fasorial del estator:

\ = ÍP + j(>>o)%+Rsh (1)

Ecuación fasorial del rotor (se supone rotor enjaula de ardilla simple):

0 = Íp + JGy,s)%+Rj,I^ (2)

Relación entre los flujos y las corrientes de estator y rotor:

(a,^, = X,I,+o,X (3)

(21)

Manipulando las ecuaciones (3) y (4) se llega a:

^R ^R

Despejando I^ y Ig y sustituyendo sus valores en (1) y (2) resulta:

'oJ '•s y = (p+j(o,)^,+^(%-w,) (6) O = (p+jco,s)^, + ^ ( Y , - Y J (7) '-R Operando en (6) y (7) se obtiene: p^^ = y+co,(^X-i^+J)%) (8) /;Y« = a ) „ ( ^ Y , - ( ^ + 7 5 ) % ) (9)

que junto con la ecuación mecánica:

^ ^ ^ ^ 2 ^ (10)

co'

G,„ = -z^MX%} (11)

^R

(Para una justificación de la expresión (11) véase el Apéndice 2)

Siendo conocido el valor de *Pg a partir de las variables de estado, mediante la ecuación (5) y la relación entre ^P^ e Ij+Ij.=Ie, resulta que las ecuaciones (8) a (10) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales que determinan completamente el funcionamiento de la máquina.

Este modelo supone una máquina de simple jaula; si la máquina es de doble jaula es necesario, como puede verse en el Apéndice 3, sustituir la ecuación (5) por:

^ , ( y 3 + ^ T , , + - | ^ y ^ ) = ( i + ^ - ^ ^ - ' ^ ^ " ) H ^ , + X3(i3 + i , . 4 - i ^ )

^ R I ^ R 2 ^ R 1 ^ R 2 ( 1 2 )

La expresión del par electromagnético, ecuación (11), queda:

y y

(22)

Y las ecuaciones del rotor en función de las variables de estado (equivalentes a la ecuación (9)) son: / ' ^ R , = C O o ( ^ * e - ( ^ + » * R , ) 'X. X . ^R2 ^R2 (14) (15)

que junto con la ecuación del estator correspondiente (ecuación (8)), la ecuación mecánica (ecuación (10)) y la relación entre el flujo WQ y la corriente I^ constituyen un conjunto de ecuaciones diferenciales que definen completamente el fijncionamiento de la máquina.

2.2 Modelo reducido.

El coste en tiempo de cálculo de emplear el modelo exacto puede llegar a ser prohibitivo, por lo que se han buscado algunas simplificaciones. La primera de ellas, y también la más extendida, es debida a Krause et alteri [4] y consiste en despreciar los transitorios estatóricos, con lo que el tiempo de cálculo disminuye notablemente. Al modelo resultante se le llama modelo reducido estándar o modelo de estabilidad transitoria. Este ultimo nombre se debe a que se utiliza de forma casi general en los programas de estabilidad transitoria.

Si se desprecia el termino p^Pg en la ecuación (1) la ecuación del estator queda:

W = '•s'-s i ® o

Poniendo esta ecuación en fimción de las variables de estado queda:

\ + 6), R. ^ s X. *P co, R. X. + j (16) (17)

Introduciendo este valor en la ecuación (5) queda:

\ + (o,[R,+jX,) ^R +j \ + -^\\o,X+(R,+jX,% X ^

^ R A (18)

que junto con la ecuación del rotor (9), la ecuación mecánica (10) , la definición del par electromagnético (11) y la relación entre el flujo W^ y la corriente I^, definen completamente el fiancionamiento de la máquina.

Si la máquina tiene doble jaula en el rotor, la ecuación análoga a la (18) queda (ecuación (19)):

(23)

-^(^Rl+^Rlj J , , ^s(^Rl+^R2J ^ R 1 ^ R 2

- + J 1 +

-^ R 1 -^ R 2 J

K'y.+

(19) Esta ecuación se ha obtenido sustituyendo la ecuación (17) en la ecuación (12) y simplificando.

2.3 Modelo implícito.

Ya desde el primer momento se vio que el modelo reducido presentaba ciertas deficiencias al tratar de modelizar el ñincionamiento de las máquinas en condiciones de separación temporal de la red [5]. Con la finalidad de subsanar estas carencias se han ideado diferentes procedimientos que, en general, tienen un campo de aplicación limitado al objetivo para el que inicialmente se crearon. Hay dos excepciones a esta ultima consideración que consisten en dos modelos diferentes. Uno debido a Richards [6] que veremos más adelante. Y otro debido a Wilhelmi [7] que se denomina modelo implícito.

El modelo implícito es una variante del modelo reducido en la que en lugar de despreciar el término p^Pg se desprecia el término plg^ Es por consiguiente una aproximación intermedia entre el modelo exacto y el reducido estándar en la que se sustituye el término p^Pg por una relación estática con el resto de las variables:

De la ecuación (3) se tiene:

p%=pX = Xp(is+h)

(20)

Desgraciadamente la expresión anterior sólo es valida, como se demostrara más adelante, si la relación entre el flujo Y^ y la corriente I^ es lineal. Por tanto, las ecuaciones siguientes suponen que la citada relación es lineal, ya que en el caso de no serlo no serian validas. De la ecuación (5) se tiene:

^ + ( I + ^ ) T :

(21)

Sustituyendo la ecuación (20) en la ecuación (21), teniendo en cuenta (9) y operando se llega a:

P'í's

^x

{X,+CDX)

R.

X. ^ „ -

+ P

*P„ (22)

(24)

v = ®„

3s

+J

^ . + RR^OX

X,(X^+coX) X^

^ h p 0^0%

(^R+^oX) +p »F„ (23)

y la relación entre *Fg y las variables de estado de la máquina queda (ecuación 24):

V + íy. ^ R ^ O ^ e

X^{x^+coX) X,

V J R /

o^X

+ -X. V ' R y

ík(oX

^ + ^ + 7 X^{x^+mX) ^R 1+ ^ V XR) co,X+(R,+jX,)l 5*. (24)

que junto con el resto de las ecuaciones del modelo exacto (ecuaciones (9), (10) y (11)) definen completamente el comportamiento de la máquina.

Si la máquina tiene doble jaula en el rotor, las ecuaciones del estator, equivalentes a las ecuaciones (22) y (23), quedan, ecuaciones (25) y (26):

P% ^ R l / / ^ R 2 (O, 2xj/ (X^JIX^+coX.) ° ' ^m -^R2 V ^ R l ^ R 2 > ' ^ . - R, Rl X + Js T. Rl v ^ R i y-^^Ri X . VXR2 y ^. R2 X, R2 V = X . , / / X Rl ' ' ^^ R2

(x^J/X^+coX)

7T(0% (25) -'^Rl -'^R2 V ^ R i ^ R a ^ * • P , - i?, •Rl U i Rl y + 7'5 Y, Rl X i?. •R2 X

+ P

Y, R2 Rl V ^ R 2 / ^ R 2 X . + yX^ j (26) y la expresión de *Fe en función de las variables de estado, equivalente a la ecuación (24) para el caso de una sola jaula en el rotor, queda, ecuación (27):

V + 6), X^JIX^IIco,^^ K •Rl X + JS v ^ R i y +«, X^JIX^IIco,-^^ vX„ R.

+ >

^ Rl X, Rl + X^J/X^//co,% n D -^Rl I -^R2 + {Rs+JXs) R2 X, + +j V^Rl ^R2'^ ^ R l / / ^ R 2 V X^J IX^^J 1+ ^ « 0 ^ e + M,R,+jX,)l^ (27)

que junto con el resto de las ecuaciones del modelo exacto (ecuaciones (13), (14) y (15)) definen completamente el comportamiento de la máquina.

(25)

2.4 Modelo de Richards [6].

Este modelo ha sido diseñado para corregir las deficiencias del modelo reducido cuando un grupo de máquinas quedan desconectadas de la red. Para obtenerlo, se comienza por descomponer las ecuaciones (8) a (11) del modelo exacto en sus componentes en ejes d-q. Es decir:

(28) ^ e d T^ ^ R d ^ ' ' T R q P^Rá = «O X . X, J P ^ R q = « O ^ R \T/ ^ R VI/ _ „V[/ ^ e q T^ ^Rq "* ^ R d VJÍ'R X . (29) (30) (31) J

En el modelo reducido estándar se hace p^sd ~ P^^'sq = O- En vez de eso se van a pasar estas ecuaciones a coordenadas polares y se va a hacer: p ^ g = O y pG^ = pG^ . Es decir:

^ s ^ s

i?.

/ . T , = « o - ^ ( T , Cos(^, - ^ 0 - ^ , )

pO^ = <»o R. ^P. R -^e

v X ^ ^ ^

S e n ( ^ , - ^ J - 5

(32) (33)

(34)

(35)

Sustituyendo la ecuación (35) en la ecuación (33) y operando se tiene:

i7^3 = O = ^ S e n ( ^ v - ^3) + «o ^ ^ S e n ( ^ , - ^ 3 ) - «„ - «of ^ ^ S e n ( ^ , - ^ J - 5

^<= ^ s ^ s V X j , ^ ,

(33') A continuación se vuelve a pasar a ejes d-q con lo que las ecuaciones del estator quedan (ecuaciones (36) y (37)): />^sd = 0 = F, + «o ^ % , - 6 , 0 ^ ^ 3 , + « 0 ^ 3 , + « 0 ^ 3 , ^ • --.... - - 5 X, U / VI/ _ V f / m ^eq ^Rd ^ed ^Rq R V ^ . (36)

(26)

R. X^

\

R V

(37)

Estas ecuaciones pueden volver a combinarse para operar con fasores quedando:

f¥s = ^-y + (oÁ^X-

+ y(l + Q)pP,)

(38)

siendo:

O =

IA.1^ I

*•

^ R I ^ R (39)

Estas ecuaciones junto con el resto de las ecuaciones del modelo exacto (ecuaciones (9) a (12)) definen completamente el fimcionamiento de la máquina. El factor de corrección Q se utiliza únicamente mientras las máquinas estén desconectadas del resto de la red. Cuando las máquinas están conectadas a la red se utilizan las ecuaciones del modelo reducido estándar. Por este motivo se le puede llamar modelo reducido corregido [6]. En el Apéndice 5 puede verse la extensión a doble jaula realizada por el autor de esta Tesis.

2.5 Modelo mecánico.

Este modelo se utiliza en algunas aplicaciones, en las que no es necesario conocer con mucho detalle la evolución de las variables electromagnéticas de la máquina. En él se desprecian todos los transitorios eléctricos y, por tanto, la única variable de estado que tiene es la velocidad de giro de la máquina. Sus ecuaciones de estator y rotor son respectivamente:

v = MT,+^(T,-^j

(40)

(41)

que junto con el resto de las ecuaciones del modelo exacto (ecuaciones (5), (10) y (11)) determinan completamente el funcionamiento de la máquina.

Si la máquina es de doble jaula la ecuación del rotor se divide en dos, una para cada jaula, que son:

0 = co,(^%-(^ + Js)^,,)

'Rl

(27)

0 = co,i^X-(^ + js)^^) (43)

Y las ecuaciones (5) y (11) se sustituyen respectivamente por las ecuaciones (12) y (13), que junto con el resto de las ecuaciones (ecuación (40) del estator y (10) de la dinámica) definen completamente el comportamiento de la máquina.

3 Aplicaciones de estos modelos.

Obviamente para cualquier estudio transitorio el modelo más preciso es el modelo exacto. No obstante, en algunos casos, en los que está involucrado un número apreciable de motores, no tiene demasiado interés el conocimiento detallado de la evolución de cada máquina individual, sino que lo que se pretende averiguar es el comportamiento del conjunto de motores. En estos casos es posible utilizar, sin errores apreciables, alguno o algunos de los otros modelos obteniendo una reducción notable del tiempo de cálculo necesario.

3.1 Arranque de motores.

En estos estudios se han empleado todos los modelos dependiendo de los resultados que se quieran obtener. Para conocer con detalle los valores máximos del par electromagnético en el arranque es necesario utilizar el modelo exacto porque en los otros modelos no se tiene en cuenta su componente oscilatoria y, por tanto, se pierden sus oscilaciones. Véase por ejemplo [9], [10] y [11]. En todo caso es imprescindible el empleo de modelos de doble jaula.

3.2 Estudios de estabilidad transitoria.

La practica habitual en este tipo de estudios es utilizar el modelo reducido estándar [8]. Hasta tal punto es así que también se conoce este modelo como "modelo de estabilidad transitoria" [12]. Normalmente se emplean modelos de simple jaula.

3.3 Transferencias de alimentación.

A juzgar por el número de artículos publicados sobre este tema en los últimos años existe, recientemente, un gran interés por mejorar los modelos utilizados en este tipo de estudios [3], [12] y [13]. El modelo que mas se ha utilizado, a pesar de que todos los autores reconocen su escasa precisión, es el modelo reducido estándar. El motivo de este éxito se debe a que, normalmente, son varios los motores involucrados en la transferencia y, por tanto, la utilización del modelo exacto dispararia los tiempos de cálculo. Los modelos implícito y corregido, ambos de reciente aparición comparados con los otros dos, pretenden obtener simulaciones mas precisas que las que se pueden realizar con el modelo reducido manteniendo un tiempo de calculo razonablemente bajo.

En el caso de transferencias rápidas los motores experimentan una escasa variación en su velocidad de giro, por ello, pueden emplearse modelos de una sola jaula.

(28)

En las transferencias lentas, por el contrario, es imprescindible el empleo de modelos de doble jaula ya que, al aumentar el tiempo de desconexión, los motores pueden experimentar cambios apreciables en su velocidad de giro, y en ese caso un modelo de simple jaula no representaría de manera adecuada el comportamiento de los motores.

3.4 Conexión y desconexión de generadores de inducción.

En estos estudios se acepta que es innecesario el empleo de modelos de doble jaula [14], [15] y [16]. De Mello et alteri [14] emplean el modelo reducido estándar y no tienen en cuenta la saturación magnética del flujo de entrehierro. Otros autores [15] y [16] emplean el modelo exacto y sí la tienen en cuenta. La saturación magnética del flujo de entrehierro parece tener una importancia notable en el comportamiento de estos generadores, sobre todo, en la autoexcitación y por ello ha de tenerse en cuenta en las simulaciones.

4 Modelos de la saturación magnética.

En esta tesis se va a considerar únicamente la saturación magnética del flujo principal. Por tanto el problema se reduce a relacionar este flujo con la intensidad que lo causa:

^ e - ^ e ( I e )

Esta relación se determina a partir de datos experimentales tomados del ensayo de vacío de la máquina. Algunos autores utilizan directamente el conjunto de datos experimentales con un modelo que podríamos llamar multilineal [10], [11]. Otros autores utilizan estos datos para obtener una curva suave (derívada continua), por ejemplo [16]. Y otros ajustan los datos de los ensayos a una curva de regresión mediante una técnica de mínimos cuadrados, por ejemplo [17]. Todos los autores que han introducido la saturación magnética en las ecuaciones dinámicas han utilizado el modelo exacto por lo que no es necesario que la relación entre el flujo y la intensidad tenga derivada continua. En los modelos en los que es necesario calcular la derivada del flujo con respecto a la corriente, como el implícito, es imprescindible, véase la ecuación (24), la continuidad de la derivada.

En todos los casos se han supuesto una serie de restricciones que ha de tener la relación funcional entre el flujo de entrehierro y la corriente que lo crea en una máquina de inducción:

En primer lugar se va a considerar que esta relación es independiente del tiempo, es decir: X = X{l,)

En segundo lugar se va a considerar, análogamente a lo que se hace en los modelos lineales, que este flujo es no disipativo, es decir que no consume potencia, por tanto se cumplirá que:

0 = P = R e { > o ^ X ¡

Para que esta condición se cumpla es necesario y suficiente que los fasores ^Pg, I^ tengan idéntico argumento o que uno de ellos tenga módulo cero. Dado que la segunda hipótesis es un caso muy particular se puede suponer, en general, que ambos fasores son paralelos. Es decir:

(29)

^ e ( l e ) = ^ e ( l e >

jS

En esta hipótesis el calculo de la derivada con respecto al tiempo del flujo de entrehierro es mucho mas complicado que en el caso lineal como puede verse a continuación: dt dt - . J d^. dlj^- "^o dl^ ^ ^„ di, I . +-I dt I. dt

Si se utiliza la notación habitual en el resto de esta tesis de premultiplicar porp para indicar derivación con respecto al tiempo y se designa con ' a la derivada del flujo con respecto a la corriente que lo crea la ecuación anterior puede expresarse:

PX = "¥'- ^ .

IJ M

Pasando a parte real e imaginaria o lo que es lo mismo volviendo a ejes d-q se tiene:

r

/ ' ^ e . = ^ „ \

Y'Cos'e +-^Sen'e

l e J pKá + \lí _ e SenQ^CosQ^pl^ / ^ ^ e . = *F.

X

í Sev^S^os^^pl^ + ^ „ A T . S e n ' e , + ^ C o s ' e P\

Obsérvese que con esta expresión no es posible operar en complejos, a menos que la relación entre flujo e intensidad sea lineal, lo que complica notablemente los cálculos. En el Apéndice 4 puede verse la relación funcional entre el flujo de entrehierro y la corriente que lo crea que se ha utilizado en esta tesis.

(30)

CAPITULO 3: INTEGRACIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1 Introducción.

El sistema de ecuaciones diferenciales no lineales a que conduce la modelización de un conjunto de máquinas de inducción ha sido resuelto tradicionalmente empleando un algoritmo de integración explícito, más concretamente un Runge-Kutta explícito de cuarto orden. No obstante, también se han empleado algoritmos implícitos tales como Runge-Kutta implícito y algoritmos lineales de paso múltiple. La ventaja de estos últimos es que son mucho más insensibles a la inestabilidad que caracteriza a los sistemas de ecuaciones diferenciales con autovalores muy separados. El inconveniente es que tienen un tiempo de cálculo por paso de integración mucho más alto.

La separación de autovalores que caracteriza a los sistemas de ecuaciones diferenciales que representan conjuntos de maquinas de inducción es de tipo medio según [19] y por tanto el empleo de métodos implícitos de integración numérica de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no esta justificado. En lo que sigue se desarrollara un algoritmo explícito de integración numérica de Runge-Kutta.

2 Métodos de Runge-Kutta.

2.1 Solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Una ecuación de primer orden es, por definición, de la forma:

rix,;;,-f =0 (1)

V dxJ

En esta tesis se van a considerar únicamente aquellas ecuaciones diferenciales que pueden escribirse de manera explícita, es decir:

ax

Se denomina resolver esta ecuación a encontrar una íiinción y(x) que satisfaga la ecuación anterior y una condición inicial determinada. Para obtener la solución numérica de una ecuación diferencial en un intervalo [a,b] de la variable independiente x se divide este intervalo en subintervalos o pasos. El verdadero valor de la solución y(x) se aproxima en n+1 valores de x, (xo,X|,...,Xjj). Obteniendo los n+1 valores de y correspondientes, (yo^Yi, ,yn) mediante algún algoritmo de integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.

2.2 Métodos de Runge-Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta son aproximaciones con exactitud equivalente a los desarrollos de Taylor, del mismo orden, que no requieren la evaluación de derivadas de orden superior al primero. Necesitan, en cambio, la evaluación de las derivadas primeras

(31)

en varios puntos, dependiendo del orden de la formula elegida, del intervalo de integración. Todos los métodos de Runge-Kutta tienen algoritmos de la forma:

yM=yi+h^(xi,y,^h) (3)

En esta expresión, 4), es una aproximación de f(x,y) en el intervalo x, < jc < x¿^, convenientemente elegida. Esta aproximación se obtiene realizando una media ponderada de los valores de f(x,y) en el intervalo [xj,Xj+i] escogida de tal forma que el error sea del mismo orden que el obtenido mediante un desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto Xj. Se desarrolla a continuación, siguiendo a [20], un algoritmo de segundo orden:

Sea:

^ = ak^+ bk^ (4)

Y por tanto:

(5)

(6)

K = f(^i ^pKyi +qhf(Xi.y)) = = f(x,+ph,y,+qhk,)

Donde a, h, p, q son constantes a determinar. Desarrollando kj ^^ serie de Taylor de dos variables, alrededor del punto Xj, yj, y despreciando los términos cuyo exponente en h es mayor que 1 se tiene:

K = f(xi +ph,y, +qhf(x-,y^)) =

= f(x,,y)+phfXx,^y)-^qhf(x„y,)fXx,,y,)+ih']

Sustituyendo las expresiones (6) y (7) en (5) resulta:

yu^-h+^af(x,,y)+bf\x^,y)] + h\bpfXx,,y)+bqf{x,,y;)fXx,,^^^^^

Desarrollando la función y(x), alrededor del punto x¡, en serie de Taylor y utilizando la regla de diferenciación de fimciones implícitas para calcular la derivada

f'(xi,y(xX) se tiene:

y(x, +h) = y(x.^,) = y,,, =y(x,) + hf(x,, y{x.)) +

(7)

+

^[/Á^.yi^.))+/(x. y(x,))fM'yM)]+o{h^)

Igualando potencias de h entre las ecuaciones Potencia deh 0 1 2 Desarrollo de y(x)

y{-.)

f(^.Á^.))

l[fÁ^.Á^i))+fÁ^iA^M^''yi^i))]

(9) '8) y (9) se tiene: Algoritmo de Runge-kutta X {a + b)f{x,,y,) [WÁ^i^yi] + bqfy{xi,y,)f(x,,y¡)] Por tanto: a + b = l bp = bq- 1 (10)

Esto es un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. Para determinarlo se puede elegir una de ellas arbitrariamente. En el Apéndice 6 pueden verse las fórmulas generales de Runge-Kutta de tercer y cuarto orden. No se incluyen fórmulas de orden superior porque puede demostrarse (en la referencia [20] se realiza una cita en donde

(32)

puede verse esta demostración) que requieren un número de evaluaciones de la derivada, en el intervalo de integración, mayor que su orden.

2.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Se denominan sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias a un conjunto de ecuaciones tal como:

dy'

(11)

Su resolución numérica se realiza aplicando paralelamente a cada una de las ecuaciones el algoritmo seleccionado. En este caso existe la posibilidad de que el sistema de ecuaciones diferenciales sea "stiff', es decir rigido. Se dice que un sistema es "stiff' cuando hay dos o más escalas muy diferentes de la variable independiente sobre las cuales cambian las variables dependientes. En este caso la longitud máxima de los pasos de integración necesarios los marca la variable dependiente cuya evolución sea mas rápida produciéndose inestabilidad en la solución en el caso de utilizar una longitud de paso mayor.

3 Optimización de los algoritmos de Runge-Kutta.

Los algoritmos de Runge-Kutta son, para cualquier orden, familias infinitas ya que hay más parámetros que ecuaciones que los liguen; por tanto se puede pensar que habrá alguna elección de parámetros que sea óptima en algún sentido. Esto es lo que se va a buscar en este apartado.

3.1 Maximización de la estabilidad.

Para estudiar la estabilidad de cualquier algoritmo de integración numérica de ecuaciones diferenciales se recurre siempre a analizar su comportamiento con un sistema de ecuaciones diferenciales lineales y homogéneas con condiciones iniciales nulas. Este estudio de estabilidad va a realizarse siguiendo la metodología de la referencia [21]. En este caso las ecuaciones (11) pueden escribirse:

— = A-Y Y(0) = Y„ (12)

dx

La solución de (12) es:

Y(x) = e^Y(0) (13) Si todos los autovalores de A son negativos esta solución tiende a cero al crecer x.

Llamando Y^ a la solución calculada y h al paso de integración (que se supone constante por simplicidad) si el algoritmo es estable al menos cumplirá:

(33)

Si se emplea un algoritmo de Runge-Kutta de segundo orden la expresión de Y^ queda (pueden verse los detalles de su calculo en el Apéndice 7):

{hAf

YXkh)

1 + M + - Yo (15)

Desgraciadamente esta expresión es independiente de la elección de parámetros que se haga en las fórmulas de Runge-Kutta de segundo orden y por tanto no es posible realizar ninguna elección que mejore la estabilidad de los algoritmos de Runge-Kutta. En el Apéndice 7 puede verse, también, que si se utilizan fórmulas de Runge-Kutta de orden tercero y cuarto los resultados son similares.

3.2 Maximización del grado de la integración.

En general, puede decirse que una formula de integración de orden n integra de manera exacta un polinomio de orden n-1, es decir que si se hace la hipótesis de que la ecuación diferencial es de la forma:

dx ^ '

La integración con una formula de orden n es exacta siempre que el polinomio sea de orden n-1. En el caso de las fórmulas de Runge-Kutta, al quedar parámetros libres, estos pueden elegirse de forma que el grado del polinomio que se puede integrar de manera exacta sea lo mayor posible. Dado que todas las fimciones pueden aproximarse con precisión creciente al crecer el grado del polinomio interpolante parece razonable pensar que al hacer esto crecerá también la precisión en la integración numérica de cualquier tipo de función. Desarrollaremos a continuación, con este criterio, la formula de Runge-Kutta de segundo orden:

Sea la siguiente ecuación diferencial:

dx,

' c^^i + '^y ^[c-,x] ^c,x,+c^h

Su integración exacta entre x, y jc, + /? es:

v'"'' ir

Su integración usando una formula de Runge-Kutta de segundo orden es:

^i.x = Yi +/{«(co +c,x, +c^xf)+b[c,+c,{x, +ph) + c^(x, +phf^

Reordenando términos queda:

Y^^y=Y¡+ f^{a + 6)(co + c,x. + c^xf)] + bph'^[c^ + 2c2X^) + hp^h^c^ Igualando términos en h se tiene:

3 1

bp 2 a + b = \

Las dos últimas ecuaciones son iguales a las ya conocidas pero la primera es nueva. Si se resuelve el sistema de ecuaciones se tiene:

(34)

2 3 1

p = —; b = —; c¡ = —; además como p=q están totalmente definidos los parámetros de la

formula de Runge-Kutta de segundo orden.

En el Apéndice 6 pueden verse las fórmulas de tercer y cuarto orden correspondientes.

4 Algoritmo de control de paso.

Para que un algoritmo de integración de ecuaciones diferenciales tenga unas prestaciones óptimas, tanto en velocidad como en precisión, es necesario que utilice un algoritmo eficiente de control de paso. Para ello es necesario realizar una estimación del error cometido en cada paso de integración. Siguiendo a [20] y[22]. El error de truncamiento local de una formula de Runge-Kutta de orden m será:

donde K es ñanción de f(x,y) y sus derivadas. Si se asume que K es constante a lo largo del paso de integración, puede evaluarse el error cometido integrando con paso h y con paso h/2. En ese caso se tiene:

y{x + 2h)=y,+K{2hr'+0(h'"^') y{x + 2h) ^y^+ IKihf"' + O(/Í'"^')

y por tanto:

2 ' " - l

Además es posible utilizar este calculo para mejorar la precisión en la integración con lo que se tiene la siguiente aproximación de orden m+1:

y{x + 2h)=y, + ^-yf^ + 0(h"'^^)

Si se utiliza esta estimación del error para controlar la longitud del paso de integración el procedimiento a seguir es el siguiente:

En primer lugar se fija con algún criterio el máximo error que se va a tolerar. Si el error obtenido en un paso de integración es menor que el especificado se incrementa la longitud del paso en los siguientes de acuerdo con:

1

A = ^

m+l

Si el error obtenido en un paso de integración es mayor que el deseado se repite la integración con otro paso, menor, utilizando la misma formula de antes. Por último se utiliza la formula de orden m+J para continuar con la integración.

5 Conclusiones.

En este capítulo se ha analizado el método de Runge-Kutta explícito de integración numérica de ecuaciones diferenciales. En este análisis se ha intentado encontrar una fórmula óptima basada en maximizar el grado de integración. Se ha presentado también el algoritmo de control del paso de integración que se va a utilizar en las simulaciones.

(35)

CAPITULO 4: SIMULACIONES EFECTUADAS Y

COMPARACIONES ENTRE MODELOS DE MAQUINAS DE

INDUCCIÓN

1 Introducción.

La comparación de modelos tiene, en general, dos aspectos. El primer aspecto es la precisión con que un modelo refleja la realidad y el segundo aspecto es el coste, medido en tiempo de cálculo, de la implantación de dicho modelo. Para evaluar ambos aspectos es necesario utilizar el mismo sistema en todos los modelos que se quieran comparar. No obstante, dado que se van a considerar distintos tipos de estudio, el sistema a simular puede ser diferente en función del tipo de estudio que se vaya a realizar. Por este motivo, antes de realizar las simulaciones, es necesario analizar todos los tipos de estudios dinámicos que se van a considerar en esta Tesis. El objetivo de este análisis es encontrar el sistema que permita evaluar mejor el comportamiento de los modelos en cada tipo de estudio; es decir, el sistema en el que la comparación de modelos se haga en las mejores condiciones posibles mostrando claramente las diferencias de comportamiento de los distintos modelos. Esta determinación se realiza, teniendo en cuenta las características de cada tipo de estudio, en el epígrafe siguiente.

2 Consideraciones previas a la simulación.

El sistema a simular ha de ser tan simple como lo permita el tipo de estudio que se considere, ya que, de no ser así, la complejidad del sistema podría enmascarar el comportamiento de los modelos. En general, se puede hacer una distinción entre los estudios en los que se puede no tener en cuenta la interrelación entre máquinas y aquéllos en los que esa interrelación es la clave del fenómeno que se analiza. En el primer caso el sistema se puede considerar reducido a una sola máquina mientras que en el segundo caso es necesario considerar un sistema compuesto por varias máquinas.

2.1 Arranque de motores.

El arranque de un motor consiste en hacerlo pasar de un estado estacionario de reposo (desconectado de la red) a un estado estacionario de funcionamiento conectado a la red y moviendo una carga especificada. Al estudiar el arranque de un motor o conjunto de motores se pretende conocer, fundamentalmente, los siguientes parámetros: -Tiempo de arranque del motor con la carga especificada.

-Magnitud y duración de la sobreintensidad producida.

-Magnitud y duración del hueco de tensión introducido en la red.

-Magnitud del máximo par que soportan tanto el eje del motor como cualquier elemento que tuviera acoplado.

En cualquier caso, la validez de un modelo para este tipo de estudios es independiente del número de motores ya que ninguno de estos parámetros depende de

(36)

una interrelación entre varias máquinas, a menos que la red sea muy débil, sino que es función de las características de una máquina individual y de las del resto de la red, considerada en su conjunto. Por consiguiente el sistema que se va considerar tiene la representación en un diagrama unifilar que se puede ver en la siguiente figura (Fig.: IV. 1). Z T . -c

EJ ^ (U

W// ^ Fig.: IV.l

Las simulaciones han consistido en aplicar tensión al estator, con condiciones iniciales nulas en todas las variables de estado, y dejar evolucionar el sistema hasta que se alcanza un estado estacionario. La ecuación del estator depende del modelo de máquina que se esté utilizando.

2.2 Estudios de estabilidad transitoria. Huecos de tensión.

En los estudios de estabilidad transitoria se considera un sistema conteniendo máquinas síncronas, así como máquinas de inducción y cargas estáticas. Se hace la hipótesis de que en un momento dado, con el sistema funcionando en estado estacionario, se produce una perturbación que puede motivar la actuación de interruptores, modificando así la configuración inicial del sistema. Durante el funcionamiento con tensión reducida las máquinas síncronas aumentan su ángulo de par y las de inducción pierden velocidad de giro; la estabilidad del sistema depende de que las máquinas sean capaces de alcanzar un estado de funcionamiento en régimen permanente.

Desde el punto de vista de las máquinas de inducción, y en una primera aproximación, este problema es equivalente al de estudiar su comportamiento frente a huecos de tensión. Esto significa que se va a despreciar la interrelación entre máquinas y por consiguiente que no se van a tener en cuenta las oscilaciones de potencia entre los generadores y la carga conectada. Esta simplificación, que a primera vista podría parecer demasiado fuerte, no lo es tanto si se tienen en cuenta los objetivos buscados. Lo que aquí se pretende es determinar la adecuación de un modelo de máquina de inducción para utilizarlo en la realización de estudios de estabilidad transitoria. En estos estudios el modelo mas importante es el de la máquina síncrona y en un segundo nivel de importancia esta la modelización de la carga conectada que esta representada por motores asincronos y cargas estáticas fundamentalmente. En este contexto, y a los

(37)

efectos de la comparación de modelos, se puede simplificar la red exterior a las máquinas de inducción sustituyéndola por su equivalente Thevenin en cada instante.

Se admitirá que TODAS las máquinas tienen que alcanzar un estado de funcionamiento en régimen permanente para que el sistema sea estable. Esto quiere decir que CADA UNA de ellas lo tiene que alcanzar. Por tanto, para ver la adecuación de uno u otro modelo a este tipo de estudios es suficiente considerar un sistema compuesto por una sola máquina. Este sistema parte de un funcionamiento en régimen permanente, y se le hace fiíncionar, durante un breve periodo de tiempo, con tensión reducida para luego recuperar la tensión nominal. Se trata de ver si es posible que la máquina alcance un estado de funcionamiento en régimen permanente. Por consiguiente el sistema que se va a considerar tiene el mismo diagrama unifilar (Fig.: IV. 1) utilizado en las simulaciones de arranque de motores.

En las simulaciones se considera un estado inicial, en régimen permanente, con la máquina conectada a la red y moviendo una carga. Se hace la hipótesis de que se produce una perturbación consistente en un funcionamiento con tensión reducida durante un corto periodo de tiempo y se vuelve luego a las condiciones normales de tensión. Se ha analizado la evolución del sistema para ver cómo se recuperan las condiciones normales de funcionamiento. La ecuación del estator depende del modelo de motor que se esté utilizando.

2.3 Transferencias de alimentación.

Las transferencias de alimentación se producen cuando un grupo de motores (pertenecientes a los sistemas auxiliares de una central generadora o, en general, a una instalación industrial) pasan de estar alimentados desde una barra a estar alimentados desde otra. El procedimiento pasa por desconectar los motores de la primera alimentación, aunque manteniéndolos conectados entre sí, durante un cierto tiempo y reconectarlos luego a la segunda alimentación. El retrasar el instante de reconexión un cierto tiempo se hace para reducir las sobreintensidades y oscilaciones de par que podrían producirse tras la reconexión. En general, se desea conocer, durante el periodo de desconexión de la red, la evolución temporal de la tensión en bornes de los motores, así como de su velocidad de giro, ya que las condiciones de reaceleración de estas máquinas después de la reconexión dependen de esas magnitudes.

En consecuencia, este fenómeno está fuertemente ligado a las interrelaciones entre un grupo de máquinas siendo, por tanto, necesario para poder comparar los diferentes modelos que se pueden emplear en este tipo de estudios considerar un sistema compuesto por varias máquinas. La figura IV.2 muestra el diagrama unifilar del sistema que se va a simular para realizar esta comparación.

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Fig.: IV.2

En estas simulaciones se ha partido de un estado de funcionamiento en régimen permanente y se ha desconectado la barra de la primera alimentación. Pasado el tiempo que corresponda al tipo de transferencia que se considere se vuelve a conectar la barra a la alimentación alternativa y se les deja evolucionar hasta que recuperan sus condiciones normales de funcionamiento.

De las tres estrategias principales que se utilizan para realizar transferencias de alimentación se van a simular solamente dos: transferencia rápida y transferencia lenta. La transferencia "en fase" o síncrona no se simulará porque es un caso intermedio entre las otras dos (el tiempo de desconexión de la barra es intermedio) y, por tanto, las conclusiones que se extraigan de la comparación de modelos para las transferencias rápida y lenta serán también aplicables a la transferencia "en fase", siempre que se siga la evolución, no solo del modulo sino también, de la fase de la tensión residual. Dado que los tiempos durante los que el grupo de motores está desconectado de la red son muy diferentes dependiendo de si la transferencia es lenta o rápida, es posible que haya modelos que tengan un comportamiento adecuado para un tipo de transferencia e inadecuado para el otro.

2.3.1 Transferencia rápida.

El objetivo de la transferencia rápida consiste en reducir al mínimo el periodo en que los motores están desconectados de una alimentación. El valor típico del tiempo de desconexión oscila entre 5 y 10 ciclos.

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2.3.2 Transferencia lenta.

Esta transferencia consiste en mantener el grupo de motores desconectado de toda fuente de alimentación el tiempo suñciente para que su tensión residual haya caído a un valor suficientemente bajo (típicamente entre un 25 y un 30 por ciento de la tensión nominal). Esta operación puede hacerse o bien mediante un dispositivo que mida la tensión residual e impida la reconexión hasta que se alcance ese valor, o bien manteniendo la desconexión un tiempo prefijado. A los efectos de la comparación de modelos resulta más cómodo "realizar la transferencia" manteniendo la desconexión un tiempo prefijado. Ya que, de no hacerlo así, las curvas que representan la evolución con el tiempo de cualquier magnitud, al poder tener instantes de conmutación diferentes, serian difícilmente comparables.

2.4 Conexión y desconexión de generadores de inducción, autoexcitados o no.

La conexión de generadores de inducción se realiza a velocidades de giro muy próximas a la de sincronismo y sus condiciones de funcionamiento nominal corresponden también a velocidades muy próximas a la de sincronismo. Esta característica, funcionamiento a velocidades próximas a la de sincronismo, hace que su modelización no requiera la utilización de rotores de doble jaula. Los estudios transitorios, en este caso, pretenden determinar la evolución temporal de la tensión residual tras la desconexión. En estos estudios tiene una notable importancia la modelización detallada de la saturación magnética en el hierro de la máquina. En este caso, la evolución de la tensión depende de la relación entre la carga que alimenta cada máquina y la potencia de la misma. Por tanto, para evaluar en este contexto los modelos de generadores de inducción, un sistema compuesto por una sola máquina tiene suficiente ínteres. Se representa a continuación la figura rv.3 en la que puede verse un diagrama unifilar del sistema utilizado:

"Th -Th' W

M

^

w

Fig.: IV.3

Las simulaciones realizadas comienzan con la conexión de la máquina a la red con condiciones iniciales nulas salvo la velocidad que es la de sincronismo. Esta conexión se mantiene hasta que se alcanza un funcionamiento en régimen permanente. Una vez alcanzado, se abre el interruptor de alimentación y se deja evolucionar el sistema determinando, fundamentalmente, la evolución de la tensión. Por último.

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