An´
alisis de Vigas Mediante el M´
etodo
de la Rigidez Utilizando Matlab
Ing. Miguel Ra´
ul Guzm´
an Prado
Universidad Nacional de Ingenier´ıa Escuela de Posgrado de la Facultad de Ingenier´ıa Civil Maestr´ıa en Ingenier´ıa Civil con menci´on en Ingenier´ıa Estructural
Exposici´
on de Trabajo del curso
An´
alisis Avanzado de Estructuras.
http://miguelraul123456.wix.com/stran
Contenido
1
Introducci´
on
Descripci´
on de MATLAB
2
Marco Te´
orico
Teor´ıa Para Implementaci´
on del programa STRAN
3
Ejemplo Ilustrativo usando STRAN
Ejemplo Ilustrativo
Discretizaci´
on de la viga
Utilizaci´
on de STRAN para vigas
4
Resultados y Conclusiones
Resultados
Conclusiones
MATLAB
MATLAB The Language of Technical Computing
Es una herramienta de software matem´
atico que ofrece
un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un
lenguaje de programaci´
on propio (lenguaje M) y
servicio de especie.
Entre sus prestaciones b´
asicas se hallan: la
manipulaci´
on de matrices, la representaci´
on de datos y
funciones, la implementaci´
on de algoritmos, la creaci´
on
de interfaces de usuario (GUI) y la comunicaci´
on con
programas en otros lenguajes y con otros dispositivos
hardware.
Textos Para Implementaci´
on del programa STRAN
AN ´
ALISIS ESTRUCTURAL por R. C. HIBBELER
Ideal para iniciar con el an´
alisis matricial y establecer la
matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales.
INTEGRATED MATRIX ANALYSIS OF STRUCTURES Theory and
Computation by Mario Paz and William Leigh
Ampliaci´
on del ensamblaje de matrices de rigidez al vector
de fuerzas de la estructura en coordenadas globales.
Textos Para Implementaci´
on del programa STRAN
Matrix Analysis of Structures by Aslam Kassimali
Inclusi´
on de asentamientos en el an´
alisis matricial de
estructuras y gran n´
umero de ejemplos ilustrativos para
realizar comparaciones de resultados.
INTRODUCCI ´
ON AL AN ´
ALISIS ESTRUCTURAL CON MATRICES por
Hayrettin Kardestuncer
Coeficientes de empotramiento para cargas distribuidas
uniformes y trapezoidales; momentos flexionantes y
torsionantes; as´ı como tambi´
en para fuerzas axiales y
cortantes.
Textos Para Implementaci´
on del programa STRAN
MEC ´
ANICA DE MATERIALES por R. C. HIBBELER
Funciones de singularidad para el tratamiento de cargas
distribuidas trapezoidales y uniformes; momentos
flexionantes y torsionantes; as´ı como tambi´
en fuerzas
puntuales y cortantes.
M´
etodos num´
ericos para ingenieros por Steven C. Chapra y Raymond P.
Canale
Integraci´
on del diagrama de fuerza cortante y pendiente
para la obtenci´
on del diagrama de momentos y curva
el´
astica respectivamente.
Ejemplo Ilustrativo
Para la viga mostrada en la figura, usando el programa STRAN obtener:
1
las matrices de rigidez para cada elemento y la matriz de rigidez global.
2
Reacciones en los soportes y desplazamientos desconocidos.
3
Fuerzas y Momentos extremos de cada elemnto de la estructura.
4
Diagramas de Fuerza Cortante, Momento Flexionante, Pendiente de la
Curva El´
astica y Curva El´
astica.
El m´
odulo de elasticidad del material es E = 23000 MPa y el momento de
inercia de la secci´
on transversal para el primer y segundo tramo es 0.8 I =
0.009144 m
4, para el tercer tramo 2 I = 0.02286 m
4y para el ´
ulrimo tramo
es I = 0.01143 m
4.
Discretizaci´
on de la viga
Para la viga mostrada anteriormente:
1
Los n´
umeros en las flechas situadas en los nodos representan los
n´
umeros de grados de libertad.
2
Los n´
umeros encerrados en un c´ırculo representan a los nodos.
3
Los n´
umeros encerrados en un cuadrado representan a los miembros.
4
Las flechas en los miembros indican la orientaci´
on del elemento
respecto a sus ejes locales.
5
El origen de coordenadas se considera en el extremo izquierdo.
Ventana de Inicio del programa STRAN para vigas
Selecci´
on de unidades de trabajo
Pesta˜
na de Archivo
Pesta˜
na de Ingreso de datos
Pesta˜
na de Salida de datos
N´
umeros de Grados de Libertad y Relaci´
on de Nodos
Ctrl + C
# de nodo # de grado de libertad en X # de grado de libertad en Y
1 1 2 2 6 3 3 7 4 4 8 5 5 9 10
Ctrl + D
# de miembro # de nodo cercano # de nodo lejano
1 1 2
2 2 3
3 3 4
4 4 5
Relaci´
on de Grados y Coordenadas
Ctrl + E
# de miembro # de gdlcX # de gdlcY # de gdllX # de gdllY
1 1 2 6 3
2 6 3 7 4
3 7 4 8 5
4 8 5 9 10
Ctrl + F
# de nodo Coordenada en X Coordenada en Y
1 1 2
2 2 3
3 3 4
4 4 5
Geometr´ıa de Miembros y Matriz de Cargas
Ctrl + E
# de miembro M´odulo de Elasticidad E Momento de Inercia I
1 23000 0.009144
2 23000 0.009144
3 23000 0.02286
4 23000 0.01143
Ctrl + F
# de grado de libertad Fuerza
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
Matriz de desplazamientos conocidos
Ctrl + I
# de grado de libertad desplazamiento conocido
6 0
7 0
8 0
9 0
10 0
Conenci´
on de signos para cargas y momentos (↓ −) ( +)
Cargas en los elementos
Ctrl + J
Cargas Puntuales Concentradas # de miembro L1 L2 W
3 9 3 -15
Cargas Distribuidas Trapezoidales # de miembro L1 L2 L w1 w2 1 0 0 2 -1.2 -1.2 2 0 0 8 -5.2 -5.2 3 0 6 12 -5.2 -5.2 3 6 0 12 -1.2 -1.2 4 0 0 9 -1.2 -1.2 Momentos Concentrados # de miembro L1 L2 W 4 2.25 6.75 18 Restricciones # de nodo # de restricci´on 1 0 2 4 3 4 4 4 5 2
Idealizaci´
on de la Estructura (Ctrl + K)
Estructura con Cargas de Servicio (Ctrl + L)
Matriz de Rigidez
Ctrl + M
Matriz de Rigidez de la Estructura
3.1547e+05 3.1547e+05 3.1547e+05 0 0 -3.1547e+05 0 0 0 0 3.1547e+05 4.2062e+05 2.1031e+05 0 0 -3.1547e+05 0 0 0 0 3.1547e+05 2.1031e+05 5.2578e+05 5.2578e+04 0 -2.9575e+05 -1.9717e+04 0 0 0 0 0 5.2578e+04 280416 87630 1.9717e+04 2.1908e+03 -2.1908e+04 0 0 0 0 0 87630 292100 0 2.1908e+04 -2.4342e+03 -1.9473e+04 58420 -3.1547e+05 -3.1547e+05 -2.9575e+05 1.9717e+04 0 3.2040e+05 -4.9292e+03 0 0 0
0 0 -1.9717e+04 2.1908e+03 2.1908e+04 -4.9292e+03 8.5804e+03 -3.6513e+03 0 0 0 0 0 -2.1908e+04 -2.4342e+03 0 -3.6513e+03 7.9787e+03 -4.3274e+03 1.9473e+04 0 0 0 0 -1.9473e+04 0 0 -4.3274e+03 4.3274e+03 -1.9473e+04
0 0 0 0 58420 0 0 1.9473e+04 -1.9473e+04 116840
Matrices de rigidez de cada elemento
Ctrl + M
Matriz de Rigidez del elemento 1 315.4680 315.4680 -315.4680 315.4680 315.4680 420.6240 -315.4680 210.3120 -315.4680 -315.4680 315.4680 -315.4680 315.4680 210.3120 -315.4680 420.6240
Matriz de Rigidez del elemento 2 4.9292 19.7167 -4.9192 19.7167 19.7167 105.1560 -19.7167 52.5780 -4.9292 -19.7167 4.9192 -19.7167 19.7167 52.5780 -19.7167 105.1560
Matriz de Rigidez del elemento 3 3.6512 21.9075 -3.6512 21.9075 21.9075 175.2600 -21.9075 87.6300 -3.6512 -21.9075 3.6512 -21.9075 21.9075 87.6300 -21.9075 175.2600
Matriz de Rigidez del elemento 4 4.3274 19.4733 -4.3274 19.4733 19.4733 116.8400 -19.4733 58.4200 -4.3274 -19.4733 4.3274 -19.4733 19.4733 58.4200 -19.4733 116.8400
Desplazamientos y Reacciones desconocidas
Ctrl + N
Nodo Desplazamiento desconocido
1 0.3368 2 -0.1665 3 -0.1741 4 -0.1336 5 0.2112
Ctrl + O
# de grado de libertad Reacci´on desconocida
6 17.1332
7 57.6112
8 34.4185
9 -0.9629
10 9.8636
Fuerzas de extremo de los elementos (Convenci´
on de signos (↓ −) ( +))
Ctrl + P
Fuerzas de Extermo de los elementos
Ctrl + P
Fuerzas de extremo del elemento 1 Fuerza Cercana 2.5535e-14 Momento Cercano 2.9809e-14 Fuerza Lejana 2.4000 Momento lejano -2.4000
Fuerzas de extremo del elemento 2 Fuerza Cercana 2.5535e-14 Momento Cercano 14.7332
Fuerza Lejana 26.8668 Momento lejano -50.9348
Fuerzas de extremo del elemento 3 Fuerza Cercana 30.7444 Momento Cercano 50.9348 Fuerza Lejana 22.6556 Momento lejano -29.4021
Fuerzas de extremo del elemento 4 Fuerza Cercana 11.7629 Momento Cercano 29.4021 Fuerza Lejana -0.9629 Momento lejano 9.8636
