Sistemas de n ecuaciones con n inc´
ognitas
Matrices cuadradas y determinantes
´ Algebra
Araceli Guzm´
an y Guillermo Garro
Facultad de Ciencias UNAM
Semestre 2018-1
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
Las preguntas que debemos responder son
1. ¿El sistema tiene soluci´on?
2. De ser as´ı, ¿cu´antas soluciones tiene?
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´An´
alisis Geom´
etrico: Ecuaci´
on General de la Recta
Recordemos que la ecuaci´on general de la recta en R2 est´a dada por Ax + By = C, con A2+ B2> 0.
La condici´on A2+ B2> 0 se usa para garantizar que al menos una de las constantes A ´o B es distinta de cero.
Si B = 0, se trata de una recta vertical que pasa por el punto CA, 0
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´An´
alisis Geom´
etrico: Ecuaci´
on General de la Recta
Recordemos que la ecuaci´on general de la recta en R2 est´a dada por Ax + By = C, con A2+ B2> 0.
La condici´on A2+ B2> 0 se usa para garantizar que al menos una de las constantes A ´o B es distinta de cero
Si B 6= 0, cualesquiera dos pun-tos (x1, y1) y (x2, y2) en la recta cumplen y2− y1 x2− x1 = −A B. El n´umero m = −BA es llamado pendiente, y el n´umero b =C B se llama ordenada al origen.
An´
alisis Geom´
etrico: Ecuaci´
on General de la Recta
(I)(
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones
Si a y b no son ambas cero, y c y d no son ambas cero, el sistema (I) implica dos rectas en el plano.
No soluci´on
Rectas paralelas distintas
Una soluci´on Rectas no paralelas
Infinitas soluciones Rectas (paralelas) iguales
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones. Casos triviales
Supongamos que a = 0 = b.
Entonces la ecuaci´on (1) se transforma en la igualdad 0x + 0y = e. Luego, hay dos casos, a saber, e 6= 0 y e = 0.
Si e 6= 0 entonces el sistema es incosistente, o sea, no tiene soluci´on.
Si e = 0, entonces la ecuaci´on (1) implica todo el plano R2. En efecto, cualquier punto (x, y) ∈ R2satisface 0x + 0y = 0.
En ese caso, todos los puntos que cumplen (2) tambi´en cumplen (1).
Pero (2) es un plano o una recta, o bien es inconsistente (seg´un si los coeficientes c y d son ambos ceros o no, y si f = 0 ´o f 6= 0).
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I)(
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad − bc 6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casos a = 0 = b ´o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Supongamos que a y b no son ambas cero, y lo mismo para c y d. Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y s´olo si ad − bc = 0.
[⇒]Supongamos que (1) y (2) son rectas paralelas.
Si b = 0, (1) es una recta vertical. Por lo que d = 0. Y entonces ad − bc = 0.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad − bc 6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Supongamos que a y b no son ambas cero, y lo mismo para c y d. Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y s´olo si ad − bc = 0.
[⇒]Supongamos que (1) y (2) son rectas paralelas.
Si b 6= 0, entonces d 6= 0, por lo que podemos despejar y de ambas ecuaciones,
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I)(
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad − bc 6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Supongamos que a y b no son ambas cero, y lo mismo para c y d. Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y s´olo si ad − bc = 0.
[⇒]Supongamos que (1) y (2) son rectas paralelas.
Y como las rectas son paralelas, deben tener misma pendiente, esto es, ab = cd. Luego ad − bc = 0.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad − bc 6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Supongamos que a y b no son ambas cero, y lo mismo para c y d. Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y s´olo si ad − bc = 0.
[⇐]Supongamos que ad − bc = 0.
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I)(
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad − bc 6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Supongamos que a y b no son ambas cero, y lo mismo para c y d. Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y s´olo si ad − bc = 0.
[⇐]Supongamos que ad − bc = 0.
Supongamos que b 6= 0. Si d = 0 entonces c = 0. Contradicci´on. De modo que d 6= 0. Luego, ab =dc, esto es las pendientes de las rectas (1) y (2) son iguales.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema : Regla de Cramer
El sistema (I) tiene soluci´on ´unica si y s´olo si ad − bc 6= 0. En cuyo caso la soluci´on (x, y) est´a dada por las f´ormulas
x =de − bf
ad − bc y y =
af − ce
ad − bc. (∗)
Solo hay que verificar que las f´ormulas (∗) resuelvene el sistema (I): (1) ax + by = ade − bf
ad − bc+ b af − ce ad − bc =
ade − abf + abf − bce
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I)(
ax + by = e (1) cx + dy = f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema : Regla de Cramer
El sistema (I) tiene soluci´on ´unica si y s´olo si ad − bc 6= 0. En cuyo caso la soluci´on (x, y) est´a dada por las f´ormulas
x =de − bf
ad − bc y y =
af − ce
ad − bc. (∗)
Solo hay que verificar que las f´ormulas (∗) resuelvene el sistema (I): (2) cx + dy = cde − bf
ad − bc+ d af − ce ad − bc=
cde − bcf + adf − cde
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Ejemplo: A veces hay caminos m´
as cortos
Sea el sistema
(
x + y = 3 (1) x + 2y = −8 (2)
Hacemos la diferencia de la ecuaci´on (2) menos la ecuaci´on (1), para obtener
y = −11.
Sustituimos este valor en la ecuaci´on (1), x + (−11) = 3 ⇔ x − 11 = 3
⇔ x = 3 + 11 ⇔ x = 14. Soluci´on ´unica del sistema: (14, −11).
Ejemplo: Las f´
ormulas siempre son efectivas
Sea el sistema(
3x − 7y = −5 (1) 4x − 3y = −2 (2)
De acuerdo al teorema de existencia y unici-dad, x =(−5)(−3) − (−7)(−2) 3(−3) − (−7)(4) = 1 19 y =3(−2) − (−5)(4) 3(−3) − (−7)(4) = 14 19. Soluci´on ´unica del sistema:
1 19, 14 19 .
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Ejemplo: Siempre podemos elegir el mejor camino a seguir. La clave: el
m´ınimo esfuerzo
Sea el sistema (I) ( 9x − 3y = −3 (I.1) −2x + 4y = 1 (I.2) Multiplicamos (I.1) por 29 para obtener el sis-tema equivalente:
(II) (
2x −23y = −23 (II.1) −2x + 4y = 1 (II.2) Sumamos (II.1) y (II.2) para obtener
10 3 y = 1 3 ⇔ y = 1 10. Sustituimos este valor en (II.2),
−2x + 41 10= 1 ⇔ −2x = 3 5⇔ x = − 3 10.
Uso de software: Octave
Sea el sistema(
x + y = 3 (1) x + 2y = −8 (2)
El c´odigo en Octave para resolver este sistema, como sistema de ecuaciones simb´olicas, es como sigue > pkg l o a d s y m b o l i c > s y m s x y > e q n 1 = x + y = = 3 ; > e q n 2 = x +2* y == -8; > s o l v e ( eqn1 , eqn2 , x , y ) ans = s c a l a r s t r u c t u r e c o n t a i n i n g the f i e l d s : x = ( sym ) 14 y = ( sym ) -11 > e q n 1 = e z p l o t ( ’ x + y -3 ’ ,[ -20 20 -20 2 0 ] ) ; > set ( eqn1 , ’ c o l o r ’ ,[1 0 0]) > h o l d on > e q n 2 = e z p l o t ( " x +2* y +8 " ,[ -20 20 -20 2 0 ] ) ; > t i t l e ( " S o l u c i o n del s i s t e m a " ); > l e g e n d ( ’ x + y =3 ’ , ’ x +2 y = -8 ’ )
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de 2 × 2
Una matriz cuadrada de tama˜no 2, es una arreglo de 4 n´umeros ordenados en 2 renglones
(filas) y 2 columnas:
A =a11 a12 a21 a22
Los n´umeros aij son llamados componentes (entradas o coeficientes) de la matriz A. Espec´ıficamente, para cada 1 ≤ i ≤ 2 y 1 ≤ j ≤ 2, aijes la ij-componente de A.
Es com´un tambi´en la notaci´on
A = (Aij)2 o bien A = (aij)2×2 o bien A = (aij)1≤i,j≤2. Dos matrices cuadradas de tama˜no 2, A = (aij)2 y B = (bij)2, son igualessi y s´olo si aij= bij, para todo 1 ≤ i, j ≤ 2.
Ejemplos
Las siguientes son matrices de 2 × 2 1 2 0 1 , −1 0 1 0 , 0 0 0 0 , 0 0 π 0 , 2 3 −2 −3
Matrices y determinantes de 2 × 2
La matriztranspuestade una matriz A = (aij)2 es la matriz AT=a11 a21
a12 a22
Es decir, ATest´a formada por el intercambio de renglones por columnas de A. Podemos usar la notaci´on AT= (aT
ij)2 donde aTij= ajipara todas 1 ≤ i, j ≤ 2.
Ejemplos 1 2 0 1 T =12 01 , −11 00 T =−10 10 , 00 00 T =00 00 , 0 0 π 0 T =0 π 0 0 , 2 3 −2 −3 T = 2 −2 3 −3
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de 2 × 2
Eldeterminantede una matrriz A = (aij)2×2de 2 × 2 es el n´umero
|A| = a11 a12 a21 a22 = a11a22− a12a21. Ejemplos 1 2 0 1 = 1, −1 0 1 0 = 0, 0 0 0 0 = 0, 0 0 π 0 = 0, 2 3 −2 −3 = 0
Matrices y determinantes de 2 × 2
TeoremaDada una matriz A = (aij)2×2,
|AT| = |A| Demostraci´on. |AT| = a11 a21 a12 a22 = a11a22− a21a12= a11 a12 a21 a22 = |A|.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de 2 × 2
TeoremaDados n´umeros reales aij, 1 ≤ i, j ≤ 2, a11 a12 a21 a22 = − a21 a22 a11 a12 y a11 a12 a21 a22 = − a12 a11 a22 a21
Esto es, si alternamos renglones o columnas, el determinante cambia de signo.
Demostraci´on. a11 a12 a21 a22 = a11a22− a12a21 = − (a12a21− a11a22) = − a21 a22 a11 a12
Operaciones con matrices de 2 × 2
Si λ ∈ R, definimos elproducto por un escalarcomo λA = λa11 a12 a21 a22 =λa11 λa12 λa21 λa22 En notaci´on abreviada λA = (λaij)2×2 Ejemplos 5 2 −3 −1 0 = 10−5 −15 0 , − 2 −3 −1 0 =−2 3 1 0
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 2 × 2
Lasuma de dos matricesA = (aij)2×2y B = (bij)2×2es la matriz
A + B =a11 a12 a21 a22 +b11 b12 b21 b22 =a11+ b11 a12+ b12 a21+ b21 a22+ b22 En notaci´on abreviada A + B = (aij+ bij)2×2 Ejemplos 1 2 0 1 +−1 0 1 0 =0 2 1 1 4 7 −5 1 −−1 −2 1 7 = 5 9 −6 −6
Operaciones con matrices de 2 × 2
Elproducto de dos matricesA = (aij)2×2y B = (bij)2×2es la matriz
AB =a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 =a11b11+ a12b21 a11b12+ a12b22 a21b11+ a22b21 a21b12+ a22b22 En notaci´on abreviada AB = (ai1b1j+ ai2b2j)2×2. Ejemplos 2 3 5 6 2 0 0 1 = 4 3 10 6 , 1 5 0 1 1 −3 2 3 =11 12 2 3
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 2 × 2
Si x =x y
es un vector columna en R2 y A = (a
ij)2×2es una matriz cuadrada de tama˜no 2, entonces tambi´en definimos los siguientes productos
xTA = x ya11 a12 a21 a22 = a11x + a21y a12x + a22y Ax =a11 a12 a21 a22 x y =a11x + a12y a21x + a22y
Observe que xTA es un vector rengl´on y Ax es un vector columna.
Ejemplo Sea x =2 0 y sea A =−1 −3 2 0 . Entonces xTA = 2 0−1 −3 2 0 = 0 −3 Ax =−1 −3 2 0 2 0 =−2 4
Operaciones con matrices de 2 × 2
Teorema : Propiedades asociativasSean A = (aij)2×2, B = (bij)2×2y C = (cij)2×2matrices cuadradas de tama˜no 2. Entonces (A + B) + C = A + (B + C) y (AB)C = A(BC). Demostraci´on. (A + B) + C =a11 a12 a21 a22 +b11 b12 b21 b22 +c11 c12 c21 c22 =a11+ b11 a12+ b12 a21+ b21 a22+ b22 +c11 c12 c21 c22 =(a11+ b11) + c11 (a12+ b12) + c12 (a21+ b21) + c21 (a22+ b22) + c22 =a11+ (b11+ c11) a12+ (b12+ c12) a21+ (b21+ c21) a22+ (b22+ c22) =a11 a12 a21 a22 +b11+ c11 b12+ c12 b21+ c21 b22+ c22 =a11 a12 a21 a22 +b11 b12 b21 b22 +c11 c12 c21 c22 = A + (B + C).
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 2 × 2
Teorema : Propiedades distributivas
Sean A = (aij)2×2, B = (bij)2×2y C = (cij)2×2matrices cuadradas de tama˜no 2. Entonces
A(B + C) = AB + BC y (B + C)A = BA + CA.
Demostraci´on. A(B + C) =a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 +c11 c12 c21 c22 =a11 a12 a21 a22 b11+ c11 b12+ c12 b21+ c21 b22+ c22 =a11(b11+ c11) + a12(b21+ c21) a11(b12+ c12) + a12(b22+ c22) a21(b11+ c11) + a22(b21+ c21) a21(b12+ c12) + a22(b22+ c22) =(a11b11+ a12b21) + (a11c11+ a12c21) (a11b12+ a12b22) + (a11c12+ a12c22) (a21b11+ a22b21) + (a21c11+ a22c21) (a21b12+ a22b22) + (a21c12+ a22c22) =a11b11+ a12b21 a11b12+ a12b22 a21b11+ a22b21 a21b12+ a22b22 +a11c11+ a12c21 a11c12+ a12c22 a21c11+ a22c21 a21c12+ a22c22 =a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 +a11 a12 a21 a22 c11 c12 c21 c22
Una propiedad relevante
TeoremaSean A = (aij)2×2y B = (bij)2×2matrices. Entonces |AB| = |A||B|. Demostraci´on. |AB| = a11b11+ a12b21 a11b12+ a12b22 a21b11+ a22b21 a21b12+ a22b22 = (a11b11+ a12b21)(a21b12+ a22b22) − (a11b12+ a12b22)(a21b11+ a22b21) = a11a21b11b12+ a11a22b11b22+ a12a21b12b21+ a12a22b21b22 − a11a21b11b12− a11a22b12b21− a12a21b11b22− a12a22b21b22 = a11a22(b11b22− b12b21) − a12a21(b11b22− b12b21) = (a11a22− a12a21)(b11b22− b12b21) = |A||B|.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Una propiedad relevante
CorolarioSean A = (aij)2×2y B = (bij)2×2matrices. Entonces |AB| = |BA|.
Pero no es lo mismo...
Este corolario no dice que se cumpla la igualdad AB = BA.
Se deja como ejercicio al estudiante comprobar con un ejemplo que esta igualdad no se cumple en general.
Operaciones con matrices
Teorema Si A = (aij)2×2es una matriz y λ ∈ R, |λA| = λ2|A|. En particular, | − A| = |A|. Demostraci´on. |λA| = λa11 λa12 λa21 λa22= λa11λa22− λa12λa21 = λ2(a11a22− a12a21) = λ2|A|.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices
Teorema
Sean a, b, c, d y λ n´umeros reales. a b λc λd = λ a b c d Demostraci´on. a b λc λd = λad − λbc = λ(ad − bc) = λ a b c d Teorema
Sean a, b, c, d y λ n´umeros reales. a λb c λd = λ a b c d Demostraci´on. a λb c λd = a c λb λd = λ a c b d = λ a b c d
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas: λa λb c d = λ a b c d y λa b λc d = λ a b c d
Operaciones con matrices
TeoremaSean a, b, c, d y λ n´umeros reales. a b λc λd = λ a b c d Demostraci´on. a b λc λd = λad − λbc = λ(ad − bc) = λ a b c d Teorema
Sean a, b, c, d y λ n´umeros reales. a λb c λd = λ a b c d Demostraci´on. a λb c λd = a c λb λd = λ a c b d = λ a b c d
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas: λa λb c d = λ a b c d y λa b λc d = λ a b c d
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices
Teorema
Sean a, b y λ n´umeros reales. a b λa λb = 0 Demostraci´on. a b λa λb = λab − λab = 0. Corolario
Sean a, b y λ n´umeros reales. a λa b λb = 0
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas: λa λb a b = 0 y λa a λb b = 0
Operaciones con matrices
TeoremaSean a, b y λ n´umeros reales. a b λa λb = 0 Demostraci´on. a b λa λb = λab − λab = 0. Corolario
Sean a, b y λ n´umeros reales. a λa b λb = 0
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas: λa λb a b = 0 y λa a λb b = 0
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Sean a, b, u1, u2, v1y v2n´umeros reales. Entonces a b u1+ v1 u2+ v2 = a b u1 u2 + a b v1 v2 Demostraci´on. a b u1+ v1 u2+ v2 = a(u2+ v2) − b(u1+ v1) = au2+ av2− bu1− bv1 = au2− bu1+ av2− bv1 = a b u1 u2 + a b v1 v2
Una interesante propiedad de linealidad
TeoremaSean a, b, u1, u2, v1y v2n´umeros reales. Entonces a b u1+ v1 u2+ v2 = a b u1 u2 + a b v1 v2
Pero no es lo mismo...
Este resultado no dice que se cumpla la igualdad a b u1+ v1 u2+ v2 = a b u1 u2 + a b v1 v2
Dejamos al estudiante que compruebe con un ejemplo que esta igualdad no se cumple en general.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Sean a, c, u1, u2, v1y v2n´umeros reales. Entonces a u1+ v1 c u2+ v2 = a u1 c u2 + a v1 c v2 Demostraci´on. a u1+ v1 c u2+ v2 = a c u1+ v1 u2+ v2 = a c u1 u2 + a c v1 v2 = a u1 c u2 + a v1 c v2
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas: u1+ v1 u2+ v2 a b = u1 u2 a b + v1 v2 a b u1+ v1 a u2+ v2 b = u1 a u2 b + v1 a v2 b
Una interesante propiedad de linealidad
TeoremaSean a, c, u1, u2, v1y v2n´umeros reales. Entonces a u1+ v1 c u2+ v2 = a u1 c u2 + a v1 c v2 Demostraci´on. a u1+ v1 c u2+ v2 = a c u1+ v1 u2+ v2 = a c u1 u2 + a c v1 v2 = a u1 c u2 + a v1 c v2
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas: u1+ v1 u2+ v2 a b = u1 u2 a b + v1 v2 a b u1+ v1 a u2+ v2 b = u1 a u2 b + v1 a v2 b
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´El determinante como ´
area dirigida en R
2Teorema
Sean a y b n´umeros reales no ambos cero, y c y d n´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a |ad − bc|.
El determinante como ´
area dirigida en R
2Teorema
Sean a y b n´umeros reales no ambos cero, y c y d n´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a |ad − bc|.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´El determinante como ´
area dirigida en R
2Teorema
Sean a y b n´umeros reales no ambos cero, y c y d n´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a |ad − bc|.
El determinante como ´
area dirigida en R
2Teorema
Sean a y b n´umeros reales no ambos cero, y c y d n´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a |ad − bc|.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´El determinante como ´
area dirigida en R
2Teorema
Sean a y b n´umeros reales no ambos cero, y c y d n´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a |ad − bc|.
Vectores parelelos y determinantes
TeoremaSean a, b, c y d n´umeros reales. Si a b c d = 0
entonces los vectores rengl´on (a, b) y (c, d) son paralelos, o bien, los vectores columna (a, c) y (c, d) son paralelos.
Demostraci´on.
Supongamos que ad = bc. Podemos analizar dos casos, a saber
Caso I. d = 0. En tal caso ad = 0 y por tanto bc = 0. En cuyo caso, b = 0 o bien c = 0. Si c = 0, entonces obviamente
(c, d) = (0, 0) = 0 · (a, b). Si b = 0, se sigue igualmente
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Vectores parelelos y determinantes
Teorema
Sean a, b, c y d n´umeros reales. Si a b c d = 0
entonces los vectores rengl´on (a, b) y (c, d) son paralelos, o bien, los vectores columna (a, c) y (c, d) son paralelos.
Demostraci´on.
De la hip´otesis se sigue que ad = bc. Hay dos casos, a saber
Caso II. d 6= 0. En tal caso despejamos a en la igualdad ad = bc, para obtener que a = dcb. Por lo tanto, (a, b) =c db, c d = b a(a, c).
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistema (I) ( a11x1+ a12x2= b1 a12x1+ a22x2= b2 Hacemos la matriz A =a11 a12 a21 a22 . La matriz A es llamadamatriz de coeficientesdel sistema (I). Tambi´en definimos los vectores columna
x =x y y b =b1 b2 , entonces podemos representar (I), con la ecuaci´on matricial
Ax = b. Esto es a11 a12 a21 a22 x y =b1 b2 .
Realizando c´alculos directos, se puede comprobar f´acilmente Ax = b ⇔ xTAT= bT.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistema (I) ( a11x1+ a12x2= b1 a12x1+ a22x2= b2 Hacemos la matriz A =a11 a12 a21 a22 . La matriz A es llamadamatriz de coeficientesdel sistema (I). Tambi´en definimos los vectores columna
x =x y y b =b1 b2 , entonces podemos representar (I), con la ecuaci´on matricial
Ax = b. Esto es a11 a12 a21 a22 x y =b1 b2 .
De otra manera...
Realizando c´alculos directos, se puede comprobar f´acilmente Ax = b ⇔ xTAT= bT.
Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistema Ax = b, es decir,a11 a12 a21 a22 x y =b1 b2 . (1)
Definimos las matrices A1= b1 a12 b2 a22 y A2= a11 b1 a21 b2.
Con estos conceptos reformulamos... Teorema : Regla de Carmer
El sistema (1) tiene soluci´on ´unica si y s´olo si,
|A| = a11a22− a12a216= 0. En cuyo caso, la soluci´on (x, y) est´a dada por
x =|A1| |A| = a22b1− a12b2 a11a22− a12a21 y y = |A2| |A| = a11b2− a21b1 a11a22− a12a21 .
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices inversas
Dada la matriz cuadradaA =aa11 a12 21 a22
, decimos que una matriz
B =b11 b12 b21 b22 es lainversade A si AB = BA = I2 donde I2=1 0 0 1
es lamatriz identidadde tama˜no 2.
Matrices inversas
¿Por qu´e I2 se llama matriz identidad? Teorema
Dada una matriz A = (aij)2×2,
AI2= I2A = A. Demostraci´on. AI2= a11 a12 a21 a22 1 0 0 1 =a11· 1 + a12· 0 a11· 0 + a12· 1 a21· 1 + a22· 0 a21· 0 + a22· 1 =a11 a12 a21 a22 = A. An´alogamente se prueba I2A = A.
Teorema
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices inversas
La nomenclatura queda justificada por el siguiente Teorema
Si A = (aij)2×2es una matriz invetible, s´olo hay una ´unica inversa de A.
Demostraci´on.
Sean B y B0matrices inversas de A. Tenemos
B = BI2= B(AB0) = (BA)B0= I2B0= B0.
Usamos A−1para denotar la matriz inversa de A. Teorema
Matrices inversas
TeoremaUna matriz A = (aij)2×2es invetible si y s´olo si |A| = a11a22− a12a216= 0.
Demostraci´on.
Consideremos una matriz B =x1 x2 y1 y2
. Entonces por definici´on de producto de matrices,
AB =a11 a12 a21 a22 x1 x2 y1 y2 =a11x1+ a12y1 a11x2+ a12y2 a21x1+ a22y1 a21x2+ a22y2
Por lo tanto, AB = I2 si y s´olo si
a11x1+ a12y1= 1 a11x2+ a12y2= 0 a21x1+ a22y1= 0 a21x2+ a22y2= 1 Ambos sistemas tienen soluci´on ´unica si y s´olo si
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices inversas
De hecho, si resolvemos los sistemas
a11x1+ a12y1= 1 a11x2+ a12y2= 0 a21x1+ a22y1= 0 a21x2+ a22y2= 1 tenemos x1= a22 a11a22− a12a21 x2= − a12 a11a22− a12a21 y1= − a21 a11a22− a12a21 y2= a11 a11a22− a12a21 Por tanto, A−1= 1 a11a22− a12a21 a22 −a12 −a21 a11 . La matriz adj(A) = a22 −a12 −a21 a11
se llama(matriz) adjunta (cl´asica)de A.
Matriz inversa
Tenemos una primera f´ormula para la matriz inversa de una matriz invertible A = (aij)2×2:
A−1= 1 |A|adj(A).
Matrices inversas
De hecho, si resolvemos los sistemas
a11x1+ a12y1= 1 a11x2+ a12y2= 0 a21x1+ a22y1= 0 a21x2+ a22y2= 1 tenemos x1= a22 a11a22− a12a21 x2= − a12 a11a22− a12a21 y1= − a21 a11a22− a12a21 y2= a11 a11a22− a12a21 Por tanto, A−1= 1 a11a22− a12a21 a22 −a12 −a21 a11 . La matriz adj(A) = a22 −a12 −a21 a11
se llama(matriz) adjunta (cl´asica)de A.
Matriz inversa
Tenemos una primera f´ormula para la matriz inversa de una matriz invertible A = (aij)2×2:
A−1= 1 |A|adj(A).
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices inversas y sistemas de ecuaciones lineales
Sea un sistema de 2 × 2, (1) a11 a12 a21 a22 x y =b1 b2 . O bien, si A =a11 a12 a21 a22 , x =x y y b =b1 b2 , entonces escribimos (1) como
(2) Ax = b.
Si |A| = a11a22− a12a216= 0, entonces multiplicamos por la izquierda ambos miembros de la ecuaci´on (2) por la matriz inversa A−1=|A|1 adj(A), y obtenemos la soluci´on
A−1Ax = A−1b I2x = A−1b x = A−1b.
Encontrar matrices inversas y resolver sistemas de ecuaciones con igual n´umero de ecuaciones e inc´ognitas son c´alculos equivalentes.
Ejemplo
Sea el sistema ( −13x + 3y = 7 5x + 22y = 9 Definimos A =−13 3 5 22 , x =x y y b =7 9 , para escribir este sistema en forma matricial Ax = b, o sea,−13 3 5 22 x y =7 9 Tenemos entonces |A| = (−13)(22) − (3)(5) = −301, y adj(A) = 22 −3 −5 −13 , De donde A−1= 1 |A|adj(A) = − 22/301 3/301 5/301 13/301 !
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Ejemplo
Sea el sistema ( −13x + 3y = 7 5x + 22y = 9 Definimos A =−13 3 5 22 , x =x y y b =7 9 , para escribir este sistema en forma matricial Ax = b, o sea,−13 3 5 22 x y =7 9
La soluci´on del sistema est´a dada por x y = A−1b = − 22/301 3/301 5/301 13/301 ! 7 9 = − 127/301 152/301 !
Uso de software Octave
Sea el sistema (
−13x + 3y = 7 5x + 22y = 9
En Octave tenemos varias posibilidades para resolver sistemas como sistemas matriciales: > A =[ -13 3;5 22] A = -13 3 5 22 > b = [ 7 ; 9 ] b = 7 9 > iA = inv ( A ) iA = - 0 . 0 7 3 0 8 9 7 0 . 0 0 9 9 6 6 8 0 . 0 1 6 6 1 1 3 0 . 0 4 3 1 8 9 4 > x = iA * b x = - 0 . 4 2 1 9 3 0 . 5 0 4 9 8 > A =[ -13 3;5 22] A = -13 3 5 22 > b = [ 7 ; 9 ] b = 7 9 > x = A \ b x = - 0 . 4 2 1 9 3 0 . 5 0 4 9 8 > A =[ -13 3;5 22] A = -13 3 5 22 > b = [ 7 ; 9 ] b = 7 9 > x = l i n s o l v e ( A , b ) x = - 0 . 4 2 1 9 3 0 . 5 0 4 9 8
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Uso de software Octave
Sea el sistema
(
−13x + 3y = 7 5x + 22y = 9
Tambi´en podemos calcular el determinante, la matriz adjunta y realizar los gr´aficos: > A =[ -13 3;5 2 2 ] ; > b = [ 7 ; 9 ] ; > d = det ( A ) d = -301 > iA = inv ( A ); > a d j A = d * iA a d j A = 2 2 . 0 0 0 0 -3.0000 -5.0000 - 1 3 . 0 0 0 0 > x = l i n s o l v e ( A , b ) x = - 0 . 4 2 1 9 3 0 . 5 0 4 9 8 > e q n 1 = e z p l o t ( ’ -13* x +3* y -7 ’ ,[ -2 2 -2 2 ] ) ; > set ( eqn1 , ’ c o l o r ’ ,[1 0 0]) > h o l d on > e q n 2 = e z p l o t ( " 5* x + 2 2 * y -9 " ,[ -2 2 -2 2 ] ) ; > p l o t ( x (1) , x (2) , ’ go ’ , ’ L i n e W i d t h ’ ,5) > l e g e n d ( ’ -13 x +3 y =7 ’ , ’ 5 x +22 y =9 ’ ); -2-2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 y -13x + 3y =7 5x+22y=9 Solucion del sistema
Matrices y determinantes de 3 × 3
Una matriz cuadrada de tama˜no 3(3 renglones y 3 columnas) es una arreglo de 9 n´umeros
reales o complejos A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 .
Tambi´en usamos la notaci´on A = (aij)3×3o bien A = (aij)3i,j=1 o bien A = (aij)1≤i,j≤3, como es corriente.
Dos matrices cuadradas de tama˜no 3, A = (aij)3 y B = (bij)3, son igualessi y s´olo si aij= bij, para todo 1 ≤ i, j ≤ 3. Ejemplos −2 3 1 −3 0 2 0 1 −2 , 2 π 0 0 0 2 −1 3 −1 , −1 3 1 −e −2 2 0 −π −2π , √ 2 π 0 0 0 0 −eπ πe −1
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de 3 × 3
La matriztranspuestade una matriz A = (aij)1≤i,j≤3es la matriz
AT= a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
Esto es, ATresulta de intercambiar renglones por columnas de la matriz A. Podemos escribir as´ı AT= (aT
ij)1≤i,j≤3donde aT ij= aji, ∀1 ≤ i, j ≤ 3. Ejemplos −2 3 1 −3 0 2 0 1 −2 T = −2 −3 0 3 0 1 1 2 −2 , 2 π 0 0 0 2 −1 3 −1 T = 2 0 −1 π 0 3 0 2 −1
Matrices y Determinantes de 3 × 3
Definimos eldeterminantede A = (aij)1≤i,j≤3como el n´umero real
|A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 = a11(a22a33− a23a32) − a12(a21a33− a23a31) + a13(a21a32− a22a31) = a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23− a13a22a31− a23a32a11− a33a12a21. Ejemplo −2 3 1 −3 0 2 0 1 −2 = −2 0 2 1 −2 − 3 −3 2 0 −2 + −3 0 0 1 = −2(−2) − 3(6) − 3 = −17
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Determinantes de matrices de 3 × 3: Regla de Sarrus
A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 |A| = a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23− a13a22a31− a23a32a11− a33a12a21.
¡Advertencia!
La Regla de Sarrus es ´unicamente v´alida para determinantes de tama˜no 3.
Determinantes de matrices de 3 × 3: Regla de Sarrus
A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 |A| = a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23− a13a22a31− a23a32a11− a33a12a21.Regla de Sarrus. FuenteWikipedia
¡Advertencia!
La Regla de Sarrus es ´unicamente v´alida para determinantes de tama˜no 3.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de 3 × 3
Teorema
Dada una matriz A = (aij)3×3,
|AT| = |A|
Demostraci´on.
Basta calcular |AT| de acuerdo a la regla de Sarrus:
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 + + + − − − = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 − a31a22a13− a32a23a11− a33a21a12 = a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23 − a13a22a31− a23a32a11− a33a12a21 T| = |A|.
Matrices y determinantes de 3 × 3: Desarrollo por columna
Del teorema anterior se desprendea11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 = a11 a22 a32 a23 a33 − a21 a12 a32 a13 a33 + a31 a12 a22 a13 a23 = a11 a22 a23 a32 a33 − a21 a12 a13 a32 a33 + a31 a12 a22 a31 a23 La f´ormula a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a23 a32 a33 − a21 a12 a13 a32 a33 + a31 a12 a22 a31 a23
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de 3 × 3
Teorema
Dados n´umeros reales aij, 1 ≤ i, j ≤ 3, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = − a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23 y a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = − a11 a13 a12 a21 a23 a22 a31 a33 a32 Demostraci´on. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = −a11 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 = −a11 a32 a33 a22 a23 + a12 a31 a33 a21 a23 − a13 a31 a32 a21 a22 = − a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23
M´
as generalmente...
Debe resultar claro al estudiante, que este teorema tiene enunciaci´on m´as general:
Dada una matriz cuadrada A, si alternamos dos renglones o dos columnas, el determinante cambia de signo. Esto es, si B es la matriz que resulta de alternar dos renglones o dos columnas, entonces |B| = −|A|.
Matrices y determinantes de 3 × 3
TeoremaDados n´umeros reales aij, 1 ≤ i, j ≤ 3, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = − a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23 y a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = − a11 a13 a12 a21 a23 a22 a31 a33 a32 Demostraci´on. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = −a11 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 = −a11 a32 a33 a22 a23 + a12 a31 a33 a21 a23 − a13 a31 a32 a21 a22 = − a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23
M´
as generalmente...
Debe resultar claro al estudiante, que este teorema tiene enunciaci´on m´as general:
Dada una matriz cuadrada A, si alternamos dos renglones o dos columnas, el determinante cambia de signo. Esto es, si B es la matriz que resulta de alternar dos renglones o dos columnas, entonces |B| = −|A|.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3
Si λ ∈ R, definimos elproducto por un escalarcomo λA = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =
λa11 λa12 λa13 λa21 λa22 λa23 λa31 λa32 λa33 En notaci´on abreviada λA = (λaij)3×3 Ejemplos 4 2 π 0 0 0 2 −1 3 −1 = 8 4π 0 0 0 8 −4 12 −4 , − −2 3 1 −3 0 2 0 1 −2 = 2 −3 −1 3 0 −2 0 −1 2
Operaciones con matrices de 3 × 3
Lasuma de dos matricesA = (aij)3×3y B = (bij)3×3es la matriz
A+B = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 + b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 = a11+ b11 a12+ b12 a13+ b13 a21+ b21 a22+ b22 a23+ b23 a31+ b31 a32+ b32 a33+ b33 En notaci´on abreviada A + B = (aij+ bij)3×3 Ejemplo 4 2 π 0 0 0 2 −1 3 −1 − 2 π 0 0 0 0 −π2 π −1 = 6 0 0 0 0 8 π2− 4 12 − π −3
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3
Elproducto de dos matricesA = (aij)3×3y B = (bij)3×3es la matriz
AB = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 = a11b11+ a12b21+ a13b31 a11b12+ a12b22+ a13b32 a11b13+ a12b23+ a13b33 a21b11+ a22b21+ a23b31 a21b12+ a22b22+ a23b32 a21b13+ a22b23+ a23b33 a31b11+ a32b21+ a33b31 a31b12+ a32b22+ a33b32 a31b13+ a32b23+ a33b33 En notaci´on abreviada AB = (ai1b1j+ ai2b2j+ ai3b3j)3×3. Ejemplo 2 π 0 0 0 2 −1 3 −1 2 −3 −1 3 0 −2 0 −1 2 = 4 + 3π −6 −2(1 + π) 0 −2 4 4 4 −3
Operaciones con matrices de 3 × 3
Si x = x y z es un vector columna enR3y A = (aij)3×3es una matriz cuadrada de tama˜no 3, entonces tambi´en definimos los siguientes productos
xTA = x y z a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11x + a21y + a31z a12x + a22y + a32z a13x + a23y + a33z Ax = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x y z = a11x + a12y + a13z a21x + a22y + a23z a31x + a32y + a33z
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3: Otros resultados
Teorema : Propiedades asociativasSean A = (aij)3×3, B = (bij)3×3y C = (cij)3×3matrices cuadradas de tama˜no 3. Entonces
(A + B) + C = A + (B + C) y (AB)C = A(BC).
Teorema : Propiedades distributivas
Sean A = (aij)3×3, B = (bij)3×3y C = (cij)3×3matrices cuadradas de tama˜no 3. Entonces
A(B + C) = AB + BC y (B + C)A = BA + CA.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Teorema Si A = (aij)3×3es una matriz y λ ∈ R, a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa31 λa32 λa33
= λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Demostraci´on. a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa31 λa32 λa33
= a11 a22 a23 λa32 λa33 − a12 a21 a23 λa31 λa33 + a13 a21 a22 λa31 λa32 = λa11 a22 a23 a32 a33 − λa12 a21 a23 a31 a33 + λa13 a21 a22 a31 a32 = λ a11 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades a11 a12 a13 λa21 λa22 λa23
a31 a32 a33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
λa11 λa12 λa13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Teorema Si A = (aij)3×3es una matriz y λ ∈ R, a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa31 λa32 λa33
= λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Demostraci´on. a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa31 λa32 λa33
= a11 a22 a23 λa32 λa33 − a12 a21 a23 λa31 λa33 + a13 a21 a22 λa31 λa32 = λa11 a22 a23 a32 a33 − λa12 a21 a23 a31 a33 + λa13 a21 a22 a31 a32 = λ a11 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a a a
De la misma forma...
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades a11 a12 a13 λa21 λa22 λa23
a31 a32 a33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
λa11 λa12 λa13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Corolario Si A = (aij)3×3es una matriz y λ ∈ R, a11 a12 λa13 a21 a22 λa23 a31 a32 λa33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Corolario Si A = (aij)3×3es una matriz y λ ∈ R, |λA| = λ3|A|. En particular, | − A| = −|A|.Se dejan al estudiantes estas f´aciles pruebas.
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades a11 λa12 a13 a21 λa22 a23 a31 λa32 a33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 λa11 a12 a13 λa21 a22 a23 λa31 a32 a33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Corolario Si A = (aij)3×3es una matriz y λ ∈ R, a11 a12 λa13 a21 a22 λa23 a31 a32 λa33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Corolario Si A = (aij)3×3es una matriz y λ ∈ R, |λA| = λ3|A|. En particular, | − A| = −|A|.Se dejan al estudiantes estas f´aciles pruebas.
De la misma forma...
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades a11 λa12 a13 a21 λa22 a23 a31 λa32 a33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 λa11 a12 a13 λa21 a22 a23 λa31 a32 a33 = λ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Teorema
Si aij, 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son n´umeros reales, y λ ∈ R, entonces a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa11 λa12 λa13
= 0 Demostraci´on.
Basta el caso λ = 1. Desarrollamos el determinante por columna a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 = a11 a22 a23 a12 a13 + a21 a12 a13 a12 a13 + a11 a12 a13 a22 a23 = a11 a22 a23 a12 a13 + a210 − a11 a22 a23 a12 a13 = 0
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado m´as general: Si un rengl´on de una matriz cuadrada es m´ultiplo de otro, entonces el de-terminante de la matriz es cero
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Teorema
Si aij, 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son n´umeros reales, y λ ∈ R, entonces a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa11 λa12 λa13
= 0 Demostraci´on.
Basta el caso λ = 1. Desarrollamos el determinante por columna a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 = a11 a22 a23 a12 a13 + a21 a12 a13 a12 a13 + a11 a12 a13 a22 a23 = a11 a22 a23 a12 a13 + a210 − a11 a22 a23 a12 a13 = 0
Un poco m´
as general ...
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado m´as general: Si un rengl´on de una matriz cuadrada es m´ultiplo de otro, entonces el de-terminante de la matriz es cero
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Corolario
Si aij, 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2, son n´umeros reales, y λ ∈ R, entonces a11 a12 λa11 a21 a22 λa21 a31 a32 λa31 = 0 Demostraci´on.
Vamos a hacer esta prueba con la finalidad de ilustrar c´omo se aplican sencillamente algunos de los resultados anteriores. Tenemos pues,
a11 a12 λa11 a21 a22 λa21 a31 a32 λa31 = a11 a21 a31 a12 a22 a32 λa11 λa21 λa31
= 0
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado m´as general: Si una columna de una matriz cuadrada es m´ultiplo de otra, entonces el determinante de la matriz es cero
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados
Corolario
Si aij, 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2, son n´umeros reales, y λ ∈ R, entonces a11 a12 λa11 a21 a22 λa21 a31 a32 λa31 = 0 Demostraci´on.
Vamos a hacer esta prueba con la finalidad de ilustrar c´omo se aplican sencillamente algunos de los resultados anteriores. Tenemos pues,
a11 a12 λa11 a21 a22 λa21 a31 a32 λa31 = a11 a21 a31 a12 a22 a32 λa11 λa21 λa31
= 0
Lo mismo aplica...
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado m´as general: Si una columna de una matriz cuadrada es m´ultiplo de otra, entonces el determinante de la matriz es cero
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Si aij ∈ R, i = 1, 2, j = 1, 2, 3; y uk y vk tambi´en son n´umeros reales, k = 1, 2, 3. Entonces a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3 + a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Pero no es lo mismo...
Este resultado no dice que se cumpla la igualdad a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3 + a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Se deja como ejercicio verificar con un ejemplo que esta igualdad no es cierta en general.
Ning´un estudiante deber´ıa dudar de la validez de las igualdades: u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = u1 u2 u3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 + v1 v2 v3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 a31 a32 a33 = a11 a12 a13 u1 u2 u3 a31 a32 a33 + a11 a12 a13 v1 v2 v3 a31 a32 a33
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Si aij ∈ R, i = 1, 2, j = 1, 2, 3; y uk y vk tambi´en son n´umeros reales, k = 1, 2, 3. Entonces a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3 + a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Pero no es lo mismo...
Este resultado no dice que se cumpla la igualdad a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3 + a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Se deja como ejercicio verificar con un ejemplo que esta igualdad no es cierta en general.
De la misma forma...
Ning´un estudiante deber´ıa dudar de la validez de las igualdades: u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = u1 u2 u3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 + v1 v2 v3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 a31 a32 a33 = a11 a12 a13 u1 u2 u3 a31 a32 a33 + a11 a12 a13 v1 v2 v3 a31 a32 a33
Una interesante propiedad de linealidad
Demostraci´on. a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1+ v1 u2+ v2 u3+ v3 = a11 a22 a23 u2+ v2 u3+ v3 − a12 a21 a23 u1+ v1 u3+ v3 + a13 a21 a22 u1+ v1 u2+ v2 = a11 a22 a23 u2 u3 + a22 a23 v2 v3 − a12 a21 a23 u1 u3 + a21 a23 v1 v3 + a13 a21 a22 u1 u2 + a21 a22 v1 v2 = a11 a22 a23 u2 u3 − a12 a21 a23 u1 u3 + a13 a21 a22 u1 u2 + a11 a22 a23 v2 v3 − a12 a21 a23 v1 v3 + a13 a21 a22 v1 v2 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3 + a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Corolario
Si aij ∈ R, i = 1, 2, 3, j = 1, 2; y uk y vk tambi´en son n´umeros reales, k = 1, 2, 3. Entonces a11 a12 u1+ v1 a21 a22 u2+ v2 a31 a32 u3+ v3 = a11 a12 u1 a21 a22 u2 a31 a32 u3 + a11 a12 v1 a21 a22 v2 a31 a32 v3
Dejamos al estudiante la prueba que ya deber´ıa resultar sencilla.
Pero no es lo mismo...
a11 a12 u1+ v1 a21 a22 u2+ v2 a31 a32 u3+ v3 = a11 a12 u1 a21 a22 u2 a31 a32 u3 + a11 a12 v1 a21 a22 v2 a31 a32 v3 Nuevamente dejamos que el estudiante compruebe por s´ı mismo con un ejemplo que esta igualdad no siempre se cumple.
De la misma forma...
Todo estudiante deber´ıa deber´ıa ser capaz de probar de hecho las igualdades: u1+ v1 a12 a13 u2+ v2 a22 a23 u3+ v3 a32 a33 = u1 a12 a13 u2 a22 a23 u3 a32 a33 + v1 a12 a13 v2 a22 a23 v3 a32 a33 a11 u1+ v1 a13 a21 u2+ v2 a23 a31 u3+ v3 a33 = a11 u1 a13 a21 u2 a23 a31 u3 a33 + a11 v1 a13 a21 v2 a23 a31 v3 a33
Una interesante propiedad de linealidad
CorolarioSi aij ∈ R, i = 1, 2, 3, j = 1, 2; y uk y vk tambi´en son n´umeros reales, k = 1, 2, 3. Entonces a11 a12 u1+ v1 a21 a22 u2+ v2 a31 a32 u3+ v3 = a11 a12 u1 a21 a22 u2 a31 a32 u3 + a11 a12 v1 a21 a22 v2 a31 a32 v3
Dejamos al estudiante la prueba que ya deber´ıa resultar sencilla.
Pero no es lo mismo...
a11 a12 u1+ v1 a21 a22 u2+ v2 a31 a32 u3+ v3 = a11 a12 u1 a21 a22 u2 a31 a32 u3 + a11 a12 v1 a21 a22 v2 a31 a32 v3 Nuevamente dejamos que el estudiante compruebe por s´ı mismo con un ejemplo que esta igualdad no siempre se cumple.
De la misma forma...
Todo estudiante deber´ıa deber´ıa ser capaz de probar de hecho las igualdades: u1+ v1 a12 a13 u2+ v2 a22 a23 u3+ v3 a32 a33 = u1 a12 a13 u2 a22 a23 u3 a32 a33 + v1 a12 a13 v2 a22 a23 v3 a32 a33 a11 u1+ v1 a13 a21 u2+ v2 a23 a31 u3+ v3 a33 = a11 u1 a13 a21 u2 a23 a31 u3 a33 + a11 v1 a13 a21 v2 a23 a31 v3 a33
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Un teorema importante
Teorema
Si aij, 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son n´umeros reales; y α y β son tambi´en n´umeros reales, a11 a12 a13 a21 a22 a23
αa11+ βa21 αa12+ βa22 αa13+ βa23 = 0 Demostraci´on. a11 a12 a13 a21 a22 a23
αa11+ βa21 αa12+ βa22 αa13+ βa23 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 αa11 αa12 αa13
+ a11 a12 a13 a21 a22 a23 βa21 βa22 βa23
= 0
Con toda generalidad...
Desde luego, este teorema es parte de un hecho mucho m´as general: Si un rengl´on de una matriz cuadrada es combinaci´on lineal de los restantes renglones, entonces el determinante de la matriz es cero
Un teorema importante
TeoremaSi aij, 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son n´umeros reales; y α y β son tambi´en n´umeros reales, a11 a12 a13 a21 a22 a23
αa11+ βa21 αa12+ βa22 αa13+ βa23 = 0 Demostraci´on. a11 a12 a13 a21 a22 a23
αa11+ βa21 αa12+ βa22 αa13+ βa23 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 αa11 αa12 αa13
+ a11 a12 a13 a21 a22 a23 βa21 βa22 βa23
= 0
Con toda generalidad...
Desde luego, este teorema es parte de un hecho mucho m´as general: Si un rengl´on de una matriz cuadrada es combinaci´on lineal de los restantes renglones, entonces el determinante de la matriz es cero
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Un teorema importante
CorolarioSi A = (aij)3×3es una matriz y α y β son n´umeros reales, a11 a12 αa11+ βa12 a21 a22 αa21+ βa22 a31 a32 αa31+ βa32 = 0
Dejamos al estudiante la prueba, que ya deber´ıa ser pr´acticamente un ejercicio mental.
Con toda generalidad...
Igualmente podemos enunciar con toda generalidad:
Si una columna de una matriz cuadrada es combinaci´on lineal de las restantes columnas, entonces el determinante de la matriz es cero
Un teorema importante
CorolarioSi A = (aij)3×3es una matriz y α y β son n´umeros reales, a11 a12 αa11+ βa12 a21 a22 αa21+ βa22 a31 a32 αa31+ βa32 = 0
Dejamos al estudiante la prueba, que ya deber´ıa ser pr´acticamente un ejercicio mental.
Con toda generalidad...
Igualmente podemos enunciar con toda generalidad:
Si una columna de una matriz cuadrada es combinaci´on lineal de las restantes columnas, entonces el determinante de la matriz es cero
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´La importante (y tediosa) propiedad del determinante de un producto
Teorema
Sean A = (aij)3×3y B = (bij)3×3matrices. Entonces |AB| = |A||B|.
El estudiante puede comprobar que intentar una prueba directa es ya muy muy tedioso y aburrido.
Posponemos la prueba hasta completar algunos otros aspectos y entonces la haremos muy f´acilmente
Corolario
Sean A = (aij)3×3y B = (bij)3×3matrices cuadradas. Entonces |AB| = |BA|.
Se advierte, como antes, que este corolario no dice que se cumpla la igualdad AB = BA.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Sistemas de ecuaciones lineales de 3 × 3
Sea un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas
(∗) a11x + a12y+a13z= b1 a21x + a22y+a23z= b2 a31x + a32y+a33z= b3
Laforma matricialde este sistema es
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x y z = b1 b2 b3
Si definimos las matrices
A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , x = x y z , b = b1 b2 b3
Entonces podemos escribir en corto
Ax = b. La matriz A es llamadamatriz de coeficientesde (∗).
Realizando c´alculos directos, se puede comprobar f´acilmente Ax = b ⇔ xTAT= bT.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Sistemas de ecuaciones lineales de 3 × 3
Sea un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas
(∗) a11x + a12y+a13z= b1 a21x + a22y+a23z= b2 a31x + a32y+a33z= b3
Laforma matricialde este sistema es
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x y z = b1 b2 b3
Si definimos las matrices
A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , x = x y z , b = b1 b2 b3
Entonces podemos escribir en corto
Ax = b. La matriz A es llamadamatriz de coeficientesde (∗).
De otra manera...
Realizando c´alculos directos, se puede comprobar f´acilmente Ax = b ⇔ xTAT= bT.
La Regla de Cramer
Teorema : Regla de Cramer Un sistema de 3 × 3 (I) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x y z = b1 b2 b3 tiene soluci´on ´unica si y s´olo si a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 6= 0.
En cuyo caso, la soluci´on est´a dada por
x = b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , y = a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , z = a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 .
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Ejemplo: A veces hay caminos m´
as cortos
Sea el sistema (I) 3x + 2y + z = 2 (1) −2x + y − 7z = 0 (2) 3x − y + 8z = 2 (3) Restamos la equaci´on (1) de la equaci´on (3) para obtener−3y + 7z = 0, de donde
z =3 7y. Sustituyendo este valor en (2)
−2x + y − 3y = 0,
esto es,
x = −y
Sustituimos estos valores de x y z en (1), −3y + 2y +3 7y = 2 ⇔ − 4 7y = 2 ⇔ y = − 7 2. Por lo tanto z = −3 2 y x = 7 2. El sistema tiene soluci´on ´unica
7 2, − 7 2, − 3 2 .
Ejemplo: La regla de Cramer tiene sus l´ımites
Sea el sistema (I) 3x + 6y − 6z = 9 (1) 2x − 5y + 4z = 6 (2) 5x + 28y − 26z = −8 (3)De acuerdo a la f´ormula de Sarrus, el determinante de la matriz de coeficientes de este sistema es 3 6 − 6 2 − 5 4 5 28 −26 3 6 − 6 2 − 5 4 + + + − − − = +3(−5)(−26) + 2(28)(−6) + 5(6)(4) − (−6)(−5)(5) − (4)(28)(3) − (−26)(6)(2) = 390 − 336 + 120 − 150 − 336 + 312 = 0
Por lo tanto, el sistema (I) no tiene soluci´on ´unica. Pero ¿qu´e significa que un sistema no tenga soluci´on ´unica? Desde luego, no significa necesariamente que el sistema no tenga soluci´on.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Ejemplo: La regla de Cramer tiene sus l´ımites
Sea el sistema (I) 3x + 6y − 6z = 9 (1) 2x − 5y + 4z = 6 (2) 5x + 28y − 26z = −8 (3) Veamos: Dividimos la ecuaci´on (1) entre 3 y dividimos la ecuaci´on (2) entre 2, para obtener el sistema equivalente(I0) x + 2y − 2z = 3 (10) x − 52y + 2z = 3 (20) 5x + 28y − 26z = −8 (30) Sumamos las ecuaciones (10) y (20) para obtener 2x −1 2y = 6, de donde x = 3 +1 4y. Sustituyendo en (10) resulta 9 4y − 2z = 0. Esto es z = 9 8y.
Por lo tanto, todas las soluciones del sistema (I0), y en consecuencia, del sistema (I), son de la forma 3 +1 4y, y, 9 8y , y ∈ R.
Ejemplo. Moraleja: Busca siempre el camino m´
as corto
Sea el sistema (I) −9x + 9y − 7z = 6 (1) −7x − z = −10 (2) 9x + 6y + 8z = 45 (3) Sumamos las ecuaciones (1) y (3) para obtener15y + z = 51, de donde
z = 51 − 15y. Sustituimos este valor de z en la ecuaci´on (2),
−7x − 51 + 15y = −10, de donde
x =41 − 15y
7 .
De manera que las soluciones del sistema (I) son de la forma 41 7 − 15 7y, y, 51 − 15y , y ∈ R.
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Eejemplo: Las f´
ormulas siempre son efectivas
Sea el sistema (I) − x + 2z = 6 −3x + 4y + 6z = 30 − x − 2y + 3z = 8
Lo complejo aqu´ı es hacer el c´alculo de los determinantes, sobre todo porque a´un no conocemos otro m´etodo que no sea el c´alculo directo (y la Regla de Sarrus).
Para no hacer m´as tediosa esta exposici´on vamos a obviar los c´alculos, los cuales puede comprobar el estudiante f´acilmente.
Por la Regla de Cramer
x = 6 0 2 30 4 6 8 −2 3 1 0 2 −3 4 6 −1 −2 3 = −10 11, y = 1 6 2 −3 30 6 −1 8 3 1 0 2 −3 4 6 −1 −2 3 =18 11, z = 1 0 6 −3 4 30 −1 −2 8 1 0 2 −3 4 6 −1 −2 3 =38 11.
Demostraci´
on del “regreso” de la Regla de Cramer
Sea A = (aij)3×3 la matriz de coeficientes del sistema, y sean las matrices A1, A2 y A3 formadas a partir de A, pero reemplazando las columnas de los coeficientes de las variables x, y y z, respectivamente, por el vector columna (b1, b2, b3). Esto es,
A1= b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 , A2= a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 , A3= a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3
Hagamos primero el siguiente an´alisis:
Supongamos que el vector (x, y, z) es una soluci´on del sistema. Se cumplen as´ı las igualdades,
a11x + a12y + a13z = b1 a21x + a22y + a23z = b2 a31x + a32y + a33z = b3 ´ o equivalentemente a11x = b1− a12y − a13z a12x = b2− a22y − a23z a13x = b3− a32y − a33z
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Demostraci´
on del “regreso” de la Regla de Cramer
Tenemos entonces, b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 = b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 + −a12y − a13z a12 a13 −a22y − a23z a22 a23 −a32y − a33z a32 a33 = b1− a12y − a13z a12 a13 b2− a22y − a23z a22 a23 b3− a32y − a33z a32 a33 = a11x a12 a13 a12x a22 a23 a13x a32 a33 = x a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a32 a33
Del mismo modo podemos deducir las igualdades a11 b1 a13 a21 b2 a23 a b a = y a11 a12 a13 a21 a22 a23 a a a y a11 a12 b1 a21 a22 b2 a a b = z a11 a12 a13 a21 a22 a23 a a a
Demostraci´
on del “regreso” de la Regla de Cramer (continuaci´
on)
Es decir, cualquier soluci´on (x, y, z) del sistema, si existe, cumple con las igualdades|A1| = x|A|, |A2| = y|A| |A3| = z|A|.
Por lo tanto, si suponemos que |A| 6= 0, se tiene que si (x, y, z) es soluci´on del sistema, se cumplen las igualdades
x =|A1| |A|, y = |A2| |A| z = |A3| |A|. (2)
Esto es, si el sistema tiene soluci´on y |A| 6= 0, la soluci´on es de hecho ´unica y est´a dada por las f´ormulas (2).
Observe que no hemos probado que el sistema tiene soluci´on. Para llegar a tal cosa, resta comprobar que, si |A| 6= 0, las igualdades (2) son efectivamente soluci´on del sistema
a11x + a12y+a13z= b1 a21x + a22y+a23z= b2 a31x + a32y+a33z= b3
´
o equivalentemente
|A|a11x + |A|a12y+|A|a13z= |A|b1 |A|a21x + |A|a22y+|A|a23z= |A|b2 |A|a31x + |A|a32y+|A|a33z= |A|b3
Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones
Algebra´Demostraci´
on del “regreso” de la Regla de Cramer (continuaci´
on)
Sean pues x = |A1| |A|, y = |A2| |A| y z = |A3| |A|. Tenemos,a11|A|x + a12|A|y + a13|A|z = a11|A1| + a12|A2| + a13|A3|
= a11 b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 + a12 a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 + a13 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 = a11 b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 − a12 b1 a11 a13 b2 a21 a23 b3 a31 a33 + a13 b1 a11 a12 b2 a21 a22 b3 a31 a33 = a11 b1 a22 a23 a32 a33 − b2 a12 a13 a32 a33 + b3 a12 a13 a22 a23 − a12 b1 a21 a33 a31 a33 − b2 a11 a13 a31 a33 + b3 a11 a13 a21 a23 + a13 b1 a21 a22 a31 a32 − b2 a11 a12 a31 a32 + b3 a11 a12 a21 a22