Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos
Halle la derivada de una función simple Halle la derivada de una función simple
1. 1. f(x) = 4f(x) = 4 Solución Solución f'( f'(xx) ) ((44)' )' 00 2. 2. ff((xx) ) xx22 Solución Solución 2 2 11
f'( f'(xx) ) 22xx 2x2x 3. 3. ff((xx) 3) 3x x 5 5
55x x 33
1155xx Solución Solución
5 5 33 4 4 1155x x 22 1155 f'( f'(xx) ) ((33x )' x )' ((55x )' x )' ((1155xx)' )' 1155xx 4. 4. f(f(x) x) 3
3x x sesenn((x)x) Solución Solución
ff'(
'(x)
x) ((3
3x
x se
sen
n((x)
x))'
)' ((3
3x)'
x)' ((sse
en
n((x)
x))'
)' 3
3x'
x' c
co
os(
s(x)
x) 3
3 c
co
oss((x)
x)
5. 5. f 'f '((xx) )
x x c
cooss((xx) 4) 4
Solución Solución
1/21/2
11
f'f'((xx) ) ( ( x)x)' ' [[ccooss((xx))]]' ' ((44))' ' ((x x ))' ' sseenn((xx) ) sseenn((xx)) 2 2 xx 6. 6. ff((xx) ) 3
3 x 33 x 22
4 4 x x 5
5 Solución Solución UseUse la la siguiente siguiente derivada:derivada: [[x x ]]' n n ' n
nxxn n 11Luego, Luego,
22//3 3
1//2 1 2
11//3 3
1//21 2
3 3 2 2 22 f ' f '((xx) ) 33((x x ))' ' 44((x x ))' ' ((55))' ' 22x x 22xx x x xx7. 7.
3 3 2020 2 2x x 55 44xx ff((xx) ) 33x x 77 120 12012
12
Solución SoluciónDerive cada término y se tiene Derive cada término y se tiene
2 2 1919 2 2 x x 2x2x ff ''((xx) ) 1155xx 2 2 33 8. 8. ff((xx) 5) 5((x
x 22
33x 2x 2))
Solución SoluciónAplique la derivada sólo a cada término del paréntesis Aplique la derivada sólo a cada término del paréntesis
3 3 22 f'(x f'(x) ) 55((2x2x1
1
))
3
3 xx
9. 9. ff((xx) )
x((x x x 53 3
5x x ) 22)
33xx Solución SoluciónAntes de derivar se debe aplicar la propiedad distributiva y luego aplique las reglas de Antes de derivar se debe aplicar la propiedad distributiva y luego aplique las reglas de derivación. Es decir: derivación. Es decir: 7 7//2 2 55//2 2 11//3 3 7 7 55//2 2 25 25 3//2 3 2 11 2//32 3 ff ''((xx) ) ((x x 55x x x x ))' ' x x x x xx 2 2 2 2 33
5 5 33 3 3 22 7 7 2255 11 ff ''((xx) ) x x xx 2 2 22 3 3 xx
10. 10.
3 3 3 3 2 2 55 x x 55x x xx f(x) f(x) x x Solución SoluciónAntes de derivar divida cada factor e
Antes de derivar divida cada factor e ntre x y luego aplique la ntre x y luego aplique la derivada a cada términoderivada a cada término
3 3 3 3 2 2 55 2 2 22//33 3 3 x x 55xx xx 22 ff''((xx) ) ( ( ))' ' ((x x 55x x x x ))' ' 22x x 55 x x 3 3 xx 11. 11. ff((xx) ) ((2
2x x 3 3
55x x ) x22 3) x3 Solución SoluciónAplique la propiedad distributiva y luego las reglas de las derivadas Aplique la propiedad distributiva y luego las reglas de las derivadas
3 7 3 4 3 3 2 3 10/3 7/3 20 x 35 x f '(x) (2x x 5x x)' (2x 5x )' 3 3 12. f(x) = (x20 + 6x12 – 12)(x8 – 5x3 + 2x) SoluciónUse la derivada del producto
20
12 ' 8 3
20
12 8 3
' f '(x) x 6x – 12 x – 5x 2x x 6x – 12 x – 5x 2x
19
11 8 3
20
12 7 2
f'(x) 20x 72x x – 5x 2x x 6x – 12 8x – 15x 2Efectue las multiplicaciones y simplifique
27
22
20
19
14
12
7 2
f '(x) 28x 115x 42x 120x 450x 156x 96x 180x 24
13. f(x) = (x13 – 12)(x14 – 5x7 + 2)
Solución
Use la derivada del producto
13 ' 14 7
13 14 7
' f '(x) x – 12 x – 5x 2 x – 12 x – 5x 2
12 14 7
13 13 6 f'(x) 13x x – 5x 2 x – 12 14x – 35x
26
19
13
12
6 f '(x) 27x 100x 168x 26x 420x 14. f(x) = (sen(x) + tg(x))(x8 – 2x) SoluciónUse la derivada del producto
' 8
8 'f '(x) *sen(x) tg(x)+ x – 2x *sen(x) tg(x)+ x – 2x
2 8
7f '(x) *cos(x) sec (x)+ x – 2x *sen(x) tg(x)+ 8x – 2
15. f(x) = xln(x) –x
Solución
Use la derivada del producto
1
f (x) x ln x +x ln x x ln x +x 1 ln(x) 1 1 ln(x) x
16.
x f(x) x 1 SoluciónUse la derivada del cociente
2 2 x x 1 x x 1 1 f (x) (x 1) x 1 17.
2 3 x 4 f(x) x 4 SoluciónUse la derivada del cociente
2 3 2 3 4 4 2 3 2 2 3 2 3 3 x 4 x 4 x 4 x 4 2x 8x 3x 12x x(x 12x 8) f (x) (x 4) x 4 x 4 18. 2 sen(x) cos(x) f(x) 3x 4x 2
SoluciónUse la derivada del cociente
2 2 2 2senx cosx 3x 4x 2 senx cosx 3x 4x 2 f (x) 3x 4x 2
2 2 2cos(x) sen(x) 3x 4x 2 senx cosx (6x 4) f (x) 3x 4x 2
2 2 2 2 (3x 10x 2)cosx (3x 2x 6)senx f'(x) (3x 4x 2) 19. f(x) csc(x) sec(x)
Solución
1 cos(x) sen(x) f(x) 1 sen(x) cos(x)Aplique la derivada del cociente
22 2
cos(x) sen(x) cos(x) sen(x) 1
f(x) csc (x) sen (x) sen (x) 20.
x 2 1 f(x) x –
x 3 1 x SoluciónUse la derivada de un cociente y la derivada de la función exponencial
x x x x x x x x x x 2 2 ' 2 3 x 2 3 x 2 3 2 xln(2) 3 xln(3) 2 3 f (x) x x x
x x 2 2 ln(2) 1 1 ln(3) f '(x) 2 3 x x x x 21.
x e 1 f(x) x SoluciónUse la derivada de un cociente y la derivada de la función exponencial
x x x x x 2 2 2 e 1 x e 1 x xe e 1 e (x 1) 1 f (x) x x x22. Calcula f (2) '
f (2)' de la función:
2 2x 3, si x 2 f(x) 8x 11, si x 2 Solución a)
2 ' h 0 h 0 h 0 8(2 h) 11 2(2) 3 f(2 h) f(2) 8hf (2) lim lim lim 8
h h h b)
2 2 2 ' h 0 h 0 h 0 2(2 h) 3 2(2) 3 f(2 h) f(2) 8h hf (2) lim lim lim 8
Por lo tanto, f(x) es derivable en x 2
pues f (x ) f (x ) 8 ' 0
' 0
. Es decir f'(2) 8
23. Halle las derivadas laterales en el x 0
, si f(x) senx
Solución a)
' h 0 h 0 senh f(0 h) f(0) f (0) lim lim 1 h h b)
' h 0 h 0 senh f(0 h) f(0) f (0) lim lim 1 h hPor lo tanto, f(x) no es derivable en x 0
pues f (x ) f (x ) ' 0
' 0Halle la derivada de las siguientes funciones compuestas 1. f(x)=sen(2x)
Solución
Use la derivada de una función compuesta. [f(g(x))]' f'(g(x))g'(x)
f (x)=[sen(2x)]'=[sen(2x)]'(2x)'=[cos(2x)](2)= 2cos(2x)
2. f(x)=cos(4x)
Solución
Use la derivada de una función compuesta.
f'(x)=[cos(4x)]'=[cos(4x)]'(4x)'= -4sen(4x)
3. f(x) tg( x)
Solución
Use la derivada de una función compuesta.
2 1/2 1/2 1 1/2 2 1/2 sec ( x) f '(x) [ tg(x )]'(x )' x sec (x ) 2 2 x 4.
3 2 x f(x) sen( x ) 3 Solución
3 3 3 2 2 2 2 ' x x x f '(x) cos x x (x 2x)cos x 3 3 3 5.
10 x f(x) cos 2 x 5 SoluciónUse la derivada de una función compuesta
' 10 10 10 9 x x 1 x f'(x) sen 2 x 2 x 2x sen 2 x 5 5 x 5 6. f(x) tg(2x
2
2x) SoluciónUse la derivada de una función compuesta.
2 2
2
2 2
f (x) sec (2x 2x)(2x 2x)' 4x 2 sec (2x 2x)
7. f(x) sen (x )
3 2Solución
Use la derivada de una función compuesta dos veces.
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2f'(x) 3sen (x )[sen(x )]' 3sen (x )cos(x )[x ]' 6xsen (x )cos(x )
8.
10 x f(x) sen(x)cos( ) 5 SoluciónUse la derivada del producto y la de rivada de una función compuesta
' 10 10 x xf'(x) [sen(x)]'cos sen(x) cos
5 5
10 10 10 ' x x x f'(x) cos(x)cos sen(x)sen 5 5 5
10 10 9 x x f'(x) cos(x)cos 2x sen(x)sen 5 5 9. f(x)=
2 1 sen(2x 2x)Solución Use la propiedad:
2 ' 1 u'(x) u(x) u (x)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sen(2x 2x) ' cos(2x 2x)(2x 2x)' (4x 2)cos(2x 2x) f (x)
sen (2x 2x) sen (2x 2x) sen(2x 2x)
10. f(x) = (x20 cos(2x) – 12)(x8 – sen(x))
Solución
Use la derivada del producto y de una función compuesta.
20 ' 8
20 8 'f '(x) x cos 2x – 12 x – sen x x cos 2x – 12 x – sen x
19 20 8 20 7
f '(x) *20x cos 2x – 2x sen(2x)+*x – sen(x)+ *x cos(2x) 12+*8x – cos(x)+
11. f(x) = (x2+3) –4
Solución
Use la derivada de una función compuesta [u (x)]' nu (x)[u(x)]'n
n 1
2
4 1 2
2
–5 f (x) 4 x 3 x 3 8x x 3 12.
5 3 2 f(x) x – 3x 3 SoluciónUse la derivada de una función compuesta [u (x)]' nu (x)[u(x)]'n
n 1
3 2
5 1 3 2
'
2 3 2
4f '(x) 5 x – 3x 3 x – 3x 3 5 3x 6x x – 3x 3
13. f(x) = ln(x+1) – ln(x2 –1)
Solución
Use la derivada de una función compuesta [ln(u(x))]'
[u(x)]' u(x)
' 2 ' 2 x 1 x 1 1 2x x 1 2x 1 f '(x) x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) x 114. f(x) = ln(8x –2) + ln(x2 +x)
Solución
Use la derivada de una función compuesta [ln(u(x))]'
[u(x)]' u(x)
' ' 2 2 3 2 2 2 2 2 2 8x x x 16x 2x 1 2 2x 1 2(x 1) 2x 1 1 f'(x) x x(x 1) 8x x x 8x x x x x x x 15. f(x) = x2ln(2x+1) SoluciónUse la derivada del producto y de una función compuesta
2 ' 2 2 2x f '(x) x ln 2x 1 x [ln 2x 1 ]' 2xln 2x 1 2x 1 16.
x 2 (x 3x) 4x 3 f(x) e e e SoluciónUse la derivada [e ]' u'(x)eu(x)
u(x)
x ' x ( ) ( ) 2 2 (x 3x) 2 4x 3 x (x +3x) 4x 1 3 f '(x) e (x 3x)'– e (4x)' e (2x 3)e – 4e e 3 3 17.
7 cos(2x) x 5x f(x) e e e SoluciónUse la derivada [e ]' u'(x)eu(x)
u(x)
7 ' 7 cos(2x) x 5x cos(2x) x 5x 2 7 7 f'(x) e cos(2x) ' e e (5x)' 2sen(2x)e e 5e x x 18. f(x) = (x2 – 3x)e( 3x2) SoluciónUse la derivada del producto y de una función compuesta.
2
' ( 3x )
2 2
( 3x 2) ' ( 3x ) 2
2
( 3x
2) 2 '
f '(x)
x – 3x e
x – 3x
e
(2x 3)e
x – 3x
e
3x
2 3 2 3x f'(x) (6x
18x
2x 3)e19.
2 3 4 f(x) x 4 SoluciónUse regla de la cadena:
n n 1 k nk[u(x)]' [ ]' u (x) u (x)
3 2 2 3 3 3 3 3 3 4 2(x 4)' 8(3x ) 24x f'(x) x 4 x 4 x 4 20.
2 3 sen(x ) f(x) x SoluciónUse la regla del cociente y luego la regla de la cadena
' ' 2 3 2 3 4 2 2 2 2 2 6 6 2 4sen(x ) x sen(x ) x 2x cos(x ) 3x sen(x ) 2cos(x ) 3sen(x ) f'(x) x x x x 21.
3 2 2x 1 f(x) x x SoluciónUse la regla de la cadena y luego la regla del cociente
' ' 2 2 3 1 ' 2 2 2 2 2 2 2x 1 x x 2x 1 x x 2x 1 2x 1 2x 1 f '(x) 3 3 x x x x x x x x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 2x 1 (2x 1) 2x 1 2x 1 2x 2x 4x 1 f '(x) 3 3 x x x x x x x x
2 2 4 4 3(2x 1) (2x 2x 1) f'(x) x (x 1)22.
2 4x 6 f(x) x 3x 4 SoluciónUse la regla del cociente y luego la regla de la cadena Recuerde:[ u(x)]'
u'(x)2 u(x)
' ' 2 2 2 4x 6 x 3x 4 4x 6 x 3x 4 f'(x) x 3x 4
2 2 2 2 2 2 2 (x 3x 4)' 2x 3 4 x 3x 4 4x 6 4 x 3x 4 4x 6 2 x 3x 4 2 x 3x 4 f'(x) x 3x 4 x 3x 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 (2x 3) 4 x 3x 4 4( x 3x 4) (2x 3) 7 x 3x 4 f'(x) x 3x 4 (x 3x 4) x 3x 4 (x 3x 4) 23.
cos 3x 4 f(x) sen 4x 3 SoluciónUse regla del cociente y regla de la cadena
2[cos 3x 4 ]'sen 4x 3 cos 3x 4 [sen 4x 3 ]' f'(x) sen 4x 3
2sen(3x 4)[3x 4]'sen 4x 3 cos 3x 4 cos(4x 3)[4x 3]' f'(x) sen 4x 3
23sen(3x 4)sen 4x 3 4cos 3x 4 cos(4x 3) f'(x) sen 4x 3
2
3sen(3x 4) 4cos(3x 4)cos(4x 3) f'(x) sen(4x 3) sen (4x 3) 24. 2 x f(x) ln cos 2
Solución
Aplique la derivada de un logaritmo y la re gla de la cadena.
2 2 2 2 2 2 2 2 ' x x x sen( ). x [cos( )]' 2 2 xsen( ) x 2 2 f '(x) x tan( ) 2 x x xcos( ) cos( ) cos( )
2 2 2 25.
x x e 2 f(x) ln e 2 SoluciónAplique propiedades de logaritmos
x
x
f(x) ln(e 2) ln(e 2)
Use la derivada del logaritmo natural
x x x x x x x x x x x x x x x 2x (e 2)' (e 2)' e e e (e 2) e (e 2) 4e f'(x) e 2 e 2 e 2 e 2 (e 2)(e 2) e 4 26. f(x) ln 1 cos(x) 1 cos(x)
SoluciónAplique propiedades trigonométricas en el radicando
2 2
2 2 2
1 cosx (1 cos(x))(1 cos(x)) 1 cos (x) sen (x)
f(x) ln ln ln ln
1 cosx (1 cos(x)) (1 cos(x)) (1 cos(x))
senx f(x) ln 1 cosx
Aplique propiedades de los logaritmos
1 cos(x) sen(x) f(x) ln ln( ) ln(sen(x)) ln(1 cos(x)) 1 cos(x) 1 cos(x)
Ahora, aplique las propiedades de las derivadas y también las identidades trigonométricas
2 2
(sen(x))' (1 cos(x))' cos(x) sen(x) cos(x) cos (x) sen (x) f'(x)
2 2
cos(x) [cos (x) sen (x)] cos(x) 1 1
f '(x) csc(x)
sen(x)(1 cos(x)) sen(x)(1 cos(x)) sen(x)
27.
3 2 3 x f(x) (1 x ) SoluciónAplique la derivada de un cociente
3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3x 3x (1 x ) 1 x (1 x )' (x )' (1 x ) x [ (1 x ) ]' 2 f'(x) (1 x ) [ (1 x ) ]
2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3x (1 x ) 3x 1 x 3x 1 x (1 x x ) f'(x) (1 x ) (1 x )
2 2 2 3 3x 1 x f'(x) (1 x ) 28.
2 2 3 4 x f(x) (1 x ) SoluciónAplique la derivada de la raíz cuadrada
' 2 2 2 3 2 2 3 ' 2 3 2 2 6 2 3 2 2 2 3 2 3 4 x (4 x )'(1 x ) (4 x )[(1 x ) ]' (1 x ) 4 x (1 x ) f'(x) (1 x ) 4 x 4 x 2 (1 x ) (1 x )
2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3 2 3 2 2x(1 x ) 6x(4 x )(1 x ) 2x(1 x ) 6x(4 x ) f'(x) 4 x 4 x 2(1 x ) 2(1 x ) (1 x ) 1 x
3 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2x 2x 24x 6x 26x 4x f'(x) 4 x 4 x 2(1 x ) 2(1 x ) 1 x 1 x29.
1 x 1 x f(x) 1 x 1 x Solución Racionalice el denominadorAhora aplique la derivada del cociente y de la raíz cuadrada
Finalmente simplifique y se obtiene
30.
2 2 2 x f(x) a a x SoluciónAplique la regla del cociente y la regla de la raíz cuadrada
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' x' a x x a x x 1 f'(x) a a a x a x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a x )' 2x a x x a x x 1 2 a x 1 2 a x f'(x) a a x a a x 2 ( 1 x 1 x)( 1 x 1 x ) 1 x 1 x 2x f(x) ( 1 x 1 x ) 1 x 2 1 x 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 2 x f(x) 1 1 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' x ' 1 1 x x 1 1 x 1 1 x x x x 1 x f '(x) 1 1 x 1 1 x 1 1 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x (1 x ) x 1 x 1 1 1 x 1 x f '(x) 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x x x a x a x x 1 a x 1 a x 1 f'(x) a a x a a x a (a x ) a x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a x x 1 a 1 f'(x) a (a x ) a x a (a x ) a x (a x ) a x Racionalizando se tiene
2 2 2 2 2 a x f'(x) (a x ) 31.
1 x f(x) 1 x Solución Primer métodoEscribe la función como exponente fraccionario
1 2 1 x 1 x f(x) 1 x 1 xAplique la regla de la cadena:
1/2 1/2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x f (x) 2 1 x 1 x 2 1 x 1 x
1 1 2 2 2 2 1 1 1 x 1 x 1 1 x 2 x 2 x 1 1 x 1 x 1 x f'(x) 2 1 x 1 x 2 1 x 2 x 1 x
1 2 2 1/2 1/2 1 1 x 1 1 f'(x) 2 1 x x 1 x 2 x(1 x) (1 x) (1 x)(1 x)
1/2
1/2
1/2
1 1 1 f'(x) 2 x (1 x)(1 x) 2 x(1 x) (1 x) (1 x) 2 x(1 x) (1 x) Segundo método Racionalice el radicando:
2
2
1 x (1 x)(1 x) 1 x 1 x f(x) 1 x (1 x) (1 x) 1 xAplique la regla del cociente
2 2 2 ' ' (1 x) 1 x x x 1 x 1 x (1 x) 1 x 1 x 2 1 x 2 x 2 x 1 x f'(x) 1 x 1 x 1 x 2 ( x 1) 1 2 x 1 x f'(x) 2 x (1 x)( x 1) 1 x
ComentarioA veces es mejor reducir la expresión dada usando propiedades algebraicas y luego aplicar las propiedades de las derivadas.
32.
2 2 2 2 2 x a f(x) x a ln(x x a ) 2 2 SoluciónAplique la regla del producto en el primer término y en el segundo la derivada del logaritmo natural.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' x x a x x a f '(x) x a x a 2 2 2 x x a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' x a a 1 2 x a x x a 1 f '(x) x a 2 4 x a 2 x x a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 1 x a x a f '(x) x a 2 2 x a 2 x x a
Sacando mínimo común múltiplo se tiene
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x a x a x a x f '(x) ( ) 2 x a 2 x a x x a Simplificando se tiene
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x a a 2x 2a x a f'(x) 2 x a 2 x a 2 x a x aFinalmente racionalice y se tiene
2
2f'(x) x a
33. f(x)
x cos (x )sen(x )3 4 5 3Solución
Aplique regla del producto dos veces y t ambién regla de la cadena
3 4 5
3 3 4 5
3
' '
f'(x) x cos (x ) sen(x ) x cos (x ) sen(x )
3 ' 4 5 3 4 5 ' 3 3 4 5 3 3 '
f '(x) x cos (x ) x cos (x ) sen x x cos (x )cos(x ) x
2 4 5 3 3 5 5 5 ' 3 5 4 5 3
f'(x) 3x cos (x ) 4x cos (x )( sen(x )) x sen x 2x cos (x )cos(x )
2 4 5
7 5 3 5 3
5 4 5 3f'(x) 3x cos (x ) 20x sen(x )cos (x ) sen x 3x cos (x )cos(x )
Finalmente aplique la propiedad distributiva
2 4 5 3
7 5 3 5 3
5 4 5 334. f(x) arct g 4x
2
1
Solución
' 2 2 2 2 2 2 8x 4x 1 1 2 4x 1 f'(x) 1 4x 1 x 4x 1 1 4x 1
35.
2 sen(x ) x f(x) e arctan lnx SoluciónAplique la regla del producto
2 2
sen(x ) 2 x sen(x ) x
f'(x) e sen(x ) 'arctan e arctan '
lnx lnx
Ahora, factorice y aplique la derivada de la función seno y arcotangente.
2 2 sen(x ) 2 x ' x ln(x) 2xcos(x )arctan ln(x) f'(x) e x 1 ln(x)
2 2 sen(x ) 2 2 2 2 ln(x) 1 x ln x f'(x) e 2xcos(x )arctan ln(x) ln (x) x ln (x)
Simplificando
2 sen(x ) 2 2 2 x ln(x) 1 f'(x) e 2xcos(x )arctan ln(x) ln (x) x36.
2 8 2 2
f(x) arcsen cos (x ) Ln sec ( 2x) 10 x
Solución
Aplique la derivada de la función arcoseno y sec(-x)=sec(x)
2 2 2 2 2 2 ' 8 cos x ln sec 2x 10 x f'(x) 8 1 cos x ln sec 2x 10 xAplique regla de la cadena en el primer y segundo miembro del numerador
2 ' 2 2 2 2 2 sec 2x 10 ' 8 8 82cos x sen x x ln sec 2x 10
x x x sec 2x 10 f'(x) 8 1 cos x ln sec 2x 10 x
2 2 2 2 2 2 2 2 x 8 16 4sec (2x)tg(2x) sen 2x ln sec 2x 10 x x sec 2x 10 f'(x) 8 1 cos x ln sec 2x 10 x
2 2 2 2 2 2 2 x 8 16 4tg(2x) sen 2x ln sec 2x 10 x x 1 10cos (2x) f'(x) 8 1 cos x ln sec 2x 10 xProblemas sobre recta tangente y recta normal
1. Calcule los puntos en que la recta tangente a la curva f(x) x
3 3x 9x 52 es paralela al eje OX. Halle también la ecuación de la recta tangente y la recta normal en esos puntos.Solución
Para que la recta tangente sea paralela al eje OX, su pendiente de ser cero. Es decir
2
Al resolver esta ecuación se tiene x
1; x 3
. Por lo tanto, los puntos en donde la recta tangente es paralela al eje OX son( –1; 10), (3; -22)
Ecuación de la recta tangente:
y 10; y
22 Ecuación de la recta normal:x
1; x 3
2. Se ha trazado una recta tangente a la curva f(x) x
3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0;−2). Halle los puntos de tangencia y las ecuaciones de la recta tangente y normal en cada punto.Solución
La pendiente de la recta tangente es:
2
f'(x) 3x 3
x 1Entonces los puntos de tangencia son:
( 1; 1), (1;1)
Ecuación de la recta tangente:T1
L : y ( 1) 3(x ( 1))
y 3x 2 0 (Se descarta pues esta recta no pasa por (0; –2) ) T2L : y 1 3(x 1)
y 3x 2 0 Ecuación de la recta normal:LN 1 1 m f '(x) 3
L : y 1 N1 1(x 1) 3y x 2 0 3
3. Halle la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva f(x) ln(tg(2x))
en el punto de abscisa x8
.Solución
Cálculo de la pendiente de la recta tangente y normal
tg(2x) '
22sec (2x) 2 4
f'(x) 4csc(4x)
tg(2x) tg(2x) cos(2x)sen(2x) sen(4x)
Entonces LT m f '( ) 4csc( ) 4 8 2
y mLN 1 1 4 f ' ( ) 8
Para calcular el punto de tangencia se debe de reemplazar la abscisa en la función dada. Es decir: 2 f( ) ln(tg( )) ln(tg( )) ln(1) 0 8 8 4
Entonces el punto de tangencia es:
( ; 0) 8
Por lo tanto, las ecuaciones de la recta tangente y la normal son:
T N x L : y 4x ; L : y 2 4 32
4. Demuestre que la recta normal a cualquier punto de lacircunferencia x 2
y 2
r2 pasa por el origen.Demostración
Despejando la variable y setiene:
2 2 2 2 2
x y r y
r xSea (a,
r a )2
2 los puntos de tangencia a la circunferencia. Entonces la pendiente de la recta nornal es:2 2 LN 2 2 1 1 r a m a y'(a) a r a
Por tanto, la ecuación de la recta normal es: 2 2 2 2 r a 2 2 y ( r a ) (x a) y r a a
2 2 2 2 r a x r a a
2 2 r a y x a
Esta recta demuestra que para cualquier punto de tangencia a la circunferencia, la recta normal en ese punto pasa por el origen.
5. Dos circunferencias de radio 4 son tangentes a la gráfica y 2
4x, en el punto (1; 2). Encontrar las ecuaciones de esas dos circunferencias.Solución
Si las circunferencias son tangentes a la parábola en el punto (1; 2) significa que tienen la misma recta tangente. Por otro lado, el centro de cualquier circunferencia está sobre la recta normal en cualquier punto. Entonces se debe encontrar la pendiente de la recta tangente a la parábola en el punto (1; 2) y luego la ecuación de la recta normal en ese punto. Es decir:
1 y 2 x y'(x)
x
Pendiente de la recta tangente:
LT
m
y'(1) 1
Pendiente de la recta normal:
LN
1
m 1
y'(1)
Le cuación de la recta normal es:
y 2 (x 1) y
x 3Los centros están ubicados sobre esta recta normal, esto quiere decir que el centro (h; k) satisface dicha ecuación. Es decir:
k
h 3Usando la distancia entre dos puntos calculemos el radio de la circunferencia. Es decir:
2 2 2 2 2 2
(h 1) ( h 3 2) 4
(h 1) ( h 1) 16 2(h 1) 16 h 2 2 1
Entonces los centros son
(2 2 1; 2 2 2), ( 2 2 1; 2 2 2)
Finalmente las ecuaciones de las circunferencias tangentes a la parábola son:
2 2 2 1 C : (x 2 2 1) (y 2 2 2) 4
2 2 2 C : (x 2 2 1) (y 2 2 2)
4 C1 C2 LT : y=x+1 LN : y=–
x+36. Dada la función f(x) tg(x)
, halle el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.Solución
Cálculo de la pendiente de la recta tangente en el origen, es decir en el punto (0; 0) 2
LT
m
f '(0) sec (0) 1
Por otro lado, la pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. Es decir:
tg( ) m
; donde el ángulo de inclinación es
Entonces, en ángulo que forma la recta tangente a la la función dada en el origen con el eje de abscisas es el ángulo de inclinación de dicha re cta. Es decir:
tg( ) 1
457. Halle los coeficientes de la ecuación f(x) ax bx c
2
, sabiendo que su gráfica pasa por (0; 3) y por (2; 1), y en este último punto su recta tangente tiene pendiente 3.Solución
Si la función pasa por los puntos (0; 3) , (2; 1) entonces se cumple: 2
3 a(0) b(0) c
c 3 (1) 21 a(2) b(2) 3
2a b 1 (2)Por dato también se tiene que la pendiente de la recta tangente en (2; 1) es 3. Es decir:
f '(x) 2ax b
f '(2) 4a b 3
(3) De la ecuación (2) y (3) se tiene:a 2 ; b 5
Por lo tanto, los coeficientes son:
a 2 ; b
5; c 38. Determine los valores a, b y c de modo que f(x) x
2 ax b
y g(x) x
2 cx tengan la misma recta tangente en el punto (2; 2).Solución
f tiene la misma recta tangente que g entonces sus pendientes son iguales. Es decir,
f g
m m 2x a 2x c a c
c 1 g : 2 4 2c c 1 b 0 f : 2 4 2a b 2 2c b a 19. Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) = x2 + x+ 1, sabiendo que dicha recta pasa por (37; 0)
Solución
Cálculo de la pendiente
Sea el punto de tangencia (x;y) (x;x
2
x 1) entonces Use la derivada para calcular la pendiente de la recta tangente:
1
m f '(x) 2x 1 (1)
Calcule la pendiente usando los dos puntos por donde pasa la recta normal: (x;x 2
x 1)y (37; 0)
2 2 2 (x x 1) x x 1 m 37 x x 37 (2)Como la recta normal y la recta tangente son perpendiculares se cumple:
1 2 m m 1
2 x x 1 (2x 1) 1 x 37
2
(2x 1)(x x 1) 37 x Efectuando se tiene
3 2 2x 3x 4x 36 0Use el método de Ruffini y se tiene
2
(x 2)(2x 7x 18) 0
El término cuadrático es siempre positivo puesto que el discriminante es –95. Entonces x 2
y el punto de tangencia es (2; 7).
Por otro lado, la pendiente de la recta normal es: 2
11 1 m
m 5
Por lo tanto, usando la ecuación punto pendiente se tiene la ecuación de la recta normal:
1
y 0 (x 37)
5
5y
(x 37)
5y x 37 0
10. Encuentre todos los puntos de la curva f(x) x x 1
3 tales que la tangente a la curva en dichos puntos sea perpendicular a la recta x 2y 12 0
y obtener las ecuaciones de lasSolución
Como la recta tangente (LT) es perpendicular a la recta L1 : x 2y 12 0
, se cumple que:
T 1 1 T 1 m m 1 m m 2 2 Pero
2
T f'(x) m 3x 1 2 x 1 Entonces P0(1,1) y P1(-1,1)Por lo tanto, las ecuaciones de las rectas tangentes son:
T1
L : y 1 2(x 1) y 2x 1 0
T2
L : y 1 2(x 1) y 2x 3 0
Aplicaciones1. Balística. Los expertos en Balística pueden identificar el arma que disparó cierta bala estudiando las marcas en el proyectil. Las pruebas se realizan disparando en un bulto de papel. Si la distancia S, en centímetros, que la bala recorre en el papel está dada por
3
s(t) 27 (3 10t)
para 0
t
0,3 segundos, encuentre la velocidad de la bala en un décimo de segundo después de que golpea e l papel.Solución
Derive la función s(t)
3s(t) 27 (3 10t)
s'(t) 3(3 10t) ( 10) 30(3 10t)2
2Analice la derivada en el décimo se gundo
2
1 1
s'( ) 30(3 10 ) 120 10
10
La velocidad es de 120 cm/s
2. En el instante t 0
, un saltador se lanza desde un trampolín que está a 16 metros sobre el nivel del agua de la piscina. La posición del saltador viene dada por s(t)
8t 2 8t 16; cons
en metros y t en segundos.a) ¿Cuándo entra el saltador en el agua?
b) ¿Cuál es su velocidad en ese momento?
Solución
a) Saltador entra al agua significa que s(t)=0. Es decir:
2b) La velocidad es la derivada de la posición. Es decir:
s'(t) 16t 8
s'(2)
16(2) 8
24El saltador entra al agua con una ve locidad de 24 m/s
3. Velocidad promedio. Si se lanza un objeto hacia arriba a 64 pies / seg desde una altura de 20 pies, su altura S después de x segundos se determina por S(x) = 20 + 64x – 16x2. ¿Cuál es la velocidad promedio de los
a) primeros 2 segundos después de que se lanzó?
b) Siguientes 2 segundos?
Solución
La velocidad es la derivada de la función altura S . Es decir:
S'(x) 64 32x
La velocidad promedio en los dos primeros segundos es:
S'(2) S'(0) 0 64 32 2 0 2 0La velocidad promedio en los dos segundos siguientes es:
S '(4) S '(2) 64 0 32 4 2 4 24. Si la función del costo total de un fabricante está dado por
2 6q C 6000 q 2
encuentre lafunción del costo marginal.
Solución
El costo marginal es la derivada del costo entonces aplicar la drivada de un cociente para el primer término y la derivada de una constante para el segundo término.
2 2 2 2 2 2 2 2 dC 12q(q 2) 6q 12q 24q 6q 6q 24q 6q(q 4) CM dq (q 2) (q 2) (q 2) (q 2)
5. Si p q 12 q 5
es una ecuación de demanda, encuentre la razón de cambio del precio p conrespecto a la cantidad q.
Solución
2 2 2 2 2 dI d q 12q (2q 12)(q 5) (q 12q) q 10q 60 IM dq dq q 5 (q 5) (q 5)
6. Un empresario que emplea m trabajdores encuentran que producen q 2m (2m 1)
3unidades de productos diariamente. El ingreso total r (en dólares) está dado por
50q r
1000 3q
Determine el producto del ingreso marginal cuando hay 12 trabajadores
Solución
La derivada del ingreso con respecto del número de empleados se le llama producto del ingreso marginal.
Entonces en nuestro problema nos piden calcular
m 12
dr
dm .
Apliquemos regla de la cadena y se tiene:
3 50q d( ) 1000 3q dr dr dq d(2m (2m 1) ) dm dq dm dq dm
3 2 3 50 1000 3q 50q 2 1000 3q dr 2 (2m 1) 2m(3 2m 1) dm 1000 3q
3
75q 50 1000 3q 1000 3q dr 2 (2m 1) 6m 2m 1 dm (1000 3q)
Si m= 12, entonces q 2(12) (2(12) 1)
3
24 25 3
24(5 ) 30003
Luego, reemplazando los valores de m y q en la última ecuación se tiene:
3
25q 50 1000 3(3000) dr 1000 3(3000) 2 (2(12) 1) 6(12) 2(12) 1 dm (1000 3(3000)
3
75q 50 10000 10000 dr 11 671 2 (25) 72 25 610 167,75 dm 10000 40 4
Esto significa que si se emplea a un trece avo trabajador, el ingreso aumentará en aproximadamente 167,75 dólares.
