Números reales. Ejercicio 1: Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta.

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Números reales

Ejercicio 1: Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta.

a) 5

32 4 es un número irracional b) − 38 19 es un número racional

c)Todas las raíces de índice par son números irracionales

d) La suma de dos números racionales es siempre un número racional. e) La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional. f) Todo número entero es también número racional y real.

Ejercicio 2: En una clase de ciencias,

4

9 han elegido biología y el 43% física. ¿Qué asignatura es la más

elegida?

Ejercicio 3: Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log0,0001= x

b) log33 9 = x c) logx16=4 d) log5 x=−2

Ejercicio 4: ¿Cuáles de los siguientes números son naturales?

a)

b) c)

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d) e) f) g) h)

Ejercicio 5: Realiza las siguientes operaciones:

a) b)

c) d)

Ejercicio 6: Un profesor dio las notas del examen de esta unidad: “El 40% de la clase ha suspendido. Tres cuartos del resto ha aprobado, pero sin llegar al sobresaliente. Los 6 que quedan han sacado sobresaliente”. ¿Cuántos alumnos hay en clase de dicho profesor?

Ejercicio 7: Si 2 3 1 1− = A y 3 2 1 1− = B ¿Cuánto vale B A B A ⋅ − ?

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Polinomios

Ejercicio 1: ¿Son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones? Justifica todas tus respuestas. a) Si las raíces de P(x) son 2 y 3, entonces podemos escribir ( ) 5 2 25 30

+ − = x x x P b) El resto de la división de ( ) 2011 2010 2009 ... 2 1 + + + + + + = x x x x x x P entre x-1 es 2011 c) 4 1 2 6 3 ) ( 3 7 3 4 + − − + = x x x x x x Z es un polinomio de grado 4 d) z y x z y x 6 3 6 5 123 4 13 es un monomio

e) x+1 es el único factor del polinomio P(x)= x100 +x99+...+x2 +x

f) Al multiplicar un polinomio de grado 5 por sí mismo 3 veces, el nuevo polinomio es de grado 125 Ejercicio 2: Sea Q(x) un polinomio de grado 3 que cumple: Q(-2)=Q(-5)=0, y además 1 es raíz del Q(x). ¿Cuál es la posible expresión del polinomio Q(x)?

Ejercicio 3: Obtén el valor de m para que el polinomio ( ) 3 6 2 4 8 + − −

=mx x x

x

P tenga 2 como raíz

Ejercicio 4: Determina a y b de manera que el polinomio Q(x)=x3+ax2 +bx−6 sea divisible entre x-2 y entre x+3

Ejercicio 5: Sea el polinomio ( ) 3 4 6 − + = x mx x

P Halla el valor de “m” sabiendo que el resto de la división de P(x) entre (x+1) es igual a 5.

Ejercicio 6: Encuentra el valor de “n” para que el polinomio Q(x)=2x3 +2x2 +nx+3sea divisible entre x+3

Ejercicio 7: Halla un polinomio de segundo grado, R(x), que cumpla: R(1)=5, R(-1)=9 y R(0)=4

Ejercicio 8: Encuentra un polinomio de grado 2 que tenga por raíces 1 y -2 y que P(3)=30.

Ejercicio 9: ¿Qué valor ha de tomar “a” para que el resto de dividir Z(x)= x3 +ax2 +−3xa entre x-4 sea 67?

Ejercicio 10: Determina a y b de manera que el polinomio sea divisible entre (x-5) y (x+1)

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Ecuaciones y sistemas

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 22 3·2 1 8 0 = + − x+ x b) 52 1 125 = − x c) x5 −20x3 =−64x d) x2 − 2x+x= x e) 2x−1−6=− x+4 f) 1+2log2=logx+log(x−3) g) log33 81= x3 +2 h) 2 1 9 4 + = − x x x i) 3 5 1 4135 + = − x x j) log(3 6) log2 2 1 ) 2 log(x− − x− = k) 3 4 3 3 12 2 12 0 = − + + − x x x x l) 2x−2 x+5=2

Ejercicio 2: Si a uno de los lados de un cuadrado se le aumenta su longitud en 5 centímetros y a su lado contiguo en 0,3 decímetros, el área de la figura aumenta en 71 centímetros cuadrados. Calcula el área del cuadrado original, así como el valor de su lado.

Ejercicio 3: Halla dos números sabiendo que su suma es 16 y que la suma de sus inversos es 1/3.

Ejercicio 4: Un grupo de estudiantes organiza una excursión y deciden alquilar un autocar cuyo precio es de 540 €. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 €

menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno

Ejercicio 5: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

a) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − − 27 3 3 3 3 2 2 y x y x b) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − − 5 5 1 5 3 2 2 y x y x

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c) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + + + 5 41 2 9 5 2 1 2 y x y x d) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = − − + 7 1 7 7 1 7 5 4 3 2 y x y x

Ejercicio 8: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas: a) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 1 log log 64 2 3 y x y x b) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 3 log log 2 200 log log log y x y x c) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + = − 7 log log 8 2 2x y y x d) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + 1 log 7 log 5 log y x y x

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Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

Ejercicio 1: La tirada de una revista mensual tiene unos costes de edición de 30.000 €, a los que hay que sumar 1,50 euros de gastos de distribución por cada revista publicada. Si cada ejemplar se vende a 3,50 euros y se obtienen unos ingresos de 12.000 € por publicidad. ¿Cuántas revistas se deben vender para empezar a obtener beneficios?

Ejercicio 2: Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.

Ejercicio 3: Una madre y su hija se llevan 25 años. Determina en que periodo de sus vidas la edad de la madre excede en más de diez años al doble de la edad de la hija.

Ejercicio 4: Se consideran los rectángulos cuya base mide el doble que su altura. ¿Cuáles verifican que su área está comprendida entre 8 y 72 centímetros cuadrados?

Ejercicio 5: Una empresa de alquiler de coches ofrece dos posibles modelos de contrato. El modelo A consiste en pagar una cantidad fija de 50€ además de 8 céntimos por cada kilómetro recorrido. El modelo B consiste en pagar 80€ sin limitación de kilometraje. ¿A partir de cuántos kilómetros nos interesa alquilar el contrato modelo B?

Ejercicio 6: Resuelve la siguiente inecuación: a)−𝑥 𝑥 + 2 < −3(𝑥 + 2)

Ejercicio 7: Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: a) 2𝑥!− 3 ≤ 6𝑥 + 5

7𝑥 + 1 ≤ 13 + 4𝑥

Ejercicio 8: Un número natural es tal que la sexta parte del número anterior es menor que 6; además la sexta parte del número natural siguiente es más que 6. ¿De qué número natural estamos hablando? Ejercicio 9: Para la calificación de un curso, se decide que la nota de la primera evaluación pondere un 25%, la segunda un 35% y finalmente la tercera el % restante. Un alumno ha sacado un 5 en la primera evaluación y un 7 en la segunda. ¿Qué nota ha de obtener en la tercera evaluación si desea que su calificación final sea mayor que 7?

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Estadística

Ejercicio 1: En el colegio Abecé que cuenta con un total de 250 alumnos inscritos en secundaria. El 60% son chicos, de los cuales el 30 % no viven en Gandía. En cambio de las chicas el 75 % sí que viven en Gandía.

Detalla como ha de ser la estructura de una muestra significativa que conste del 60% de todo el alumnado del colegio Abecé.

NOTA: Puedes hacer una tabla para organizar los datos.

Ejercicio 2: La siguiente tabla presenta el número de horas semanales que dedican al estudio los 30 alumnos de una clase de 4º de ESO

Nº de Horas Nº Alumnos [0,3[ 3 [3,6[ 10 [6,9[ 8 [9,12[ 7 [12,15[ 2

a) Halla el rango, la media, la moda, la mediana y los otros dos cuartiles. b) ¿Hay algún valor atípico? Si los hay calcúlalos y nómbralos.

Ejercicio 3: Si la media de una distribución es 1,97 y la desviación típica es 0,08: a) Halla el intervalo en el cual se encuentra el 99% de los datos de la distribución.

b) Si tenemos otra distribución con media 50,18 y desviación típica 26,13. ¿Cuál es más dispersa? Justifica tu respuesta

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Ejercicio 4: Se realiza una encuesta sobre las edades de los asistentes a un concierto. Para ello se

entrevista a 5000 personas de las que acuden al mismo, mediante el método de preguntar a una de cada 10 que entran por la puerta. Los resultados obtenidos son los siguientes:

a) 50 dicen tener menos de 20 años, pero eran mayores de 10 b) La cuarta parte, desde 21 hasta 30 años

c) 3 de cada 5, de 31 a 40

d) Sólo 25 resultan ser mayores de 40 años, pero ninguno era cincuentón a) ¿Cuál es la población y cuál es su tamaño?

b) ¿Cuál es la muestra y cuál es su tamaño?

c) Calcula todos los parámetros de posición y de dispersión

Ejercicio 5: La siguiente tabla muestra la comparación entre los goles anotados por dos jugadores a lo largo de 10 partidos de la liga.

Partido Jugador A Jugador B

Jornada 1 2 0 Jornada 2 2 3 Jornada 3 1 3 Jornada 4 2 0 Jornada 5 3 0 Jornada 6 2 5 Jornada 7 1 0 Jornada 8 1 2 Jornada 9 2 0 Jornada 10 2 5

a) ¿Qué jugador tiene un promedio goleador más alto?

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Geometría

Ejercicio 1: No hay dossier voluntario en este tema.

Para obtener un punto, has de elegir un objeto o dos de tu casa y calcular: • Área

• Volumen

El trabajo voluntario constará de un video de unos 2-3 minutos en el que has de: • Mostrar el objeto elegido

• Explicar el porqué lo has elegido

• Visualizar varias fotografías en el video explicando los pasos a seguir para calcular el área y el volumen de dicho objeto.

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Funciones

Ejercicio 1: Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f ( x)= − 196x+ 17x2+ 4x− 5 b) g( x)= −196x+ 17

x2+ 4x− 5 c) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > − ≤ ≤ − − + − < − + − = 1 10 10 1 3 4 5 3 6 3 2 ) ( 2 2 x si x x si x x x si x x x x h d) j( x)=

5x+ 20 x2+ 4x− 5

Ejercicio 2: Dadas las siguientes funciones, f ( x)= 2 x+ 4 , g( x)= x2− 4 y h( x)=

2x+ 4 calcula: a) (f !g!h)(x) b) (f !g!h)(−2) c) (f !g!h)(0) d) Calcula h−1(0) e) Calcula 1( 4) − − h

f) ¿Alguna función es simétrica?, ¿Cuál? Justifica tu respuesta. g) Calcula en g(x) la Tasa de Variación en el intervalo [0,4]

Ejercicio 3: Una pelota tras ser golpeada por Rafa Nadal sigue una trayectoria dada por la expresión

2 8 )

(t t t

f = − , siendo “t” el tiempo en segundos transcurridos desde el golpeo y f(t) la altura en metros a la que se encuentra la pelota. Justifica los cuatro apartados.

a) ¿A qué tipo de gráfica corresponde esta trayectoria? b) ¿Cuándo alcanza la pelota su máxima altura? c) ¿Cuál es esa altura máxima conseguida? d) ¿En qué momento cae la pelota a la pista?

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Ejercicio 4: El coste de producción de x unidades diarias de un determinado artículo es 35 25 4 1 2 + + x x y

el precio de venta de uno de ellos es de

4 50−x

a) Escribe la función

b) Halla el número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo. c) ¿Cuál es ese beneficio máximo?

d) Representa la función del beneficio.

Ejercicio 5: El crecimiento de un cultivo de bacterias es tal que a cada hora se duplica el número de las mismas. En estas condiciones, si había 1000 bacterias al iniciar el experimento, el número habrá

aumentado a 2000 después de una hora, 4000 después de dos horas y así sucesivamente. Véase la siguiente tabla.

T 0 1 2 3 4

F(t) 1000 2000 4000 8000 16000

a) Indica que tipo de función es b) Escribe su expresión analítica. c) Representa la función.

Ejercicio 6: En el contrato de trabajo a un vendedor de libros le ofrecen dos alternativas: A: Sueldo fijo mensual de 1000€

B: Sueldo fijo mensual de 800€ más el 20% del dinero de las ventas que realice. a) Escribe la expresión analítica de cada función, indicando las variables

b) ¿Qué contrato es más ventajoso en función de las ventas que realice? c) Representa ambas funciones e indica el punto de corte

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Ejercicio 7: Paula tiene que vender 100 papeletas para el viaje de fin de curso. Sabe que ella sola tardaría 10 días en venderlas. Por lo tanto, decide pedir ayuda a sus amigos.

a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona las variables número de personas y tiempo que tardan en vender las 100 papeletas.

b) ¿Qué tipo de función es? c) Represéntala gráficamente.

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Límite de funciones. Continuidad

Ejercicio 1: Calcula los siguientes límites:

a) 3 6 3 2 2 1 + + − − − → x x x x im x ℓ b) 1 3 2 1 6 4 2 − → ⎟ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + x x x x x x im ℓ c) x x x x x im 3 2 0 5 1 1 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − → ℓ d) 2 6 2 2 2 − + → x x x x im x

Ejercicio 2: Dada la siguiente función:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + < ≤ − − − < + = 2 1 3 2 1 2 1 3 2 ) ( 2 x si x x si x x si x x x f Estudia su continuidad

Ejercicio 3: Dada la función:

1 3 5 ) ( 2 2 3 − − − − = x x x x x f

a) Estudia sus discontinuidades indicando el tipo de las mismas. b) Indica las asíntotas de la función, si es que las tiene.

Ejercicio 4: Halla el valor de “a” para que la siguiente función sea continua:

⎩ ⎨ ⎧ > + ≤ + = 1 3 2 1 2 ) ( x si x x si a x f x

Ejercicio 5: El dominio de una función f(x) es ℜ−

{ }

7 y xim7 f(x)=7. ¿Es continua en x=7? Si la respuesta es negativa indica el tipo de discontinuidad que presenta. Justifica tu respuesta

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Ejercicio 6: Calcula m para que la siguiente función sea continua en todo su dominio: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − > − − ≤ + + = 1 1 3 ) ( 2 2 x si x x x si m x x x g

Ejercicio 7: Estudia la continuidad de la siguiente función:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < < − − − ≤ + = 3 1 7 3 2 7 2 2 5 ) ( 3 2 x si x x si x x si x x x g

Ejercicio 8: Calcula k para que la función

⎩ ⎨ ⎧ ≥ + < − = 3 3 3 ) ( 2 x si k x x si k x x g sea continua en todo su dominio:

Figure

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