2.1. Introducción.
En los siguientes temas y capítulos se pretende abordar el estudio del problema de la geodesia, este se define como la determinación de la forma o figura de la Tierra y del campo exterior de la gravedad asociado y también la determinación del elipsoide medio terrestre los cuales se obtienen mediante la observación de parámetros sobre y exteriormente a la superficie terrestre (Draheim 1971, Fischer 1975). Por otra parte en este texto también se realizarán ciertas consideraciones sobre la estructura y composición de la Tierra y como estos repercute en los valores de la gravedad observados y como a través de estos valores se puede obtener un mejor conocimiento de la estructura y composición de la Tierra. Los últimos temas se centran en aspectos instrumentales del observable de la gravedad, como se observa, su precisión y su referenciación.
En primer lugar definiremos con más precisión que es lo que estamos buscando. Efectivamente como ya hemos adelantado se persigue obtener la “forma de la Tierra”, en un primer momento puede parecer que dicho esto el problema queda acotado. Si miramos la fig. 2.1 y 2.2 vemos que existen diferentes superficies que podrían definir la “forma de la Tierra”.
La superficie física o topográfica de la Tierra la conforma el borde existente entre la parte sólida o fluida de la litosfera y la atmósfera, aunque recientemente ya se empieza a considerar el fondo oceánico como parte de la superficie física. Esta superficie es objeto de representación en cartografía, mediante técnicas topográficas, pero en si no constituye una buena superficie de referencia por la complejidad que presenta.
Una buena definición de la forma de la Tierra podría venir dada por la superficie del mar, esta superficie es de menor complejidad que la superficie física de la Tierra, debido
Superfic ie físic a o topográfica de la Tierra Superfic ie del m ar o “Geoide”
Elipsoide
a que esta superficie presenta una orografía muy suave sin rupturas. Esto es debido a que es una superficie equipotencial (si consideramos un mar en calma), este nivel viene determinado por el campo gravitatorio terrestre, siendo la acción gravitatoria de las masas terrestres el que establece el nivel de los mares, hay que tener en cuenta que los puntos de una superficie líquida deben tener el mismo potencial, ya que cualquier ganancia o perdida de potencial momentánea tiende a ser restaurada instantáneamente ya que los líquidos no tienen la posibilidad de vencerla por su falta de ligazón. El hecho de que esta superficie sea equipotencial lleva aparejadas otras ventajas, la más importante es la de ser una buena superficie de referencia para las altitudes. El mayor problema que se plantea es llegar a su definición, o sea como podemos averiguar que forma tiene esa superficie. Esta superficie presenta continuidad en el continente, para ello lo que se hace es prolongarla en los continentes uniendo los puntos que tienen el mismo potencial como veremos más adelante. En definitiva esta superficie es una buena representación de la figura de la Tierra.
Sin embargo hay que recordar que en cartografía utilizamos una superficie regular para realizar las proyecciones cartográficas, cualquier punto sobre la Tierra para su correcta representación es proyectado sobre una superficie regular, cuanto más aproximada a la forma de la Tierra sea la superficie sobre la que proyectamos su posterior representación será más exacta. En el caso de la Tierra con carácter general se establece que la figura más próxima es la de un elipsoide. Pero hay que tener en cuenta que esta es simplemente la aproximación regular más exacta.
Superficie del mar Geoide
Elipsoide Continente Superficie Topográfica
Por tanto cuando se hable de la figura de la Tierra hay que hablar de una superficie física ya que esta es generada por el campo gravitatorio terrestre, y a su vez hay que llegar a una definición geométrica de la misma, o sea que tendremos que llegar a una definición matemática de esta quiere decir que el conocimiento de la figura de la Tierra implica tanto su definición en términos físicos (coeficientes físicos relacionados con la masa terrestre) como en términos geométricos.
2.1.1. Antecedentes.
El problema de la geodesia no es un problema moderno, se puede considerar que es uno de los problemas matemáticos y físicos más antiguos que existen, aunque algunas veces el planteamiento de este se haya visto influenciado más por cuestiones religiosas y creencias que por criterios científicos. Lo cual ha motivado a lo largo de su historia avances y retrocesos.
Las primeras concepciones sobre la forma de la Tierra giran en torno a creencias mitológicas y suponen una Tierra con forma de disco, en la cual existe un continente rodeado de un océano, Illiada de Homero 800 a.c. y Thales de Mileto 600 a.c.
Posteriormente con la escuela de Pitágoras y Aristoteles (desde 500 a.c. en adelante) entre otros, se empieza a barajar la hipótesis de una Tierra esférica.
Es a Eratostenes de Alejandría a quien le corresponde el título de ser el primer Geodesta ya que fue el primer científico en realizar la primera medición sobre la superficie de la Tierra para obtener datos sobre esta, aunque estos fueron tomados de forma expedita, aunque su fundamento científico, la medida de arco, se ha aplicado con ciertas variaciones hasta la actualidad. El fundamento es sencillo en esencia y solo tiene en cuenta parámetros geométricos, este consiste en medir a lo largo de un meridiano el desarrollo lineal (l) de este y el ángulo (α) que lo comprende, obteniendo R (fig.2.3)
) 0 . 2 ( R l =α
Eratostenes calculo el radio terrestre con un error de un 2%, posteriormente Posidonius (135-51ac) realizo el mismo cálculo obteniendo un error de un 11%, hay que tener en cuenta que aun siendo el fundamento valido, la obtención de observables es
α l
fig.2.3
complicada, ya que hay procurar dos puntos en el mismo meridiano, medir la distancia entre estos puntos y realizar la medida de los ángulos a la misma hora (al mediodia).
Bajo este mismo fundamento en periodos sucesivos se realizaron el mismo tipo de medición, aunque con el tiempo el instrumental utilizado en la medida fue aumentado en precisión (el telescopio aparece en 1611 con Kepler) así como la metodología de observación.
Frisius (1508-1555) es el primero en utilizar el método de triangulación, este método permite a través de la medida de una base obtener el resto de los lados de un triángulo lo cual permite realizar medidas lineales de forma indirecta sobre la superficie de la Tierra con una mayor precisión. El primero en utilizar esta técnica para resolver la forma de la Tierra fue Snellius (1580-1626) fig.2.4.
Grimaldi y Riccioli idearon un método ligeramente diferente para la medida de arco, este consistía en la realización de visuales reciprocas para obtener el ángulo central (fig.2.5), aunque el desconocimiento de la refracción y las aberraciones de la lente no permitían obtener valores precisos.
fig. 2.4.Método de triangulación
Z1 Z2 α l α=z1+z2-π Fig.2.5
Ya el s. XVI y XVII los avances en física y cálculo así como la observación astronómica de otros planetas influenciaron decisivamente en la percepción de la figura de la Tierra y en su mecánica. Cabe citar como avances reseñables los realizados por Copernico y Kepler en lo relativo en la mecánica celeste (y de la Tierra) y los avances de Galileo Galilei en mecánica moderna (ley de la gravedad, ley del movimiento de un péndulo).
Es a partir de este punto cuando se empiezan a observar los valores de la gravedad mediante un péndulo. Se observó que el movimiento del péndulo no era regular en toda la Tierra, si no que el periodo variaba con la latitud, lo cual implicaba que la gravedad era cambiante, era de suponer que esto ocurría por que de alguna forma la distancia al centro de la Tierra variaba con la latitud. Además se observó en Júpiter un achatamiento en los polos (Cassini 1666). Todo esto hacia pensar que la Tierra no era tan esférica como se creía.
En 1666 la Academia de las Ciencias de París asume las tareas geodésicas y se inician las campañas pertinentes para la obtención de la media de los radios de los arcos en diferentes latitudes en la Tierra para averiguar su forma. La primera fue dirigida por Picard entre 1669-1700 entre París y Malvoisine obteniendo el radio de la Tierra con un error de un 0.01%.
Mientras Newton y Huygens realizaban modelos de Tierra que justificaran la variación de la gravedad observada, los únicos modelos satisfactorios conducían a modelos achatados por los polos. Además Newton establecía que la forma de una Tierra homogénea, fluida en rotación y en equilibrio físico pasaba por un elipsoide en rotación, según el modelo por el propuesto obtuvo un aplanamiento f de 1/230 (fig.2.6).
En cualquier caso la demostración de este aplanamiento pasaba por la medición de arco a diferentes latitudes. Maupertius y Clairaut participaron en la expedición para la medición de arco en la zona “polo” en Lapland (1736-1737) confirmándose finalmente en este campaña el achatamiento en los polos. Se realizó la revisión de la medida del meridiano de París (1739-1740) por Cassini. Y se realizó una segunda expedición a la zona del “ecuador” en Perú por Bouguer donde participó el español Ulloa. En definitiva la demostración de la elipticidad de la Tierra quedó demostrada mediante mediciones geométricas.
Sin embargo Newton estableció que la única figura física estable que cabría esperar en una Tierra homogénea y fluida era el elipsoide, quiere decir esto que indudablemente eran de esperar relaciones entre las propiedades físicas de la Tierra y su forma geométrica. Clairaut en 1743 enuncio un teorema el cual lleva su nombre en el cual condicionaba la forma de la Tierra al potencial de la Tierra. Clairaut estableció que era posible obtener la forma de la Tierra a través de la medida de los valores de la gravedad en dos puntos a diferente latitud. Esto implicaba la obtención de la forma de la Tierra de una forma más “fácil” y con un desarrollo conveniente implicaba una mayor precisión en el conocimiento de la forma de la Tierra. De esta forma se inicia la definición de la figura de la Tierra mediante métodos gravimétricos. Aunque el método gravimétrico no se desarrollo hasta entrados en el s. XX por la dificultad en la obtención de los valores de la gravedad y la homogeneización de estos valores.
No obstante la evidencia de que la Tierra mantenía una figura elipsoidica hizo adoptar como superficie de referencia el elipsoide. Sin embargo en trabajos de cierta entidad no era posible trabajar con estas medidas sobre el elipsoide, algo fallaba. No era
Sin Rotación
De menor a mayor rotación
Alta velocidad Rotación
Muy Alta velocidad de Rotación
posible trabajar con datos sobre el elipsoide si estos no eran previamente reducidos a el, hay que tener en cuenta que las mediciones topográficas se realizan sobre la superficie física de la Tierra, lo que implica que las normales sobre las que se realizan las mediciones no son las normales del elipsoide, esto se hacia patente conforme iba en aumento la precisión instrumental, por lo tanto había que tener en cuenta la desviación relativa de la vertical, fue Helmert quien estableció la transición entre los parámetros elipsoide y superficie física de la Tierra a través de una superficie física, el geoide.
Finalmente es en la década de los 50 cuando se resuelve el geoide, un importante logro de la geodesia, aunque anteriormente ya se contaba con datos para determinarlos de forma geométrica (nivelación astrogeodésica), no se contó hasta esta década con un geoide netamente gravimétrico.
2.2. ATRACCION Y POTENCIAL.
Un cuerpo rotando solidario a la Tierra se ve sometido a la fuerza gravitatoria de la Tierra y la del resto de los cuerpos celestes, y a una aceleración centrifuga provocada por el mismo movimiento de rotación de la Tierra. El resultado de ambas fuerzas se conoce como fuerza de la gravedad. En los siguientes capítulos realizaremos una justificación del cálculo de cada una de ellas.
2.2.1. Gravitacion, Potencial Gravitacional.
De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, dos puntos de masa m1 y m2, separados por una distancia l, se atraen uno a otro con una fuerza F.
) 1 . 2 ( 2 2 1 l l m m G l F=− fig. 2.7 r’ x y z l P’(x’,y’,z’) r P(x,y,z) F
Siendo G1 la constante gravitacional y l la distancia entre los puntos de masa y m1 y m2 . Se observa en (2.7) que F y l presentan sentidos contrarios.
Si ahora consideramos que m1 es igual a la unidad y m2 se halla sobre P’ podemos reescribir la ecuación (2.1) en la ecuación (2.2).
) 2 . 2 ( 22 l l m G l F=−
En esta el punto P experimenta una aceleración gravitacional debido al elemento de masa atrayente situado en P’, la fuerza según hemos visto tendría el sentido de P hacia P’, la distancia l se puede representar en el sistema cartesiano como
2 2 2 ( )' ( )' )' ( ) 3 . 2 ( ' ' ' , ; z z y y x x l z y x z y x − + − + − = = = = − = l r' r r' r l
La fuerza de la gravedad F se puede resolver en sus diferentes componentes, Fx, Fy y Fz: F= (Fx,Fy,Fz) (2.4) ) 7 . 2 ( )' ( ) 6 . 2 ( )' ( ) 5 . 2 ( )' ( 2 2 2 l z z l m G F l y y l m G F l x x l m G F z y X − − = − − = − − =
Si consideramos que la masa P’ se halla en el origen del sistema de referencia según la figura 2.8 las fórmulas (2.5), (2.6) y (2.7) se pueden simplificar convirtiéndose en las ecuaciones (2.8), (2.9) y (2.10).
1 G es la cte. gravitacional, tiene un valor de 6.67259-11 m3kg-1s-2. F viene en ms-2 x y z r=l P(x,y,z) Fx Fy Fz fig. 2.8
Siendo α ,β y γ los ángulos que forma r con los diferentes ejes del sistema cartesiano. La composición cuadrática de las tres componentes de la fuerza nos da el módulo del valor de la fuerza gravitatoria.
) 10 . 2 ( cos ) 9 . 2 ( cos ) 8 . 2 ( cos 2 2 2
γ
β
α
l Gm l x l m G F l Gm l y l m G F l Gm l x l m G F z y x − = − = − = − = − = − =Como la suma cuadrática de los cosenos directores (es un vector ortonormalizado) de un vector es 1, se puede resolver finalmente que el módulo de la fuerza gravitatoria (que es un valor escalar) se corresponde con la ecuación (2.11).
(
cos2 cos2 cos2)
(2.11)2 2 2 2 2
α
+β
+γ
− = + + = l m G F F F F x y zSiendo esta la expresión más conocida de la ley de la Gravitación Universal de Newton. ) 12 . 2 ( 2 l m G F =−
2.2.2 Función Potencial Gravitatoria.
Seguidamente introducimos el concepto de función potencial gravitatoria, siendo esta una función escalar (V es función de la posición del punto P)
) 13 . 2 ( l m G V =
las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza gravitatoria F se obtienen derivando V respecto la dirección considerada, esto es así debido a que V es un campo conservativo (la circulación en una curva cerrada es 0) (mirar Física general, Burbano 1984)
) 14 . 2 ( , , z V F y V F x V Fx y z ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =
esto puede verificarse fácilmente derivando (2.13), para el caso de la componente Fx obtenemos
) 15 . 2 ( ´ ` 1 1 1 3 2 2 l x x Gm l x x l Gm x l l Gm x l Gm x V − − = − − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂
Esta última propiedad se puede escribir formalmente como ) 16 . 2 ( ) , , ( F= Fx Fy Fz =gradV
es decir, el vector fuerza es el vector gradiente de la función escalar V.
Es una ventaja importante el hecho de poder remplazar las tres componentes de F por la función V ya que es mucho más sencillo manejar la función V que las tres componentes de F.
En el caso de que tengamos una distribución de masas puntual repartida en el espacio, y quisiésemos resolver la influencia generada por esta distribución basta con resolver la contribución de cada elemento de masa, siendo la suma de todas las contribuciones el campo gravitatorio de la distribución de masas (2.17)
∑
= − − + = + + + = n i i i n n n n l m G l Gm l Gm l Gm l Gm V 1 1 1 2 2 1 1 ... (2.17)Esto no es así cuando tratamos con distribuciones de masa grandes o un cuerpo sólido, estas distribuciones no se puede considerar puntuales y si además estas no tienen una forma regular como se plantea en el estudio de la atracción gravitatoria de la Tierra, el cálculo de la aceleración y del potencial se vuelve más complejo. Para estos casos conviene abordar el problema calculando la suma de las contribuciones de los elementos diferenciales que componen la masa considerada fig.2.9.
dy’ dz’ (x’,y’,z’) P(x,y,z) d Fig. 2.9 dx’
Para ello ahora consideramos que los puntos materiales están distribuidos continuamente sobre un volumen v con densidad
) 18 . 2 ( dv dm = ρ
Donde dv es un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Entonces la suma (2.17) se transforma en la integral
Donde l es la distancia entre el elemento de masa dm y el punto que sufre la atracción P.
Para resolver el potencial del punto P hay que calcular la contribución al potencial que ejerce cada elemento dm, lo cual se puede escribir como la expresión (2.21).
) 21 . 2 ( ' ' ' )' ( )' ( )' ( )' ,' ,' ( ) , , ( 2 2 2 dx dy dz z z y y x x z y x G z y x V v
∫∫∫
− + − + − = ρEn esta se considera la triple integral extendida sobre v, ya que hay que considerar el potencial de toda la masa que se halla en el volumen v. El elemento de volumen considerado será ) 20 . 2 ( ' ' 'dydz dx dv=
Para el caso de una distribución de masas las componentes de la fuerza gravitatoria se puede resolver según la expresión (2.16), que para el caso de la componente Fx es
) 22 . 2 ( ' ' ' 1 )' ,' ,' ( ' ' ' )' ,' ,' (
∫∫∫
∫∫∫
∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = v v x dxdy dz x l z y x G x l dz dy dx z y x G x V Fρ
ρ
En la cual sustituyendo finalmente obtenemos
∫∫∫
− − = 3 ' dv (2.23) l x x G Fx ρ2.2.2.1 Propiedades de la Función Potencial.
Si observamos las ecuaciones (2.13),(2.17) y (2.19), vemos que la única diferencia entre ellas, es considerar; la existencia de una masa puntual en (2.13), una distribución de masas en (2.17) o un cuerpo sólido (2.19). De estas ecuaciones podremos extraer importantes conclusiones.
∫∫∫
∫∫∫
= = v v dv l G l dm G Vρ
(2.19)∫∫∫
= v dv l G Vρ
(2.19) (2.13) l m G V =∑
= − − + = + + + = n i i i n n n n l m G l Gm l Gm l Gm l Gm V 1 1 1 2 2 1 1 ... (2.17)El valor de V cuando l tiende a infinito.
∞ → = l a V 0 (2.19 ) lim
El potencial V y las primeras derivadas son continuas en todo el espacio. Veamos con un análisis de las derivadas que esta última se cumple,
(
2 2 2)
1/2 ) , , ( ) ( z y x m G l m G z y x f l f V + + = = = =Definida la función f pasamos a resolver la primera derivada respecto de x
= − + − + − − − − + − + − − − + − + − = ∂ ∂ = 2 2 / 1 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( ) ' ( 2 . 2 / 1 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( . 2 1 2 / 1 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( . 0 ' z z y y x x x x z z y y x x z z y y x x Gm x f f ) 24 . 2 ( 2 / 3 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( ) ' ( − + − + − − − z z y y x x x x m G
La función f’ será continua siempre que x≠x, y≠y’, z≠z’. Sucediendo lo mismo para componentes x e y.
(
)
(
( )' ( )' ( )')
(2.26) )' ( ' ) 25 . 2 ( )' ( )' ( )' ( )' ( ' 2 / 3 2 2 2 2 / 3 2 2 2 z z y y x x z z m G z f f z z y y x x y y m G y f f − + − + − − − = ∂ ∂ = − + − + − − − = ∂ ∂ =En el caso que supongamos que la masa se halla concentrada en el origen del sistema de referencia (2.24) pasa a
(
( ) ( ) ( ))
(2.27) ) ( 2 / 3 2 2 2 y z x x m G x V + + − = ∂ ∂Resolvamos el valor de la segunda derivada de la función potencial V
(
)
(
)
(
)
(
) (
(
)
)
(
)
(
)
5 (2.28) 2 ) ' ( 3 2 2 / 5 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 3 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 / 6 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 1 . 2 ) ' ( 3 2 / 2 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 / 1 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 / 6 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( ) ' ( 2 2 / 1 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 / 3 ) ' ( 2 / 3 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 1 2 2 l x x l Gm z z y y x x x x z z y y x x Gm z z y y x x x x z z y y x x z z y y x x Gm z z y y x x x x z z y y x x x x z z y y x x Gm x x F x V − − − = − + − + − − − − + − + − − = − + − + − − − − + − + − − + − + − − = − + − + − − − + − + − − − − + − + − − = ∂ ∂ = ∂ ∂Las derivadas segundas respecto de y y z.
) 30 . 2 ( )' ( 3 ) 29 . 2 ( )' ( 3 5 2 2 2 2 5 2 2 2 2 l z z l Gm z F z V l y y l Gm y F y V y z =− − − ∂ ∂ = ∂ ∂ − − − = ∂ ∂ = ∂ ∂
Si multiplicamos V.l entonces cuando l tiende a infinito V es igual a Gm
∞ → = l a m G V l. . (2.30 ) lim
En cada punto exterior a las masas atrayentes, el potencial satisface la ecuación de Laplace. ) 31 . 2 ( 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ z V y V x V V
El símbolo ∆, llamado operador laplaciano, tiene la forma
2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂
Fuera de los cuerpos atrayentes el potencial cumple la ecuación (2.31), lo cual se puede demostrar fácilmente.
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
) 31 . 2 ( 0 5 2 3 2 3 ) ( 5 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 3 2 3 5 2 ) ' ( 3 2 2 ) ' ( 3 2 2 ) ' ( 3 2 5 2 ) ' ( 3 2 5 2 ) ' ( 3 2 5 2 ) ' ( 3 2 2 2 2 2 2 2 a l l l Gm l z z y y x x l Gm l z z l y y l x x l Gm l z z l Gm l y y l Gm l x x l Gm z V y V x V V = − − = − + − + − − − = − − + − − + − − − = − − − − − − − − − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆En verdad la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales, a partir de la ecuación de Laplace y estableciendo valores o condiciones iniciales para la función V podemos resolver la función V para una distribución de masas no conocida, esto último resulta muy útil en el caso de querer resolver el potencial de la Tierra, ya que resolverlo a través de (2.21) resulta complicado en extremo ya que no se conoce la densidad de cada elemento diferencial, con lo cual se opta a través de unas condiciones de contorno y (2.31) resolver V, problema que abordaremos parcialmente en un próximo capítulo.
En cálculo aquellas funciones que son solución de la ecuación de Laplace se llaman funciones armónicas, las funciones armónicas son funciones analíticas, que son continuas y tiene derivadas de cualquier orden. Con lo cual por propia definición las ecuaciones (2.28), (2.29) y (2.30) son funciones continuas.
En los puntos donde la densidad cambia discontinuamente, alguna derivada segunda tiene una discontinuidad, o lo que es lo mismo el potencial de los puntos que se hallan en el interior de un sólido cumplen la ecuación de Poisson. ∆V =−4πGρ (2.32)
El Teorema de Stokes establece que una función V armónica en el exterior de una superficie S queda determinada de forma única por sus valores sobre S. En general, no obstante, hay infinitas distribuciones de masas que tienen la
función armónica dada V como potencial
exterior. V ρ ρ ρ Fig. 2.4
Como ejemplo y particularización del Teorema de Stokes pongamos el potencial exterior de una esfera homogénea (2.12) siendo m la masa de la esfera y l la distancia desde su centro. El potencial de las diversas esferas homogéneas concéntricas de la misma masa total m, es exactamente el mismo para un punto exterior independientemente de su tamaño generan el mismo potencial. El potencial es el mismo que si la masa estuviera concentrada en su centro, porque el potencial de un punto material viene dado por esta fórmula.
Para resolver la forma de la Tierra que vendría dado por l, conocido el potencial V y la masa M tendríamos que haber obtenido el potencial sobre la superficie de la Tierra Vs.
2.2.3. La fuerza Centrifuga y su Potencial.
Como ya hemos mencionado en el primer capítulo del tema, la fuerza de la gravedad que influyen sobre los objetos que se encuentran sobre la superficie de la tierra no es debida únicamente a la fuerza gravitatoria provocada por la masa de la tierra. Si no que la gravedad tiene una componente de la fuerza debido a la rotación de la Tierra que realiza respecto el eje conformado por los polos. Si le asignamos a la Tierra una velocidad de rotación constante alrededor del eje que en un principio consideraremos fijo, se puede establecer que el valor de la aceleración centrífuga es
) 33 . 2 ( p 2
ω
= zSiendo ω la velocidad angular de rotación de la Tierra, ω= 2π /86164.10s =7.292115 E-05 rad s-1esta es conocida con gran precisión por astronomía.
El parámetro p es la distancia desde el punto considerado al eje de rotación, si hacemos coincidir el eje z de nuestro sistema de referencia con el eje de rotación de la Tierra entonces p toma el valor
) 34 . 2 ( p ; 0 2 2 y x p y x p = = + =
Ahora introduzcamos el potencial centrifugo de z, ) 35 . 2 ( Φ =grad z
Siendo la expresión del potencial centrífugo (2.36) 2 ) (p =ω2 p2 Φ = Φ
Si realizamos la diferencial al cuadrado respecto de x e y, y aplicamos el operador Laplaciano obtendríamos ) 37 . 2 ( 2
ω
2 = ∆ΦEn virtud de lo cual finalmente se resuelve que Φ no es armónica.
En el caso de que calculásemos el Potencial Centrífugo en el Ecuador donde este es máximo obtendríamos un valor de Φ=1.1 E-05 m2 s-2 y una aceleración centrífuga es z = 0.03 m s-2 (0.3 % de la gravitacional) y en los polos Φ=0 m2 s-2 y z= 0 m s-2.
2.2.4 Aceleración de la Gravedad y Potencial de la Gravedad.
La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la composición de la aceleración gravitacional F y de la aceleración centrífuga z:
x
y
z
P
) 38 . 2 ( z F g= +
La dirección de g se conoce como la dirección de la línea de la plomada, la magnitud g=│g│es llamada intensidad de la gravedad o aceleración de la gravedad aunque por lo general se suele utilizar el término de gravedad de forma más general.
En la figura 2.6 vemos una representación de la composición cuadrática de las dos aceleraciones F y z cuyo resultado es la aceleración de la gravedad g.
Finalmente podemos resolver la función potencial de la gravedad, que será igual a la suma de los potenciales de las componentes de la gravedad, para ello acudimos a las ecuaciones (2.36) y (2.19). ) 39 . 2 ( 2 ) ( = +Φ=
∫∫∫
+ 2 2 = dv p l G V r W Wρ
ω
Para resolver el valor de la aceleración de la gravedad aplicamos el gradiente a la función potencial ) 40 . 2 ( g=gradW
El potencial de la gravedad W y sus primeras derivadas presentan valores finitos y continuos, esto es así por las propiedades de las funciones V y Φ, solo en el caso de que r o l tienda a infinito entonces gradW presentaría discontinuidades , pero esta particularidad en principio no tiene mayor interés.
Las segundas derivadas de la función potencial son las que presentan discontinuidades, ya que la función potencial de la gravedad hereda las discontinuidades
x y z P z F g Fig. 2.6
de la función potencial gravitatoria, al igual que en esta las discontinuidades aparecen con las variaciones abruptas de la densidad. La variación más acusada de la densidad nos la encontramos en el cambio entre la atmósfera y la corteza superior, en la cual se pasa de un valor de densidad 0.0013 g cm-3 a 2.7 g cm-3.
De (2.32) y (2.37) obtenemos la ecuación diferencial generalizada de Poisson cumpliéndose esta en el interior de las masas.
En el espacio exterior (a partir de ahora consideraremos despreciable la densidad del aire), el potencial de la gravedad cumple la ecuación diferencial generalizada de
Laplace.
2.3 Sistemas de coordenadas terrestres. 2.3.1 Geocéntrico Fijo.
Para la representación del campo de la gravedad terrestre, usualmente se suele utilizar un sistema de coordenadas geocéntrico fijo en la Tierra. Este sistema se define con el origen en el centro de gravedad terrestre C. El eje Z del sistema coincide con el eje de rotación medio de la Tierra, el cual se definió como el promedio de la posición del polo entre los años 1900-1906 (Conventional International Origin). El eje X del sistema apunta hacía la intersección del meridiano astronómico de Grenwich con el plano ecuatorial medio, finalmente el sistema queda completado con el eje Y que apunta hacía la izquierda tal como se describe en la figura 2.1.
λ θ y x r φ z Ecuador medio Polo medio Greenwich Fig.2.7 ) 41 . 2 ( 2 4
π
ρ
+ω
2 − = ∆W G ) 42 . 2 ( 2ω
2 = ∆WUna vez definido el sistema de referencia, existe la posibilidad de trabajar con diversos tipos de coordenadas utilizando como sistema de referencia el definido por el CIO.
Coordenadas Esféricas.
Las coordenadas esféricas por lo general tienen una utilización extendida, ya que la utilización de estas facilitan fórmulas simplificadas para el cálculo de funciones relacionadas con el campo gravedad. Las coordenadas esféricas son (ver fig.2.7.):
r- Distancia Geocéntrica.
ϕ - Latitud Geocéntrica. θ- Distancia Polar. λ- Longitud Geográfica.
Coordenadas Elipsoidales o Geográficas.
Al igual que las coordenadas esféricas también tienen una amplia aplicación, pero en este caso es debido a que la superficie de trabajo para aplicaciones cartográficas es el elipsoide y también constituye la figura de referencia normal para los valores de la gravedad normales. Las coordenadas geográficas son:
h- Altitud Elipsoidal
φ- Latitud Geodésica (normal al elipsoide). λ- Longitud Geográfica.
2.3.2 Sistemas basados en el campo de la gravedad local.
En el caso en el que se quiera dar una descripción de la geometría del campo local de la gravedad, y para realizar cálculos en áreas limitadas localmente, se prefieren utilizar sistemas de coordenadas los cuales se hallen en un punto particular P del campo de la
λ y x r z Ecuador medio Polo medio Greenwich Fig.2.8
gravedad, siendo este el origen del sistema. El eje z coincide con la dirección de la plomada y apunta hacía el nadir del lugar. El plano x-y del sistema coincide con el horizonte del lugar, la dirección del eje x, queda definida apuntando hacía el Norte del lugar.
La dirección que determinan los ángulos con que se interseccionan en los planos del triedro viene dada por el vector de la gravedad g. De esta forma quedan definidas
Φ- Latitud astronómica. Λ- Longitud astronómica.
2.4. El campo de la Gravedad en una Tierra Esférica.
x y z θ λ Fig.2.10 λ y x z Λ Φ g x’ y’ Fig.2.9
En este capítulo vamos a resolver la forma geométrica que presentaría un campo potencial en el caso que fuese generado por una Tierra completamente esférica. En un primer paso resolvemos el valor de la atracción gravitatoria para un punto P que se halla sobre la superficie de esta Tierra teórica.
2
r m G F =−
Como posteriormente vamos a sumar las aceleraciones de cada contribución (gravitatoria y centrifuga), tenemos que descomponer las aceleraciones en unas direcciones determinadas comunes a ambas fuerzas para poderlas sumar. En este caso en vez de elegir una descomposición respecto de los 3 ejes cartesianos, optamos por una descomposición respecto a las coordenadas esféricas (r,θ,λ). Esta descomposición solo presenta la componente del radio (r) que es la dirección en la que actúa la fuerza de la gravedad.
(
, ,)
2 ,0,0 (2.43) − = r GM F F Fr θ λSiendo M la masa de la Tierra, r la distancia del centro al punto P.
(
, cos ,0)
(2.44) ) , , ( 2 2 2 2θ
θ
ω
θ
ω
ω
λ θ z rsen r sen z z p z r = =Donde ω es la velocidad angular de rotación de la tierra y r es el radio de la Tierra. Finalmente para resolver el valor de la aceleración de la gravedad realizamos la suma componente a componente de cada una de las contribuciones (gravitatoria y centrífuga).
x y z z zr zθ Fig.2.11
) 45 . 2 ( 0 , cos , ) , , ( 2 2 2 2 + − = ω θ ω θ θ λ θ rsen rsen r GM g g gr
Como ya hemos visto estas componentes pueden deducirse a través de las funciones potenciales de cada aceleración, el potencial gravitatorio de V y el de la fuerza centrífuga Φ. La suma de estos dos potenciales nos da el potencial de la gravedad U (no confundir con W que sería el potencial real de la Tierra).
) 46 . 2 ( ) ( 2 1ω2 r2sen2θ r GM V U = +Φ= +
Podríamos resolver el valor de la aceleración a través del gradiente del potencial U. Para el caso de las coordenadas esféricas nos encontramos que la aplicación del gradiente no es tan inmediata, ya que los elementos diferenciales que consideramos tienen diferentes unidades, con lo cual hay que realizar ciertas consideraciones para homogeneizarlos.
Para resolver elementos diferenciales homogéneos, se divide la diferencial respecto de θ por r y la diferencial respecto de λ por r.senθ.(fig.2.12)(2.47)
) 47 . 2 ( 1 , 1 , ) , , ( ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = λ θ θ λ θ U sen r U r r U g g gr
En vez de utilizar en las ecuaciones el argumento colatitud θ, lo sustituimos por ϕ ) 48 . 2 ( cos 2 2 2 + =
ϕ
a r m r a a GM USiendo a equivalente a r ya que es el radio de la Tierra esférica y m es
z
dθ dr dλ
) 49 . 2 ( 2 3 2 2 GM a a GM a m=
ω
=ω
En el segundo término de (2.49) se aprecia claramente que m es el cociente entre las fuerzas centrifuga y gravitacional sobre la tierra esférica en el ecuador, el cual lo utilizaremos más hacía adelante para resolver la forma real de la Tierra.
Si resolvemos g a través del gradiente de su función potencial U llegamos a la misma solución resuelta en (2.45).
Calculemos en un primer lugar la componente de g respecto r.
) 51 . 2 ( cos ) 50 . 2 ( cos 2 2 2 2 2 2 2 − − = − + = ∂ ∂ =
ϕ
ϕ
a mr r a a GM g r a m r a a GM r U g r rPara el caso de la componente g respecto de θ
) 53 . 2 ( 0 ) 52 . 2 ( cos 2 = = λ θ
ϕ
senϕ
y g a r m a GM gAhora veamos la forma que tiene o genera el potencial que hemos calculado a partir de una Tierra esférica, U en (2.47). Este análisis se puede realizar fijando un valor del potencial U y resolviendo a diferentes latitudes como ha variado la distancia de esa superficie equipotencial ( todos los puntos de la superficie tienen el mismo valor de U) al origen del SR, en el caso de que fuese constante no encontraríamos que dicha superficie equipotencial sería una esfera (fig.2.13), como el que aparece en la figura y se deduciría finalmente que la forma de la tierra es una esfera ya que la superficie de los mares se ciñe a la forma de una superficie equipotencial
Sin embargo el caso del potencial generado por una Tierra esférica no coincide con el caso arriba planteado. En un primer lugar establezcamos el valor de la superficie equipotencial, en este caso adoptamos el valor del potencial en el Polo φ=90º, el cual aplicándolo a (2.48) se obtiene ) 54 . 2 ( 0 a GM U =
Si este valor lo establecemos como constante en (2.48) y despejamos el valor de r obtenemos que
) 55 . 2 ( cos 2 1 2 + =a m ϕ r
Donde observamos que r conforme varíe la latitud ira variando también su valor, la ecuación (2.55) coincide con el valor del radio vector de una elipse lo cual establece que el potencial generado por la Tierra es el de un elipsoide de revolución de achatamiento m/2.
Si establecemos unos valores aproximados de los parámetros que configuran las ecuaciones (2.50) y (2.51) podemos resolver los valores de la gravedad a diferentes latitudes.
a=6371 km; G= 6.67259 E-11 m3 kg s-2; M=5.976 E24 kg; ω=2π/24 h= 7.2722E-5 rad s-1
obteniéndose los valores de:
φ gr gθ
0º 9.790340 0
45º 9.807186 0.016846 90º 9.824033 0
En estos valores se observa que la componente en la dirección del radio es mucho mayor que la componente de la colatitud y para este caso en concreto se puede considerar prácticamente despreciable. Por lo que se refiere a la componente radial vemos que el valor en los polos es mayor que en el Ecuador que en este caso se explica por la existencia de la fuerza centrífuga que es mayor en el Ecuador lo cual hace que el valor de la gravedad disminuya ya que esta se opone a la gravitatoria.
r=cte
U=cte= Forma que adoptaría la superficie del mar
Si comparamos los valores reales de la gravedad medidos sobre la superficie, con los teóricos que hemos obtenido:
Real (m s-2) Teórico (ms-2)
Polo 9.83221 9.824033
Ecuador 9.78049 9.790340
En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos aumenta el valor de la gravedad).
En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos aumenta el valor de la gravedad).
W real de la
U teórico para una Tierra Esférica
2.5. Potencial de la Gravedad.
En el capítulo anterior hemos considerado que la masa de la Tierra se encontraban distribuida en el interior de una esfera, y hemos calculado los radios por latitudes de esa superficie equipotencial, obteniéndose como resultado una figura de la Tierra elipsoidal. Los primeros en realizar estas consideraciones sobre la forma de la Tierra fueron Newton y Huyghens, los cuales predijeron que la actuación combinada de la fuerza gravitacional y centrífuga sobre una masa liquida tenía como resultado una figura achatada por los polos.
Se realizaron mediciones entre diferentes puntos de la superficie Terrestre, para resolver en función de la diferencia de latitudes y la distancia entre los puntos el radio Terrestre. Paradójicamente las primeras mediciones que se realizaron indicaban, que el achatamiento de la Tierra era ecuatorial (Fresnel; Paris-Amiens 1525, Picard y Cassini; Hasta Perpignan 1672). Finalmente en el s.XVII se opta por realizar dos expediciones que resolviesen la incertidumbre, una a los Polos (Laponia) dirigida por Maupertius y Clairaut y otra al Ecuador dirigida por Bouguer y La Condomine (Peru) para resolver el valor del radio en cada sitio. Finalmente en estas expediciónes se confirmo la forma predicha por Newton y Huyghens, la figura de la Tierra era achatada por los polos siendo el aplanamiento observado de 1/266.
Sin embargo en este capítulo no vamos a realizar ninguna consideración a priori sobre la figura de la Tierra (en 2.4 partíamos de una Tierra esférica con masa M). Ahora se pretende obtener una ecuación polinómica para el potencial U de forma general, que aplicando un valor a los coeficientes del polinomio resolvamos el valor del potencial independientemente de la disposición de las masas que presente la Tierra.
Tierra achatada por los Polos
Tierra achatada por el Ecuador Fig.2.15
Si la Tierra tiene una masa M y su potencial gravitatorio es V, el Potencial de la gravedad U está formado por la suma de este potencial y el de la fuerza centrífuga Φ
) 55 . 2 ( 2 1
ω
2r2sen2θ
V V U = +Φ= +En primer lugar vamos a resolver una ecuación general para V, ya que conocemos que V cumple la ecuación de Laplace ∆V =0
En el caso que nuestro sistema de coordenadas vengan expresado en coordenadas esféricas adquiere una nueva expresión diferente a (2.31) y (2.31a), por los mismos motivos que hemos visto en el capítulo 2.4 en la fórmula (2.47), esta expresión es la (2.56) ) 56 . 2 ( 0 1 1 2 2 2 ∂ = ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∆
θ
θ
θ
θ
V sen sen r r r V r r VEn este caso hemos considerando que el potencial V tiene simetría con respecto al eje de rotación de la Tierra (la gravedad en el modelo que estamos planteando no varía con la longitud), con lo cual V sería función únicamente de r y θ, y se establece la ecuación (2.56) en derivadas parciales.
Como ya hemos mencionado al principio del capítulo lo que estamos buscando es una ecuación general para V independientemente de la distribución de masas que tenga, la ecuación (2.56) constituye una importante información, una forma de resolver está ecuación en Cálculo es a través del método de separación de variables, según este método, V adoptara una solución del tipo
(
, 1)
(
(
cosθ)
(
cosθ)
)
(2.57) n n n n n n Q B P A r r V = − − +donde V vendrá dada por una combinación lineal de los términos que se hallan dentro del paréntesis
r es la distancia desde el origen del SR al punto considerado,Pn(cosθ), Qn(cosθ) son los Polinomios de Legendre de Primera y Segunda clase los cuales son perfectamente conocidos y n es el orden del Polinomio.
(
3cos 1)
(2.58) 2 / 1 cos 1 2 2 1 0 − = = =θ
θ
P P PAn y Bn son los coeficientes de un Polinomio los cuales son función de cómo se halla distribuida la masa en la Tierra.
El siguiente paso es resolver que combinación lineal de 2.57 es la que configura la función V que estamos buscando. Para ello acudimos a las propiedades del potencial que hemos visto en el capítulo 2.2.2.1, la primera establece que limr→∞ V =0, esta condición establece que las potencias de r a utilizar sean las negativas ya que en el caso de utilizar las potencias positivas entonces limr→∞ V = ∞.
Los polinomios de segunda clase también son eliminados, por no estar acotados para los valores extremos del cos θ. Por lo tanto se resuelve que V tendrá la forma de la ecuación (2.59). ) 59 . 2 ( )) (cos )( ( 1
θ
n n n AP r V = − −Finalmente se puede expresar V como serie en la forma:
(
cos)
(2.60) ) , ( 0 1∑
∞ = + = n n n n P r a A r Vθ
θ
En esta se introduce a, el radio ecuatorial de la Tierra a efectos de normalización, de esta forma hemos resuelto la ecuación general del potencial V. El siguiente paso es resolver el valor de los coeficientes para poder resolver los valores de V, para ello de nuevo vamos a utilizar las propiedades del potencial.
Resolvemos en un primer lugar el valor de A0, para ello utilizamos la condición (2.31a)
(
)
(
)
(
cos)
.(
cos)
. ... ) , ( . ... cos cos ) , ( 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 + + = + + = r P r a A r P r a A r V r P r a A P r a A r Vθ
θ
θ
θ
θ
θ
Si ahora aplicamos la condición de límite
(
)
(
)
(
)
∞ → = + + = r P a A r P r a A r P r a A r Vr. ( , ) cos . cos . ... cos (2.62)
lim 1 0 0 2 1 0 0
θ
θ
θ
θ
Igualando a (2.31a) ) 63 . 2 ( 0 0 a GM A GM a A = =Ahora definimos una nueva constante a efectos de simplificación
GM A a J y J n n = =1 0
Reescribimos (2.60) con Jn
(
cos)
(
cos)
(
cos)
(2.64)) , ( 0 1 0 1 0 1
∑
∑
∑
∞ = + ∞ = + ∞ = + = = = n n n n n n n n n n n n P r a J a GM P r a GM aA a GM P r a A r Vθ
θ
θ
θ
Separando el primer sumando, la ecuación queda en la forma:
(
cos)
(2.65) 1 1 + = + ∞ =∑
nθ
n n n P r a J r a a GM VFinalmente la expresión 2.65 resuelve la ecuación general del potencial gravitatorio de la Tierra, con un desarrollo en polinomios de Legendre de primera clase, con coeficientes Jn. De esta forma, el potencial de la gravedad es:
(
)
(2.66) 2 cos 2 2 1 + + =∑
+θ
senθ
a r m P r a J r a a GM U n n n2.6. Interpretación Física de los coeficientes del desarrollo de aproximación de primer orden.
En este capítulo vamos a resolver la ecuación del potencial no a través de la ecuación de Laplace como hemos hecho en el anterior, la cual nos ha proporcionado una ecuación general para V, lo haremos a través de la fórmula (2.17), y sustituiremos algún parámetro por uno equivalente, el objeto de estas operaciones es resolver o darle significado físico a los coeficientes del polinomio de Legendre.
Para ello consideramos la tierra formada por una masa M, contenida dentro de un volumen V, situando el centro de coordenadas en su centro de masa. El potencial V en
x y z l r P’(x’,y’,z’) P(x,y,z) ψ r’senψ r’.cosψ r’ Fig.2.16
un punto fuera de la Tierra vendrá dado por la integral sobre la masa total del potencial creado por cada diferencial dM. En el problema suponemos simetría respecto a λ
) 67 . 2 ( ) , ( =
∫
M l GdM r V θSiendo l la distancia del punto P a cada dM, por el teorema del coseno l se sustituye por la ecuación (2.67a).
) 67 . 2 ( cos ' 2 '2 2 2 r r rr a l = + − ψ
Siendo r la distancia al origen de P, r’ la distancia al origen de dM y ψ el ángulo entre ambas direcciones.
Ahora sustituyendo el valor de l en (2.67) obtenemos una nueva ecuación para el potencial ) 68 . 2 ( cos ' 2 ' 1 2 1 2 2
∫
− + = M r r r r r dM G Vψ
Como resulta que
∑
∞ = = − + 2 0 1 2 2 (cos ) (2.69) ' cos ' 2 ' 1 1 n n n P r r r r r rψ
ψ
Sustituyendo los tres primeros términos del desarrollo en polinomios de Legendre (2.58) en la ecuación (2.68) obtenemos la ecuación (2.70).
(
)
∫
∫
∫
− + + = M M M dM r r r G dM r r r G dM r G r V ' 3cos 1 (2.70) 2 cos ' ) , ( 2 2 ψ ψ θVamos a recordar ciertos definiciones físicas que nos van ser útiles en adelante. Un concepto o definición física importante es la de momento de inercia I respecto de un eje, esta se define como el sumatorio, de las masas por la distancia al cuadrado al eje
) 71 . 2 ( 2 i r i m I =∑
Se define el centro de masas como las coordenadas donde se encuentra el centro de gravedad de un cuerpo.
r
) 72 . 2 ( M dm z g z M dm y g y M dm x g x = ∫ = ∫ = ∫
Analicemos cada uno de los términos de la ecuación (2.70).
El primer término es el potencial de toda la masa concentrada en el origen (GM/r). El segundo termino representa las coordenadas del centro de masas de la tierra, siendo s .cosψ una coordenada medida sobre el eje r, y r una ponderación, como el centro de masas lo hemos establecido en el origen del SR , finalmente se resuelve que el término es igual a 0. El tercer término puede descomponerse en la forma:
(
)
(
)
) 73 . 2 ( ' 2 3 ' 1 ) 1 ( 3 ' 2 1 cos 3 ' 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2∫
∫
∫
∫
− = − − = − M M M M dM sen r r G dM r r G dM sen r r r G dM r r r Gψ
ψ
ψ
Operando sobre el primer término
) 74 . 2 ( 2 ) ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( 2 ) ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( 2 1 ' 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3
∫
∫
∫
∫
+ + = + + + + + = + + + + + = M M M M C B A r G dM x y z x z y r G dM x y z x z y r G dM r r GSiendo el segundo término el momento de inercia I alrededor del eje OP, finalmente podemos reescribir el potencial V
(
3)
(2.75) 2r3 A B C I G r GM V = + + + −Atendamos ahora a ciertos aspectos físicos importantes que nos ayudaran a establecer más conclusiones a partir de (2.75). El hecho de encontrarnos un movimiento de rotación de la Tierra “homogéneo “ alrededor del Polo es debido a que los momentos de Inercia respecto al eje X e Y son iguales, si esto no fuese así nos encontraríamos con una rotación no homogénea. En virtud de esto se puede resolver que A=B.
Considerando que podemos expresar el momento de inercia I en función en función de los momentos de inercia A, B y C utilizando la relación
) 76 . 2 ( 2 2 2 Bm Cn Al I = + +
Siendo (l,m,n) los cosenos directores del eje OP.
2 2 2 ) (l m Cn A I = + + Como ϕ θ sen n=cos = y
ϕ 2 2 2 2+m =1−n =cos l resulta. ) 78 . 2 ( ) 1 3 )( ( 3 3 3 2 3 ) 1 ( 3 2 3 cos 3 2 ) cos ( 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − = − + + − = − + − − = − + − = + − + = − + + ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sen A C Csen C Asen A A Csen C sen A A Csen C A A Csen A C A I C B A
Sustituyendo el último término de (2.78) en (2.76) obtenemos una nueva expresión del potencial la ecuación (2.79) en función de los momentos de inercia respecto a los ejes X y Z.
(
)
(3 1) (2.79) 2 1 2 3 − − − = C A sen ϕ r G r GM VEsta ecuación constituye el potencial gravitatorio de la Tierra, en aproximación hasta términos en r-3, en función de la Masa total M y los momentos de Inercia C respecto al eje de rotación, y a un eje ecuatorial.
Se da las circunstancias que el desarrollo en r debe ser único, quiere decir esto que los coeficientes que multiplican las potencias de r deben coincidir, por tanto si igualamos la ecuación (2.79) con el potencial U obtenido a través de la resolución de la Ecuación de Laplace (2.66) obtenemos
) 80 . 2 ( 0 2 2 1 M a A C J y J = = −
Donde el coeficiente J2 se conoce como factor de forma dinámica de la Tierra, siendo este una de las constantes fundamentales en Geodesia y Astronomía. Si en (2.79) añadimos el potencial debido a la Fuerza Centrifuga, obtenemos para el Potencial de la gravedad:
(
)
(
)
cos (2.81) 2 1 1 3 2 1 2 2 2 2 3 C A sen ϕ r ω ϕ r G r GM U = − − − +La ecuación (2.81) se conoce como fórmula de Mac Cullagh, expresa el Potencial de la gravedad en función de la Masa y momentos de inercia de la Tierra y constituye una aproximación de Primer Orden. Un análisis de la fórmula nos revelaría que coincide con el potencial generado por una elipsoide de revolución, cuyos momentos de inercia son A y C. En el caso que A=C el Potencial sería el generado por una Tierra esférica.
(
)
cos (2.82) 2 1 3 2 2 2 2 3 2 + − − = ϕ ϕ a r m sen r a J r a a GM UEsta ecuación expresa exactamente lo mismo que (2.81) pero en función de m (2.49) y de J2.
2.7. Forma de la Tierra.
Llegado a este punto disponemos de una Fórmula del Potencial de la gravedad más aproximada para la Tierra que la que hemos obtenido en el capítulo 2.4 con la ecuación del potencial para una Tierra esférica (2.46). En el cual ya resolvimos que la forma de la Tierra iba a ser la generada por el Potencial de la Tierra. Es por ello que ahora vamos a realizar la misma operación que realizamos en el Capítulo 2.4. En este caso establecemos un nivel base para el valor del Potencial U0, siendo este valor el valor del potencial que coincide con el nivel medio de los mares. Una vez hemos fijado el valor base del potencial, procedemos a resolver r al igual que hicimos en (2.55). En el caso que se nos plantea ahora r quedara en función φ y de U0 por que al igual que en el capítulo (2.4) hemos considerado que la variación de U respecto de λ es despreciable, en este caso el despejar r es más complicado y daremos directamente su resolución final.
(
)
cos (2.83) 2 1 3 2 1 2 3 2 2 2 0 + − − = φ φ a r m sen r a J U GM rU=cte= Forma que adoptaría la superficiedel mar
r
Resolviendo una nueva aproximación establecemos que r=a en (2.63) ) 84 . 2 ( 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 0 + − + + = J m J m senφ U GM r
Si establecemos el valor de U0 para el ecuador (φ=0) y (r=a) en (2.82) se resuelve ) 85 . 2 ( 2 2 1 2 0 + + = = J m a GM U U e Que sustituido en (2.84) ) 86 . 2 ( 2 2 3 1 2 2 + − =a J m sen φ r
Donde se han despreciado los términos de segundo orden de J2 y m.
Intentemos establecer una analogía entre la figura generada por el potencial de la Tierra y un elipsoide de revolución de semiejes a y c.
Se define el aplanamiento del elipsoide como
) 87 . 2 ( ) ( a c a− = α
Y el radio vector de dicho elipsoide en aproximación de primer orden. ) 88 . 2 ( ) 1 ( αsen2φ a r= −
Si comparamos (2.86) con (2.88) podemos resolver que la superficie equipotencial generada por una aproximación de primer orden es la de un elipsoide, estableciéndose que los parámetros de este son
) 89 . 2 ( 2 2 3 2 m J + = α
Ahora vamos a definir una constante que establezca una relación entre los momentos de inercia, esta la vamos a establecer con el mismo criterio con que se define el aplanamiento terrestre, ) 90 . 2 ( C A C H = − a c r Fig. 2.19
El cual se conoce como elipticidad dinámica, ahora podemos reescribir J2 (2.80) ) 91 . 2 ( 2 2 M a HC J =
Pudiéndose sustituirse finalmente esta valor en (2.89)
) 92 . 2 ( 3 1 3 2 ) 92 . 2 ( 3 1 3 2 2 2 a m M a HC M a HC m + = = −
α
α
De esta forma hemos establecido la relación existente entre parámetros físicos y parámetros geométricos del elipsoide con todas estas ecuaciones. Desde luego esto era de esperar al igualar el aplanamiento (α) del elipsoide con los coeficientes de campo en (2.89), lo cual ha posibilitado finalmente el establecer la relación (2.92) y (2.92a) que relaciona el aplanamiento con el resto de parámetros física de la Tierra m, H, C, a y M, aquí se ve de una forma evidente que la forma de la Tierra es función de cómo se halle distribuida la masa respecto los ejes (H y C), por supuesto de la Masa total de la Tierra, y de la relación existente entre la fuerza gravitatoria y centrífuga.
En cualquier caso hemos resuelto que la forma de la Tierra en primera instancia es la de un elipsoide de revolución. Quiere decir esto que podemos resolver una aproximación al potencial de la gravedad resolviendo el generado por un elipsoide con semiejes a y c.
Lo cierto es que la superficie generada por un elipsoide de revolución y la superficie equipotencial real de la Tierra no son mayores de 100 m. En el caso de utilizar una superficie esférica nos encontraríamos con diferencias de hasta 15 Km, lo cual pone de manifiesto que una superficie idónea de trabajo a efectos de medición sobre la Tierra es la constituida por un elipsoide de revolución.
El buen ajuste que presenta el elipsoide queda patente en los valores de los coeficientes Jn, que para J2 es del orden de 10-3 y para n>2 del orden de 10-6 lo cual quiere decir que las desviaciones respecto la figura del elipsoide son muy pequeñas.
φ z a c x Fig. 2.20 ϕ
2.7.1.Latitud Geodésica.
En función de lo visto en el capítulo anterior, conviene definir la latitud geodésica, ya que la superficie de trabajo que vamos a utilizar es la del elipsoide, se define la latitud geodésica como el ángulo que forma la normal al elipsoide en un punto y el plano ecuatorial.
Establezcamos la relación existente entre ambas latitudes, para lo cual en primer lugar acudimos a la ecuación de una elipse (2.93).
) 93 . 2 ( 1 2 2 2 2 = + c z a x
Como la latitud geodésica Φd está medida entre la normal a la superficie del elipsoide y el plano ecuatorial: ) 94 . 2 ( dx dz tgϕ=− Derivando en (2.93) ) 95 . 2 ( 2 2 x z c a dx dz =−
Y sustituyendo la latitud geocéntrica se obtiene:
) 96 . 2 ( ) 1 ( 1 2 2 2
ϕ
α
ϕ
ϕ
tg tg c a tg d − = =2.8 Modelos del campo de la gravedad
Los modelos del campo de la gravedad representan diferentes aproximaciones del campo real de la gravedad del cual a lo largo de este tema hemos resuelto diferentes aproximaciones estableciendo ciertas condiciones a priori, en cualquier caso hemos visto como para llegar a ecuaciones relativamente simples hemos tenido que ir despreciando ciertos aspectos (p.e. hemos considerado que la gravedad no tenia variaciones con la longitud), lo cual repercute en las fórmulas en unos valores del potencial y aceleración menos precisos. Esto implica que nos encontramos con modelos del campo de la gravedad con diferentes precisiones.
2.8.1. Modelos estándares
Los modelos estándares de la gravedad deben proporcionar un cálculo sencillo de los valores de la gravedad para puntos de la superficie a través de sus coordenadas, esta característica permite una definición sencilla del campo de la gravedad. Este facilidad
de cálculo es viable cuando el cuerpo sobre el cual estamos calculando la gravedad y que además la genera tiene una descripción geométrica regular. Esta figura regular debe presentar un campo de la gravedad lo suficientemente próxima de tal forma que las desviaciones entre la gravedad teórica del modelo estándar y la gravedad real de la Tierra pueda ser considerada como desviaciones lineales para poder realizar cálculos de forma sencilla.
Otro aspecto importante es que el modelo estándar tenga una distribución de la densidad coherente con el de la Tierra, esta característica posibilita un estudio de las desviaciones entre los valores reales y estándar de la gravedad y por que se producen.
El modelo estándar utilizado ampliamente es el elipsoide de nivel, del cual veremos una descripción más amplia en el capítulo 3.2
2.8.2 Modelos óptimos.
Los modelos óptimos del campo de la gravedad son aquellos modelos que calculan la gravedad de un punto sobre la superficie, dando un valor de la gravedad para dicho punto muy cercano al valor real de la gravedad. Estos modelos se construyen a partir de valores de gravedad observados. En este caso la superficie de nivel que representa el campo de la gravedad no es regular, no presenta una definición geométrica sencilla, lo cual es lógico ya que el campo de la gravedad no presenta una definición geométrica sencilla.
Usualmente para la representación de estas superficies de nivel más complejas se acude a la resolución de la ecuación de Laplace pero en este caso la solución viene dada por un polinomio especial el cual tiene en cuenta que la gravedad tiene variaciones también en longitud. Este polinomio es conocido como la expansión en armónicos esféricos del potencial V (2.97). La superficie generado por este polinomio se conoce como esferoide de nivel de grado l.
Cl,m Sl,m son coeficientes y Pl,m(cosθ) son las funciones asociadas de Legendre donde l y m son el grado y orden de la función respectivamente. Las funciones asociadas de Legendre describen el comportamiento de V en la superficie de una esfera unidad, esta función establece una compartimentación de la Tierra, quedando esta con valores
(
cos sen)
(cos ) (2.97) 1 ) ( 2 0 , , , + + =∑
∞∑
= = l l m m l m l m l l P m S m C r a r GM r V λ λ θpositivos y negativos. Cuanto mayor sea el grado (l) mayor será la compartimentación y una mayor aproximación al campo de la gravedad obtendremos.
Otra representación de un modelo optimo serría el que hemos resuelto en el capítulo 2.5 y cuya ecuación final viene dada por (2.66), este modelo presenta la peculiaridad de que no sufre variaciones de campo a lo largo de los paralelos, lo cual implica ciertas deficiencias en el modelo ya que esto no es real.
En la figura 2.21 observamos una representación plana exagerada de los dos modelos óptimos propuestos aunque, sin embargo estas aproximaciones planas también suelen ser utilizadas de una forma funcional .
La superficie de nivel generada por un modelo armónico esférico (con un grado l), suele ser la representación matemática más aproximada que podemos realizar del geoide (figura de la Tierra). La definición de este modelo requiere el conocimiento de un extenso número de parámetros (Cl,m Sl,m) los cuales se obtienen a través de los datos de la gravedad obtenidos sobre la Tierra, la superficie de nivel que presenta este polinomio (representación de 2.97) es muy compleja por la adaptación que tiene que el polinomio a un campo natural, y se conocen como superficies de alto orden. Estos modelos son muy útiles en los campos de la geociencia, oceanografía y navegación.
