Programación lineal y método simplex aplicado para economía Programación lineal y método simplex aplicado para economía
Guillermo Pardo Arteaga A00889951 Guillermo Pardo Arteaga A00889951 Bibiana Alejandra Miranda López A01122834 Bibiana Alejandra Miranda López A01122834
Roberto Mendoza Hernández A01213035 Roberto Mendoza Hernández A01213035
Doctor José Fernández García Doctor José Fernández García Matemáticas para economía I Matemáticas para economía I
ÍÍNDICENDICE
IINTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓN. ... 3. ... 3
P
PLANTEAMIENTO DE LOSLANTEAMIENTO DE LOSPPROBLEMASROBLEMAS... 5... 5
R
RESOLUCIÓN DE LOSESOLUCIÓN DE LOSPPROBLEMASROBLEMAS... 8... 8
1.1
1.1 Un Un problema problema agrícola agrícola ... ... 88 1.2 Formulación Matemática ... 11 1.2 Formulación Matemática ... 11 2.1 Un
2.1 Un problema eproblema en un n un negocio negocio familiar familiar ... ... 1313 2.2 Formulación matemática ... 19 2.2 Formulación matemática ... 19 C
CONCLUSIONESONCLUSIONES... 19... 19
F
Introducción. Introducción.
El motivo del presente trabajo es hacer una revisión bibliográfica acerca de una El motivo del presente trabajo es hacer una revisión bibliográfica acerca de una aplicación del álgebra lineal dentro del campo de la economía, así como aplicación del álgebra lineal dentro del campo de la economía, así como plantear distintos ejemplos que puedan permitirnos la comprensión del tema. plantear distintos ejemplos que puedan permitirnos la comprensión del tema. Para iniciar con este trabajo haremos un breve recuento teórico de nuestro Para iniciar con este trabajo haremos un breve recuento teórico de nuestro tema.
tema.
En 1939 surge un problema de recursos limitados. Se necesitaba En 1939 surge un problema de recursos limitados. Se necesitaba distribuir los recursos disponibles entre los diferentes regímenes, sin embargo, distribuir los recursos disponibles entre los diferentes regímenes, sin embargo, se tenia otro problema: cómo distribuir estos recursos sin que se generara un se tenia otro problema: cómo distribuir estos recursos sin que se generara un costo extra, Leonid Kantorovich matemático y economista ruso, ganador del costo extra, Leonid Kantorovich matemático y economista ruso, ganador del premio nobel en 1975 crea el modelo de programación lineal (1939), utilizado premio nobel en 1975 crea el modelo de programación lineal (1939), utilizado para resolver los problemas de distribución de recursos en la Segunda Guerra para resolver los problemas de distribución de recursos en la Segunda Guerra Mundial, ya que esta no solo se llevaba acabo en el campo de batalla, se Mundial, ya que esta no solo se llevaba acabo en el campo de batalla, se necesitaba diseñar estrategias, disponer de recursos para cuando fuera necesitaba diseñar estrategias, disponer de recursos para cuando fuera necesario,
necesario, etc. La etc. La Programación Programación Lineal Lineal ayudó ayudó a a encontrar encontrar la forma la forma de redde reducir ucir costos, y así colocar el ahorro en otra división o bien conseguir más recursos. costos, y así colocar el ahorro en otra división o bien conseguir más recursos.
La Programación Lineal nace como estrategia militar, así que por un La Programación Lineal nace como estrategia militar, así que por un tiempo fue secreto, nadie tenia acceso al sistema, solo la milicia lo conocía. tiempo fue secreto, nadie tenia acceso al sistema, solo la milicia lo conocía. Fue George Dantzig, matemático americano, graduado de la Universidad de Fue George Dantzig, matemático americano, graduado de la Universidad de Maryland y Doctor por la Universidad de Berkeley, quien publica el método Maryland y Doctor por la Universidad de Berkeley, quien publica el método simplex para la resolución de sistemas
simplex para la resolución de sistemas de inecuaciones.de inecuaciones.
El método simplex es una técnica para resolver problemas de El método simplex es una técnica para resolver problemas de optimización, generalmente se utiliza cuando se tienen sistemas de optimización, generalmente se utiliza cuando se tienen sistemas de inecuaciones. Estos sistemas son desigualdades algebraicas en las cuales se inecuaciones. Estos sistemas son desigualdades algebraicas en las cuales se encuentran varias incógnitas, los sistemas de inecuaciones puede ser de 2 encuentran varias incógnitas, los sistemas de inecuaciones puede ser de 2 tipos, en sentido estricto (< o >) o
El método simplex consiste en convertir los sistemas de inecuaciones en El método simplex consiste en convertir los sistemas de inecuaciones en ecuaciones, esto por medio de variables de holgura, son variables que ecuaciones, esto por medio de variables de holgura, son variables que convierten las inecuaciones en igualdades pero estas deben satisfacer una convierten las inecuaciones en igualdades pero estas deben satisfacer una serie de reglas, por lo general la variable de holgura se igualan a los recursos, serie de reglas, por lo general la variable de holgura se igualan a los recursos, trabajan como restricción.
trabajan como restricción.
Se construye la matriz, donde se podrán observar los coeficientes de Se construye la matriz, donde se podrán observar los coeficientes de restricción, así como los coeficientes de la función objetivo, se localizan las restricción, así como los coeficientes de la función objetivo, se localizan las variables no básicas, son aquéllas con coeficiente distinto de cero en la
variables no básicas, son aquéllas con coeficiente distinto de cero en la funciónfunción objetivo, se elige aquélla que tenga el coeficiente más negativo, y éste indicará objetivo, se elige aquélla que tenga el coeficiente más negativo, y éste indicará la columna correspondiente a la variable que entra. Se dividen los elementos la columna correspondiente a la variable que entra. Se dividen los elementos de la columna b
de la columna bii por sus correspondientes apor sus correspondientes aijij en la columna de la variable queen la columna de la variable que entra, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún entra, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero, no se haría dicho cociente. En el caso de elemento menor o igual que cero, no se haría dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no podríamos seguir. Lo que tendríamos una solución no acotada y no podríamos seguir. Lo que necesitamos es incrementar la variable que entra en la base, hasta que necesitamos es incrementar la variable que entra en la base, hasta que hagamos nula una de las variables que están ahora en la base. Entonces hagamos nula una de las variables que están ahora en la base. Entonces saldrá aquélla variable básica, Xi, tal que el cociente b
saldrá aquélla variable básica, Xi, tal que el cociente b ii / a/ aijij sea menor. Se hacesea menor. Se hace 1 el coeficiente a
1 el coeficiente aijij de la variable seleccionada.de la variable seleccionada. Se divide la fila i por a
Se divide la fila i por aijij; en el resto de las filas haremos la eliminación de; en el resto de las filas haremos la eliminación de Gauss.
Gauss.
El método simplex sirvió como base para la investigación de operación, ya que El método simplex sirvió como base para la investigación de operación, ya que ayuda a optimizar procesos, pero que es
ayuda a optimizar procesos, pero que es la investigación de operaciones?la investigación de operaciones?
““La investigación de operaciones es la aplicación, por La investigación de operaciones es la aplicación, por
grupos interdisciplinarios, del método científico a grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-maquina) a fin de que organizaciones o sistemas (hombre-maquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de todas la organización.
de todas la organización.”” (Prawda, 2004)(Prawda, 2004)
La Investigación de Operaciones tiene como objetivo principal proveer La Investigación de Operaciones tiene como objetivo principal proveer información para la toma de decisiones, tomando en cuenta sistemas reales y información para la toma de decisiones, tomando en cuenta sistemas reales y
complejos, de esa forma busca optimizar, tomando en cuenta los recursos complejos, de esa forma busca optimizar, tomando en cuenta los recursos disponibles y
disponibles y así así poder encontrar la spoder encontrar la solución a los proolución a los problemas.blemas.
Planteamiento de los Problemas Planteamiento de los Problemas
El objetivo de la presente sección es introducir la formulación de El objetivo de la presente sección es introducir la formulación de nuestros modelos matemáticos a partir del planteamiento de los problemas. nuestros modelos matemáticos a partir del planteamiento de los problemas. Esta sección debe tomarse como una ilustración introductoria a l
Esta sección debe tomarse como una ilustración introductoria a l a Investigacióna Investigación de Operaciones, y particularmente a la Programación Lineal, dejando las de Operaciones, y particularmente a la Programación Lineal, dejando las próximas dos secciones a la explicación y resolución de la misma. No es próximas dos secciones a la explicación y resolución de la misma. No es importante a estas alturas si el lector no entiende cómo se derivó cierta importante a estas alturas si el lector no entiende cómo se derivó cierta expresión matemática.
expresión matemática.
En esta sección presentaremos dos tipos de problemas: En esta sección presentaremos dos tipos de problemas: a)
a) Un Un problema agrícola problema agrícola que puede que puede ser aplicado ser aplicado en un en un entornoentorno macroeconómico.
macroeconómico.
b) Un problema en un negocio familiar que representa una situación b) Un problema en un negocio familiar que representa una situación
microeconómica. microeconómica.
A continuación se plan
A continuación se plantean ambos problemastean ambos problemas.. a)
a) Un Un problema problema agrícola:agrícola:
Supóngase que en el poblado de Tixtla, Guerrero la Nacional Financiera Supóngase que en el poblado de Tixtla, Guerrero la Nacional Financiera pretende hacer inversiones cuantiosas en el cultivo de aguacate, lima, pretende hacer inversiones cuantiosas en el cultivo de aguacate, lima, mango y zapote prieto. Se persiguen dos objetivos, uno el de aumentar el mango y zapote prieto. Se persiguen dos objetivos, uno el de aumentar el empleo rural y otro el de aumentar las exportaciones que vendrán a empleo rural y otro el de aumentar las exportaciones que vendrán a equilibrar la balanza de pagos de la nación. Se sabe que la producción equilibrar la balanza de pagos de la nación. Se sabe que la producción promedio de cada árbol está dada por
promedio de cada árbol está dada por la siguiente tabla:la siguiente tabla: Tabla 1.1 Tabla 1.1 Tipo de Tipo de árbol árbol Producción promedio Producción promedio anual anual Observación Observación (en
(en unidades) unidades) (en (en kg)kg)
Aguacate
Aguacate 350 350 150 150 Una Una vez vez por por
año año
Lima
Lima 230 230 200 200 Una Una vez vez por por
año año
Mango
Mango 150 150 50 50 Una vez Una vez por por
año año
Zapote
Zapote 400 400 150 150 Una Una vez vez por por
año año
El precio promedio en el mercado mundial fue de $10.00 por kg de El precio promedio en el mercado mundial fue de $10.00 por kg de aguacate, $4.00 por kg de lima, $15.00 por kg de mango y $7.00 por kg de aguacate, $4.00 por kg de lima, $15.00 por kg de mango y $7.00 por kg de zapote prieto en 1974. Existe una extensión de 250 000 m
zapote prieto en 1974. Existe una extensión de 250 000 m22 de tierra dede tierra de propiedad federal propicia para el cultivo de esos productos. Supóngase que propiedad federal propicia para el cultivo de esos productos. Supóngase que técnicos de la Secretaría de Agricultura han determinado que las siguientes técnicos de la Secretaría de Agricultura han determinado que las siguientes extensiones mínimas son necesarias para el cultivo de esos productos.
extensiones mínimas son necesarias para el cultivo de esos productos. Tabla 1.2 Tabla 1.2 Tipo de Tipo de árbol árbol Extensión Extensión mínima de mínima de cultivo por cultivo por árbol árbol Aguacate Aguacate 4 m4 m Lima Lima 5 m5 m22 Mango Mango 3 m3 m Zapote Zapote 6 m6 m22 Afortunadamente
Afortunadamente no no existe existe problema problema de de agua, agua, pues pues hay hay variosvarios manantiales dentro de la propiedad, que aseguran la existencia de ese manantiales dentro de la propiedad, que aseguran la existencia de ese preciado líquido por los próximos 20 años. El costo por sembrar un árbol de preciado líquido por los próximos 20 años. El costo por sembrar un árbol de aguacate es de $2.00, $0.50 por árbol de lima, $1.00 por árbol de mango y aguacate es de $2.00, $0.50 por árbol de lima, $1.00 por árbol de mango y $1.50 por árbol de zapote prieto; estos costos ya incluyen la compra del árbol $1.50 por árbol de zapote prieto; estos costos ya incluyen la compra del árbol más su cuidado y mantenimiento. Cada árbol de aguacate requiere de más su cuidado y mantenimiento. Cada árbol de aguacate requiere de cuidados equivalentes a 36 horas-hombre/año; 72 horas-hombre/año por árbol cuidados equivalentes a 36 horas-hombre/año; 72 horas-hombre/año por árbol de lima; 50 horas-hombre/año por árbol de mango y 10 horas-hombre/año por de lima; 50 horas-hombre/año por árbol de mango y 10 horas-hombre/año por árbol de zapote prieto.
La Nacional Financiera pretende hacer una inversión de 20 millones de La Nacional Financiera pretende hacer una inversión de 20 millones de pesos, pensando exportar toda su producción. El número de personas que pesos, pensando exportar toda su producción. El número de personas que desea emplear el Gobierno Federal con este proyecto debe ser a lo mucho de desea emplear el Gobierno Federal con este proyecto debe ser a lo mucho de 200 personas.
200 personas.
Bajo estas circunstancias, ¿cuántos árboles de aguacate, lima, mango y Bajo estas circunstancias, ¿cuántos árboles de aguacate, lima, mango y zapote prieto deberán sembrarse con objeto de maximizar el valor de la futura zapote prieto deberán sembrarse con objeto de maximizar el valor de la futura exportación anual? ¿Cuál será la ganancia de tomar esta decisión respecto a la exportación anual? ¿Cuál será la ganancia de tomar esta decisión respecto a la inversión inicial?
inversión inicial? b)
b) Un problema Un problema en un en un negocio familiar:negocio familiar:
Don Francisco quiere mejorar el negocio familiar de explotación de la Don Francisco quiere mejorar el negocio familiar de explotación de la patata integral. Su negocio es la venta de productos derivados de la patata, de patata integral. Su negocio es la venta de productos derivados de la patata, de los cuales hay cuatro tipos: patatas troceadas para ensaladilla, puré de patatas, los cuales hay cuatro tipos: patatas troceadas para ensaladilla, puré de patatas, patatas fritas a la inglesa y patatas congeladas para freír.
patatas fritas a la inglesa y patatas congeladas para freír. A su
A su negocio, don negocio, don Francisco y doña Francisco y doña Remedios, su Remedios, su mujer, dedican mujer, dedican comocomo máximo entre los dos 100 horas semanales. Para fabricar un kilo de cada máximo entre los dos 100 horas semanales. Para fabricar un kilo de cada producto el tiempo a dedicar es el siguiente: patatas troceadas 3 horas, puré de producto el tiempo a dedicar es el siguiente: patatas troceadas 3 horas, puré de patatas 5 horas, patatas fritas a la inglesa 10 horas, patatas congeladas 15 patatas 5 horas, patatas fritas a la inglesa 10 horas, patatas congeladas 15 horas.
horas.
Como su almacén es pequeño no
Como su almacén es pequeño no pueden tener almacenados más de 15pueden tener almacenados más de 15 kilos de producto terminado y más de
kilos de producto terminado y más de 120 kilos en sacos de patata.120 kilos en sacos de patata.
No todos los productos tienen igual rendimiento. Por cada kilo de No todos los productos tienen igual rendimiento. Por cada kilo de producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto. Esta producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto. Esta relación es la siguiente:
relación es la siguiente:
-- Para hacer un kilo de patatas para ensalada necesita 7 kilos de patatas.Para hacer un kilo de patatas para ensalada necesita 7 kilos de patatas. -- Para hacer un kilo de puré de patatas necesita 5 kilos de patatas.Para hacer un kilo de puré de patatas necesita 5 kilos de patatas.
-- Para hacer un kilo de patatas a la inglesa necesita 3 kilos de patatas.Para hacer un kilo de patatas a la inglesa necesita 3 kilos de patatas. -- Para hacer un kilo de Para hacer un kilo de patatas congeladas necesita 2 kilos de patatas.patatas congeladas necesita 2 kilos de patatas.
La ganancia también es diferente: La ganancia también es diferente:
-- 4 patatas/kg patatas ensalada.4 patatas/kg patatas ensalada. -- 5 patatas/kg puré de patatas.5 patatas/kg puré de patatas. -- 9 patatas/kg patatas inglesa.9 patatas/kg patatas inglesa.
¿Cuánto debe fabricar de cada una de sus especialidades para que su ¿Cuánto debe fabricar de cada una de sus especialidades para que su beneficio sea el máximo?
beneficio sea el máximo?
Resolución de los Problemas Resolución de los Problemas
El propósito de esta sección es resolver paso a paso los dos problemas El propósito de esta sección es resolver paso a paso los dos problemas anteriormente planteados con el método simplex; el cual mencionamos en la anteriormente planteados con el método simplex; el cual mencionamos en la primera sección. primera sección. 1. 1. 11 U n U n p rp r o bo b l e ml e m a a a g ra g r íícc o lo l a a Paso 1. Paso 1. Sean Sean Xa:
Xa: el el número número de de árboles árboles de de aguacate aguacate a a ser ser sembrados,sembrados, Xl:
Xl: el el número número de de árboles árboles de de lima lima a a ser ser sembrados,sembrados, Xm:
Xm: el el número número de de árboles árboles de de mangos mangos a a ser ser sembrados,sembrados, Xz:
Xz: el el número número de de árboles árboles de de zapote zapote prieto prieto a a ser ser sembrados,sembrados, La notación usada para denotar todas las variables del
La notación usada para denotar todas las variables del problema.problema. El valor promedio de la exportación (
El valor promedio de la exportación (VPE VPE ) anual se puede representar ) anual se puede representar
por: por:
Cuyas dimensiones están dadas por: Cuyas dimensiones están dadas por:
Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a optimizar es:
optimizar es:
E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones, optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones, estas son: estas son:
Paso 2. Paso 2.Sea: Sea:
la forma general de la
la forma general de la ecuación a optimizar.ecuación a optimizar. Entonces:
Entonces:
es nuestra ecuación a optimizar en la
es nuestra ecuación a optimizar en la forma general.forma general. Paso 3. Paso 3.
Paso 4. Paso 4. Xa Xa Xl Xl Xm Xm Xz Xz U U V V Y Y BiBi LO LO -1500 -1500 -800 -800 -750 -750 -1050 -1050 0 0 0 0 0 0 00 L1 L1 2 2 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 1 1 0 0 0 0 20,000,00020,000,000 L2 L2 4 4 5 5 3 3 6 6 0 0 1 1 0 0 250,000250,000 L3 L3 36 36 72 72 50 50 100 100 0 0 0 0 1 1 584,000584,000 Paso 5. Paso 5. Xa Xa Xl Xl Xm Xm Xz Xz U U V V Y Y BiBi LO LO -1500 -1500 -800 -800 -750 -750 -1050 -1050 0 0 0 0 0 0 00 L1 L1 2 2 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 1 1 0 0 0 0 20,000,00020,000,000 L2 L2 4 4 5 5 3 3 6 6 0 0 1 1 0 0 250,000250,000 L3 L3 36 36 72 72 50 50 100 100 0 0 0 0 1 1 584,000584,000 Paso 6. Paso 6.{
{
}}
Paso 7. Paso 7. Xa Xa Xl Xl Xm Xm Xz Xz U U V V Y Y BiBi LO LO -1500 -1500 -800 -800 -750 -750 -1050 -1050 0 0 0 0 0 0 00 L1 L1 2 2 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 1 1 0 0 0 0 20,000,00020,000,000 L2 L2 4 4 5 5 3 3 6 6 0 0 1 1 0 0 250,000250,000 L3 L3 36 36 72 72 50 50 100 100 0 0 0 0 1 1 584,000584,000¶¶
La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón correspondiente, es decir el pivote.
correspondiente, es decir el pivote. Xa Xa Xl Xl Xm Xm Xz Xz U U V V Y Y BiBi LO LO 0 0 2200 2200 1333.33333 1333.33333 3116.666667 3116.666667 0 0 0 0 41.6666667 41.6666667 24,333,333.3324,333,333.33 L1 L1 0 -3.5 0 -3.5 --1.77777778 1.77777778 --4.055555556 4.055555556 1 1 0 0 -0.05555556 -0.05555556 19,967,555.5619,967,555.56 L2 L2 0 0 -3-3 --2.55555556 2.55555556 --5.111111111 5.111111111 0 0 1 1 -0.11111111 -0.11111111 185,111.11185,111.11 L3 L3 1 1 2 2 1.38888889 1.38888889 2.777777778 2.777777778 0 0 0 0 0.02777778 0.02777778 16,222.2216,222.22 Después de realizar el Paso 7 revisamos el renglón que
Después de realizar el Paso 7 revisamos el renglón que corresponde a nuestra ecuación a optimizar, comúnmente llamado LO corresponde a nuestra ecuación a optimizar, comúnmente llamado LO en la tabla, buscando la variable más negativa y repitiéndose los pasos en la tabla, buscando la variable más negativa y repitiéndose los pasos 5, 6 y 7. En el momento en el que no encontremos más variables 5, 6 y 7. En el momento en el que no encontremos más variables negativas en el renglón de nuestra ecuación a optimizar, podemos decir negativas en el renglón de nuestra ecuación a optimizar, podemos decir que encontramos la solución óptima.
que encontramos la solución óptima. Paso 8.
Paso 8.
Este es un paso adicional que hemos decidido introducir para Este es un paso adicional que hemos decidido introducir para analizar e interpretar los resultados arrojados por la tabla.
analizar e interpretar los resultados arrojados por la tabla. Xa Xa Xl Xl Xm Xm Xz Xz U U V V Y Y BiBi LO LO 0 0 2200 2200 1333.33333 1333.33333 3116.666667 3116.666667 0 0 0 0 41.6666667 41.6666667 24,333,333.3324,333,333.33 L1 L1 0 -3.5 0 -3.5 --1.77777778 1.77777778 --4.055555556 4.055555556 1 1 0 0 -0.05555556 -0.05555556 19,967,555.5619,967,555.56 L2 L2 0 0 -3-3 --2.55555556 2.55555556 --5.111111111 5.111111111 0 0 1 1 -0.11111111 -0.11111111 185,111.11185,111.11 L3 L3 1 1 2 2 1.38888889 1.38888889 2.777777778 2.777777778 0 0 0 0 0.02777778 0.02777778 16,222.2216,222.22
Podemos representar las variables óptimas con sus valores en Podemos representar las variables óptimas con sus valores en una tabla como la siguiente:
una tabla como la siguiente:
Xa 16,222.22 Xa 16,222.22 U 19,967,555.56 U 19,967,555.56 V 185,111.11 V 185,111.11 Función Función Objetivo 24,333,333.33 Objetivo 24,333,333.33
De aquí podemos interpretar que para optimizar la función De aquí podemos interpretar que para optimizar la función objetivo que se nos dio cumpliendo con los objetivos y sujeto a las objetivo que se nos dio cumpliendo con los objetivos y sujeto a las restricciones presupuestarias; el número de árboles de aguacate que se restricciones presupuestarias; el número de árboles de aguacate que se deben sembrar es de 16,222.22, el sobrante del presupuesto, deben sembrar es de 16,222.22, el sobrante del presupuesto, representado por la variable U, es de 19, 967,555.56 pesos; y el representado por la variable U, es de 19, 967,555.56 pesos; y el sobrante de terreno, representado con la variable V, es de 185,111.11 sobrante de terreno, representado con la variable V, es de 185,111.11 m
m22. El valor de las ganancias totales por la exportación fue de 24,. El valor de las ganancias totales por la exportación fue de 24, 333,333.33 pesos. 333,333.33 pesos. 1 . 2 1 . 2 F o rF o r mm u lu l a c ia c i ó n ó n M a t eM a t e mm ááti ct i c a a Sean Sean
el número de árboles de aguacate a ser sembrados,el número de árboles de aguacate a ser sembrados,
el número de árboles de lima reina a ser sembrados,el número de árboles de lima reina a ser sembrados,
el número de árboles de mangos a ser sembrados,el número de árboles de mangos a ser sembrados,
el número de árboles de zapote a ser sembrados.el número de árboles de zapote a ser sembrados. La notación usada para detonar todas las variables delLa notación usada para detonar todas las variables del problema.problema. El valor promedio de l
El valor promedio de la exportación (VPE) anual se puede representar por:a exportación (VPE) anual se puede representar por:
((
)
)
((
))
La restricción correspondiente a la extensión de t
La restricción correspondiente a la extensión de tierra laborable está dada por:ierra laborable está dada por:
Dimensionalmente, se puede verificar que en efecto las unidades en ambos Dimensionalmente, se puede verificar que en efecto las unidades en ambos lados de la desigualdad son
lados de la desigualdad son
RespectoRespecto a la inva la inversión inicial se ersión inicial se tiene quetiene que
siendo pesos las unidades que prevalecen en ambos lados de esta última siendo pesos las unidades que prevalecen en ambos lados de esta última desigualdad.
desigualdad.
Respecto a la condición de empleo mínimo que el Gobierno Federal se ha Respecto a la condición de empleo mínimo que el Gobierno Federal se ha fijado, ésta puede representarse por:
fijado, ésta puede representarse por:
siendo las dimensiones de esta desigualdad, las siguientes siendo las dimensiones de esta desigualdad, las siguientes
((
)(
)(
)
)
((
)
)
((
) (
) (
))
y ya simplificando, queda (horas-hombre)/año en ambos lados de la y ya simplificando, queda (horas-hombre)/año en ambos lados de la desigualdad.
desigualdad.
Finalmente, como él número de árboles, de cualquier especie, no puede ser Finalmente, como él número de árboles, de cualquier especie, no puede ser negativo (en vez de sembrar, se
Resumiendo, se tiene que el siguiente modelo matemático formula el problema Resumiendo, se tiene que el siguiente modelo matemático formula el problema en cuestión en cuestión Maximizar Maximizar
Sujeto a Sujeto a
2 . 2 .1 1 U n U n p r o bp r o b l e m a l e m a e n e n u n u n n e g o c i o n e g o c i o f a m i l i af a m i l i ar r Paso 1. Paso 1. Sean Sean X1:X1: el el número número de de patatas patatas ensalada ensalada a a ser ser fabricadas,fabricadas, X2:
X2: el el número número de de puré puré patatas patatas a a ser ser fabricados,fabricados, X3:
X3: el el número número de de patatas patatas inglesa inglesa a a ser ser fabricadas,fabricadas, X4:
X4: el el número número de de patatas patatas congeladas congeladas a a ser ser fabricadas,fabricadas, La notación usada para denotar todas las variables del
La notación usada para denotar todas las variables del problema.problema. El valor promedio del beneficio (
El valor promedio del beneficio (VPBVPB) semanal se puede representar ) semanal se puede representar
por: por:
Cuyas dimensiones están dadas por: Cuyas dimensiones están dadas por:
Y las dimensiones de las ecuaciones a
Y las dimensiones de las ecuaciones a las que estamos sujetos:las que estamos sujetos:
Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a optimizar es:
optimizar es:
E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones, optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones, estas son: estas son:
Paso 2. Paso 2. Sea: Sea:
la forma general de lala forma general de la ecuación a optimizar.ecuación a optimizar. Entonces:
Entonces:
es nuestra ecuación a optimizar en la
es nuestra ecuación a optimizar en la forma general.forma general. Paso 3. Paso 3.
Paso 4. Paso 4. X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO -4 -4 -5 -5 -9 -9 11 11 0 0 0 0 0 0 00 L1 L1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1515 L2 L2 7 7 5 5 3 3 2 2 0 0 1 1 0 0 120120 L3 L3 3 3 5 5 10 10 15 15 0 0 0 0 1 1 100100 Paso 5. Paso 5. X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO -4 -4 -5 -5 -9 -9 -11 -11 0 0 0 0 0 0 00 L1 L1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1515 L2 L2 7 7 5 5 3 3 2 2 0 0 1 1 0 0 120120 L3 L3 3 3 5 5 10 10 15 15 0 0 0 0 1 1 100100 Paso 6. Paso 6.{
{
}}
Paso 7. Paso 7.X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO -4 -4 -5 -5 -9 -9 -11 -11 0 0 0 0 0 0 00 L1 L1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1515 L2 L2 7 7 5 5 3 3 2 2 0 0 1 1 0 0 120120 L3 L3 3 3 5 5 10 10 15 15 0 0 0 0 1 1 100100
La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón correspondiente, es decir el pivote.
correspondiente, es decir el pivote. X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO -1.8 -1.8 --1.333333333 1.333333333 --1.66666667 1.66666667 0 0 0 0 0 0 0.733333333 0.733333333 73.3333333373.33333333 L1 L1 0.8 0.8 0.666666667 0.33333333 0.666666667 0.33333333 0 0 1 1 0 0 -0.06666667 8.333333333-0.06666667 8.333333333 L2 L2 0.6 0.6 0.333333333 1.66666667 0.333333333 1.66666667 0 0 0 0 1 1 -0.13333333 106.6666667-0.13333333 106.6666667 L3 L3 0.2 0.2 0.333333333 0.66666667 0.333333333 0.66666667 1 1 0 0 0 0 0.2 0.2 6.6666666676.666666667 Después de realizar el Paso 7 nos encontramos que en nuestro LO
Después de realizar el Paso 7 nos encontramos que en nuestro LO todavía existen números negativos. Por lo que repetimos el
todavía existen números negativos. Por lo que repetimos el paso 5, 6 y 7.paso 5, 6 y 7. X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO -1.8 -1.8 --1.333333333 1.333333333 --1.66666667 1.66666667 0 0 0 0 0 0 0.733333333 0.733333333 73.3333333373.33333333 L1 L1 0.8 0.8 0.666666667 0.33333333 0.666666667 0.33333333 0 0 1 1 0 0 -0.06666667 8.333333333-0.06666667 8.333333333 L2 L2 0.6 0.6 0.333333333 1.66666667 0.333333333 1.66666667 0 0 0 0 1 1 -0.13333333 106.6666667-0.13333333 106.6666667 L3 L3 0.2 0.2 0.333333333 0.66666667 0.333333333 0.66666667 1 1 0 0 0 0 0.2 0.2 6.6666666676.666666667
{
{
}}
X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO -1.8 -1.8 --1.333333333 1.333333333 --1.66666667 1.66666667 0 0 0 0 0 0 0.733333333 0.733333333 73.3333333373.33333333L1 L1 0.8 0.8 0.666666667 0.33333333 0.666666667 0.33333333 0 0 1 1 0 0 -0.06666667 8.333333333-0.06666667 8.333333333 L2 L2 0.6 0.6 0.333333333 1.66666667 0.333333333 1.66666667 0 0 0 0 1 1 -0.13333333 106.6666667-0.13333333 106.6666667 L3 L3 0.2 0.2 0.333333333 0.66666667 0.333333333 0.66666667 1 1 0 0 0 0 0.2 0.2 6.6666666676.666666667 X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO 0 0.166666667 0 0.166666667 --0.91666667 0.91666667 0 0 2.25 2.25 0 0 3.5 3.5 92.0833333392.08333333 L1 L1 1 1 0.833333333 0.833333333 0.41666667 0.41666667 0 0 1.25 1.25 0 0 -0.08333333 10.41666667-0.08333333 10.41666667 L2 L2 00 --1.166666667 1.166666667 --1.08333333 1.08333333 0 0 -8.25 -8.25 1 1 0.416666667 0.416666667 37.9166666737.91666667 L3 L3 0 0 0.166666667 0.166666667 0.58333333 0.58333333 1 1 -0.25 -0.25 0 0 0.083333333 0.083333333 4.5833333334.583333333 Podemos observar que en el renglón de nuestra ecuación LO aún se
Podemos observar que en el renglón de nuestra ecuación LO aún se encuentra un número negativo, por lo que t
encuentra un número negativo, por lo que tenemos que repetir el proceso.enemos que repetir el proceso. X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO 0 0.166666667 0 0.166666667 --0.91666667 0.91666667 0 0 2.25 2.25 0 0 3.5 3.5 92.0833333392.08333333 L1 L1 1 1 0.833333333 0.833333333 0.41666667 0.41666667 0 0 1.25 1.25 0 0 -0.08333333 10.41666667-0.08333333 10.41666667 L2 L2 00 --1.166666667 1.166666667 --1.08333333 1.08333333 0 0 -8.25 -8.25 1 1 0.416666667 0.416666667 37.9166666737.91666667 L3 L3 0 0 0.166666667 0.166666667 0.58333333 0.58333333 1 1 -0.25 -0.25 0 0 0.083333333 0.083333333 4.5833333334.583333333
{
{
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X1 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO 0 0.166666667 0 0.166666667 --0.91666667 0.91666667 0 0 2.25 2.25 0 0 3.5 3.5 92.0833333392.08333333 L1 L1 1 1 0.833333333 0.833333333 0.41666667 0.41666667 0 0 1.25 1.25 0 0 -0.08333333 10.41666667-0.08333333 10.41666667 L2 L2 00 --1.166666667 1.166666667 --1.08333333 1.08333333 0 0 -8.25 -8.25 1 1 0.416666667 0.416666667 37.9166666737.91666667 L3 L3 0 0 0.166666667 0.166666667 0.58333333 0.58333333 1 1 -0.25 -0.25 0 0 0.083333333 0.083333333 4.5833333334.583333333 X1 X1 X2 X2 X3 X4 X3 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBiLO LO 0 0 0.428571429 0.428571429 0 0 1.571428571 1.571428571 1.857142857 1.857142857 0 0 0.714285714 0.714285714 99.2857142999.28571429 L1 L1 1 1 0.714285714 0.714285714 00 --0.714285714 0.714285714 1.428571429 1.428571429 0 0 -0.14285714 7.142857143-0.14285714 7.142857143 L2 L2 00 --0.857142857 0.857142857 0 0 1.8571428571.857142857 --8.714285714 8.714285714 1 1 0.571428571 0.571428571 46.4285714346.42857143 L3 L3 0 0 0.285714286 0.285714286 1 1 1.714285714 1.714285714 -0.43 -0.43 0 0 0.142857143 0.142857143 7.8571428577.857142857 En esta ocasión ya no tenemos ningún número negativo en LO, por lo
En esta ocasión ya no tenemos ningún número negativo en LO, por lo que podemos decir que hemos encontrado la solución óptima.
que podemos decir que hemos encontrado la solución óptima. Paso 8.
Paso 8.
Ahora es momento de interpretar los d
Ahora es momento de interpretar los datos de nuestra tabla.atos de nuestra tabla. X1 X1 X2 X2 X3 X4 X3 X4 X5 X5 X6 X6 X7 X7 BiBi LO LO 0 0 0.428571429 0.428571429 0 0 1.571428571 1.571428571 1.857142857 1.857142857 0 0 0.714285714 0.714285714 99.2857142999.28571429 L1 L1 1 1 0.714285714 0.714285714 00 --0.714285714 0.714285714 1.428571429 1.428571429 0 0 -0.14285714 7.142857143-0.14285714 7.142857143 L2 L2 00 --0.857142857 0.857142857 0 0 1.8571428571.857142857 --8.714285714 8.714285714 1 1 0.571428571 0.571428571 46.4285714346.42857143 L3 L3 0 0 0.285714286 0.285714286 1 1 1.714285714 1.714285714 -0.43 -0.43 0 0 0.142857143 0.142857143 7.8571428577.857142857 Podemos representar las variables óptimas con sus valores en una tabla
Podemos representar las variables óptimas con sus valores en una tabla como la siguiente: como la siguiente: X1 7.142857143 X1 7.142857143 X3 7.857142857 X3 7.857142857 X6 46.42857143 X6 46.42857143 Función Función Objetivo 99.28571429 Objetivo 99.28571429
Luego, don Francisco y doña remedios deberán fabricar cada semana Luego, don Francisco y doña remedios deberán fabricar cada semana 7.14276 kg de patatas para ensalada y 7.857143 kg de patatas a la inglesa. La 7.14276 kg de patatas para ensalada y 7.857143 kg de patatas a la inglesa. La variable X6 nos indica que dado esta producción, quedará un sobrante de variable X6 nos indica que dado esta producción, quedará un sobrante de 46.4286 kilogramos en sacos de patata en su almacén. Su beneficio semanal 46.4286 kilogramos en sacos de patata en su almacén. Su beneficio semanal ascenderá a 99.286 pesos.
2 . 2
2 . 2 F o r mF o r m u l a cu l a c i ó n i ó n mm a t e ma t e m ááti c a t i c a
Conclusiones Conclusiones
Después de la realización de este trabajo hemos aprendido una aplicación más Después de la realización de este trabajo hemos aprendido una aplicación más del álgebra lineal. Nos resulta interesante que la Programación Lineal tenga del álgebra lineal. Nos resulta interesante que la Programación Lineal tenga métodos tan sencillos para resolverse como lo es el método simplex y no por métodos tan sencillos para resolverse como lo es el método simplex y no por ello deje de sur un método tan eficiente en la toma de decisiones, ello deje de sur un método tan eficiente en la toma de decisiones, especialmente en la Investigación de Operaciones. Podemos enumerar, tres especialmente en la Investigación de Operaciones. Podemos enumerar, tres elementos que surgieron a través de la elaboración de este trabajo. El primero elementos que surgieron a través de la elaboración de este trabajo. El primero de ellos, es que conocimos un poco de historia acerca de la Investigación de de ellos, es que conocimos un poco de historia acerca de la Investigación de Operaciones y de cómo, en una situación tan compleja, debido a la Operaciones y de cómo, en una situación tan compleja, debido a la intervención de tantos factores, como lo fue la Segunda Guerra Mundial; las intervención de tantos factores, como lo fue la Segunda Guerra Mundial; las matemáticas hayan jugado un papel tan importante para decidir cuáles eran las matemáticas hayan jugado un papel tan importante para decidir cuáles eran las acciones que se debían de realizar. En segundo lugar, nos llamó mucho la acciones que se debían de realizar. En segundo lugar, nos llamó mucho la atención la manera en la que la programación lineal, que fue el área de la atención la manera en la que la programación lineal, que fue el área de la Investigación de Operaciones que usamos para este trabajo, puede aplicarse Investigación de Operaciones que usamos para este trabajo, puede aplicarse en el campo de la economía, para alcanzar ciertos objetivos optimizando los en el campo de la economía, para alcanzar ciertos objetivos optimizando los recursos, ya sea maximizando los beneficios o minimizando los costos. Y por recursos, ya sea maximizando los beneficios o minimizando los costos. Y por último, durante el proceso de investigación bibliográfica para la realización de último, durante el proceso de investigación bibliográfica para la realización de nuestro trabajo nos encontramos con otros temas también muy llamativos que nuestro trabajo nos encontramos con otros temas también muy llamativos que intentaban volver más exactas y realistas las decisiones tomadas, tal es el caso intentaban volver más exactas y realistas las decisiones tomadas, tal es el caso de la Programación Entera. En conclusión, el trabajo no sólo nos sirvió para de la Programación Entera. En conclusión, el trabajo no sólo nos sirvió para conocer una aplicación adicional del álgebra lineal en el campo económico; de conocer una aplicación adicional del álgebra lineal en el campo económico; de igual manera nos sirvió para entender como es que surgen este tipo de igual manera nos sirvió para entender como es que surgen este tipo de herramientas y nos dejó abierta la alternativa a conocer nuevos temas y herramientas y nos dejó abierta la alternativa a conocer nuevos temas y métodos del universo de las matemáticas.
Fuentes consultadas Fuentes consultadas
García Cabañes, J., Fdez. Martínez, L. y Tejera del Pozo, P.: “Técnicas de García Cabañes, J., Fdez. Martínez, L. y Tejera del Pozo, P.: “Técnicas de investigación operativa”. Tomo II. Ed.
investigación operativa”. Tomo II. Ed. Paraninfo. Madrid 1990. Supervisado por:Paraninfo. Madrid 1990. Supervisado por:
Jose María Úbeda Delgado. Jose María Úbeda Delgado.
Dr. Juan Prawda. (2004). Métodos y Modelos de Investigación de operaciones. Dr. Juan Prawda. (2004). Métodos y Modelos de Investigación de operaciones. México: Editorial Limusa S.A de C.V.
México: Editorial Limusa S.A de C.V. Linear programming. (2012). In
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