amb
Condicions de Contorn No Lineals
Neus Consul Porras
UniversitatPolitecnica deCatalunya
amb
Condicions de Contorn No Lineals
Neus Consul Porras
Memoriapresentada pera aspiraral grau
de Doctoraen Matematiques
Departament de MatematicaAplicada I
Universitat Politecnicade Catalunya
sota lameva direccio, al Departament de
Matematica Aplicada I de la Universitat
Politecnica de Catalunya.
Barcelona, Marc de 1997.
Dr. JoanSola-Morales iRubio
Catedratic d'Universitat de Matematica
Aplicada
Vull apro tar aquest espai per donar les gracies a totes aquelles
per-sones que,d'algunamanerao altra,han fetpossiblelarealitzacio d'aquesta
memoria.
Enprimerllocvullmostrarelmeu agramentde totcoralmeu director
de tesi, en Joan Sola-Morales. Ell em va introduir en aquest treball i ha
estat ellqui,pacientment,m'haestatensenyant iajudanttots aquestsanys.
Es per aixo que li haig d'agrair tot el temps que m'ha dedicat, les seves
suggerenciesiideesiels seus consellsen eldesenvolupament d'aquestatesi.
Ino pucdeixarde bandalamevagratitud enversd'enJoanquanen aquells
moments mes baixos imes difcilsm'ha estat recolzant i animant. Per tot
aixoipermoltes altres coses quesegurament estic ometent,graciesJoan.
Haigd'estendreelmeuagramentatots elsaltresmembres delSeminari
d'Equacions enDerivadesParcials/Sistemes DinamicsUAB-UPC,ambels
quals m'hetrobat molta gusttotaquest temps.
Duranttotsaquests anys hecomptatamb lacompanyia ielrecolzament
detotselscompanysdelDepartamentdeMatematica AplicadaI. Atots ells
moltes graciesperl'animqueentotmomenthe estatrebent. No pucdeixar
d'agrair a l'
Angel Jorba el seu ajut informatic. Tambe recordo amb molta
simpatia tots els moments compartits amb el queha estat elmeu company
de despatx totsaquests anys,en Miguel
Angel Barja.
Molt especialment haig d'agrair als meus estimats pares tota la seva
comprensio,companyiaipacienciaquem'hanofertentotmoment. Haigde
fer extensiuaquestagrament als meussogres.
Finalment, un agrament molt emocionat a la persona que m'ha
acom-panyat en aquest llarg cam, en Juanje. Sense el seu anim i recolzament
duranttots aquestsanysno haguesarribat al nald'aquesttreball. Gracies
per la paciencia mostrada en tot moment i per la teva comprensio in nita
Elproblema parabolic nolineal 8 > > < > > : u t = u+f(u); a ; u = 0; a @; u(x;0) = u 0 (x); (1) enundominiacotatR n
represental'evolucioeneltempsdelaconcentracio
u d'una determinada substancia en un contenidor isolat, el qual esta sotmes
alsefectes d'una reaccio nolineal representada perla funcio f i d'una difusio
lineal homogenia.
Es facil comprovar que els zeros de la funcio f son solucions d'equilibri
constants per al problema (1). L'existencia de solucions d'equilibri estables
no constants per al problema (1) i amb n 2 es un fenomen important, que
sovint s'anomena \morfogenesi" oformaciode patrons.
Motivats per aquest problema amb condicions de contorn de Neumann
homogenies, el que anem a presentar en aquesta memoria preten contribuir
a l'estudi de solucions d'equilibri estables no constants per a una equacio de
difusio amb condicions de contorn de Neumann no lineals. El problema que
consideraremes elseguent:
8 < : u t = u; a; u = f(u); a@: (2)
SuposemqueeldominiR n
,n 2,esacotatiambfrontera@regular.
En la condicio de contorn, @
@
la frontera. La solucio u = u(x;t) es una funcio de R en R i la funcio
f(u):@!R.
De manera semblant a allo que deiem per al problema (1), podem
inter-pretar (2) com l'equacio que modela l'evolucio d'una concentracio sota els
efectes conjunts d'una difusio lineal homogenia a l'interior d'un contenidor i
unareaccionolinealquesucceeixunicamentalafronteraiqueverepresentada
per f. Per exemple,perla presencia d'un catalitzador.
L'observacio de fenomens fsics, qumics, biologics i d'enginyeria que es
poden modelar amb aquest tipus d'equacions presenten sovint condicions de
contorn nolineals. Aquest fet fa augmentar l'interes en l'estudi de problemes
com el(2).
Tal com passa per al problema (1), els zeros de la funcio f son solucions
d'equilibri constants del problema (2). Ens preguntem, pero, per l'existencia
ono de solucions d'equilibriestablesno constants.
Observem,perexemple,quesieldominiesnoconnexespodenconstruir
de maneratrivialequilibris establesnoconstantsassignant acada component
connexadiferentsvalors constants
i ,talsque f( i )=0i f 0 ( i )<0.
(L'esta-bilitat d'aquests equilibris no es immediata i se seguira d'un principi
d'esta-bilitat per linealitzacio per al problema (2), tal com es veura en el captol 2
d'aquestamemoria.)
Com ja es pot deduir del que acabem de dir, en el moment que varem
decidir estudiar equilibris estables, es feia necessari tenir criteris per tal de
determinar l'estabilitat de les solucions d'equilibri. Per exemple, un principi
d'estabilitatperlinealitzacio.
Ambaquest objectiu se'nsvafer necessariun estudimesprofunddel
prob-lema de valorinicial pera (2).
Es peraixo quealloque varem questionar-nos
en un primer moment era en quins espais de funcions estava ben plantejat el
problemaiquinescondicions caliaimposarsobref pertaldetenirexistenciai
unicitatde solucio. Unavegadaresoltaaquestaquestiointentaremobtenirun
d'estabilitatdels equilibris.
Es conegut que laformulacioabstracta de problemes de valorinicial pera
equacionsde reaccio-difusio com
8 > > > > < > > > > : u t u = g(u); a; @u @ = f(u); a@; u(x;0) = u 0 (x): (3) en un domini acotat R n
, com un problema d'evolucio en un espai de
funcionss'acostuma afer,quan lescondicionsde fronterasonlineals,
incorpo-rant les esmentades condicions en la de nicio de l'espai de fases. Destaquem
algunesreferencies: [20], [30], :::
Arabe,elsproblemesambcondicionsdecontornnolinealssonquelcommes
difcil,com es potveure a [3], [4], [5], [7]i [12]. La incorporacioen aquest cas
de les condicions de contorn a l'espai de funcions no dona un espai vectorial,
per la qual cosa l'us de les tecniques de l'Analisi Funcional sembla, en una
primeraaproximacio alproblema, no massasenzill.
Existeix un cam, suggerit per H. Amann, per tal de poder superar
aque-sta di cultat. Aquest punt de vista ha estat usat per ell mateix en l'estudi
de problemes parabolics quasilinealsi de sistemes amb condicions de contorn
no lineals, com es pot veure a [3], [5]. Igualment, altres autors, com per
ex-emple [12], [34], estudien problemes diversos amb condicions de contorn no
lineals usant les tecniques i els resultats de H. Amann. En aquesta memoria
desenvoluparem en una primera part el punt de vista de H. Amann per al
cas d'equacions paraboliques semilineals amb condicions de contorn de tipus
Neumannno lineals,com a (3),
Abans, pero, d'iniciar l'estudi del problema (2), ens va semblar natural
comencar pelcas messenzill d'un interval,esa dir, pera dimension=1. Els
resultats obtinguts ens semblen prou interessants com per reservar un espai,
l'apendix A, on exposar-los. Cal dir que aquest va esser el primer contacte
amb el problema (2) i que el que s'obte per als equilibris resulta illustratiu
resultatsd'existenciaiunicitatdesolucioielprincipid'estabilitatquedonarem
enelsdosprimerscaptolsdelamemoriaseranperalproblemamesgeneral(3).
Ambelsresultatsqueveuremalscaptols1i2jaestenenleseines necessaries
per tal d'estudiar el nostre objectiu principal: l'existencia o no d'equilibris
establesno constantsperal problema (2).
Els tres darrers captols d'aquesta memoria estaran dedicats a aquestes
questions de la morfogenesi. Concretament, en el captol 3 veurem alguns
casos on no es possible que existeixin equilibris estables no constants i en
els dos ultims, es a dir, en els captols 4 i 5, es veuran alguns exemples on
s es tindra existencia d'equilibris estables no constants. En el captol 4 es
consideraran dominis a R n
, n 2, connexos amb vora disconnexa i en el
captol5 dominisambvora connexa.
Finalment,despresdel'apendixAquecitavemabans,acabaremlamemoria
ambun segon apendix ones fan calculs explcitsde solucions com aquellesde
lesquals s'haura provat l'existencia en elcaptol 5.
Descripcio dels resultats
Talcom deiem abanshem utilitzaten elplantejament funcionaldelnostre
problema el punt de vista que dona H. Amann ([3], seccio 12) per a aquest
tipusde problemes. Aquest puntde vistaconsisteix,essencialment, en
consid-erarespaisdefuncionsprougransiveurecom,ambunabonaelecciod'aquests
espais, anomenats espais de fase, i dels operadors lineals involucrats,
s'acon-segueix incorporar les condicions de contorn en una equacio semilineal com
una nova nolinealitat.
Aix doncs, en el captol 1 es mostrara com es pot formular de manera
semilinealelproblema (3), esa dir, en la forma
8 < : u t = Au+F(u); u(0) = u 0 ; (4)
semilineal (4) considerarem una colleccio d'espais de funcions obtinguts per
interpolacio entre els espais de Banach W 2 p;B () i L p (), on W 2 p;B () denota
l'espaide lesfuncionsde W 2
p
() talsque@u=@ =0a@. Lainterpolacioens
donarauna collecciod'espaisdeBanachordenats entrel'espaimenorW 2
p;B ()
i el mes gran L p
(), entre els quals triarem els espais de fases. A mes, sobre
elsespaisextrems espoden triarde maneranaturaluns operadorslineals A
0;p i A 1;p 0 , A 0;p : W 2 p;B ! L p i A 1;p : L p ! (W 2 p;B ) 0 tals que A 1;p restringit a W 2 p;B coincideixi amb A 0;p
i de manera que, sobre els espais intermitjos, les
restriccions de A
1;p
siguin igualmentoperadors lineals continus.
Veurem que nosaltres considerarem com a espai de fases l'espai W 1
p (),
amb p > n ( R n
). El que farem, pero, es mirar-nos-el com un espai
d'interpolacio i apro tar-ne les propietats que aixo ofereix. Aquesta forma
d'escollirl'espaide fases,enspermetraprendrel'espaid'arribadade l'operador
nolinealF mespetitquel'espaid'arribadadelapartlinealA. Aquestaesuna
diferencia notableamb la formulacioque fan alguns autors, com per exemple
D. Henryi A. Pazy, aL p
. Enaquells casos es teque F s'aplicad'un subespai
dens d'un espai de Banach en l'espai de Banach.
Per a la formulacio (4) es podra admetre una formula de variacio de les
constantsque donara una equacio integral pera la solucio,es adir,
u(t)=e At u 0 + Z t 0 e A(t ) F(u( ))d : (5)
En la proposicio 1.1 veurem que si f i g son funcions de Lipschitz sobre
acotats o be son de classe C 1
(R;R), aleshores F es igualment de Lipschitz
sobre acotats o de classe C 1 , respectivament, de W 1 p en (W 2 2 1=p 0 p 0 ) 0 , amb 1=2< <1=2+1=2p.
Seguidament, en la seccio 1.3provarem, en el teorema1.1, que si F es de
Lipschitz sobre acotats existeix una unica solucio per al problema (3) per a
t2[0;T) i valorinicial u 0 2W 1 p donat.
Finalment,alaseccio 1.4veurem queelsistemadinamic T(t) quede neix
(4)a W 1
p
i que ve donat per T(t)u
0
laproposicio1.2esprovaraque lasolucio de (4)u esderivable respecte de t a
valorsaW 1
p
,cosaqueusarempertaldeprovaren elteorema1.3quelasolucio
u(x;t) de (4)es de classe C 1 en t a valors a C () i de classe C 2+ () per a
t>0,pera alguna >0. A mes, u(x;t) es solucioclassica del problema (3).
Una vegada vistos aquests resultats d'existencia, unicitat i regularitat de
lasolucio,en elcaptol2tractaremlesquestionsde l'estabilitatdelsequilibris.
Aquest segon captol esta dividit en dues seccions. En la primera donarem
un principi d'estabilitat i inestabilitat per linealitzacio per al problema (3).
Aquest es elresultatque esrecull en elteorema2.1i queens dona el caracter
estableoinestabled'unequilibrien funciodelsignede l'espectredel'operador
lineal queapareixera en lalinealitzacio.
Enlasegonasecciodonarem unacaracteritzaciomesassequiblequelaque
oferiraelprincipid'estabilitatdelaseccioanteriorperalvalorpropimaximde
l'operadorlinealitzat. Elquefarem en aquestaseccioesdonar un quocientde
Rayleighper alprimer valorpropi, es a dir, veurem que aquest es pot trobar
comel supremd'unquocientsobre funcionsa W 1
2
. Com s'ha ditanteriorment
nosaltres considerarem que l'espai de fases es W 1
p
, amb p > n. Aleshores,
l'obtencio del quocient de Rayleigh a W 1
2
no sera su cient sino que caldra
veure que el valor propi trobat amb el quocient donat caracteritza, de fet,
el valor propi maxim de l'operador a W 1
p
. El teorema 2.2 es el que recull el
quocient del qualparlem.
El tercer captol l'hem dedicat a la no existencia d'equilibris estables no
constantsperalproblema(2),esadir, al'estudienfunciodef ided'aquells
casos onnomespoden tenir-sesolucionsd'equilibri establesconstants.
El captol esta dividiten tres seccions. A laprimera esdona una acotacio
a priori de la solucio si se suposa que la funcio f es tal que existeixen a i b,
amba b, tals quef(u)u<0 si u <a o u>b. Aleshores, tota soluciou de
(2)satisfaa u(x)b, pera tota x2.
La segona seccio parlara de condicions sobre f per tal que tot equilibri
establesiguiunasolucioconstant. Elprimerresultateldonaremenelteorema
petita, llavors tota soluciod'equilibries constant. Cal notar que nonomesels
equilibrisestabless'obtenen constants,sinoquetambehoseran elsinestables.
El segon resultat, en la mateixa lnia anterior, que es donara es un
resul-tat que ja era conegut per a problemes de reaccio-difusio amb condicions de
Neumannhomogenies, comelproblema(1). R.G.CasteniC.J. Hollanda[11]
consideren el problema (1) i proven que si f es una funcio de classe C 2 amb f 00 > 0 o f 00
< 0, aleshores, tota solucio d'equilibri estable es constant. En
el nostre cas, per al problema (2) provarem en elteorema 3.3 quesi f es una
funcio concava o convexa en el rang de valors que pren la solucio, aleshores
tota solucio d'equilibriestableesconstant.
Finalment, dedicarem la tercera i ultima seccio d'aquest captol a donar
alguna condicio sobre el domini per a la qual, com abans, nomes es tinguin
equilibris estables constants. Per exemple, per al problema (1) R.G.Casten i
C.J. Hollanda [11] iH. Matanoa [27] proven que sieldomini esconvex iu
esunasoluciod'equilibrinoconstantde classeC 3
(), aleshores,uesinestable.
Per alproblema (2) alloque nosaltresprovarem es quesi es una bolaa R n
,
n2, aleshores lesuniques solucionsd'equilibriestablesson lesconstants. Si
benopresentaremunresultatsobreconvexos,volemdestacarquelestecniques
utilitzadespertaldeprovarelnostreresultatsonmoltdiferentsd'aquellesque
usen els autors anteriors per als convexos. Aix doncs, necessitarem provar
que si = 0 es el primer valor propi de l'operador lineal que s'obte en la
linealitzacio del problema amb funcio propia u, aleshores es un valor propi
(algebraicamenti geometricament)simple iu(x)>0pera tota x2.
Els dos captols nals de la memoria estan dedicats a la morfogenesi o
formacio de patrons. Aix doncs,el captol 4recollira un resultat d'existencia
d'equilibrisestablesnoconstants en dominisambvora disconnexa. En aquest
captol i dividit en tres seccions es veura com es possible trobar equilibris
establesnoconstantssieldominiesconnex itelavora disconnexa. Veurem
queen aquest cas s'obte una solucio d'equilibrinoconstant molt propera ala
soluciode u=0a ambvalors constants acada una de les components de
@, que hauran d'esser diferents com amnima dues d'aquestes components.
quelasoluciotrobadaambaquest metodeesnoconstant inotan solsestable
sino que resultara asimptoticamentestable.
En el darrer i ultim captol, dedicat com deiem abans tambe a la
mor-fogenesi,esconsideraran,adiferenciadelcaptol4,dominisambvoraconnexa.
En aquest captol veurem que existeixen equilibris estables no constants per
a doministipus halter (\dumbbell"a la literaturahabitual en angles).
Nova-ment, comparantel nostreproblema amb (1), esconeixen per aaquest darrer
problema i sota determinades condicions sobre f, resultats que proven
l'ex-istencia d'equilibris estables no constants per a aquests dominis halter. Cal
citar el treball [27] en aquesta lnia. Aquest treball de H. Matano va esser
l'origende l'estudidel nostre problema en aquest tipus de dominis.
Volem fer notar, pero, que si be s'obtindran resultats parallels a aquells
de [27], les tecniques que nosaltres usarem seran molt diferents. Aix doncs,
mentreMatanobasal'existenciadelsequilibrisestablesnoconstantsenellema
deZorniapro talamonotoniadel ux, nosaltresarribemaprovarl'existencia
d'equilibrisestablesno constants pera (2)basant-nos en lau-dimensionalitat
d'una varietatcentral.
Els resultats principals d'aquest captol es donaran en els teoremes 5.2 i
5.3. Elsprimersd'aqueststeoremesdonaralescondicionsques'hande satisfer
pertalque existeixialgunequilibri establenoconstant. Enelsegon, isempre
suposant que la funcio f satisfaalguna hipotesi addicionalales dels captols
anteriors, es veura l'existencia per a tota f d'un domini D per al qual valgui
el teorema primer, es a dir, existeixin equilibris estables no constants. El
dominiques'obteteunaformasemblantaunhalterjaqueresultauniode dos
subdominisdisjunts atraves d'un tercer subdomini \petit" comparativament
alsprimers.
Acabaremlamemoriaambdos apendixos referents, comja hemditabans,
elprimeralproblema (2)en dimension =1ielsegon aquestionsnumeriques
relacionadesamb eldarrer captol.
Com acabem de dir, en relacio al cinque captol neix l'apendix B. Una
no constants per a un domini xat d'aquests a R 2
. Per tal de simpli car
els calculs varem considerar D un domini unio de tres rectangles, dos d'ells
disjuntsi grans comparativamenta un tercermes estreti petit que els uneix.
Despres d'un primer intent usant series de Fourier varem optar per la via
dels elements nits. Aquest cam i els resultatsque ens va proporcionares el
que es recull en l'apendix B d'aquesta memoria. En aquell es justi cara en
primer lloc perque es tria D d'una determinada forma i quina funcio f ens
convindra triar. Una vegada xats D i f cercarem un conjunt de valors per
a un parametre k que hauremafegit davant de laf, de forma que ens situem
sota les hipotesis del captol 5 i es pugui intentar calcular alguns equilibris
establesno constants,dels qualses va provarl'existenciaen aquellcaptol.
Finalment, amb un domini xat i una funcio f donada presentarem en
la darrera seccio com s'ha usat el metode dels elements nits. I per acabar,
donarem alguns gra cs que representin algunes solucions d'equilibri estables
Plantejament funcional
Enaquestcaptolestudiaremalgunsresultatsanalticsperalproblemaevolutiu
de reaccio difusio 8 > > < > > : u t = u+g(u); a ; u = f(u); a @; u(x;0) = u 0 (x): (1.1)
Suposem que es un dominiacotat ambvora @ prouregular. Suposem que
f : R ! R i g : R ! R son dues funcions amb el grau de regularitat que es
precisara mes endavant. Denotem per f(u) = f(u(x;t)), per a x 2 @ i per
g(u)=g(u(x;t)),perax2, onu:R !R i0<t<1. Aquu
denota
laderivada normalexterior i la condicioinicial u
0
lasuposem coneguda.
Els resultats analtics dels quals parlem donen resposta a diverses de les
preguntes,entorndelproblema(1.1),queensplantejavemalaintroduccio
an-terior. Aixdoncs,veuremque(1.1)admetunaformulaciosemilinealaW 1
p ()
i que es pot usar, a partir d'aixo, una formula de variacio de les constants.
Tambe veurem quines condicions caldra imposar sobre la part no lineal per
talde tenir existencia i unicitatde soluciodel problema i acabarem elcaptol
amb una seccio dedicada a la regularitat de la solucio i a la compacitat del
1.1 Formulacio semilineal
En la primera seccio d'aquest captol introduirem alguns espais i operadors
per tal que el problema (1.1) es pugui escriure en forma semilineal i admeti
lautilitzaciod'una formulade variaciode les constants. Per fer-ho, usaremel
punt de vistade H.Amann ([3], seccio12 i [7]).
La idea de H. Amann es considerar certs espais, de nits per interpolacio,
com aespais de fasei uns operadors sobre ellsque siguin generadorsde
semi-grups no lineals. Aquesta formulacio permet posar problemes mes generals
que el que aqu considerem, en forma semilineali s'aplica tambe a problemes
quasilineals. En els treballs de H. Amann dels quals parlem, un cop
s'acon-segueixposarenformasemilinealelproblema,apareixunaformuladevariacio
de constants que permet mirar-selasoluciocom una equaciointegral.
Altres autors, com per exemple D. Henry a [20] i A. Pazy a [30], estudien
equacionssemilinealsdel tipus
8 > < > : du(t) dt +Au(t) = f(t;u(t)); t >t 0 u(t 0 ) = x 0 (1.2)
per als quals A es el generador in nitessimal d'un semigrup analtic en un
espai de Banach X. Per a aquests operadors A es poden considerar, per a
0 1, les potencies fraccionaries A
(vegi's [30], seccio 2.6) i el domini
D(A
) de les quals resulta un espai de Banach amb la norma del graf. En
aquests casos suposen que la funcio f : U ! X, U R +
D(A
) un obert,
eslocalmentHlder contnua en t i localmentLipschitz en x,a U.
En aquests treballs, pero, es consideren condicions de contorn o be
ho-mogenies o be lineals. A mes, la formulacio de H. Amann s'aplica a una
colleccio mes amplia de problemes i dona mes regularitat en la solucio que
altres formulacions que, tambe valides, requereixen mes restriccions en les
hipotesis del problema.
Elsespaisque consideraremseran espaisde Banachobtinguts permetodes
total-Abans de donar els espais que volem usar, anem a recordar breument que
fa lainterpolacioentre espais de Banach.
SiguinA
0 iA
1
dosespaisdeBanachencabitsenunespailinealdeHaussdorf
A. Anomenem fA
0 ;A
1
g una parella d'interpolacio. Suposem que tenim dues
parellesd'interpolaciofA 0 ;A 1 gi fB 0 ;B 1 g, ambB 0 iB 1
aB comabans. Sigui
T un operador lineal de A en B, tal que les restriccions T
jAi
, i = 0;1, son
linealscontnues d'A
i enB
i
. ElquebuscalainterpolaciosonespaisdeBanach
AA i B B, talsquela restriccio T
jA
sigui un operadorlineal continud'A
en B. En aquest cas es diu que A iB tenenla propietat d'interpolacio.
La teoria de la interpolacio, introduda per J.L. Lions, A.P. Calderon,
E. Gagliardo i S.G. Krejn entre 1958 i 1961, es centra en dues questions
basicament: d'unabanda,trobar\construccions",F,talsqueA=F(fA
0 ;A 1 g) iB =F(fB 0 ;B 1
g)tinguinlapropietatd'interpolacioi,peraltrabanda,la
de-scripcio tantd'aquests espais A i B com de les construccions F.
La primera questio troba resposta, entre d'altres, a [8] i [36], on es donen
elsmetodes d'interpolaciode tipus real i complex.
Notem que si es prenen parelles d'espais de Banach ordenats, es a dir,
A
0 A
1
, la interpolacioens dona una famliad'espais de Banach intermitjos
i ordenats entre A
0 i A
1
. Els espais que nosaltres usarem aqu s'obtenen
d'aplicarinterpolacioalgunesvegadesreal ialtrescomplexaaparellesd'espais
de Sobolev,cosa quedona espaisintermitjos que,com esveuramesendavant,
tambe sonespais de Sobolev.
Finalment,recordemquelanotaciousualeslaseguent: donadaunaparella
d'interpolaciofA 0 ;A 1 g, (A 0 ;A 1 ) ;p
denota l'espai d'interpolacio relatiu a ella
usantelmetodereal,on0 1i1p1i[A
0 ;A 1 ] l'espaid'interpolacio
relatiu a ellausant el metode complex, on 0 1. Si =0 s'obte A
0 i si
=1s'obte A
1
en ambdos casos. c Sigui R n
un dominiacotat ambvora
regular@. Per talde simpli carlanotacio,denotaremperL p iW r p elsespais L p
() i elsespais de Sobolev W r
p
(), respectivament,sempre queno hipugui
haver confusio. Sigui W 2
p;B
l'espaide lesfuncions de W 2
p
talsqueu
quedenotarem perE iE 1 ,de nits per E = (L p ;W 2 p;B ) ;p E 1 = (L p 0 ;W 2 p 0 ;B ) 1 ;p 0 0
pera0 1i 6=1=2ipera =1=2,consideremelsespaisques'obtenen
de la interpolaciocomplexa E 1=2 = [L p ;W 2 p;B ] 1=2 E 1=2 = ([L p 0 ;W 2 p 0 ;B ] 1=2 ) 0 : Aqu pi p 0
sonexponents conjugats,es adir, 1=p+1=p 0
=1.
Estem interessats en que els nostres espais de fase siguin aquests espais
d'interpolacioi voldrem,sifospossible,donaruna millori messenzilla
carac-teritzaciod'aquests.
EsquanvolemcaracteritzarelsespaisE
queensapareix
una \singularitat" per al cas = 1=2. Usant la interpolacio real es poden
identi car els espais obtinguts amb espais de Besov, que resulten ser espais
de Sobolev si 6= 1=2. Per tal que per a = 1=2 s'obtingui tambe un espai
de Sobolev conve usar la interpolacio complexa, que dona espais de Bessel,
identi cables ambW 1
p
quan =1=2.
Peralprimercas,P.Grisvard,a[17](teorema7.5),donaunacaracteritzacio
dels E
ens termes d'espaisde Besov que pera 6=1=2resulten ser elsespais
de Sobolev seguents
E = 8 < : W 2 p ; si 02 <1+1=p; W 2 p;B ; si 1+1=p <2 2;
iperals espais duals
E 1 = 8 < : (W 2 2 p 0 ) 0 ; si 02 2 <1+1=p 0 ; (W 2 2 p 0 ;B ) 0 ; si 1+1=p 0 <2 2 2:
Per a = 1=2, R. Seeley, a [33] (teorema 4.1), caracteritza en termes
d'espais de Bessel alguns espais obtinguts usant interpolacio complexa i que
en el nostrecas resulten ser elsespais: E
1=2 =W 1 p i E 1=2 =(W 1 p 0 ) 0 .
Veurem que els espais E
Sabem que es satisfan les inclusionsW 2 p;B W 1 p L p i (L p 0 ) 0 (W 1 p 0 ) 0 (W 2 p 0 ;B ) 0
, les quals son denses i contnues. D'ara endavant identi carem els
espais (L p ) 0 i L p 0 , 1=p+1=p 0 = 1. Recordem que E 1 = (W 2 p 0 ;B ) 0 , E 0 = L p i E 1 =W 2 p;B
en lanotacio dels espais d'interpolacio.
Considerem elsoperadors lineals continus A
0;p i A 1;p ,de nits per A 0;p : E 1 ! E 0 i A 1;p : E 0 ! E 1 u ! u+u u ! ' u on' u
esla formalineal contnua
' u : W 2 p 0 ;B ! R v ! Z ( uv+uv)dx : Observem que A 1;p = (A 0;p 0) 0 , es a dir, A 1;p
es l'operador dual d'A
0;p 0 : certament, si !2(L p ) 0
, per al'operador dual d'A
0;p 0 tenim ((A 0;p 0 ) 0 !)v =<!;A 0;p 0 v >= Z ( v!+v!)dx=(A 1;p !)v pera tota v 2L p
, cosa que prova que(A
0;p 0) 0 =A 1;p .
Observem tambe que la restriccio A
1;pj E 1 = A 0;p . Aquesta propietat es
unaaplicaciode laformuladeGreenide laidenti caciodeL p i(L p 0 ) 0 ,queens
dona una relacio u a u entre A
0;p u 2 L p (L p 0 ) 0 i u+u2 L p , per a tota u2W 2 p;B .
Els espais d'interpolacio E
i E 1 , 0 1, son espais intermitjos ordenatsentreE 1 iE 0 ientreE 0 iE 1 ,respectivament,esadir,E 1 E E 0 i E 0 E 1 E 1
. A mes, acabem de de nir un operador lineal continu
A 1;p de maneraque E 0 iE 1
tenen lapropietat d'interpolacio. Per tant,per
lapropietat d'interpolacio,es permesconsiderar elsoperadorslineals continus
A 1 de nits de l'espai E en l'espai E 1 per A 1 = A 1;pj E . Podem
representar la situacioamb elseguent esquema
W 2 p;B , ! E , ! L p ? ? y A 0;p ? ? y A 1 ? ? y A 1;p L p , ! E 1 , ! (W 2 0 ) 0
en el qualhem usat novament que (L p 0 ) 0 =L p .
En elcas particular que =1=2, A
1=2
esta de nit per
A 1=2 : W 1 p ! (W 1 p 0 ) 0 u ! A 1=2 u; onA 1=2
uesla formalineal contnuade nida per
A 1=2 u : W 1 p 0 ! R v ! Z (rurv+uv)dx :
Considerem 2 [1=2;1=2+1=2p). En aquest cas els espais d'interpolacio
E
que s'obtenen nocontenenlacondicio de contorn u
=0a@, cosa ques
passa si espren <1=2. Sigui u una solucio classica de (1.1). En particular,
u(;t)2W 2 p E iu t (;t)2L p =E 0 . Consideremv 2W 1 p 0 . Usantelproducte de dualitatentre L p i L p 0
i la formulade Green,del problema (1.1) s'obte
Z u t vdx+ Z (rurv+uv)dx= Z (g(u)+u)vdx+ Z @ f( p u) p 0v d`; (1.3) on p i p
0 denoten els operadors tracasobre @, esa dir,
u j@ = p u; p :W 2 p !W 2 1=p p (@) i v j@ = p 0 v; p 0 :W 2 2 p 0 !W 2 2 1=p 0 p 0 (@) :
Prenem =1=2. Sidenotem per <;>i per <;>
@ els productesde dualitatentre(W 1 p 0) 0 iW 1 p 0 usantqueL p =(L p 0 ) 0 (W 1 p 0) 0 ientre(W 1 1=p 0 p 0 (@)) 0 iW 1 1=p 0 p 0
(@), respectivament,(1.3) s'escriu
<u t ;v >+<A 1=2 u;v >=<g(u)+u;v >+<f( p u); p 0 v > @ : (1.4)
Notem que estem fent un abus quan suposem que la funcio f es tal que
f(
p
u), per exemple, es de L p (@) (W 2 2 1=p 0 p 0 (@)) 0 . Precisarem mes
Observacio 1.1 H.Amann provaa[3]queessatisfatambeuna igualtatcom
(1.4) pera >1=2, es adir, pera A
1
, en llocde A
1=2
,i per alsespais E
i E 1 ,en llocde E 1=2 iE 1=2 .
Observacio 1.2 En els resultats futurs ens convindra restringir l'estudi del
problema (1.1) a l'espai W 1
p
, es a dir, al cas = 1=2.
Es per aixo que,
per questions practiques i de simplicitat, d'ara endavant, considerarem =
1=2. No obstant aixo, els resultats que es veuran a les seccions 1.2 i 1.3 son
igualment valids canviant E
1=2 = W 1 p per E i E 1=2 =(W 1 p 0 ) 0 per E 1 amb 2[1=2;1=2+1=2p).
En la identitat (1.4) observem que apareixen dos productes de dualitat
diferents. Ens interessaria,pertaldepoderarribaraunaformulaciosemilineal
del problema (1.1), tenir un unic producte. Per exemple, poder traduir el
producte de dualitat entre espais a la frontera en producte de dualitat entre
espais al'interior.
Pertald'aconseguiraquestpropositconsidereml'operadoradjuntde
p 0 iel denotemper 0 p 0
. Esporveureque 0 p 0 aplicaL p (@)en (W 1 p 0(@)) 0 . Aleshores,
sidonat que estem suposant que f(
p
u)2L p
(@), perdualitat tenim
<f( p u); p 0 v > @ =< 0 p 0f( p u);v > :
Per tant,a (1.4) ens queda
<u t ;v >+<A 1=2 u;v >=<g(u)+u;v >+< 0 p 0f( p u);v >; pera tota v 2W 1 p 0 . Denotem A=A 1=2
i denotem perF l'operadornolineal
F(u)=g(u)+u+ 0 p 0f( p u) :
Amb aquesta notacio arribem a veure que el problema (1.1) pot posar-se
en la formasemilineal 8 < : u t +Au = F(u); u(0) = u ; (1.5)
a W 1
p
, amb p > 2, tot i que veurem en la seccio seguent que conve prendre
p>n.
Veurem en la propera seccioamb mes precisio comes l'operadorno lineal
F. De fet, F aplica E
, no tan sols en E
1
sino en un subespai mes petit
E
1
, amb > . A mes, veurem quines son les condicions per tal que F
estiguiben de nit ide quina maneraesre exen leshipotesis de regularitatde
lesfuncions f i g sobre la part nolineal F.
Cal remarcar una diferencia notableen la formulacio que hem fet aqu
re-spected'aquellausadaquan lescondicionsdecontornsonhomogenies. Mentre
queF :E !E 1 E 1
enaquestcas,talicomdeiemalprincipid'aquesta
seccio,en elpuntde vistade D. Henryi A.Pazya L p
este quel'operadorno
linealF aplicaunsubespaidensd'unespaideBanachenl'espaideBanach.
Es
adir,en aquellcas l'espaid'arribadade lapartlinealide lapart nolineal son
elmateix. Noesaix, pero, com acabemde dir, pera laformulaciosemilineal
(1.5) obtinguda peral problema (1.1) usant espais d'interpolacio.
1.2 Condicions sobre els termes no lineals
L'objectiu de la seccio seguentes donarcondicions sobre lesdues funcionsno
lineals f i g per talque l'operadorno lineal F que en resulta a la formulacio
semilineal (1.5) satisfaci les condicions que es necessiten per poder obtenir
l'existenciade solucioaW 1
p
. VeuremquesiF esunafunciode Lipschitzsobre
acotatspodem provarexistencia i unicitatde solucioi quepera lesquestions
referents a l'estabilitat caldra demanar una mica mes, caldra que F sigui de
classe C 1
.
En funcio de la regularitat que presentin les funcions f i g veurem que
F esta de nit de W 1
p
, no tan sols en E
1=2
, sino que l'espai d'arribada pot
prendre's mespetit, E
1 E
1=2
, amb >1=2.
Recordem quef i g sonfuncionsrealsde variablereal iqueperf(u)ig(u)
entenem f(u(x;t)), per a x 2 @, i g(u(x;t)), per a x 2 , respectivament,
i t 2 R +
. Suposem, a mes, que u 2 W 1 i que p u 2 W 1 1=p (@), on p :
W 1 p !W 1 1=p p
(@) denota,com ala seccio anterior, l'operadortracasobre la
vora @. Recordem tambeque F(u)=u+g(u)+ 0 p 0 f( p u), on 0 p 0 es l'adjunt de l'operador traca p 0 : W 1 p 0 ! W 1 1=p 0 p 0
(@). Aleshores, tenim la seguent
proposicio:
Proposicio 1.1 Siguiundominisatisfentlapropietatdelcon. Suposemque
f ig sonfuncionsrealsdevariablereali que estal que1=2 < <1=2+1=2p
i p>n. Aleshores
(i) Si f i g son funcions de Lipschitz sobre acotats, llavors F es una funcio
de Lipschitz sobre acotats de E
1=2 en E
1 .
(ii) Sif i g sonfuncionsdeclasseC 1
(R;R), llavorsF esunafunciodeclasse
C 1
(en el sentit de Frechet) de E
1=2 en E
1 .
Observacio 1.3 Estemsuposanten aquestaproposicioqueeldominisobreel
qualconsideremelproblema(1.1)estalquesatisfalapropietatdelcon. Finsel
momentnohavem xatencapmomentlaregularitatquehadetenir,nomes
havem dit que el suposarem prou regular. L'objecte d'aquesta restriccio es
queessatisfacinaquellsencabimentsdeSobolevnecessarisenlaprovad'aquest
resultat. Arabe, com veurem mesendavant, aixo nosera cap restricciopera
nosaltres, ja que els dominis que considerarem seran prou regulars per a que
satisfacin l'esmentada propietat.
Anem a recordar que voldir queun dominisatisfaci la propietat delcon:
De nicio 1.1 Es diu queun domini satisfa lapropietat delcon si existeix
un con nit C tal que tot punt x2 es el vertex d'un con nit C
x
contingut
a i congruent ambC.
Perexemple, el domini de R 2
, f(x;y):0< y<x 2
; 0< x<1g no satisfa
la propietat del con. Notem, pero, que els dominis amb vora regular sempre
satisfan aquesta propietat.
Demostraci
o de la
Proposici
o 1.1. Considerem F(u) com la suma
F 1 (u)+F 2 (u),on F 1 (u)=g(u)+u i F 2 (u)= 0 p 0f( p u):
Sisomcapacosde veure queF
1 iF
2
sonfuncionsdeLipschitzsobreacotats
de W 1
p en E
1
ja haurem provat que F es de Lipschitz sobre acotats de W 1 p en E 1 . LafuncioF i
esdeLipschitzsobreacotatssisobrequalsevolacotatB W 1
p ,
F
i
esunafunciodeLipchitz,i=1;2. Equivalentment,peratoteslesu;v 2B,
existeixen C
1 i C
2
constants, talsque nomes depenen de B i essatisfa
kF i (u) F i (v)k E 1 C i ku vk W 1 p per ai=1;2:
ComencaremperF
1
. Siguin B, u i v lesque acabem de dir.
kF 1 (u) F 1 (v)k E 1 = sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (g(u) g(v))'+(u v)') dx sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jg(u) g(v)jj'jdx+ Z ju vjj'jdx : (1.6)
Estem suposant que g es una funcio de Lipschitz sobre acotats, es a dir,
quepera qualsevolcompacte J R existeixuna constant C =C(J)tal que
jg(x) g(y)jCjx yj
per aqualssevol x;y2J.
Donat que satisfa lapropietat delcon, elteorema 5.4de [1] ens diu que
si1<p<1 i considerems >0, sin <(s j)p pera algun enter no negatiu
j, essatisfa lainclusio W s p () ,!C j b () ies contnua, on C j b () es el conjunt de funcions u2 C j ()amb D u acotada
En el nostre cas s = 1 i considerem j = 0. Aleshores, com p > n, es cert l'encabiment W 1 p C 0 b
(). Per tant, com u;v 2 W 1
p
, u i v son funcions
contnues i acotades sobre . Com u;v 2 B C 0
b
(), existeix una constant
M =M(B) talque!(x)2[ M;M] peratota x2i pera tota !2B. Per
tant,usant ara que g es Lipschitz sobre acotats,a (1.6), ens queda
kF 1 (u) F 1 (v)k E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (C M ju vjj'j+ju vjj'j) dx (C M +1)ku vk L p sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 k'k L p 0 k(C M +1)ku vk W 1 p ;
cosa que provaque F
1
es Lipschitz sobre B, prenent C
1
=k(C
M +1).
Considerem ara l'altra funcio, es a dir, F
2
. Donades u, v i B com abans
tenim kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 = sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z 0 p 0 f( p u) 0 p 0 f( p v) 'dx :
Estem suposant que <1=2+1=2p, cosa que implica que 2 2 > 1=p 0
.
Per tant, te sentit prendre la traca sobre @ de la funcio ' 2 W 2 2 p 0 ;B . Aix doncs, kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z @ jf( p u) f( p v)jj p 0'j d`:
UsantaraargumentsanalegsalsusatsperaF
1 ,l'encabimentW 1 1=p p (@) C 0 b
(@), ja quep>n, i lacontinutatdels operadors traca
p i p 0 ,ens donen kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 C 0 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 fk'k W 2 2 p 0 gC 00 ku v k W 1 p C 2 ku v k W 1 p
tali comvolem. Ara,ladesigualtattriangularprovaqueF esLipschitz sobre
acotats,amb laqual cosa acabemlademostraciode l'apartat (i).
Anem a provar la diferenciabilitat de F, provant que F
1 i F
2
son
de Frechet de F 1 DF 1 (u): W 1 p ! E 1 h ! DF 1 (u)h
esta de nit per
DF 1 (u)h: W 2 2 p 0 ;B ! R v ! Z ((g 0 (u)h+h)v)dx:
Cal veure que
kF 1 (u+h) F 1 (u) DF 1 (u)hk E 1 khk W 1 p !0 quan khk W 1 p
!0. Comencem per acotarel numerador
kF 1 (u+h) F 1 (u) DF 1 (u)hk E 1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jg(u+h) g(u) g 0 (u)hjj'jdx sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jg 0 ( ) g 0 (u)jjhjj'jdx
ja que estem suposant g 2 C 1
(R;R). Com a l'apartat (i), donat que p > n,
es satisfa l'encabiment W 1 p C 0 b
(). Aleshores podem considerar la constant
M :=sup x2 jg 0 ( (x)) g 0
(u(x))j, la qual tendeix a 0 quan khk
W 1
p
! 0, ja que
(x) esta entre u(x) i u(x)+h(x) i g 0
es uniformement contnua sobre
com-pactes. Usant la desigualtatde Hlder s'obte
kF 1 (u+h) F 1 (u) DF 1 (u)hk E 1 M khk L p sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 k'k L p 0 Mkhk L p ;
ambla qualcosa veiem que l'operadordiferencial de F
1 es DF
1 .
Queda veure queDF
1
escontinu. Suposem " >0 donat. Volem veure que
existeixÆ =Æ(") talque siku vk
W 1 p <Æ, aleshores kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 ;E 1 ) ":
Comencem acotant kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 p ;E 1 ) = sup khk W 1 p =1 kDF 1 (u)h DF 1 (v)hk E 1 sup khk W 1 p =1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (jg 0 (u) g 0 (v)jjhjj'j+ju vjjhjj'j)dx sup khk W 1 p =1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 M 1 Z jhjj'jdx+M 2 Z jhjj'jdx onM 1 =sup x2 jg 0 (u(x)) g 0 (v(x))jiM 2 =sup x2
ju(x) v(x)jiestanbende nides
per ser u;v 2 C 0
b
() i g 0
contnua, per hipotesi. Usant ara la desigualtat de
Hlder s'arribaa kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 p ;E 1 ) M 1 +M 2 :
Del fetque g 0
esuniformementcontnuasobre un intervaladequat i,
nova-ment,que W 1 p C 0 b
(),espossibletriarÆ proupetit de maneraqueM
1
"=2
i M
2
"=2,cosa que prova lacontinutatde DF
1 .
Cal provarelmateix peraF
2
. Enaquest cas ide maneraanalogaesprova
que DF 2 (u): W 1 p ! E 1 h ! DF 2 (u)h de nitper DF 2 (u)h: W 2 2 p 0 ;B ! R v ! Z @ (f 0 ( p u) p h p 0 v)d`
esl'operadordiferencialde Frechet de F
2
. Usem, com abans,lacontinutatde
g 0 ,lainclusiode W 1 1=p p (@)C 0 b
(@)ilacontinutatdels operadorstraca
p
i
p 0
.
Pertalde veure lacontinutatde l'operadorDF
2
s'usa novament
l'encabi-ment W 1 1=p p (@) C 0 b
(@), la continutat uniforme de g 0 i la continutat de p i p 0, amesde ladesigualtat de Hlder.
Pertant,F esuna funcio C 1 de W 1 p en E 1
1.3 Existencia i unicitat de solucio
En aquest moment tenim a punt les eines necessaries per tal de provar que
el problema (1.5), es a dir, el problema en forma semilineal corresponent al
problema (1.1) a W 1
p
, te solucio unica per a tota condicio inicial u
0 2 W
1
p
donada. Primer de tot, anem a veure ques'enten persolucio de (1.5).
De nicio 1.2 Una funcio u:[0;T]!W 1
p
es una solucio de (1.5) si satisfa:
(i) u es contnua a [0;T].
(ii) u2C 1 ((0;T);E 1=2 ). (iii) u satisfa (1.5) si t 2(0;T).
Usant resultats d'interpolacio i, novament, el punt de vista de H. Amann
es pot provar (vegi's [4] (apendix), [3] i [7]) que, per a tota tal que 1=2
< 1=2 +1=2p, A es el generador in nitessimal d'un semigrup analtic
fe tA
; t0ga E
1 .
Aleshores,esvalidaunaformuladevariaciodelesconstantsperalproblema
(1.5) queens dona l'equaciointegralseguent per a lasolucio u,
u(t)=e tA u 0 + Z t 0 e (t )A F(u( ))d ; (1.7)
pera tota t2[0;T]. (Potconsultar-se [4], [7] i[12] pertalde veure l'obtencio
d'aquestaequacio).
Observem que l'equacio integral (1.7) es dedueix de l'equacio (1.5) en el
sentitque totasoluciode (1.5)essoluciode(1.7): efectivament,siuessolucio
de (1.5), considerem D s (e A(t s) u(s)) = e A(t s) u s (s)+e A(t s) Au(s) = e A(t s) F(u(s))
Arabe,delfetqueelsemigrupgeneratperl'operador Asiguiunsemigrup
analtic, es dedueix que tota solucio de (1.7) es solucio de (1.5). Per tant, hi
hauna equivalencia entre les solucionsde (1.5) iles de (1.7). (Vegi's [7]i [12]
per amesdetalls).
Amb tot aixo, anem a veure l'existencia de solucio per al problema (1.5)
situant-nos,siespossible,sota leshipotesisd'algunteoremadelpunt xo,per
essermesprecisos, provaremde tenir condicionssu cients pertald'aplicarun
teoremade contraccio. Aquesta es laraoper laqualens interessaria tenir per
al semigrup fe tA
; t 0g una desigualtat com la que satisfan els semigrups
que H. Amann obteperals seus problemes (teorema 10,[4]) i que donem tot
seguit:
Observacio 1.4 Sigui fe tA
g elsemigrup analticsobre l'espai E
1 generat perl'operadorA=A 1 ,1=2 <1=2+1=2p,comalaseccio1.1. Si >!, essatisfa ke tA k L(E 1 ;E ) Mt 1 e t ; t>0 (1.8) on! >0 es talque ke tA k L(E 1 ) me !t i laconstant M =M( ; ).
Recordem que en el nostre cas =1=2.
Veurem que ladesigualtat (1.8)es essencialen la demostraciodel seguent
teorema.
Teorema 1.1 Suposem que F : W 1
p ! E
1
, amb 1=2 < < 1=2+1=2p, es
una funcio de Lipschitz sobre acotats. Aleshores, per a tot acotat B W 1
p i
per aqualsevol u
0
2B, existeix T =T(B)>0 talque elproblema (1.5)te una
unica solucio a [0;T], ambvalor inicial u
0
. A mes,lasolucio u(t)es contnua
respecte de la condicio inicial u
0 .
Demostraci
o. Suposem que F es una funcio de Lipschitz sobre acotats.
Donat B W 1
p
sigui L =L(B) la constant de Lipschitz de lafuncio F sobre
B,esadir, per atota v;w2B essatisfakF(v) F(w)k
E
1
Lkv wk
W 1:
Sigui B
R
una bolaa W 1
p
de radi R que contingui B,es adir, B B
R per
auna R xada.
Siguin K >0i T =T(B)>0 tals que
ke At u 0 k W 1 p < R+K 2 ; si0tT M(L(B R+K )(R+K)+kF(u 0 )k E 1 ) Z T 0 e s s 3=2 ds< R+K 2 :
Considerem, ames, el conjunt
S = n v 2W 1 p : v contnua, v(0)=u 0 i kv(t)k W 1 p R+K sit 2[0;T] o :
Noesdifcilveure que S esun espai metric complet ambla distancia
dist (v;w)= sup 0tT kv(t) w(t)k W 1 p : Donat v 2S, considerem G(v): [0;T] ! W 1 p t ! G(v)(t) de nitper G(v)(t)=e At u 0 + Z t 0 e A(t s) F(v(s))ds:
VeuremqueG aplicaS en S iesuna transformaciocontnuaicontractiva.
Aix doncs, kG(v)(t)k W 1 p ke At u 0 k W 1 p + Z t 0 ke A(t s) k L(E 1 ;E 1=2 ) kF(v(s))k E 1 ds R+K 2 + Z t 0 Me (t s) (t s) 3=2 kF(v(s)) F(v(0))k E 1 + kF(v(0))k E 1 ds R+K 2 +M(L(B R+K )(R+K)+kF(u 0 )k E 1 ) Z T 0 e s s 3=2 ds
Es a dir, G(v)2B
R+K
. A mes, esclar que G(v)2W 1
p
i G(v)(0)=u
0 per
construccio. Es comprova tambe que G(v) es contnua a [0;T], amb la qual
cosa, G:S!S.
Siguin ara v;w2S icalculem
kG(v)(t) G(w)(t)k W 1 p Z t 0 ke A(t s) k L(E 1 ;E 1=2 ) kF(v(s)) F(w(s))k E 1 ds ML(B R+K ) sup 0tT kv(t) w(t)k W 1 p Z t 0 e s s 3=2 ds ;
desigualtat certapera tota t2[0;T]. Per tant,de lade nicio de T,dedum
dist (G(v);G(w)) 1
2
dist (v;w):
Es adir, G es una transformacio contractivai, per tant, contnua.
Aleshores, del teorema del punt x dedum que existeix una unica funcio
u 2S que es un punt x per a G,es a dir, u(t) = G(u)(t), t 2 [0;T], la qual
cosaequivaladirqueexisteixunaunica soluciode l'equacio(1.7)iaixoacaba
lademostraciodelaprimerapart delteorema, jaque,com hemditabans,per
asemigrups analticsaixoequivaladirqueuessoluciounicadelproblema en
formasemilineal(1.5), com volem.
Amb aquest resultat, de l'equivalencia entre solucio del problema (1.7) i
del(1.5),deduml'existenciad'unaunica soluciolocalperalproblemaoriginal
(1.1). LacondicioqueF sigui una funcio de Lipschitz sobreacotats, sip>n,
es tradueix sobre les funcions f i g de (1.1) en que, segons es prova en la
proposicio1.1, tambe siguinfuncions de Lipschitz sobre acotatsa R.
Observacio 1.5 Segons hem provat al teorema 1.1, si F es una funcio de
Lipschitz sobre acotats,el problema (1.5)te una unicasolucio,donats u
0 2B
i B W 1
p
acotat, a [0;T) amb T >T =T(B)> 0. Diem que T es maximal
sideixa d'haver soluciodel problema a[0;T
1 ) si T
1 >T.
En les hipotesis del teorema 1.1, es pot veure que si ku(t)k
W 1
p
K, per
la solucio es mante acotada per a tot temps d'existencia es pot continuar la
soluciopera tot temps t>0.
Certament,suposem queku(t)k
W 1
p
K per aalguna K >0,es a dir, que
lasolucioesmantedinsd'una bolaB
K aW
1
p
de radi K i peratota t<T(B).
Triem ara " prou petita. Si apliquem ara el teorema 1.1 a l'acotat B
K , amb
condicioinicialu(T(B) "),existeixuntempsT(B
K
)>0talqueexisteixuna
unicasoluciodelproblema(1.5),u
1 (t),sit<T(B K ),ambu 1 (0)=u(T(B) ").
Si s'ha triat " prou petita, es clar que T
1
= T(B) "+T(B
K
) > T(B). A
mes, esveu quela funcio v(t) de nida
v(t)= 8 < : u(t); 0tT(B) " u 1 (t); T(B) "tT 1 es solucio de (1.5) a [0;T 1 ).
Es clar que la reiteracio d'aquest argument de
continuaciode lasolucioens dona l'exitencia de solucio pera tota t>0.
1.4 Regularitat i compacitat
Fins el moment hem vist que donada p > n el problema (1.1) pot escriure's
com un problema de valor inicial semilineal abstracte a (W 1
p 0)
0
, de la forma
(1.5), amb espai de fases (es a dir, el domini de l'operador lineal A i del no
lineal F) W 1
p
. Hem vist tambe quees pot reduir auna equacio integralusant
la formulade variaciode constants. Igualment, por trobar-se que de neix un
sistemadinamic regularT(t),
T(t)u 0 =e At u 0 + Z t 0 e A(t ) F(T( )u 0 )d (1.9) a W 1 p
. La mateixa demostracio del teorema 1.1 ens assegura que T(t)u
0 es
contnuarespecte de la condicioinicial u
0
, mentre queestigui de nit.
En aquesta seccio anema donar algunsresultats referents a lacompacitat
delsistemadinamicT(t)ialaregularitatqueespotassegurar peralasolucio
de(1.1),donadaunacondicioinicialu
0 aW
1
suposarem que la funcio F es una funcio de Lispchitz sobre acotats, mentre
que en els temes de la regularitat caldra que suposem que F es una funcio
C 1 (E 1=2 ;E 1 ).
Comencarem veient que T(t) es condicionalment compacte, es a dir, que
si B W 1
p
es acotat i el conjunt fT(s)u : u 2 B i 0 < s < tg tambe ho es,
aleshores T(t)B escompacte.
Teorema 1.2 SuposemqueF es una funciode Lipschitz sobre acotats. Per a
t>0, elsistemadinamicT(t):W 1 p !W 1 p , de nit a(1.9),es condicionalment compacte.
Per tal de provar aquest resultat seguirem el mateix esquema que una
demostracio de compacitat feta per J. Hale a [19] per a sistemes dinamics
d'equacions d'evolucio sectorials.
Abans de veure la demostracio d'aquest teorema, necessitem introduir la
mesuradenocompacitatdeKuratowskid'unsubconjuntd'unespaideBanach,
aix com un resultat previ que donarem en el lema 1.1. Comencem per la
de nicio:
De nicio 1.3 Donat un espai de Banach X, sigui B X un subconjunt. La
mesurade nocompacitat de Kuratowski de B, (B), es de neix per
(B)=inffd : existeix un recobriment nit de B
amb boles de diametre dg:
La funcio satisfa les seguents propietats, de les quals nomes n'usarem
dues ala demostracio delteorema1.2 :
(i) (B)=0 per aB X sii nomes siB es relativamentcompacte.
(iv) (coB)= (B),on B X ico denota l'envolvent convexa tancada.
El lema del qualparlavem esel seguent:
Lema 1.1 Per a tota t>0, l'operador e tA es compacte de W 1 p en E 1=2 . Demostraci o. Fixatt>0,e tA escontinude W 1 p en W 1 p . Arabe,sabem que la inclusio W 1 p E 1=2
es compacta. Per tant, e tA es compacte de W 1 p en E 1=2 .
Passem ara ala demostracio delteorema1.2.
Demostraci
o del Teorema 1.2. Sigui B un conjunt acotat a W 1
p .
Considerem ara elconjunt
B 1 = Z t 0 e A F(T(t )u)d : u2B :
Fixat t >0, considerem,a mes, el conjunt
C=fT(t )u : u2B i 0 tg:
Per hipotesi, C esacotat a W 1
p .
Triem ">0 talque 0<"<t i considerem
Z t 0 e A F(T(t )u)d = Z " 0 e A F(T(t )u)d + Z t " e A" e A( ") F(T(t )u)d = I(0;")+e A" I(";t):
Considerem primerI(";t)i veurem queesta acotata W 1 p . Z t " e A( ") F(T(t )u)d W 1 p M (t ") 1=2 1=2 M t 1=2
on M = M(C). Per tant, es acotat. En el lema 1.1 hem vist que e A"
es
compacte,amblaqualcosa,esdedueixquee A"
I(";t)escompacte. Aleshores,
lamesura de Kuratowski (e A"
I(";t))=0.
Peraltra banda
kI(0;")k W 1 p = Z " 0 e A F(T(t )u)d W 1 p m " 1=2 1=2 :
Aleshores, perles propietats de la mesura de Kuratowski, s'obte (B
1 )
(I(0;"))+ (e A"
I(";t))= (I(0;")),es a dir,
(B 1 )m " 1=2 1=2
per a tota " > 0. D'aqu (B
1 ) = 0. Es a dir, B 1 es relativament
com-pacte i, aplicant el lema 1.1al primer sumand de T(t)u
0
, dedum que T(t) es
condicionalmentcompacte.
Passem ara a veure quina regularitat es pot assegurar per a la solucio de
(1.5), donadauna condicio inicialu
0 a W
1
p .
Teorema 1.3 Suposem que f i g son funcions de classe C 1 (R;R). Donada u 0 2 W 1 p
, existeix > 0 tal que la solucio u(x;t) = T(t)u
0 de (1.5) es de classe C 1 en t a valors en C () i de classe C 2+
() per a cada t>0. A mes,
u(x;t) es solucio classica del problema (1.1).
Abans de provaraquest teorema anem a donar el seguent resultat de
reg-ularitatde urespecte de t.
Proposicio 1.2 Suposem que F es una funcio de classe C 1 (E 1=2 ;E 1 ) amb 1=2 < <1=2+1=2p. Donada u 0 2 W 1 p
, la solucio u(x;t) =T(t)u
0 de (1.5) es de classe C 1 en t>0 a valors a W 1 p . Demostraci
o. Considerem elproblema d'evolucio
8 < : v t +Av = F(v); a v(0) = u ; a @: (1.10)
onel parametre >0.
Si v es solucio de (1.10), per a tota 0 t T es prova que v es un punt
x de l'aplicacio G:C([0;T];W 1 p )(0;1) !C([0;T];W 1 p ) (v;) !G(v;) de nida per G(v;)=e At u 0 + Z t 0 e A(t ) F(v( ))d :
Com a la demostracio del teorema 1.1 es veu que G() es una contraccio
uniforme a C([0;T];W 1
p
). Sabem que es satisfa (1.8) per al semigrup generat
per A. Procedint de manera analoga a la demostracio del teorema 1.1 i
de nimT, K, iS com alla,es comprova queG aplica S en S itambe que
kG()(v) G()(u)k W 1 p jjML max 0tT jv(t) u(t)j Z t 0 jj 3=2 jt j 3=2 d jj 1=2 ML dist (u;v)
ondist (;) es la del teorema1.1. Aleshores, podem triar T =T() de
man-era que jj 1=2
ML < 1, amb la qual cosa provem que G es una contraccio
uniforme a S C([0;T];W 1
p
). Per tant, existeix un unic punt x per a G,
depenent de la , que anomenaremv =v()=v(t;u
0 ;).
Anem a veure quel'aplicacio
!v(t;u 0 ;) es de classe C 1 (I;W 1 p ), I (0;1). Si veiem que G 2 C 1 (C([0;T];W 1 p ) I;C([0;T];W 1 p
)) ja ho tindrem. I aixo es equivalent a veure que existeixen
les derivades parcials @G=@v i @G=@ i que son contnues. Del fet que F 2
C 1 (W 1 p ;E 1
)es dedueix el quevolem.
Per a tota > 0, considerem v(t) = v(t;u
0
;). Sigui u(t) = u(t;u
0 ) la
considerem =t, ambla qualcosa obtenimu(t;u
0
)=v(1;u
0
;t). Acabem de
veure que v esderivable amb continutatrespecte delparametre, a valors a
W 1
p
i pertant hoes respecte de t.
Demostraci
o del Teorema 1.3. La primera part del teoremaes
con-sequencia de la proposicio 1.2: donat que p > n, existeix alguna , amb
0 <1 n=p,talqueW 1
p C
(). Ara,comuesde classeC 1
ent avalors
aW 1
p
,tambeho sera a valors a C
( ).
Dedumd'aqu, ames, que xatx
0 2, existeixla funcio @ @t u(x 0 ;t) pera t>0i es contnua.
Anem aveure ara queu2C 2+
() pera cadat >0. Recordemque perla
proposicio1.2 sabemque u
t 2W
1
p
. Pertal de veure-hoconsiderem el seguent
problema auxiliar 8 < : w = '; a; w +w = ; a@: (1.11) on ' = u+g(u) i = f( p u)+ p
u, amb u la solucio del problema (1.1).
Donat que estem suposant que f;g 2 C 1
(R;R) i u 2 W 1
p
es pot veure que
'2W 1 p i 2W 1 1=p p (@).
Anemaveureenprimerllocquelasoluciowde(1.11)esdeclasseC 2+
()
per a alguna 0< <1. Com p>n, existeix , amb 0 <1 n=p, per a
laqual elsencabimentsW 1 p C () i W 1 1=p p (@)C (@) soncerts.
Veurem tot seguit que la funcio 2 C 1+ (@): usant la densitat de la inclusioC 1+ (@) W 1 1=p p
(@), consideremunasuccessiode funcions(
n ) n , n 2C 1+ (@), talsque n ! aW 1 p . Peracada n consideremelproblema 8 < : w n = '; a; (w n ) +w n = n ; a@; (1.12) on ' 2 W 1 p
es la d'abans. A [15] es prova que existeixen i son uniques les
solucions dels problemes (1.12), per a n 1. A mes, w
n 2 C
2+
Ara,l'encabimentC 2+
( ) W 2
p
ens permet aplicarelteorema15.2de [2]
ales diferenciesw
n w m , sin 6=m, d'on en resulta kw n w m k W 2 p C(k' 'k L p +k n m k W 1 1=p p (@) +kw n w m k L p) : (1.13) Es clar que k n m k W 1 1=p p (@) ! 0 si n;m ! 1. Veurem mes endavant que kw n w m k L
p !0 si n;m!1, amb laqual cosa el termede ladreta de
la desigualtat (1.13) tendeix a 0 quan n;m ! 1. Aix doncs, la successio de
solucions (w
n )
n
es una successio de Cauchy a W 2 p i, per tant, w n ! w a W 2 p
quan n ! 1, essent w solucio de (1.11). Per tant, la solucio del problema
(1.11)esuna funciode classe C 1+ () ja queW 2 p C 1+ ().
Passem aveure quekw
n w m k L p
!0sin;m!1. Peraaixoconsiderem
elproblema (1.12) per aw
n
i per aw
m
i elsrestem. S'obte
8 < : (w n w m ) = 0; a ; (w n w m ) +(w n w m ) = n m ; a @: (1.14)
Per tant, la diferencia w
n w
m
es una funcio harmonica i pel principi del
maximde Hopf ([31]) obtenim
sup (w n w m ) sup @ ( n m ) inf (w n w m ) inf @ ( n m )
d'on acabem deduint
sup jw n w m jsup @ j n m j=k n m k C 0 (@) Kk n m k W 1 1=p p (@) : Per tant, kw n w m k L p !0 quan n;m!1.
Aleshores, hem obtingutque la solucio ! delproblema (1.11)es de classe
C 1+
(). A mes, sabem que ' 2 W 1
p
i 2 W
1 1=p
p
(@). Per tant, aplicant
lesestimacionsde Schauderesveu, comfanD.GilbargiN.S.Trudinger a[15],
que,de fet,la solucio de (1.11)esmes regular,es adir, que w2C 2+
().
Donada v 2W 1
p 0
, lasolucio delproblema (1.1) satisfa
Z u t vdx+ Z rurvdx= Z g(u)vdx+ Z @ f( p u) p 0vd`;
com havem vist a (1.3). De la mateixa forma es pot veure que la solucio w
delproblema (1.11) satisfa
Z u t vdx+ Z rwrvdx = Z g(u)vdx+ Z @ f( p u) p 0v d` + Z @ ( p u p w) p 0 vd`:
Ara,restantles dues igualtatsens queda
Z (ru rw)rvdx+ Z @ ( p u p w) p 0 vd`=0 per a tota v 2 W 1 p 0 . Considerem v = u w 2 W 1 p W 1 p 0, ja que p 0 p si pn 2. Aleshores, Z r(u w) 2 dx+ Z @ ( p 0(u w)) 2 d`=0;
d'on esdedueixque u=w. Per tant,lasoluciou delproblema (1.1)en forma
febleesde classeC 2+
( ). Arabe,siuessoluciounica de (1.3)iu2C 2+
(),
aleshores u es solucio de (1.1), amb la qual cosa acabem la demostracio del
Estabilitat i inestabilitat
d'equilibris
D'araendavantelnostre interesescentrara en l'estudide solucionsd'equilibri
peralproblema d'evolucio(1.1)que varemconsiderar alcaptol1,esadir, en
lessolucions del problema
8 < : u+g(u) = 0; a ; u = f(u); a @; (2.1) onR n
es un dominiacotat amb frontera @ regular.
En el captol anterior varem veure que el problema (1.1) pot posar-se en
forma semilineal, es a dir, en la forma (1.5). Anem a donar, en primer lloc,
algunesde nicions sobre estabilitatd'equilibris.
De nicio 2.1 Sigui
u
t
+Au=F(u) (2.2)
una equacio semilineal. Diem que u(t) u
0
es un punt d'equilibri si es una
solucio de (2.2),es a dir, si u 0 2D(A) i Au 0 =F(u 0 ).
De nicio 2.2 (De nicions d'estabilitat) Un punt d'equilibri u 0 es estable a W 1 p
si, per a tota " >0, existeix Æ >0
tal que tota solucio v 2 W 1 p amb kv(0) u 0 k W 1 p < Æ existeix a t 2 [0;+1) i satisfa kv(t) u 0 k W 1 p <" per a tota t0. Elpuntd'equilibriu 0
esuniformementasimptoticamentestablesiesestable
i hi ha un entorn V =fv 2W 1 p :kv u 0 k W 1 p <rg tal que kv(t) u 0 k W 1 p
!0 quan t !+1, uniformement per a v 2V.
Un punt d'equilibri u
0
es inestable sino es estable.
En la primera seccio veurem que la linealitzacio del problema (1.1) al
voltant d'un punt d'equilibri u
0
, ens dona un principi d'estabilitat i
inesta-bilitatlligatalsignedelvalorpropimaximdel'operadorlinealqueen resulta,
com passa en general en els problemes semilineals.
Enlaseccio2.2donaremunacaracteritzaciod'aquestvalorpropimaximde
l'operador linealitzat. Aquesta caracteritzacio ve donada per un quocient de
Rayleigh, es adir, el valorpropi maximve donat pelsuprem (2.13) en l'espai
Hilbert W 1
2
. Ara be, el problema (2.1) l'estem considerant a W 1
p
, per la qual
cosa calprovar que elvalor propiaix trobat i lafunciopropia associada aell
aW 1
2
, sonel valorpropi maximamb igual funcio propia a W 1
p
,cosa no trivial
d'entrada.
2.1 Estabilitat i inestabilitat per linealitzacio
Suposem quef ig son funcionsC 1 (R;R) i que u 0 esun punt d'equilibri de 8 < : u t +Au = F(u) u(0) = u 0 : (2.3)
Hem vist a la proposicio 1.1 de la seccio 1.2 que si f i g son funcions de
classeC 1
(R;R) aleshores l'operadornolineal F esde classe C 1 (W 1 p ;E 1 ),per
Sota aquestes hipotesis tenim F(u 0 +v)=F(u 0 )+DF(u 0 )v+G(v) amb kG(v)k E 1 =o(k v k W 1 p ) quan kv k W 1 p
! 0. Aquesta descomposicioens
suggereixconsiderar la linealitzaciodelproblema (2.3),esa dir,
v
t
+Av =DF(u
0
)v (2.4)
irelacionarl'estabilitatde l'equilibriu
0
ambelsigne delvalorpropimaximde
l'operadorlineal que apareix a(2.4).
Talicomdeiemalaintroducciodelcaptol,elqueanemadonarenprimer
lloc es un principi d'estabilitat i inestabilitat que recollim en el seguent
teo-rema:
Teorema 2.1 Sigui u
0
un punt d'equilibri de (2.3) i sigui (B) l'espectre de
l'operador B =DF(u
0
) A. Aleshores
(i) Si(B)fRe <agper aalgunaa <0, aleshores u
0
esuniformement
asimptoticament estable a W 1
p .
(ii) Si (B)\fRe >0ges un conjunt espectralnobuit, aleshores u
0 es un
punt d'equilibriinestable a W 1
p .
L'apartat (i)es el mateix que dir que si la linealitzacio (2.4) es
uniforme-ment asimptoticament estable aleshores u
0
esuniformement asimptoticament
establea W 1
p
. De fet, elque veurem es que existeix>0i M 1 talsquesi
ku 0 u 1 k W 1 p 2M
aleshores existeix una unica soluciode
8 < : u t +Au = F(u); sit 0 u(0) = u 1 (2.5)
de nida a [0;+1) talque satisfa, pera tota t 0
ku u 0 k W 12Me at ku 1 u 0 k W 1 :
De manera semblant, per a l'apartat (ii) el que veurem es que existeix " 0 >0 i fu n ;n 1g,ambku n u 0 k W 1 p
!0 quan n !+1,que pera tota n
satisfa sup t0 ku(t;u n ) u 0 k W 1 p " 0 >0 (2.6)
onel supremes pren sobre l'intervalmaximal d'existencia.
Peralademostraciod'aquestsdos resultatsesessencialladesigualtat(1.8)
vistaal captolanterior.
Demostraci
o. Anem a veure l'apartat (i): Sigui (B) l'espectre de
l'-operador B = DF(u
0
) A. Analogament a l'operador A, l'operador B
sat-isfa una desigualtat com (1.8) amb ! = a, es a dir, que si a 0
es tal que
Re(B)<a 0
<a <0, existeixuna constant M 1 talque
ke Bt v k W 1 p Mt 3 2 e a 0 t kv k W 1 p per atota t >0.
Triem >0su cientment petita de manera que
M Z 1 0 s 3 2 e (a 0 a)s ds< 1 2 i>0 talque sikvk W 1 p , es tingui kG(v)k E 1 kv k W 1 p : Considerem v(t)=u(t;u 1 ) u 0 . Si espren u 1 talque ku 0 u 1 k W 1 p 2M
la solucio de (2.5) existira i satisfara la desigualtat kv(t)k
W 1 p en algun intervalde temps. Com u 0 satisfal'equacio Au 0 =F(u 0 ) iu l'equacio u t +Au = F(u)=F(u 0 +v) = F(u )+DF(u )v+G(v);
restant lesdues igualtats escomprovaque v satisfal'equacioseguent: v t +Bv =G(v): (2.7) A mes, mentre kv(t)k W 1 p ,la desigualtat kv k W 1 p =ke Bt) (u 1 u 0 )+ Z t 0 e B(t s) G(v(s))dsk W 1 p Me at ku 1 u 0 k W 1 p +M Z t 0 (t s) 3 2 e a 0 (t s) kv(s)k W 1 p ds 2 +M Z t 0 (t s) 3 2 e a 0 (t s) ds<
escerta, es adir, esde fetuna desigualtatestricta.
Sigui t
1
el valor mes gran de temps per al qual es certa la desigualtat
kv(t) k W 1 p < pera 0 t<t 1 . Aleshores, o be t 1 =1, o be kv(t 1 ) k W 1 p =,
(vegi's l'observacio 1.5). Aix doncs, donat que k v(t
1 ) k W 1 p = contradiu
l'ultimadesigualtat, existeixsolucio per atota t >0 satisfent
kv(t)k W 1 p =ku(t) u 0 (t)k W 1 p <: Sigui v(t)= sup 0st fkv(s)k W 1 p e as g: Aleshores,es satisfa: kv(t)k W 1 p e at =e at ke Bt (u 1 u 0 )+ Z t 0 e B(t s) G(v(s))dsk W 1 p e at Me a 0 t ku 1 u 0 k W 1 p + Z t 0 M(t s) 3 2 e a 0 (t s) kv(s)k W 1 p e at ds M ku 1 u 0 k W 1 p +Mv(t) Z t 0 (t s) 3 2 e (a 0 a)(t s) ds M ku 1 u 0 k W 1 p + 1 2 v(t)
per atota t 0. D'aqu,
v(t)M ku 1 u 0 k W 1 p + 1 v(t);
esa dir, v(t)2M ku 1 u 0 k W 1 p ;
com volemprovar.
Peral'apartat(ii),siguin
1 =(B)\fRe >0gi 2 =(B) 1 . Siguin P 1 iP 2
lesprojeccions sobrel'espaiE
1=2 associadesa 1 i 2 , respectivament, i denotem per X j = P j (E 1=2
) aquestes projeccions, si j = 1;2. Aleshores,
E 1=2 = X 1 X 2 , X j
son invariants per B i, a mes, si denotem per B
j les restriccionsde B sobre X j , este(B j )= j ,per aj =1;2. (Vegi's[20] i [14],
per alsdetalls).
Es prova que existeixen dues constants >0 i M 1tals que son certes
lesseguents estimacions: per at >0
ke B2t E 2 uk W 1 p Me t t 3 2 kuk E 1 ipera t0, ke B 1 t E 1 uk W 1 p Me 3t kuk E 1 : Donada u2W 1 p \X 1
, considereml'equaciointegral seguent
v(t)=e B 1 (t T) u+ Z t T e B 1 (t s) P 1 G(v(s))ds+ Z t 1 e B 2 (t s) P 2 G(v(s))ds; (2.8) per atT. Sabem que kG(v)k E 1 k()kvk W 1 p si kvk W 1 p i amb k() ! 0 quan
!0. Aleshores, podem triar >0 prou petita de manera que
Mk() " kP 1 k +kP 2 k Z 1 0 s 3 2 e s ds # < 1 2 :
Veurem tot seguit que si u 2 W 1
p
es tal que kuk
W 1
p
=2M, l'equacio
integral (2.8) te una unica solucio v(t) a 1<tT quesatisfa
kv(t)k W 1 p e 2(t T) :
Per talde veure-ho, considerem elconjunt
S=fv : v :( 1;T]!W 1 p contnua, P 1 v(T)=u i kv(t)k W 1 e 2(t T) per at Tg:
Fixada v 2S considerem l'operador
H(v) : ( 1;T] ! W 1
p
t ! H(v(t))
de nit per l'equacio integral (2.8). Es comprova que S es un espai metric
completamb ladistancia
dist (u;v)=sup
tT fku(t) v(t)k W 1 p g:
A mes, H es una transformacioque aplica S en S, contnuai contractiva.
Vegem-ho: perde nicio H(v)es contnuai P
1 (H(v(T)))=u. A mes, kH(v)(t)k W 1 p ke B1(t T) uk W 1 p + Z t T ke B1(t s) k L(W 1 p \X 1 ;E 1 ) kP 1 G(v(s))k E 1 ds + Z t 1 ke B 2 (t s) k L(W 1 p \X2;E 1 kP 2 G(v(s))k E 1 ds Me 3(t T) kuk W 1 p + Z t T Me 3(t s) k()kP 1 vk W 1 p ds + Z t 1 M(t s) 3 2 e (t s) k()kP 2 vk W 1 p ds Me 3(t T) kuk W 1 p + Mk()kvk W 1 p " kP 1 k +kP 2 k Z 1 0 s 3 2 e s ds # Mkuk W 1 p e 3(t T) + 2 e 2(t T) e 2(t T) :
Aix doncs, H : S ! S. Vegem ara que H es una contraccio: per a tota
tT este, kH(v(t)) H(u(t))k W 1 p Mk()dist (u;v) Z t T kP 1 ke 3(t s) ds+ Z 1 0 kP 2 ks 3 2 e s ds 1 2 dist (u;v): Es adir, dist (H(u);H(v)) 1 dist (u;v);
deduint queH es una contraccioi es, pertant, contnua.
Estem, doncs en condicions d'aplicar el teorema del punt x, que ens diu
que existeix un unic punt x v(t), es a dir, H(v(t)) = v(t) per a tota t 2
( 1;T], solucio de l'equacio integral (2.8). Denotarem aquesta solucio per
v(t)=v(t;T;u). Donatque v(t) satisfa
kv(t)k W 1 p 2Me 2(t T) kuk W 1 p ; tT ; dedum kv(T) uk W 1 p = =k Z T 1 e B 2 (t s) P 2 (G(v(s)))dsk W 1 p Z T 1 2M 2 k()kP 2 kkuk W 1 p (t s) 3 2 e (t s) e 2(t T) ds 1 2 kuk W 1 p ;
sitriem >0 prou petita. Pertant,
kv(T)k 1 2 kuk W 1 p :
A mes, apartir de l'equaciointegral(2.8) espot observardirectamentque
v tambees soluciode
v
t
=Bv+G(v); tT :
Amb tot aixo, anem a construir una successio fu
n g n que satisfaci (2.6). Siguin u n =v(0;n;u):
Aleshores, lasolucio u(t;u
n ) satisfau(t;u n )=v(t;n;u),pera 0t n i sup 0tT ku(t;u n )k ku(T;u n )k = kv(T;n;u)k 1 kuk>0
