Equacions de Difusió amb Condicions de Contorn No Lineals Neus Cónsul Porras Universitat Polit ecnica de Catalunya 1997

148  Descargar (0)

Texto completo

(1)

amb

Condicions de Contorn No Lineals

Neus Consul Porras

UniversitatPolitecnica deCatalunya

(2)

amb

Condicions de Contorn No Lineals

Neus Consul Porras

Memoriapresentada pera aspiraral grau

de Doctoraen Matematiques

Departament de MatematicaAplicada I

Universitat Politecnicade Catalunya

(3)

sota lameva direccio, al Departament de

Matematica Aplicada I de la Universitat

Politecnica de Catalunya.

Barcelona, Marc de 1997.

Dr. JoanSola-Morales iRubio

Catedratic d'Universitat de Matematica

Aplicada

(4)
(5)

Vull apro tar aquest espai per donar les gracies a totes aquelles

per-sones que,d'algunamanerao altra,han fetpossiblelarealitzacio d'aquesta

memoria.

Enprimerllocvullmostrarelmeu agramentde totcoralmeu director

de tesi, en Joan Sola-Morales. Ell em va introduir en aquest treball i ha

estat ellqui,pacientment,m'haestatensenyant iajudanttots aquestsanys.



Es per aixo que li haig d'agrair tot el temps que m'ha dedicat, les seves

suggerenciesiideesiels seus consellsen eldesenvolupament d'aquestatesi.

Ino pucdeixarde bandalamevagratitud enversd'enJoanquanen aquells

moments mes baixos imes difcilsm'ha estat recolzant i animant. Per tot

aixoipermoltes altres coses quesegurament estic ometent,graciesJoan.

Haigd'estendreelmeuagramentatots elsaltresmembres delSeminari

d'Equacions enDerivadesParcials/Sistemes DinamicsUAB-UPC,ambels

quals m'hetrobat molta gusttotaquest temps.

Duranttotsaquests anys hecomptatamb lacompanyia ielrecolzament

detotselscompanysdelDepartamentdeMatematica AplicadaI. Atots ells

moltes graciesperl'animqueentotmomenthe estatrebent. No pucdeixar

d'agrair a l' 

Angel Jorba el seu ajut informatic. Tambe recordo amb molta

simpatia tots els moments compartits amb el queha estat elmeu company

de despatx totsaquests anys,en Miguel 

Angel Barja.

Molt especialment haig d'agrair als meus estimats pares tota la seva

comprensio,companyiaipacienciaquem'hanofertentotmoment. Haigde

fer extensiuaquestagrament als meussogres.

Finalment, un agrament molt emocionat a la persona que m'ha

acom-panyat en aquest llarg cam, en Juanje. Sense el seu anim i recolzament

duranttots aquestsanysno haguesarribat al nald'aquesttreball. Gracies

per la paciencia mostrada en tot moment i per la teva comprensio in nita

(6)

Elproblema parabolic nolineal 8 > > < > > : u t = u+f(u); a ; u  = 0; a @; u(x;0) = u 0 (x); (1) enundominiacotatR n

represental'evolucioeneltempsdelaconcentracio

u d'una determinada substancia en un contenidor isolat, el qual esta sotmes

alsefectes d'una reaccio nolineal representada perla funcio f i d'una difusio

lineal homogenia.



Es facil comprovar que els zeros de la funcio f son solucions d'equilibri

constants per al problema (1). L'existencia de solucions d'equilibri estables

no constants per al problema (1) i amb n  2 es un fenomen important, que

sovint s'anomena \morfogenesi" oformaciode patrons.

Motivats per aquest problema amb condicions de contorn de Neumann

homogenies, el que anem a presentar en aquesta memoria preten contribuir

a l'estudi de solucions d'equilibri estables no constants per a una equacio de

difusio amb condicions de contorn de Neumann no lineals. El problema que

consideraremes elseguent:

8 < : u t = u; a; u  = f(u); a@: (2)

SuposemqueeldominiR n

,n 2,esacotatiambfrontera@regular.

En la condicio de contorn, @

@

(7)

la frontera. La solucio u = u(x;t) es una funcio de R en R i la funcio

f(u):@!R.

De manera semblant a allo que deiem per al problema (1), podem

inter-pretar (2) com l'equacio que modela l'evolucio d'una concentracio sota els

efectes conjunts d'una difusio lineal homogenia a l'interior d'un contenidor i

unareaccionolinealquesucceeixunicamentalafronteraiqueverepresentada

per f. Per exemple,perla presencia d'un catalitzador.

L'observacio de fenomens fsics, qumics, biologics i d'enginyeria que es

poden modelar amb aquest tipus d'equacions presenten sovint condicions de

contorn nolineals. Aquest fet fa augmentar l'interes en l'estudi de problemes

com el(2).

Tal com passa per al problema (1), els zeros de la funcio f son solucions

d'equilibri constants del problema (2). Ens preguntem, pero, per l'existencia

ono de solucions d'equilibriestablesno constants.

Observem,perexemple,quesieldominiesnoconnexespodenconstruir

de maneratrivialequilibris establesnoconstantsassignant acada component

connexadiferentsvalors constants

i ,talsque f( i )=0i f 0 ( i )<0.

(L'esta-bilitat d'aquests equilibris no es immediata i se seguira d'un principi

d'esta-bilitat per linealitzacio per al problema (2), tal com es veura en el captol 2

d'aquestamemoria.)

Com ja es pot deduir del que acabem de dir, en el moment que varem

decidir estudiar equilibris estables, es feia necessari tenir criteris per tal de

determinar l'estabilitat de les solucions d'equilibri. Per exemple, un principi

d'estabilitatperlinealitzacio.

Ambaquest objectiu se'nsvafer necessariun estudimesprofunddel

prob-lema de valorinicial pera (2). 

Es peraixo quealloque varem questionar-nos

en un primer moment era en quins espais de funcions estava ben plantejat el

problemaiquinescondicions caliaimposarsobref pertaldetenirexistenciai

unicitatde solucio. Unavegadaresoltaaquestaquestiointentaremobtenirun

(8)

d'estabilitatdels equilibris.



Es conegut que laformulacioabstracta de problemes de valorinicial pera

equacionsde reaccio-difusio com

8 > > > > < > > > > : u t u = g(u); a; @u @ = f(u); a@; u(x;0) = u 0 (x): (3) en un domini acotat  R n

, com un problema d'evolucio en un espai de

funcionss'acostuma afer,quan lescondicionsde fronterasonlineals,

incorpo-rant les esmentades condicions en la de nicio de l'espai de fases. Destaquem

algunesreferencies: [20], [30], :::

Arabe,elsproblemesambcondicionsdecontornnolinealssonquelcommes

difcil,com es potveure a [3], [4], [5], [7]i [12]. La incorporacioen aquest cas

de les condicions de contorn a l'espai de funcions no dona un espai vectorial,

per la qual cosa l'us de les tecniques de l'Analisi Funcional sembla, en una

primeraaproximacio alproblema, no massasenzill.

Existeix un cam, suggerit per H. Amann, per tal de poder superar

aque-sta di cultat. Aquest punt de vista ha estat usat per ell mateix en l'estudi

de problemes parabolics quasilinealsi de sistemes amb condicions de contorn

no lineals, com es pot veure a [3], [5]. Igualment, altres autors, com per

ex-emple [12], [34], estudien problemes diversos amb condicions de contorn no

lineals usant les tecniques i els resultats de H. Amann. En aquesta memoria

desenvoluparem en una primera part el punt de vista de H. Amann per al

cas d'equacions paraboliques semilineals amb condicions de contorn de tipus

Neumannno lineals,com a (3),

Abans, pero, d'iniciar l'estudi del problema (2), ens va semblar natural

comencar pelcas messenzill d'un interval,esa dir, pera dimension=1. Els

resultats obtinguts ens semblen prou interessants com per reservar un espai,

l'apendix A, on exposar-los. Cal dir que aquest va esser el primer contacte

amb el problema (2) i que el que s'obte per als equilibris resulta illustratiu

(9)

resultatsd'existenciaiunicitatdesolucioielprincipid'estabilitatquedonarem

enelsdosprimerscaptolsdelamemoriaseranperalproblemamesgeneral(3).

Ambelsresultatsqueveuremalscaptols1i2jaestenenleseines necessaries

per tal d'estudiar el nostre objectiu principal: l'existencia o no d'equilibris

establesno constantsperal problema (2).

Els tres darrers captols d'aquesta memoria estaran dedicats a aquestes

questions de la morfogenesi. Concretament, en el captol 3 veurem alguns

casos on no es possible que existeixin equilibris estables no constants i en

els dos ultims, es a dir, en els captols 4 i 5, es veuran alguns exemples on

s es tindra existencia d'equilibris estables no constants. En el captol 4 es

consideraran dominis a R n

, n  2, connexos amb vora disconnexa i en el

captol5 dominisambvora connexa.

Finalment,despresdel'apendixAquecitavemabans,acabaremlamemoria

ambun segon apendix ones fan calculs explcitsde solucions com aquellesde

lesquals s'haura provat l'existencia en elcaptol 5.

Descripcio dels resultats

Talcom deiem abanshem utilitzaten elplantejament funcionaldelnostre

problema el punt de vista que dona H. Amann ([3], seccio 12) per a aquest

tipusde problemes. Aquest puntde vistaconsisteix,essencialment, en

consid-erarespaisdefuncionsprougransiveurecom,ambunabonaelecciod'aquests

espais, anomenats espais de fase, i dels operadors lineals involucrats,

s'acon-segueix incorporar les condicions de contorn en una equacio semilineal com

una nova nolinealitat.

Aix doncs, en el captol 1 es mostrara com es pot formular de manera

semilinealelproblema (3), esa dir, en la forma

8 < : u t = Au+F(u); u(0) = u 0 ; (4)

(10)

semilineal (4) considerarem una colleccio d'espais de funcions obtinguts per

interpolacio entre els espais de Banach W 2 p;B () i L p (), on W 2 p;B () denota

l'espaide lesfuncionsde W 2

p

() talsque@u=@ =0a@. Lainterpolacioens

donarauna collecciod'espaisdeBanachordenats entrel'espaimenorW 2

p;B ()

i el mes gran L p

(), entre els quals triarem els espais de fases. A mes, sobre

elsespaisextrems espoden triarde maneranaturaluns operadorslineals A

0;p i A 1;p 0 , A 0;p : W 2 p;B ! L p i A 1;p : L p ! (W 2 p;B ) 0 tals que A 1;p restringit a W 2 p;B coincideixi amb A 0;p

i de manera que, sobre els espais intermitjos, les

restriccions de A

1;p

siguin igualmentoperadors lineals continus.

Veurem que nosaltres considerarem com a espai de fases l'espai W 1

p (),

amb p > n (  R n

). El que farem, pero, es mirar-nos-el com un espai

d'interpolacio i apro tar-ne les propietats que aixo ofereix. Aquesta forma

d'escollirl'espaide fases,enspermetraprendrel'espaid'arribadade l'operador

nolinealF mespetitquel'espaid'arribadadelapartlinealA. Aquestaesuna

diferencia notableamb la formulacioque fan alguns autors, com per exemple

D. Henryi A. Pazy, aL p

. Enaquells casos es teque F s'aplicad'un subespai

dens d'un espai de Banach en l'espai de Banach.

Per a la formulacio (4) es podra admetre una formula de variacio de les

constantsque donara una equacio integral pera la solucio,es adir,

u(t)=e At u 0 + Z t 0 e A(t ) F(u())d : (5)

En la proposicio 1.1 veurem que si f i g son funcions de Lipschitz sobre

acotats o be son de classe C 1

(R;R), aleshores F es igualment de Lipschitz

sobre acotats o de classe C 1 , respectivament, de W 1 p en (W 2 2 1=p 0 p 0 ) 0 , amb 1=2< <1=2+1=2p.

Seguidament, en la seccio 1.3provarem, en el teorema1.1, que si F es de

Lipschitz sobre acotats existeix una unica solucio per al problema (3) per a

t2[0;T) i valorinicial u 0 2W 1 p donat.

Finalment,alaseccio 1.4veurem queelsistemadinamic T(t) quede neix

(4)a W 1

p

i que ve donat per T(t)u

0

(11)

laproposicio1.2esprovaraque lasolucio de (4)u esderivable respecte de t a

valorsaW 1

p

,cosaqueusarempertaldeprovaren elteorema1.3quelasolucio

u(x;t) de (4)es de classe C 1 en t a valors a C () i de classe C 2+ () per a

t>0,pera alguna >0. A mes, u(x;t) es solucioclassica del problema (3).

Una vegada vistos aquests resultats d'existencia, unicitat i regularitat de

lasolucio,en elcaptol2tractaremlesquestionsde l'estabilitatdelsequilibris.

Aquest segon captol esta dividit en dues seccions. En la primera donarem

un principi d'estabilitat i inestabilitat per linealitzacio per al problema (3).

Aquest es elresultatque esrecull en elteorema2.1i queens dona el caracter

estableoinestabled'unequilibrien funciodelsignede l'espectredel'operador

lineal queapareixera en lalinealitzacio.

Enlasegonasecciodonarem unacaracteritzaciomesassequiblequelaque

oferiraelprincipid'estabilitatdelaseccioanteriorperalvalorpropimaximde

l'operadorlinealitzat. Elquefarem en aquestaseccioesdonar un quocientde

Rayleighper alprimer valorpropi, es a dir, veurem que aquest es pot trobar

comel supremd'unquocientsobre funcionsa W 1

2

. Com s'ha ditanteriorment

nosaltres considerarem que l'espai de fases es W 1

p

, amb p > n. Aleshores,

l'obtencio del quocient de Rayleigh a W 1

2

no sera su cient sino que caldra

veure que el valor propi trobat amb el quocient donat caracteritza, de fet,

el valor propi maxim de l'operador a W 1

p

. El teorema 2.2 es el que recull el

quocient del qualparlem.

El tercer captol l'hem dedicat a la no existencia d'equilibris estables no

constantsperalproblema(2),esadir, al'estudienfunciodef ided'aquells

casos onnomespoden tenir-sesolucionsd'equilibri establesconstants.

El captol esta dividiten tres seccions. A laprimera esdona una acotacio

a priori de la solucio si se suposa que la funcio f es tal que existeixen a i b,

amba  b, tals quef(u)u<0 si u <a o u>b. Aleshores, tota soluciou de

(2)satisfaa u(x)b, pera tota x2.

La segona seccio parlara de condicions sobre f per tal que tot equilibri

establesiguiunasolucioconstant. Elprimerresultateldonaremenelteorema

(12)

petita, llavors tota soluciod'equilibries constant. Cal notar que nonomesels

equilibrisestabless'obtenen constants,sinoquetambehoseran elsinestables.

El segon resultat, en la mateixa lnia anterior, que es donara es un

resul-tat que ja era conegut per a problemes de reaccio-difusio amb condicions de

Neumannhomogenies, comelproblema(1). R.G.CasteniC.J. Hollanda[11]

consideren el problema (1) i proven que si f es una funcio de classe C 2 amb f 00 > 0 o f 00

< 0, aleshores, tota solucio d'equilibri estable es constant. En

el nostre cas, per al problema (2) provarem en elteorema 3.3 quesi f es una

funcio concava o convexa en el rang de valors que pren la solucio, aleshores

tota solucio d'equilibriestableesconstant.

Finalment, dedicarem la tercera i ultima seccio d'aquest captol a donar

alguna condicio sobre el domini per a la qual, com abans, nomes es tinguin

equilibris estables constants. Per exemple, per al problema (1) R.G.Casten i

C.J. Hollanda [11] iH. Matanoa [27] proven que sieldomini esconvex iu

esunasoluciod'equilibrinoconstantde classeC 3

(), aleshores,uesinestable.

Per alproblema (2) alloque nosaltresprovarem es quesi es una bolaa R n

,

n2, aleshores lesuniques solucionsd'equilibriestablesson lesconstants. Si

benopresentaremunresultatsobreconvexos,volemdestacarquelestecniques

utilitzadespertaldeprovarelnostreresultatsonmoltdiferentsd'aquellesque

usen els autors anteriors per als convexos. Aix doncs, necessitarem provar

que si  = 0 es el primer valor propi de l'operador lineal que s'obte en la

linealitzacio del problema amb funcio propia u, aleshores  es un valor propi

(algebraicamenti geometricament)simple iu(x)>0pera tota x2.

Els dos captols nals de la memoria estan dedicats a la morfogenesi o

formacio de patrons. Aix doncs,el captol 4recollira un resultat d'existencia

d'equilibrisestablesnoconstants en dominisambvora disconnexa. En aquest

captol i dividit en tres seccions es veura com es possible trobar equilibris

establesnoconstantssieldominiesconnex itelavora disconnexa. Veurem

queen aquest cas s'obte una solucio d'equilibrinoconstant molt propera ala

soluciode u=0a ambvalors constants acada una de les components de

@, que hauran d'esser diferents com amnima dues d'aquestes components.

(13)

quelasoluciotrobadaambaquest metodeesnoconstant inotan solsestable

sino que resultara asimptoticamentestable.

En el darrer i ultim captol, dedicat com deiem abans tambe a la

mor-fogenesi,esconsideraran,adiferenciadelcaptol4,dominisambvoraconnexa.

En aquest captol veurem que existeixen equilibris estables no constants per

a doministipus halter (\dumbbell"a la literaturahabitual en angles).

Nova-ment, comparantel nostreproblema amb (1), esconeixen per aaquest darrer

problema i sota determinades condicions sobre f, resultats que proven

l'ex-istencia d'equilibris estables no constants per a aquests dominis halter. Cal

citar el treball [27] en aquesta lnia. Aquest treball de H. Matano va esser

l'origende l'estudidel nostre problema en aquest tipus de dominis.

Volem fer notar, pero, que si be s'obtindran resultats parallels a aquells

de [27], les tecniques que nosaltres usarem seran molt diferents. Aix doncs,

mentreMatanobasal'existenciadelsequilibrisestablesnoconstantsenellema

deZorniapro talamonotoniadel ux, nosaltresarribemaprovarl'existencia

d'equilibrisestablesno constants pera (2)basant-nos en lau-dimensionalitat

d'una varietatcentral.

Els resultats principals d'aquest captol es donaran en els teoremes 5.2 i

5.3. Elsprimersd'aqueststeoremesdonaralescondicionsques'hande satisfer

pertalque existeixialgunequilibri establenoconstant. Enelsegon, isempre

suposant que la funcio f satisfaalguna hipotesi addicionalales dels captols

anteriors, es veura l'existencia per a tota f d'un domini D per al qual valgui

el teorema primer, es a dir, existeixin equilibris estables no constants. El

dominiques'obteteunaformasemblantaunhalterjaqueresultauniode dos

subdominisdisjunts atraves d'un tercer subdomini \petit" comparativament

alsprimers.

Acabaremlamemoriaambdos apendixos referents, comja hemditabans,

elprimeralproblema (2)en dimension =1ielsegon aquestionsnumeriques

relacionadesamb eldarrer captol.

Com acabem de dir, en relacio al cinque captol neix l'apendix B. Una

(14)

no constants per a un domini xat d'aquests a R 2

. Per tal de simpli car

els calculs varem considerar D un domini unio de tres rectangles, dos d'ells

disjuntsi grans comparativamenta un tercermes estreti petit que els uneix.

Despres d'un primer intent usant series de Fourier varem optar per la via

dels elements nits. Aquest cam i els resultatsque ens va proporcionares el

que es recull en l'apendix B d'aquesta memoria. En aquell es justi cara en

primer lloc perque es tria D d'una determinada forma i quina funcio f ens

convindra triar. Una vegada xats D i f cercarem un conjunt de valors per

a un parametre k que hauremafegit davant de laf, de forma que ens situem

sota les hipotesis del captol 5 i es pugui intentar calcular alguns equilibris

establesno constants,dels qualses va provarl'existenciaen aquellcaptol.

Finalment, amb un domini xat i una funcio f donada presentarem en

la darrera seccio com s'ha usat el metode dels elements nits. I per acabar,

donarem alguns gra cs que representin algunes solucions d'equilibri estables

(15)
(16)

Plantejament funcional

Enaquestcaptolestudiaremalgunsresultatsanalticsperalproblemaevolutiu

de reaccio difusio 8 > > < > > : u t = u+g(u); a ; u  = f(u); a @; u(x;0) = u 0 (x): (1.1)

Suposem que es un dominiacotat ambvora @ prouregular. Suposem que

f : R ! R i g : R ! R son dues funcions amb el grau de regularitat que es

precisara mes endavant. Denotem per f(u) = f(u(x;t)), per a x 2 @ i per

g(u)=g(u(x;t)),perax2, onu:R !R i0<t<1. Aquu



denota

laderivada normalexterior i la condicioinicial u

0

lasuposem coneguda.

Els resultats analtics dels quals parlem donen resposta a diverses de les

preguntes,entorndelproblema(1.1),queensplantejavemalaintroduccio

an-terior. Aixdoncs,veuremque(1.1)admetunaformulaciosemilinealaW 1

p ()

i que es pot usar, a partir d'aixo, una formula de variacio de les constants.

Tambe veurem quines condicions caldra imposar sobre la part no lineal per

talde tenir existencia i unicitatde soluciodel problema i acabarem elcaptol

amb una seccio dedicada a la regularitat de la solucio i a la compacitat del

(17)

1.1 Formulacio semilineal

En la primera seccio d'aquest captol introduirem alguns espais i operadors

per tal que el problema (1.1) es pugui escriure en forma semilineal i admeti

lautilitzaciod'una formulade variaciode les constants. Per fer-ho, usaremel

punt de vistade H.Amann ([3], seccio12 i [7]).

La idea de H. Amann es considerar certs espais, de nits per interpolacio,

com aespais de fasei uns operadors sobre ellsque siguin generadorsde

semi-grups no lineals. Aquesta formulacio permet posar problemes mes generals

que el que aqu considerem, en forma semilineali s'aplica tambe a problemes

quasilineals. En els treballs de H. Amann dels quals parlem, un cop

s'acon-segueixposarenformasemilinealelproblema,apareixunaformuladevariacio

de constants que permet mirar-selasoluciocom una equaciointegral.

Altres autors, com per exemple D. Henry a [20] i A. Pazy a [30], estudien

equacionssemilinealsdel tipus

8 > < > : du(t) dt +Au(t) = f(t;u(t)); t >t 0 u(t 0 ) = x 0 (1.2)

per als quals A es el generador in nitessimal d'un semigrup analtic en un

espai de Banach X. Per a aquests operadors A es poden considerar, per a

0   1, les potencies fraccionaries A

(vegi's [30], seccio 2.6) i el domini

D(A

) de les quals resulta un espai de Banach amb la norma del graf. En

aquests casos suposen que la funcio f : U ! X, U  R +

D(A

) un obert,

eslocalmentHlder contnua en t i localmentLipschitz en x,a U.

En aquests treballs, pero, es consideren condicions de contorn o be

ho-mogenies o be lineals. A mes, la formulacio de H. Amann s'aplica a una

colleccio mes amplia de problemes i dona mes regularitat en la solucio que

altres formulacions que, tambe valides, requereixen mes restriccions en les

hipotesis del problema.

Elsespaisque consideraremseran espaisde Banachobtinguts permetodes

(18)

total-Abans de donar els espais que volem usar, anem a recordar breument que

fa lainterpolacioentre espais de Banach.

SiguinA

0 iA

1

dosespaisdeBanachencabitsenunespailinealdeHaussdorf

A. Anomenem fA

0 ;A

1

g una parella d'interpolacio. Suposem que tenim dues

parellesd'interpolaciofA 0 ;A 1 gi fB 0 ;B 1 g, ambB 0 iB 1

aB comabans. Sigui

T un operador lineal de A en B, tal que les restriccions T

jAi

, i = 0;1, son

linealscontnues d'A

i enB

i

. ElquebuscalainterpolaciosonespaisdeBanach

AA i B B, talsquela restriccio T

jA

sigui un operadorlineal continud'A

en B. En aquest cas es diu que A iB tenenla propietat d'interpolacio.

La teoria de la interpolacio, introduda per J.L. Lions, A.P. Calderon,

E. Gagliardo i S.G. Krejn entre 1958 i 1961, es centra en dues questions

basicament: d'unabanda,trobar\construccions",F,talsqueA=F(fA

0 ;A 1 g) iB =F(fB 0 ;B 1

g)tinguinlapropietatd'interpolacioi,peraltrabanda,la

de-scripcio tantd'aquests espais A i B com de les construccions F.

La primera questio troba resposta, entre d'altres, a [8] i [36], on es donen

elsmetodes d'interpolaciode tipus real i complex.

Notem que si es prenen parelles d'espais de Banach ordenats, es a dir,

A

0 A

1

, la interpolacioens dona una famliad'espais de Banach intermitjos

i ordenats entre A

0 i A

1

. Els espais que nosaltres usarem aqu s'obtenen

d'aplicarinterpolacioalgunesvegadesreal ialtrescomplexaaparellesd'espais

de Sobolev,cosa quedona espaisintermitjos que,com esveuramesendavant,

tambe sonespais de Sobolev.

Finalment,recordemquelanotaciousualeslaseguent: donadaunaparella

d'interpolaciofA 0 ;A 1 g, (A 0 ;A 1 ) ;p

denota l'espai d'interpolacio relatiu a ella

usantelmetodereal,on0 1i1p1i[A

0 ;A 1 ] l'espaid'interpolacio

relatiu a ellausant el metode complex, on 0  1. Si =0 s'obte A

0 i si

=1s'obte A

1

en ambdos casos. c Sigui R n

un dominiacotat ambvora

regular@. Per talde simpli carlanotacio,denotaremperL p iW r p elsespais L p

() i elsespais de Sobolev W r

p

(), respectivament,sempre queno hipugui

haver confusio. Sigui W 2

p;B

l'espaide lesfuncions de W 2

p

talsqueu



(19)

quedenotarem perE iE 1 ,de nits per E = (L p ;W 2 p;B ) ;p E 1 =  (L p 0 ;W 2 p 0 ;B ) 1 ;p 0  0

pera0 1i 6=1=2ipera =1=2,consideremelsespaisques'obtenen

de la interpolaciocomplexa E 1=2 = [L p ;W 2 p;B ] 1=2 E 1=2 = ([L p 0 ;W 2 p 0 ;B ] 1=2 ) 0 : Aqu pi p 0

sonexponents conjugats,es adir, 1=p+1=p 0

=1.

Estem interessats en que els nostres espais de fase siguin aquests espais

d'interpolacioi voldrem,sifospossible,donaruna millori messenzilla

carac-teritzaciod'aquests. 

EsquanvolemcaracteritzarelsespaisE

queensapareix

una \singularitat" per al cas = 1=2. Usant la interpolacio real es poden

identi car els espais obtinguts amb espais de Besov, que resulten ser espais

de Sobolev si 6= 1=2. Per tal que per a = 1=2 s'obtingui tambe un espai

de Sobolev conve usar la interpolacio complexa, que dona espais de Bessel,

identi cables ambW 1

p

quan =1=2.

Peralprimercas,P.Grisvard,a[17](teorema7.5),donaunacaracteritzacio

dels E

ens termes d'espaisde Besov que pera 6=1=2resulten ser elsespais

de Sobolev seguents

E = 8 < : W 2 p ; si 02 <1+1=p; W 2 p;B ; si 1+1=p <2 2;

iperals espais duals

E 1 = 8 < : (W 2 2 p 0 ) 0 ; si 02 2 <1+1=p 0 ; (W 2 2 p 0 ;B ) 0 ; si 1+1=p 0 <2 2 2:

Per a = 1=2, R. Seeley, a [33] (teorema 4.1), caracteritza en termes

d'espais de Bessel alguns espais obtinguts usant interpolacio complexa i que

en el nostrecas resulten ser elsespais: E

1=2 =W 1 p i E 1=2 =(W 1 p 0 ) 0 .

Veurem que els espais E

(20)

Sabem que es satisfan les inclusionsW 2 p;B W 1 p  L p i (L p 0 ) 0  (W 1 p 0 ) 0  (W 2 p 0 ;B ) 0

, les quals son denses i contnues. D'ara endavant identi carem els

espais (L p ) 0 i L p 0 , 1=p+1=p 0 = 1. Recordem que E 1 = (W 2 p 0 ;B ) 0 , E 0 = L p i E 1 =W 2 p;B

en lanotacio dels espais d'interpolacio.

Considerem elsoperadors lineals continus A

0;p i A 1;p ,de nits per A 0;p : E 1 ! E 0 i A 1;p : E 0 ! E 1 u ! u+u u ! ' u on' u

esla formalineal contnua

' u : W 2 p 0 ;B ! R v ! Z ( uv+uv)dx : Observem que A 1;p = (A 0;p 0) 0 , es a dir, A 1;p

es l'operador dual d'A

0;p 0 : certament, si !2(L p ) 0

, per al'operador dual d'A

0;p 0 tenim ((A 0;p 0 ) 0 !)v =<!;A 0;p 0 v >= Z ( v!+v!)dx=(A 1;p !)v pera tota v 2L p

, cosa que prova que(A

0;p 0) 0 =A 1;p .

Observem tambe que la restriccio A

1;pj E 1 = A 0;p . Aquesta propietat es

unaaplicaciode laformuladeGreenide laidenti caciodeL p i(L p 0 ) 0 ,queens

dona una relacio u a u entre A

0;p u 2 L p (L p 0 ) 0 i u+u2 L p , per a tota u2W 2 p;B .

Els espais d'interpolacio E

i E 1 , 0   1, son espais intermitjos ordenatsentreE 1 iE 0 ientreE 0 iE 1 ,respectivament,esadir,E 1 E E 0 i E 0  E 1  E 1

. A mes, acabem de de nir un operador lineal continu

A 1;p de maneraque E 0 iE 1

tenen lapropietat d'interpolacio. Per tant,per

lapropietat d'interpolacio,es permesconsiderar elsoperadorslineals continus

A 1 de nits de l'espai E en l'espai E 1 per A 1 = A 1;pj E . Podem

representar la situacioamb elseguent esquema

W 2 p;B , ! E , ! L p ? ? y A 0;p ? ? y A 1 ? ? y A 1;p L p , ! E 1 , ! (W 2 0 ) 0

(21)

en el qualhem usat novament que (L p 0 ) 0 =L p .

En elcas particular que =1=2, A

1=2

esta de nit per

A 1=2 : W 1 p ! (W 1 p 0 ) 0 u ! A 1=2 u; onA 1=2

uesla formalineal contnuade nida per

A 1=2 u : W 1 p 0 ! R v ! Z (rurv+uv)dx :

Considerem 2 [1=2;1=2+1=2p). En aquest cas els espais d'interpolacio

E

que s'obtenen nocontenenlacondicio de contorn u



=0a@, cosa ques

passa si espren <1=2. Sigui u una solucio classica de (1.1). En particular,

u(;t)2W 2 p E iu t (;t)2L p =E 0 . Consideremv 2W 1 p 0 . Usantelproducte de dualitatentre L p i L p 0

i la formulade Green,del problema (1.1) s'obte

Z u t vdx+ Z (rurv+uv)dx= Z (g(u)+u)vdx+ Z @ f( p u) p 0v d`; (1.3) on p i p

0 denoten els operadors tracasobre @, esa dir,

u j@ = p u; p :W 2 p !W 2 1=p p (@) i v j@ = p 0 v; p 0 :W 2 2 p 0 !W 2 2 1=p 0 p 0 (@) :

Prenem =1=2. Sidenotem per <;>i per <;>

@ els productesde dualitatentre(W 1 p 0) 0 iW 1 p 0 usantqueL p =(L p 0 ) 0 (W 1 p 0) 0 ientre(W 1 1=p 0 p 0 (@)) 0 iW 1 1=p 0 p 0

(@), respectivament,(1.3) s'escriu

<u t ;v >+<A 1=2 u;v >=<g(u)+u;v >+<f( p u); p 0 v > @ : (1.4)

Notem que estem fent un abus quan suposem que la funcio f es tal que

f(

p

u), per exemple, es de L p (@)  (W 2 2 1=p 0 p 0 (@)) 0 . Precisarem mes

(22)

Observacio 1.1 H.Amann provaa[3]queessatisfatambeuna igualtatcom

(1.4) pera >1=2, es adir, pera A

1

, en llocde A

1=2

,i per alsespais E

i E 1 ,en llocde E 1=2 iE 1=2 .

Observacio 1.2 En els resultats futurs ens convindra restringir l'estudi del

problema (1.1) a l'espai W 1

p

, es a dir, al cas = 1=2. 

Es per aixo que,

per questions practiques i de simplicitat, d'ara endavant, considerarem =

1=2. No obstant aixo, els resultats que es veuran a les seccions 1.2 i 1.3 son

igualment valids canviant E

1=2 = W 1 p per E i E 1=2 =(W 1 p 0 ) 0 per E 1 amb 2[1=2;1=2+1=2p).

En la identitat (1.4) observem que apareixen dos productes de dualitat

diferents. Ens interessaria,pertaldepoderarribaraunaformulaciosemilineal

del problema (1.1), tenir un unic producte. Per exemple, poder traduir el

producte de dualitat entre espais a la frontera en producte de dualitat entre

espais al'interior.

Pertald'aconseguiraquestpropositconsidereml'operadoradjuntde

p 0 iel denotemper 0 p 0

. Esporveureque 0 p 0 aplicaL p (@)en (W 1 p 0(@)) 0 . Aleshores,

sidonat que estem suposant que f(

p

u)2L p

(@), perdualitat tenim

<f( p u); p 0 v > @ =< 0 p 0f( p u);v > :

Per tant,a (1.4) ens queda

<u t ;v >+<A 1=2 u;v >=<g(u)+u;v >+< 0 p 0f( p u);v >; pera tota v 2W 1 p 0 . Denotem A=A 1=2

i denotem perF l'operadornolineal

F(u)=g(u)+u+ 0 p 0f( p u) :

Amb aquesta notacio arribem a veure que el problema (1.1) pot posar-se

en la formasemilineal 8 < : u t +Au = F(u); u(0) = u ; (1.5)

(23)

a W 1

p

, amb p > 2, tot i que veurem en la seccio seguent que conve prendre

p>n.

Veurem en la propera seccioamb mes precisio comes l'operadorno lineal

F. De fet, F aplica E

, no tan sols en E

1

sino en un subespai mes petit

E

1

, amb > . A mes, veurem quines son les condicions per tal que F

estiguiben de nit ide quina maneraesre exen leshipotesis de regularitatde

lesfuncions f i g sobre la part nolineal F.

Cal remarcar una diferencia notableen la formulacio que hem fet aqu

re-spected'aquellausadaquan lescondicionsdecontornsonhomogenies. Mentre

queF :E !E 1 E 1

enaquestcas,talicomdeiemalprincipid'aquesta

seccio,en elpuntde vistade D. Henryi A.Pazya L p

este quel'operadorno

linealF aplicaunsubespaidensd'unespaideBanachenl'espaideBanach. 

Es

adir,en aquellcas l'espaid'arribadade lapartlinealide lapart nolineal son

elmateix. Noesaix, pero, com acabemde dir, pera laformulaciosemilineal

(1.5) obtinguda peral problema (1.1) usant espais d'interpolacio.

1.2 Condicions sobre els termes no lineals

L'objectiu de la seccio seguentes donarcondicions sobre lesdues funcionsno

lineals f i g per talque l'operadorno lineal F que en resulta a la formulacio

semilineal (1.5) satisfaci les condicions que es necessiten per poder obtenir

l'existenciade solucioaW 1

p

. VeuremquesiF esunafunciode Lipschitzsobre

acotatspodem provarexistencia i unicitatde solucioi quepera lesquestions

referents a l'estabilitat caldra demanar una mica mes, caldra que F sigui de

classe C 1

.

En funcio de la regularitat que presentin les funcions f i g veurem que

F esta de nit de W 1

p

, no tan sols en E

1=2

, sino que l'espai d'arribada pot

prendre's mespetit, E

1 E

1=2

, amb >1=2.

Recordem quef i g sonfuncionsrealsde variablereal iqueperf(u)ig(u)

entenem f(u(x;t)), per a x 2 @, i g(u(x;t)), per a x 2 , respectivament,

i t 2 R +

. Suposem, a mes, que u 2 W 1 i que p u 2 W 1 1=p (@), on p :

(24)

W 1 p !W 1 1=p p

(@) denota,com ala seccio anterior, l'operadortracasobre la

vora @. Recordem tambeque F(u)=u+g(u)+ 0 p 0 f( p u), on 0 p 0  es l'adjunt de l'operador traca p 0 : W 1 p 0 ! W 1 1=p 0 p 0

(@). Aleshores, tenim la seguent

proposicio:

Proposicio 1.1 Siguiundominisatisfentlapropietatdelcon. Suposemque

f ig sonfuncionsrealsdevariablereali que estal que1=2 < <1=2+1=2p

i p>n. Aleshores

(i) Si f i g son funcions de Lipschitz sobre acotats, llavors F es una funcio

de Lipschitz sobre acotats de E

1=2 en E

1 .

(ii) Sif i g sonfuncionsdeclasseC 1

(R;R), llavorsF esunafunciodeclasse

C 1

(en el sentit de Frechet) de E

1=2 en E

1 .

Observacio 1.3 Estemsuposanten aquestaproposicioqueeldominisobreel

qualconsideremelproblema(1.1)estalquesatisfalapropietatdelcon. Finsel

momentnohavem xatencapmomentlaregularitatquehadetenir,nomes

havem dit que el suposarem prou regular. L'objecte d'aquesta restriccio es

queessatisfacinaquellsencabimentsdeSobolevnecessarisenlaprovad'aquest

resultat. Arabe, com veurem mesendavant, aixo nosera cap restricciopera

nosaltres, ja que els dominis que considerarem seran prou regulars per a que

satisfacin l'esmentada propietat.

Anem a recordar que voldir queun dominisatisfaci la propietat delcon:

De nicio 1.1 Es diu queun domini satisfa lapropietat delcon si existeix

un con nit C tal que tot punt x2 es el vertex d'un con nit C

x

contingut

a i congruent ambC.

Perexemple, el domini de R 2

, f(x;y):0< y<x 2

; 0< x<1g no satisfa

la propietat del con. Notem, pero, que els dominis amb vora regular sempre

satisfan aquesta propietat. 

(25)

Demostraci

o de la

Proposici

o 1.1. Considerem F(u) com la suma

F 1 (u)+F 2 (u),on F 1 (u)=g(u)+u i F 2 (u)= 0 p 0f( p u):

Sisomcapacosde veure queF

1 iF

2

sonfuncionsdeLipschitzsobreacotats

de W 1

p en E

1

ja haurem provat que F es de Lipschitz sobre acotats de W 1 p en E 1 . LafuncioF i 

esdeLipschitzsobreacotatssisobrequalsevolacotatB W 1

p ,

F

i

esunafunciodeLipchitz,i=1;2. Equivalentment,peratoteslesu;v 2B,

existeixen C

1 i C

2

constants, talsque nomes depenen de B i essatisfa

kF i (u) F i (v)k E 1 C i ku vk W 1 p per ai=1;2:

ComencaremperF

1

. Siguin B, u i v lesque acabem de dir.

kF 1 (u) F 1 (v)k E 1 = sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (g(u) g(v))'+(u v)') dx  sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jg(u) g(v)jj'jdx+ Z ju vjj'jdx  : (1.6)

Estem suposant que g es una funcio de Lipschitz sobre acotats, es a dir,

quepera qualsevolcompacte J R existeixuna constant C =C(J)tal que

jg(x) g(y)jCjx yj

per aqualssevol x;y2J.

Donat que satisfa lapropietat delcon, elteorema 5.4de [1] ens diu que

si1<p<1 i considerems >0, sin <(s j)p pera algun enter no negatiu

j, essatisfa lainclusio W s p () ,!C j b () ies contnua, on C j b () es el conjunt de funcions u2 C j ()amb D u acotada

(26)

En el nostre cas s = 1 i considerem j = 0. Aleshores, com p > n, es cert l'encabiment W 1 p  C 0 b

(). Per tant, com u;v 2 W 1

p

, u i v son funcions

contnues i acotades sobre . Com u;v 2 B  C 0

b

(), existeix una constant

M =M(B) talque!(x)2[ M;M] peratota x2i pera tota !2B. Per

tant,usant ara que g es Lipschitz sobre acotats,a (1.6), ens queda

kF 1 (u) F 1 (v)k E 1  sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (C M ju vjj'j+ju vjj'j) dx  (C M +1)ku vk L p sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 k'k L p 0 k(C M +1)ku vk W 1 p ;

cosa que provaque F

1 

es Lipschitz sobre B, prenent C

1

=k(C

M +1).

Considerem ara l'altra funcio, es a dir, F

2

. Donades u, v i B com abans

tenim kF 2 (u) F 2 (v)k E 1 = sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z  0 p 0 f( p u) 0 p 0 f( p v)  'dx :

Estem suposant que <1=2+1=2p, cosa que implica que 2 2 > 1=p 0

.

Per tant, te sentit prendre la traca sobre @ de la funcio ' 2 W 2 2 p 0 ;B . Aix doncs, kF 2 (u) F 2 (v)k E 1  sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z @ jf( p u) f( p v)jj p 0'j d`:

UsantaraargumentsanalegsalsusatsperaF

1 ,l'encabimentW 1 1=p p (@)  C 0 b

(@), ja quep>n, i lacontinutatdels operadors traca

p i p 0 ,ens donen kF 2 (u) F 2 (v)k E 1  C 0 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 fk'k W 2 2 p 0 gC 00 ku v k W 1 p  C 2 ku v k W 1 p

tali comvolem. Ara,ladesigualtattriangularprovaqueF esLipschitz sobre

acotats,amb laqual cosa acabemlademostraciode l'apartat (i).

Anem a provar la diferenciabilitat de F, provant que F

1 i F

2

son

(27)

de Frechet de F 1 DF 1 (u): W 1 p ! E 1 h ! DF 1 (u)h

esta de nit per

DF 1 (u)h: W 2 2 p 0 ;B ! R v ! Z ((g 0 (u)h+h)v)dx:

Cal veure que

kF 1 (u+h) F 1 (u) DF 1 (u)hk E 1 khk W 1 p !0 quan khk W 1 p

!0. Comencem per acotarel numerador

kF 1 (u+h) F 1 (u) DF 1 (u)hk E 1  sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jg(u+h) g(u) g 0 (u)hjj'jdx   sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z jg 0 ( ) g 0 (u)jjhjj'jdx 

ja que estem suposant g 2 C 1

(R;R). Com a l'apartat (i), donat que p > n,

es satisfa l'encabiment W 1 p  C 0 b

(). Aleshores podem considerar la constant

M :=sup x2 jg 0 ( (x)) g 0

(u(x))j, la qual tendeix a 0 quan khk

W 1

p

! 0, ja que

(x) esta entre u(x) i u(x)+h(x) i g 0

es uniformement contnua sobre

com-pactes. Usant la desigualtatde Hlder s'obte

kF 1 (u+h) F 1 (u) DF 1 (u)hk E 1  M khk L p  sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 k'k L p 0  Mkhk L p ;

ambla qualcosa veiem que l'operadordiferencial de F

1  es DF

1 .

Queda veure queDF

1

escontinu. Suposem " >0 donat. Volem veure que

existeixÆ =Æ(") talque siku vk

W 1 p <Æ, aleshores kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 ;E 1 ) ":

(28)

Comencem acotant kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 p ;E 1 ) = sup khk W 1 p =1 kDF 1 (u)h DF 1 (v)hk E 1  sup khk W 1 p =1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1 Z (jg 0 (u) g 0 (v)jjhjj'j+ju vjjhjj'j)dx   sup khk W 1 p =1 sup k'k W 2 2 p 0 ;B =1  M 1 Z jhjj'jdx+M 2 Z jhjj'jdx  onM 1 =sup x2 jg 0 (u(x)) g 0 (v(x))jiM 2 =sup x2

ju(x) v(x)jiestanbende nides

per ser u;v 2 C 0

b

() i g 0

contnua, per hipotesi. Usant ara la desigualtat de

Hlder s'arribaa kDF 1 (u) DF 1 (v)k L(W 1 p ;E 1 ) M 1 +M 2 :

Del fetque g 0

esuniformementcontnuasobre un intervaladequat i,

nova-ment,que W 1 p  C 0 b

(),espossibletriarÆ proupetit de maneraqueM

1

"=2

i M

2

"=2,cosa que prova lacontinutatde DF

1 .

Cal provarelmateix peraF

2

. Enaquest cas ide maneraanalogaesprova

que DF 2 (u): W 1 p ! E 1 h ! DF 2 (u)h de nitper DF 2 (u)h: W 2 2 p 0 ;B ! R v ! Z @ (f 0 ( p u) p h p 0 v)d`

esl'operadordiferencialde Frechet de F

2

. Usem, com abans,lacontinutatde

g 0 ,lainclusiode W 1 1=p p (@)C 0 b

(@)ilacontinutatdels operadorstraca

p

i

p 0

.

Pertalde veure lacontinutatde l'operadorDF

2

s'usa novament

l'encabi-ment W 1 1=p p (@)  C 0 b

(@), la continutat uniforme de g 0 i la continutat de p i p 0, amesde ladesigualtat de Hlder.

Pertant,F esuna funcio C 1 de W 1 p en E 1

(29)

1.3 Existencia i unicitat de solucio

En aquest moment tenim a punt les eines necessaries per tal de provar que

el problema (1.5), es a dir, el problema en forma semilineal corresponent al

problema (1.1) a W 1

p

, te solucio unica per a tota condicio inicial u

0 2 W

1

p

donada. Primer de tot, anem a veure ques'enten persolucio de (1.5).

De nicio 1.2 Una funcio u:[0;T]!W 1

p 

es una solucio de (1.5) si satisfa:

(i) u es contnua a [0;T].

(ii) u2C 1 ((0;T);E 1=2 ). (iii) u satisfa (1.5) si t 2(0;T).

Usant resultats d'interpolacio i, novament, el punt de vista de H. Amann

es pot provar (vegi's [4] (apendix), [3] i [7]) que, per a tota  tal que 1=2 

 < 1=2 +1=2p, A es el generador in nitessimal d'un semigrup analtic

fe tA

; t0ga E

 1 .

Aleshores,esvalidaunaformuladevariaciodelesconstantsperalproblema

(1.5) queens dona l'equaciointegralseguent per a lasolucio u,

u(t)=e tA u 0 + Z t 0 e (t )A F(u())d; (1.7)

pera tota t2[0;T]. (Potconsultar-se [4], [7] i[12] pertalde veure l'obtencio

d'aquestaequacio).

Observem que l'equacio integral (1.7) es dedueix de l'equacio (1.5) en el

sentitque totasoluciode (1.5)essoluciode(1.7): efectivament,siuessolucio

de (1.5), considerem D s (e A(t s) u(s)) = e A(t s) u s (s)+e A(t s) Au(s) = e A(t s) F(u(s))

(30)

Arabe,delfetqueelsemigrupgeneratperl'operador Asiguiunsemigrup

analtic, es dedueix que tota solucio de (1.7) es solucio de (1.5). Per tant, hi

hauna equivalencia entre les solucionsde (1.5) iles de (1.7). (Vegi's [7]i [12]

per amesdetalls).

Amb tot aixo, anem a veure l'existencia de solucio per al problema (1.5)

situant-nos,siespossible,sota leshipotesisd'algunteoremadelpunt xo,per

essermesprecisos, provaremde tenir condicionssu cients pertald'aplicarun

teoremade contraccio. Aquesta es laraoper laqualens interessaria tenir per

al semigrup fe tA

; t  0g una desigualtat com la que satisfan els semigrups

que H. Amann obteperals seus problemes (teorema 10,[4]) i que donem tot

seguit:

Observacio 1.4 Sigui fe tA

g elsemigrup analticsobre l'espai E

1 generat perl'operadorA=A 1 ,1=2  <1=2+1=2p,comalaseccio1.1. Si >!, essatisfa ke tA k L(E 1 ;E ) Mt 1 e t ; t>0 (1.8) on! >0 es talque ke tA k L(E 1 ) me !t i laconstant M =M( ; ).

Recordem que en el nostre cas =1=2.

Veurem que ladesigualtat (1.8)es essencialen la demostraciodel seguent

teorema.

Teorema 1.1 Suposem que F : W 1

p ! E

1

, amb 1=2 < < 1=2+1=2p, es

una funcio de Lipschitz sobre acotats. Aleshores, per a tot acotat B  W 1

p i

per aqualsevol u

0

2B, existeix T =T(B)>0 talque elproblema (1.5)te una



unica solucio a [0;T], ambvalor inicial u

0

. A mes,lasolucio u(t)es contnua

respecte de la condicio inicial u

0 .

Demostraci

o. Suposem que F es una funcio de Lipschitz sobre acotats.

Donat B  W 1

p

sigui L =L(B) la constant de Lipschitz de lafuncio F sobre

B,esadir, per atota v;w2B essatisfakF(v) F(w)k

E

1

Lkv wk

W 1:

(31)

Sigui B

R

una bolaa W 1

p

de radi R que contingui B,es adir, B  B

R per

auna R xada.

Siguin K >0i T =T(B)>0 tals que

ke At u 0 k W 1 p < R+K 2 ; si0tT M(L(B R+K )(R+K)+kF(u 0 )k E 1 ) Z T 0 e s s 3=2 ds< R+K 2 :

Considerem, ames, el conjunt

S = n v 2W 1 p : v contnua, v(0)=u 0 i kv(t)k W 1 p R+K sit 2[0;T] o :

Noesdifcilveure que S esun espai metric complet ambla distancia

dist (v;w)= sup 0tT kv(t) w(t)k W 1 p : Donat v 2S, considerem G(v): [0;T] ! W 1 p t ! G(v)(t) de nitper G(v)(t)=e At u 0 + Z t 0 e A(t s) F(v(s))ds:

VeuremqueG aplicaS en S iesuna transformaciocontnuaicontractiva.

Aix doncs, kG(v)(t)k W 1 p  ke At u 0 k W 1 p + Z t 0 ke A(t s) k L(E 1 ;E 1=2 ) kF(v(s))k E 1 ds  R+K 2 + Z t 0 Me (t s) (t s) 3=2  kF(v(s)) F(v(0))k E 1 + kF(v(0))k E 1  ds  R+K 2 +M(L(B R+K )(R+K)+kF(u 0 )k E 1 ) Z T 0 e s s 3=2 ds

(32)



Es a dir, G(v)2B

R+K

. A mes, esclar que G(v)2W 1

p

i G(v)(0)=u

0 per

construccio. Es comprova tambe que G(v) es contnua a [0;T], amb la qual

cosa, G:S!S.

Siguin ara v;w2S icalculem

kG(v)(t) G(w)(t)k W 1 p  Z t 0 ke A(t s) k L(E 1 ;E 1=2 ) kF(v(s)) F(w(s))k E 1 ds  ML(B R+K ) sup 0tT kv(t) w(t)k W 1 p Z t 0 e s s 3=2 ds ;

desigualtat certapera tota t2[0;T]. Per tant,de lade nicio de T,dedum

dist (G(v);G(w)) 1

2

dist (v;w):



Es adir, G es una transformacio contractivai, per tant, contnua.

Aleshores, del teorema del punt x dedum que existeix una unica funcio

u 2S que es un punt x per a G,es a dir, u(t) = G(u)(t), t 2 [0;T], la qual

cosaequivaladirqueexisteixunaunica soluciode l'equacio(1.7)iaixoacaba

lademostraciodelaprimerapart delteorema, jaque,com hemditabans,per

asemigrups analticsaixoequivaladirqueuessoluciounicadelproblema en

formasemilineal(1.5), com volem.

Amb aquest resultat, de l'equivalencia entre solucio del problema (1.7) i

del(1.5),deduml'existenciad'unaunica soluciolocalperalproblemaoriginal

(1.1). LacondicioqueF sigui una funcio de Lipschitz sobreacotats, sip>n,

es tradueix sobre les funcions f i g de (1.1) en que, segons es prova en la

proposicio1.1, tambe siguinfuncions de Lipschitz sobre acotatsa R.

Observacio 1.5 Segons hem provat al teorema 1.1, si F es una funcio de

Lipschitz sobre acotats,el problema (1.5)te una unicasolucio,donats u

0 2B

i B  W 1

p

acotat, a [0;T) amb T >T =T(B)> 0. Diem que T es maximal

sideixa d'haver soluciodel problema a[0;T

1 ) si T

1 >T.

En les hipotesis del teorema 1.1, es pot veure que si ku(t)k

W 1

p

 K, per

(33)

la solucio es mante acotada per a tot temps d'existencia es pot continuar la

soluciopera tot temps t>0.

Certament,suposem queku(t)k

W 1

p

 K per aalguna K >0,es a dir, que

lasolucioesmantedinsd'una bolaB

K aW

1

p

de radi K i peratota t<T(B).

Triem ara " prou petita. Si apliquem ara el teorema 1.1 a l'acotat B

K , amb

condicioinicialu(T(B) "),existeixuntempsT(B

K

)>0talqueexisteixuna



unicasoluciodelproblema(1.5),u

1 (t),sit<T(B K ),ambu 1 (0)=u(T(B) ").

Si s'ha triat " prou petita, es clar que T

1

= T(B) "+T(B

K

) > T(B). A

mes, esveu quela funcio v(t) de nida

v(t)= 8 < : u(t); 0tT(B) " u 1 (t); T(B) "tT 1 es solucio de (1.5) a [0;T 1 ). 

Es clar que la reiteracio d'aquest argument de

continuaciode lasolucioens dona l'exitencia de solucio pera tota t>0.

1.4 Regularitat i compacitat

Fins el moment hem vist que donada p > n el problema (1.1) pot escriure's

com un problema de valor inicial semilineal abstracte a (W 1

p 0)

0

, de la forma

(1.5), amb espai de fases (es a dir, el domini de l'operador lineal A i del no

lineal F) W 1

p

. Hem vist tambe quees pot reduir auna equacio integralusant

la formulade variaciode constants. Igualment, por trobar-se que de neix un

sistemadinamic regularT(t),

T(t)u 0 =e At u 0 + Z t 0 e A(t ) F(T()u 0 )d (1.9) a W 1 p

. La mateixa demostracio del teorema 1.1 ens assegura que T(t)u

0  es

contnuarespecte de la condicioinicial u

0

, mentre queestigui de nit.

En aquesta seccio anema donar algunsresultats referents a lacompacitat

delsistemadinamicT(t)ialaregularitatqueespotassegurar peralasolucio

de(1.1),donadaunacondicioinicialu

0 aW

1

(34)

suposarem que la funcio F es una funcio de Lispchitz sobre acotats, mentre

que en els temes de la regularitat caldra que suposem que F es una funcio

C 1 (E 1=2 ;E 1 ).

Comencarem veient que T(t) es condicionalment compacte, es a dir, que

si B  W 1

p

es acotat i el conjunt fT(s)u : u 2 B i 0 < s < tg tambe ho es,

aleshores T(t)B escompacte.

Teorema 1.2 SuposemqueF es una funciode Lipschitz sobre acotats. Per a

t>0, elsistemadinamicT(t):W 1 p !W 1 p , de nit a(1.9),es condicionalment compacte.

Per tal de provar aquest resultat seguirem el mateix esquema que una

demostracio de compacitat feta per J. Hale a [19] per a sistemes dinamics

d'equacions d'evolucio sectorials.

Abans de veure la demostracio d'aquest teorema, necessitem introduir la

mesuradenocompacitatdeKuratowskid'unsubconjuntd'unespaideBanach,

aix com un resultat previ que donarem en el lema 1.1. Comencem per la

de nicio:

De nicio 1.3 Donat un espai de Banach X, sigui B X un subconjunt. La

mesurade nocompacitat de Kuratowski de B, (B), es de neix per

(B)=inffd : existeix un recobriment nit de B

amb boles de diametre dg:

La funcio satisfa les seguents propietats, de les quals nomes n'usarem

dues ala demostracio delteorema1.2 :

(i) (B)=0 per aB X sii nomes siB es relativamentcompacte.

(35)

(iv) (coB)= (B),on B X ico denota l'envolvent convexa tancada.

El lema del qualparlavem esel seguent:

Lema 1.1 Per a tota t>0, l'operador e tA  es compacte de W 1 p en E 1=2 . Demostraci o. Fixatt>0,e tA escontinude W 1 p en W 1 p . Arabe,sabem que la inclusio W 1 p  E 1=2

es compacta. Per tant, e tA es compacte de W 1 p en E 1=2 .

Passem ara ala demostracio delteorema1.2.

Demostraci

o del Teorema 1.2. Sigui B un conjunt acotat a W 1

p .

Considerem ara elconjunt

B 1 = Z t 0 e A F(T(t )u)d : u2B  :

Fixat t >0, considerem,a mes, el conjunt

C=fT(t )u : u2B i 0 tg:

Per hipotesi, C esacotat a W 1

p .

Triem ">0 talque 0<"<t i considerem

Z t 0 e A F(T(t )u)d = Z " 0 e A F(T(t )u)d + Z t " e A" e A( ") F(T(t )u)d = I(0;")+e A" I(";t):

Considerem primerI(";t)i veurem queesta acotata W 1 p . Z t " e A( ") F(T(t )u)d W 1 p  M (t ") 1=2 1=2  M t 1=2

(36)

on M = M(C). Per tant, es acotat. En el lema 1.1 hem vist que e A"

 es

compacte,amblaqualcosa,esdedueixquee A"

I(";t)escompacte. Aleshores,

lamesura de Kuratowski (e A"

I(";t))=0.

Peraltra banda

kI(0;")k W 1 p = Z " 0 e A F(T(t )u)d W 1 p m " 1=2 1=2 :

Aleshores, perles propietats de la mesura de Kuratowski, s'obte (B

1 )

(I(0;"))+ (e A"

I(";t))= (I(0;")),es a dir,

(B 1 )m " 1=2 1=2

per a tota " > 0. D'aqu (B

1 ) = 0.  Es a dir, B 1  es relativament

com-pacte i, aplicant el lema 1.1al primer sumand de T(t)u

0

, dedum que T(t) es

condicionalmentcompacte.

Passem ara a veure quina regularitat es pot assegurar per a la solucio de

(1.5), donadauna condicio inicialu

0 a W

1

p .

Teorema 1.3 Suposem que f i g son funcions de classe C 1 (R;R). Donada u 0 2 W 1 p

, existeix > 0 tal que la solucio u(x;t) = T(t)u

0 de (1.5) es de classe C 1 en t a valors en C () i de classe C 2+

() per a cada t>0. A mes,

u(x;t) es solucio classica del problema (1.1).

Abans de provaraquest teorema anem a donar el seguent resultat de

reg-ularitatde urespecte de t.

Proposicio 1.2 Suposem que F es una funcio de classe C 1 (E 1=2 ;E 1 ) amb 1=2 < <1=2+1=2p. Donada u 0 2 W 1 p

, la solucio u(x;t) =T(t)u

0 de (1.5) es de classe C 1 en t>0 a valors a W 1 p . Demostraci 

o. Considerem elproblema d'evolucio

8 < : v t +Av = F(v); a v(0) = u ; a @: (1.10)

(37)

onel parametre >0.

Si v es solucio de (1.10), per a tota 0  t  T es prova que v es un punt

x de l'aplicacio G:C([0;T];W 1 p )(0;1) !C([0;T];W 1 p ) (v;) !G(v;) de nida per G(v;)=e At u 0 + Z t 0 e A(t ) F(v())d:

Com a la demostracio del teorema 1.1 es veu que G() es una contraccio

uniforme a C([0;T];W 1

p

). Sabem que es satisfa (1.8) per al semigrup generat

per A. Procedint de manera analoga a la demostracio del teorema 1.1 i

de nimT, K, iS com alla,es comprova queG aplica S en S itambe que

kG()(v) G()(u)k W 1 p  jjML max 0tT jv(t) u(t)j Z t 0 jj 3=2 jt j 3=2 d  jj 1=2 ML dist (u;v)

ondist (;) es la del teorema1.1. Aleshores, podem triar T =T() de

man-era que jj 1=2

ML < 1, amb la qual cosa provem que G es una contraccio

uniforme a S  C([0;T];W 1

p

). Per tant, existeix un unic punt x per a G,

depenent de la , que anomenaremv =v()=v(t;u

0 ;).

Anem a veure quel'aplicacio

 !v(t;u 0 ;) es de classe C 1 (I;W 1 p ), I  (0;1). Si veiem que G 2 C 1 (C([0;T];W 1 p ) I;C([0;T];W 1 p

)) ja ho tindrem. I aixo es equivalent a veure que existeixen

les derivades parcials @G=@v i @G=@ i que son contnues. Del fet que F 2

C 1 (W 1 p ;E 1

)es dedueix el quevolem.

Per a tota  > 0, considerem v(t) = v(t;u

0

;). Sigui u(t) = u(t;u

0 ) la

(38)

considerem =t, ambla qualcosa obtenimu(t;u

0

)=v(1;u

0

;t). Acabem de

veure que v esderivable amb continutatrespecte delparametre, a valors a

W 1

p

i pertant hoes respecte de t.

Demostraci 

o del Teorema 1.3. La primera part del teoremaes

con-sequencia de la proposicio 1.2: donat que p > n, existeix alguna , amb

0 <1 n=p,talqueW 1

p C

(). Ara,comuesde classeC 1

ent avalors

aW 1

p

,tambeho sera a valors a C

( ).

Dedumd'aqu, ames, que xatx

0 2, existeixla funcio @ @t u(x 0 ;t) pera t>0i es contnua.

Anem aveure ara queu2C 2+

() pera cadat >0. Recordemque perla

proposicio1.2 sabemque u

t 2W

1

p

. Pertal de veure-hoconsiderem el seguent

problema auxiliar 8 < : w = '; a; w  +w = ; a@: (1.11) on ' = u+g(u) i = f( p u)+ p

u, amb u la solucio del problema (1.1).

Donat que estem suposant que f;g 2 C 1

(R;R) i u 2 W 1

p

es pot veure que

'2W 1 p i 2W 1 1=p p (@).

Anemaveureenprimerllocquelasoluciowde(1.11)esdeclasseC 2+

()

per a alguna 0< <1. Com p>n, existeix , amb 0 <1 n=p, per a

laqual elsencabimentsW 1 p C () i W 1 1=p p (@)C (@) soncerts.

Veurem tot seguit que la funcio 2 C 1+ (@): usant la densitat de la inclusioC 1+ (@) W 1 1=p p

(@), consideremunasuccessiode funcions(

n ) n , n 2C 1+ (@), talsque n ! aW 1 p . Peracada n consideremelproblema 8 < : w n = '; a; (w n )  +w n = n ; a@; (1.12) on ' 2 W 1 p 

es la d'abans. A [15] es prova que existeixen i son uniques les

solucions dels problemes (1.12), per a n  1. A mes, w

n 2 C

2+

(39)

Ara,l'encabimentC 2+

( ) W 2

p

ens permet aplicarelteorema15.2de [2]

ales diferenciesw

n w m , sin 6=m, d'on en resulta kw n w m k W 2 p C(k' 'k L p +k n m k W 1 1=p p (@) +kw n w m k L p) : (1.13)  Es clar que k n m k W 1 1=p p (@) ! 0 si n;m ! 1. Veurem mes endavant que kw n w m k L

p !0 si n;m!1, amb laqual cosa el termede ladreta de

la desigualtat (1.13) tendeix a 0 quan n;m ! 1. Aix doncs, la successio de

solucions (w

n )

n

es una successio de Cauchy a W 2 p i, per tant, w n ! w a W 2 p

quan n ! 1, essent w solucio de (1.11). Per tant, la solucio del problema

(1.11)esuna funciode classe C 1+ () ja queW 2 p C 1+ ().

Passem aveure quekw

n w m k L p

!0sin;m!1. Peraaixoconsiderem

elproblema (1.12) per aw

n

i per aw

m

i elsrestem. S'obte

8 < : (w n w m ) = 0; a ; (w n w m )  +(w n w m ) = n m ; a @: (1.14)

Per tant, la diferencia w

n w

m

es una funcio harmonica i pel principi del

maximde Hopf ([31]) obtenim

sup (w n w m )  sup @ ( n m ) inf (w n w m )  inf @ ( n m )

d'on acabem deduint

sup jw n w m jsup @ j n m j=k n m k C 0 (@) Kk n m k W 1 1=p p (@) : Per tant, kw n w m k L p !0 quan n;m!1.

Aleshores, hem obtingutque la solucio ! delproblema (1.11)es de classe

C 1+

(). A mes, sabem que ' 2 W 1

p

i 2 W

1 1=p

p

(@). Per tant, aplicant

lesestimacionsde Schauderesveu, comfanD.GilbargiN.S.Trudinger a[15],

que,de fet,la solucio de (1.11)esmes regular,es adir, que w2C 2+

().

(40)

Donada v 2W 1

p 0

, lasolucio delproblema (1.1) satisfa

Z u t vdx+ Z rurvdx= Z g(u)vdx+ Z @ f( p u) p 0vd`;

com havem vist a (1.3). De la mateixa forma es pot veure que la solucio w

delproblema (1.11) satisfa

Z u t vdx+ Z rwrvdx = Z g(u)vdx+ Z @ f( p u) p 0v d` + Z @ ( p u p w) p 0 vd`:

Ara,restantles dues igualtatsens queda

Z (ru rw)rvdx+ Z @ ( p u p w) p 0 vd`=0 per a tota v 2 W 1 p 0 . Considerem v = u w 2 W 1 p  W 1 p 0, ja que p 0  p si pn 2. Aleshores, Z r(u w) 2 dx+ Z @ ( p 0(u w)) 2 d`=0;

d'on esdedueixque u=w. Per tant,lasoluciou delproblema (1.1)en forma

febleesde classeC 2+

( ). Arabe,siuessoluciounica de (1.3)iu2C 2+

(),

aleshores u es solucio de (1.1), amb la qual cosa acabem la demostracio del

(41)
(42)

Estabilitat i inestabilitat

d'equilibris

D'araendavantelnostre interesescentrara en l'estudide solucionsd'equilibri

peralproblema d'evolucio(1.1)que varemconsiderar alcaptol1,esadir, en

lessolucions del problema

8 < : u+g(u) = 0; a ; u  = f(u); a @; (2.1) onR n 

es un dominiacotat amb frontera @ regular.

En el captol anterior varem veure que el problema (1.1) pot posar-se en

forma semilineal, es a dir, en la forma (1.5). Anem a donar, en primer lloc,

algunesde nicions sobre estabilitatd'equilibris.

De nicio 2.1 Sigui

u

t

+Au=F(u) (2.2)

una equacio semilineal. Diem que u(t)  u

0

es un punt d'equilibri si es una

solucio de (2.2),es a dir, si u 0 2D(A) i Au 0 =F(u 0 ).

(43)

De nicio 2.2 (De nicions d'estabilitat) Un punt d'equilibri u 0 es estable a W 1 p

si, per a tota " >0, existeix Æ >0

tal que tota solucio v 2 W 1 p amb kv(0) u 0 k W 1 p < Æ existeix a t 2 [0;+1) i satisfa kv(t) u 0 k W 1 p <" per a tota t0. Elpuntd'equilibriu 0

esuniformementasimptoticamentestablesiesestable

i hi ha un entorn V =fv 2W 1 p :kv u 0 k W 1 p <rg tal que kv(t) u 0 k W 1 p

!0 quan t !+1, uniformement per a v 2V.

Un punt d'equilibri u

0 

es inestable sino es estable.

En la primera seccio veurem que la linealitzacio del problema (1.1) al

voltant d'un punt d'equilibri u

0

, ens dona un principi d'estabilitat i

inesta-bilitatlligatalsignedelvalorpropimaximdel'operadorlinealqueen resulta,

com passa en general en els problemes semilineals.

Enlaseccio2.2donaremunacaracteritzaciod'aquestvalorpropimaximde

l'operador linealitzat. Aquesta caracteritzacio ve donada per un quocient de

Rayleigh, es adir, el valorpropi maximve donat pelsuprem (2.13) en l'espai

Hilbert W 1

2

. Ara be, el problema (2.1) l'estem considerant a W 1

p

, per la qual

cosa calprovar que elvalor propiaix trobat i lafunciopropia associada aell

aW 1

2

, sonel valorpropi maximamb igual funcio propia a W 1

p

,cosa no trivial

d'entrada.

2.1 Estabilitat i inestabilitat per linealitzacio

Suposem quef ig son funcionsC 1 (R;R) i que u 0 esun punt d'equilibri de 8 < : u t +Au = F(u) u(0) = u 0 : (2.3)

Hem vist a la proposicio 1.1 de la seccio 1.2 que si f i g son funcions de

classeC 1

(R;R) aleshores l'operadornolineal F esde classe C 1 (W 1 p ;E 1 ),per

(44)

Sota aquestes hipotesis tenim F(u 0 +v)=F(u 0 )+DF(u 0 )v+G(v) amb kG(v)k E 1 =o(k v k W 1 p ) quan kv k W 1 p

! 0. Aquesta descomposicioens

suggereixconsiderar la linealitzaciodelproblema (2.3),esa dir,

v

t

+Av =DF(u

0

)v (2.4)

irelacionarl'estabilitatde l'equilibriu

0

ambelsigne delvalorpropimaximde

l'operadorlineal que apareix a(2.4).

Talicomdeiemalaintroducciodelcaptol,elqueanemadonarenprimer

lloc es un principi d'estabilitat i inestabilitat que recollim en el seguent

teo-rema:

Teorema 2.1 Sigui u

0

un punt d'equilibri de (2.3) i sigui (B) l'espectre de

l'operador B =DF(u

0

) A. Aleshores

(i) Si(B)fRe <agper aalgunaa <0, aleshores u

0

esuniformement

asimptoticament estable a W 1

p .

(ii) Si (B)\fRe  >0ges un conjunt espectralnobuit, aleshores u

0 es un

punt d'equilibriinestable a W 1

p .

L'apartat (i)es el mateix que dir que si la linealitzacio (2.4) es

uniforme-ment asimptoticament estable aleshores u

0

esuniformement asimptoticament

establea W 1

p

. De fet, elque veurem es que existeix>0i M 1 talsquesi

ku 0 u 1 k W 1 p   2M

aleshores existeix una unica soluciode

8 < : u t +Au = F(u); sit 0 u(0) = u 1 (2.5)

de nida a [0;+1) talque satisfa, pera tota t 0

ku u 0 k W 12Me at ku 1 u 0 k W 1 :

(45)

De manera semblant, per a l'apartat (ii) el que veurem es que existeix " 0 >0 i fu n ;n 1g,ambku n u 0 k W 1 p

!0 quan n !+1,que pera tota n

satisfa sup t0 ku(t;u n ) u 0 k W 1 p " 0 >0 (2.6)

onel supremes pren sobre l'intervalmaximal d'existencia.

Peralademostraciod'aquestsdos resultatsesessencialladesigualtat(1.8)

vistaal captolanterior.

Demostraci

o. Anem a veure l'apartat (i): Sigui (B) l'espectre de

l'-operador B = DF(u

0

) A. Analogament a l'operador A, l'operador B

sat-isfa una desigualtat com (1.8) amb ! = a, es a dir, que si a 0

es tal que

Re(B)<a 0

<a <0, existeixuna constant M 1 talque

ke Bt v k W 1 p Mt 3 2 e a 0 t kv k W 1 p per atota t >0.

Triem >0su cientment petita de manera que

M Z 1 0 s 3 2 e (a 0 a)s ds< 1 2 i>0 talque sikvk W 1 p , es tingui kG(v)k E 1 kv k W 1 p : Considerem v(t)=u(t;u 1 ) u 0 . Si espren u 1 talque ku 0 u 1 k W 1 p   2M

la solucio de (2.5) existira i satisfara la desigualtat kv(t)k

W 1 p   en algun intervalde temps. Com u 0 satisfal'equacio Au 0 =F(u 0 ) iu l'equacio u t +Au = F(u)=F(u 0 +v) = F(u )+DF(u )v+G(v);

(46)

restant lesdues igualtats escomprovaque v satisfal'equacioseguent: v t +Bv =G(v): (2.7) A mes, mentre kv(t)k W 1 p ,la desigualtat kv k W 1 p =ke Bt) (u 1 u 0 )+ Z t 0 e B(t s) G(v(s))dsk W 1 p Me at ku 1 u 0 k W 1 p +M Z t 0 (t s) 3 2 e a 0 (t s) kv(s)k W 1 p ds   2 +M Z t 0 (t s) 3 2 e a 0 (t s) ds<

escerta, es adir, esde fetuna desigualtatestricta.

Sigui t

1

el valor mes gran de temps per al qual es certa la desigualtat

kv(t) k W 1 p < pera 0 t<t 1 . Aleshores, o be t 1 =1, o be kv(t 1 ) k W 1 p =,

(vegi's l'observacio 1.5). Aix doncs, donat que k v(t

1 ) k W 1 p =  contradiu

l'ultimadesigualtat, existeixsolucio per atota t >0 satisfent

kv(t)k W 1 p =ku(t) u 0 (t)k W 1 p <: Sigui v(t)= sup 0st fkv(s)k W 1 p e as g: Aleshores,es satisfa: kv(t)k W 1 p e at =e at ke Bt (u 1 u 0 )+ Z t 0 e B(t s) G(v(s))dsk W 1 p e at Me a 0 t ku 1 u 0 k W 1 p + Z t 0 M(t s) 3 2 e a 0 (t s) kv(s)k W 1 p e at ds M ku 1 u 0 k W 1 p +Mv(t) Z t 0 (t s) 3 2 e (a 0 a)(t s) ds M ku 1 u 0 k W 1 p + 1 2 v(t)

per atota t 0. D'aqu,

v(t)M ku 1 u 0 k W 1 p + 1 v(t);

(47)

esa dir, v(t)2M ku 1 u 0 k W 1 p ;

com volemprovar.

Peral'apartat(ii),siguin

1 =(B)\fRe >0gi 2 =(B)  1 . Siguin P 1 iP 2

lesprojeccions sobrel'espaiE

1=2 associadesa 1 i 2 , respectivament, i denotem per X j = P j (E 1=2

) aquestes projeccions, si j = 1;2. Aleshores,

E 1=2 = X 1 X 2 , X j

son invariants per B i, a mes, si denotem per B

j les restriccionsde B sobre X j , este(B j )= j ,per aj =1;2. (Vegi's[20] i [14],

per alsdetalls).

Es prova que existeixen dues constants  >0 i M  1tals que son certes

lesseguents estimacions: per at >0

ke B2t E 2 uk W 1 p Me t t 3 2 kuk E 1 ipera t0, ke B 1 t E 1 uk W 1 p Me 3t kuk E 1 : Donada u2W 1 p \X 1

, considereml'equaciointegral seguent

v(t)=e B 1 (t T) u+ Z t T e B 1 (t s) P 1 G(v(s))ds+ Z t 1 e B 2 (t s) P 2 G(v(s))ds; (2.8) per atT. Sabem que kG(v)k E 1  k()kvk W 1 p si kvk W 1 p   i amb k() ! 0 quan

!0. Aleshores, podem triar >0 prou petita de manera que

Mk() " kP 1 k  +kP 2 k Z 1 0 s 3 2 e s ds # < 1 2 :

Veurem tot seguit que si u 2 W 1

p

es tal que kuk

W 1

p

 =2M, l'equacio

integral (2.8) te una unica solucio v(t) a 1<tT quesatisfa

kv(t)k W 1 p e 2(t T) :

Per talde veure-ho, considerem elconjunt

S=fv : v :( 1;T]!W 1 p contnua, P 1 v(T)=u i kv(t)k W 1 e 2(t T) per at Tg:

(48)

Fixada v 2S considerem l'operador

H(v) : ( 1;T] ! W 1

p

t ! H(v(t))

de nit per l'equacio integral (2.8). Es comprova que S es un espai metric

completamb ladistancia

dist (u;v)=sup

tT fku(t) v(t)k W 1 p g:

A mes, H es una transformacioque aplica S en S, contnuai contractiva.

Vegem-ho: perde nicio H(v)es contnuai P

1 (H(v(T)))=u. A mes, kH(v)(t)k W 1 p  ke B1(t T) uk W 1 p + Z t T ke B1(t s) k L(W 1 p \X 1 ;E 1 ) kP 1 G(v(s))k E 1 ds + Z t 1 ke B 2 (t s) k L(W 1 p \X2;E 1 kP 2 G(v(s))k E 1 ds  Me 3(t T) kuk W 1 p + Z t T Me 3(t s) k()kP 1 vk W 1 p ds + Z t 1 M(t s) 3 2 e (t s) k()kP 2 vk W 1 p ds  Me 3(t T) kuk W 1 p + Mk()kvk W 1 p " kP 1 k  +kP 2 k Z 1 0 s 3 2 e s ds #  Mkuk W 1 p e 3(t T) +  2 e 2(t T)  e 2(t T) :

Aix doncs, H : S ! S. Vegem ara que H es una contraccio: per a tota

tT este, kH(v(t)) H(u(t))k W 1 p Mk()dist (u;v) Z t T kP 1 ke 3(t s) ds+ Z 1 0 kP 2 ks 3 2 e s ds   1 2 dist (u;v):  Es adir, dist (H(u);H(v)) 1 dist (u;v);

(49)

deduint queH es una contraccioi es, pertant, contnua.

Estem, doncs en condicions d'aplicar el teorema del punt x, que ens diu

que existeix un unic punt x v(t), es a dir, H(v(t)) = v(t) per a tota t 2

( 1;T], solucio de l'equacio integral (2.8). Denotarem aquesta solucio per

v(t)=v(t;T;u). Donatque v(t) satisfa

kv(t)k W 1 p 2Me 2(t T) kuk W 1 p ; tT ; dedum kv(T) uk W 1 p = =k Z T 1 e B 2 (t s) P 2 (G(v(s)))dsk W 1 p  Z T 1 2M 2 k()kP 2 kkuk W 1 p (t s) 3 2 e (t s) e 2(t T) ds  1 2 kuk W 1 p ;

sitriem >0 prou petita. Pertant,

kv(T)k 1 2 kuk W 1 p :

A mes, apartir de l'equaciointegral(2.8) espot observardirectamentque

v tambees soluciode

v

t

=Bv+G(v); tT :

Amb tot aixo, anem a construir una successio fu

n g n que satisfaci (2.6). Siguin u n =v(0;n;u):

Aleshores, lasolucio u(t;u

n ) satisfau(t;u n )=v(t;n;u),pera 0t n i sup 0tT ku(t;u n )k  ku(T;u n )k = kv(T;n;u)k  1 kuk>0

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :