Predicción del calentamiento de suelos afectados por un frente de incendio forestal

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Predicci´

on del calentamiento de suelos afectados por un

frente de incendio forestal

J. Durany

, B. Fraga

, F. Varas

1 _{Dpto. Matem´atica Aplicada II, Universidad de Vigo, E.T.S.I. Telecomunicaci´on, Campus Marcosende,}

E-36310 Vigo. E-mails: durany@dma.uvigo.es, brunhofraga@gmail.com, fvaras@uvigo.es.

Palabras clave: Medio poroso, Temperatura, Transporte, Elementos finitos, Simulaci´on num´erica Resumen

Las perturbaciones ed´aficas y sus secuelas hidrol´ogico-erosivas son uno de los im-pactos medioambientales m´as negativos de los incendios forestales. Este trabajo tiene como objetivo proporcionar una herramienta para caracterizar con precisi´on el da˜no producido en las capas superficiales del suelo como consecuencia del paso de un fren-te de calor, modelizando el comportamiento en profundidad de la fren-temperatura. Para ello, es necesario acoplar modelos de transporte de energ´ıa y materia (agua y vapor) en un medio poroso y establecer las condiciones de contorno apropiadas para estos fen´omenos. El resultado es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales fuertemen-te no lineal, que es discretizado medianfuertemen-te el m´etodo de elementos finitos y se resuelve utilizando el c´odigo multif´ısica COM SOLT M_{. Las simulaciones num´ericas permitir´an}

comparar soluciones de estos modelos con medidas experimentales, de modo que se pueda validar el modelo f´ısico y num´erico asociado.

1.

Introducci´

on

La mortalidad y los graves da˜nos en la vegetaci´on superficial son los efectos m´as lla-mativos de un incendio forestal, pero no menos importantes son los da˜nos sobre el sistema ed´afico. Entre estos efectos nocivos sobre el suelo se pueden destacar:

alteraciones de la estructura y las propiedades del suelo: term´olisis de la materia org´anica, oxidaci´on y volatilizaci´on de los componentes minerales libres, disminuci´on y redistribuci´on del contenido en agua.

muerte o da˜no de gran parte de los organismos que habitan en el medio ed´afico: macro, micro y mesofauna, hongos (micorrizas), bacterias, bulbos y semillas entre ellos,

cambios f´ısico-qu´ımicos extremos (en condiciones de temperaturas muy altas): fusi´on de componentes de la fase s´olida.

Aparte de la p´erdida de riqueza biol´ogica del medio ed´afico, el deterioro del mismo condiciona enormemente la capacidad de regeneraci´on futura de todo el ecosistema y las actividades productivas a ´el asociadas, pues es en el suelo donde se completa el ciclo biol´ogico con la acci´on de los organismos descomponedores, y donde se encuentran las estructuras latentes que constituyen una aut´entica reserva de vida para el medio: semillas, bulbos, micelios, entre otros.

En buena medida, la magnitud de estos da˜nos depender´a de las temperaturas m´aximas alcanzadas en el perfil del suelo durante el fuego. Conociendo la evoluci´on temporal y en profundidad de la temperatura, podr´a inferirse la mortalidad entre los organismos que habitan el suelo y el grado de alteraci´on de su estructura.

El modelado de esta respuesta t´ermica no resulta sencillo al ser el suelo un medio poroso en el cual conviven diferentes materiales en distintas fases de agregaci´on. En este trabajo se plantea la presencia de una matriz s´olida formada por materia org´anica y mineral y un espacio poroso ocupado por una fase l´ıquida (agua) y aire. Se han considerado separadamente los flujos de agua y vapor (en lugar de plantear una variable ´unica de ”humedad”), por ser diferentes sus propiedades t´ermicas (conductividad y calor latente). Se considera la transmisi´on de calor por conducci´on dentro de la matriz y el espacio poroso, as´ı como el transporte de calor latente debido a los flujos de vapor.

Debido a los flujos de calor no uniformemente distribuidos a lo largo del suelo y a las diferencias en el potencial hidr´aulico, habr´a variaciones en la distribuci´on de las fases l´ıquida y gaseosa. La conductividad t´ermica en el suelo es muy sensible al contenido en agua l´ıquida, debido a la menor movilidad y a la mayor conductividad de la misma en relaci´on a la del aire de los poros (ver [5], [6], entre otros). Cuando los rangos de temperatura est´an pr´oximos al punto de ebullici´on, el transporte convectivo est´a dominado por los movimientos de vapor de agua (ver [1], por ejemplo), debido al elevado calor latente de vaporizaci´on del agua y a la facilidad con la que el vapor puede moverse a trav´es de los poros.

El modelo que se presenta aqu´ı parte de los trabajos realizados por de Vries, Aston y Gill y Campbell (ver [6], [1], [5], respectivamente, y las referencias que contienen). Estos art´ıculos son referencias principales en la tem´atica, pero ya han pasado muchos a˜nos desde su publicaci´on. Por ello, estos modelos se han revisado y se han incorporado aportaciones de trabajos m´as recientes que tratan el estudio de los flujos de calor en el suelo, aunque no se centren en la casu´ıstica concreta de los incendios forestales (ver [2], [3] o [7]). Entre estas novedades (con respecto a las tres referencias cl´asicas mencionadas arriba), pode-mos destacar tres. La primera se refiere al movimiento del agua en un medio insaturado siguiendo la ecuaci´on de Richards y el modelo de Van Genuchten [10]. Tambi´en se ha incorporado el concepto de equilibrio qu´ımico en el fen´omeno de evaporaci´on, conside-rando conjuntamente los flujos de agua l´ıquida y gaseosa en una sola ecuaci´on de masa. Por ´ultimo, el presente modelo incorpora la metodolog´ıa de Campbell [4] para el c´alculo de la conductividad t´ermica teniendo en cuenta las caracter´ısticas morfol´ogicas del suelo, aunque este aspecto ya fue utilizado por el propio Campbell en [5].

El modelo resultante es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que se ha discretizado mediante el m´etodo de elementos finitos y se ha resuelto empleando el c´odigo inform´atico COM SOLT M_.

Se han contrastado los datos de estas simulaciones con mediciones experimentales realizadas en el Centro de Investigaci´ons Forestais de Louriz´an (Pontevedra, Espa˜na), para lo cual se ajustaron par´ametros conforme a mediciones emp´ıricas. Factores que influyen en la determinaci´on de la conductividad t´ermica o en la definici´on de las propiedades hidr´aulicas son muy dif´ıciles de determinar, por lo que se utilizaron ejemplos para suelos con condiciones muy similares presentes en la bibliograf´ıa espec´ıfica ([4], [10], [11]).

2.

Modelo f´ısico

Predecir la magnitud de los efectos nocivos sobre un suelo que se ha visto sometido a un incendio forestal, requiere conocer la evoluci´on de las temperaturas a lo largo del tiempo a diferentes profundidades. Para ello, se establece una geometr´ıa unidimensional en la variable z, profundidad, que toma valores en un intervalo pr´oximo a la superficie del suelo en contacto con la fuente de calor. Es decir, z ∈ Ω, donde Ω = [0, 100] en unidades de cm (ver Figura 1). El modelo basado en las ecuaciones de transferencia del calor incorpora los flujos de agua l´ıquida y vapor acoplados. Las razones son las siguientes:

El suelo es un medio poroso donde la humedad se va a mover y cambiar de fase l´ıquida a vapor, especialmente a las altas temperaturas que se est´an considerando. Dicho cambio de fase consume energ´ıa.

El agua presenta un elevado calor de vaporizaci´on y una relativa facilidad de movi-miento a trav´es del sistema de poros del suelo. Por lo tanto, el transporte de materia implicar´a tambi´en un transporte de energ´ıa latente.

El agua l´ıquida presenta una conductividad t´ermica diferente a la del aire (m´as o menos saturado) o a la de la fase mineral. Es necesario incorporar una ecuaci´on que considere una conductividad global en funci´on del contenido volum´etrico de las distintas fases.

Los modelos de transporte de agua y vapor tampoco ser´an sencillos, al presentar im-portantes no linealidades. Las propiedades del transporte de agua dependen del nivel de saturaci´on. El agua se mover´a con m´as dificultad al disminuir su concentraci´on en los po-ros. Igualmente, la concentraci´on de vapor en el poro depender´a a su vez de la temperatura y de la presencia de agua l´ıquida. Se trata, por tanto, de un modelo acoplado fuertemente no lineal.

Se plantean como inc´ognitas del problema la temperatura T (z, t), en grados Kelvin (K), la concentraci´on de agua θ_l(z, t), en tanto por uno, y la tasa de evaporizaci´on S_v(z, t), en g_s, donde t representa el tiempo, que son soluci´on del siguiente modelo acoplado de ecuaciones en derivadas parciales no lineales:

2.1. Transporte de energ´ıa: Ceq∂T_∂t = _∂z∂ µ Kg∂T_∂z ¶ − ST , (z, t) ∈ Ω × [0, TF] , (1)

donde TF es el tiempo final, Ceq el calor espec´ıfico del suelo (_cmerg3_K), Kg la conductividad

Figura 1: Domino computacional: Ω = [0, 100] en cm. volum´etricos de cada material. Esto es:

Kg = Paθaka_P+ Plθlkl+ Pmθmkm aθa+ Pmθm ³ erg K cm s ´ , (2)

siendo Pa, Pl, Pm los pesos para la fase gaseosa, l´ıquida y s´olida, respectivamente, que son

dados a partir de las caracter´ısticas morfol´ogicas del suelo. Dichas caracter´ısticas se han ajustado a partir de los valores del suelo Palouse B(ver[4]), muy similar al empleado para contrastar los datos de este estudio. En (2) se denotan como ka, kl, kmlas correspondientes

conductividades t´ermicas de cada fase (las del agua y el aire var´ıan con la temperatura) en _{K cm s}erg , y θa, θl, θm las concentraciones volum´etricas de cada fase en el suelo en tanto

por uno.

Por ´ultimo, la fuente de calor ST en (1) viene dada por la expresi´on:

S_T = H_latS_v , (3)

con Hlat el calor latente de evaporizaci´on, (erg_g ), y Sv la tasa de evaporizaci´on (g_s).

2.2. Transporte de masa (agua l´ıquida):

∂θ_l ∂t = ∂ ∂z µ K_h(θ_l)∂ψh(θl) ∂z ¶ −Sv ρl , (z, t) ∈ Ω × [0, T_F] , (4) es la Ecuaci´on de Richards, que describe el flujo de agua en un medio poroso de saturaci´on variable. Esto ´ultimo complica el modelo, al introducir dependencias en los par´ametros de conductividad Kh (cm/s) y potencial hidr´aulico ψh(θl) (cm). Estas interdependencias

son descritas por las curvas de humedad. Su estudio no es sencillo, toda vez que dependen mucho de par´ametros f´ısicos del suelo y que presentan ciclos de hist´eresis. En el presente caso, se ha adoptado el modelo de Mualem modificado por Van Genuchten (en adelante VGM), tal y como fue descrito en [10]:

Kh(Θ) = KsKr(Θ) = KsΘ 1 2[1 − (1 − Θ 1 m)m]2, (5) siendo Θ = θl−θr

θs−θr la saturaci´on efectiva con respecto a un valor m´aximo de contenido en

agua (θs) y un valor residual de humedad que siempre permanece en el suelo ligado a la

propia estructura del mismo (θr). En (5), m suele aproximarse como 1 −_n1, siendo n un

par´ametro de forma de la curva de humedad.

En la ecuaci´on (4), el potencial hidr´aulico ψh(θl) se toma (seg´un VGM) en la forma:

ψh(Θ) = ψm(Θ) −∂z_∂z, (6)

donde ψm es el potencial m´atrico. Es decir, la parte del potencial hidr´aulico debida a los

efectos de capilaridad y ligaz´on de la matriz s´olida al agua del espacio poroso. El potencial hidr´aulico ψhincluye tambi´en aquella energ´ıa proporcionada por el potencial gravitatorio,

que es representado por ∂z

∂z, en unidades de altura de presi´on (cm). De acuerdo con VGM,

resulta:

ψm(Θ) = −[Θ −1

m − 1]m1

α , (7)

donde α es un par´ametro de forma de la curva de humedad.

2.3. Transporte de masa (agua vapor):

∂mv ∂t = ∂ ∂z µ Dv(T )ξg(θa)∂m_∂zv ¶ + Sv , (z, t) ∈ Ω × [0, TF] , (8)

siendo Dv(T ) y ξg(θa) la difusividad efectiva del vapor en el aire y la tortuosidad del suelo,

respectivamente, tal y como est´an definidas en [2] y [8]. La variable temporal de (8) es mv:

concentraci´on m´asica de vapor en el suelo (g/cm3), que viene dada por:

m_v = ρ_vθ_a, (9)

donde ρ_v es la densidad de vapor en el poro libre (g/cm3_{) y θ}

a el volumen de aire en el

poro (cm3/cm3), dado por θa= φ − θl, es decir el espacio poroso (φ) no ocupado por agua.

En este caso, se hace un balance en unidades de masa, por tratarse el vapor de un gas compresible: su volumen se adaptar´a al espacio poroso disponible (no saturado).

El c´alculo de la densidad de vapor se basa en una hip´otesis de equilibrio qu´ımico entre las dos fases del agua:

ρv = ρvsathr, (10)

donde, aplicando la ecuaci´on de los gases perfectos, se tiene:

ρ_vsat = pvsat(T )Ml

RT . (11)

En (10), hr es la humedad relativa (adimensional): hr= e

ψmMl

ρlRT , (12)

ρ_vsat (_cmg3) la densidad de vapor en condiciones de saturaci´on,

pvsat(T ) ( dyn

cm2) la presi´on de vapor en el poro en condiciones de saturaci´on,

M_l (_molg ) el peso molecular del agua,

R (_Kmolerg ) la constante de los gases perfectos.

La ecuaci´on (8) se diferencia de (1) y (4) en que la variable de la derivada temporal,

mv, est´a determinada por la ecuaci´on (9), siendo Sv la inc´ognita del problema. Por ello, se

puede acoplar con (4), eliminando Sv y resultando una ´unica ecuaci´on para el transporte

de masa: ∂θl ∂t + ∂mv ∂t = ∂ ∂z µ Kh(θl)∂ψ_∂zh(θl) ¶ + ∂ ∂z µ Dv(T )ξg(θa)∂m_∂zv ¶ , (z, t) ∈ Ω × [0, TF] . (13) De este modo, el modelo queda completo a partir de las ecuaciones (1) y (13), que describen los flujos de energ´ıa y masa, respectivamente. Las inc´ognitas a calcular son T y

θ_l.

2.4. Condiciones de contorno e iniciales: Ecuaci´on del transporte de energ´ıa:

T (0, t) = Ts(t) en z = 0, siendo Ts(t) el hist´orico de temperaturas en la superficie

del suelo durante el experimento empleado en la validaci´on.

T (100, t) = 298K en z = 100, zona no perturbada del perfil de suelo en profundidad. T (z, 0) = 298K en t = 0, condici´on inicial.

Ecuaci´on del transporte de masa:

Γ(0, t) = katm(rhovatm − rhov0) en z = 0 (superficie): flujo saliente de vapor a la

atm´osfera.

θl(100, t) = 0,4cm

3

cm3 en z = 100, zona no perturbada del perfil de suelo en profundidad.

θl(z, 0) = 0,4cm

3

cm3 en t = 0, condici´on inicial.

3.

Resoluci´

on Num´

erica, Resultados y Validaci´

on

3.1. Resoluci´on Num´erica

Para resolver el sistema (1), (13) se realiza una discretizaci´on del dominio Ω en una malla unidimensional de N elementos finitos de Lagrange cuadr´aticos (L2). El sistema no lineal resultante se resolver´a empleando el c´odigo COM SOLT M_{. Se trata de una}

simula-ci´on en transitorio, por lo que el problema tambi´en es discretizado en tiempo mediante BDF (backward differentiation formulas) de grado 1 (Euler impl´ıcito), con un paso de tiempo inicial prefijado, ∆t, y un l´ımite temporal para la simulaci´on TF. Dentro de cada

el problema, iterando a partir de los valores iniciales de las variables. Una vez linealizado, se ensamblan ´unicamente las matrices de masa y rigidez (en el presente caso no hay vec-tor de segundo miembro). El sistema lineal resultante en cada iteraci´on del algortimo se resuelve por un m´etodo directo (el UMFPACK, basado en una factorizaci´on LU).

3.2. Datos del problema

Los par´ametros del modelo fueron determinados en base a los experimentos llevados a cabo en el Centro de Investigaci´ons Forestais de Louriz´an (Pontevedra). El resto de los datos fueron tomados de ejemplos de la bibliograf´ıa para suelos de caracter´ısticas muy similares al de los experimentos. Los par´ametros del VGM se obtuvieron de [11] (clay-loam

soil) y los de la conductividad t´ermica de [4] (Palouse B). Para el resto de datos se han

tomado los valores habituales en la bibliograf´ıa espec´ıfica.

Se han llevado a cabo dos simulaciones, partiendo de diferentes niveles iniciales de humedad y de diferentes hist´oricos de temperatura en superficie. Ambas se realizaron para un suelo franco-arcilloso con alta porosidad (φ = 0,475) y contenido en materia org´anica pobre. El tama˜no de malla utilizado en ambos casos ha sido ∆h = 0,026 cm, y los par´ametros temporales son ∆t = 5s y T_f = 34630s.

3.3. Validaci´on

En la Figura 2 se puede observar la comparaci´on entre las medidas experimentales y los resultados de la simulaci´on num´erica para dos casos con diferentes flujos de temperatura en superficie y diferente nivel de saturaci´on inicial:

Suelo h´umedo (pr´oximo a la saturaci´on): θl0 = 0,4.

Suelo con humedad media: θ_l0 = 0,3.

Estas simulaciones muestran una buena adecuaci´on a los datos experimentales. Las tendencias, los desfases temporales y los rangos de temperatura est´an correctamente cap-tados.

Para el suelo seco la aproximaci´on es muy buena. La curva obtenida de la simulaci´on presenta una bajada algo m´as brusca que los datos experimentales una vez alcanzado el pico de temperatura. Esta divergencia en el pico no es demasiado importante y posible-mente sea debida a variaciones en los valores experimentales inducidas por las condiciones locales del suelo en las proximidades de los termopares. Por ejemplo, diferencias en los niveles originales de humedad en la capa donde se realiza la medici´on.

En el caso del suelo h´umedo se observa un peque˜no desfase entre las gr´aficas. La simula-ci´on alcanza el pico de temperatura y la posterior ca´ıda antes que los datos experimentales, lo cual parece reflejar una mayor difusi´on en el flujo de calor simulado. Ello puede deberse a una subestimaci´on de los flujos de vapor (y por tanto de la energ´ıa invertida en la evapo-raci´on del agua). Este es un punto cr´ıtico de la simulaci´on en medios porosos insaturados, como se se˜nala en la bibliograf´ıa (ver [2] o [8]).

Agradecimientos

Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el Proyecto MTM2007-67596-C02-02 del MEC de Espa˜na, incluyendo fondos FEDER (UE), y por la Xunta de Galicia en el

Figura 2: Resultados de la simulaci´on num´erica en continuo y datos experimentales en l´ınea de trazos. Los resultados para suelo seco (c´odigo QS24Bc) se sit´uan en la parte superior, ya que se alcanzan temperaturas m´as altas que en la simulaci´on con humedad elevada (QH21Aa), situada en la parte inferior de la gr´afica, por debajo de 310 K. programa INCITE08ENA322100ES. Se agradece tambi´en a Jos´e Antonio Vega (Centro de Investigaci´ons Forestais de Louriz´an) sus sugerencias y la cesi´on de los datos experimen-tales empleados en este trabajo.

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