TEORIA DE PROBABILIDADES-.doc

(1)

PERMUTACIONES

Son arreglos diferentes en que pueden ordenarse un conjunto de elementos en un orden definido.

Una ordenación de un número ”r” de “n” objetos , r ≤ n , en un orden dado se lama permutación “r” o una permutación de los “n” objetos tomados de “r ” a la vez . Así mismo, una ordenación de un conjunto de “n” objetos en u8n orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez)

El número de permutaciones de “n” objetos tomados de “r en r “ lo denotamos por :

P

(n, r) n

P

r

El primer elemento de una permutación r de n elementos puede escogerse de n diferentes maneras; el segundo elemento de la permutación puede escogerse de (n-1) ,amaneras, y así sucesivamente, el r-ésimo (último) elemento de la permutación r puede escogerse de n – (r-1) = n – r + 1 maneras

…

1 2 3 4 r n P r = n (n-1) (n-2) (n-3)… (n-r+2) (n – r +1) n P r = n (n-1) (n-2) (n-3)… (n-r+2) (n – r +1). _(n(n _r)!r)!   r  n 0! = 1 APROXIMACIÓN DE STIRLING A n!

Cuando “n” es un valor muy grande, n! se puede aproximar mediante la fórmula de Stirling; es decir:

La cual tiene un error menor que el 1% para n > 10

Ejemplo: Calcular 35!

35! = 2xx35 3535 e-35 = 1.031 x 1040

Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas – F I I S - U N F V

1

n

n-1

n-2

n-3

n-r+1

n P r = _(nn!__r)!

(2)

”r en r”

(orden r) es:

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN (particiones ordenadas)

El número de permutaciones de “n” elementos, de tal manera que:

n1 son iguales, n2 son iguales,…, nk son iguales y n = n1 + n2 + n3 +…+ nk.

PERMUTACIÓN CIRCULAR

El número de permutaciones circulares de “n” elementos, tomados todos a la vez, es igual:

COMBINACIONES

Es una selección de un conjunto de “n” elementos tomados de “r en r”, sin tener en cuenta el orden de los elementos, convirtiéndose en un subconjunto de n Ejemplo. Las combinaciones que pueden formarse con las letras A, B, C y D son:

a) De 4 en 4 : ABCD

b) De 3 en 3 : ABC , ABD , ACD, BCD c) De 2 en 2 : AB , AC, AD , BC, BD, CD d) De 1 en 1 : A, B, C , D

Si comparamos las combinaciones y permutaciones de 3 en 3 n=4 r=3

4

P

3 = 24 4

C

3 = 4

2

n

P

r =

n

r

n!

n

P

n

1

,n

2

,…,n

k

=

n

1

! n

2

! … n

k

!

P = (n – 1)!

(3)

Cada combinación tiene 3! permutaciones 3! 4

C

3 = 4

C

3 4

C

3 =

3!

P

3 4 = ₍₄_4!_3)!.3!



COMBINACIÓN CON REPETICIÓN

Ejemplo: Hallar el número de CR de las letras A, C, D y E

Tomados de 2 en 2 Tomados de 3 en 3

5

C

R2 = (5_2!.(51__1)!2)! = 15 5

C

R3 = (5_3!.(51__1)!3)! = 35

AA AB AC AD AE AAA BBB CCC DDD EEE

BB BC BD DE AAB AAC AAD AAE BBA

CC CD CE BBC BBD BBE CCA CCB

DD DE CCD CCE DDA DDB DDC

EE DDE EEA EEB EEC EED

ABC ABD ABE ACD ACE

ADE BCD BDE BCE CDE

3 n

C

r =









r

n

=

C

R =

1)!

r!.(n

r)!

1 (n







(4)





















rn

n

r

n

Combinación complementaria

































1r

1n

1r

n

r

n

ó _ _ _ _ _ _  _ r 1 n r n 1 r n

(5)













r

1r



 r o k









k

m











kr

n

=







 

r

nm

n

1 n











1

0 n











1 n

n











n

1n

n























k

n

2 n

0k

=









n

n2

PROBABILIDADES

Experimento Aleatorio

(6)

E1: Lanzar un dado y observar el nº de puntos que aparece en la cara superior E2: Lanzar dos monedas y observar el número de caras

E3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos buenos y defectuosos E4: Sacar una muestra de 10 artículos de la producción diaria y determinar el número de artículos defectuosos

Espacio muestral: S,



Es la reunión o conjunto de todos los posibles resultados del experimento Ejemplo: Para los experimentos anteriores

_S1

:



1,2,3,4,5,

6 

_S3

:

 

B,

D

_S2

:



CC,

CS,

SC,

SS



_S4

:



0.1,2,3,4,

5,6,7,8,9,

10 

Evento o Suceso

Es una partición o subconjunto del espacio muestral Ejemplo:

A1: {Resultado sea Par} = {2, 4,6}

A2: {por lo menos una cara} = {cs, sc, cc} A3: {Artículo defectuoso} = {2, 4,6}

A4: {Como mínimo dos artículos defectuosos} = {2, 3, 4,}

PROBABILIDAD

Si un evento puede ocurrir de “N” maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables y si “n” de ellas tiene característica “E”; entonces, la probabilidad de ocurrencia de E es:

p (E) = N

n

Hay una relación natural entre Teoría de Probabilidades y teoría de Conjuntos. Podemos observar por ejemplo:

Espacio Muestral con Conjunto Universal y Evento con Subconjunto

Entonces se puede dar la definición utilizando estos términos:

La probabilidad de ocurrencia del evento A, es igual al número de muestras posibles que puede suceder A sobre el número de elementos del espacio muestral

p(A) = _n(S)n(A)

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1.- Axioma de Positividad ( No Negatividad)

(7)

i) E1 U E2 U E3 U...U Ek = S 1 i



 Ei  ii) E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩... ∩ Ek = 0 k 1 i





E

i 

De los 3 axiomas se deducen las siguientes propiedades: 1.- “La probabilidad del conjunto nulo o vacío es igual a cero”

Se sabe que: A U  = A p (A U )= p (A) p (A) + p () = p (A)



p () = 0

2.- “La probabilidad del complemento de A, es igual a uno menos la probabilidad del evento A “

S

A U A = S p (A) + p (A) = p (S)

p (A) = p (S) – p (A)



p ( A ) = 1 – p (A)

3.-Si A y B son 2 sucesos cualesquiera, entonces:

A B A B

+

7 E1 ... E3 ... E4 ... E2 Ek p       



K 1 i Ei = p( ) K 1 i





Ei

p (  ) = 0 p ( A ) = 1 – p(A) A A P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

(8)

Se puede observar que A-B y B son disjuntos

P (A-B) + P (B) = P (AUB) P (A-B) = P (A) – P (A∩B)

P (AUB) = [P (A) – P (A∩B)] + P (B)



P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

4.- Sean los eventos A, B y C

5.- Sean los eventos A1, A2, A3,..., An

p         1 i Ai = p( ) n 1 i





Ai

- 









n 2 j i A A p _i _j ₊







   n k j i 3

p

A

i



A

j



A

k - …+ (-1)n+1       



n 1 i Ai p. 6.- Si A



B P(A) ≤ P (B) B P (B) = P(A) + P(B-A) Donde p (B-A) ≥ 0 P (B) – P(A) ≥ 0



P(A) ≤ P (B) PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional de que el vento B ocurra, sabiendo que el evento A ha ocurrido, es:

A ha ocurrido P (

B / A

)

8 P (AUBUC) = P (A) + P (B) + P(C) –P (AB) – P (BC) –P (AC) + P (ABC)

B-A A

P (B∩A) = P(A _P(A)B) , P(A) > 0

(9)

Igualmente: P(A B) = P (B). P(A/B) Generalizando:

P (B) = P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2) + … + P (An). P (B/An)

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes, sí y sólo sí:

S

Donde A∩B =  (A y B no pueden suceder simultáneamente) EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de A no afecta (no condiciona, no influencia) a la ocurrencia de B, si:

P (B/A) = P (B) P (A ∩ B) > 0

TEOREMA DE BAYES

Supongamos que hay “n” eventos: A1, A2, A3,..., Ak y

a) S =



n 1 i Ai = A1U A2U A3U...U An b) A1∩ A2 ∩ A3 ∩...∩ Ak

=



n 1 i Ai

= 0

9 P (B) =



 n 1 i P (A i). P (B/A i) P (AUB) = P (A) + P (B) A B P (A∩B) = P (A). P (B)

(10)

P ( AK / B ) =

)

A

).P(B/

A

P(

...

)

A

).P(B/

A

P(

)

A

).P(B/

A

P(

)

A

).P(B/

A

P(

n n 2 2 1 1 K K



Louis Maisel- Probabilidad y Estadística – USA- 1973 1.- Un dado normal de lanza 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que cada lanzamiento produzca un resultado diferente?

6 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 = 66 6!

2.- Se toman 3 muestras aleatorias independientes sobre los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Determinar la probabilidad de que el mismo dígito aparezca una vez en las 3 muestras

P= P (2 veces) + P (3 veces) = 0280 1000 10 270 1000 1000  .   1(1x1x1)10 3(1x1x9)10

3.- Si se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. Determinar la probabilidad de que cada caja contenga exactamente una bola

N N N 1 N N 2 N N 3 N

…

N 4 N 3 N 2 N 1 =

N

!

10 B A3 . . . An Donde: 1 ≤ K ≤ n i = 1, 2,3,…, n P ( AK / B ) =

)

A

).P(B/

A

P(

n

)

A

).P(B/

A

P(

i i K K





1 i

(11)

=

M

N)!.

(M

M!

N



→ P =

M

N N

P

M

para M ≥ N y P = = para M < N

5.- Se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. ¿Cuàl es la probabilidad de que una caja determinada contenga K bolas?

P =



M

1M

KN

K

N











..

Un gabinete contiene 10 pares de zapatos. Si se seleccionan aleatoriamente dos pares de zapatos. ¿Cuál es la probabilidad de formen una pareja? 1/19

S = {0 pareja, 1 pareja, 2 parejas}

(12)

P(S) =













































4

20

2

10

22

9

1

10

24

10 ₂₄

..

= 1 4845 4845 4845 45 1440 3360    

Seymour Lipschutz – Probabilidades- Colección Schaum

1.-En una clase hay 12 estudiantes. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes?

Método 1.

Buscamos el número de particiones ordenadas de 12 estudiantes en células que constan de 4 estudiantes cada una. Hay

! ! ! ! 4 4 4 12 = 34,650 de tales particiones. Método 2.

(13)

continuación hay









4

8

maneras de escoger 4 estudiantes que tomen la segunda

prueba. El resto de estudiantes toma la tercera prueba. O sea que, por todos hay

















4

8

4

12 .

= 495 x 70 = 34,650 maneras para que los estudiantes presenten las pruebas.

2.- ¿De cuántas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos, I,II,II, de suerte que cada equipo conste de 4 estudiantes?

Método 1.

Observamos que cada partición (I, II, III) de estudiantes puede distribuirse de 3! =6 maneras lo mismo que una partición ordenada. Puesto que (ver problema anterior) hay

! ! ! ! 4 4 4 12

= 34,650 de tales particiones ordenadas, hay 34,650/6 = 5,775 particiones ( no ordenadas)

Método 2.

(14)

Denotemos por A uno de los estudiantes. Entonces hay









3

maneras de escoger

los otros 3 estudiantes que estén en el mismo equipo de A. Ahora denotemos por B a

un estudiante que no sea del equipo de A; entonces hay









3

7

maneras de escoger,

entre los restantes, 3 estudiantes que estén en el mismo equipo de B. Los 4

estudiantes que quedan constituyen el tercer equipo. Así, en total hay

















3

7

3

11 .

= 165 x 35 = 5,775 maneras de repartir los estudiantes.

R O

14 Se tiene las letras de la palabra: GUERRERO. Si se selecciona una

palabra

(15)

AMARRARAS (A=4 R=3 M=1 S=1 ) LLANTALLA ( L=4 A=3 N=1 T=1) a) En bloque (AAAA) (RRR)) M S 1 2 3 2! En cualquier orden M R 1 2 3 7

P

3, 4 b) M S 1 2 2! 3M – 5A – 3T – 2 H = 13 letras 4N – 5E – 3T – 2H = 14 letras A 3M – 3T 2H A A A A E 4N – 3T 2H E E E E

15 a) Las “R” y las “A” no queden juntas “L” y “A”

b) Las “R” y las “A” deben estar en los extremos “L” y “A”

AAAA RRR P= 1- 0.995 4!.3! 9! 2!.3!  AAAA RRR P= 1- 4 1 4!.3! 9! 4!.3! 7! 3!  AAAA RR P = 630 1  4!.5! 9! 2!.2! MATAHAMATTHAM NETTEHENNETHEN

Se tienen las letras de la palabra: (a) MATAHAMATTHAM

De cuántas maneras pueden ordenarse si: Las “A” deben estar en los extremos y las “M” y “T” deben estar juntas

(b) MATTAHAMATHAM “A” M y H (c) NETEHENETTHEN “E” N y H (d) NETTEHENNETHEN “E” N y T Considerar todas las formas posibles

(16)

4 x 240 2! 3! x 3!.3! 6! _ 4 x 420 2! 3! x 4!.3! 7! _ 3M – 5A – 3T – 2 H = 13 letras 3N – 5E – 3T – 2H = 13 letras A 3M – 2H 3T A A A A E 3N – 2H 3T E E E E 5

P

2,3 4! / 3! 5

P

3,2 4

P

3,1 4 4 4 x 160 3! 4! x 3!.2! 5! _ A---AAA T = 3 R= 2 A = 4 N = 2 S = 2 AA---AA AAA---A A A A 3T-2R A 12 3 4 5 6 p(no juntas) = 1 - 2 2 2 3 3 13 1 2 3 6 22 4 3 , , , , . , , . . x . . x

P

4

P

2,2 3

16

MATTAHAMATHAM NETEHENETTHEN

T R A N S T R A S A N T A

¿Cuál es la probabilidad deque las aes “A” estén en los extremos y las enes “N” y la eses “S” no estén juntas

2N –2S -- -- -- ---

C O C A C O L A C O L O C O L O ¿Cuál es la probabilidad de que:

A) Las letras “C” no deben estar juntas y una letra “o” en un extremo B) Las letras “O” y “C” no deben estar juntas

(17)

1 2 2 3

8.

P

, , , 8.

P

3,2,2,1

8 letras : C=2 O=4 A=2 L=1

OOOLL L L -- -- -- -- -- --1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 extremos p = 1 - 2 2 4 8 3 2 6 2 , , . ! !. ! x

P

= 5 / 7 p = 1 - 8 422 4 2 6 2 3 , , . ! !. ! x ! !

P

= 25 / 28 A B C D E F G H I J En los 8 restantes:

TOTAL = JUNTOS + NO JUNTOS A 2 3 4 5 6 7 B 8! = 2! 7! + NO JUNTOS Juntos: 2! 7! NO JUNTOS = 8! – 2! 7! Extremos: 2 = 8 x 7! – 2 x 7! = 6 x 7! x 2 extremos p = 60 1 10 7 6 2  ! ! x . . x . Suma 6 : (1,1,4), (1,4,1), (4,1,1), 2,3,1), (2,1,3),(1,2,3),(3,2,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,2,2)

17

C C O C C O O O O

En un estante hay espacio para 10 libros

¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos se coloquen en los extremos y otros 2 no deben estar juntos?

I J

Se lanzan 3 dados normales. Si la suma es 6 ¿Cuál es la probabilidad de sacar por lo menos: a) un “AS” b) un “DOS”

(18)

9 ventanillas

a) 15

P

9 . 10

P

6

Pasajeros restantes pasajeros asientos que quedan

ventanillas

b) 9

P

5. 14

P

10 pasajeros restantes

Ventanillas enfermos asientos quedan

9 letras : R = 2 O = 4 C = 2 S = 1 RR... R....R ...RR 9 letras : C=3 O=4 R=1 S=1 R OOOOS OOOOS -- -- -- -- -- RR R 2 3 5 2 extremos p = 1 - 1 1 4 3 9 5 2 2 , , , . x x

P

= 125 / 126 p = 1 - 9 4221 5 1 2 , , , . x x

P

= 251 / 252 SR CCC RRS CC -- -- -- -- -- -- -- --2! 3 3 3 extremos 3 extremos

18 Un microbús tiene 19 asientos ( 3 filas de 4 asientos con un pasillo al medio, al final 5 asientos juntos y 2 al lado del chofer). En un paradero hay 15 pasajeros De cuántas maneras se pueden ubicar si:

a) Ocupar asientos que poseen ventanilla

b) 5 pasajeros están enfermos y deben viajar en asientos que poseen ventanilla Chofer 6 5 1 2 3 4 7 8 9 10 14 13 12 11 15 16 17 18 19 C C C O OOO C O C O C O R O C O S R O C O R O C O S ¿Cuál es la probabilidad de que:

A) Las letras “C” deben estar en los extremos y la “R” no debe estar junto a ella (Esto es, a la “C”)

B) Las letras “O” deben estar en los extremos y la “R” y “S” no deben estar juntos

C

(19)

10 letras : M=3 A=4 N=2 D=1 a) 10

P

3,4,2,1 = 12 600 b) M M M D N N c) En ese orden NND 5 4 3 2 1 a) b) 7 7 6 = 294 7 6 1 = 42 Total: 150 c) 4 7 6 = 168 6 6 3 = 108 S= 7 x 7 x 6 x 5 = 1470 a) Cero: 7 x 6 x 5 x 1 = 210 b) ₅o : 7 x 6 x 5 x 1 = 210 Par: 6 x 6 x 5 x 2 = 360 Cinco : 6 x 6 x 5 x 1 = 180 DEFINICIÓN:

El número total de combinaciones de “n” elementos tomados de “ 1

en 1 “ , “2 em 2”, ... “n en n”

a)

C = 2

n

– 1

19 b)….las 4 “A” consecutivas

c)…las 4 “A” y las 3 “M” son consecutivas

A A A A p = 600 12 2 3 7 , ! !. ! A A A A M M M p = 600 12 2 5 , ! !

Se tiene los siguientes dígitos: 0 , 1, 2, 3, 4, 7, 8 , 9 a.-) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar? b.-) ¿Cuántos son pares?

c.-) ¿Cuántos son menores que 500?

Se tiene los siguientes dígitos: 0 , 1, 2, 3, 4, 7, 8 , 9 a) ¿Cuántos son pares? b) ¿Cuántos son ₅o?

(20)

b) C =

































_

n

...

nnn

321

Método 1: Según lo anterior, hay 26_{= 64 subconjuntos del conjunto de 6}

estudiantes. Sin embargo, el conjunto vacío debe ser excluido puesto que se escogen uno o más estudiantes. En consecuencia hay

26 – 1

=

64 – 1 = 63 maneras de escoger los estudiantes

Método 2: Puesto que se escogen o uno, o dos, etc., o seis estudiantes; entonces, el número de maneras de escoger es

20 ¿De cuántas maneras puede un profesor escoger uno o más

(21)

(22)



















































6

5

6

4

6

3

6

2

6

1

6

6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1

= 63

(23)





8 







5

3 .x



5 

x



3 



4 

x



4 

I

II

2 A B C D E F G H I J K









4 6 210 10 6 1 5 1 11     ! !... ! ! x .! .!

23 La caja I tiene 8 fichas blancas y 7 fichas rojas. La caja II tiene 8 fichas rojas y 7 blancas. Se sacan 2 fichas de la caja II en forma sucesiva y sin reposición, colocándolas en la caja I y se verifica que son de diferentes colores. Se seleccionan 2 fichas de la caja I. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color?

8B 7R 8R 7B 9B 8R P =











































2

17

2

8

0

9

0

8

2

9 ...

Encuentre el número de maneras en que 11 personas pueden ser separados en dos grupos de 5 y 6 , si una persona determinada ha de quedar en el menor de los grupos

Se lanzan 5 bolas en 4 cajas numeradas, de modo que cada bola tenga que caer en cualquiera de las cajas. ¿De cuántas maneras puede suceder que en la primera caigan dos bolas y una en la tercera?

(24)









2 







1

22

Dos últimas bolas, en las

2 cajas restantes

Escoger 2 bolas de 5 de las 3 restantes, escoger una de 3

p= p (ambos saquen cero cara) + p (ambos saquen una cara) +. . . + p (ambos saquen “n” caras)

p (ambos cero cara) = p (cero cara 1er. jugador). p (cero cara 2do. jugador)

   

21

0

21

0 /..

n

..x./..

n

_n

















p (ambos una cara) = p (una cara 1er. jugador). p (una cara 2do. jugador)

24 Dos personas tiran una moneda “n” veces cada uno. Indicar la probabilidad de que obtengan igual cantidad de caras

(25)

   

21

1

21

1 

..x./..





/..



p (ambos “n” cara) = p (“n” cara 1er. jugador). p (“n” cara 2do. jugador)

 

1 2 ..

 

1/2 n n .. x . / .. n n _n _n        

→

p =













2

1 2n

























n

i

n

0

2

a) A ∩ _B_ = A – (A∩ B)

p (A∩ _B_ ) = p (A) – p (A∩ B) = 0.30 – 0.16 = 0.14 b) p ( _

A B_ ) = 1 - p (A∩ B) = 1 – 0.16 = 0.84

c) p (_A_ ∩B) = p (B) - p (A∩ B) = 0.78 – 0.16 = 0.62

25 Dado p(A) = 0.30 p (B) = 0.78 p (A∩ B) = 0.16

(26)

p (A) = 0.70 p (B) = 0.50 p(C) = p (_A_ ) + p (_B_ ) – p (_A_______B ) p (A∩ _B_ ) = 0.70 x 0.50 = 0.35 p (_A_ ∩B) = 0.30 x 0.0.50 = 0.15 p (A ∩ B ∩ _C_ ) = 0.70 x 0.50 x 0.40 = 0.14 p = 0.35 + 0. 15 + 0.14 = 0.64 Utilizando POISSON: 1 – p (x=0) > 0.80 → 1 – e-0. 01 n > 0.80 → 0.20 > e-0. 01 n ln 0.20 > -0.01 n ln e → n <  001 20 0 . . ... ln n < 161 Utilizando BINOMIAL 1 - q2 > 0.80 → 1 - (0.99)n > 0.80 → 0.20 > (0.99)n log 0.20 > n lg 0.90 → n < 161

26 probabilidad de ser contratado por A es 0.70 y la de serlo por B es 0.50, en tanto que la probabilidad de que se rechace una de sus solicitudes por lo menos es 0.60. Calcular la probabilidad de ser empleado por una de las compañías por lo menos

Un artillero dispara en un blanco. Se sabe que la probabilidad de acertar es 0.01. ¿Cuántos disparos tendrá que hacer para tener una probabilidad mayor que 0.80 de dar en el blanco por lo menos una vez?

Si p (A) = x p (B) =

y p (A ∩ B) =

z

Expresar cada uno de las siguientes probabilidades en términos de x, y y

z

a) p ( A’ B’) b) p (A’ ∩ B) c) p (A’  B) d) p (A’ ∩ B’)

p (A) = x

p (A ∩ B) = z p (B) = y a) p ( A’ B’) = 1- p (A ∩ B) = 1-

z

b) p (A’ ∩ B) = p (B) - p (A ∩ B) = y -

z

c) p (A’  B) = p (A) - p (A ∩ B) = x -

z

d) p (A’ ∩ B’) = 1 – p (A_{B) =} 1 – p (A) – p (B) + p (A ∩ B) = 1- x - y -

z

Se lanza un dado cargado. La probabilidad de que ocurra un número determinado es inversamente proporcional al mismo. Calcular la probabilidad de la ocurrencia: a) Número Impar b) Número menor que 5

(27)

p =

16

3

4

12

12 x

x

).x

x

(









=

16

12

3

4

3 ..









Ocho parejas → 16 personas → escoger → S =









4

16

a) Ninguna Pareja

27 Una urna contiene 16 fichas de las cuales 12 son blancas y 4 negras. Se extrae una muestra de tamaño 4 con reemplazo. Hallar la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 3 fichas blancas.

Ocho parejas de casados se encuentran en una reunión. Si se escogen 4 personas al azar. Hallar la probabilidad de que haya exactamente :

a) Ninguna b) Una c) Dos parejas de casados entre las 4 personas

Escoger 4 parejas diferentes.

(28)

p =













































4

16

1

2

4

8 x

= 1820 1120 b) Una Pareja

(29)

p =

1820

672

4

16

1

2

1 



































..x

c) Dos Parejas

(30)

p =

1820

28

4

16

2

8 





















Tres luces como mínimo: 3,4, 5

b) Cuatro luces encendidas Hay









4

5

formas B B B B ---1 B B B R ---4 B B R R ---6

30 Entre edificios se transmiten señales de luces. En uno de ellos se disponen de 5 luces blancas y 5 luces rojas, colocados en los vértices de un pentágono. En cada vértice no puede haber encendida más que una luz (blanca o roja) y el número mínimo de luces encendidas es 3

Hallar el número de señales distintas que se pueden formar

BR BR BR BR BR a) 3 luces encendidas Hay









3

5

formas de presentarse y pueden c) Cinco luces encendidas

Hay









5

formas B B B B B ---1 B B B B R --- 5

(31)

Nº. de maneras = 8





3

+ 16



4 

+ 32



5 

= 192

Sea X el número de defectuosos

31 Se embarcan motores eléctricos en lotes de 50. Antes de que el cargamento sea aceptado, un inspector elige 5 motores y los inspecciona; y si ninguno de los motores probados es defectuoso el lote es aceptado. Si se encuentra uno o más defectuosos se inspecciona todo el cargamento.

Si hay 3 defectuosos en el lote. Hallar la probabilidad de hacer una inspección completa

(32)

p (1 ó más) = 1 - p (x =0) = 1 -

























5

50

5

47

0

3 .

Hallamos el complemento de la probabilidad “p” pedida:

32 De un bolillero con bolillas numeradas del 1 al 100, se extraen “n” bolillas con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos haya algún número repetido?

(33)

Sea B: {6ta. ficha sea Blanca}

Al extraer 5 fichas éstas pueden ser:















































B

R

A

B

R

A

B

R

A

B

R·

A

B

R

A

5

4

1

3

2

3

1

4

5

4

3

2

1

Sacando 5 fichas quedan:

33 76 Separata

Una urna contiene 4 fichas blancas y 8 rojas. Se extraen 5 fichas sin ver su color y se coloca en otra parte. Luego se extrae de la urna una ficha más. Calcular la probabilidad de que ésta última ficha sea blanca.

(34)

792

280

5

12

1

4

8

1 































x

)A(p

4R – 1B →

792

336

5

12

2

4

3

8

2 































x

)A(p

3R – 2B →

34 5R 2B _{p (B / A}₂_{) = 2/7}

(35)

792

112

5

12

3

2

3 























)A(p

2R – 3B →

792

8

5

12

4

1

8

4 































x

)A(p

1R – 4B →

35 7R 0B p (B / A4 ) = 0/7

(36)

792

56

5

12

0

4

5

8

5 































x

)A(p

5R – 0B → p (B) = p(_A )..p(B/ _A ) i i i 5 1 = 3 1 7 4 792 56 0 792 8 7 1 792 112 7 2 792 336 7 3 792 280      ( / ) ( / ) ( ) ( / ) ) / (

TRES verdes no consecutivas

 A A A A A A A 1 2 3 4 5 6 7 8 p = 1 - 3 10 8

P

= 15 0 93 14 . 

SIETE rojas no consecutiva

B B B 1 2 3 4 p = 1 - 3 7 10 8 ,

P

= 30 0 96 29 . 

36 En una urna que contiene 7 fichas rojas y 3 fichas verdes se revolotean y se van sacando las fichas una por una

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fichas verdes no salgan unas a continuación de otra?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las 7 fichas rojas no salgan unas a continuación de otra?

A A A

(37)

18 = 9 x 2 → termina en 2, 4, 6 y 8 16 25 34 43 52 61 79 88 97 2 → 9 14 23 32 41 59 68 77 86 95 4 → 9 12 21 39 48 57 66 75 84 93 6 → 9 19 28 37 46 55 64 73 82 91 8 → 9 36

V: varón M = menor de 45 años M1: entre 30 y 45 años M2: menor de 30 años Se pide: p (V ∩ M / S ) = ) . . ( x . ) M M ( p ).. V ( p ) S ( p ) M ( p ).. S ( p ).. V ( p 25 0 65 0 60 0 2 1    = 0.54 Sacar 3 p(Q) = p(0Q, 3B) + p (1Q, 2B) + p (2Q, 1B) + p (3Q, 0B)

37 p = 81 4 9 9 9 36 _ x x

Los registros de una compañía muestra que:

40 % de los trabajadores son mujeres, 25 % son solteros, 50% son casados y 15 % son viudos. El 65 5 menores de 30 años, 25 % entre 30 y 45 años y 10 % mayores de 45 años

Calcular la probabilidad de que un trabajador sea varón menor de 45 años , con la condición de ser soltero

Una caja contiene 4 bombillas quemadas y 6 buenas. Se sacan 3 a la vez y se colocan sobre una mesa.

a) ¿Cuál es la probabilidad que sobre la mesa haya habido a lo sumo una bombilla buena, dado que al probar una de ellas ( de entre las 3) se encuentra que será quemada

b) Si de la mesa se separan 2 bombillas a la vez (de las 3 existentes). ¿Cuál es la probabilidad que la bombilla que queda sobre la mesa resulte buena?

4 Q 6 B Posibilidades_B ₃ ₂ ₁ ₀

Q 0 1 2 3

(38)

p(Q) = 0 x

























3

10

3

6

0

4 x

+ 3 1 x

























3

10

2

6

1

4 x

+ 3 2 x

























3

10

1

6

2

4 x

+ 3 3 x

























3

10

0

6

3

4 x

p(Q) = 120 0 + 120 20 + 120 24 + 120 4 = 120 48 p (1 ó 2 Q / Q ) = 12048 120 4 120 24 _ = 12 7 48 28 _ b) sacar 3



































120

20

0

3

120

60

1

2

120

36

2

1

120

4

3

0 /

p

Q

B

/

p

Q

B

/

p

Q

B

/

p

Q

B

Sacar 2: p = ( 120 4 x 0) +( 120 36 x 1/3) +( 120 60 x 2/3) +( 120 20 x 1) = 5 3 15 9 _

A: 1ro. Sea mayor que 4 (i, j), j ≤4 i = 1, 2, 3, 4, 5,6 p = 24/ 36 B: 2do. Menor que 5 (i, j), j =1,2,3,4,5,6, i = 5, 6 p = 12 / 36

p(A ∩ B) = p(A). p(B) = 9 2 36 24 36 12  x

38 4Q 3B

Se arrojan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener, que el primero sea mayor que 4 y el segundo menor que 5?

(39)

S: {

D

A

, _ DA

D

B

, _ DA _ DB

D

A

, _ DA _ DB _ DA

D

B

, _ DA _ DB _ DA



D

B

D

A

,...} p(

D

A

) = 0.10 p ( _ DA ) = 0.90 p(

D

B

) = 0.15 p ( _ DB ) = 0.85 p(x=1) = 0.10 p(x=3) = 0.90 x 0.85 x 0.10 p(x=5) = (0.90)2x (0.85)2 x 0.10 p(x) =



0 .

90 

x



0 .

85 

x2

.(

0 .

10 )

1 2 1   X = 1, 3, 5, 7,... p(x=2) = 0.90 x 0.15 p(x=4) = (0.90)2x (0.85)1 (0.15) p(x=6)= (0.90)3x (0.85)2 (0.15) p(x) =



0 .

90  

2x

.

0 .

85 

x21

.(

0 .

15 )

X = 2, 4, 6, 8,...

Puede resolverse si John lo soluciona ( y Fred no lo hace , si Fred lo soluciona ( y John no lo hace), o si ambos lo solucionan

P(S) = p (J ∩ F’) + p (J’ ∩ F) + p (J ∩ F)

= (0.40). (0.30) + (0.60). (0.70) + (0.40). (0.70) =0.82

Harry puede vender a cualquiera de los 3 clientes. p(Una venta) = S ∩ S’ ∩ S’ = (0.30) (0.70) (0.70) = 0.147 S’ ∩ S ∩ S’ = (0.70) (0.30) (0.70) = 0.147 S’ ∩ S’ ∩ S = (0.70) (0.70) (0.30) = 0.147 = 0.441

39 La probabilidad de que John solucione un problema de Estadística en particular es de 40%. Hay un 70% de probabilidad de que Fred lo soluciones. ¿Cuál es la probabilidad de que sea resuelto? Asuma que Fred y John trabajan separadamente y los resultados son por tanto independientes.

Harry vende al 30 % de los clientes a quienes llama. Si él hace 3 llamadas hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que haga exactamente una venta?.

(40)

p(21) =p( S ∩ S’ ∩ S’) = (0.30) (0.70) (0.70)









1

3

= 0.441 a) p (2N) = (0.60)2 (0.20) + (0.70)2 (0.50) +(0.80)2 (0.30) =

40 La urna I tiene 5 fichas blancas, 4 negras y 6 rojas. La urna II, 3 fichas blancas, 4 negras y 5 rojas. Se tira un dado. Si sale 1 ó 2, se sacan 2 fichas de la urna II. ¿Cuál es la probabilidad de que sea:

a) De igual color? b) De diferentes colores?

I II 5/15 B N 6/15 R 4/15 3/12 B N 5/12 R 4/12 2/6 4/6 IGUALES p (BB) = (2/6 x 5/15 x 4/14) + (4/6 x 3/12 x 2/11) = 0.062 p (NN) = (2/6 x 4/15 x 3/14) + (4/6 x 4/12 x 3/11) = 0.080 p (RR) = (2/6 x 6/15 x 5/14) + (4/6 x 5/12 x 4/11) = 0.149 0.291 DIFERENTES p (NB) =2 (2/6 x 4/15 x 5/14) + (4/6 x 4/12 x 3/11) = 0.185 p (NR) =2 (2/6 x 4/15 x 6/14) + (4/6 x 4/12 x 5/11) = 0.278 p (BR) = 2 (2/6 x 5/15 x 6/14) + (4/6 x 3/12 x 5/11) = 0.247 0.710

El gerente General de una cadena de supermercados estima que la proporción de sus establecimientos que alcanzarán la meta de una venta anual de equivalente al millón de soles en la forma siguiente:

Proporción de establecimiento X Probabilidad p(x)

0.60 0.20

0.70 0.50

0.80 0.30

Se selecciona al azar dos de los negocios:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan alcanzado la meta considerada?

b) Dado que ambos alcanzaron la meta. ¿Cuál es la probabilidad de que el 80% de los negocios haya vendido un millón de soles?

(41)

Urna I

2 fichas

41 La caja I tiene 8 fichas Rojas y 7 fichas blancas. La caja II , tiene 7 fichas rojas y 8 fichas blancas. Se sacan 2 fichas de la caja I en forma sucesiva y sin

reposición, colocándolos en la caja número II y luego se verifica que son de: a) Diferentes colores b) Igual color

Se seleccionan 2 fichas de la caja II. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color?

8R 7B 7R 8B Urna II DIFERENTES COLORES 1R 1B Urna II P =

136

64

2

17

2

9

0

8

0

9

2

8 









































xx

8R 9B 9R 8B BLANCAS 7R 10B

En una dependencia pública el 20% de hombres y 10% de las mujeres están aptos para jubilarse. El 70% de los empleados son hombres. Si se presentan dos solicitudes de jubilación y cumplen con los requisitos. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las solicitudes sea de un hombre y la otra de mujer?

0.70 H 0.20 A 0.80 _ A 0.10 A 0.90 _ A 0.30 M p (2 cumplen requisitos): (0.70 x 0.20) (0.70 x 0.20) + H H (0.30 x 0.10) (0.30 x 0.10) + M M (0.70 x 0.20) (0.30 x 0.10) = 0.0247 H M

(42)

Moya 1.4

42 Una urna contiene cierto número de bolas blancas y una negra. La urna II contiene 2 bolas blancas y 2 negras, y la urna III contiene 3 bolas blancas. Se escoge una urna al azar y de ella se extrae una bola, que resulta ser blanca. Si la probabilidad de que dicha bola provenga de la urna III es 4/9. Determinar:

¿Cuántas bolas blancas hay en la urna I?

1/3 I x1 x 1 1  x B N B N B 1/3 II 1/2 1/2 1/3 III 1 p (B) = 6 6 3 5 1 2 1 1 3 1       x x ) x x ( x p (III

/

B) = ₉4 6 6 3 5 3 1    x x Donde x = 3

La probabilidad de que una construcción sea terminada a tiempo es 17

/

20; la probabilidad de que no haya huelga es 3

/

4 y la probabilidad de que la construcción sea terminada a tiempo, dado que no hubo huelga es 14

/

15. Hallar:

La probabilidad de que haya habido huelga, dado que la construcción no se terminó a tiempo 1

/

4 H 3

/

4 H’ X T 1-X T’ 14/15 T 1/15 T’ p (T) =         15 14 4 3 4 1 20 17 _x x = 3

/

5 p ( H

/

T’) = 20 17 1 5 2 4 1  x

1.- ¿Cuántos números se pueden formar con los dígitos {1,2,3,4,5}. Suponiendo que no pueden repetirse estos?

1---5 4---5x4x3x2

2---5x4 5---5x4x3x2x1 325 3---5x4x3

2.- ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos {0, 1, 2, 3, 4} si no pueden repetirse estos?

4 x 4 x 3 = 58

(43)

43

ella? (Se sobre entiende que salen uno por uno) 25!

5.- En un salón de clases se quiere sentar a 6 jóvenes y 6 chicas en una sola fila, de manera que las chicas ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras se puede hacer? M M M M M

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ = 5! 6!

6.- (a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 0,1,2,3,4 y 5, si cada dígito se utiliza una sola vez?

(b) ¿Cuántos de ellos son impares?

(c) ¿Cuántos de ellos son mayores que 330?

a) 5 5 4 = 100 b) 4 4 3 = 8 c) 2 5 4 = 40

1 2 4 = 8………Total = 48

7.- Hay 2 obras de 3 volúmenes cada una y otras dos de dos volúmenes cada una. ¿De cuántas maneras pueden colocarse los 10 libros en un estante, si deben quedar de tal manera que no se separen los volúmenes de la misma obra?

( 3! 3! 2! 2! ) 4!

8.- ¿Cuántas palabras distinguibles se pueden hacer con las letras de la palabra MISSISSIPPI?

11

P

4, 4, 2,1

9.- ¿Cuántos números diferentes de 12 cifras pueden formarse si se dispone de los dígitos: 2,2,2,2,4,4,45,5,5,5,5 ? 12

P

5, 4, 3 (2 2 2 2) (4 4 4) (5 5 5 5 5) 4 3 5 potencias? a) b) c)

24

1

4

1

3

1

2 

























xx

11.- ¿Cuántas cantidades diferentes de dinero pueden formarse con las monedas siguientes: 1 de 50 centavos, 1 de un sol, 1 de 5 soles, 1 de 10 soles, 1 de 50 soles y 1 de 100 soles? C = 26 – 1 = 63

63

6

5

6

4

6

3

6

2

6

1

6 

















































12.- ¿Cuántos equipos de fútbol pueden formarse con 12 hombres que puedan ocupar cualquier posición delantera y 10 hombres que puedan ocupar cualquiera de las demás posiciones?

















6

10

5

12 x

13.- En cada caso determine el valor de n si:

a)

_C

_n2



_C

_n8 b)

_C

11_n



_C

_n7 c)

_C

₁₈n



_C

₁₈n2 a)

10

82 

















n

nn

b)

10

82 

















n

nn

c)

10182

2 1818























n...nn

nn

14.- Si

C

(18,4) –

C

(18, n+2) = 0, determine el valor de

C

_n5





















2

18

4

18 n

4+n+2 =18 n =12 = 792

15.- ¿De cuántas formas diferentes pueden arreglarse tres focos rojos, cuatro amarillos y tres azules en una serie navideña que contiene diez porta focos?

(44)

44

idioma extranjero, uno de ciencias naturales, uno de ciencia sociales y uno de español. Si hay 4 posibilidades para escoger el idioma extranjero, seis para el curso de ciencias naturales, tres para el curso de ciencias sociales y dos para el curso de español. ¿De cuántas maneras puede llenar su programa ele estudiante?

4 x 6 x 3 x 2 = 144

17.- En una biblioteca hay 8 libros de geometría, 14 de álgebra, 10 de física y 5 de química. ¿De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar cuatro libros, de manera que sea uno de cada curso mencionado

8G 14A 10F 5Q = 5600

18.-Un club tiene 25 miembros, 10 hombres y 5 mujeres. ¿Cuántos comités de 8 miembros se pueden formar:

a) Si cada uno de ellos deben contener por lo menos 3 mujeres?

b) Si en cada uno de ellos debe estar el presidente y la secretaria del club?

a)



















































5

3

10

4

5

4

10

3

5

10 xxx

b)

19.-En 10 tubos de prueba se cultivan tres tipos de bacterias, tres tubos contienen bacterias del primer tipo, cuatro contienen bacterias del segundo tipo y tres bacterias del tercer tipo. ¿De cuántas maneras distintas pueden ponerse en un porta tubos, teniendo en cuenta solamente el orden del tipo de bacterias?

10

P

3, 3,4

20.- Un caballero entra a una tienda que tiene en exhibición 12 corbatas diferentes, a saber: 5 de tipo italiano, 4 de tipo inglés y 3 de tipo nacional. ¿Cuántas compras diferentes puede hacer, si desea llevar como mínimo una corbata del tipo italiano y una del tipo inglés?

(45)





















x

44 1x

x

1

5 













































3

2

3

1

3

0

3

=600

(46)





















x

44 1x

x

2

5 













































3

2

3

1

3

0

3

=1200

(47)





















x

44 1x

x

3

5 













































3

2

3

1

3

0

3

=1200

(48)





















x

44 1x

x

4

5 













































3

2

3

1

3

0

3

=600

(49)





















x

44 1x

x

5

5 













































3

2

3

1

3

0

3

=1200 Total 3720

5 Italianos – 4 Ingleses – 3 Nacionales = 12 corbatas S = 212_{– 1 = 4095}

Sea A: Por lo menos (Un italiano y un inglés)

A’: Se venda nacional pero ningún italiano ni inglés o ningún italiano o ningún inglés o sólo uno de ellos