Ejercicios Resueltos de La de Conservación de La Masa

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(1)

Ejercicios de Conservaci´

Ejercicios de Conservaci´on de la Masa

on de la Masa

Diego Carvajal

Diego Carvajal

03 de Marzo del 2016

03 de Marzo del 2016

1. 1.

Un tanque cuyo volumen es 0

Un tanque cuyo volumen es 0..0505 mm33

contiene aire a la presi´

contiene aire a la presi´on de 800on de 800 KPKP aa  (absoluta) y 15  (absoluta) y 15oo

C  C .. En el instante

En el instante tt = 0,  = 0, el aire el aire se se escaescapa pa del tanque del tanque a a travtrav´´es de es de una v´una v´alvula cuya ´alvula cuya ´area de la secci´area de la secci´onon transversal es 65

transversal es 65 mmmm22

. . La La velvelocidad del ocidad del aire a aire a travtrav´´es de es de la la v´v´alvula es 311alvula es 311 m/sm/s y su densidad es y su densidad es 66..1313 Kg/m Kg/m33

. . Las propieLas propiedades en el resto del tanque pueden suponerdades en el resto del tanque pueden suponerse uniformse uniformes. es. DeterDeterminar elminar el cambio instant´

cambio instant´aneo de la densidad en el tanque para el instanteaneo de la densidad en el tanque para el instante  t t  =  = 0.0. Soluci´ 

Soluci´ on:on:  Sabemos que la Sabemos que la ecuaci´  ecuaci´ on de conservaci´ on de conservaci´ on de la masa on de la masa  eses ∂  ∂  ∂t ∂t

 

 

V   V   ρdV  ρdV  ++

 

 

∂V   ∂V   ρ ρvv

··

dAdA =     = 00 As

As´´ı ı que que encontremos expresiones encontremos expresiones explexpl´´ıcitas ıcitas de de estas estas integrales. integrales. Por hipotesis Por hipotesis las las propiedades enpropiedades en todo el tanque son uniformes, entonces si observamos la densidad, esta no depende del volumen, todo el tanque son uniformes, entonces si observamos la densidad, esta no depende del volumen, pero si del tiempo

pero si del tiempo

∂  ∂  ∂t ∂t

 

 

V   V   ρdV  ρdV  == ∂ ∂  ∂t ∂t((ρρ

 

 

V   V   dV  dV  ) ) = = ∂ ∂  ∂t ∂t((ρV ρV  ) ) = = V  V dρdρ dt dt

El volumen no depende del tiempo, ya que este tanque es mi volumen de control (que es fijo para El volumen no depende del tiempo, ya que este tanque es mi volumen de control (que es fijo para todo

todo t t). En cuanto a la integral de flujo). En cuanto a la integral de flujo

 

 

∂V   ∂V  

ρ

ρaireairevv

··

dAdA =   = ρ ρaireaire

 

 

∂V   ∂V  



   vv

 

 

  nn

 

 

 cosθdA cosθdA

El vector normal es unitario y con respecto al vector velocidad, estos son paralelos, ademas la El vector normal es unitario y con respecto al vector velocidad, estos son paralelos, ademas la densidad del aire en la secci´

densidad del aire en la secci´on de escape tiene un valor fijo al igual que la norma de la velocidad,on de escape tiene un valor fijo al igual que la norma de la velocidad, entonces entonces ρ ρaireaire

 

 

  vv

 

 

 

 

∂V   ∂V   dA

dA = = ρ ρaireaire

 

 

  vv

 

 

 A A

Entonces remplazando en la ecuaci´

Entonces remplazando en la ecuaci´on de conservaci´on de conservaci´onon V 

V dρdρ dt

dt ==

 −

 −

ρρaireairevAvA =

=

 −

 −

ρρaireaire

 

 

  vv

 

 

 A A V  V  Remplazando obtenemos que

Remplazando obtenemos que

dρ dρ dt dt ==

 −

 −

22,, 4848Km/mKm/m 3 3 Es el cambio instant´

(2)

2. Considere el flujo estacionario de agua a trav´es del dispositivo mostrado en la figura. Las

´areas son A1 = 0.2 pie 2

, A2 = 0.5 pie 2

y A3 = A4 = 0.4 pie 2

. El flujo de masa que sale a trav´es de la secci´on 3 est´a dado como 3.88 slug/s. El gasto volum´etrico que entra a trav´es de la secci´on 4 est´a dado como 1 pie3

/s y la velocidad del fluido en la secci´on 1 es 10 pies/s. Si se supone que las propiedades son uniformes en cada una de las secciones por donde entra y sale flujo, determinar la velocidad promedio del fluido en a secci´on 2. ρagua = 1.94slug/pie3

Soluci´ on:  Nuevamente ocuparemos la  ecuaci´ on de conservaci´ on de la masa  0 = ∂  ∂t

 

V   ρdV  +

 

∂V   ρv

·

 dA

Adem´as estamos en presencia de un fluido estacionario, es decir, un fluido que no cambia sus propiedades al transcurso del tiempo

∂  ∂t

 

V   ρdV  = 0 Esto implica

 

∂V   ρv

·

dA = 0 

Ahora al igual que el ejercicio anterior, nuestra integral en cada una de las cuatro superficies de las respectivas cuatro secciones, queda como

 

∂V  i ρ vi

·

dA i =  ρ

 

v i

 

 Ai Entonces

 

∂V   ρv

·

dA = 

 

∂V  1 ρ  v1

 ·

dA 1 +

 

∂V  2 ρ  v2

 ·

dA 2 +

 

∂V  3 ρ  v3

 ·

dA 3 +

 

∂V  4 ρ  v4

·

dA 4 = 4

i=1 ρ

 

 vi

 

 Ai

Por otro lado, como estamos en presencia de un fluido incomprensible, su densidad a lo largo de mi sistema se mantendra constante, por lo cual

±

v1A1

±

 v2A2

±

 v3A3

±

 v4A4 = 0

Que no es m´as que la suma de los caudales, en este caso sabemos que el caudal Q4 =

 −

1f t3/s,

que el caudal de la secci´on 3 es de salida, lo cual esto se divide en dos casos, ya que en la secci´on 1 puede ser de entrada o salida, entonces remplazando los valores tendremos dos soluciones

v2 = 2ft/s

Si la secci´on 1 es de salida y

v2 =

 −

6ft/s

(3)

3. El aire en contacto directo con una frontera s´olida estacionaria tiene velocidad cero, es decir,

no existe deslizamiento en la frontera. De este modo, el flujo sobre la placa plana se adhiere a la superficie y forma una capa l´ımite, como se ilustra en la figura. Si el flujo antes de llegar a la placa es uniforme y su velocidad es  v  =  v0 = 30 m/s. Suponiendo que la distribuci´on de velocidades en

la secci´on C D puede aproximarse a una l´ınea recta (vC = v0, vD = 0), siendo el espesor de la capa

l´ımite en esa secci´on de 5 mm  y el ancho de la placa de 0, 6 mm, calcule el gasto m´asico a trav´es de la superficie B C  del volumen de control  ABCD. ρaire = 1, 24 Kg/m3.

Soluci´ on:  A igual que en los ejercicios anteriores, estamos en presencia de un flujo incompresible y estacionaria, entonces

 

∂V  

ρv

·

dA = 0 

De esta integral de flujo en las superficies, podemos descomponerla en tres partes (por las tres superficies en las cuales hay fujo)

 

∂V   ρv

·

dA = ρv  BC ABC 

 −

 ρvABABC  +

 

CD ρvCD

 ·

dA CD

Luego podemos remplazar la primera expresi´on de la derecha por su respectivo gasto m´asico

 

∂V   ρv

·

dA =  dmBC  dt

 ρvABABC  +

 

CD ρvCD

 ·

dA CD

Y como esto es igual a cero por las hip´otesis del flujo de las que hablamos m´as arriba dmBC  dt

 dmAB dt +

 

CD ρvCD

 ·

dA CD = 0

En la integral, tenemos una velocidad  vCD que se aproxima a una l´ınea recta, as´ı que ocupando la

ecuacion de la recta, llegamos a la expresi´on vCD =

v0

 0

CD

 0y

Donde y var´ıa de D hasta C , en cuando a la diferencial de area  dACD = 0, 6

·

10−3dy. Remplazando,

integrando y evaluando de D a C  obtenemos

 

CD

ρvCD

 ·

dA CD = 5, 58

·

 10−5Kg/s

Por otro lado, remplazando en la otra expresi´on de nuestra ecuaci´on obtenemos ρvABABC = 1, 116

·

 10−

4

Kg/s Entonces ahora podemos obtener nuestro valor para el gasto m´asico

dmBC 

dt = 1, 116

·

 10

−4Kg/s

 5, 58

·

 10−5Kg/s

(4)

4.  Halle la expresi´on que caracteriza el tiempo de vaciado del dep´osito troncoc´onico de la

figura. S d = Superficie del agujero de salida

Soluci´ on:   Por la ecuaci´ on de conservaci´ on de la masa   tenemos que ∂  ∂t

 

V   ρdV  +

 

∂V   ρv

·

dA = 0 

Adem´as si nos fijamos bien y tomaramos el tanque como un cilindro de radio r2  su volumen

diferencial ser´ıa

dV  = πr2dh

y esta radio se puede expresar como la suma

r2 = r1 + x

Ese x lo podemos obtener del ´angulo θ, ya que

tanθ = x h Donde h  var´ıa de  H  a 0, entonces

dV  = π(r1 + htanθ)dh

Pero como estamos en un tanque con un volumen fijo, entonces tanθ = r2

 r1 H  Remplazando dV  = π(r1 + h r2

 −

 r1 H  )dh

Volviendo a la ecuaci´on de continuidad, la masa que entra es de densidad constante y el gasto m´asico de salida tiene una expresi´on mas f´acil como la que veremos a continuacion, ya que estamos hablando de una superficie S d fija al igual que la velocidad de salida, entonces

ρdV  dt +  dm dt = ρ dV  dt + ρvS d = 0 Entonces dV  dt =

 −

vS d

Remplazando el diferencial de volumen en esta ultima igualdad obtenemos π(r1 + h

r2

 r1

H  ) dh

dt =

 −

vS d

La velocidad v para el vaciado de un tanque de estas caracter´ısticas, gracias al Teorema de Torricelli visto en cursos anteriores, sabemos que es v  =

√ 

2gh, as´ı que remplazando

(5)

Resolvemos esta EDO por separaci´on de variables para as´ı poder obtener el tiempo que nos piden π(r1 + hr2−r1 H  )dh

√ 

2ghS  d =

 −

dt

Despues de integrar y resolver la integral del lado derecho, nos queda que el tiempo de vaciado del dep´osito es t =

√ 

S d

√ 

g

{

r2 1H  + r1

√ 

H  3 (r2

 −

 r1) +

√ 

5 (r2

 −

 r1) 2

}

5. El reactor se llena con agua limpia antes de que se inicie. Despu´es del arranque, se a˜nade

residuos que contienen un 100 mg/l de un contaminante a un caudal de 50m/dia. El volumen del reactor es de 500m3

. ¿Cu´al es la concentraci´on que sale del reactor como una funci´on del tiempo despu´es de que se inicia?

Soluci´ on:  Por conservaci´on de la masa, tenemos que la ecuaci´on de balance de masa es dm dt = dmentra dt

dmsale dt

Como la densidad del total var´ıa, pero el volumen total del tanque no, tenemos que V dρ dt = dmentra dt

dmsale dt

Ahora lo que entra tiene una concentraci´on fija a diferencia de la que sale, entonces V  dρ dt = Qρentra

 −

 Qρ Despejando dρ ρentra

 −

 ρ = Q V  Ahora resolviendo por separacio´n de variables, obtenemos que

ρentra

 −

 ρ ρentra = e−V Q t ρ = ρentra(1

 e− Q V  t)

Es la concentraci´on en un instante dado t.

6. Por la pieza en Y de la figura circula agua a 20oC  (ρ = 1000kg/m3). El flujo en peso (entrante)

en la secci´on 1 es de 5300N/s, y la velocidad en la secci´on 3 es de 5m/s. Calcular: a) Velocidad en la secci`on 1.

b) Flujo m´asico saliente en la secci´on 3. c) Velocidad en la secci´on 2.

Soluci´ on: a) Por el enunciado sabemos que el flujo en peso en la secci´on 1 es 5300N/s, es decir, dm1

dt =  5300

(6)

Y por la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa, el gaste m´asico en esta secci´on no es m´as que dm1

dt = ρv1A1 Remplazando obtenemos que la velocidad en la secci´on 1 es

v1 = 3, 4m/s

b) Nuevamente ocupando la ecuaci´on de conservaci´on en la secci´on 3 dm3

dt = ρv3A3

Aqu´ı la velocidad es 5m/s, seg´un la figura el radio es r3 = 0.1m, entonces el ´area es A3 = π(0.1)2m2,

por lo tanto el flujo m´asico saliente de la secci´on 3 es dm3

dt = 157kg/s

c)  Como conocemos los valores de los flujos m´asicos de las otras secciones, podemos ocupar la ecuaci´on de conservaci´on dm1 dt = dm2 dt + dm3 dt Despejando dm2 dt  tendremos dm1 dt

dm3 dt = dm2 dt ρv1A1

 −

 157kg/s = dm2 dt y remplazando los datos obtenemos

dm2

dt = 383, 8kg/s Y como

dm2

dt = ρv2A2

El ´area de esta secci´on es A2 = π(0.15)2m2 As´ı que remplazando obtenemos que la velocidad en

la secci´on 2 es

Figure

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