INTRODUCCI ´
ON A LA TEOR´IA DE
ESPACIOS M´
ETRICOS
M.C. Ma. Guadalupe Raggi C´
ardenas
Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna
Dr. Francisco Javier Mendoza Torres
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA Enrique Agüera Ibáñez Rector. José Ramón Eguíbar Cuenca Secretario General. Pedro Hugo Hernández Tejeda Vicerrector de Investigación y Estudios de Posgrado. Lilia Cedillo Ramírez Vicerrectora de Extensión y Difusión de la Cultura. Cupatitzio Ramírez Romero Director de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Carlos Contreras Cruz Director Editorial. Primera edición 2010 ISBN: 978‐607‐487‐139‐5 ©Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Dirección de Fomento Editorial 2 Norte 1404, CP 72000 Puebla Pue. Teléfono fax 01 222 2468559 Impreso en México Printed in México Agradecimientos Los autores agradecen el apoyo financiero del PIFCA 2009 (Proyecto Institucional de Fortalecimiento para los Cuerpos Académicos) obtenido a través del Cuerpo Académico de Modelación Matemática y Ecuaciones Diferenciables.
´Indice General
Pr´ologo. 1
1. Teor´ıa de Conjuntos. 3
1.1. Introducci´on . . . 3
1.2. Preliminares. . . 3
1.3. Operaciones con Conjuntos. . . 5
1.4. Familias de Conjuntos . . . 7 1.5. Relaciones . . . 9 1.6. Funciones . . . 10 1.7. El Producto Cartesiano . . . 12 1.8. Axioma de Elecci´on. . . 13 1.9. Cardinalidad de Conjuntos. . . 13 2. Espacios M´etricos. 15 2.1. Definiciones y Ejemplos. . . 15
2.2. Construcci´on de M´etricas a Partir de M´etricas Dadas. . . 18
2.3. Conceptos Topol´ogicos en Espacios M´etricos. . . 20
2.4. Conjuntos Acotados en Espacios M´etricos. . . 31
2.5. Conjuntos Totalmente Acotados en Espacios M´etricos. . . 35
2.6. Ejercicios. . . 37
3. Sucesiones en Espacios M´etricos. 49 3.1. Convergencia de una Sucesi´on. . . 50
3.2. Subsucesiones. . . 55
3.3. Sucesiones de Cauchy. . . 57
3.4. Ejercicios. . . 59
4. Funciones Continuas en Espacios M´etricos. 63 4.1. Funciones Continuas. . . 63
4.2. Continuidad Uniforme. . . 71 i
4.3. M´etricas Equivalentes, Semejantes,
Uniformemente Equivalentes e Isometr´ıas. . . 74
4.4. Ejercicios . . . 80
5. Espacios M´etricos Completos. 87 5.1. Espacios M´etricos Completos. . . 87
5.2. Completaci´on de un Espacio M´etrico. . . 92
5.3. Ejercicios . . . 93
6. Conjuntos Compactos. 97 6.1. Conjuntos Secuencialmente Compactos. . . 98
6.2. Conjuntos que tienen la Propiedad de Bolzano-Weierstrass (BW). . . 100
6.3. Conjuntos Compactos. . . 101
6.4. Caracterizaciones de la Compacidad en Espacios M´etricos. . . 106
6.5. Relaci´on entre la Compacidad y la Completitud. . . 107
6.6. Funciones Continuas en Conjuntos Compactos. . . 108
6.7. Ejercicios . . . 109 7. Aplicaciones Contractivas. 113 7.1. Contracciones. . . 113 7.2. Aplicaciones. . . 118 7.3. Ejercicios. . . 124 8. Conexidad. 127 8.1. Conjuntos Conexos . . . 127
8.2. Continuidad en Conjuntos Conexos. . . 131
8.3. Componentes Conexas. . . 132
8.4. Arco–conexidad. . . 133
8.5. Ejercicios . . . 134
Pr´
ologo.
Este libro fue elaborado para el curso de An´alisis Matem´atico en Espacios M´etricos, el cual est´a ubicado en el sexto semestre del mapa curricular de la carrera Lic. en Matem´aticas. Los autores hemos impartido esta materia en diversos cuatrimestres (semestres). Versiones preliminares de este libro han apoyado a los estudiantes de dicho curso, en su formaci´on profesional.
M.C. Ma. Guadalupe Raggi C´ardenas. Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna. Dr. Fco. Javier Mendoza Torres.
Cap´ıtulo 1
Teor´ıa de Conjuntos.
1.1.
Introducci´
on
En este cap´ıtulo, daremos una introducci´on breve a la teor´ıa de conjuntos, revisa-remos la notaci´on, los conceptos y resultados b´asicos que necesitarevisa-remos a lo largo del libro. Nuestro enfoque ser´a intuitivo y no axiom´atico, a pesar de saber que este enfoque nos puede conducir a paradojas, sin embargo, para nuestros prop´ositos es suficiente. La mayor´ıa de los resultados aqu´ı incluidos se demuestran en los cursos b´asicos de las licenciaturas en ciencias, es por esto que no daremos las demostraciones en este texto.
La teor´ıa de conjuntos es, por si misma, un ´area muy importante de las matem´aticas, que tiene su propio desarrollo, pero tambi´en juega un papel relevante en la organizaci´on, unificaci´on y comprensi´on de la mayor parte de las matem´aticas.
1.2.
Preliminares.
Para nosotros, un conjunto es una colecci´on (familia) de objetos a los que llamaremos elementos del conjunto. Para denotar un conjunto, usualmente se utilizan letras may´ uscu-las: A, B, C, . . . , X, Y, etc. y a veces se usan letras may´usculas con sub´ındices. Para los elementos, usaremos letras min´usculas a, b, c, . . . , x, y, etc. y tambi´en letras min´usculas con sub´ındices.
Dado un elemento x y un conjunto A, si x es elemento de A , lo denotaremos como x∈ A, tambi´en se suele decir que x pertenece a A, x es miembro de A, x est´a en A; en el caso de que x no sea elemento de A, lo denotaremos como x /∈ A, tambi´en se suele decir que x no pertenece a A, x no es miembro de A, x no est´a en A.
La regla fundamental es: dado un conjunto A y un elemento x, ocurre una y s´olo una de las siguientes afirmaciones: x∈ A ´o x /∈ A.
Existen dos formas b´asicas de expresar un conjunto, una, enlistando entre llaves todos sus elementos, en este caso decimos que el conjunto est´a definido por extensi´on.
Obviamente esta manera de definir conjuntos es muy limitada. Otra manera de definirlo es a trav´es de una “propiedad” el conjunto se forma con todos los elementos que cumplan dicha propiedad, en este caso decimos que el conjunto est´a definido por comprensi´on. Definici´on 1.1. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X es subconjunto de Y , si
para cada x, si x∈ X, entonces x ∈ Y.
Cuando X es subconjunto de Y lo denotamos como X ⊂ Y ´o Y ⊃ X. Cuando X no es subconjunto de Y lo denotamos como X 6⊂ Y .
Definici´on 1.2. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X = Y, si y s´olo si, X ⊂ Y y Y ⊂ X.
Si X ⊂ Y , pero X 6= Y , decimos que X es un subconjunto propio de Y . Se denota como X ( Y .
Usualmente, cuando trabajamos en determinado contexto, consideramos a los con-juntos como subconcon-juntos de un conjunto U, al que llamamos conjunto universal. Por ejemplo, el conjunto de n´umeros naturales N es un subconjunto del conjunto de los n´umeros reales R, en este caso, U = R.
Propiedades de la contenci´
on y la igualdad.
Teorema 1.1. Sean X, Y y Z conjuntos. Entonces 1. X ⊂ X. Ley reflexiva.
2. X ⊂ Y y Y ⊂ X, implica que X = Y . Ley antisim´etrica. 3. X ⊂ Y y Y ⊂ Z, implica que X ⊂ Z. Ley transitiva. Teorema 1.2. Sean X, Y y Z conjuntos. Entonces
1. X = X. Ley reflexiva.
2. X = Y implica que Y = X. Ley sim´etrica.
3. X = Y y Y = Z implica que X = Z. Ley transitiva.
Al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado X se le llama el conjunto potencia de X y se le denota comoP(X).
1.3. OPERACIONES CON CONJUNTOS. 5
1.3.
Operaciones con Conjuntos.
Definici´on 1.3. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos
La uni´on de X y Y , denotada por X∪Y , como X ∪Y = {x ∈ U | x ∈ X ´o x ∈ Y }. La intersecci´on de X y Y , denotada por X ∩ Y , como X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈ X y x ∈ Y }.
Teorema 1.3. Sean X, Y y Z tres conjuntos. Entonces 1. X∪ ∅ = X y X ∩ ∅ = ∅. (leyes de identidad). 2. X∪ X = X y X ∩ X = X. (leyes de idempotencia). 3. X∪ Y = Y ∪ X y X ∩ Y = Y ∩ X. (leyes conmutativas). 4. X∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z y X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z. (leyes asociativas). 5. X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) y X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). (leyes distributivas).
El siguiente teorema nos da una relaci´on entre las operaciones de uni´on, intersecci´on de conjuntos y la relaci´on de contenci´on.
Teorema 1.4. Sean X y Y dos conjuntos. Son equivalentes 1. X ⊂ Y .
2. X∪ Y = Y . 3. X∩ Y = X.
Definici´on 1.4. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos
La diferencia de X y Y , denotada por X−Y , como X −Y = {x | x ∈ X y x /∈ Y }. En particular, si Y ⊂ X, el complemento de Y con respecto a X, denotado por ∁XY , como ∁XY = X − Y .
Obs´ervese que la operaci´on de complementaci´on est´a definida ´unicamente cuando un conjunto es subconjunto de otro, sin embargo en la operaci´on diferencia no existe, necesariamente, una relaci´on entre los dos conjuntos. Se suele denotar a ∁XY como YC
cuando no hay confusi´on de qui´en es X. La relaci´on entre ambas operaciones est´a dada por el siguiente teorema
Teorema 1.5. Sea Z un conjunto. X y Y subconjuntos de U Entonces X− Y = X ∩ YC.
Algunas de las propiedades b´asicas del complemento son: Teorema 1.6. Sea X y Y subconjuntos de U. Entonces
1. X ∩ XC =∅. 2. X ∪ XC = Z. 3. (XC)C = X. 4. X ⊂ Y , si y s´olo si, YC ⊂ XC. 5. (X∪ Y )C = XC∩ YC. 6. (X∩ Y )C = XC∪ YC.
Las dos ´ultimas propiedades se les suele conocer como las leyes de De Morgan.
Propiedades de la Diferencia.
Teorema 1.7. Sean X, Y y Z conjuntos. 1. X − Y ⊂ X. 2. (X− Y ) ∩ Y = ∅. 3. X − Y = ∅, si y s´olo si, X ⊂ Y . 4. X = (X − Y ) ∪ (X ∩ Y ). 5. X − (X − Y ) = X ∩ Y . 6. (X− Y ) − Z = (X − Z) − Y . 7. X − (Y − Z) = (X − Y ) ∪ (X ∩ Z). 8. (X− Y ) ∪ (Y − X) = (X ∪ Y ) − (X ∩ Y ).
Por su importancia, destacamos las siguientes propiedades conocidas como las leyes de De Morgan.
Teorema 1.8 (Leyes de De Morgan). Sean X, Y y Z conjuntos. (a) Z− (X ∪ Y ) = (Z − X) ∩ (Z − Y ).
1.4. FAMILIAS DE CONJUNTOS 7 (b) Z− (X ∪ Y ) = (Z − X) ∩ (Z − Y ).
Producto Cartesiano de dos Conjuntos.
En la teor´ıa de conjuntos se define, de manera formal, el concepto de pareja ordenada como:
Definici´on 1.5. Sean a y b dos objetos. Definimos la pareja ordenada, denotada por (a, b) por
(a, b) ={{a}, {a, b}}.
A a se le llama el primer elemento (primera coordenada, primera componente) de la pareja ordenada (a, b) y a b se le llama el segundo elemento (segunda coordenada, segunda componente) de la pareja ordenada (a, b).
Teorema 1.9.
(a, b) = (c, d), si y s´olo si , a = c y b = d
En muchos textos, no se define el concepto de pareja ordenada, ´unicamente se ca-racteriza a la pareja ordenada con la igualdad de parejas, como lo afirma el teorema 1.9
Definici´on 1.6. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos el producto cartesiano de X y Y , denotado por X× Y , como
X× Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }. Teorema 1.10. Sean W, X, Y y Z conjuntos. Entonces
1. W × (X ∪ Y ) = (W × X) ∪ (W × Y ). Ley distributiva. 2. W × (X ∩ Y ) = (W × X) ∩ (W × Y ). Ley distributiva. 3. Si W ⊂ X y Y ⊂ Z, entonces W × Y ⊂ X × Z.
4. X× Y = ∅, si y s´olo si, X = ∅ ´o Y = ∅.
1.4.
Familias de Conjuntos
Definici´on 1.7. Sea
a
una familia de conjuntos. Definimos 1. La uni´on, denotada por SA∈
a
A ´o S{A | A ∈
a
} , de esta familia es el conjunto: [A∈
a
2. La intersecci´on, denotada por T
A∈
a
A ´o T{A | A ∈
a
}, de esta familia, es el conjunto \A∈
a
A ={x | para toda A ∈
a
, x∈ A}.Con frecuencia ocurre que a cada elemento de un conjunto A, diferente del vac´ıo, se le asigna un ´unico conjunto Aα, en este caso, la familia de conjuntos que se forma
con estos conjuntos se denota por {Aα | α ∈ A} y se dice que la familia de conjuntos
est´a indexada por el conjunto A.
Si{Aα | α ∈ A}, es una familia indexada de conjuntos, la uni´on y la intersecci´on de
esta familia de conjuntos, las denotaremos porSα∈AAα yTα∈AAα, respectivamente, es
decir [
α∈A
Aα ={x | existe α ∈ A, tal que x ∈ Aα}.
Similarmente \
α∈A
Aα ={x | para cada α ∈ A, x ∈ Aα}.
Frecuentemente, denotaremos Sα∈AAα como SαAα ´o S{Aα | α ∈ A}. De manera
an´aloga, paraTα∈A.
En el caso de que A = N, la familia de conjuntos se denota por {An | n ∈ N} y su
uni´onSn∈NAn ´o S∞n=1An. Para la intersecci´on, tenemos una notaci´on similar.
Cuando A = {1, 2, . . . , n}, la familia se denota por {Ai | i ∈ {1, 2, . . . , n}} y su uni´on
porSni=1Ai. Para la intersecci´on, tenemos una notaci´on similar.
Teorema 1.11. Sean {Aα | α ∈ A} y {Bβ | β ∈ B} dos familias de conjuntos. Entonces
1. S α∈A Aα ∩ S β∈B Bβ =S{(Aα∩ Bβ)| (α, β) ∈ A × B}. 2. T α∈A Aα ∪ T β∈B Bβ =T{(Aα∪ Bβ)| (α, β) ∈ A × B}.
En 1. decimos que la uni´on se distribuye con respecto a la intersecci´on y en 2. decimos que la intersecci´on se distribuye con respecto a la uni´on.
Teorema 1.12 (Leyes de Morgan). Sea X un conjunto no vac´ıo y {Aα | α ∈ A} una
familia de subconjuntos de X. Entonces 1. h S α∈A Aα ic = T α∈A [Aα] c . 2. h T α∈A Aα ic = S α∈A [Aα] c .
1.5. RELACIONES 9
1.5.
Relaciones
Definici´on 1.8. Sean X y Y dos conjuntos. Una relaci´on R de un conjunto X a un conjunto Y , es cualquier subconjunto de X× Y , esto es R ⊂ X × Y . Una relaci´on en un conjunto X es una relaci´on de X a X.
Si la pareja (x, y)∈ R, decimos que x est´a relacionado con y y lo denotamos xRy. Si la pareja (x, y) no pertenece aR, decimos que x no est´a relacionado con y y lo denotamos x/Ry.
SiR es una relaci´on de X en Y . Al conjunto
{x ∈ X | existe y ∈ Y, que cumple (x, y) ∈ R}
se le llama dominio de la relaci´onR y se le denota como DomR o Dom(R).
Al conjunto
{y ∈ Y | existe x ∈ X que cumple (x, y) ∈ R}
se le llama rango o imagen de la relaci´on y se denota como ImgR o Ran R. Definici´on 1.9. Sea R una relaci´on en un conjunto X. Decimos que R es una relaci´on de equivalencia en X si:
(a) Para cada x∈ X, xRx. (Reflexividad). (b) Si xRy, entonces yRx. (Simetr´ıa).
(c) Si xRy y yRz, entonces xRz. (Transitividad).
Generalmente una relaci´on de equivalencia en un conjunto X se denota por los s´ımbo-los∼, ∼=, ≈, ≡.
Definici´on 1.10. Sea X un conjunto no vac´ıo y ∼ una relaci´on de equivalencia en X. Para x ∈ X, definimos la clase de equivalencia de x con respecto a la relaci´on ∼, denotada por [x], como el conjunto
[x] ={y ∈ X | y ∼ x}.
Al conjunto de las clases de equivalencia se le denota como X/∼ y se le llama el conjunto cociente de X con respecto a la relaci´on∼.
Teorema 1.13. Sea∼ una relaci´on de equivalencia en un conjunto no vac´ıo X. Entonces 1. Para cada x∈ X, x ∈ [x], en particular, [x] 6= ∅.
2. S
x∈X
[x] = X.
3. Para x, y ∈ X, [x] ∩ [y] = ∅ o [x] = [y].
Un concepto cercano al concepto de relaci´on de equivalencia es el de partici´on. Definici´on 1.11. Sea X un conjunto no vac´ıo. Una familiaP de subconjuntos no vac´ıos de X se llama una partici´on de X si
para cada A y B elementos de P, A 6= B, se cumple que A ∩ B = ∅, S
A∈P
A = X.
Como consecuencia del teorema 1.13, se tiene que el conjunto cociente X/∼ con respecto a la relaci´on ∼ es una partici´on del conjunto X. Tambi´en se tiene que si P es una partici´on del conjunto X y definimos la relaci´on
x∼ y, si existe A ∈ P tal que x, y ∈ A.
∼ es una relaci´on de equivalencia en X y el conjunto cociente X/∼= P.
1.6.
Funciones
El concepto de funci´on es uno de los conceptos m´as importantes de las matem´aticas, a nivel elemental, una funci´on de un conjunto X a un conjunto Y se define como una regla que asocia a cada elemento de X un ´unico elemento de Y . Si bien esta definici´on es adecuada para muchos prop´ositos y capta la esencia del concepto, ´este se puede definir en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos.
Definici´on 1.12. Sean X y Y dos conjuntos. Una funci´on es una relaci´on f de X en Y que cumple
El dominio de f es X, esto es, Dom(f ) = X. Si (x, y)∈ f y (x, z) ∈ f, entonces y = z.
Obs´ervese que esta defini´on refleja la definici´on dada al inicio, pero tiene la ventaja de evitar el t´ermino regla.
Dependiendo de la naturaleza de los conjuntos X y Y , en las distintas ´areas de las matem´aticas, el t´ermino “funci´on”se sustituye por mapeo, transformaci´on, morfismo, operador, funcional . . .
Al elemento y que le corresponde a x, se le acostumbra denotar por y = f (x) y se le llama el valor de la funci´on en x o la imagen de x bajo f . A x se le llama la preimagen
1.6. FUNCIONES 11 de y bajo f . Usualmente para definir una funci´on se especifica el dominio y el valor de la funci´on en cada punto del dominio.
Si f es una funci´on de X en Y se le denota por f : X → Y , aunque con frecuencia, cuando es claro quien es el dominio y el codominio, ´unicamente se usa el s´ımbolo f .
Como una funci´on es un conjunto, la igualdad de funciones es en t´erminos de la igualdad de conjuntos, de esto, es inmediato que dos funciones f y g son iguales, si Dom(f ) = Dom(g) y f (x) = g(x) para cada x∈ X.
Definici´on 1.13. Sea X y Y conjuntos no vac´ıos, A ⊂ X, B ⊂ Y y f : X → Y una funci´on.
1. La imagen de A en Y bajo f , denotada por f (A) es el subconjunto de Y definido como
f (A) ={y ∈ Y | existe x ∈ A, tal que f(x) = y}.
2. La imagen inversa de B en X bajo f , denotada por f−1(B), es el subconjunto de
X definido como
f−1(B) = {x ∈ X | existe y ∈ B tal que f(x) = y}. Teorema 1.14. Sea f : X → Y una funci´on, entonces:
1. f (∅) = ∅.
2. Si A⊂ B ⊂ X, entonces f(A) ⊂ f(B).
3. Si A⊂ B ⊂ X, entonces f(B) − f(A) ⊂ f(B − A).
Teorema 1.15. Sea f : X → Y una funci´on y {Aα | α ∈ A} una familia de subconjuntos
de X. Entonces
1. f (SαAα) =Sαf (Aα).
2. f (TαAα)⊂Tαf (Aα).
Teorema 1.16. Sea f : X → Y una funci´on.
1. Para cada A ⊂ X, se cumple que A ⊂ f−1[f (A)].
2. Para cada B ⊂ Y , f[f−1(B)]⊂ B.
Definici´on 1.14. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Definimos la composici´on g· f : X → Z como
Teorema 1.17. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Sea A ⊂ Z. Entonces (g· f)−1(A) = f−1(g−1(A)).
Definici´on 1.15. Sea f : X → Y una funci´on. Decimos que:
f es inyectiva (o uno a uno), si para cada x1, x2 ∈ X, si x1 6= x2, entonces
f (x1)6= f(x2). Esto equivale a decir que si f (x1) = f (x2), entonces x1 = x2.
f es sobreyectiva (suprayectiva o sobre), si para toda y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y. Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si f (X) = Y .
f es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.
Teorema 1.18. Sea f : X → Y una funci´on. f es biyectiva, si y s´olo si, existe g : Y → X, tal que
g· f = IX y f · g = IY.
A lo m´as puede existir una funci´on g que cumpla con el teorema 1.18. Si f es biyectiva, a la funci´on g se le llama la inversa de f y se denota por f−1.
1.7.
El Producto Cartesiano
Definici´on 1.16. El producto cartesiano de una familia de conjuntos {Xα | α ∈ A},
denotado por Qα∈AXα, se define como el conjunto
Y α∈A Xα ={f : A → [ α∈A Xα
f(α) ∈ Xα para cada α∈ A}.
A cada Xα se le llama el α-´esimo factor del producto. Usualmente, a un elemento
f ∈Qα∈AXα se le denota por {xα}α∈A, donde xα = f (α), y a xα se le llama la α-´esima
coordenada del elemento {xα}α∈A.
N´otese que si Xα = X, para cada α ∈ A, donde X es un conjunto dado, entonces el
producto cartesiano de la familia{Xα}α∈Aes el conjunto formado por todas las funciones
con dominioA y codominio X, en este caso, se acostumbra usar la notaci´on XA.
Propiedades.
Teorema 1.19. Sea {Bα}α∈A una familia de conjuntos y Aα ⊂ Bα para cada α ∈ A.
Entonces Y α∈A Aα ⊂ Y α∈A Bα.
Teorema 1.20. Sea {Xα}α∈A una familia de conjuntos y Aα, Bα subconjuntos de Xα
para cada α∈ A. Entonces
1. Qα∈AT Qα∈A=Qα∈A(Aα∩ Bα).
1.8. AXIOMA DE ELECCI ´ON. 13
1.8.
Axioma de Elecci´
on.
Si bien es cierto que dijimos que nuestro enfoque de la teor´ıa de conjuntos no es axiom´atica, consideramos conveniente introducir expl´ıcitamente el axioma de elecci´on (de selecci´on).
Este axioma ha sido fuente de fuertes controversias en el estudio de la axiomatizaci´on de la teor´ıa de conjuntos. Sin embargo se usa en la demostraci´on de muchos resultados importantes en diversas ´areas de las matem´aticas, algunos de ellos parecen contradecir la intuici´on.
El axioma de elecci´on fue enunciado expl´ıcitamente por Zermelo a principios del siglo pasado, aunque ya se usaba impl´ıcitamente en algunas demostraciones.
Enunciaremos dos versiones equivalentes del axioma de elecci´on (aunque existen muchas m´as).
El producto cartesiano de una familia no vac´ıa, de conjuntos no vac´ıos, es no vac´ıo. Para cada familia de conjuntos no vac´ıos, ajenos dos a dos, existe un conjunto formado con exactamente un elemento de cada conjunto de la familia.
En este trabajo, ser´a usado en algunas demostraciones, sin mencionarlo, ser´ıa perti-nente que el lector se percatar´a en cuales.
1.9.
Cardinalidad de Conjuntos.
Definici´on 1.17. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X es equipotente a Y , (o que X tiene la misma cardinalidad que Y ), si existe una funci´on biyectiva de X sobre Y .
Denotaremos X es equipotente a Y por card X = card Y .
Es claro que la relaci´on de equipotencia es una relaci´on de equivalencia en la clase de todos los conjuntos.
Decimos que el conjunto X es:
Numerable si es equipotente al conjunto de los n´umeros naturalesN.
Finito si X =∅ o existe n ∈ N tal que X es equipotente al conjunto {1, 2, . . . , n}. Infinito si X no es finito.
A lo m´as numerable si X es un conjunto finito o un conjunto numerable.
Teorema 1.21. Sea X un conjunto no vac´ıo. Son equivalentes: 1. X es numerable.
2. Existe una funci´on sobreyectiva f :N → X. 3. Existe una funci´on inyectiva g : X → N.
Teorema 1.22. Sea X un conjunto numerable y A ⊂ X. Entonces A es a lo m´as numerable.
Teorema 1.23. Sean X y Y numerables. Entonces X× Y es numerable.
Este resultado se puede extender cuando tenemos una familia finita {Xi}ni=1 de
con-juntos numerables, es decir, el producto finito de concon-juntos numerables es numerable. Sin embargo, el producto numerable de conjuntos numerables puede no ser numerable. Teorema 1.24. Sea{Xi}i∈N una familia numerable de conjuntos numerables. Entonces
S
i∈NXi es numerable.
Teorema 1.25. Sea X un conjunto infinito. Entonces existe un subconjunto numerable de X.
Ejemplos de conjuntos numerables.
El conjunto de los n´umeros naturales N. El conjunto de los n´umeros enteros Z. P ={2n | n ∈ Z}.
Im ={2n + 1 | n ∈ Z}.
El conjunto de los n´umeros racionales Q.
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes racionales. El conjunto de los n´umeros algebraicos en R.
El conjunto de todos los subconjuntos finitos de N. Ejemplos de conjuntos no numerables.
El conjunto de los n´umeros reales R.
Cualquier intervalo: [a, b], (a, b], (a,∞), (−∞, a], etc. El conjunto de los n´umeros irracionales I.
Cap´ıtulo 2
Espacios M´
etricos.
2.1.
Definiciones y Ejemplos.
Definici´on 2.1. Sean X un conjunto diferente del vac´ıo y d : X× X → R una funci´on. Diremos que d es una m´etrica o una distancia en X, si para cada x, y, z∈ X, d cumple con las siguientes propiedades:
1. d(x, y)≥ 0.
2. d(x, y) = 0, si y s´olo si, x = y. 3. d(x, y) = d(y, x).
4. d(x, z)≤ d(x, y) + d(y, z). (Desigualdad del Tri´angulo).
A la pareja ordenada (X, d) le llamaremos espacio m´etrico. En general, diremos sim-plemente espacio m´etrico X.
Si la funci´on d cumple con 1, 3, 4 y en lugar de 2 cumple con 2’. d(x, x) = 0, diremos que d es una pseudom´etrica en X.
Es decir, en el caso de que d sea pseudom´etrica, no garantizamos que d(x, y) = 0, implique que x = y.
Ejemplos de m´etricas y pseudom´etricas: 1. Sea X =R, definamos d : R × R → R como
d(x, y) =|x − y|.
En los cursos elementales de matem´aticas, se demuestran las propiedades 1, 2, 3, 4. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica usual en R.
2. Sea X =Rn, definamos d 1 :Rn× Rn→ R, como d1(x, y) = n X i=1 |xi− yi|.
Las propiedades 1, 2, 3, 4 se siguen inmediatamente de las propiedades del valor absoluto. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica del taxista.
3. Sea X =Rn, n∈ N, n ≥ 2, definamos d 2 :Rn× Rn→ R como d2(x, y) = v u u t n X i=1 (xi− yi)2, con x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).
En el curso de c´alculo diferencial en varias variables, se demuestran las propiedades 1, 2, 3, 4. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica euclidiana en Rn.
4. Sea X =Rn, p≥ 1. Definamos d p :Rn× Rn→ R por dp(x, y) = n X i=1 |xi− yi|p !1/p , donde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).
Frecuentemente a Rn con esta m´etrica se le denota por lp(n) La demostraci´on de
que dp es una m´etrica se encuentra en [4].
5. Sea X = {{xn}n∈N
Pn∈N|xn|p <∞}, donde p ∈ R, p ≥ 1 fijo. Como en el caso
inmediato anterior, la demostraci´on de que la funci´on dp : X × X → R, definida
por dp(x, y) = X n∈N |xn− yn|p !1/p
es una m´etrica se encuentra en [4]. Este espacio se denota por lp.
6. Sea X =Rn, d
∞:Rn× Rn → R definida por
d∞(x, y) = m´ax{|x1− y1|, |, . . . |xn− yn|}.
Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas y la desigualdad triangular se sigue de |xi− yi| ≤ d∞(x, y), i = 1, . . . , n.
Esta m´etrica se conoce como la m´etrica uniforme en Rn y a Rn con esta m´etrica
2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS. 17 7. Sea X = {{xn} | {xn} es una sucesi´on acotada de n´umeros reales }. Definamos
d∞: X × X → R como
d∞({xn}, {yn}) = sup{|xj − yj| | j ∈ N}.
Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas, para la desigualdad triangular, se usa |xj − yj| ≤ d∞, para cada j ∈ N.
8. Sea X = c = {{xn} ∈ l∞ | {xn} es convergente }. Si consideramos la funci´on
d∞ definida en el ejemplo anterior, restringida a c× c, entonces, tambi´en es una
m´etrica.
9. Sea X = co ={{xn} ∈ c | l´ımn→∞(xn) = 0} Si consideramos la funci´on d∞definida
en el ejemplo anterior, restringida a co× co, entonces, tambi´en es una m´etrica.
10. Sea X =B(A, R) = {f : A → R f es una funci´on acotada en A}. Definamos d∞ : X × X → R por
d∞(f, g) = sup{|f(x) − g(x)|
x ∈ A}. Observe que d∞(f, g)∈ R ya que, la funci´on f − g es acotada.
Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas, para la desigualdad triangular se usa |f(x) − g(x)| ≤ d∞(f, g), para x∈ A.
Esta m´etrica se conoce como la m´etrica uniforme en B(A, R).
Si A = {1, 2, . . . , n}, B(A, R) se puede “identificar” con l∞(n). En el caso de que
A =N, B(A, R) es el espacio de sucesiones acotadas y se le denota por l∞.
11. Sea X =C[a, b] = {f : [a, b] → R f es continua en [a, b]}. Definamos d∞X× X → R por
d∞(f, g) = sup{|f(x) − g(x)|
x ∈ [a, b]}.
Observe que comoC[a, b] es subconjunto de B([a, b], R) y la funci´on d∞es la misma,
entonces d∞ es una m´etrica.
12. Sea X =C[a, b]. Definamos d1 : X × X → R por
d1(f, g) =
Z b
Recuerde que una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] es Riemann– integrable en [a, b], esto nos dice que d1(f, g)∈ R. Las propiedades 1, 2, 3 y 4 son
consecuencia de las propiedades de la integral de Riemann para funciones continuas. Observaci´on. Si X = {f : [a, b] → R f es Riemann–integrable en [a, b]} y con-sideramos en X× X la misma funci´on d1, entonces d1, en este caso, es una
pseu-dom´etrica, ya que,Rab|f(x) − g(x)| dx = 0, no nos garantiza que f = g.
13. Sea X = C′[a, b] = {f : [a, b] → R f es continuamente diferenciable en [a, b]}.
Definamos las siguientes funciones a) d(f, g) = d∞(f, g).
b) ¯d(f, g) = d∞(f′, g′).
c) d′(f, g) = d
∞(f, g) + d∞(f′, g′).
El primer y tercer caso son m´etricas, el segundo caso es un ejemplo de una pseu-dom´etrica.
14. Sea f :R → R inyectiva. definimos df :R × R → R como
df(x, y) =|f(x) − f(y)|.
Es f´acil demostrar que es una m´etrica enR. En el caso de que la funci´on f no sea in-yectiva, df es una pseudom´etrica, ya que no podemos garantizar que si df(x, y) = 0,
entonces x = y.
15. Sea X cualquier conjunto diferente del vac´ıo. Definamos d : X × X → R por dd(x, y) =
(
1, si x6= y, 0, si x = y.
Es f´acil probar que dd es una m´etrica. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica
discreta en X. Es una m´etrica ´util para contraejemplos, adem´as de decirnos que podemos definir una m´etrica en cualquier conjunto.
2.2.
Construcci´
on de M´
etricas a Partir de M´
etricas
Dadas.
2.2. CONSTRUCCI ´ON DE M ´ETRICAS A PARTIR DE M ´ETRICAS DADAS. 19 a) E ⊂ X. Definamos dE : E× E → R por
dE(x, y) = d(x, y).
Evidentemente dE es una m´etrica, llamada la m´etrica inducida por d. Se dice
que E es un subespacio m´etrico de X, cuando E es considerado con la m´etrica inducida.
b) Definamos ˆd : X× X → R como ˆ
d(x, y) = m´ın{d(x, y), 1}. Es inmediato demostrar que ˆd es una m´etrica en X. c) Definamos ¯d : X× X → R por
¯
d(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y).
Las propiedades 1, 2 y 3 son f´aciles de demostrar. Para la desigualdad trian-gular, se usa el hecho de que la funci´on f (x) = x
1 + x es una funci´on creciente para x > 0.
2. Para cada i = 1, . . . , n, sea di una m´etrica en el conjunto Xi y sea X = Qni=1Xi.
Definamos d : X× X → R por: a) d(x, y) = n X i=1 di(xi, yi), x = (x1, . . . , xn), y = (x1, . . . , yn).
Es inmediato que d es una m´etrica. b)
d∞(x, y) = m´ax{di(xi, yi),| i = 1, n}, x = (x1, . . . , xn), y = (x1, . . . , yn).
Tambi´en es inmediato que es una m´etrica.
3. Para cada i ∈ N, sea di una m´etrica en Xi y sea X = Qi∈NXi. Definamos
d : X× X → R como d(x, y) = ∞ X i=1 di(xi, yi) 2i(1 + d i(xi, yi)) .
2.3.
Conceptos Topol´
ogicos en Espacios M´
etricos.
Muchos conceptos enRnse pueden trasladar de manera inmediata a espacios m´etricos
(X, d).
Definici´on 2.2. Sea xo ∈ X y r > 0.
La bola abierta con centro en xo y radio r, denotada por B(xo, r), es el conjunto
B(xo, r) ={x ∈ X
d(x, xo) < r}.
La bola cerrada con centro en xo y radio r, denotada por B[xo, r], es el conjunto
B[xo, r] ={x ∈ X
d(x, xo)≤ r}.
La esfera con centro en xo y radio r, denotada por S(xo, r), es el conjunto
S(xo, r) ={x ∈ X
d(x, xo) = r}.
Observaci´on. Se pide que el radio r sea un n´umero estrictamente positivo, de esta manera, garantizamos que la bola abierta y la bola cerrada sean conjuntos diferentes del vac´ıo, ya que al menos contienen al centro.
En los espacios usuales, como R, R2, R3, estos conceptos, se corresponden con el
nombre, y es importante mantener esta visi´on geom´etrica, pero debemos ser cuidadosos, ya que, en otros espacios la interpretaci´on geom´etrica no se corresponde con la anterior, como veremos a continuaci´on.
Ejemplos.
1. En R con la m´etrica usual B(xo, r) = (xo − r, xo + r), B[xo, r] = [xo − r, xo+ r],
S(xo, r) ={xo− r, xo+ r}.
2. En el intervalo [0, 1), con la m´etrica inducida de R, la bola abierta con centro en 0 y radio 1/2 es el intervalo [0, 1/2).
3. EnR2, con la m´etrica euclidiana, B(x
o, r) es el interior del c´ırculo centrado en xoy
radio r, B[xo, r] es el c´ırculo, y S(xo, r) es la circuferencia con centro en xo y radio
r. EnR3 la bola abierta es el interior de la esfera, la bola cerrada es el interior de
la esfera con su c´ascara y la esfera es la c´ascara. Ver figura 1.1. 4. En R2 con la m´etrica d
1, se tiene
B((a, b), r) ={(x, y) ∈ R2 |x − a| + |y − b| < r}
es el interior de un cuadrado con centro en (a, b) y rotado π/4 radianes con respecto a los ejes, de manera similar, la bola cerrada es el interior de este cuadrado junto con su frontera y la esfera es la frontera de este cuadrado. Ver figura 1.1.
2.3. CONCEPTOS TOPOL ´OGICOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS. 21 5. En R2 con la m´etrica uniforme d
∞ se tiene
B((a, b), r) ={(x, y) ∈ R2 m´ax{|x − a|, |y − b|} < r}
es el interior de un cuadrado con centro en (a, b) y lados parelelos a los ejes, de manera similar, la bola cerrada es el interior de este cuadrado junto con su frontera y la esfera es la frontera de este cuadrado. Ver figura 1.1.
Las bolas en R2 con las m´etricas d
2, d1 y d∞.
Figura 1.1
Métrica Euclidiana Métrica del taxista Métrica uniforme
6. Sea X 6= ∅ con la m´etrica discreta.
B(x, 1/2) = B[x, 1/2] ={x}, S(x, 1/2) = ∅. B(x, 1) ={x}, B[x, 1] = X, S(x, 1) = X − {x}. B(x, 2) = B[x, 2] = X, S(x, 2) =∅.
7. En C[a, b] con la m´etrica uniforme, d∞ la bola centrada en fo y radio r, es el
conjunto de todas las funciones continuas cuyas gr´aficas est´an contenidas en la banda con centro en fo y radio r. Ver figura 1.2.
Las bolas en C[a, b] con la m´etrica uniforme.
Figura 1.2
Definici´on 2.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico (pseudom´etrico), O ⊂ X. Diremos que O es un conjunto abierto o simplemente abierto, si O cumple la siguiente condici´on
Si para cada x∈ O existe r = rx > 0, tal que B(x, r)⊂ O.
Observaciones.
En realidad, deberemos decir un conjunto d−abierto, ya que, un conjunto puede ser abierto con una m´etrica en X pero no con otra, pero en general como el espacio m´etrico permanece fijo, nos permitiremos decir, simplemente abierto.
Note que si O no es un conjunto abierto, debe existir x ∈ O, tal que, para cada r > 0, B(x, r) no es subconjunto de O, es decir, existe zr ∈ B(x, r) con zr ∈ O./
El nombre de bola abierta no es casual, nos sugiere que ´esta, es un conjunto abierto, como probaremos a continuaci´on.
2.3. CONCEPTOS TOPOL ´OGICOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS. 23 Demostraci´on: Sea y∈ B(x, r). Tomemos r′ = r−d(x, y) > 0, ya que d(x, y) < r.
Ver figura 1.3.
Probemos que B(y, r′)⊂ B(x, r). Sea z ∈ B(y, r′),
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + (r − d(x, y)) = r,
luego, z∈ B(x, r), por lo tanto, B(y, r′)⊂ B(x, r). ▲
r
.
x
r’ • y Figura 1.3Obs´ervese que este resultado se cumple para cualquier espacio m´etrico, independien-temente de cual sea el conjunto y la m´etrica que se defina en ´el.
El teorema siguiente es muy importante en el estudio de espacios m´etricos, ya que, con ´el, concluimos que todo espacio m´etrico es un espacio topol´ogico, y de esta manera, estudiar en un marco m´as general, entre otros, los conceptos de sucesi´on convergente y de funci´on continua.
Teorema 2.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico. (a) ∅, X son conjuntos abiertos.
(b) La intersecci´on finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. (c) La uni´on arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
Para (b). Sean O1, O2, . . . , On, n conjuntos abiertos. Si Tni=1Oi = ∅ es inmediato
de (a). Supongamos que Tni=1Oi 6= ∅, sea x ∈ Ti=1n Oi, entonces, como x ∈ Oi y Oi es
abierto, existen ri > 0, i = 1, n tales que
B(x, ri)⊂ Oi, i = 1, n.
Sea r = m´ın{ri
i = 1, n}, obviamente r > 0. Como r ≤ ri
B(x, r)⊂ B(x, ri)⊂ Oi, i = 1, n,
as´ı que B(x, r)⊂Tni=1Oi.
Para el inciso (c). Sea {Oα
α ∈ I} una familia cualquiera de conjuntos abiertos en X. SiSα∈IOα =∅ es inmediato de (a). Supongamos queSα∈IOα 6= ∅. Sea x ∈Sα∈IOα,
entonces existe αo ∈ I, tal que x ∈ Oαo, como Oαo es abierto, existe r > 0 tal que
B(x, r)⊂ Oαo ⊂
[
α∈I
Oα.
Por lo tanto Sα∈IOα es un conjunto abierto.
▲ En general, la intersecci´on arbitraria de abiertos no es abierta. M´as adelante dare-mos el contraejemplo. Si “copiadare-mos” la dedare-mostraci´on que se hizo para el caso finito, detectaremos un error. Sea x ∈ Tα∈IOα. Como x ∈ Oα y Oα es un conjunto abierto,
existe rα > 0 tal que B(x, rα)⊂ Oα. Tomemos r = ´ınf{rα
α ∈ I}. Como r ≤ rα,
B(x, r)⊂ B(x, rα)⊂ Oα, α ∈ I,
luego, B(x, r)⊂Tα∈IOα, por lo tanto
T
α∈IOαes abierto. ¿D´onde se encuentra el error?
Respuesta: No podemos garantizar que r > 0.
Esto no nos garantiza que sea falso que la intersecci´on arbitraria de abiertos sea un conjunto abierto. Para demostrar la falsedad de esta afirmaci´on, necesitamos dar un contraejemplo. Consideremos R con la m´etrica usual, para cada n ∈ N, se tiene que B(0, 1/n) = (−1/n, 1/n) es un conjunto abierto, pero Tn∈NB(0, 1/n) = {0}. Este
conjunto no es abierto.
A la familia τ formada por todos los conjuntos abiertos, se le llama la topolog´ıa inducida por la m´etrica d.
Ejemplos.
1. En R con la m´etrica usual los siguientes conjuntos son abiertos: (a, b), (a, ∞), (−∞, b). Sin embargo, existen m´etricas en donde un intervalo abierto no es un conjunto abierto, as´ı que debemos ser cuidadosos para no confundir ambos conceptos. Los siguientes conjuntos, con la m´etrica usual, no son abiertos en R [a, b], [a, b), (a, b], (−∞, b], [a, ∞), N, Z, Q.
2.3. CONCEPTOS TOPOL ´OGICOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS. 25 2. Sea X = [0, 1), con la m´etrica inducida de R. El intervalo [0, 1/2) es un conjunto
abierto.
3. EnR2con la m´etrica euclidiana, son abiertos, el interior de un rect´angulo, el interior
de un semiplano, el interior de un c´ırculo, el interior de un tri´angulo, etc. No son abiertos, estas mismas figuras, si inclu´ımos al menos un punto de su frontera, N × N, N × A, con A ⊂ R, A 6= ∅.
4. Sean X 6= ∅ y dd la m´etrica discreta en X. En este caso, cualquier subconjunto A
de X es abierto.
5. Sea X = C[0, 2π] con la m´etrica uniforme y
O ={sen x + k 0 < k < 1}
no es un conjunto abierto. En realidad, para cualquier funci´on f ∈ O, es decir, de la forma f (x) = sen x + ko y r > 0, la funci´on g(x) = sen x + r/2 sen 8x + ko ∈ B(f, r)
y g /∈ O.
Definici´on 2.4. Sean (X, d) un espacio m´etrico y F ⊂ X. Decimos que F es un conjunto cerrado, si FC es un conjunto abierto.
Observaci´on. En un espacio m´etrico, puede ocurrir que un subconjunto de ´el, no sea abierto, ni cerrado. Tambi´en podemos encontrar conjuntos que son abiertos y cerrados al mismo tiempo. Adem´as el hecho de que un conjunto no sea abierto, no significa que el conjunto sea cerrado. De manera an´aloga, si un conjunto no es cerrado, no implica que sea un conjunto abierto.
Probaremos, ahora, resultados similares a los probados para conjuntos abiertos. Teorema 2.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico.
1. B[x, r] es un conjunto cerrado, para cada x ∈ X y r > 0. 2. ∅ y X son conjuntos cerrados.
3. La intersecci´on arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 4. La uni´on finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
Demostraci´on: Para 1. sea y ∈ B[x, r]C. Tomemos s = d(x, y)− r > 0.
Probare-mos que B(y, s) ⊂ B[x, r]C. Sea z ∈ B(y, s), se tiene que d(y, z) < s = d(x, y) − r, de
´esto y de la desigualdad del tri´angulo, obtenemos
r < d(x, y)− d(y, z) ≤ d(x, z).
Hemos demostrado que z ∈ B[x, r]C, por lo tanto, B(y, s) ⊂ B[x, r]C, es decir,
B[x, r]C es un conjunto abierto.
La demostraci´on del 2. es inmediata, ya que ∅C = X y XC =∅.
3. y 4. se demuestran, usando las leyes de Morgan.
▲ Ejemplos.
1. Los conjuntos unitarios en espacios m´etricos son conjuntos cerrados. Es inmediata su demostraci´on. De esto y 4. del teorema inmediato anterior, se infiere que todo conjunto finito en un espacio m´etrico es un conjunto cerrado.
2. En R con la m´etrica usual, los intervalos de la forma [a, b], [a, ∞), (−∞, a] son conjuntos cerrados. Los intervalos de la forma [a, b), (a, b] no son conjuntos, ni abiertos, ni cerrados.N y Z son conjuntos cerrados, pero Q no es un conjunto, ni abierto, ni cerrado.
3. Sea ddla m´etrica discreta en un conjunto X. Ya demostramos que todo subconjunto
de X es abierto, de aqu´ı se infiere que todo subconjunto de X es cerrado, es decir, en este caso, todo subconjunto de X es abierto y cerrado simult´aneamente.
A continuaci´on, presentaremos una serie de conceptos que son generalizaciones de conceptos familiares en Rn.
Definici´on 2.5. Sean (X, d) un espacio m´etrico, A⊂ X y x ∈ X.
1. x es un punto interior de A, si existe un conjunto abierto O = Ox, tal que
x ∈ O ⊂ A. Observe que esta definici´on es equivalente a: x es punto interior de A, si existe r = rx > 0 tal que B(x, r) ⊂ A El interior de A, denotado por
int(A) ´o Ao es el conjunto de los puntos interiores de A.
2. V = Vx es una vecindad de x, si x es un punto interior de V .
3. x es un punto de acumulaci´on de A, si para cada vecindad V = Vx de x se cumple
que (V − {x}) ∩ A 6= ∅. Observe que esta definici´on es equivalente a: x es punto de acumulaci´on de A, si para cada r > 0, B(x, r)− {x} ∩ A 6= ∅ El conjunto de los puntos de acumulaci´on de A se denota por A′. Algunos autores le llaman a este
2.3. CONCEPTOS TOPOL ´OGICOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS. 27 4. x es un punto adherente de A, si para cada vecindad V = Vx de x se tiene que
V ∩ A 6= ∅. Esta definici´on es equivalente a: x es punto adherente de A, si para cada r > 0, B(x, r)∩ A 6= ∅. La cerradura del conjunto A denotada por A, es el conjunto formado por todos los puntos adherentes de A.
5. x es un punto exterior a A si existe una vecindad V = Vx de x, tal que x∈ V ⊂ AC.
El exterior de A, denotado por ext(A) es el conjunto de todos los puntos exteriores de A.
6. x es un punto frontera de A si toda vecindad V = Vx de x cumple que V ∩ A 6= ∅ y
V ∩AC 6= ∅. La frontera de A, es el conjunto formado por todos los puntos frontera
de A y se denota fr(A).
7. x es un punto aislado de A, si existe una vecindad V = Vxde X tal que V∩A = {x}.
Ejemplos.
1. En R con la m´etrica usual:
a) int(Q) = ∅, ext(Q) = ∅, fr(Q) = R, Q′ =R, Q = R.
b) int(N) = ∅, ext(N) = R − N, fr(N) = N, N′ =∅, N = N.
c) int[a, b) = (a, b), ext[a, b) = (−∞, a) ∪ [b, ∞), fr[a, b) = {a, b}, [a, b)′ = [a, b],
[a, b) = [a, b].
2. Sea X = (0, 1] ∪ {2} con la m´etrica usual; sea A = {2}, entonces int(A) = A, ext(A) = (0, 1], fr(A) =∅, A′ =∅, A = A.
3. En cualquier espacio m´etrico un conjunto finito no tiene puntos de acumulaci´on, pero el hecho de que un conjunto no tenga puntos de acumulaci´on, no significa que sea finito, (sea N ⊂ R con la m´etrica usual). Tambi´en observe que si A′ 6= ∅
entonces A debe ser un conjunto infinito.
4. El siguiente ejemplo nos muestra que la cerradura de la bola abierta no es nece-sariamente la bola cerrada (como ocurre en Rn con la m´etrica usual). Considere R
con la m´etrica discreta, tomemos B(x, 1), B(x, 1) = {x} y B[x, 1] = R.
A continuaci´on, presentaremos algunas propiedades de estos conceptos y su relaci´on con los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado.
Teorema 2.4. Sea A⊂ X, entonces
X = int(A)∪ ext(A) ∪ fr(A). Adem´as, estos conjuntos son disjuntos dos a dos.
Le dejamos al lector, demostrar este resultado. Teorema 2.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico.
1. int(A)⊂ A.
2. Para cada A ⊂ X, int(A) es un conjunto abierto.
3. El interior de A es el m´aximo conjunto abierto contenido en A, es decir, int(A) =[{O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}.
4. A es un conjunto abierto, si y s´olo si, int(A) = A. 5. Si A⊂ B, entonces int(A) ⊂ int(B).
6. int(A∩ B) = int(A) ∩ int(B). ¿Ser´a int Tα∈IAα
=Tα∈Iint(Aα)?
7. int(A∪ B) ⊃ int(A) ∪ int(B). la contenci´on puede ser estricta. Demostraci´on: La demostraciones de 1, 2, 4 y 5 son obvias.
Para la demostraci´on de 3, como int(A) es abierto e int(A)⊂ A, tenemos que int(A)⊂[{O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}.
Para la otra contenci´on, sea x ∈ S{O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}, entonces existe un conjunto abierto O tal que x∈ O y O ⊂ A, entonces x ∈ int(A), por lo tanto, S
{O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A} ⊂ int(A). As´ı, hemos demostrado la igualdad.
Para la demostraci´on de 6, int(A)⊂ A e int(B) ⊂ B, por lo tanto int(A)∩ int(B) ⊂ A ∩ B.
Como int(A)∩ int B es un conjunto abierto, que est´a contenido en A ∩ B, por 3, se concluye que
int(A)∩ int(B) ⊂ int(A ∩ B).
Para la otra contenci´on, sea x ∈ int(A ∩ B), entonces existe O abierto tal que x ∈ O ⊂ A ∩ B, de aqu´ı se concluye que x ∈ O ⊂ A y x ∈ O ⊂ B, es decir, x∈ int(A) ∩ int B.
Obs´ervese que este ´ultimo argumento se puede usar para demostrar que el interior de la intersecci´on arbitraria de conjuntos es un subconjunto de la intersecci´on de los interiores de estos conjuntos, pero que el argumento inicial de esta demostraci´on no se puede usar, en general, (ya que la intersecci´on arbitraria de abiertos no necesariamente
2.3. CONCEPTOS TOPOL ´OGICOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS. 29 es abierta). Esto nos da un indicio de que la respuesta a la pregunta del inciso 6 es no. Un contraejemplo es: tome An= (−1/n, 1/n) ⊂ R considerando R con la m´etrica usual.
La demostraci´on de 7 se deja al lector.
▲ Teorema 2.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico.
1. A ⊂ A.
2. Para cada A ⊂ X, A es un conjunto cerrado. 3. Si A⊂ B, entonces A ⊂ B.
4. A es cerrado, si y s´olo si, A = A.
5. A es el m´ınimo conjunto cerrado que contiene a A, es decir, A =\{F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F }. 6. A′ ⊂ A, A = A ∪ A′ y A es cerrado, si y s´olo si, A′ ⊂ A.
7. A = int(A)∪ fr(A).
8. A∩ B ⊂ A ∩ B. La contenci´on puede ser propia. 9. A∪ B = A ∪ B. ¿Ser´a Sα∈IAα =Sα∈IAα?
Demostraci´on: La demostraci´on de 1 y 3 son inmediatas.
Para 2, demostraremos que (A)C es un abierto. Sea x ∈ (A)C, entonces existe r > 0
tal que B(x, r)∩ A = ∅, como B(x, r) es vecindad de cada uno de sus puntos, tenemos que B(x, r)⊂ (A)C.
La demostraci´on de 4 se le deja al lector.
Para 5, como A es un conjunto cerrado que contiene a A se concluye que \
{F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F } ⊂ A.
La otra contenci´on se sigue de 3 y 4, ya que si F es cualquier cerrado, tal que A⊂ F , entonces
A⊂ F = F, as´ı que A⊂T{F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F }.
Para 6, es claro que A′ ⊂ A, adem´as, como A′ ⊂ A y A ⊂ A, entonces A′∪ A ⊂ A.
x∈ A, entonces toda vecindad de x intersecta a A en un punto diferente de x, es decir, x∈ A′. Por lo tanto A⊂ A ∪ A′.
Que A es cerrado, si y s´olo si, A′ ⊂ A es consecuencia de las dos anteriores.
Las demostraciones de 7, 8 y 9 de dejan al lector.
▲ A continuaci´on veremos un criterio para determinar cuando un punto es punto de acumulaci´on de un conjunto.
Teorema 2.7. Sea A un subconjunto del espacio m´etrico X. x∈ A′, si y s´olo si, para
toda vecindad V de x, existe un subconjunto C de A, infinito, con C ⊂ V . Demostraci´on:
⇒] Probaremos la contrarrec´ıproca. Basta demostrar este resultado para bolas abier-tas centradas en x. Supongamos que existe una bola B(x, r) tal que B(x, r) contiene a lo m´as una cantidad finita de puntos de A, digamos A∩ B(x, r) = ∅ ´o {x1, x2, . . . , xn} =
(A∩ B(x, r)), xi 6= x. Es claro que si A ∩ B(x, r) = ∅ entonces, x /∈ A′. En el otro caso,
consideremos ro = m´ın{r, d(xi, x)
i = 1, 2, . . . , n}. Consideremos B(x, ro), entonces
(B(x, ro)− {x}) ∩ A = ∅.
⇐] Sea V vecindad de x. Consideremos V − {x}, como V contiene una cantidad infinita de puntos de A, podemos tomar z ∈ A, z 6= x y z ∈ V , por lo tanto x ∈ A′.
▲ Obs´ervese que de este teorema, se deduce que un conjunto finito no puede tener puntos de acumulaci´on. Sin embargo, existen conjuntos infinitos que tampoco tienen puntos de acumulaci´on, por ejemplo, en R con la m´etrica usual, el conjunto N no tiene puntos de acumulaci´on.
Sean (X, d) un espacio m´etrico y Y ⊂ X. Hemos visto que Y hereda la m´etrica de X y podemos considerar a Y como espacio m´etrico. Adoptaremos la siguiente notaci´on, BY(y, r), BY[y, r], SY(y, r) para la bola abierta, bola cerrada, esfera en Y y les
llamare-mos la bola abierta, la bola cerrada y la esfera con centro en y y radio r relativa en Y . De manera similar diremos abierto, cerrado relativo en Y cuando nos refiramos a abiertos y cerrados en Y . Tambi´en adoptaremos la notaci´on AY para la cerradura de A⊂ Y en Y
y notaciones similares para los dem´as conceptos.
En el siguiente teorema, veremos la relaci´on de estos conceptos en el espacio m´etrico Y con respecto al espacio m´etrico X. La demostraci´on de estas afirmaciones es elemental y la dejaremos como ejercicio al lector.
Teorema 2.8. Sea (X, d) un espacio m´etrico y Y ⊂ X, entonces 1. Sea y ∈ Y , entonces BY(y, r) = Y ∩ B(y, r).
2.4. CONJUNTOS ACOTADOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS. 31 2. Sea A⊂ Y, A es abierto relativo en Y , si y s´olo si, existe O abierto en X tal que
A = Y ∩ O.
3. Sea A ⊂ Y, A es cerrado relativo en Y , si y s´olo si, existe F cerrado en X tal que A = Y ∩ F .
4. AY = Y ∩ A, A′Y = Y ∩ A′, intY(A) ⊃ Y ∩ int(A) y frY(A) = Y ∩ fr(A), donde
A ⊂ Y .
Observaci´on. No necesariamente un abierto, cerrado relativo en Y es abierto, cerrado en X, por ejemplo, en R con la m´etrica usual, consideremos Y = [0, 1), el conjunto [0, 1/2) es un abierto relativo en Y , de hecho, es la bola abierta relativa en Y con centro en 0 y radio 1/2, este conjunto no es abierto en R. Sin embargo tenemos el siguiente resultado, cuya demostraci´on es inmediata.
Teorema 2.9. Sean (X, d) un espacio m´etrico, Y ⊂ X cerrado (abierto) en X y A ⊂ Y . Si A es cerrado (abierto) relativo en Y , entonces A es cerrado (abierto) en X.
2.4.
Conjuntos Acotados en Espacios M´
etricos.
Definici´on 2.6. Sea A un conjunto no vac´ıo en (X, d) espacio m´etrico. Decimos que A es acotado, si existe k∈ R, k > 0 tal que para todo x, y ∈ A, se tiene que
d(x, y)≤ k.
Obs´ervese que decir que un conjunto A no es acotado, equivale a decir que, para todo k > 0 existen xo, yo ∈ A tales que d(xo, yo) > k.
Evidentemente si B ⊂ A, y A es acotado, entonces B tambi´en es acotado. Ejemplos.
1. En cualquier espacio m´etrico X, la bola abierta B(a, r), la bola cerrada B[a, r] y la esfera S(a, r), A son conjuntos acotados. Esta afirmaci´on se demuestra f´acilmente usando la desigualdad tri´angular, esto es, si x, y pertenecen a cualquiera de estos conjuntos, se tiene que
d(x, y)≤ d(x, a) + d(a, y). 2. Consideremos en (R2, d
2), el conjunto
Este conjunto no es acotado. Sea k > 0, elijamos a, b∈ A de la siguiente manera: a = (n, 1/n), b = (1/n, n) con n∈ N. Entonces la distancia entre a y b es
d2((n, 1/n), (1/n, n)) =
p
(n− 1/n)2+ (n− 1/n)2 =√2(n− 1/n)
como n− 1/n > n − 1, si tomamos n ∈ N tal que n > √k
2+ 1 entonces d2(a, b) > √ 2(n− 1) > k. 3. En el mismo (R2, d 2), consideremos el conjunto C ={(x, y) 4(x − 2)2+ (y− 1)2 = 1}. Este conjunto s´ı est´a acotado. La demostraci´on es sencilla.
4. En R con la m´etrica usual, el concepto de conjunto acotado mediante la definici´on dada coincide con el que ya conoc´ıamos, es decir, “A es acotado, si existe k > 0 tal que para todo x∈ A, |x| ≤ k”. Sea A acotado, entonces existe k > 0 tal que d(x, y) =|x−y| ≤ k, fijemos y ∈ A despejemos x y obtenemos que y−k ≤ x ≤ y+k para todo x∈ A, lo cual significa que A est´a acotado inferior y superiormente, o sea, A est´a acotado.
El que un conjunto A sea acotado nos lleva a considerar que el conjunto de n´umeros reales {d(x, y) x, y ∈ A} es un conjunto acotado superiormente, luego tiene sentido considerar el supremo de este conjunto, el cual nos proporciona la siguiente definici´on. Definici´on 2.7. Sea X un espacio m´etrico y sea A un conjunto no vac´ıo y acotado. Llamamos “di´ametro de A” al n´umero
δ(A) = sup{d(x, y) x, y ∈ A}.
Si un conjunto no est´a acotado, decimos que carece de di´ametro, algunos autores dicen que δ(A) =∞. adem´as, si el conjunto {d(x, y) x, y ∈ A} est´a acotado superiormente, entonces A est´a acotado.
Si A es acotado y B ⊂ A, entonces B es acotado y δ(B) ≤ δ(A). Este resultado es evidente.
Un resultado importante y de mucha utilidad, como veremos m´as adelante, es el siguiente.
2.4. CONJUNTOS ACOTADOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS. 33 Teorema 2.10. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un conjunto no vac´ıo. A es acotado, si y s´olo si, est´a contenido en una bola abierta.
Demostraci´on:
⇐] Como toda bola abierta B(x, r), x ∈ X, r > 0 es acotada, y A ⊂ B(x, r), entonces A es acotado.
⇒] Sea δ(A) el di´ametro de A, sea xo ∈ X un punto cualquiera. Construiremos una
bola centrada en x0 que contenga a A. Sea z ∈ A y definamos el radio de la bola as´ı:
r = d(z, xo) + δ(A) + 1.
Veamos que todo elemento x de A pertenece a B(xo, r)
d(x, xo)≤ d(x, z) + d(z, xo)≤ δ(A) + d(z, xo) < δ(A) + d(z, xo) + 1.
Esto es, x∈ B(xo, r).
▲ Ejemplos.
1. Todo conjunto unitario tiene di´ametro cero. Rec´ıprocamente, si δ(A) = 0, entonces, para todo x, y∈ A se tiene que 0 ≤ d(x, y) ≤ 0, o sea x = y, luego A es unitario. 2. Toda bola abierta B(x, r) (cerrada B[x, r]) en un espacio m´etrico tiene di´ametro
≤ 2r. No necesariamente su di´ametro es 2r, por ejemplo, en el espacio m´etrico discreto, B(x, 1) ={x} y su di´ametro es cero.
3. En R con la m´etrica usual, δ((a, b)) = δ([a, b]) = δ({a, b}) = b − a. Obs´ervese que estos conjuntos son diferentes, en el primer caso, no existen elementos del conjunto (a, b) tales que d(x, y) = b− a, a diferencia del segundo conjunto y el tercer conjunto, en donde d(a, b) = b− a.
El ejemplo 3 anterior, se generaliza para un conjunto acotado y su cerradura.
Teorema 2.11. Sea (X, d) espacio m´etrico. Si A⊂ X es un conjunto acotado, entonces δ(A) = δ(A).
Demostraci´on: Como A⊂ A, se tiene que δ(A) ≤ δ(A). Para la otra desigualdad, sea ǫ > 0 y sean x, y ∈ A. Entonces
Tomemos p∈ B(x, ǫ/2) ∩ A y q ∈ B(y, ǫ/2) ∩ A, entonces d(x, y) ≤ d(x, p) + d(p, y)
≤ d(x, p) + d(y, q) + d(p, q) < δ(A) + ǫ.
De esta desigualdad se deduce que A es acotado y que δ(A)≤ δ(A) + ǫ,
como ǫ es arbitrario, se concluye que δ(A)≤ δ(A). Luego, se tiene la igualdad.
▲ Como consecuencia inmediata se tiene el siguiente resultado.
Corolario 2.1. Un conjunto A es acotado, si y s´olo si, A es acotado. Otro concepto que involucra distancias es el siguiente.
Definici´on 2.8. Sean X un espacio m´etrico, A y B subconjuntos no vac´ıos de X. Se define la distancia entre los conjuntos A y B como
d(A, B) = ´ınf{d(a, b) a ∈ A, b ∈ B}. Observaciones.
d(A, B) no es propiamente una distancia, a pesar de su nombre.
d(A, B) = d(B, A) para toda A, B⊂ X, es decir cumple con el axioma de simetr´ıa. Si A∩ B 6= ∅ entonces d(A, B) = 0. El rec´ıproco no se cumple, se puede tener que d(A, B) = 0 y sin embargo, A∩ B = ∅, por ejemplo A = (0, 1), B = (1, 2).
Si el conjunto A est´a formado por un ´unico punto a, la distancia se denomina distancia de un punto a un conjunto:
d(a, B) = ´ınf{d(a, b) b ∈ B}. Ejemplos.
1. Sean X = R con la m´etrica usual y B = Q. Para cualquier a ∈ R, se cumple que d(a,Q) = 0. Tambi´en d(Q, I) = 0, donde I es el conjunto de n´umeros irracionales.
2.5. CONJUNTOS TOTALMENTE ACOTADOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS. 35 2. Sean R con la m´etrica usual y A = (1, 2]. Se comprueba directamente que
d((3/2, A) = ´ınfa∈A|3/2 − a| = 0
d(1, A) = ´ınfa∈A|1 − a| = 0
d(0, A) = ´ınfa∈A|a| = 1.
3. Sean R2 con la m´etrica del taxista y
A ={(x, y) ∈ R2 y = x2} = {(x, x2) x ∈ R} entonces d2((2, 0), A) = ´ınf(x,y)∈Ad2((2, 0), (x, y)) = ´ınfx∈Rd2((2, 0), (x, x2)) = ´ınfx∈R{ p (2− x)2+ x2} = √2´ınfx∈R √ 2− 2x + x2
Si definimos f (x) =√2− 2x + x2, se tiene que
0 = f′(x) = √ x− 1 2− 2x + x2, si y s´olo si, x = 1 luego ´ınfx∈Rf (x) = f (1) = 1. Por lo tanto d2((2, 0), A) = √ 2.
Una desigualdad auxiliar que se usar´a con frecuencia es la siguiente.
Teorema 2.12. Sea X un espacio m´etrico, A⊂ X un subconjunto no vac´ıo y x, y ∈ X. Entonces.
|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y). Dejamos la demostraci´on al lector.
2.5.
Conjuntos Totalmente Acotados en Espacios
M´
etricos.
Otro concepto, que utilizaremos m´as adelante, es el de conjunto totalmente acotado, el cual es m´as fuerte que el de conjunto acotado, como veremos enseguida.
Definici´on 2.9. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Diremos que A ⊂ X es totalmente acotado (algunos autores le llaman precompacto), si para todo ǫ > 0, existe un conjunto finito de puntos x1, x2, . . . , xn∈ A, tales que
A⊂ n [ i=1 B(xi, ǫ). Ejemplos.
1. Si A es finito, evidentemente es totalmente acotado.
2. Si X tiene la m´etrica discreta y A ⊂ X es totalmente acotado, entonces A es finito. 3. En R el intervalo (0, 1) es totalmente acotado: sea ǫ > 0, para dicha ǫ existe n ∈ N
tal que 1/2n < ǫ. Los puntos xi =
2i− 1
2n i = 1, 2, . . . , n,
pertenecen al intervalo (0, 1) y dividen al intervalo en subintervalos de longitud 1/n. Si y ∈ (0, 1), entonces y pertenece a uno de los subintervalos, es decir, existe i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que y ∈ [(i − 1)/n, i/n], de donde d(y, xi) ≤ 1/2n < ǫ. De
aqu´ı conclu´ımos que
(0, 1)⊂
n
[
i=0
B(xi, ǫ).
Teorema 2.13. En un espacio m´etrico (X, d), todo conjunto totalmente acotado es aco-tado.
Demostraci´on: Sea A ⊂ X totalmente acotado y ǫ = 1, entonces existe un conjunto {x1, x2, . . . , xn} ⊂ A, tales que A ⊂Sni=1B(xi, 1). Sea
h = m´ax{d(xi, xj)
i = 1, 2, . . . , n}.
Si x, y ∈ A, por la hip´otesis x ∈ B(xi, 1) para alguna i y y ∈ B(xj, 1) para alguna j.
Luego
d(x, y)≤ d(x, xi) + d(xi, xj) + d(xj, y) < 1 + h + 1 = 2 + h.
Por lo tanto, A es acotado.
2.6. EJERCICIOS. 37 El rec´ıproco no siempre es cierto, un conjunto puede ser acotado y no ser totalmente acotado: sea X un espacio infinito, con la m´etrica discreta, cualquier subconjunto A de X est´a acotado, ya que, δ(A) = 1, pero, si A es infinito, es f´acil demostrar que no es totalmente acotado. Sin embargo, enR, con la m´etrica usual, veremos m´as adelante que todo conjunto acotado es totalmente acotado.
Teorema 2.14. Sea (X, d) espacio m´etrico. Si A ⊂ X es totalmente acotado entonces cualquier subconjunto no vac´ıo de A es totalmente acotado.
Demostraci´on: Sea C ⊂ A, con C 6= ∅. Dado ǫ > 0, existe un conjunto finito x1, x2, . . . , xn de elementos de A, tales que
A⊂
n
[
i=1
B(xi, ǫ/2).
Eliminemos las bolas cuya intersecci´on con C sea vac´ıa, reordenando ´ındices, tenemos que C ⊂ m [ j=i B(xj, ǫ/2), m≤ n.
Consideremos ahora, para cada j = 1, 2, . . . , m, zj ∈ C ∩B(xj, ǫ/2) y la bola B(zj, ǫ).
Veamos que B(xj, ǫ/2)⊂ B(zj, ǫ). Sea y ∈ B(xj, ǫ/2), entonces
d(y, zj)≤ d(y, xj) + d(xj, zj) < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ, luego, y ∈ B(zj, ǫ), de donde C ⊂ m [ j=1 B(zj, ǫ).
Lo que significa que C est´a totalmente acotado.
▲
2.6.
Ejercicios.
1. Sea X 6= ∅,
a) Sea d : X× X → R, una funci´on que cumple las siguientes propiedades: d(x, y) = 0, si y s´olo si, x = y.
d(x, y)≤ d(x, z) + d(y, z), para cada x, y, z ∈ X. Demuestre que d es una m´etrica en X.
b) d : X × X → R una funci´on que cumple las siguientes propiedades: d(x, y) = 0, si y s´olo si, x = y.
d(x, y)≤ d(x, z) + d(z, y), para cada x, y, z ∈ X. ¿Es d una m´etrica en X?
2. Sea g : [0,∞) → R tal que g(0) = 0, con g estrictamente creciente y que satisface g(x + y)≤ g(x) + g(y) para todo x ≥ 0, y ≥ 0. Pruebe que si d es una m´etrica en un conjunto X, entonces d1 = g◦ d es tambi´en una m´etrica en X.
3. De las siguientes funciones, determine cu´ales son m´etricas en R. a) d(x, y) = (x− y)2, x, y ∈ R. b) d(x, y) = |x2− y2|, x, y ∈ R. c) d(x, y) = |x3− y3|, x, y ∈ R. d ) d(x, y) =p|x − y|, x, y ∈ R. e) d4(x, y) = |x − 2y|, x, y ∈ R. f ) d5(x, y) = |x − y| 1 +|x − y|, x, y ∈ R. 4. Sea d :R2× R2 → R definida por
d(x, y) =|x1 − y1|, donde x = (x1, x2), y = (y1, y2)
¿es d una m´etrica enR2? ¿es una pseudom´etrica?
5. Sean d1, d2, . . . , dn m´etricas en un conjunto X. demuestre que
d(x, y) = n X i=1 di(x, y), para x, y ∈ X es una m´etrica en X. 6. Sean (R2, d
2) (d2 m´etrica euclidiana) y A⊂ R2, definido por
a) A = {(x, y) ∈ R2 (x − 2)2+ y2 ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 (x + 2)2 + y2 ≤ 1}.
Determine en (A, d2) los puntos a∈ A que verifican
d2(0, a)≤ 1.
b) A = {(x, y) ∈ R2 y = x2}. Proporcione una forma expl´ıcita de las m´etricas
2.6. EJERCICIOS. 39 7. Encuentre todas las m´etricas en un conjunto X que conste de s´olo dos puntos.
Tambi´en en X, donde X consta de un s´olo punto. 8. Sea {(Xi, di), i∈ N} una sucesi´on de espacios m´etricos.
Sea X =Qi∈NXi ={{xi} xi ∈ Xi, i∈ N}. Definamos d : X × X → R como d(x, y) = ∞ X i=1 di(xi, yi) 2i(1 + d i(xi, yi)) , donde x ={xi} , y = {yi}.
Demuestre que d es una m´etrica.
9. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Definamos d : X × X → R como d(x, y) = m´ın{1, d(x, y)}.
Demuestre que d es una m´etrica.
10. Sean X 6= ∅, (Y, d) espacio m´etrico y φ : X → Y una funci´on inyectiva. Definamos d1 : X × X → R como
d1(x, z) = d(φ(x), φ(z)).
Demuestre que d1 es una m´etrica en X. En el caso de que φ no sea inyectiva,
demuestre que d1 es una pseudom´etrica en X.
11. Sea (X, d) espacio m´etrico. Definamos d : X × X → R como d(x, y) =pd(x, y).
¿Es d una m´etrica en X? Si definimos d como d(x, y) = (d(x, y))2, ¿es d una m´etrica en X?
12. Sean A 6= ∅, A ⊂ R y X = RA = {f : A → R f es funci´on }. Sea x
o ∈ A,
definamos dxo : X × X → R como
dxo(f, g) =|f(xo)− g(xo)|.
¿Es dxo una m´etrica en X? ¿es pseudom´etrica?
13. Sea P(N) el conjunto potencia de N. Para cada A, B ∈ P(N), definamos d :P(N) × P(N) → R como d(A, B) = 0, si A = B, d(A, B) = 1/m, donde m es el n´umero natural m´as peque˜no que est´a en A o en B, pero no en ambos.
a) Demuestre que d es una m´etrica. b) Calcule d(A, B) en los siguientes casos:
A ={2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}, B = {1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . .}. A ={1, 2, 3, 5}, B = {1, 2, 4, 6}.
A ={2, 3, 5}, B = {4, 6, 8}.
c) Sea {Xn}, n ∈ N una sucesi´on creciente de subconjuntos de N. Demuestre
que la sucesi´on {Xn} converge a S∞i=1Xi en esta m´etrica.
14. Sea D ={z ∈ C |z| ≤ 1}. Definamos d : D × D → R por d(z, w) =
(
|z − w|, si arg(z) = arg(w) ´o z = 0 ´o w = 0. |z| + |w|, en los otros casos.
Demuestre que d es una m´etrica en D. 15. Sea X ={{xi} xi ∈ {0, 1}, i ∈ N}. Definamos d : X × X → R como d(x, y) = ∞ X i=1 |xi− yi| 2i .
Demuestre que d es una m´etrica en X. (X, d) es llamado el espacio de Cantor. 16. Sea 0 < α≤ 1. Definamos d : R × R → R como
d(x, y) =|x − y|α. Demuestre que d es una m´etrica.
17. La m´etrica de la Oficina Postal. Sea X = R2 y d la m´etrica euclidiana. Definamos
ˆ d :R2× R2 → R como ˆ d(x, y) = ( d(0, x) + d(0, y), si x6= y, 0, si x = y.
Demuestre que ˆd es una m´etrica en R2 y que {x}, x ∈ R2, x 6= 0, es un conjunto
2.6. EJERCICIOS. 41 18. Definamos d :R2× R2 → R por d(x, y) = 1/2, si (x1 = y1 y x2 6= y2) ´o (x1 6= y1 y x2 = y2), 1, si x1 6= y1 y x2 6= y2, 0, si x = y, donde x = (x1, x2) y y = (y1, y2).
Pruebe que d es una m´etrica en R2.
19. Definamos d :R × R → R por d(x, y) =
(
1 +|x − y|, si uno y s´olo uno de los dos es positivo, |x − y|, en los otros casos.
Pruebe que d es una m´etrica.
20. Sea X = {x1, x2, . . . , xn, . . . }, es decir, X es un conjunto numerable. Demuestre
que d(xi, xj) = 1 + 1 i + j, si i6= j, 0, si i = j.
es una m´etrica. A (X, d) se le conoce como el espacio m´etrico de Sierpinski. 21. Sea X ={f : N → N | f es funci´on }. Definimos
d(f, g) = ∞ X i=1 |g(i) − f(i)| 2i(1 +|g(i) − f(i)|).
Demuestre que d es una m´etrica. A (X, d) se le conoce como el espacio de Baire. 22. El siguiente espacio m´etrico, llamado el espacio nulo de Baire tiene aplicaciones en
la teor´ıa de comunicaciones:
Sea Y ={f : N → N | f es funci´on }. Definimos d(f, g) =
0, si f (i) = g(i) para todo i, 1
i, si i es el primer ´ındice tal que f (i)6= g(i). Demuestre que d es una m´etrica.
