ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

ECUACIONES

ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALESEXACTASEXACTAS

Definición

Definición 1.1. LaLa diferencialdiferencial dede unauna funciónfunción dede unauna oo másmás variablesvariables eses llamadallamada unauna diferencial

diferencial exacta.exacta. Definición

Definición 2.2. SiSi ΜΜ(( ,, )) x  x y y dx dx ++ΝΝ(( ,, ))x x y y dydy == se00se multiplicamultiplica porpor u u x

( (

x yy,,

))

parapara obtenerobtener

( (

))

00

u

u dΜ Μ + dx x + Ν Ν =ddyy = cuyocuyo ladolado izquierdoizquierdo eses unauna diferencialdiferencial exacta,exacta, decimosdecimos queque hemoshemos

hecho

hecho exactaexacta lala ecuaciónecuación diferencial.diferencial. Definición

Definición 3.3. LaLa funciónfunción multiplicadoramultiplicadora pp eses llamadallamada unun factorfactor integranteintegrante dede lala ecuaciónecuación diferencial

diferencial Μ Μ + ddx x + Ν Ν =ddyy =00 En

En elel métodométodo dede separaciónseparación dede variables,variables, hemos,hemos, sinsin darnosdarnos cuenta,cuenta, hechohecho usouso dede laslas ideas

ideas anteriores.anteriores. PorPor ejemplo,ejemplo, enen lala ecuaciónecuación diferencialdiferencial

( (

22

))

2

2 x  x y y dx dx xdy− − xdy ==00 Después

Después multiplicamosmultiplicamos lala ecuaciónecuación porpor elel factorfactor integranteintegrante “apropiado”“apropiado” uu 11  xy  xy = = parapara obtener obtener 22 x  x 11 dxdx dydy 00  x  x yy ⎛ ⎛ _{+ +} ⎞⎞ _{− − ==} ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ Esto

Esto es,es,

( (

22

))

ln

ln 00 d

d x x lln + + n x x − − yy == oo  x  x 22 + + llnn x x − − llnn yy ==00

ECUACIONES

ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALESEXACTASEXACTAS

Si

Si lala ecuaciónecuación diferencialdiferencial ΜΜ(( ,, )) x y  x y dx dx ++ΝΝ(( ,, ))x x y y dydy == es00es exacta,exacta, entoncesentonces porpor definicióndefinición hayhay una

una funciónfunción U U x

_{( (}

x yy,,

₎₎

tal quetalque ΜΜ(( ,, )) x  x y y dx dx ++ΝΝ(( ,, ))x y x y dy dy dU == dU  (1)(1) Ejemplo:

Ejemplo: LaLa ecuaciónecuación 22 22 33 22

0 0  x

 x y y dx dx x + + x y y dydy == eses exacta,exacta, porpor queque

3 3 33 22 33 33 22 1 1 .. 3 3 d d _{⎜ ⎜} ⎛ ⎛ x x y y ⎞⎞_⎟⎟= = x y x y ddx x x ++x y y ddyy ⎝ ⎝ ⎠⎠ Pero,

Pero, deldel cálculocálculo elemental,elemental, ddU U U U ddx x U U ddyy  x  x yy ∂ ∂ ∂∂ = = ++ ∂

∂ ∂∂ (2)(2) yy así,así, alal compararcomparar (1)(1) yy (2),(2), vemosvemos que:

que: U U  ,,  x  x ∂∂ = Μ = Μ ∂∂ U  U   y  y ∂∂ = Ν = Ν ∂∂ (3)(3) Diferenciando

Diferenciando lala primeraprimera dede laslas ecuacionesecuaciones (3)(3) concon respectorespecto aa y,y, yy lala segundasegunda concon respectorespecto

2 2 U  U  ∂ ∂ ∂Μ∂Μ 22 U  U  ∂ ∂ ∂Ν∂Ν

Obsérvese

Obsérvese que,que, enen elel ejemplo, siejemplo, si

₍

_{( )}

₎

22 33

₍

_{( ))}

33 22

, , ,, ,,  M  M x x y y = = x x y y y N y N x x y y == x yyx entoncesentonces 2 2 22  /  / 33 // ..  M  M y y x x y y N N xx ∂

∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂∂ _{indicaindica queque estaesta igualdadigualdad dede derivadaderivada parcialparcial nono eses unauna} casualidad.

casualidad. CRITERIO

CRITERIOPARAPARAUNAUNAECUACIÓNECUACIÓNDIFERENCIALDIFERENCIALEXACTAEXACTA

Sean

Sean continuascontinuas  M  M x

_{( )}

₍

x y , , y y N

_{) (}

y N x

_{( ))}

x yy,, ,, concon derivadasderivadas parcialesparciales continuascontinuas enen unauna regiónregión

rectangular,

rectangular, R,R, definidadefinida porpor a x a < < < x b < < b c ,,c y < <y d  < d  .. Entonces,Entonces, lala condicióncondición necesarianecesaria yy suficiente

suficiente parapara queque M  M x

₍

_{( )}

x y ,,y dx

₎

dx N ++N x

₍

_{( ))}

x y ,,y dydy seasea unauna diferencialdiferencial exactaexacta eses queque  M  M N N 

 y  y xx ∂ ∂ ∂∂ = = ∂ ∂ ∂∂ DEMOSTRACIÓN

DEMOSTRACIÓN DEDE LALA NECESIDADNECESIDAD parapara simplificarsimplificar supongamossupongamos queque M  M x

₍

_{( )}

x y , , y y N

_{) (}

y N x

_{( ))}

x yy,,

tiene

tiene primerasprimeras derivadasderivadas parcialesparciales continuascontinuas enen todatoda

_{( (}

 x  x yy,,

₎₎

.. SiSi lala expresiónexpresión

(

( )

,,

)

(

( ))

,,  M

 M x x y y dx dx N ++N x x y y dydy eses exacta,exacta, existeexiste unauna funciónfunción  f  f  taltal que,que, parapara todotodo XX dede R,R,

(

( )

,,

)

(

( ))

,,  f  f f f  ..  M  M x x y y dx dx N N x x y y dy dy dx dx dydy  x  x yy ∂ ∂ ∂∂ + + = = ++ ∂ ∂ ∂∂ En En consecuencia:consecuencia: M  M x

_{( )}

₍

x y ,,y

₎

 f  f ;;NN

₍

_{( ))}

x x yy,, f f   x  x yy ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ YY 2 2  M  M f f f f f f N N   y  y y y x x y y x x x x y y xx ⎛ ⎛ ⎞⎞ ∂ ∂ ₌₌ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎛ ∂ ⎞⎞ ₌₌ ∂ ∂ ₌₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ₌₌ ∂∂ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _{⎝ ⎝} ∂ _⎠⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _{⎝ ⎝} ∂ _⎠⎠ ∂∂ La

La igualdadigualdad dede laslas derivadasderivadas parcialesparciales mixtasmixtas eses consecuenciaconsecuencia dede lala continuidadcontinuidad dede laslas primeras

primeras derivadasderivadas parcialesparciales dede M x  M

₍

_{( )}

x y , , y y N

_{) (}

y N x

_{( ))}

x yy,, .. MÉTODO

MÉTODODEDESOLUCIÓNSOLUCIÓN

Dada

Dada unauna ecuaciónecuación dede lala formaforma M  M x

₍

_{( )}

x y ,,y dx

₎

dx N + + N x

_{( ))}

₍

x y ,,y dydy ==0,,0 sese determinadetermina sisi eses válidaválida lala

igualdad igualdad  y  y xx ∂∂Μ Μ ∂∂ΝΝ = = ∂

∂ ∂∂ .. EnEn casocaso afirmativo,afirmativo, existeexiste unauna funciónfunción parapara lala cualcual

( (

))

(( ,, )) ,,  f  f x x yy  M  M x x yy  x  x ∂∂ = = ∂∂ Podemos

Podemos determinardeterminar  f  f  sisi integramosintegramos  M x  M

( (

x yy,,

))

concon respectorespecto aa  x x,, manteniendomanteniendo YY constante:

constante:  f  f x

₍

_{( )}

x y ,,y

₎

= =

∫∫

M M x

₍

_{( )}

x y ,,y dx

₎

dx g ++g yy

₍

_{( ))}

((**))

En

(

( ) (

) ( )

,,

)

(

( ))

,, .. g g y y N N x x y y M M x x y y ddxx  y  y ∂∂ ′′ = = −− ∂∂

∫∫

Por

Por último,último, aa eseese resultadoresultado lolo integramosintegramos concon respectorespecto aa Y,Y, parapara obtenerobtener elel valorvalor dedeg g yy

_{( ( ))}

yy sustituimossustituimos elel resultadoresultado enen lala ecuaciónecuación (*)(*) dada.dada. LaLa SoluciónSolución dede lala ecuaciónecuación eses

( (

,,

))

..  f

 f x x y y ==cc

Resumen

Resumendeldelprocedimientoprocedimientoparaparasolucionarsolucionaresteestetipotipodede ecuacionesecuacionesdiferencialesdiferenciales

1.

1. SeSe integraintegra MM(( x  x ,, y y )) concon respectorespecto aa “x”“x” (cuando(cuando sese integraintegra concon respectorespecto aa “x”,“x”, entoncesentonces “y”

“y” eses constante)constante) sese reemplazareemplaza lala constanteconstante dede integraciónintegración porpor unauna funciónfunción dede “y”“y” (g(y)).(g(y)). (( ,, )) (( ,, )) (( ,, )) (( ))

 f

 f x x y y = =

∫∫

M M x x y y dx dx F = = F x x y y ++g g yy 2.

2. SeSe derivaderiva lala funciónfunción F F x (( ,, ))x y y g ++ g yy(( ))concon respectorespecto aa “y”,“y”, sese igualaiguala concon NN (x,(x, y)y) (( ,, )) (( )) (( ,, )) F F x x y y g g yy  N  N x x yy  y  y yy ∂ ∂ ∂∂ + + == ∂ ∂ ∂∂ 3.

3. SeSe integraintegra ambosambos ladoslados deldel resultadoresultado dede lala ecuaciónecuación anterioranterior concon respectorespecto aa “y”,“y”, parapara obtener

obtener elel valorvalor dede gg (y)(y) yy sese sustituyesustituye esteeste resultadoresultado enen elel pasopaso "1"."1". Nota:

Nota: EsEs pertinentepertinente hacerhacer unasunas observaciones.observaciones. LaLa primera,primera, eses importanteimportante darsedarse cuenta,cuenta, que

que lala expresiónexpresión N  N x

_{( )}

_{( ) (}

x y ,,y − ∂ −

₍

∂ ∂∂// y y

₎

_{) ( )}

∫∫

M M x

_{( )}

x y ,,y dxdx eses independienteindependiente dede xx porpor queque

(

(

,,

)

)

(

(

,,

)

)

 N  N

(

(

,,

))

N N M M  00  N  N x x y y M M x x y y dx dx M M x x y y dxdx  x  x y y y y x x x x yy ⎡ ⎡ ⎤⎤ ∂ ∂ ₋₋ ∂∂ ₌₌ ∂∂ ⎛ ⎛ ∂∂ ⎞⎞₌₌ ∂∂ ₋₋ ∂∂ ₌₌ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎢ ⎢ ⎥⎥ ∂ ∂ _{⎣ ⎣} ∂∂

∫ ∫

_⎦⎦ ∂∂ ⎝ ⎝ ∂∂

∫∫

⎠⎠ ∂∂ ∂∂ En

En segundosegundo lugar,lugar, tambiéntambién pudimospudimos iniciariniciar elel procedimientoprocedimiento anterioranterior suponiendosuponiendo queque

( (

))

 /  / ,, ..  f  f y y N N x x y y dydy ∂

∂ ∂ ∂ == despuésdespués dede integrarintegrar NN concon respectorespecto aa yy derivarderivar elel resultado,resultado, concon respecto

respecto aa x,x, llegaríamosllegaríamos aa loslos análogosanálogos queque serían,serían, respectivamente.respectivamente.

(

( )

,,

) (

( )

,,

) (

(

)

)

yy ''

(

(

) (

)

( )

,,

)

( ))

(

,, ..  f  f x x y y N N x x y y dy dy h h x x h x h x M M x x y y N N x x y y dydy  x  x ∂∂ = = ++ == − − ∂∂

∫ ∫

∫∫

EnEn ambos

ambos casos,casos, nono sese debendeben memorizarmemorizar laslas formulas.formulas. Ejemplo

(

( )

)

(

( )

)

(

( ) (

) ( )

)

(

( ) (

) ( )

)

22

(

( ))

,, ,, ,, 22 ,,  f  f x x y y

=

=

∫ ∫

M x M x y y dx dx g

+

+

g y y

⇒

⇒

f x f x y y

=

=

∫∫

xydx xydx g

+

+

g y y

⇒

⇒

f x f x y y

=

=

x x y y g

+

+

g yy Determinamos

Determinamos lala derivadaderivada parcialparcial concon respectorespecto aa y,y, ee igualamosigualamos elel resultadoresultado aa  N  N x

_{( (}

x yy,,

₎₎

(

( )

)

22

(

( ))

( (

,,

))

22

( )

(

)

22

(

( ))

22 ,,  f  f x x yy ´´ ´´ 11  f  f x x y y x x y y g g y y x x g g y y x x g g y y xx  y  y ∂∂ = = + + ⇒ ⇒ = = + + ⇒ ⇒ + + = = −− ∂∂ Por

Por lolo tanto,tanto, g g y ´´

₍

₍

y

₎

₎

= = − ⇒ − 11 ⇒

∫ ∫

g g y ´´

₍

₍

y d

₎

₎

dy y = = − ⇒ −

∫∫

ddy y ⇒ gg

₍

₍

y y

₎₎

= = −−yy..

No

No eses necesarionecesario incluirincluir lala constanteconstante dede integraciónintegración enen esteeste casocaso porpor queque lala soluciónsolución eses

( (

,,

))

..  f

 f x x y y ==cc EnEn lala figurafigura sese ilustranilustran algunasalgunas curvascurvas ddee lala familia familia x  x y 22y y − − =y cc= ..

Nota:

Nota: LaLa soluciónsolución dede lala ecuaciónecuación nono eses

_{( (}

₎₎

22

,, ,,  f  f x x y y = = x x y y yy−− sinosino eses

(

( )

,,

)

(

( ))

,, 00,,  f

 f x x y y = = c o c o f f x x yy == sisi sese usausa unauna constanteconstante enen lala integraciónintegración dede g g yy''

( ( ))

.. obsérveseobsérvese

que

que lala ecuaciónecuación tambiéntambién sese podríapodría haberhaber resueltoresuelto porpor separadoseparado dede variables.variables. Ejemplo

Ejemplo 2.2. ResuelvaResuelva

( (

22

))

2

2 xydx  xydx + + x x + + ccoossy y dydy==00 Solución:

Solución: 22

2

2 xy  xy ;; x x ccooss ,,y y 22xx  y  y xx ∂∂Μ Μ ∂∂ΝΝ Μ Μ = = Ν Ν = = + + = = == ∂

∂ ∂∂ YY lala ecuaciónecuación eses exacta.exacta. Así Así   f  f x

( (

x yy,,

))

existe

existe taltal queque  f  f  22 xy xy,,

 x  x ∂∂ = = ∂∂ 2 2 cos cos  f   f   x  x yy  y  y ∂∂ = = ++ ∂∂ Integrando

Integrando lala primeraprimera ecuaciónecuación concon respectorespecto aa x  x dada

(

( )

)

(

( )

) (

( )

)

22

(

( ))

,, 22 ,,  f  f x x y y ==

∫∫

xydx xydx g ++ g y ⇒y ⇒ f x f x y y == x y x y g ++ g yy Se

Ejemplo

Ejemplo 3.3. ResuelvaResuelva

( (

))

( (

))

2 2 2 2 1 1 1 1  xy  xy  y  y  x  x yy − − ′′ == −

− dado quedadoque  y y = donde=11 donde x x== 00 Solución:

Solución:

(

( )

22

) (

( ))

22

1

1 11 00

 xy

 xy − + − =− + − =dx dx x x y y dydy tenemos:tenemos: Μ Μ (( ,, )) x  x y y = = xyxy22 −−1,,1  Ν  Ν (( ,, )) x  x y y = = x x yy22 −−11 2 2 xy xy  y  y xx ∂∂Μ Μ ∂∂ΝΝ = = == ∂

∂ ∂∂ yy lala ecuaciónecuación eses exacta.exacta. Así,Así, dede

(( ,, ))  f  f x x yy  y  y ∂∂ = Μ = Μ ∂∂ yy (( ,, ))  f  f x x yy  x  x ∂∂ = = ΝΝ ∂∂ encontramos encontramos 2 2 22 (( ,, )) 2 2  x  x yy  f  f x x y y = = − − − − − x x y − =y cc= Usando

Usando lala condicióncondición dede queque y y == donde11 donde x x== tenemos00tenemos finalmentefinalmente 11 22 22 11 2

2 x  x y y − − − x x yy− = = −− El

El estudianteestudiante puedepuede encontrarencontrar másmás fácilfácil resolverresolver ecuacionesecuaciones exactasexactas porpor unun métodométodo dede inspección

inspección conocidoconocido comocomo “agrupación“agrupación dede términos”.términos”. EsteEste estáestá basadobasado enen lala habilidadhabilidad dede reconocer

reconocer ciertasciertas diferencialesdiferenciales exactas.exactas. Como

Como hemoshemos visto,visto, eses útilútil tenertener unauna intuiciónintuición parapara evitarseevitarse elel engorrosoengorroso empleoempleo dede lala fórmula

fórmula dede reconstrucción.reconstrucción. ParaPara ayudarayudar enen esaesa intuiciónintuición sirvesirve lala siguientesiguiente lista:lista:

( (

))

( ( ))

( ( ))

2 2 2 2 22 2 2 22 (( )) 2( 2( )) (( )) ((lloogg ))  x  x  y  y  x  x  y  y d d xxy y xxddy y yyddxx  x

 x ydx ydx xdyxdy d  d   y  y yy d d x x y y xxddx x yyddyy  ydx

 ydx xdyxdy d arctg

d arctg

 x  x yy  ydx  ydx xdyxdy d  d   xy  xy = = ++ ⎛ ⎛ ⎞⎞ −− = = ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ + + = = ++ − − = = + + − − = = Ejemplo

Ejemplo 4.4. ResuelvaResuelva

( (

22

))

2

2 xydx  xydx + + x x − − seny seny dydy ==00 Solución

Solución LaLa ecuaciónecuación eses exacta.exacta. SiSi agrupamosagrupamos loslos términostérminos comocomo sigue:sigue:

( (

22

))

2

2 xydx  xydx x + + x dy dy − − senydysenydy==00 Entonces

Entonces _{d d x}

( ( ))

_{x y} 22_{y d + + d}

_{( (}

_{ccooss yy}

₎₎

_{==00 òò}

( (

22 _ccooss

))

₀₀

d

d x x y y + + yy == Así,

Así, lala soluciónsolución eses 22

cos cos  x

 x y y + + y y cc==

Ejemplo

Ejemplo 5.5. ResuelvaResuelva

( (

))

( (

))

2 2 2 2 1 1  xy  xy  y  y − −

2 2 22 0 0 2 2  x  x yy d d ⎛ _{⎜ ⎜} ⎛ ⎞⎞_⎟⎟− − ddx x d− − dyy == ⎝

⎝ ⎠⎠ EstoEsto es,es,

2 2 22 22 22 0 0 2 2 22  x  x y y x x yy d d⎛ _{⎜ ⎜} ⎛ ⎞⎞_⎟⎟− − − xx− = y y = ⇒ ⇒ − − − xx − =y y = cc ⎝ ⎝ ⎠⎠ En

En general,general, elel métodométodo dede agrupaciónagrupación produceproduce resultadosresultados másmás rápidosrápidos peropero requiererequiere másmás experiencia.

experiencia. ElEl métodométodo generalgeneral requiererequiere menosmenos ingenioingenio Ejemplo

Ejemplo 6.6. ResolverResolver

(

(

22 y  y _ccooss

)

)

(

(

₂₂ 22yy _{ccooss 22}

))

_00..

e

e −− y y xxy y ddx x ++ xxe e −− x x xxy y ++ y y ddyy== Solución

Solución LaLa ecuaciónecuación eses exacta,exacta, porpor queque 22

2

2  y y ccooss ..

 M

 M N N 

e

e xxyysseennxxy y xxyy  y  y xx ∂ ∂ ∂∂ = = ++ −− == ∂ ∂ ∂∂ Entonces,

Entonces, existeexiste unauna funciónfunción  f  f x

_{( (}

x yy,,

₎₎

parapara lala cualcual

(

(

,,

)

)

 f  f yy NN

(

(

,,

))

f f ..  M  M x x y y x x yy  x  x yy ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ Para

Para variar,variar, comenzaremoscomenzaremos concon lala hipótesishipótesis queque ∂ ∂ ∂  f  f  / /∂ =y N y = N x

_{( (}

x yy,,

₎₎

;;

Esto

Esto es,es, 22

_{( (}

₎₎

22

2

2  y  y ccooss 22 ,, 22 yy ccooss 22 ..

 f   f   xe  xe x x xy xy y y f f x x y y x x e e dy dy x x xy dy xy dy y y dydy  y  y ∂∂ = = −− ++ ⇒ ⇒ == −− ++ ∂∂

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

Recuérdese

Recuérdese queque lala razónrazón porpor lala queque XX salesale deldel símbolosímbolo

∫∫

eses queque enen lala integraciónintegración concon respecto

respecto aa y,y, sese consideraconsidera queque XX eses unauna constanteconstante ordinaria.ordinaria. EntoncesEntonces

(

(

)

)

(

(

))

( (

))

(

(

)

)

(

(

))

2 2 22 2 2 22 ,, ,,

ccooss '' ccooss MM ,,

 y  y  y  y yy  f  f x x y y xe xe sen xy sen xy y y h h xx  f  f x x yy e e y y xxy y h h x x e e y y xxy y x x yy  x  x = − = − + + ++ ∂∂ = = −− ++ == −− ←← ∂∂ Así 

Así queque h x h ''

₍

_{( )}

x

₎

= = 0, 0, o o h h x

₍

_{( ))}

x cc== ;; porpor consiguiente,consiguiente, unauna familiafamilia dede solucionessoluciones eses

2 2 22 0. 0.  y  y  xe

 xe − − sen xy sen xy y + + + y + =cc=

Ejemplo

Ejemplo 7.7. ResolverResolver elel problemaproblema dede valorvalor inicialinicial

(

(

22

)

)

(

(

))

22

( ( ))

ccoos s  x  x sen x sen x xy −−xy dx dx y ++ y 11 −− x x dy dy == 00, , 0yy 0 ==22.. Solución

Solución LaLa ecuaciónecuación eses exacta,exacta, porpor queque  M  M 22 xy xy N N   y  y xx ∂ ∂ ∂∂ = − = − == ∂ ∂ ∂∂ Entonces Entonces

( (

22

))

1 1  f   f   y  y xx  y  y ∂∂ = = −− ∂∂

La

La últimaúltima ecuaciónecuación implicaimplica queque h x h ''

_{( ( ))}

x ==ccoos ss seen x xx xn .. AlAl integrarintegrar obtenemosobtenemos

(

( )

) (

( ))(

_{ccoos s}

(

))

11_ccooss22 _..

2 2 h h x x = = − −

∫∫

x sseen x − − n x x ddx x = = −− xx Así  Así 

_{( (}

₎₎

( (

))

2 2 2 2 22 22 22 1 1 1 1 1

1 '' ccoos s o o sseea a 11 ccooss ,, 2 2 22  y  y  x  x x x c c y y x x x x cc − − −− == −− −− == En

En dondedonde C,C, reemplazoreemplazo aa 22cc_1.1. parapara queque sese cumplacumpla lala condicióncondición inicialinicial y  y = = 2 2 cuando cuando xx ==0,0, Se

Se requiererequiere queque

₍

_{( )}

₎

22

₍

_{( ))}

4

4 11 − − ccooss 00 ==cc eses decir,decir, queque cc==3.3. Así Así unauna soluciónsolución deldel problemaproblema eses

( (

))

2 2 22 22 1 1 ccooss 33..  y  y − − x x − − xx == Observación Observación Al

Al probarprobar sisi unauna ecuaciónecuación eses exactaexacta sese debedebe asegurarasegurar queque tienetiene lala formaforma precisaprecisa

(

( )

,,

)

(

( ))

,, 00..  M

 M x x y y dx dx N + + N x x y y dydy == QuizásQuizás enen ocasionesocasiones hayahaya unauna ecuaciónecuación diferencialdiferencial dede lala

forma

forma C x C x y d

_{( )}

₍

,,y dx

₎

x H ==H x

_{( ))}

₍

x y d,,y dyy.. enen esteeste casocaso sese debedebe reformularreformular primeroprimero comocomo

(

( )

,,

)

(

( ))

,, 00,, G x y

G x y ddx x H − − H x x y dy dyy == yy despuésdespués identificaidentifica M x  M

( ) (

(

x y ,,y

) ( )

= = G x G x y ,,y y N

) (

,,y N x

( )

x y ,,y

)

= −= −H x H

(

( ))

x yy,,

yy solosolo entoncesentonces aplicaraplicar lala ecuaciónecuación respectivarespectiva EJERCICIOS

EJERCICIOSRESUELTOSRESUELTOS

1) 1)

_{( (}

₎₎

( (

33

))

6 6 55 22 33 00  x  x xy xy ++ +dx dx + x x ++ y y dydy == 2 2 6 6  M  M N N   x  x  y  y xx ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ Paso

Paso 1:1: IntegrarIntegrar "M""M" concon respectorespecto aa "x""x" ( ( )) 3 3 55 22 2 2 2 2 yy  x  x y y

+

+

x x

+

+

GG Paso

Paso 2:2: DerivarDerivar elel resultadoresultado concon respectorespecto aa "y""y" ee igualarloigualarlo concon "N""N" ( ( )) 3 3 33 2 2 x  x + + G G ′′ _y y = = 22x x ++33yy Paso

Paso 3:3: DespejarDespejar GG_{( ( ))}′′ _y y ee integrarintegrar concon respectorespecto aa “y”“y”

( ( )) (( )) (( )) 2 2 3 3 3 3 33 2 2  y  y y y yy  y  y G G ′ ′ = ⇒ = y G y ⇒ = G ′ ′ =

∫∫

yyddy y G ⇒ ⇒ = G ′′ = ++cc

2) 2)

(

(

)

) (

(

22

))

2 2 00  xy  xy xyxy  ye  ye ++ xy dx xy dx ++ xe xe ++ x x dydy== 2 2  xy  xy xyxy  M  M N N  e e xxyye e xx  y  y xx ∂ ∂ ∂∂ = = + + + + == ∂ ∂ ∂∂ Paso

Paso 1:1: IntegrarIntegrar "M""M" concon respectorespecto aa "x”"x”

( (

))

22 _{( ( ))}

2 2  xy  xy xyxy  y  y  ye  ye + + xy xy dx dx e = = + e + +x x y y G+G

∫∫

Paso

Paso 2:2: DerivarDerivar concon respectorespecto aa "y""y" ee igualarloigualarlo aa "N""N"  xy  xy 22 _{( ( ))} xyxy 22  y

 y

 xe

 xe + + + x x + = G G ′′ = +xe xe +xx Paso

Paso 3:3: DespejarDespejar GG_{( ( ))}′′ _y y ee integrarintegrar concon respectorespecto aa “y”“y”

(

(  y  y ) ) 00 ( ( yy)) 00

G

G ′′ = = ⇒ ⇒ = G G =

∫∫

ddy y cc==

Sustituir

Sustituir GG_{( ( )) y y} enen elel pasopaso “1”“1”

Solución

Solución generalgeneral  xy xy 22

e

e

+

+

x x y cy c

=

=

3)

3)

( (

33 y  y e ++e dx  x x

))

dx ++

_{( (}

33x x ++ccoossy y dy

₎₎

dy ==00 3 3  M  M N N   y  y xx ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ Paso

Paso 1:1: IntegrarIntegrar "M""M" concon respectorespecto aa "x""x"

∫∫

( (

33 y  y e + + e dx  x  x

))

dx = = + 33xy xy e + +e xx +GG_{( ( )) y y}

Paso

Paso 2:2: DerivarDerivar esteeste resultadoresultado concon respectorespecto aa "y""y" ee igualarloigualarlo aa "N""N" 33 x G  x + + G _{( ( ))}′′ _y y = = 33x x ++ccoossyy

Paso

Paso 3:3: DespejarDespejar GG_{( ( ))}′′ _y y ee integrarintegrar concon respectorespecto aa “y”“y”

4) 4)

(

(

33 44

)

)

(

(

44

))

_{( ( ))} 0 0 4 4 x e  x e  x  x y + + y ++x e x e x x y + + y ++22x x dx dx ++ x x e e x yyx ++ ++22x x dy dy ==00⇒ ⇒yy ==11

( (

))

(( )) (( )) 3 3 44 4 4 44 22 33 44 33 44 4 4 2 2 44 44 22  x  x y y x x yy  x  x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x yy  x  x xx  M  M N N   x  x e e x x ee  y  y xx  x  x e e e e y y dy dy x x e e e e y y G G x x e e e e x x e e e e G G x x e e e e x x e e e e xx + + ++ ∂ ∂ ∂∂ + + == ∂ ∂ ∂∂ ′′ + + == ++ ++ ⇒⇒ ++ ++ == ++ ++

∫∫

Despejar

5)

5)

(

(

33

)

)

(

(

22 22

))

2

2 x x sen y sen y y ++ y e e dx  x  x dx ++ x x ccoossy y ++33y y e e dyxx dy ==00

( ( )) (( )) 2 2 3 3 22 33 22 22 22 22 2 2 ccooss 33 2

2 ccooss 33 ccooss 33

 x  x  x  x y y x x xx  y  y xx  M  M N N   x  x y y y y ee  y  y xx sseen n y y xxddx y x y e e ddx x x x sseen n y y y y e e G G x x y y y y e e G G x x y y y y ee ∂ ∂ ∂∂ = = + + == ∂ ∂ ∂∂ ′′ + + == ++ ++ ⇒⇒ ++ ++ == ++

∫ ∫

∫∫

Despejar

Despejar GG_{( ( ))}′′ _y y ee integrarintegrar concon respectorespecto aa "y""y"

( ( ) ) ( ( )) 2 2 33 0 0 xx  y  y yy G G ′′ = = ⇒ ⇒ = G G = ⇒ c c x ⇒ x sseen n y y y + + y e e cc== 6) 6)

( (

33

))

ccooss 44  y y 22 55

 x  x y y y y xx sen ysen y  x  x ∂∂ + + + + = = −− ∂∂

( (

))

( (

))

( ( )) (( )) ( ( )) (( )) 2 2 2 2 22 22 2 2 22 22 2

2 55 ccooss 44 00 22 ccooss

2

2 55 55 ccooss ccooss 44

4 2 4 2 55 22  y  y yy  y  y yy  M  M N N   x  x sen y sen y dx dx x x y y y y dy dy x x yy  y  y xx sseen n y y xxddx x ddx x x x sseen n y y x x G G x x y y G G x x y y yy G G y y G G y c y c x x sseen n y y x x y y cc ∂ ∂ ∂∂ + + ++ ++ == ⇒ ⇒ == == ∂ ∂ ∂∂ ′′ + = + = ++ ++ ⇒⇒ ++ == ++ ⇒⇒ ′′ = = ⇒ ⇒ = = + + ⇒ ⇒ + + + + ==

∫ ∫

∫∫

7) 7) 22

( (

22 22

))

_{( ( ))} 0 0 2 2 1 1 1 1 00 1 1 44 22  x  x  y y xx  ye  ye dy dy y y e e dx dx yy  y  y ⎛ ⎛ ⎞⎞ + + ++ −− == ⇒ ⇒ == ⎜ ⎜ ₊₊ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ( ( )) (( )) (( )) ( ( )) 2 2 2 2 22 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 11 44 11 44 1 1 llnn 11 44 8 8  x  x  x  x  x  x x x xx  y  y y y yy  y  y  M  M N N   ye  ye  y  y xx  y  y e e y y yy  y  y e e x x x x x x G G ye ye G G ye ye GG  y  y yy G G y y cc ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ ′ ′ ′′ ∂ ∂ − − ∂ ∂ = = − − + + ⇒ ⇒ + = + = + + ⇒ ⇒ = = ⇒⇒ + + ++ = = + + ++

∫ ∫

∫∫

Solución

Solución general:general: 22 22 22

4

4 y  y e e  x x − − + + 88x x + + llnn 11 44y y ==cc

Solución

Solución particular:particular: 22 22 22

4

4 y e  y e  x x − + − 88x x + + llnn 11 4+ 4yy = = +1 lln1+ n 22

8)

8)

( (

33

))

2

2 y  y sen sen xyxy dx dx + + 22xx sen sen xy xy y + + y dydy ==00 2

2 22 ccooss

 M

 M N N 

sseen n xxy y xxy y xxyy  y  y xx ∂ ∂ ∂∂ = = + + == ∂ ∂ ∂∂

Solución

Solución general:general:

4 4 2cos 2cos 4 4  y  y  xy  xy cc − − + + == 9) 9)

( (

22

))

ccooss y y dx dx − − xx sen y sen y y − − y dydy ==00

 M  M N N  sen y sen y  y  y xx ∂ ∂ ∂∂ = − = − == ∂ ∂ ∂∂ ( ( )) (( )) (( )) (( )) 3 3 2 2 22

ccooss ccooss

3 3  y  y y y y y yy  y  y  y

 y dx dx x = = x y y G + ⇒ + G ⇒ − − xx sen y sen y G + + = G ′ ′ = − − xx sen y sen y y + + ⇒ y ⇒ = G G ′′ = ⇒ y y ⇒ = G G = ++ cc

∫∫

Solución

Solución general:general:

3 3 cos cos 3 3  y  y  x  x y y + + ==cc 10) 10)

₍

₍

22 x  x + + + 33y y + 44

₎

₎

dx dx + + +

₍

₍

33x x + + 44y y + 55

₎₎

dydy ==00

( (

))

_{(( )) (( ))} ( ( )) (( )) 2 2 2 2 3 3 2 2 33 44 33 44 33 33 44 55 4 4 55 22 55  y  y yy  y  y yy  M  M N N   y  y xx  x  x y y dx dx x x xy xy x x G G x x G G x x yy G G yy GG yy yy cc ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ ′′ + + + + = = + + + + + + ⇒ ⇒ + + = = + + + + ⇒⇒ ′′ = + = + ⇒ ⇒ = = + + ++

∫∫

Solución

Solución general:general: 22 22

3 3 44 22 55  x  x

+

+ +

xy xy

+ +

x x

+ +

y y

+ =

y y cc

=

11) 11) ((22 x  x y + + y dx ))dx + − + ((x x − 2 ))2y y dydy ==00 ((22 x  x y y ) 1;;) 1 ((x x 22 ) 1yy) 1  y  y xx ∂ ∂ ∂∂ + + = = − − == ∂ ∂ ∂∂ 2 2 22 22 22 2 2 22 00;; (( )) (( )) (( )) 00  x dx  x dx y dx y dx x dy x dy y dyy dy d d x x d d xxy d y d y y x x xxy y y y CC.. + + + + − − == + + − − = = ⇒ ⇒ + + − − == 12) 12) ((11 llnn )) y  y dt dt (( ))t t  dydy 00  y  y + + + + == 1 1 11 ((1 l1 ln )n ) y y ;; ( )( )t t   y  y y y t t y y yy ∂ ∂ ∂∂ + + = = == ∂ ∂ ∂∂ (( , ), ) ((11 lln )n ) (( ));; F F t t y y = =

∫∫

+ + y y ddt t g ++g yy

1 1 2 2 (( ,, )) ´´(( )) 00 yy ;; ln ln t t t t t t  F F t t y y g g y y gg´´((yy) ) gg((yy) ) C  C    y  y y y y y yy F F((tt, y, y) ) t t t t y y C C .. ∂∂ = = ⇒ ⇒ + + = = ⇒ ⇒ = = == ∂∂ = = + + ++ 13)

13) ( ( ccoos cs cox x ossy y xx) ++22 ) ddx −x ( −( sseenn sseenx x n y y y ++2 ))2y ddyy ==00

⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ − − = = + + − − ∂∂ ∂∂ − − = = + + ∂∂ ∂∂ ;; sen sen cos cos )) 2 2 sen sen (sen (sen (( ;; sen sen cos cos )) 2 2 cos cos (cos (cos  y  y  x  x  y  y  y  y  x  x  x  x  y  y  x  x  x  x  y  y  x  x  y  y C. C.  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y d  d   x  x d  d   y  y  x  x d  d  dy dy  y  y dx dx  x  x dy dy  y  y  x  x dx dx  y  y  x  x dy dy  y  y dy dy  y  y  x  x dx dx  x  x dx dx  y  y  x  x = = − − + + = = − − + + = = − − + + − − = = − − − − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sen sen ;; 0 0 )) (( )) (( )) cos cos (sen (sen ;; 0 0 2 2 2 2 sen sen sen sen cos cos cos cos ;; 0 0 2 2 sen sen sen sen 2 2 cos cos cos cos 14) 14) 2 2 3 3 2 2

(( sseenn 33 )) (( ccooss )) 00 3 3  x  x xx yy e e y y x x ddx x e e y y ddyy − − − − ++ ++ == 2 2 3 3 2 2

(( sseenn 3 )3 ) ccooss ;; (( ccooss )) ccooss 3 3  x  x x x x x  y y xx e e yy xx ee yy ee yy ee yy  y  y xx − − ∂ ∂ ∂∂ − − = = ++ == ∂ ∂ ∂∂ 2 2 3 3 1 1 11 3 3 33 2 2 3 3 33

sseenn ccooss 33 00;;

3 3 (( sseenn )) (( )) (( )) 00 sseenn  x  x xx  x  x xx  y  y e e y y ddx x e e y y ddy y x x ddx x ddyy d d e e y y d d x x d d y y e e y y x y Cx y C.. − − + + −− ++ == − − + + = = ⇒ ⇒ − − + + == 15)

15) ccoossθ θ dr dr r − − (( sseenr nθ θ − − e e d  θ θ ))d  θ θ ==00

((ccooss )) sseenn ;; ( (( ( sseenr r n ee )) sseenn

r  r  θ  θ  θ θ θθ θθ θθ    θ  θ  ∂ ∂ ∂∂ = = − − − − − − = = −− ∂ ∂ ∂∂

ccooss sseenn 00

(( ccoos )s ) (( )) 00 ccooss

d dr r r r d d e e d  d   d d rr dd ee rr ee CC    θ  θ  θ  θ  θ θ θθ θθ θθ    θ  θ  θ θ θ θ  − − + + == + + = = ⇒ ⇒ + + == 16)

16) (( ye  ye  xy  xy 11))dx dx ((xe xe xyxy xx₂₂))dydy 00

 y  y yy − − ++ ++ == 2 2 22 22 1 1 11 11

(( ye  ye  xy  xy )) e e xy xy ((11 yx yx )) ;; ((xe xe xy xy  x x )) e e xyxy((11 yxyx))

 y  y y y y y x x y y yy ∂ ∂ ∂∂ − − == ++ ++ ++ == ++ ++ ∂ ∂ ∂∂

2 2 (( )) 00;; (( )) 00 (( )) 00  xy  xy  xy  xy xy xy xyxy  x dy  x dy y dxy dx e e y y ddx x x x ddyy  y  y  x  x x x xx e e d d xxy y d d d d e e d d e e CC..  y  y y y yy − − + + + + == ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛⎛ ⎞⎞ − − _{⎜⎜ ⎟⎟}= ⇒ = ⇒ − − _{⎜⎜ ⎟⎟} = ⇒ = ⇒ − − == ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠⎠ 17) 17) e e y t t ((y t − + − t d))dt t + + ((11+ e e dt t ))dyy ==00 (( (( )))) ;; ((11 )) 0 0 00 ;; ;; (( )) 00 ;; ;; t t tt tt tt    t t tt tt tt tt tt    t t t t  t t tt tt tt    e e y y t t e e e e ee  y  y t t   ye dt  ye dt te dt te dt dy dy e dy e dy ye dt ye dt e dy e dy dy dy te dt te dt  e e ddt t ddv v e e vv d

d yye e ddy y tte e ddt t yye e y y tte e ddt t C  C  

t t u u ddt t dduu ∂ ∂ ∂∂ − − = = + + == ∂ ∂ ∂∂ − − + + + + = = ⇒ ⇒ + + + + − − == = = == + + − − = = ⇒ ⇒ + + − − = = ⇒⇒ = = ==

∫∫

1 1 11 t t t t tt tt tt t t tt tt     ye

 ye + − + + y te y − + te

∫∫

e dt C e dt = ⇒ = C ⇒ + ye ye + − + y te y − + = te e e = ⇒ C C ⇒ y(e y(e + + + ) e ( ) + − e ( − =t) C.t) =C. 18) 18) 22 _{22 22 22 22} 22 00 1 1 11  y  y xx  x  x dx dx y y dydy  x  x y y x x yy ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛⎛ ⎞⎞ + + ++ −− == ⎜ ⎜ _{+ +} ⎟⎟ ⎜⎜ ₊₊ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠⎠

(

(

)

) (

(

))

(

(

)

) (

(

))

⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ + + − − = = + + − − + + = = ⎟⎟⎟⎟  ⎠  ⎠  ⎞  ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝  ⎝  ⎛  ⎛  − − + + ∂∂ ∂∂ + + − − = = + + − − + + = = ⎟⎟⎟⎟  ⎠  ⎠  ⎞  ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝  ⎝  ⎛  ⎛  + + + + ∂∂ ∂∂ ;; 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ;; 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  y  y  x  x  x  x  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y

( (

))

( ( ))

( (

))

( (

))

2 2 22 2 2 22 22 22 2 2 22 2 2 22 22 22 2 2 22 00 1 1 0 0 ((aarrccttgg )) 00;; 1 1 aarrccttgg ttgg ..  y dx  y dx x dyx dy  x dx  x dx y dyy dy  x  x yy d d xyxy d d x x y y d d x x y y d d xxyy  x  x yy  x  x y y (xy) (xy) C C xy xy C C x x yy + + − − + + == + + − − ++ == ⇒ ⇒ −− ++ == + + − − + + = = ⇒ ⇒ = = − − ++ 19) 19) 22 2

2 x  x y y ccooss((x y x y dx )) dx 22xy xy ccooss((x x y y )) e e dy y y dy 00

⎡ ⎡ + + − − + + ⎤⎤ + − + − ⎡⎡ + + − − ⎤⎤ == ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎣⎣ ⎦⎦

( (

))

[ [

]]

( (

))

( (

))

[ [

]]

⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ + + + + = = − − + + − − ∂∂ ∂∂ + + + + = = + + − − + + ∂∂ ∂∂ ); ); sen( sen( 2 2 cos cos 2 2 ;; sen sen 2 2 cos cos 2 2 22  y  y  x  x  y  y ee  y  y  x  x  xy  xy  x  x  y  y  x  x  y  y  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  y  y

2 2 22 2 2 22 2 2 22 22 22 ( ) ( ) (( )) (( )) ccooss(( ))(( )) 00;; ( ) ( ) (( )) (( )) ccooss(( )) (( )) 00;; (( )) (( )) (( )) ((sseenn(( )))) 00 sseenn  y  y  y  y  y  y yy d d x x d d e e d d xxy y x x y y ddx x ddyy d d x x d d e e d d xxy y x x y y d d x x yy d

d x x d d e e d d xxy y d d x x y y x e x e xxy y ((x x yy) ) CC.. − − ++ −− ++ ++ == − − ++ −− ++ ++ == − − + + − − + + = = ⇒ ⇒ − − + + − − + + == 20) 20) 1133 2 2 2 2

ccooss(( )) ccooss(( )) 00 1 1  y  y xy xy dx dx x x xy xy y y dydy  x  x − − ⎡ ⎡ ⎤⎤ _{⎡ ⎡ ⎤⎤} + + ++ −− == ⎢ ⎢ ⎥⎥ _{⎣ ⎣ ⎦⎦} − − ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ − − = = ⎥⎥⎦⎦ ⎤⎤ ⎢⎢⎣⎣ ⎡⎡ ₋₋ ∂∂ ∂∂ − − = = ⎥⎥ ⎦⎦ ⎤⎤ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎡⎡ + + − − ∂∂ ∂∂ − − ); ); sen( sen( )) cos( cos( )) cos( cos( ); ); sen( sen( )) cos( cos( )) cos( cos( 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2  xy  xy  xy  xy  y  y  xy  xy  x  x  x  x  xy  xy  xy  xy  xy  xy  y  y  x  x  y  y 1 1 3 3 2 2 2 2 22 3 3 33 2 2

ccooss(( )) ccooss(( )) 00;; 1

1

3

3 33

2

2 ((aarrccsseenn )) ((sseenn(( )))) (( )) 00 22 aarrccsseenn sseenn 2 2 22 dx dx  y  y xy xy dx dx x x xy xy dy dy y y dydy  x  x d d x x d d xxy y d d y y x x ((xxyy) ) y y CC.. − − + + ++ −− == − − + + −− == ⇒⇒ ++ −− == 21) 21) 33 22 22 (

(  y  y −− y y senx senx x −−x dx ))dx ++((33xy xy ++2 cco2y y oss ))x x dydy ==00

3 3 22 22 22 2 2 3 3 22 22 33 22 2 2 22 22 (( ,, )) ;; (( ,, )) 33 22 ccooss 33 22

ss nn yy 33 22 ccooss (( ,, )) ccooss (( ))

2 2 (( ,, )) 33 22 ccooss (( )) 33 22 ccooss (( )) 33 22 ccooss ,, (( )) 00 (( ))

 M

 M N N 

 M

 M x x y y y y y y senx senx x x N N x x y y xy xy y y x x y y ysenxysenx  y  y xx  f  f f f xx  y  y y e y e x x x x xy xy y y x x f x f x y y y y x x y y x x g g yy  x  x yy  f   f   x  x y y xy xy y y x x g g y y xy xy y y x x g g y y xy xy y y xx  y  y g g y y g g y y cc ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− == ++ ⇒⇒ == −− == ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− == ++ ⇒⇒ == ++ −− ++ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ′ ′ ′′ = = ++ ++ ⇒⇒ ++ ++ == ++ ∂∂ ′′ = = ⇒ ⇒ == 22 22 33 cos cos 2 2  x  x  y  y x x xy xy cc ⇒ ⇒ − − + + == 22) 22) 22 33 33 22 2 2 1 1 0 0 1 1 99 dx dx  x  x y y x x yy  x  x dydy ⎛ ⎛ _{− −} ⎞⎞ _{+ + ==} ⎜ ⎜ ₊₊ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 33 33 22 22 33 22 22 2 2 22 3 3 22 22 22 22 22 1 1 11 (( )) 00 (( ,, )) (( ,, )) 33 1 1 99 11 99 (( ,, )) 33 (( ,, )) 33 (( ,, ))  M   M   x  x y y dx dx x x y y dy dy M M x x y y x x y y x x y y x x yy  y  y x x yy  N  N M M N N   N  N x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x yy ∂∂ − − ++ == ⇒⇒ == −− ⇒⇒ == + + + + ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ = = ⇒⇒ == ⇒⇒ == == ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

3 3 33 33 22 3 3 22 33 22 3 3 33 33 33 1 1 11 (( ,, )) aarrccttaann((33 )) (( )) (( ,, )) ´´(( )) 3 3 33 ´´(( )) ´´(( )) 00,, (( )) ,, (( ,, )) ,, 1 1 11 11 11 ( , ( , )) aarrccttaann((3 )3 ) (( )), , aarrccttaann((3 )3 ) ,, 3 3 33 33 33 F  F  F F x x y y x x y y x x g g y y x x y x y x y g y g yy  y  y  x

 x y y g g y y x x y y g y g y InInteteggraranndo do g g y y c c pperero F o F x x y y c c susuststituituyeyenndo do enen F

F x x y y x x y y x x g g y y sse e oobbttiieenne x e x y y x x C C MMuullttiipp

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lla a ssoolluucciióón n ggeenneerraal l − − = −= −C  C   23) 23) ((22 x  x − + + − + 1))1dx dx ((33y y + 7))7 dydy ==00 (( ,, )) 22 11;; (( ,, )) 33 77 (( ,, )) 00;; (( ,, )) 00 (( ,, )) (( ,, ))  M  M x x y y x x N N x x y y yy  M  M N N M M N N   x  x y y x x y y x x y y x x yy  y  y x x y y xx = = −− == ++ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ = = == ⇒⇒ == ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 (( ,, )) (( ,, )) (( )) (( ,, )) ((22 11)) (( )) (( ,, )) 22 (( )) (( ,, )) (( )) (( ,, )) ´´(( )) ´´(( )) 33 77 (( )) ((33 77)) 3 3 33 (( )) 33 77 (( )) 77 (( ,, )) 77 2 2 22 3 3 7 7 2 2  f  f x x y y M M x x y y dx dx g g y y f f x x y y x x dx dx g g yy  f  f x x y y xdxdx x dx dx g g y y f f x x y y x x x x g g yy df  df   x  x y y g g y y g g y y y y g g y y y y dydy dy dy  y  y yy g g y y yyddy y ddy y g g y y y f y f x x y y x x x x yy  y  y  x  x x x y y C C 

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2 2 44 22 44 22 22 4 4 22 22 (( )) (( ,, )) 22 (( )) (( ,, )) 22 ccoommoo (( ,, )) 22 g g y y y y y y f f x x y y x x x x y y g g y y f f x x y y x x x x y y y y yy  y  y x x y y C C x x x x y y y y y y C C 

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25) 25) 11 llnn x  x  y y dx dx

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 f x,y x,y y y y y x x x x x comx como f(o f(x,yx,y)=)=c c y y y y x x x x x x c c x x y y x x y y cc

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26) 26) 22 22 33

(( y  y ccoossx x −−33x y x −y −2 ))2x x dx dx ++((22ysenx ysenx x −−x + +llnn ))y y dy dy ==00,, y y ((00)) ==ee

2 2 22 33 2 2 2 2 22 22 33 22 3 3 33 33 (( ,, )) ccooss 33 22 ;; (( ,, )) 22 llnn 2 2 ccooss 33 )) (( ,, )) (( ccooss 33 22 )) (( ,, )) (( )) (( ,, )) 2 2 llnn (( )) 22 (( )) 22 llnn g g ((yy))==llnny y (( )) llnn  M  M x x y y y y x x x x y y x x N N x x y y ysenx ysenx x x yy  M  M N N   y  y x x xx  y  y xx  f  f x x y y y y x x x x y y x x dx dx f f x x y y y y senx senx x x y y x x g g yy  f  f x x yy  ysenx

 ysenx x x y y g g y y ysenx ysenx x x g g y y ysenx ysenx x x yy  y  y g g y y ddy y yy = = −− −− == −− + + ∂ ∂ ∂∂ = = − − == ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− ⇒⇒ == −− −− ++ ∂∂ _{′ ′ ′′} = = − − + + + + ⇒ ⇒ − − + + = = − − ++ ∂∂ ′ ′ ⇒ ⇒ ′′ ==

∫∫

2 2 33 22 2 2 33 22 2 2 33 22 (( )) llnn yy llnn 0 0,, 00 00 00 llnn 00 ln ln 00 d dy y g g y y y y y y y y sseennx x x x y y x x y y y y y cy c  x  x y y e e e e sen sen e e e e e e e e c c cc lla a ssoolluucciióón n ppaarrttiiccuullaar r ees y s y sseennx x x x y y x x y y y y yy

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∫ ∫

∫∫

27) 27) 22 33 33 22 22 ((33 x  x y y ++44xy xy dx ))dx ++((33x x y y ++22x dyx ))dy ==00

2 2 33 33 33 22 3 3 22 22 33 22 22 33 22 22 3 3 33 22 33 33 22 (( ,, )) ((33 44 )) (( ,, )) 22 (( )) (( ,, )) 3 3 22 ´´(( )) 33 22 ´´(( )) 33 22 ´´(( )) 00 (( )) (( ,, )) 22 (( )) 22  f  f x x y y x x y y xy xy dx dx f x f x y y x x y y x x y y g g yy  f  f x x yy  x  x y y x x g g y y x x y y x x g g y y x x y y x x g g yy  y  y g g y y c c f f x x y y x x y y x x y g y g y y x x y y x x y cy c = = ++ ⇒⇒ == ++ ++ ∂∂ = = + + + + ⇒ ⇒ + + + + = = + + ⇒ ⇒ == ∂∂ = = ⇒ ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ + + ==

∫∫

28) 28) 2 2 22 5 5 44 3 3 0 0;; ((11)) 11 2 2  y  y x x dy dy xx  y  y  y  y dx dx yy ⎛ ⎛ −− ⎞⎞ + + = = == ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 22 4 4 55 44 55 2 2 22 5 5 55 2 2 22 4 4 44 55 3 3 (( ,, )) 22 0 0 (( ,, )) 2 2 22 3 3 (( ,, )) 22 (( ,, )) 1 1 (( ,, )) (( )) (( )) ''(( )) 2 2 44  xdx  xdx y y x x xdx xdx M M x x y y xx d dy y M M x x yy  y  y y y y y y y yy  y  y x x N N x x y y xx  N  N x x yy  y  y x x yy  xdx  xdx x x f(x,y) f(x,y) xx  f  f x x y y g g y y g g y y g g yy  y  y y y y y yy ⎛ ⎛ − − ⎞⎞ ∂∂ + +_{⎜ ⎜ ⎟⎟} == ⇒⇒ == ⇒⇒ ==−− ∂∂ ⎝ ⎝ ⎠⎠ − − ∂∂ = = ⇒⇒ ==−− ∂∂ ∂∂ = = + + ⇒ ⇒ + + ⇒ ⇒ = = − − ++ ∂∂

∫∫

2 2 22 22 22 3 3 33 22 5 5 55 55 2 2 4 4 22 2 2 22 22 22 44 4 4 22 44 22 44 3 3 33 33 ''(( )) ''(( )) 33 (( )) 33 (( )) (( )) 2 2 22 3 3 (( ,, )) (( ,, )) 4 4 22 ((11)) 33 55 33 55 66 55 0 0 4 4((11)) 22((11)) 44 44 22 44  x  x y y x x yy g g y y g g y y y y g g y y y dy dy y g g y y g g y y yy  y  y y y yy  x  x  f  f x x y y , como f , como f x x y y c c cc  y  y yy  x  x x x y y yy

ccoonnddiicciioonnees s xx==1 1 , , yy==1 1 cc

 y  y y y yy − − − − − − −− − − + + = = − − ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ ⇒ = = ⇒ ⇒ = = −− − − = = −− == ⇒⇒ − − ++ ⇒ ⇒ − − = = = = − − ⇒ ⇒ − − = = − − ⇒ ⇒ ==

∫∫

29) 29) 33 22 22 (

(  y  y −−y y senx senx x −−x dx ))dx ++((33xy xy ++2 cco2y y oss ))x x dydy ==00

3 3 22 22 22 2 2 3 3 22 22 33 22 2 2 22 22 (( ,, )) ;; (( ,, )) 33 22 ccooss 33 22 3

3 22 ccooss (( ,, )) ccooss (( ))

2 2

(( ,, )) 33 22 ccooss (( )) 33 2 cco2 oss (( )) 33 22 ccooss , , (( )) 00 (( ))

 M

 M N N 

 M

 M x x y y y y y y sesenx nx x x N N x x y y xy xy y y x x y y ysysenenxx  y  y xx  f  f f f xx  y  y y y sesenx nx x x y y xy xy y y x x f f x x y y y y x x y y x x g g yy  x  x yy  f   f   x  x y y xy xy y y x x g g y y xy xy y y x g x g y y xy xy y y x x g g y y g g y y cc  y  y ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− == ++ ⇒⇒ == −− == ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− == ++ ⇒⇒ == ++ −− ++ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ _{′ ′ ′ ′ ′′} = = ++ ++ ⇒⇒ ++ ++ == ++ == ⇒⇒ == ∂∂ 2 2 2 2 33 co coss 2 2  x  x

;; 0 0 )) ,, (( == ∂∂ ∂∂ + + ∂∂ ∂∂ = = dydy  y  y F  F  dx dx  x  x F  F   y  y  x  x dF  dF  F F (( x x,, y y))== C C ;;

( (

11

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33 .. ;; 3 3 ;; )) (( ;; 1 1 )) ´( ´( ;; 1 1 )) ´( ´( ;; 1 1 )) )) (( 3 3 (( ;; 1 1 )) ,, (( )); )); (( 3 3 (( )) ,, (( ); ); (( 3 3 )) ,, (( ;; )) (( )) 3 3 2 2 (( )) ,, (( ;; )) (( )) ,, (( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  x  x C  C   x  x  y  y C  C   y  y  x  x  y  y  x  x F(x,y) F(x,y)  y  y  y  y g g  y  y g g  x  x  y  y g g  x  x  x  x  y  y g g  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  y  y  x  x F  F   y  y g g  x  x  y  y  x  x  y  y  y  y  y  y  x  x F  F   y  y g g  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x F  F   y  y g g dx dx  xy  xy  y  y  x  x F  F   y  y g g dx dx  x  x F  F   y  y  x  x F  F  − − = = − − → → = = − − + + = = − − = = − − = = − − = = + + − − = = + + + + ∂∂ ∂∂ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ − − = = ∂∂ ∂∂ + + + + ∂∂ ∂∂ = = ∂∂ ∂∂ + + + + = = + + + + = = + + ∂∂ ∂∂ = =

∫∫

∫∫

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C C  xx  x  x  y  y 22 −−11 == −−33 31)

31) ((11 /  /  y y))dxdx−−((22 y y−− x x /  /  y y22))dydy ==00

⎩⎩ ⎨⎨ ⎧⎧ = = + + − − ∂∂ ∂∂ − − = = ∂∂ ∂∂ ;; 1 1 )) 2 2 (( ;; 1 1 )) 1 1 (( 22 22 22  y  y  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  y  y  y  y ;; 0 0 2 2 ;; 0 0 2 2 ;; 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − − + + = = − − + + = = + + − − dy dy  y  y  y  y dy dy  x  x dx dx  y  y dy dy  y  y  y  y dy dy  x  x  y  y dx dx dy dy  y  y  x  x dy dy  y  y  y  y dx dx dy dy  y  y dy dy  x  x dx dx  y  y ++ −−22 33 ==00;;

EJERCICIOS

EJERCICIOSPROPUESTOSPROPUESTOS

Escriba

Escriba cadacada ecuaciónecuación enen lala formaforma ΜΜ(( ,, )) x  x y y dx dx ++ΝΝ(( ,, ))x y x y dydy ==00 pruebepruebe lala exactitud,exactitud, resuelva

resuelva aquellasaquellas ecuacionesecuaciones queque sonson exactas.exactas.

(

(

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)

(

(

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( (

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2 2 22 2 2 2 2 22 )) 33 44 00;; )) ;; ))22 ;; )) cos cos )) ;; )) ;; )) 22 00 2 2 ccooss 11 )) llnn 22 00;; )) ,, )) 22 11 22 ccooss 00 2 2  x  x xx  x  x  x  x  x  x y y xx a a xxddx x yyddy y b b y y c c xxyyy y x y x y d d yy  x  x y y x x yy d dy x y x y y x x ddr r r r sseenn e

e f f g g yye e sseennx x ddx x e e y y ddyy d dx x sseennx x y y d d r  r    y  y y y ee  y  y h h x x ddx x x x x x ddy y i i y y j j x x x x ddy y xxy y x x ddxx  x  x e e xyxy φ  φ  φ φ φ φ  − − −− − − ′ ′ ′ ′ ′′ + + == == == −− == + + −− − − = = == −− −− ++ == + + −− − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ _′′ + + ++ ++ == == ++ ++ ++ ++ == ⎜ ⎜ ⎟⎟ ₋₋ ⎝ ⎝ ⎠⎠ Resuelva

Resuelva cadacada ecuaciónecuación sujetasujeta aa laslas condicionescondiciones indicadas.indicadas.

( ( ))

( (

))

( ( ))

( ( ))

( (

))

( ( ))

2 2 2 2 22 22 22 2 2 )) ;; 11 22;; ))22 11 00;; 11 33;; 2 2 2 2 )) ;; 22 00 )) 22 22 22 00;; 00 11 cos cos  x  x xx  y  y xx a a y y y y b b xxyyddx x x x ddy y yy  x  x yy  x  x senyseny c c y y y y d d x yx ye e y y xxy y y y e e yy  x  x yy − − ′′ == == ++ ++ == ==−− − − − − ′ ′ == == ++ ′′++ ++ == == Determine

Determine sisi lala ecuaciónecuación respectivarespectiva eses exacta.exacta. SiSi lolo es,es, revuélvala.revuélvala.

(

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3 3 2 2 22 33 2 2 3 3 22 1 1.. 22 11 33 77 00 22.. 22 66 00 3

3.. 55 44 44 88 00 44.. ccooss ccooss 00

1 1 5 5.. 22 33 22 44 00 66.. 22 ccooss 33 44 33 33 00 7 7.. 22 00 88.. 11 llnn 11 llnn 9. 9.  x  x dx dx y y dy dy x x y y dx dx x x y y dydy  x

 x y y dx dx x x y y dy dy sen y sen y sen x sen x dx dx x x y y y y dydy dy

dy yy  y

 y x x dx dx yx yx dy dy y y x x x x ysen ysen xx  x  x dx dx xx  y  y  x  x y y x x y y dx dx x x x x y dy y dy x x dx dx x x dydy  x  x  y  y yy − − ++ ++ == ++ −− + + == + + ++ −− == −− ++ ++ −− == ⎛ ⎛ ⎞⎞ − − ++ ++ == _{⎜ ⎜} −− ++ _⎟⎟ ++ −− ++ == ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎛ ⎛ ⎞⎞ + + −− ++ −− == _{⎜ ⎜} ++ ++ _⎟⎟ == − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ − −

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(

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2 2 33 33 22 2 2 2 2 2 2 22 33 3 3 22 ccooss 00 1100.. 33 00 1 1 22 1 111.. llnn llnn 00 1122.. 00 1 133.. 22 66 1144.. 33 22 00  xy  xy  x  x y y yy

sseennx x x x ddx x xxy y y y x x ddy y x x y y ddx x xxy y ddyy  x  x xx  y  y y y e e dx dx x x y y dy dy dx dx dydy  y  y y y yy dy dy  x  x xe xe y y x x x x y y e e dx dx x x xe xe y y dydy dx dx − − − − ++ ++ == ++ ++ == ⎛ ⎛ ⎞⎞ − − ++_{⎜ ⎜} + + _⎟⎟ == −− == ⎝ ⎝ ⎠⎠ = = ++ ++ ++ ++ −− ==

( (

))

( (

))

2 2 33 33 22 2 2 1 1 1 177.. 00 1188.. 55 22 '' 22 00 1 1 99 1

199.. ttaan n sseen n ccooss ccoos s ddyy 00 dx dx  x  x y y x x y y y y x x y y yy  x  x dydy  x  x sen x sen x y y dx dx x x yy ⎛ ⎛ ⎞⎞ − − ++ == −− −− == ⎜ ⎜ ₊₊ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ − − + + ==

(

(

)

)

(

(

))

( (

))

(

(

22

)

)

(

(

22

))

2 2 33 2 2 22 2 200.. 33 ccooss 33 33 33 22 55 00 2211.. 11 22 22 44 44 2

222.. 22 sseennxx ccooss xx 22  xy  xy 44 xyxy

dy dy  x  x x x sen sen x x dx dx y y dy dy x x y y x x xyxy dx dx  y

 y y y y y e e dx dx x x sen sen x x xye xye dydy + + −− ++ ++ == −− −− == ++ − − + + == −− −−

(

(

33 22

)

)

(

(

44 22

))

2 2 22 22 22 22 2 2 33 .. 44 11 55 33 00 1 1 11 2 2 44 ..  y y 00  x  x y y x x y y dd x x x x y y x x dd yy  y  y xx d d x x yy e e dd yy  x  x x x x x y y x x yy

−

−

−

−

+

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+

+

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⎛

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⎜

₊

₊

⎟

⎟

⎜

⎜

₊

₊

⎟⎟

⎝

⎝

⎠

⎠

⎝

⎝

⎠⎠

Resuelva

Resuelva cadacada ecuaciónecuación diferencialdiferencial sujetasujeta aa lala condicióncondición inicialinicial indicada.indicada.

( (

))

( (

))

( ( ))

(

( )

) (

(

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(

(

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(

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(

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(

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2 2 ₂₂ 2 2 22 5 5 44 2 2 22 33 2 255.. 22 11 00,, 1 1 11 2 266.. 22 00,, 00 11 2 277.. 44 22 55 66 44 11 00,, 11 22 3 3 2 288.. 00,, 11 11 2 2 2 299.. ccooss 33 22 22 llnn 00,, 00  x  x yy  x  x y y dx dx xy xy x x dy dy yy e e y y ddx x x x yye e ddy y yy  y  y x x dx dx y y x x dy dy yy  y  y x x dy dy xx  y  y  y  y dx dx yy  y

 y x x x x y y x x dx dx ysenysenx x x x y y dy dy y y ee

+

+

+

+ +

+ −

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+ + +

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⎛

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−

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Determine

Determine elel valorvalor dede kk parapara lala ecuaciónecuación diferencialdiferencial correspondientecorrespondiente seasea exacta.exacta.

(

(

)

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(

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(

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3 3 44 22 22 33 4 4 33 2 2 22 3 3 22 22 3 311.. 22 33 2200 00 3 322.. 22 2200 00 3 333.. 22 '''' 22 11 00 3 344.. 66 ccooss 00  x  x  y

 y kkxxy y x x ddx x xxy y x x y y ddyy  x

 x yysesennxxy y kky y ddx x xxy y xxsesennxxy y ddyy  x

 xy y yye e ddx x x x y y kke e ddyy  x

 xy y y y ddx x kkx x y y xxsesenny y ddyy

+

+

−

−

+

+

+

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−

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