ECUACIONES
ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALESEXACTASEXACTAS
Definición
Definición 1.1. LaLa diferencialdiferencial dede unauna funciónfunción dede unauna oo másmás variablesvariables eses llamadallamada unauna diferencial
diferencial exacta.exacta. Definición
Definición 2.2. SiSi ΜΜ(( ,, )) x x y y dx dx ++ΝΝ(( ,, ))x x y y dydy == se00se multiplicamultiplica porpor u u x
( (
x yy,,))
parapara obtenerobtener( (
))
00u
u dΜ Μ + dx x + Ν Ν =ddyy = cuyocuyo ladolado izquierdoizquierdo eses unauna diferencialdiferencial exacta,exacta, decimosdecimos queque hemoshemos
hecho
hecho exactaexacta lala ecuaciónecuación diferencial.diferencial. Definición
Definición 3.3. LaLa funciónfunción multiplicadoramultiplicadora pp eses llamadallamada unun factorfactor integranteintegrante dede lala ecuaciónecuación diferencial
diferencial Μ Μ + ddx x + Ν Ν =ddyy =00 En
En elel métodométodo dede separaciónseparación dede variables,variables, hemos,hemos, sinsin darnosdarnos cuenta,cuenta, hechohecho usouso dede laslas ideas
ideas anteriores.anteriores. PorPor ejemplo,ejemplo, enen lala ecuaciónecuación diferencialdiferencial
( (
22))
2
2 x x y y dx dx xdy− − xdy ==00 Después
Después multiplicamosmultiplicamos lala ecuaciónecuación porpor elel factorfactor integranteintegrante “apropiado”“apropiado” uu 11 xy xy = = parapara obtener obtener 22 x x 11 dxdx dydy 00 x x yy ⎛ ⎛ + + ⎞⎞ − − == ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ Esto
Esto es,es,
( (
22))
ln
ln 00 d
d x x lln + + n x x − − yy == oo x x 22 + + llnn x x − − llnn yy ==00
ECUACIONES
ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALESEXACTASEXACTAS
Si
Si lala ecuaciónecuación diferencialdiferencial ΜΜ(( ,, )) x y x y dx dx ++ΝΝ(( ,, ))x x y y dydy == es00es exacta,exacta, entoncesentonces porpor definicióndefinición hayhay una
una funciónfunción U U x
( (
x yy,,))
tal quetalque ΜΜ(( ,, )) x x y y dx dx ++ΝΝ(( ,, ))x y x y dy dy dU == dU (1)(1) Ejemplo:Ejemplo: LaLa ecuaciónecuación 22 22 33 22
0 0 x
x y y dx dx x + + x y y dydy == eses exacta,exacta, porpor queque
3 3 33 22 33 33 22 1 1 .. 3 3 d d ⎜ ⎜ ⎛ ⎛ x x y y ⎞⎞⎟⎟= = x y x y ddx x x ++x y y ddyy ⎝ ⎝ ⎠⎠ Pero,
Pero, deldel cálculocálculo elemental,elemental, ddU U U U ddx x U U ddyy x x yy ∂ ∂ ∂∂ = = ++ ∂
∂ ∂∂ (2)(2) yy así,así, alal compararcomparar (1)(1) yy (2),(2), vemosvemos que:
que: U U ,, x x ∂∂ = Μ = Μ ∂∂ U U y y ∂∂ = Ν = Ν ∂∂ (3)(3) Diferenciando
Diferenciando lala primeraprimera dede laslas ecuacionesecuaciones (3)(3) concon respectorespecto aa y,y, yy lala segundasegunda concon respectorespecto
2 2 U U ∂ ∂ ∂Μ∂Μ 22 U U ∂ ∂ ∂Ν∂Ν
Obsérvese
Obsérvese que,que, enen elel ejemplo, siejemplo, si
(
( )
)
22 33(
( ))
33 22, , ,, ,, M M x x y y = = x x y y y N y N x x y y == x yyx entoncesentonces 2 2 22 / / 33 // .. M M y y x x y y N N xx ∂
∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂∂ indicaindica queque estaesta igualdadigualdad dede derivadaderivada parcialparcial nono eses unauna casualidad.
casualidad. CRITERIO
CRITERIOPARAPARAUNAUNAECUACIÓNECUACIÓNDIFERENCIALDIFERENCIALEXACTAEXACTA
Sean
Sean continuascontinuas M M x
( )
(
x y , , y y N) (
y N x( ))
x yy,, ,, concon derivadasderivadas parcialesparciales continuascontinuas enen unauna regiónregiónrectangular,
rectangular, R,R, definidadefinida porpor a x a < < < x b < < b c ,,c y < <y d < d .. Entonces,Entonces, lala condicióncondición necesarianecesaria yy suficiente
suficiente parapara queque M M x
(
( )
x y ,,y dx)
dx N ++N x(
( ))
x y ,,y dydy seasea unauna diferencialdiferencial exactaexacta eses queque M M N Ny y xx ∂ ∂ ∂∂ = = ∂ ∂ ∂∂ DEMOSTRACIÓN
DEMOSTRACIÓN DEDE LALA NECESIDADNECESIDAD parapara simplificarsimplificar supongamossupongamos queque M M x
(
( )
x y , , y y N) (
y N x( ))
x yy,,tiene
tiene primerasprimeras derivadasderivadas parcialesparciales continuascontinuas enen todatoda
( (
x x yy,,))
.. SiSi lala expresiónexpresión(
( )
,,)
(
( ))
,, MM x x y y dx dx N ++N x x y y dydy eses exacta,exacta, existeexiste unauna funciónfunción f f taltal que,que, parapara todotodo XX dede R,R,
(
( )
,,)
(
( ))
,, f f f f .. M M x x y y dx dx N N x x y y dy dy dx dx dydy x x yy ∂ ∂ ∂∂ + + = = ++ ∂ ∂ ∂∂ En En consecuencia:consecuencia: M M x( )
(
x y ,,y)
f f ;;NN(
( ))
x x yy,, f f x x yy ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ YY 2 2 M M f f f f f f N N y y y y x x y y x x x x y y xx ⎛ ⎛ ⎞⎞ ∂ ∂ == ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎛ ∂ ⎞⎞ == ∂ ∂ == ∂ ∂ ∂ ∂ == ∂∂ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎝ ∂ ⎠⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎝ ∂ ⎠⎠ ∂∂ LaLa igualdadigualdad dede laslas derivadasderivadas parcialesparciales mixtasmixtas eses consecuenciaconsecuencia dede lala continuidadcontinuidad dede laslas primeras
primeras derivadasderivadas parcialesparciales dede M x M
(
( )
x y , , y y N) (
y N x( ))
x yy,, .. MÉTODOMÉTODODEDESOLUCIÓNSOLUCIÓN
Dada
Dada unauna ecuaciónecuación dede lala formaforma M M x
(
( )
x y ,,y dx)
dx N + + N x( ))
(
x y ,,y dydy ==0,,0 sese determinadetermina sisi eses válidaválida lalaigualdad igualdad y y xx ∂∂Μ Μ ∂∂ΝΝ = = ∂
∂ ∂∂ .. EnEn casocaso afirmativo,afirmativo, existeexiste unauna funciónfunción parapara lala cualcual
( (
))
(( ,, )) ,, f f x x yy M M x x yy x x ∂∂ = = ∂∂ PodemosPodemos determinardeterminar f f sisi integramosintegramos M x M
( (
x yy,,))
concon respectorespecto aa x x,, manteniendomanteniendo YY constante:constante: f f x
(
( )
x y ,,y)
= =∫∫
M M x(
( )
x y ,,y dx)
dx g ++g yy(
( ))
((**))En
(
( ) (
) ( )
,,)
(
( ))
,, .. g g y y N N x x y y M M x x y y ddxx y y ∂∂ ′′ = = −− ∂∂∫∫
PorPor último,último, aa eseese resultadoresultado lolo integramosintegramos concon respectorespecto aa Y,Y, parapara obtenerobtener elel valorvalor dedeg g yy
( ( ))
yy sustituimossustituimos elel resultadoresultado enen lala ecuaciónecuación (*)(*) dada.dada. LaLa SoluciónSolución dede lala ecuaciónecuación eses
( (
,,))
.. ff x x y y ==cc
Resumen
Resumendeldelprocedimientoprocedimientoparaparasolucionarsolucionaresteestetipotipodede ecuacionesecuacionesdiferencialesdiferenciales
1.
1. SeSe integraintegra MM(( x x ,, y y )) concon respectorespecto aa “x”“x” (cuando(cuando sese integraintegra concon respectorespecto aa “x”,“x”, entoncesentonces “y”
“y” eses constante)constante) sese reemplazareemplaza lala constanteconstante dede integraciónintegración porpor unauna funciónfunción dede “y”“y” (g(y)).(g(y)). (( ,, )) (( ,, )) (( ,, )) (( ))
f
f x x y y = =
∫∫
M M x x y y dx dx F = = F x x y y ++g g yy 2.2. SeSe derivaderiva lala funciónfunción F F x (( ,, ))x y y g ++ g yy(( ))concon respectorespecto aa “y”,“y”, sese igualaiguala concon NN (x,(x, y)y) (( ,, )) (( )) (( ,, )) F F x x y y g g yy N N x x yy y y yy ∂ ∂ ∂∂ + + == ∂ ∂ ∂∂ 3.
3. SeSe integraintegra ambosambos ladoslados deldel resultadoresultado dede lala ecuaciónecuación anterioranterior concon respectorespecto aa “y”,“y”, parapara obtener
obtener elel valorvalor dede gg (y)(y) yy sese sustituyesustituye esteeste resultadoresultado enen elel pasopaso "1"."1". Nota:
Nota: EsEs pertinentepertinente hacerhacer unasunas observaciones.observaciones. LaLa primera,primera, eses importanteimportante darsedarse cuenta,cuenta, que
que lala expresiónexpresión N N x
( )
( ) (
x y ,,y − ∂ −(
∂ ∂∂// y y)
) ( )
∫∫
M M x( )
x y ,,y dxdx eses independienteindependiente dede xx porpor queque(
(
,,)
)
(
(
,,)
)
N N(
(
,,))
N N M M 00 N N x x y y M M x x y y dx dx M M x x y y dxdx x x y y y y x x x x yy ⎡ ⎡ ⎤⎤ ∂ ∂ −− ∂∂ == ∂∂ ⎛ ⎛ ∂∂ ⎞⎞== ∂∂ −− ∂∂ == ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎢ ⎢ ⎥⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎣ ∂∂∫ ∫
⎦⎦ ∂∂ ⎝ ⎝ ∂∂∫∫
⎠⎠ ∂∂ ∂∂ EnEn segundosegundo lugar,lugar, tambiéntambién pudimospudimos iniciariniciar elel procedimientoprocedimiento anterioranterior suponiendosuponiendo queque
( (
))
/ / ,, .. f f y y N N x x y y dydy ∂∂ ∂ ∂ == despuésdespués dede integrarintegrar NN concon respectorespecto aa yy derivarderivar elel resultado,resultado, concon respecto
respecto aa x,x, llegaríamosllegaríamos aa loslos análogosanálogos queque serían,serían, respectivamente.respectivamente.
(
( )
,,) (
( )
,,) (
(
)
)
yy ''(
(
) (
)
( )
,,)
( ))
(
,, .. f f x x y y N N x x y y dy dy h h x x h x h x M M x x y y N N x x y y dydy x x ∂∂ = = ++ == − − ∂∂∫ ∫
∫∫
EnEn ambosambos casos,casos, nono sese debendeben memorizarmemorizar laslas formulas.formulas. Ejemplo
(
( )
)
(
( )
)
(
( ) (
) ( )
)
(
( ) (
) ( )
)
22(
( ))
,, ,, ,, 22 ,, f f x x y y=
=
∫ ∫
M x M x y y dx dx g+
+
g y y⇒
⇒
f x f x y y=
=
∫∫
xydx xydx g+
+
g y y⇒
⇒
f x f x y y=
=
x x y y g+
+
g yy DeterminamosDeterminamos lala derivadaderivada parcialparcial concon respectorespecto aa y,y, ee igualamosigualamos elel resultadoresultado aa N N x
( (
x yy,,))
(
( )
)
22(
( ))
( (
,,))
22( )
(
)
22(
( ))
22 ,, f f x x yy ´´ ´´ 11 f f x x y y x x y y g g y y x x g g y y x x g g y y xx y y ∂∂ = = + + ⇒ ⇒ = = + + ⇒ ⇒ + + = = −− ∂∂ PorPor lolo tanto,tanto, g g y ´´
(
(
y)
)
= = − ⇒ − 11 ⇒∫ ∫
g g y ´´(
(
y d)
)
dy y = = − ⇒ −∫∫
ddy y ⇒ gg(
(
y y))
= = −−yy..No
No eses necesarionecesario incluirincluir lala constanteconstante dede integraciónintegración enen esteeste casocaso porpor queque lala soluciónsolución eses
( (
,,))
.. ff x x y y ==cc EnEn lala figurafigura sese ilustranilustran algunasalgunas curvascurvas ddee lala familia familia x x y 22y y − − =y cc= ..
Nota:
Nota: LaLa soluciónsolución dede lala ecuaciónecuación nono eses
( (
))
22,, ,, f f x x y y = = x x y y yy−− sinosino eses
(
( )
,,)
(
( ))
,, 00,, ff x x y y = = c o c o f f x x yy == sisi sese usausa unauna constanteconstante enen lala integraciónintegración dede g g yy''
( ( ))
.. obsérveseobsérveseque
que lala ecuaciónecuación tambiéntambién sese podríapodría haberhaber resueltoresuelto porpor separadoseparado dede variables.variables. Ejemplo
Ejemplo 2.2. ResuelvaResuelva
( (
22))
2
2 xydx xydx + + x x + + ccoossy y dydy==00 Solución:
Solución: 22
2
2 xy xy ;; x x ccooss ,,y y 22xx y y xx ∂∂Μ Μ ∂∂ΝΝ Μ Μ = = Ν Ν = = + + = = == ∂
∂ ∂∂ YY lala ecuaciónecuación eses exacta.exacta. Así Así f f x
( (
x yy,,))
existeexiste taltal queque f f 22 xy xy,,
x x ∂∂ = = ∂∂ 2 2 cos cos f f x x yy y y ∂∂ = = ++ ∂∂ Integrando
Integrando lala primeraprimera ecuaciónecuación concon respectorespecto aa x x dada
(
( )
)
(
( )
) (
( )
)
22(
( ))
,, 22 ,, f f x x y y ==∫∫
xydx xydx g ++ g y ⇒y ⇒ f x f x y y == x y x y g ++ g yy SeEjemplo
Ejemplo 3.3. ResuelvaResuelva
( (
))
( (
))
2 2 2 2 1 1 1 1 xy xy y y x x yy − − ′′ == −− dado quedadoque y y = donde=11 donde x x== 00 Solución:
Solución:
(
( )
22) (
( ))
221
1 11 00
xy
xy − + − =− + − =dx dx x x y y dydy tenemos:tenemos: Μ Μ (( ,, )) x x y y = = xyxy22 −−1,,1 Ν Ν (( ,, )) x x y y = = x x yy22 −−11 2 2 xy xy y y xx ∂∂Μ Μ ∂∂ΝΝ = = == ∂
∂ ∂∂ yy lala ecuaciónecuación eses exacta.exacta. Así,Así, dede
(( ,, )) f f x x yy y y ∂∂ = Μ = Μ ∂∂ yy (( ,, )) f f x x yy x x ∂∂ = = ΝΝ ∂∂ encontramos encontramos 2 2 22 (( ,, )) 2 2 x x yy f f x x y y = = − − − − − x x y − =y cc= Usando
Usando lala condicióncondición dede queque y y == donde11 donde x x== tenemos00tenemos finalmentefinalmente 11 22 22 11 2
2 x x y y − − − x x yy− = = −− El
El estudianteestudiante puedepuede encontrarencontrar másmás fácilfácil resolverresolver ecuacionesecuaciones exactasexactas porpor unun métodométodo dede inspección
inspección conocidoconocido comocomo “agrupación“agrupación dede términos”.términos”. EsteEste estáestá basadobasado enen lala habilidadhabilidad dede reconocer
reconocer ciertasciertas diferencialesdiferenciales exactas.exactas. Como
Como hemoshemos visto,visto, eses útilútil tenertener unauna intuiciónintuición parapara evitarseevitarse elel engorrosoengorroso empleoempleo dede lala fórmula
fórmula dede reconstrucción.reconstrucción. ParaPara ayudarayudar enen esaesa intuiciónintuición sirvesirve lala siguientesiguiente lista:lista:
( (
))
( ( ))
( ( ))
2 2 2 2 22 2 2 22 (( )) 2( 2( )) (( )) ((lloogg )) x x y y x x y y d d xxy y xxddy y yyddxx xx ydx ydx xdyxdy d d y y yy d d x x y y xxddx x yyddyy ydx
ydx xdyxdy d arctg
d arctg
x x yy ydx ydx xdyxdy d d xy xy = = ++ ⎛ ⎛ ⎞⎞ −− = = ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ + + = = ++ − − = = + + − − = = Ejemplo
Ejemplo 4.4. ResuelvaResuelva
( (
22))
2
2 xydx xydx + + x x − − seny seny dydy ==00 Solución
Solución LaLa ecuaciónecuación eses exacta.exacta. SiSi agrupamosagrupamos loslos términostérminos comocomo sigue:sigue:
( (
22))
2
2 xydx xydx x + + x dy dy − − senydysenydy==00 Entonces
Entonces d d x
( ( ))
x y 22y d + + d( (
ccooss yy))
==00 òò( (
22 ccooss))
00d
d x x y y + + yy == Así,
Así, lala soluciónsolución eses 22
cos cos x
x y y + + y y cc==
Ejemplo
Ejemplo 5.5. ResuelvaResuelva
( (
))
( (
))
2 2 2 2 1 1 xy xy y y − −2 2 22 0 0 2 2 x x yy d d ⎛ ⎜ ⎜ ⎛ ⎞⎞⎟⎟− − ddx x d− − dyy == ⎝
⎝ ⎠⎠ EstoEsto es,es,
2 2 22 22 22 0 0 2 2 22 x x y y x x yy d d⎛ ⎜ ⎜ ⎛ ⎞⎞⎟⎟− − − xx− = y y = ⇒ ⇒ − − − xx − =y y = cc ⎝ ⎝ ⎠⎠ En
En general,general, elel métodométodo dede agrupaciónagrupación produceproduce resultadosresultados másmás rápidosrápidos peropero requiererequiere másmás experiencia.
experiencia. ElEl métodométodo generalgeneral requiererequiere menosmenos ingenioingenio Ejemplo
Ejemplo 6.6. ResolverResolver
(
(
22 y y ccooss)
)
(
(
22 22yy ccooss 22))
00..e
e −− y y xxy y ddx x ++ xxe e −− x x xxy y ++ y y ddyy== Solución
Solución LaLa ecuaciónecuación eses exacta,exacta, porpor queque 22
2
2 y y ccooss ..
M
M N N
e
e xxyysseennxxy y xxyy y y xx ∂ ∂ ∂∂ = = ++ −− == ∂ ∂ ∂∂ Entonces,
Entonces, existeexiste unauna funciónfunción f f x
( (
x yy,,))
parapara lala cualcual(
(
,,)
)
f f yy NN(
(
,,))
f f .. M M x x y y x x yy x x yy ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ ParaPara variar,variar, comenzaremoscomenzaremos concon lala hipótesishipótesis queque ∂ ∂ ∂ f f / /∂ =y N y = N x
( (
x yy,,))
;;Esto
Esto es,es, 22
( (
))
222
2 y y ccooss 22 ,, 22 yy ccooss 22 ..
f f xe xe x x xy xy y y f f x x y y x x e e dy dy x x xy dy xy dy y y dydy y y ∂∂ = = −− ++ ⇒ ⇒ == −− ++ ∂∂
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
RecuérdeseRecuérdese queque lala razónrazón porpor lala queque XX salesale deldel símbolosímbolo
∫∫
eses queque enen lala integraciónintegración concon respectorespecto aa y,y, sese consideraconsidera queque XX eses unauna constanteconstante ordinaria.ordinaria. EntoncesEntonces
(
(
)
)
(
(
))
( (
))
(
(
)
)
(
(
))
2 2 22 2 2 22 ,, ,,ccooss '' ccooss MM ,,
y y y y yy f f x x y y xe xe sen xy sen xy y y h h xx f f x x yy e e y y xxy y h h x x e e y y xxy y x x yy x x = − = − + + ++ ∂∂ = = −− ++ == −− ←← ∂∂ Así
Así queque h x h ''
(
( )
x)
= = 0, 0, o o h h x(
( ))
x cc== ;; porpor consiguiente,consiguiente, unauna familiafamilia dede solucionessoluciones eses2 2 22 0. 0. y y xe
xe − − sen xy sen xy y + + + y + =cc=
Ejemplo
Ejemplo 7.7. ResolverResolver elel problemaproblema dede valorvalor inicialinicial
(
(
22)
)
(
(
))
22( ( ))
ccoos s x x sen x sen x xy −−xy dx dx y ++ y 11 −− x x dy dy == 00, , 0yy 0 ==22.. SoluciónSolución LaLa ecuaciónecuación eses exacta,exacta, porpor queque M M 22 xy xy N N y y xx ∂ ∂ ∂∂ = − = − == ∂ ∂ ∂∂ Entonces Entonces
( (
22))
1 1 f f y y xx y y ∂∂ = = −− ∂∂La
La últimaúltima ecuaciónecuación implicaimplica queque h x h ''
( ( ))
x ==ccoos ss seen x xx xn .. AlAl integrarintegrar obtenemosobtenemos(
( )
) (
( ))(
ccoos s(
))
11ccooss22 ..2 2 h h x x = = − −
∫∫
x sseen x − − n x x ddx x = = −− xx Así Así( (
))
( (
))
2 2 2 2 22 22 22 1 1 1 1 11 '' ccoos s o o sseea a 11 ccooss ,, 2 2 22 y y x x x x c c y y x x x x cc − − −− == −− −− == En
En dondedonde C,C, reemplazoreemplazo aa 22cc1.1. parapara queque sese cumplacumpla lala condicióncondición inicialinicial y y = = 2 2 cuando cuando xx ==0,0, Se
Se requiererequiere queque
(
( )
)
22(
( ))
4
4 11 − − ccooss 00 ==cc eses decir,decir, queque cc==3.3. Así Así unauna soluciónsolución deldel problemaproblema eses
( (
))
2 2 22 22 1 1 ccooss 33.. y y − − x x − − xx == Observación Observación AlAl probarprobar sisi unauna ecuaciónecuación eses exactaexacta sese debedebe asegurarasegurar queque tienetiene lala formaforma precisaprecisa
(
( )
,,)
(
( ))
,, 00.. MM x x y y dx dx N + + N x x y y dydy == QuizásQuizás enen ocasionesocasiones hayahaya unauna ecuaciónecuación diferencialdiferencial dede lala
forma
forma C x C x y d
( )
(
,,y dx)
x H ==H x( ))
(
x y d,,y dyy.. enen esteeste casocaso sese debedebe reformularreformular primeroprimero comocomo(
( )
,,)
(
( ))
,, 00,, G x yG x y ddx x H − − H x x y dy dyy == yy despuésdespués identificaidentifica M x M
( ) (
(
x y ,,y) ( )
= = G x G x y ,,y y N) (
,,y N x( )
x y ,,y)
= −= −H x H(
( ))
x yy,,yy solosolo entoncesentonces aplicaraplicar lala ecuaciónecuación respectivarespectiva EJERCICIOS
EJERCICIOSRESUELTOSRESUELTOS
1) 1)
( (
))
( (
33))
6 6 55 22 33 00 x x xy xy ++ +dx dx + x x ++ y y dydy == 2 2 6 6 M M N N x x y y xx ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ PasoPaso 1:1: IntegrarIntegrar "M""M" concon respectorespecto aa "x""x" ( ( )) 3 3 55 22 2 2 2 2 yy x x y y
+
+
x x+
+
GG PasoPaso 2:2: DerivarDerivar elel resultadoresultado concon respectorespecto aa "y""y" ee igualarloigualarlo concon "N""N" ( ( )) 3 3 33 2 2 x x + + G G ′′ y y = = 22x x ++33yy Paso
Paso 3:3: DespejarDespejar GG( ( ))′′ y y ee integrarintegrar concon respectorespecto aa “y”“y”
( ( )) (( )) (( )) 2 2 3 3 3 3 33 2 2 y y y y yy y y G G ′ ′ = ⇒ = y G y ⇒ = G ′ ′ =
∫∫
yyddy y G ⇒ ⇒ = G ′′ = ++cc2) 2)
(
(
)
) (
(
22))
2 2 00 xy xy xyxy ye ye ++ xy dx xy dx ++ xe xe ++ x x dydy== 2 2 xy xy xyxy M M N N e e xxyye e xx y y xx ∂ ∂ ∂∂ = = + + + + == ∂ ∂ ∂∂ PasoPaso 1:1: IntegrarIntegrar "M""M" concon respectorespecto aa "x”"x”
( (
))
22 ( ( ))2 2 xy xy xyxy y y ye ye + + xy xy dx dx e = = + e + +x x y y G+G
∫∫
PasoPaso 2:2: DerivarDerivar concon respectorespecto aa "y""y" ee igualarloigualarlo aa "N""N" xy xy 22 ( ( )) xyxy 22 y
y
xe
xe + + + x x + = G G ′′ = +xe xe +xx Paso
Paso 3:3: DespejarDespejar GG( ( ))′′ y y ee integrarintegrar concon respectorespecto aa “y”“y”
(
( y y ) ) 00 ( ( yy)) 00
G
G ′′ = = ⇒ ⇒ = G G =
∫∫
ddy y cc==Sustituir
Sustituir GG( ( )) y y enen elel pasopaso “1”“1”
Solución
Solución generalgeneral xy xy 22
e
e
+
+
x x y cy c=
=
3)
3)
( (
33 y y e ++e dx x x))
dx ++( (
33x x ++ccoossy y dy))
dy ==00 3 3 M M N N y y xx ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ PasoPaso 1:1: IntegrarIntegrar "M""M" concon respectorespecto aa "x""x"
∫∫
( (
33 y y e + + e dx x x))
dx = = + 33xy xy e + +e xx +GG( ( )) y yPaso
Paso 2:2: DerivarDerivar esteeste resultadoresultado concon respectorespecto aa "y""y" ee igualarloigualarlo aa "N""N" 33 x G x + + G ( ( ))′′ y y = = 33x x ++ccoossyy
Paso
Paso 3:3: DespejarDespejar GG( ( ))′′ y y ee integrarintegrar concon respectorespecto aa “y”“y”
4) 4)
(
(
33 44)
)
(
(
44))
( ( )) 0 0 4 4 x e x e x x y + + y ++x e x e x x y + + y ++22x x dx dx ++ x x e e x yyx ++ ++22x x dy dy ==00⇒ ⇒yy ==11( (
))
(( )) (( )) 3 3 44 4 4 44 22 33 44 33 44 4 4 2 2 44 44 22 x x y y x x yy x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x yy x x xx M M N N x x e e x x ee y y xx x x e e e e y y dy dy x x e e e e y y G G x x e e e e x x e e e e G G x x e e e e x x e e e e xx + + ++ ∂ ∂ ∂∂ + + == ∂ ∂ ∂∂ ′′ + + == ++ ++ ⇒⇒ ++ ++ == ++ ++∫∫
Despejar5)
5)
(
(
33)
)
(
(
22 22))
2
2 x x sen y sen y y ++ y e e dx x x dx ++ x x ccoossy y ++33y y e e dyxx dy ==00
( ( )) (( )) 2 2 3 3 22 33 22 22 22 22 2 2 ccooss 33 2
2 ccooss 33 ccooss 33
x x x x y y x x xx y y xx M M N N x x y y y y ee y y xx sseen n y y xxddx y x y e e ddx x x x sseen n y y y y e e G G x x y y y y e e G G x x y y y y ee ∂ ∂ ∂∂ = = + + == ∂ ∂ ∂∂ ′′ + + == ++ ++ ⇒⇒ ++ ++ == ++
∫ ∫
∫∫
DespejarDespejar GG( ( ))′′ y y ee integrarintegrar concon respectorespecto aa "y""y"
( ( ) ) ( ( )) 2 2 33 0 0 xx y y yy G G ′′ = = ⇒ ⇒ = G G = ⇒ c c x ⇒ x sseen n y y y + + y e e cc== 6) 6)
( (
33))
ccooss 44 y y 22 55
x x y y y y xx sen ysen y x x ∂∂ + + + + = = −− ∂∂
( (
))
( (
))
( ( )) (( )) ( ( )) (( )) 2 2 2 2 22 22 2 2 22 22 22 55 ccooss 44 00 22 ccooss
2
2 55 55 ccooss ccooss 44
4 2 4 2 55 22 y y yy y y yy M M N N x x sen y sen y dx dx x x y y y y dy dy x x yy y y xx sseen n y y xxddx x ddx x x x sseen n y y x x G G x x y y G G x x y y yy G G y y G G y c y c x x sseen n y y x x y y cc ∂ ∂ ∂∂ + + ++ ++ == ⇒ ⇒ == == ∂ ∂ ∂∂ ′′ + = + = ++ ++ ⇒⇒ ++ == ++ ⇒⇒ ′′ = = ⇒ ⇒ = = + + ⇒ ⇒ + + + + ==
∫ ∫
∫∫
7) 7) 22( (
22 22))
( ( )) 0 0 2 2 1 1 1 1 00 1 1 44 22 x x y y xx ye ye dy dy y y e e dx dx yy y y ⎛ ⎛ ⎞⎞ + + ++ −− == ⇒ ⇒ == ⎜ ⎜ ++ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ( ( )) (( )) (( )) ( ( )) 2 2 2 2 22 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 11 44 11 44 1 1 llnn 11 44 8 8 x x x x x x x x xx y y y y yy y y M M N N ye ye y y xx y y e e y y yy y y e e x x x x x x G G ye ye G G ye ye GG y y yy G G y y cc ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ ′ ′ ′′ ∂ ∂ − − ∂ ∂ = = − − + + ⇒ ⇒ + = + = + + ⇒ ⇒ = = ⇒⇒ + + ++ = = + + ++∫ ∫
∫∫
SoluciónSolución general:general: 22 22 22
4
4 y y e e x x − − + + 88x x + + llnn 11 44y y ==cc
Solución
Solución particular:particular: 22 22 22
4
4 y e y e x x − + − 88x x + + llnn 11 4+ 4yy = = +1 lln1+ n 22
8)
8)
( (
33))
2
2 y y sen sen xyxy dx dx + + 22xx sen sen xy xy y + + y dydy ==00 2
2 22 ccooss
M
M N N
sseen n xxy y xxy y xxyy y y xx ∂ ∂ ∂∂ = = + + == ∂ ∂ ∂∂
Solución
Solución general:general:
4 4 2cos 2cos 4 4 y y xy xy cc − − + + == 9) 9)
( (
22))
ccooss y y dx dx − − xx sen y sen y y − − y dydy ==00
M M N N sen y sen y y y xx ∂ ∂ ∂∂ = − = − == ∂ ∂ ∂∂ ( ( )) (( )) (( )) (( )) 3 3 2 2 22
ccooss ccooss
3 3 y y y y y y yy y y y
y dx dx x = = x y y G + ⇒ + G ⇒ − − xx sen y sen y G + + = G ′ ′ = − − xx sen y sen y y + + ⇒ y ⇒ = G G ′′ = ⇒ y y ⇒ = G G = ++ cc
∫∫
Solución
Solución general:general:
3 3 cos cos 3 3 y y x x y y + + ==cc 10) 10)
(
(
22 x x + + + 33y y + 44)
)
dx dx + + +(
(
33x x + + 44y y + 55))
dydy ==00( (
))
(( )) (( )) ( ( )) (( )) 2 2 2 2 3 3 2 2 33 44 33 44 33 33 44 55 4 4 55 22 55 y y yy y y yy M M N N y y xx x x y y dx dx x x xy xy x x G G x x G G x x yy G G yy GG yy yy cc ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ ′′ + + + + = = + + + + + + ⇒ ⇒ + + = = + + + + ⇒⇒ ′′ = + = + ⇒ ⇒ = = + + ++∫∫
SoluciónSolución general:general: 22 22
3 3 44 22 55 x x
+
+ +
xy xy+ +
x x+ +
y y+ =
y y cc=
11) 11) ((22 x x y + + y dx ))dx + − + ((x x − 2 ))2y y dydy ==00 ((22 x x y y ) 1;;) 1 ((x x 22 ) 1yy) 1 y y xx ∂ ∂ ∂∂ + + = = − − == ∂ ∂ ∂∂ 2 2 22 22 22 2 2 22 00;; (( )) (( )) (( )) 00 x dx x dx y dx y dx x dy x dy y dyy dy d d x x d d xxy d y d y y x x xxy y y y CC.. + + + + − − == + + − − = = ⇒ ⇒ + + − − == 12) 12) ((11 llnn )) y y dt dt (( ))t t dydy 00 y y + + + + == 1 1 11 ((1 l1 ln )n ) y y ;; ( )( )t t y y y y t t y y yy ∂ ∂ ∂∂ + + = = == ∂ ∂ ∂∂ (( , ), ) ((11 lln )n ) (( ));; F F t t y y = =∫∫
+ + y y ddt t g ++g yy1 1 2 2 (( ,, )) ´´(( )) 00 yy ;; ln ln t t t t t t F F t t y y g g y y gg´´((yy) ) gg((yy) ) C C y y y y y y yy F F((tt, y, y) ) t t t t y y C C .. ∂∂ = = ⇒ ⇒ + + = = ⇒ ⇒ = = == ∂∂ = = + + ++ 13)
13) ( ( ccoos cs cox x ossy y xx) ++22 ) ddx −x ( −( sseenn sseenx x n y y y ++2 ))2y ddyy ==00
⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ − − = = + + − − ∂∂ ∂∂ − − = = + + ∂∂ ∂∂ ;; sen sen cos cos )) 2 2 sen sen (sen (sen (( ;; sen sen cos cos )) 2 2 cos cos (cos (cos y y x x y y y y x x x x y y x x x x y y x x y y C. C. y y x x y y x x y y d d x x d d y y x x d d dy dy y y dx dx x x dy dy y y x x dx dx y y x x dy dy y y dy dy y y x x dx dx x x dx dx y y x x = = − − + + = = − − + + = = − − + + − − = = − − − − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sen sen ;; 0 0 )) (( )) (( )) cos cos (sen (sen ;; 0 0 2 2 2 2 sen sen sen sen cos cos cos cos ;; 0 0 2 2 sen sen sen sen 2 2 cos cos cos cos 14) 14) 2 2 3 3 2 2
(( sseenn 33 )) (( ccooss )) 00 3 3 x x xx yy e e y y x x ddx x e e y y ddyy − − − − ++ ++ == 2 2 3 3 2 2
(( sseenn 3 )3 ) ccooss ;; (( ccooss )) ccooss 3 3 x x x x x x y y xx e e yy xx ee yy ee yy ee yy y y xx − − ∂ ∂ ∂∂ − − = = ++ == ∂ ∂ ∂∂ 2 2 3 3 1 1 11 3 3 33 2 2 3 3 33
sseenn ccooss 33 00;;
3 3 (( sseenn )) (( )) (( )) 00 sseenn x x xx x x xx y y e e y y ddx x e e y y ddy y x x ddx x ddyy d d e e y y d d x x d d y y e e y y x y Cx y C.. − − + + −− ++ == − − + + = = ⇒ ⇒ − − + + == 15)
15) ccoossθ θ dr dr r − − (( sseenr nθ θ − − e e d θ θ ))d θ θ ==00
((ccooss )) sseenn ;; ( (( ( sseenr r n ee )) sseenn
r r θ θ θ θ θθ θθ θθ θ θ ∂ ∂ ∂∂ = = − − − − − − = = −− ∂ ∂ ∂∂
ccooss sseenn 00
(( ccoos )s ) (( )) 00 ccooss
d dr r r r d d e e d d d d rr dd ee rr ee CC θ θ θ θ θ θ θθ θθ θθ θ θ θ θ θ θ − − + + == + + = = ⇒ ⇒ + + == 16)
16) (( ye ye xy xy 11))dx dx ((xe xe xyxy xx22))dydy 00
y y yy − − ++ ++ == 2 2 22 22 1 1 11 11
(( ye ye xy xy )) e e xy xy ((11 yx yx )) ;; ((xe xe xy xy x x )) e e xyxy((11 yxyx))
y y y y y y x x y y yy ∂ ∂ ∂∂ − − == ++ ++ ++ == ++ ++ ∂ ∂ ∂∂
2 2 (( )) 00;; (( )) 00 (( )) 00 xy xy xy xy xy xy xyxy x dy x dy y dxy dx e e y y ddx x x x ddyy y y x x x x xx e e d d xxy y d d d d e e d d e e CC.. y y y y yy − − + + + + == ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛⎛ ⎞⎞ − − ⎜⎜ ⎟⎟= ⇒ = ⇒ − − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⇒ = ⇒ − − == ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠⎠ 17) 17) e e y t t ((y t − + − t d))dt t + + ((11+ e e dt t ))dyy ==00 (( (( )))) ;; ((11 )) 0 0 00 ;; ;; (( )) 00 ;; ;; t t tt tt tt t t tt tt tt tt tt t t t t t t tt tt tt e e y y t t e e e e ee y y t t ye dt ye dt te dt te dt dy dy e dy e dy ye dt ye dt e dy e dy dy dy te dt te dt e e ddt t ddv v e e vv d
d yye e ddy y tte e ddt t yye e y y tte e ddt t C C
t t u u ddt t dduu ∂ ∂ ∂∂ − − = = + + == ∂ ∂ ∂∂ − − + + + + = = ⇒ ⇒ + + + + − − == = = == + + − − = = ⇒ ⇒ + + − − = = ⇒⇒ = = ==
∫∫
1 1 11 t t t t tt tt tt t t tt tt yeye + − + + y te y − + te
∫∫
e dt C e dt = ⇒ = C ⇒ + ye ye + − + y te y − + = te e e = ⇒ C C ⇒ y(e y(e + + + ) e ( ) + − e ( − =t) C.t) =C. 18) 18) 22 22 22 22 22 22 00 1 1 11 y y xx x x dx dx y y dydy x x y y x x yy ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛⎛ ⎞⎞ + + ++ −− == ⎜ ⎜ + + ⎟⎟ ⎜⎜ ++ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠⎠(
(
)
) (
(
))
(
(
)
) (
(
))
⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ + + − − = = + + − − + + = = ⎟⎟⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ − − + + ∂∂ ∂∂ + + − − = = + + − − + + = = ⎟⎟⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ + + + + ∂∂ ∂∂ ;; 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ;; 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y y y x x x x x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y( (
))
( ( ))
( (
))
( (
))
2 2 22 2 2 22 22 22 2 2 22 2 2 22 22 22 2 2 22 00 1 1 0 0 ((aarrccttgg )) 00;; 1 1 aarrccttgg ttgg .. y dx y dx x dyx dy x dx x dx y dyy dy x x yy d d xyxy d d x x y y d d x x y y d d xxyy x x yy x x y y (xy) (xy) C C xy xy C C x x yy + + − − + + == + + − − ++ == ⇒ ⇒ −− ++ == + + − − + + = = ⇒ ⇒ = = − − ++ 19) 19) 22 22 x x y y ccooss((x y x y dx )) dx 22xy xy ccooss((x x y y )) e e dy y y dy 00
⎡ ⎡ + + − − + + ⎤⎤ + − + − ⎡⎡ + + − − ⎤⎤ == ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎣⎣ ⎦⎦
( (
))
[ [
]]
( (
))
( (
))
[ [
]]
⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ + + + + = = − − + + − − ∂∂ ∂∂ + + + + = = + + − − + + ∂∂ ∂∂ ); ); sen( sen( 2 2 cos cos 2 2 ;; sen sen 2 2 cos cos 2 2 22 y y x x y y ee y y x x xy xy x x y y x x y y y y x x y y x x y y y y2 2 22 2 2 22 2 2 22 22 22 ( ) ( ) (( )) (( )) ccooss(( ))(( )) 00;; ( ) ( ) (( )) (( )) ccooss(( )) (( )) 00;; (( )) (( )) (( )) ((sseenn(( )))) 00 sseenn y y y y y y yy d d x x d d e e d d xxy y x x y y ddx x ddyy d d x x d d e e d d xxy y x x y y d d x x yy d
d x x d d e e d d xxy y d d x x y y x e x e xxy y ((x x yy) ) CC.. − − ++ −− ++ ++ == − − ++ −− ++ ++ == − − + + − − + + = = ⇒ ⇒ − − + + − − + + == 20) 20) 1133 2 2 2 2
ccooss(( )) ccooss(( )) 00 1 1 y y xy xy dx dx x x xy xy y y dydy x x − − ⎡ ⎡ ⎤⎤ ⎡ ⎡ ⎤⎤ + + ++ −− == ⎢ ⎢ ⎥⎥ ⎣ ⎣ ⎦⎦ − − ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ − − = = ⎥⎥⎦⎦ ⎤⎤ ⎢⎢⎣⎣ ⎡⎡ −− ∂∂ ∂∂ − − = = ⎥⎥ ⎦⎦ ⎤⎤ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎡⎡ + + − − ∂∂ ∂∂ − − ); ); sen( sen( )) cos( cos( )) cos( cos( ); ); sen( sen( )) cos( cos( )) cos( cos( 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 xy xy xy xy y y xy xy x x x x xy xy xy xy xy xy y y x x y y 1 1 3 3 2 2 2 2 22 3 3 33 2 2
ccooss(( )) ccooss(( )) 00;; 1
1
3
3 33
2
2 ((aarrccsseenn )) ((sseenn(( )))) (( )) 00 22 aarrccsseenn sseenn 2 2 22 dx dx y y xy xy dx dx x x xy xy dy dy y y dydy x x d d x x d d xxy y d d y y x x ((xxyy) ) y y CC.. − − + + ++ −− == − − + + −− == ⇒⇒ ++ −− == 21) 21) 33 22 22 (
( y y −− y y senx senx x −−x dx ))dx ++((33xy xy ++2 cco2y y oss ))x x dydy ==00
3 3 22 22 22 2 2 3 3 22 22 33 22 2 2 22 22 (( ,, )) ;; (( ,, )) 33 22 ccooss 33 22
ss nn yy 33 22 ccooss (( ,, )) ccooss (( ))
2 2 (( ,, )) 33 22 ccooss (( )) 33 22 ccooss (( )) 33 22 ccooss ,, (( )) 00 (( ))
M
M N N
M
M x x y y y y y y senx senx x x N N x x y y xy xy y y x x y y ysenxysenx y y xx f f f f xx y y y e y e x x x x xy xy y y x x f x f x y y y y x x y y x x g g yy x x yy f f x x y y xy xy y y x x g g y y xy xy y y x x g g y y xy xy y y xx y y g g y y g g y y cc ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− == ++ ⇒⇒ == −− == ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− == ++ ⇒⇒ == ++ −− ++ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ′ ′ ′′ = = ++ ++ ⇒⇒ ++ ++ == ++ ∂∂ ′′ = = ⇒ ⇒ == 22 22 33 cos cos 2 2 x x y y x x xy xy cc ⇒ ⇒ − − + + == 22) 22) 22 33 33 22 2 2 1 1 0 0 1 1 99 dx dx x x y y x x yy x x dydy ⎛ ⎛ − − ⎞⎞ + + == ⎜ ⎜ ++ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 33 33 22 22 33 22 22 2 2 22 3 3 22 22 22 22 22 1 1 11 (( )) 00 (( ,, )) (( ,, )) 33 1 1 99 11 99 (( ,, )) 33 (( ,, )) 33 (( ,, )) M M x x y y dx dx x x y y dy dy M M x x y y x x y y x x y y x x yy y y x x yy N N M M N N N N x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x yy ∂∂ − − ++ == ⇒⇒ == −− ⇒⇒ == + + + + ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ = = ⇒⇒ == ⇒⇒ == == ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
3 3 33 33 22 3 3 22 33 22 3 3 33 33 33 1 1 11 (( ,, )) aarrccttaann((33 )) (( )) (( ,, )) ´´(( )) 3 3 33 ´´(( )) ´´(( )) 00,, (( )) ,, (( ,, )) ,, 1 1 11 11 11 ( , ( , )) aarrccttaann((3 )3 ) (( )), , aarrccttaann((3 )3 ) ,, 3 3 33 33 33 F F F F x x y y x x y y x x g g y y x x y x y x y g y g yy y y x
x y y g g y y x x y y g y g y InInteteggraranndo do g g y y c c pperero F o F x x y y c c susuststituituyeyenndo do enen F
F x x y y x x y y x x g g y y sse e oobbttiieenne x e x y y x x C C MMuullttiipp
∂∂
=
=
−
−
+
+
⇒
⇒
=
=
+
+
∂∂
+
+
=
=
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
+
+
−
−
=
=
licando por licando por (( ))−
−
3 3 33
aarcrctatan(n(33 )) ::
3
3 33
x
x x x yy
lla a ssoolluucciióón n ggeenneerraal l − − = −= −C C 23) 23) ((22 x x − + + − + 1))1dx dx ((33y y + 7))7 dydy ==00 (( ,, )) 22 11;; (( ,, )) 33 77 (( ,, )) 00;; (( ,, )) 00 (( ,, )) (( ,, )) M M x x y y x x N N x x y y yy M M N N M M N N x x y y x x y y x x y y x x yy y y x x y y xx = = −− == ++ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ = = == ⇒⇒ == ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 (( ,, )) (( ,, )) (( )) (( ,, )) ((22 11)) (( )) (( ,, )) 22 (( )) (( ,, )) (( )) (( ,, )) ´´(( )) ´´(( )) 33 77 (( )) ((33 77)) 3 3 33 (( )) 33 77 (( )) 77 (( ,, )) 77 2 2 22 3 3 7 7 2 2 f f x x y y M M x x y y dx dx g g y y f f x x y y x x dx dx g g yy f f x x y y xdxdx x dx dx g g y y f f x x y y x x x x g g yy df df x x y y g g y y g g y y y y g g y y y y dydy dy dy y y yy g g y y yyddy y ddy y g g y y y f y f x x y y x x x x yy y y x x x x y y C C
=
=
+
+
⇒
⇒
=
=
−
−
+
+
=
=
−
− +
+
⇒
⇒
=
= −
− +
+
=
=
⇒
⇒
=
= +
+ ⇒
⇒
=
=
+
+
=
=
+
+
⇒
⇒
= +
= + ⇒
⇒
=
= −
− +
+ +
+ ⇒
⇒
−
− +
+
+
+ =
=
∫ ∫
∫∫
∫ ∫
∫∫
∫∫
∫ ∫
∫∫
24) 24) ((11 22 x x 22 22 ))y y dydy 44x x 33 44xyxy dx dx−
− −
−
=
= +
+
3 3 22 33 22 3 3 22 3 3 4 4 22 22 ((44 44 )) ((11 22 22 )) 00 ((44 44 )) ((22 22 11)) 00 (( ,, )) 44 44 ;; (( ,, )) 22 22 11 (( ,, )) 44 ;; (( ,, )) 44 (( ,, )) (( ,, )) (( )) (( ,, )) ((44 44 )) (( )) (( )) 22 (( )) (( )) 22 ´´(( )) x x xy xy dx dx x x y y dy dy x x xy xy dx dx x x y y dydy M M x x y y x x xy xy N N x x y y x x yy M M N N x x y y x x x x y y xx y y xx f f x x y y M M x x y y dx dx g g y y f f x x y y x x xy dx xy dx g g yy f f f f x x y y x x x x y y g g y y x x y y x x g g yy + + − − − − − − = = ⇒ ⇒ + + + + + + − =− = = = ++ == ++ −− ∂ ∂ ∂∂ = = == ∂ ∂ ∂∂ = = ++ ⇒⇒ == ++ ++ ∂∂ + + ⇒ + + ⇒ ++∫ ∫
∫∫
2 2 44 22 44 22 22 4 4 22 22 (( )) (( ,, )) 22 (( )) (( ,, )) 22 ccoommoo (( ,, )) 22 g g y y y y y y f f x x y y x x x x y y g g y y f f x x y y x x x x y y y y yy y y x x y y C C x x x x y y y y y y C C
=
= −
− ⇒
⇒
=
= +
+
+
+
⇒
⇒
=
= +
+
+
+ −
−
=
= ⇒
⇒ +
+
+
+ −
− =
=
25) 25) 11 llnn x x y y dx dx( (
1 lln1 nx x dy))
dy x x⎛
⎛
+
+ +
+
⎞⎞
=
= −
−
⎜
⎜
⎟⎟
⎝
⎝
⎠⎠
( ( ))
( ( ))
( ( ))
( ( ))
(
( )
) (
( ))
(
( )
) (
( )
) (
( )
) (
( )
) (
(
)
) (
( )
)
(
( ))
(
( )
)
(
(
))
( ( ))
( ( ))
,, 11 ,, 11 ,, 11 llnn ;; ,, 11 llnn ,, ,, ,, 11 llnn llnn ln ln '' M M x x y y N N x x yy y y M M x x y y x x N N x x y y xx x x y y x x x x xx M M x x y y N N x x yy f f xx,,y y N N x x y y ddy y g g x x f f xx,,y y x x ddy y g g x x ddy y xxddy y g g xx f f xx,y,y yy f f xx,y ,y y y y y x x g g x x g g xx x x xx∂
∂
∂∂
=
= +
+ +
+ ⇒
⇒
=
=
=
= −
−
+
+ ⇒
⇒
=
= ⇒
⇒
∂
∂
∂∂
=
=
=
=
+ ⇒
+ ⇒
=
= −
−
+
+
+ ⇒
+ ⇒−
− +
+
+
+
∂∂
=
= −
− +
+
+
+
⇒
⇒
=
= +
+
∂∂
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
))
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
))
(
(
)
)
(
(
))
'' 11 llnn '' 11 llnn 11 llnn llnn llnn llnn llnn llnn llnn llnn llnn llnn y y yy g g x x x x g g x x x x g g x x x x ddxx x x xx d dx x xxddx x g g x x x x x x x x x x g g x x x x x x f f xx,,y y y y y x y x g g xx ff x,y x,y y y y y x x x x x comx como f(o f(x,yx,y)=)=c c y y y y x x x x x x c c x x y y x x y y cc
+
+
=
= + +
+ + ⇒
⇒
=
= + ⇒
+ ⇒
=
= +
+
+
+
⇒
⇒
=
= +
+
−
− ⇒
⇒
=
=
⇒
⇒
=
=
−
− +
+
+
+
=
=
−
− +
+
+
+
⇒
⇒
−
− +
+
+
+
=
= ⇒
⇒ +
+
−
− =
=
∫∫
∫ ∫
∫∫
26) 26) 22 22 33(( y y ccoossx x −−33x y x −y −2 ))2x x dx dx ++((22ysenx ysenx x −−x + +llnn ))y y dy dy ==00,, y y ((00)) ==ee
2 2 22 33 2 2 2 2 22 22 33 22 3 3 33 33 (( ,, )) ccooss 33 22 ;; (( ,, )) 22 llnn 2 2 ccooss 33 )) (( ,, )) (( ccooss 33 22 )) (( ,, )) (( )) (( ,, )) 2 2 llnn (( )) 22 (( )) 22 llnn g g ((yy))==llnny y (( )) llnn M M x x y y y y x x x x y y x x N N x x y y ysenx ysenx x x yy M M N N y y x x xx y y xx f f x x y y y y x x x x y y x x dx dx f f x x y y y y senx senx x x y y x x g g yy f f x x yy ysenx
ysenx x x y y g g y y ysenx ysenx x x g g y y ysenx ysenx x x yy y y g g y y ddy y yy = = −− −− == −− + + ∂ ∂ ∂∂ = = − − == ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− ⇒⇒ == −− −− ++ ∂∂ ′ ′ ′′ = = − − + + + + ⇒ ⇒ − − + + = = − − ++ ∂∂ ′ ′ ⇒ ⇒ ′′ ==
∫∫
2 2 33 22 2 2 33 22 2 2 33 22 (( )) llnn yy llnn 0 0,, 00 00 00 llnn 00 ln ln 00 d dy y g g y y y y y y y y sseennx x x x y y x x y y y y y cy c x x y y e e e e sen sen e e e e e e e e c c cc lla a ssoolluucciióón n ppaarrttiiccuullaar r ees y s y sseennx x x x y y x x y y y y yy⇒ ⇒ = = − − ⇒ ⇒ − − − − + + − − == = = = = ⇒ ⇒ − − − − + + − − = = ⇒ ⇒ == − − − − + + − − ==
∫ ∫
∫∫
27) 27) 22 33 33 22 22 ((33 x x y y ++44xy xy dx ))dx ++((33x x y y ++22x dyx ))dy ==002 2 33 33 33 22 3 3 22 22 33 22 22 33 22 22 3 3 33 22 33 33 22 (( ,, )) ((33 44 )) (( ,, )) 22 (( )) (( ,, )) 3 3 22 ´´(( )) 33 22 ´´(( )) 33 22 ´´(( )) 00 (( )) (( ,, )) 22 (( )) 22 f f x x y y x x y y xy xy dx dx f x f x y y x x y y x x y y g g yy f f x x yy x x y y x x g g y y x x y y x x g g y y x x y y x x g g yy y y g g y y c c f f x x y y x x y y x x y g y g y y x x y y x x y cy c = = ++ ⇒⇒ == ++ ++ ∂∂ = = + + + + ⇒ ⇒ + + + + = = + + ⇒ ⇒ == ∂∂ = = ⇒ ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ + + ==
∫∫
28) 28) 2 2 22 5 5 44 3 3 0 0;; ((11)) 11 2 2 y y x x dy dy xx y y y y dx dx yy ⎛ ⎛ −− ⎞⎞ + + = = == ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 22 4 4 55 44 55 2 2 22 5 5 55 2 2 22 4 4 44 55 3 3 (( ,, )) 22 0 0 (( ,, )) 2 2 22 3 3 (( ,, )) 22 (( ,, )) 1 1 (( ,, )) (( )) (( )) ''(( )) 2 2 44 xdx xdx y y x x xdx xdx M M x x y y xx d dy y M M x x yy y y y y y y y y yy y y x x N N x x y y xx N N x x yy y y x x yy xdx xdx x x f(x,y) f(x,y) xx f f x x y y g g y y g g y y g g yy y y y y y y yy ⎛ ⎛ − − ⎞⎞ ∂∂ + +⎜ ⎜ ⎟⎟ == ⇒⇒ == ⇒⇒ ==−− ∂∂ ⎝ ⎝ ⎠⎠ − − ∂∂ = = ⇒⇒ ==−− ∂∂ ∂∂ = = + + ⇒ ⇒ + + ⇒ ⇒ = = − − ++ ∂∂∫∫
2 2 22 22 22 3 3 33 22 5 5 55 55 2 2 4 4 22 2 2 22 22 22 44 4 4 22 44 22 44 3 3 33 33 ''(( )) ''(( )) 33 (( )) 33 (( )) (( )) 2 2 22 3 3 (( ,, )) (( ,, )) 4 4 22 ((11)) 33 55 33 55 66 55 0 0 4 4((11)) 22((11)) 44 44 22 44 x x y y x x yy g g y y g g y y y y g g y y y dy dy y g g y y g g y y yy y y y y yy x x f f x x y y , como f , como f x x y y c c cc y y yy x x x x y y yyccoonnddiicciioonnees s xx==1 1 , , yy==1 1 cc
y y y y yy − − − − − − −− − − + + = = − − ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ ⇒ = = ⇒ ⇒ = = −− − − = = −− == ⇒⇒ − − ++ ⇒ ⇒ − − = = = = − − ⇒ ⇒ − − = = − − ⇒ ⇒ ==
∫∫
29) 29) 33 22 22 (( y y −−y y senx senx x −−x dx ))dx ++((33xy xy ++2 cco2y y oss ))x x dydy ==00
3 3 22 22 22 2 2 3 3 22 22 33 22 2 2 22 22 (( ,, )) ;; (( ,, )) 33 22 ccooss 33 22 3
3 22 ccooss (( ,, )) ccooss (( ))
2 2
(( ,, )) 33 22 ccooss (( )) 33 2 cco2 oss (( )) 33 22 ccooss , , (( )) 00 (( ))
M
M N N
M
M x x y y y y y y sesenx nx x x N N x x y y xy xy y y x x y y ysysenenxx y y xx f f f f xx y y y y sesenx nx x x y y xy xy y y x x f f x x y y y y x x y y x x g g yy x x yy f f x x y y xy xy y y x x g g y y xy xy y y x g x g y y xy xy y y x x g g y y g g y y cc y y ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− == ++ ⇒⇒ == −− == ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ = = −− −− == ++ ⇒⇒ == ++ −− ++ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ′ ′ ′ ′ ′′ = = ++ ++ ⇒⇒ ++ ++ == ++ == ⇒⇒ == ∂∂ 2 2 2 2 33 co coss 2 2 x x
;; 0 0 )) ,, (( == ∂∂ ∂∂ + + ∂∂ ∂∂ = = dydy y y F F dx dx x x F F y y x x dF dF F F (( x x,, y y))== C C ;;
( (
11))
33 .. ;; 3 3 ;; )) (( ;; 1 1 )) ´( ´( ;; 1 1 )) ´( ´( ;; 1 1 )) )) (( 3 3 (( ;; 1 1 )) ,, (( )); )); (( 3 3 (( )) ,, (( ); ); (( 3 3 )) ,, (( ;; )) (( )) 3 3 2 2 (( )) ,, (( ;; )) (( )) ,, (( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x C C x x y y C C y y x x y y x x F(x,y) F(x,y) y y y y g g y y g g x x y y g g x x x x y y g g x x y y x x y y x x y y y y x x F F y y g g x x y y x x y y y y y y x x F F y y g g x x y y x x y y x x F F y y g g dx dx xy xy y y x x F F y y g g dx dx x x F F y y x x F F − − = = − − → → = = − − + + = = − − = = − − = = − − = = + + − − = = + + + + ∂∂ ∂∂ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ − − = = ∂∂ ∂∂ + + + + ∂∂ ∂∂ = = ∂∂ ∂∂ + + + + = = + + + + = = + + ∂∂ ∂∂ = =∫∫
∫∫
))
C C xx x x y y 22 −−11 == −−33 31)31) ((11 / / y y))dxdx−−((22 y y−− x x / / y y22))dydy ==00
⎩⎩ ⎨⎨ ⎧⎧ = = + + − − ∂∂ ∂∂ − − = = ∂∂ ∂∂ ;; 1 1 )) 2 2 (( ;; 1 1 )) 1 1 (( 22 22 22 y y y y x x y y x x y y y y y y ;; 0 0 2 2 ;; 0 0 2 2 ;; 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − − + + = = − − + + = = + + − − dy dy y y y y dy dy x x dx dx y y dy dy y y y y dy dy x x y y dx dx dy dy y y x x dy dy y y y y dx dx dy dy y y dy dy x x dx dx y y ++ −−22 33 ==00;;
EJERCICIOS
EJERCICIOSPROPUESTOSPROPUESTOS
Escriba
Escriba cadacada ecuaciónecuación enen lala formaforma ΜΜ(( ,, )) x x y y dx dx ++ΝΝ(( ,, ))x y x y dydy ==00 pruebepruebe lala exactitud,exactitud, resuelva
resuelva aquellasaquellas ecuacionesecuaciones queque sonson exactas.exactas.
(
(
)
)
(
(
))
( (
))
( (
))
( (
))
( (
))
2 2 22 2 2 2 2 22 )) 33 44 00;; )) ;; ))22 ;; )) cos cos )) ;; )) ;; )) 22 00 2 2 ccooss 11 )) llnn 22 00;; )) ,, )) 22 11 22 ccooss 00 2 2 x x xx x x x x x x y y xx a a xxddx x yyddy y b b y y c c xxyyy y x y x y d d yy x x y y x x yy d dy x y x y y x x ddr r r r sseenn ee f f g g yye e sseennx x ddx x e e y y ddyy d dx x sseennx x y y d d r r y y y y ee y y h h x x ddx x x x x x ddy y i i y y j j x x x x ddy y xxy y x x ddxx x x e e xyxy φ φ φ φ φ φ − − −− − − ′ ′ ′ ′ ′′ + + == == == −− == + + −− − − = = == −− −− ++ == + + −− − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ′′ + + ++ ++ == == ++ ++ ++ ++ == ⎜ ⎜ ⎟⎟ −− ⎝ ⎝ ⎠⎠ Resuelva
Resuelva cadacada ecuaciónecuación sujetasujeta aa laslas condicionescondiciones indicadas.indicadas.
( ( ))
( (
))
( ( ))
( ( ))
( (
))
( ( ))
2 2 2 2 22 22 22 2 2 )) ;; 11 22;; ))22 11 00;; 11 33;; 2 2 2 2 )) ;; 22 00 )) 22 22 22 00;; 00 11 cos cos x x xx y y xx a a y y y y b b xxyyddx x x x ddy y yy x x yy x x senyseny c c y y y y d d x yx ye e y y xxy y y y e e yy x x yy − − ′′ == == ++ ++ == ==−− − − − − ′ ′ == == ++ ′′++ ++ == == DetermineDetermine sisi lala ecuaciónecuación respectivarespectiva eses exacta.exacta. SiSi lolo es,es, revuélvala.revuélvala.
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
))
( (
))
( (
))
(
(
)
)
(
(
))
(
(
)
) (
(
))
(
(
))(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
))
3 3 2 2 22 33 2 2 3 3 22 1 1.. 22 11 33 77 00 22.. 22 66 00 33.. 55 44 44 88 00 44.. ccooss ccooss 00
1 1 5 5.. 22 33 22 44 00 66.. 22 ccooss 33 44 33 33 00 7 7.. 22 00 88.. 11 llnn 11 llnn 9. 9. x x dx dx y y dy dy x x y y dx dx x x y y dydy x
x y y dx dx x x y y dy dy sen y sen y sen x sen x dx dx x x y y y y dydy dy
dy yy y
y x x dx dx yx yx dy dy y y x x x x ysen ysen xx x x dx dx xx y y x x y y x x y y dx dx x x x x y dy y dy x x dx dx x x dydy x x y y yy − − ++ ++ == ++ −− + + == + + ++ −− == −− ++ ++ −− == ⎛ ⎛ ⎞⎞ − − ++ ++ == ⎜ ⎜ −− ++ ⎟⎟ ++ −− ++ == ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎛ ⎛ ⎞⎞ + + −− ++ −− == ⎜ ⎜ ++ ++ ⎟⎟ == − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ − −
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
))
( (
))
(
(
)
)
(
(
))
2 2 33 33 22 2 2 2 2 2 2 22 33 3 3 22 ccooss 00 1100.. 33 00 1 1 22 1 111.. llnn llnn 00 1122.. 00 1 133.. 22 66 1144.. 33 22 00 xy xy x x y y yysseennx x x x ddx x xxy y y y x x ddy y x x y y ddx x xxy y ddyy x x xx y y y y e e dx dx x x y y dy dy dx dx dydy y y y y yy dy dy x x xe xe y y x x x x y y e e dx dx x x xe xe y y dydy dx dx − − − − ++ ++ == ++ ++ == ⎛ ⎛ ⎞⎞ − − ++⎜ ⎜ + + ⎟⎟ == −− == ⎝ ⎝ ⎠⎠ = = ++ ++ ++ ++ −− ==
( (
))
( (
))
2 2 33 33 22 2 2 1 1 1 177.. 00 1188.. 55 22 '' 22 00 1 1 99 1199.. ttaan n sseen n ccooss ccoos s ddyy 00 dx dx x x y y x x y y y y x x y y yy x x dydy x x sen x sen x y y dx dx x x yy ⎛ ⎛ ⎞⎞ − − ++ == −− −− == ⎜ ⎜ ++ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ − − + + ==
(
(
)
)
(
(
))
( (
))
(
(
22)
)
(
(
22))
2 2 33 2 2 22 2 200.. 33 ccooss 33 33 33 22 55 00 2211.. 11 22 22 44 44 2222.. 22 sseennxx ccooss xx 22 xy xy 44 xyxy
dy dy x x x x sen sen x x dx dx y y dy dy x x y y x x xyxy dx dx y
y y y y y e e dx dx x x sen sen x x xye xye dydy + + −− ++ ++ == −− −− == ++ − − + + == −− −−
(
(
33 22)
)
(
(
44 22))
2 2 22 22 22 22 2 2 33 .. 44 11 55 33 00 1 1 11 2 2 44 .. y y 00 x x y y x x y y dd x x x x y y x x dd yy y y xx d d x x yy e e dd yy x x x x x x y y x x yy−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
=
=
⎛
⎛
⎞
⎞
⎛
⎛
⎞⎞
+
+
−
−
+
+
+
+
=
=
⎜
⎜
+
+
⎟
⎟
⎜
⎜
+
+
⎟⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎝
⎝
⎠⎠
ResuelvaResuelva cadacada ecuaciónecuación diferencialdiferencial sujetasujeta aa lala condicióncondición inicialinicial indicada.indicada.
( (
))
( (
))
( ( ))
(
( )
) (
(
))
( ( ))
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
))
( ( ))
(
(
)
)
(
(
))
( ( ))
2 2 22 2 2 22 5 5 44 2 2 22 33 2 255.. 22 11 00,, 1 1 11 2 266.. 22 00,, 00 11 2 277.. 44 22 55 66 44 11 00,, 11 22 3 3 2 288.. 00,, 11 11 2 2 2 299.. ccooss 33 22 22 llnn 00,, 00 x x yy x x y y dx dx xy xy x x dy dy yy e e y y ddx x x x yye e ddy y yy y y x x dx dx y y x x dy dy yy y y x x dy dy xx y y y y dx dx yy yy x x x x y y x x dx dx ysenysenx x x x y y dy dy y y ee
+
+
+
+ +
+ −
− =
=
=
=
+ +
+ + +
+ +
+
=
=
=
=
+
+ −
−
+ +
+ + −
−
=
=
−
− =
=
⎛
⎛
−
−
⎞⎞
+
+
=
=
=
=
⎜
⎜
⎟⎟
⎝
⎝
⎠⎠
−
−
−
−
+
+
−
−
+
+
=
=
=
=
DetermineDetermine elel valorvalor dede kk parapara lala ecuaciónecuación diferencialdiferencial correspondientecorrespondiente seasea exacta.exacta.
(
(
)
)
(
(
))
(
(
)
)
(
(
))
(
(
)
)
(
(
))
(
(
)
)
(
(
))
3 3 44 22 22 33 4 4 33 2 2 22 3 3 22 22 3 311.. 22 33 2200 00 3 322.. 22 2200 00 3 333.. 22 '''' 22 11 00 3 344.. 66 ccooss 00 x x yy kkxxy y x x ddx x xxy y x x y y ddyy x
x yysesennxxy y kky y ddx x xxy y xxsesennxxy y ddyy x
xy y yye e ddx x x x y y kke e ddyy x
xy y y y ddx x kkx x y y xxsesenny y ddyy