LOS CIRCUITOS RLC, LA RESONANCIA Y
LOS CIRCUITOS RLC, LA RESONANCIA Y
LOS FILTROS PASIVOS
LOS FILTROS PASIVOS
Introducción.
Introducción.
Al circular la corriente alterna
Al circular la corriente alterna por circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores, debido a efectos
por circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores, debido a efectos
especiales que tienen lugar como consecuencia de este tipo de corriente y
especiales que tienen lugar como consecuencia de este tipo de corriente y de la frecuencia, el comportamiento
de la frecuencia, el comportamiento
de estos componentes, y por tanto de estos circuitos, es diferente que cuando son recorridos por corriente
de estos componentes, y por tanto de estos circuitos, es diferente que cuando son recorridos por corriente
continua. De ahí que nos ocupemos en este tema del estudio de ellos.
continua. De ahí que nos ocupemos en este tema del estudio de ellos.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
CONOCIMIENTOS PREVIOS
1
1
T
Teeo
orreem
ma
a d
de P
e Piittá
ág
go
orra
ass..
Aunque trataremos de resolver los ejercicios
Aunque trataremos de resolver los ejercicios
de este tipo de
de este tipo de circuitos mediante los números com-
circuitos mediante los números
com- plejos, debemos aclarar que cuando se trata de
plejos, debemos aclarar que cuando se trata de
cir-cuitos sencillos (una resistencia, una bobina y un
cuitos sencillos (una resistencia, una bobina y un
condensador) éstos se pueden resolver por medio del
condensador) éstos se pueden resolver por medio del
teorema de Pitágoras. Lo recordamos.
teorema de Pitágoras. Lo recordamos.
El teorema de Pitágoras dice que
El teorema de Pitágoras dice que
"el cuadrado"el cuadrado formado sobre la hipotenusa de un triángulo formado sobre la hipotenusa de un triángulo rectán- gulo es igual a la suma de los cuadrados formados gulo es igual a la suma de los cuadrados formados sobre los catetos".sobre los catetos".
Su expresión matemática es la siguiente:
Su expresión matemática es la siguiente:
hh
22= c
= c
1122+
+ cc
2222En la figura
En la figura 6.1 se
6.1 se muestra la interp
muestra la interpretación.
retación.
2
2
T
Trriig
go
on
no
om
meettrríía
a..
Para la resolución de los circuitos RLC
Para la resolución de los circuitos RLC
nece-sitamos de los conocimientos de la trigonometría.
sitamos de los conocimientos de la trigonometría.
Con lo que se ha visto en el t
Con lo que se ha visto en el tema de corriente alter-
ema de corriente
alter-na, de momento, nos es suficiente.
na, de momento, nos es suficiente.
3
3
V
Veecctto
orreess..
Como se recordará, un vector es un segmento
Como se recordará, un vector es un segmento
orientado. Es decir, un segmento con una punta de
orientado. Es decir, un segmento con una punta de
flecha en uno d
flecha en uno de sus extremos.
e sus extremos. Véase la figura 6.2.
Véase la figura 6.2.
Los vectores se nombran diciendo primero la letra
Los vectores se nombran diciendo primero la letra
del origen seguido de la del extremo; o también
del origen seguido de la del extremo; o también
diciendo la letra minúscula que lo designa. Así el
diciendo la letra minúscula que lo designa. Así el
vector de la figura 6.2 se puede nombrar como el
vector de la figura 6.2 se puede nombrar como el
vector AB o simplemente vector v.
vector AB o simplemente vector v.
Figura 6.2 Figura 6.2 Figura 6.1 Figura 6.1
A
A
B
B
v
v
oo
xx
yy
b
b
aa
hh
22
C
C
22
22
C
C
11
22
Se representa por una letra minúscula con un
Se representa por una letra minúscula con un
peque-ño vector encima de la letra.
ño vector encima de la letra.
Todo vector se caracteriza por
Todo vector se caracteriza por los parámetros:
los parámetros:
•• Magnitud o Módulo Magnitud o Módulo
: es la
: es la longitud del vector o
longitud del vector o
segmento. (longitud A-B). Se representa así: |v|
segmento. (longitud A-B). Se representa así: |v|
•• Dirección: Dirección:
es la dirección de la recta sobre la
es la dirección de la recta sobre la
que está representado el vector; la dirección
que está representado el vector; la dirección
puede s
puede ser A-B
er A-B o
o B-A.
B-A.
•• Sentido: Sentido:
es el sentido del vector. El sentido de
es el sentido del vector. El sentido de
un
un vector viene dado
vector viene dado por la punta d
por la punta de flecha. El
e flecha. El
vector representado posee un sentido A-B.
vector representado posee un sentido A-B.
•• Punto de aplicación Punto de aplicación
u origen: es el lugar donde
u origen: es el lugar donde
comienza el vector. En la figura el punto A. En
comienza el vector. En la figura el punto A. En
este caso coincide con el origen de coordenadas.
este caso coincide con el origen de coordenadas.
Un vector se puede dar en función de
Un vector se puede dar en función de sus coordena-
sus
coordena-das y/o descomponerse en ellas. El vector que se
das y/o descomponerse en ellas. El vector que se
adjunta tiene
adjunta tiene como abscis
como abscisa el
a el segmento
segmento
oaoay como
y como
ordenada el segmento
ordenada el segmento
obob. Cada una de ellas se puede
. Cada una de ellas se puede
calcular en función del módulo y del ángulo
calcular en función del módulo y del ángulo φ
φ..
Así,
Así,
la componente horizontal
la componente horizontal
oa = |v| cosoa = |v| cosφ
φ
la componente vertical
la componente vertical
obob= |v|
= |v|
sensenφ
φ
Si de un vector
Si de un vector nos dan sus componentes, podemos
nos dan sus componentes, podemos
hallar el módulo por el Teorema de Pitágoras o
hallar el módulo por el Teorema de Pitágoras o
mediante la trigonometría.
mediante la trigonometría.
También haremos uso de las operaciones con
También haremos uso de las operaciones con
vecto-res; sobre todo de la suma y resta.
res; sobre todo de la suma y resta.
4
4
N
Nú
úm
meerro
os
s cco
om
mp
plleejjo
oss
El campo de los números complejos se creó
El campo de los números complejos se creó
para dar respuesta a ciertas cuestiones matemáticas
para dar respuesta a ciertas cuestiones matemáticas
que no solucionaban los números reales. Algunos de
que no solucionaban los números reales. Algunos de
estos casos son: las raíces cuadradas (o de índice par)
estos casos son: las raíces cuadradas (o de índice par)
de los números negativos como
de los números negativos como √√-9; las potencias de
-9; las potencias de
exponente irracional de números negativos (-3)
exponente irracional de números negativos (-3)
5/45/4; o
; o
los logaritmos de los números negativos (log
los logaritmos de los números negativos (log - 4).
- 4).
Se denominan números complejos al conjunto de los
Se denominan números complejos al conjunto de los
números reales y los imaginarios.
números reales y los imaginarios.
4
4..1
1
D
Deeffiin
niicciió
ón
n..
Un número complejo es un ente abstracto
Un número complejo es un ente abstracto
representado por un par de números reales
representado por un par de números reales
cuales-quiera dados en un orden prefijado. Los números
quiera dados en un orden prefijado. Los números
complejos se representan con el símbolo (a, b) siendo
complejos se representan con el símbolo (a, b) siendo
a y b números reales. Al número a se le llama
a y b números reales. Al número a se le llama
prime-ra componente o
ra componente o
componente real componente realy al b segunda
y al b segunda
componente o
componente o
componente imaginaria.componente imaginaria.4.
4.2
2
Co
Cons
nsid
ider
erac
acio
ione
nes so
s sobr
bre lo
e los nú
s núme
mero
ross
complejos
complejos
..
1ª
1ª
To
Todo
do nú
núme
mero
ro co
comp
mple
lejo
jo de
de la
la fo
form
rma
a (a
(a, 0
, 0))
(segunda componente nula) es un
(segunda componente nula) es un número real.
número real.
2ª
2ª
Lo
Los n
s núm
úmer
eros
os co
comp
mple
lejo
jos n
s no r
o rea
eale
les s
s se l
e lla
lama
mann
imaginarios.
imaginarios.
3ª
3ª
To
Todo
do nú
núme
mero
ro co
comp
mple
lejo
jo de
de la
la fo
form
rma (
a (0,
0, b)
b)
(primera componente nula), se llama número
(primera componente nula), se llama número
imaginario puro.
imaginario puro.
4ª
4ª
To
Toda
da un
unid
idad
ad im
imag
agin
inar
aria
ia se
se re
repr
pres
esen
enta
ta po
por
r
"i""i"(nosotros en electricidad y electrónica
(nosotros en electricidad y electrónica
utiliza-remos la letra
remos la letra
"j""j") y corresponde al número
) y corresponde al número
complejo imaginario puro (
complejo imaginario puro (
0, 10, 1) ó sea, a
) ó sea, a √√-1;
-1;
luego
luego
(0, 1) = i = (0, 1) = i =√√
-1.-1.por tanto:
por tanto:
i =
i =
√√
--1
1
ii
22= -1
= -1
4.3
4.3
Ex
Expre
presio
siones
nes de
de los
los nú
númer
meros
os com
comple
plejos
jos..
Todo número complejo se puede expresar de
Todo número complejo se puede expresar de
varias formas:
varias formas:
11ªª
FFoorm
rma
a co
com
mpl
plej
eja:
a: se
se ex
exppre
ressa
a po
por
r ((
a, ba, b) cuyo
) cuyo
significado ya conocemos.
significado ya conocemos.
2ª
2ª
FFor
orm
ma
a bbin
inóómi
mica
ca:
: sse
e ex
expr
pres
esa
a ppor
or
a + bia + bidonde
donde
aa
representa la parte real y
representa la parte real y
bblas unidades
las unidades
imaginarias.
imaginarias.
3ª
3ª
Fo
Form
rma f
a fac
acto
tori
rial
al o t
o tri
rigo
gono
nomé
métr
tric
ica:
a: en
en es
este
te ca
caso
so
se dan las componentes
se dan las componentes
aayy
bben función del
en función del
ángulo y de sus razones trigonométricas. Estas
ángulo y de sus razones trigonométricas. Estas
dos componentes son:
dos componentes son:
a = r cos a = r cos
φ
φ
b = r sen b = r senφ
φ
y el módulo
y el módulo
z = r (cosz = r (cosφ
φ
+ sen+ senφ
φ
))4ª
4ª
Fo
Form
rma
a mó
módu
dulo
lo-a
-arg
rgum
umen
enta
tal o
l o po
pola
lar:
r: to
todo
do
número complejo queda determinado si se
número complejo queda determinado si se
co-nocen su módulo y su argumento o ángulo. En
nocen su módulo y su argumento o ángulo. En
esta
4.
4.4
4
Re
Repr
pres
esen
enta
taci
ción g
ón geo
eomé
métr
tric
ica de u
a de un nú
n
nú--mero complejo
mero complejo
..
Los números complejos se representan por los
Los números complejos se representan por los
puntos de un plano referidos a un sistema de
puntos de un plano referidos a un sistema de
coorde-nadas, bien
nadas, bien cartesianas o
cartesianas o bien polares.
bien polares.
Analicemos el caso de las
Analicemos el caso de las coordenadas cartesianas.
coordenadas cartesianas.
Sea el número complejo representado por un punto
Sea el número complejo representado por un punto
P (figura 6.3).
P (figura 6.3).
Dicho punto se proyecta sobre los ejes. La
Dicho punto se proyecta sobre los ejes. La
proyec-ción sobre el eje de abscisas representa la
ción sobre el eje de abscisas representa la
compo-nente real y la proyección sobre el eje de ordenadas
nente real y la proyección sobre el eje de ordenadas
representa la componente imaginaria.
representa la componente imaginaria.
El punto P se llama
El punto P se llama
afijoafijodel complejo.
del complejo.
Módulo
Módulo
es la distancia OP de su afijo al origen de
es la distancia OP de su afijo al origen de
coordenadas. Su valor se calcula por
coordenadas. Su valor se calcula por Pitágoras.
Pitágoras.
Argumento
Argumento
es el ángulo que forma el segmento OP
es el ángulo que forma el segmento OP
(módulo) con el eje horizontal. Este ángulo viene
(módulo) con el eje horizontal. Este ángulo viene
dado por:
dado por:
φ
φ
= = arc arc sen sen b/r b/r = = arc arc cos cos a/r a/r = = arctg arctg b/ab/a Vector asociadoVector asociado
es el vector OP.
es el vector OP.
Como se observará, los números complejos son, en
Como se observará, los números complejos son, en
la práctica, vectores; sólo que su origen
la práctica, vectores; sólo que su origen
siempresiempreestá
está
situado en el origen de coordenadas.
situado en el origen de coordenadas.
4.
4.5
5
Ig
Igua
uald
ldad y
ad y de
desi
sigu
gual
alda
dad de
d de nú
núme
mero
ross
complejos
complejos
..
a)
a) Dos números complejos son iguales cuando
Dos números complejos son iguales cuando
tienen el mismo afijo; es decir, cuando se
tienen el mismo afijo; es decir, cuando se
repre-sentan geométricamente en el mismo punto.
sentan geométricamente en el mismo punto.
b)
b) Dos
Dos núm
número
eros c
s comp
omplejo
lejos s
s son
on igu
iguale
ales c
s cuan
uando
do
tienen, respectivamente iguales, sus
tienen, respectivamente iguales, sus
compo-nentes reales e imaginarias.
nentes reales e imaginarias.
Ejemplo: a + bi = c + di <==> a = c y b = d
Ejemplo: a + bi = c + di <==> a = c y b = d
c)
c) Dos
Dos núm
número
eros c
s comp
omplej
lejos
os dad
dados
os en f
en form
orma tr
a trigo
igo--nométrica son iguales cuando tienen iguales sus
nométrica son iguales cuando tienen iguales sus
módulos y sus argumentos son iguales o
módulos y sus argumentos son iguales o
difie-ren en k
ren en k
xx360º
360º o
o en
en 2k
2k ππ (si el ángulo viene da-
(si el ángulo viene
da-do en radianes), sienda-do k un número entero.
do en radianes), siendo k un número entero.
4.
4.6
6
Nú
Núme
mero
ros co
s comp
mple
lejo
jos nu
s nulo
los, o
s, opu
pues
esto
tos y
s y
conjugados
conjugados
..
Nulos. Nulos.
a)
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en for
forma
ma co
comp
mplej
leja:
a: cua
cuando
ndo su
sus d
s dos
os co
com-
m- ponentes son nulas.
ponentes son nulas.
b)
b) en f
en for
orma p
ma pol
olar:
ar: bas
basta c
ta con q
on que s
ue sea n
ea nulo
ulo el
el
módulo.
módulo.
Opuestos. Opuestos.
a)
a) en f
en for
orma c
ma com
ompl
pleja
eja y bi
y binó
nómi
mica
ca: cu
: cuan
ando
do
tienen sus dos componentes opuestas
tienen sus dos componentes opuestas
(a = - a´ y
(a = - a´ y b = - b´). Así, el número com-
b = - b´). Así, el número
com- plejo (7, 4) es opuesto al (-7, -4). Del
plejo (7, 4) es opuesto al (-7, -4). Del
mismo modo lo son los complejos: 3 + 4i
mismo modo lo son los complejos: 3 + 4i
y el -3 - 4i.
y el -3 - 4i.
b)
b) en
en for
forma
ma mód
módulo
ulo arg
argum
umenta
ental:
l: cua
cuando
ndo sus
sus
módulos son iguales y sus ángulos o
módulos son iguales y sus ángulos o
ar-gumentos difieren en 180º (o en
gumentos difieren en 180º (o en ππ) o en
) o en
un número impar de estos.
un número impar de estos.
Conjugados. Conjugados.
a)
a) en f
en for
orma c
ma com
ompl
plej
eja o b
a o bin
inóm
ómic
ica: c
a: cua
uand
ndoo
sus componentes reales son iguales y sus
sus componentes reales son iguales y sus
componentes imaginarias son opuestas.
componentes imaginarias son opuestas.
El complejo conjugado a (3, 4) es (3, -4).
El complejo conjugado a (3, 4) es (3, -4).
De igual forma lo
De igual forma lo son -3 + 5i
son -3 + 5i y -3 -5i.
y -3 -5i.
b)
b) en f
en for
orma p
ma pola
olar: s
r: si s
i sus
us mód
módulo
ulos s
s son i
on igua
gua--les
les (r = r´)
(r = r´) y sus argum
y sus argumentos opuestos
entos opuestos
((φ
φ =
= -- φ
φ).
).
4.
4.7
7
Op
Oper
erac
acio
ione
nes
s co
con
n nú
núme
mero
ros
s co
comp
mple
lejo
jos.
s.
4.7.1 En forma compleja y/o binómica.
4.7.1 En forma compleja y/o binómica.
Suma y resta.
Suma y resta.
La suma o resta de dos o más números
La suma o resta de dos o más números
plejos es otro número complejo cuya
plejos es otro número complejo cuya
ponente real es la suma o resta de las
ponente real es la suma o resta de las
com- ponentes reales y cuya componente
ponentes reales y cuya componente
imagina-PP
r
r
oo
xx
yy
b
b
aa
Figura 6.3 Figura 6.3ria es la suma o resta de las componentes
ria es la suma o resta de las componentes
imaginarias de los números complejos a
imaginarias de los números complejos a su-
su-mar o restar.
mar o restar.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ejemplos:
Ejemplos:
(3, 5) - (2,
(3, 5) - (2, -6) + (3, -1)
-6) + (3, -1) =
= ((
4, 104, 10))
(5 + 3i) +
(-(5 + 3i) + (-2 + 7i) - (8
2 + 7i) - (8 - 4i)
- 4i) ==
[ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] =
[ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] =
- 5 + 14i- 5 + 14iObservaciones:
Observaciones:
a)
a)
la
la sum
suma
a de
de dos
dos núm
número
eros
s com
comple
plejos
jos opu
opues
estos
tos
es igual a cero.
es igual a cero.
b
b)) la s
la sum
uma de d
a de dos c
os com
ompl
plej
ejos c
os con
onju
juga
gado
dos es
s es
igual al duplo de su componente real.
igual al duplo de su componente real.
c)
c) la
la representación
representación geométrica
geométrica de
de la
la suma
suma apa-
apa-rece en la figura 6.4.
rece en la figura 6.4.
Producto.
Producto.
Para multiplicar dos números complejos se
Para multiplicar dos números complejos se
multiplican los binomios complejos como si
multiplican los binomios complejos como si
fueran binomios algebraicos.
fueran binomios algebraicos.
Ejemplo.
Ejemplo.
(a + bi) x (c + di) = (ac + adi + cbi + bd i
(a + bi) x (c + di) = (ac + adi + cbi + bd i
22)
) ==
(ac - bd) + (cb + (ac - bd) + (cb + ad)iad)i
Nota: ojo,
Nota: ojo, no olvidemos
no olvidemos que
que ii
22= -1.
= -1.
Cociente.
Cociente.
El cociente de dos números complejos (a +
El cociente de dos números complejos (a +
bi) y (c +
bi) y (c + di) es otro número complejo (m +
di) es otro número complejo (m +
ni)
ni) tal que multipl
tal que multiplicado por el
icado por el complejo di-
complejo
di-visor (c + di) dé como resultado el complejo
visor (c + di) dé como resultado el complejo
dividendo (a + bi).
dividendo (a + bi).
4
4.7
.7.2
.2
E
En
n fo
form
rma
a p
pol
olar
ar
..
Producto.
Producto.
Para multiplicar dos o más números
Para multiplicar dos o más números
com- plejos se multiplican los módulos y se
plejos se multiplican los módulos y se
su-man los argumentos.
man los argumentos.
Ejemplo:
Ejemplo:
55
30º30ºxx66
42º42º xx22
20º20º=
= 60
60
92º92ºCociente.
Cociente.
Para dividir dos números complejos se
Para dividir dos números complejos se
divi-den los módulos y se restan los argumentos.
den los módulos y se restan los argumentos.
Ejemplo:
Ejemplo:
28
28
35º35º/4
/4
24º24º=
= 77
11º11º5
5
L
Leey
yees
s d
de
e K
Kiirrcch
hh
ho
offff..
Recordemos solamente los enunciados.
Recordemos solamente los enunciados.
La ley de los nudos dice que
La ley de los nudos dice que
"en todo nudo eléctrico,"en todo nudo eléctrico, la suma vectorial de las corrientes que a él se la suma vectorial de las corrientes que a él se acer-can es igual acan es igual a la suma vectorial de las corrientes quela suma vectorial de las corrientes que de él se alejan".
de él se alejan".
La ley de mallas dice que
La ley de mallas dice que
"en toda malla o circuito"en toda malla o circuito eléctrico cerrado, la suma vectorial de las fuerzas eléctrico cerrado, la suma vectorial de las fuerzas electromotrices aplicadas es igual a la suma electromotrices aplicadas es igual a la suma vecto-rial de las caídas de tensión que en ella se rial de las caídas de tensión que en ella se produ-cen".cen".
6
6
L
La
a rreea
acctta
an
ncciia
a iin
nd
du
uccttiiv
va
a..
Cuando una bobina es recorrida por una
Cuando una bobina es recorrida por una
co-rriente variable (coco-rriente alterna), en su interior se
rriente variable (corriente alterna), en su interior se
crea un flujo magnético variable.
crea un flujo magnético variable. Como consecuen-
Como
consecuen-cia, se inducirá en ella una f.e.m. inducida de sentido
cia, se inducirá en ella una f.e.m. inducida de sentido
contrario (según la Ley
contrario (según la Ley de Lenz)
de Lenz) a la variación de
a la variación de la
la
corriente que la crea.
corriente que la crea.
La f.e.m. inducida vale
La f.e.m. inducida vale
v v = = - - LL∆
∆
I /I /∆
∆
tt(el signo "menos" es por la Ley de Lenz)
(el signo "menos" es por la Ley de Lenz)
Por otro lado, en la bobina se almacena una energía
Por otro lado, en la bobina se almacena una energía
en forma electromagnética que vale:
en forma electromagnética que vale:
E = L I
E = L I22/ 2 en Julios/ 2 en Julios
..
Se demuestra que el valor eficaz de le f.e.m inducida
Se demuestra que el valor eficaz de le f.e.m inducida
en una bobina vale
en una bobina vale
V = 2V = 2ππ
f L If L IAl coeficiente 2
Al coeficiente 2ππ f L, que hace el efecto de una
f L, que hace el efecto de una
resistencia, se le llama reactancia inductiva, se
resistencia, se le llama reactancia inductiva, se
aa
b
b
cc
dd
m
m
nn
oo
eje real
eje real
PP
Figura 6.4 Figura 6.4representa por X
representa por X
LLy vendrá dada en ohmios, cuando
y vendrá dada en ohmios, cuando
la frecuencia venga en Hertzios y el coeficiente de
la frecuencia venga en Hertzios y el coeficiente de
autoinducción en Henrios.
autoinducción en Henrios.
Así pues, la reactancia
Así pues, la reactancia inductiva de una bo
inductiva de una bobina
bina vale:
vale:
X
XLL= 2= 2
ππ
f Lf LEn una bobina ideal (la que no tiene resistencia
En una bobina ideal (la que no tiene resistencia
óhmica ni capacidad, que por otra parte no existe) la
óhmica ni capacidad, que por otra parte no existe) la
corriente sufre un retraso de 90º respecto de la
corriente sufre un retraso de 90º respecto de la
ten-sión aplicada.
sión aplicada.
7
7
L
La
a rreea
acctta
an
ncciia
a cca
ap
pa
acciittiiv
va
a..
Cuando un condensador se conecta a una
Cuando un condensador se conecta a una
co-rriente alterna, el condensador se va cargando y
rriente alterna, el condensador se va cargando y
descargando con la misma frecuencia que la de la
descargando con la misma frecuencia que la de la
tensión aplicada. Esto, a efectos prácticos, equivale
tensión aplicada. Esto, a efectos prácticos, equivale
a que por el circuito circula una corriente alterna
a que por el circuito circula una corriente alterna
cuyo valor eficaz viene dado por la fórmula:
cuyo valor eficaz viene dado por la fórmula:
I = 2
I = 2
ππ
f C V
f C V
siendo
siendo
V
V el valor
el valor eficaz de
eficaz de la tensión
la tensión aplicada al
aplicada al condensa-
condensa-dor, en voltios,
dor, en voltios,
f
f la
la frecuencia de
frecuencia de la
la tensión
tensión aplicada, en
aplicada, en Hertzios, y
Hertzios, y
C
C la capac
la capacidad del
idad del condensador,
condensador, en Fa
en Faradios.
radios.
Si despejamos la tensión, tenemos que:
Si despejamos la tensión, tenemos que:
V
V =
= I
I / 2
/ 2
ππ
f C
f C
Por analogía con
Por analogía con la Ley de Ohm
la Ley de Ohm (V = RI), tendre-
(V = RI),
tendre-mos que 1/2
mos que 1/2ππ f C tiene carácter de resistencia.
f C tiene carácter de resistencia.
Pues bien, este término es lo que se llama reactancia
Pues bien, este término es lo que se llama reactancia
capacitiva; se representa por Xc y vale:
capacitiva; se representa por Xc y vale:
Xc
Xc = = 1 1 / / 22
ππ
f Cf CLa reactancia capacitiva, o capacitativa, viene dada
La reactancia capacitiva, o capacitativa, viene dada
en ohmios si la frecuencia viene dada en Hertzios y
en ohmios si la frecuencia viene dada en Hertzios y
la capacidad en Faradios.
la capacidad en Faradios.
Un condensador ideal retrasa la tensión 90
Un condensador ideal retrasa la tensión 90 respecto
respecto
de la intensidad; o lo que es igual, adelanta la
de la intensidad; o lo que es igual, adelanta la
co-rriente 90º respecto a la tensión. Hace, pues, el
rriente 90º respecto a la tensión. Hace, pues, el efecto
efecto
contrario a las bobinas.
contrario a las bobinas.
8
8
C
Co
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ncceep
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o d
de
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mp
peed
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an
ncciia
a..
Cuando hablamos de la reactancia inductiva
Cuando hablamos de la reactancia inductiva
veíamos cómo no existía ninguna bobina ideal,
veíamos cómo no existía ninguna bobina ideal,
porque todas tienen una cierta resistencia debida al
porque todas tienen una cierta resistencia debida al
hilo con que están confeccionadas. Existen, pues, en
hilo con que están confeccionadas. Existen, pues, en
toda bobina conectada a una corriente alterna dos
toda bobina conectada a una corriente alterna dos
tipos de resistencia: una la debida al hilo conductor
tipos de resistencia: una la debida al hilo conductor
(R
(R
LL== ρρ l /S) y otra, la reactancia inductiva,
l /S) y otra, la reactancia inductiva,
(X
(X
LL=
= 22ππfL) debida a la inductancia de la propia
fL) debida a la inductancia de la propia
bobina
bobina y a la frecuencia de
y a la frecuencia de la fuente de energía.
la fuente de energía.
Debido a esto, el teórico ángulo de desfase de 90º
Debido a esto, el teórico ángulo de desfase de 90º
entre la tensión y la corriente no es tal, sino menor.
entre la tensión y la corriente no es tal, sino menor.
La combinación de estos dos tipos de resistencia da
La combinación de estos dos tipos de resistencia da
una resistencia, llamada
una resistencia, llamada
aparenteaparente, , y que
y que se corres
se
corres-- ponde,
ponde, según la Ley
según la Ley de Ohm,
de Ohm, con el valor
con el valor de la
de la
resistencia que
resistencia que presentaría el circu
presentaría el circuito si no
ito si no hubiera
hubiera
efecto de inductancia.
efecto de inductancia.
Esta resistencia aparente que vale V
Esta resistencia aparente que vale V
eficazeficaz/I
/I
eficazeficazrecibe
recibe
el nombre de impedancia. Se representa por Z. Su
el nombre de impedancia. Se representa por Z. Su
expresión en forma compleja o vectorial
expresión en forma compleja o vectorial es:
es:
→
→
→
→
→
→
Z
Z =
= R
R +
+ jX
jX
donde
donde
R R es es la la componente componente resistiva resistiva y y X X es es lala componente reactiva.componente reactiva.
Otro tanto ocurre con los condensadores reales
Otro tanto ocurre con los condensadores reales
(aquellos que presentan algún tipo de pérdidas). O en
(aquellos que presentan algún tipo de pérdidas). O en
un circuito mixto (R-L-C).
un circuito mixto (R-L-C).
Lo veremos más claro y con mayor detalle cuando
Lo veremos más claro y con mayor detalle cuando
analicemos los circuitos RLC.
analicemos los circuitos RLC.
99
Conceptos de Admitancia, con-
Conceptos de Admitancia,
con-ductancia y susceptancia.
ductancia y susceptancia.
Admitancia.
Admitancia.
Es la expresión inversa de la impedan-
Es la expresión inversa de la
impedan-cia. Se representa por Y. Su
cia. Se representa por Y. Su unidad es el mho (Ohm
unidad es el mho (Ohm
al revés) o el
al revés) o el Siemens.
Siemens.
Su expresión en forma compleja es:
Su expresión en forma compleja es:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Y = 1/Z
Y = 1/Z = 1 / (R +
= 1 / (R + jX) = G + jB
jX) = G + jB
Conductancia.
Conductancia.
Se llama así a la componente G de la
Se llama así a la componente G de la
expresión compleja de la admitancia. Es decir, la
expresión compleja de la admitancia. Es decir, la
parte real de la admitancia.
parte real de la admitancia.
Susceptancia. Se entiende como tal la componente B
Susceptancia. Se entiende como tal la componente B
de la expresión compleja de la
de la expresión compleja de la admitancia. Es decir,
admitancia. Es decir,
la parte compleja o imaginaria de la admitancia.
la parte compleja o imaginaria de la admitancia.
10
10 Con
Concept
ceptos de
os de pot
potenci
encia apa
a aparen
rente,
te,
potencia activa y potencia reactiva.
potencia activa y potencia reactiva.
Recibe el nombre de potencia aparente el
Recibe el nombre de potencia aparente el
pro-ducto de los valores eficaces de la tensión aplicada a
ducto de los valores eficaces de la tensión aplicada a
un circuito por la corriente que lo recorre.
un circuito por la corriente que lo recorre.
Se representa por Pap y su unidad es el Se representa por Pap y su unidad es el vol-tiamperio o voltamperio.
tiamperio o voltamperio.
Se denomina potencia activa o potencia real de un
Se denomina potencia activa o potencia real de un
circuito al pro
circuito al producto de la
ducto de la potencia aparente
potencia aparente por el
por el
coseno del ángulo que forman la tensión y la
coseno del ángulo que forman la tensión y la
co-rriente. Es debida a la componente resistiva de la
rriente. Es debida a la componente resistiva de la
carg
carg
a. Se representa por Pac y su a. Se representa por Pac y su unidad es el watiounidad es el watio..
Existe una unidad práctica de potencia que es el
Existe una unidad práctica de potencia que es el
caballo de vapor (HP -Horse Power- en inglés) que
caballo de vapor (HP -Horse Power- en inglés) que
equivale a 736 watios).
equivale a 736 watios).
Se entiende
Se entiende por potencia
por potencia reactiva
reactiva al producto
al producto
de la potencia
de la potencia aparente
aparente por el seno
por el seno del ángulo que
del ángulo que
forman la tensión y la corriente. Es debida a la
forman la tensión y la corriente. Es debida a la
componente reactiva de la carga.
componente reactiva de la carga.
Se representa por Se representa por Preac y su unidad es el watio reactivo o Preac y su unidad es el watio reactivo ovoltiampe-rio reactivo rio reactivo
..
Nota: estos tipos de potencias se dan en aquellos
Nota: estos tipos de potencias se dan en aquellos
circuitos donde la carga no es puramente óhmica.
circuitos donde la carga no es puramente óhmica.
Caso contrario, el único tipo de potencia que existe
Caso contrario, el único tipo de potencia que existe
es la activa.
es la activa.
11
11
Ci
Circ
rcui
uito
to co
con r
n res
esis
iste
tenc
ncia
ia..
Supongamos una resistencia óhmicamente
Supongamos una resistencia óhmicamente
pura (desprovista de autoinducción y de capacidad)
pura (desprovista de autoinducción y de capacidad)
a la que se aplica una tensión alterna senoidal. Esta
a la que se aplica una tensión alterna senoidal. Esta
tensión originará por el circuito una corriente,
tensión originará por el circuito una corriente,
tam- bién senoidal, totalmente en fase con la tensión
bién senoidal, totalmente en fase con la tensión
aplicada y de su misma frecuencia.
aplicada y de su misma frecuencia.
En la figura 6.5 se ha representado el circuito
En la figura 6.5 se ha representado el circuito
eléctri-co (figura a), el diagrama vectorial formado por la
co (figura a), el diagrama vectorial formado por la
tensión y la corriente (figura
tensión y la corriente (figura b) que se puede obser-
b) que se puede
obser-var están en fase y, por último, las senoides de la
var están en fase y, por último, las senoides de la
tensión aplicada (o caída de tensión en la resistencia)
tensión aplicada (o caída de tensión en la resistencia)
y la corriente que recorre el circuito (figura c).
y la corriente que recorre el circuito (figura c).
Podemos decir, a la vista de los resultados, que al
Podemos decir, a la vista de los resultados, que al
alimentar una resistencia puramente óh-mica con una
alimentar una resistencia puramente óh-mica con una
tensión de cc o con una tensión alterna senoidal con
tensión de cc o con una tensión alterna senoidal con
idéntico valor eficaz que el de la cc, los efectos son
idéntico valor eficaz que el de la cc, los efectos son
los mismos. Precisamente de aquí se obtiene la
los mismos. Precisamente de aquí se obtiene la
definición de valor eficaz de una corriente alterna.
definición de valor eficaz de una corriente alterna.
12
12
Ci
Circ
rcui
uito
to co
con i
n ind
nduc
ucta
tanc
ncia
ia pu
pura
ra..
Sea la bobina, supuestamente ideal, de la
Sea la bobina, supuestamente ideal, de la
figu-ra 6.6 a la que se aplica una tensión alterna senoidal.
ra 6.6 a la que se aplica una tensión alterna senoidal.
Ya dijimos que una bobina ideal retrasa 90º la
Ya dijimos que una bobina ideal retrasa 90º la
co-rriente respecto de la tensión aplicada (figuras b y c).
rriente respecto de la tensión aplicada (figuras b y c).
G G
II
v = V v = V00 sen t sen t i = I i = I sen t sen t 00tt
v/i
v/i
II V
V
j j
circuito
circuito
senoides
senoides
diagrama vectorial
diagrama vectorial
oo
a)
a)
b)
b)
c)
c)
R
R
Figura 6.5 Figura 6.5 G GII
se sen (n ( t t - 9- 900)) i = I i = I tt v/i v/iII
V
V
j j
circuito
circuito
senoides
senoides
diagrama vectorial
diagrama vectorial
oo
a)
a)
b)
b)
c)
c)
L
L
--90º
90º
90º 90º L L 00 v v = V= V00 sen tsen t 90º 90º Figura 6.6 Figura 6.6En este circuito la única "resistencia" que aparece es
En este circuito la única "resistencia" que aparece es
la reactancia inductiva, por lo que la corriente eficaz
la reactancia inductiva, por lo que la corriente eficaz
que circula por el circuito será:
que circula por el circuito será:
I
I = = V V / / XXL (90ºL (90º = = V V / / j2j2
ππ
fL fL ==jV / j
jV / j2222
ππ
fL fL = = -jV -jV / / 22ππ
fL fL = = -jV -jV / / jjω
ω
LLLa corriente instantánea que circula por el circuito
La corriente instantánea que circula por el circuito
es i = Io sen (
es i = Io sen (ω
ωt – 90º)
t – 90º)
Observaciones:
Observaciones:
La potencia (potencia activa o real) absorbida por
La potencia (potencia activa o real) absorbida por
una bobina ideal es cero, pues no existe resistencia
una bobina ideal es cero, pues no existe resistencia
óhmica.
óhmica.
La tensión y la corriente están en cuadratura; o sea,
La tensión y la corriente están en cuadratura; o sea,
desfasadas 90º, por tanto, el factor de potencia o
desfasadas 90º, por tanto, el factor de potencia o
coseno
coseno es
es nulo.
nulo.
13
13
Ci
Circ
rcui
uito
to co
con c
n con
onde
dens
nsad
ador
or id
idea
eal.
l.
Al conectar un
Al conectar un condensador ideal (recordemos
condensador ideal (recordemos
que es el que está totalmente desprovisto de
que es el que está totalmente desprovisto de
resisten-cia) como el de la figura 6.7
cia) como el de la figura 6.7 a una fuente de tensión
a una fuente de tensión
alterna, ocurre que a medida que la tensión va
alterna, ocurre que a medida que la tensión va
au-mentando, el condensador se va cargando, y cuando
mentando, el condensador se va cargando, y cuando
aquella va disminuyendo, el condensador se va
aquella va disminuyendo, el condensador se va
descargando. Todo esto ocurre con la misma rapidez
descargando. Todo esto ocurre con la misma rapidez
con que cambia el sentido de la tensión aplicada.
con que cambia el sentido de la tensión aplicada.
Como consecuencia, se establece en el circuito una
Como consecuencia, se establece en el circuito una
corriente alterna de la misma frecuencia que la de la
corriente alterna de la misma frecuencia que la de la
tensión de alimentación.
tensión de alimentación.
Teniendo en cuenta que el valor máximo de la
Teniendo en cuenta que el valor máximo de la
ten-sión tiene lugar al cuarto de periodo (90º), -ver
sión tiene lugar al cuarto de periodo (90º), -ver figura
figura
6.7,c- y que la cantidad de electricidad -en culombios
6.7,c- y que la cantidad de electricidad -en culombios
si C viene en Faradios y V en voltios- acumulada en
si C viene en Faradios y V en voltios- acumulada en
cada armadura del condensador es Q = C
cada armadura del condensador es Q = C
xxV, ten-
V,
ten-dremos que al cabo de los
dremos que al cabo de los 90º la cantidad de electri-
90º la cantidad de
electri-cidad acumulada será:
cidad acumulada será:
Q
Q
00= C
= C
xxV
V
00Por tanto, el valor medio de la intensidad será:
Por tanto, el valor medio de la intensidad será:
IImedmed = = QQ00/ t / t = = C VC V00/ T/ / T/ 4 = 4 = 4 C 4 C VV00/ T/ T
Pero
Pero como
como 1/T
1/T =
= f, tendr
f, tendremos
emos que:
que:
IImedmed = = 4 f 4 f C VC V00
Pasando a valores eficaces la corriente y la tensión
Pasando a valores eficaces la corriente y la tensión
tendremos que:
tendremos que:
I = V / Xc I = V / Xc (-90º(-90º= = V / V / (-j) /(-j) /ω
ω
C C = V= Vω
ω
C / -j =C / -j = j V j Vω
ω
C / -jC / -j22 = j V= j Vω
ω
C = jV 2C = jV 2ππ
f Cf C VV = = XcXc(-90º(-90º= = (-j) (-j) //
ω
ω
C = -jI /C = -jI /ω
ω
C C = -jI = -jI / 2/ 2ππ
f Cf CLa corriente va 90º en adelanto respecto de la
La corriente va 90º en adelanto respecto de la
ten-sión, o lo que es lo mismo, la tensión va 90º en
sión, o lo que es lo mismo, la tensión va 90º en
retraso respecto de la corriente.
retraso respecto de la corriente.
Los condensadores hacen lo contrario que las
Los condensadores hacen lo contrario que las bobi-
bobi-nas.
nas.
La corriente instantánea circulante en el circuito es
La corriente instantánea circulante en el circuito es
i = Io sen (
i = Io sen (
ω
ω
t + 90t + 90
))Todo lo tratado se puede observar en la figura 6.7.
Todo lo tratado se puede observar en la figura 6.7.
14
14
Ci
Circ
rcui
uito c
to con r
on res
esis
iste
tenc
ncia y a
ia y aut
utoi
oin-
n-ducción.
ducción. Circuito
Circuito R-L.
R-L.
Sea el circuito de la figura 6.8,a constituido
Sea el circuito de la figura 6.8,a constituido
por una resistencia y una bobina. También se puede
por una resistencia y una bobina. También se puede
considerar este circuito formado por una bobina real;
considerar este circuito formado por una bobina real;
es decir, considerando la resistencia óhmica de la
es decir, considerando la resistencia óhmica de la
misma. (Desconsideramos la capacidad de la bobina
misma. (Desconsideramos la capacidad de la bobina
por ser la frecuencia de la tensión aplicada pequeña).
por ser la frecuencia de la tensión aplicada pequeña).
Al aplicarle una tensión alterna senoidal, el circuito
Al aplicarle una tensión alterna senoidal, el circuito
será recorrido por una corriente también alterna
será recorrido por una corriente también alterna
senoidal de la misma frecuencia.
senoidal de la misma frecuencia.
Esta corriente dará lugar a dos tipos de caídas de
Esta corriente dará lugar a dos tipos de caídas de
tensión diferentes en el circuito: una caída de tensión
tensión diferentes en el circuito: una caída de tensión
óhmica
óhmica
debida a la resistencia óhmica, R, del circuito
debida a la resistencia óhmica, R, del circuito
cuyo valor es RI y que estará en fase con la corriente
cuyo valor es RI y que estará en fase con la corriente
y otra
y otra
inductiva o reactivainductiva o reactivadebida a la reactancia de
debida a la reactancia de
la bobina, X
la bobina, X
LL, cuyo
, cuyo valor
valor es
es X
X
LLI y desfasada 90º en
I y desfasada 90º en
adelanto respecto a la "caída de tensión óhmica".
adelanto respecto a la "caída de tensión óhmica".
G G
II
tt v/i v/iII
V
V
j j
circuito
circuito
senoides
senoides
diagrama vectorial
diagrama vectorial
oo
a)
a)
b)
b)
c)
c)
--90
90ºº
90 90ºº C C v v = = VV 00 sen tsen t 90 90 ººC
C
sse n e n (( t t + 9+ 900)) i = i = II00 Figura 6.7 Figura 6.7En todo momento, la suma de ambas caídas de
En todo momento, la suma de ambas caídas de
tensión debe ser igual a la tensión aplicada, que a su
tensión debe ser igual a la tensión aplicada, que a su
vez es igual a
vez es igual a ZI, (Ley de Kirchhoff). Pero como no
ZI, (Ley de Kirchhoff). Pero como no
están en fase, la suma debe ser vectorial o
están en fase, la suma debe ser vectorial o
geométri-ca. Ver figura 6.8,b: triángulo de tensiones.
ca. Ver figura 6.8,b: triángulo de tensiones.
Tenemos, por tanto:
Tenemos, por tanto:
••
caída de tensión en la resistencia:
caída de tensión en la resistencia:
V
VR R = R = R (0º(0ºII
(en fase con la corriente)
(en fase con la corriente)
••
caída de tensión en la bobina
caída de tensión en la bobina
V
VLL= X= XL (90ºL (90ºxxII
(90º en adelanto sobre la corriente)
(90º en adelanto sobre la corriente)
••
tensión total
tensión total
V V = = ZZ(( II(en
(en adelanto
adelanto grados
grados
respecto de la corriente)
respecto de la corriente)
De la figura 6.8,b, conocida como triángulo de
De la figura 6.8,b, conocida como triángulo de
tensiones, se deduce (por Pitágoras) que
tensiones, se deduce (por Pitágoras) que
→
→
→
→
→
→
V
V22 = = VVR R 22 + + VVLL22
Impedancia. Triángulo de resistencias
Impedancia. Triángulo de resistencias..
La impedancia del circuito en forma compleja es:
La impedancia del circuito en forma compleja es:
→
→
→
→
→
→
Z =
Z = R + j
R + j X
X
LLEl módulo de la impedancia es:
El módulo de la impedancia es:
El argumento
El argumento o ángulo d
o ángulo de desfase
e desfase es:
es:
=
= arc arc cos cos R R / / Z Z = = arc arc tg tg XXLL/ R / R
El factor de
El factor de potencia o co
potencia o coseno de f
seno de fi i es:
es:
Cos
Cos = = R R / / ZZ
La corriente que circula por el circuito vale:
La corriente que circula por el circuito vale:
I
I = = VV(0º(0º/ Z/ Z(( = = II( -(
-El triángulo de resistencias o impedancias es el de la
El triángulo de resistencias o impedancias es el de la
figura 6.8,b sin más que dividir cada uno de los
figura 6.8,b sin más que dividir cada uno de los
vectores por la intensidad. También se puede
vectores por la intensidad. También se puede
obser-var en las figuras 6.9,a (triángulo
var en las figuras 6.9,a (triángulo
OAB)OAB)y 6.9,b
y 6.9,b
(triángulo
(triángulo
ABC) ABC), que de las dos formas se suele
, que de las dos formas se suele
representar.
representar.
Tensiones. Triángulo de tensiones.
Tensiones. Triángulo de tensiones.
Antes hemos visto las distintas caídas de tensión. El
Antes hemos visto las distintas caídas de tensión. El
triángulo de tensiones es la propia figura 6.8,b.
triángulo de tensiones es la propia figura 6.8,b.
También lo es el triángulo
También lo es el triángulo
OCDOCDde
de la figura
la figura 6.9,a
6.9,a oo
el triángulo
el triángulo
DEF DEFde la figura 6.9,b.
de la figura 6.9,b.
Sus valores son:
Sus valores son:
V V = = ZZ(( II V VR R = = R R (0º(0º I = I = V V coscos V VLL= = XXL (90ºL (90ºI = V senI = V sen G G
II
j j
circuito
circuito
a)
a)
R R LLX
X
LLII
sen t sen t i = I i = Itt
v/i
v/i
senoides
senoides
oo
c)
c)
ºº 00 v v = V= V00sseen n (( t t + + ))RI
RI
triángultriángulo o de tensionesde tensiones
b)
b)
v v = V= V00 sen tsen t R RII
oo
90º 90º v v = VLL= V00sseen (n ( t t + 9+ 90)0) Figura 6.8 Figura 6.8 22 22||
||
z
z
==R
R
++X
X
L Lj j
oo
Z
Z
V
V
Pap
Pap
L LV
V
Preac
Preac
X
X
LL R RPac
Pac
V
V
R
R
A A B B C C D D E E FFII
Z
Z
R
R
X
X
LLV
V
ac ac A A B B C C D D E E FF G G II H H R RPP
a)
a)
b)
b)
Figura 6.9 Figura 6.9Corrientes. Triángulo de corrientes.
Corrientes. Triángulo de corrientes.
Ya hemos visto cómo la corriente queda retrasada un
Ya hemos visto cómo la corriente queda retrasada un
ángulo
ángulo con
con respecto
respecto de
de la
la tensión.
tensión.
Este valor queda descompuesto en dos componentes:
Este valor queda descompuesto en dos componentes:
una, I
una, I
R R, en fase con la tensión y otra, I
, en fase con la tensión y otra, I
LL, retrasada 90º
, retrasada 90º
respecto de la anterior (figura 6.10).
respecto de la anterior (figura 6.10).
La I
La I
R Rse llama de
se llama de
corriente activacorriente activay su valor es
y su valor es
II
R R=
= I
I ccoos
s ((-- ))
La I
La I
LLse llama
se llama
corriente magnetizantecorriente magnetizanteo reactivao reactivay vale
y vale
II
LL=
= I
I sseen
n ((-- ))
La I total vale:
La I total vale:
Potencias. Triángulo de potencias.
Potencias. Triángulo de potencias.
En este circuito aparecen tres tipos de potencia:
En este circuito aparecen tres tipos de potencia:
La potencia aparente representa la potencia total
La potencia aparente representa la potencia total
suministr
suministrada por la fuente o
ada por la fuente o la total absorbida por la
la total absorbida por la
carga y vale:
carga y vale:
P
Papap = Z= Z(( II22
en voltamperios.
en voltamperios.
La potencia activa es la absorbida por la resistencia
La potencia activa es la absorbida por la resistencia
y vale:
y vale:
P
Pacac = R = R (0º(0ºII22 = P= Papap coscos
