Informe de Laboratorio Circuitos I CIRCUITOS SEGUNDO ORDEN

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACUL

T

AD DE

INGENIERIA

MECÁNICA

“INFORME Nº 08: CIRCUITOS

TRANSITORIOS DE SEGUNDO ORDEN –

CIRCUITO RLC SERIE”

ESPECIALIDAD:

Mecánica-E!c"#ica

CURSO:

La$%#a"%#i% &e ci#c'i"%(

La$%#a"%#i% &e ci#c'i"%( e!c"#ic%(

e!c"#ic%(

II

ALUMNOS:

PROFESOR:

In)*

In)* EMILIO

EMILIO MARCELO

MARCELO

UNI – +0,0

1

(2)

O.ETI/OS



Analizar las diferentes clases de resuestas !ue resenta un

circuito RLC en serie"



Co#robar las ecuaciones $enerales ara el an%lisis transitorio

de circuitos RLC"



Obtener e&eri#ental#ente las constantes reresentati'as del

siste#a RLC"

MATERIALES

osciloscoio

Circuito dibujado en la caja

Circuito dibujado en la caja de resistenciasde resistencias

(

(3)

FUNDAMENTO TEORICO

Los rocedi#ientos ara )allar la resuesta natural o a un

escal*n de un circuito RLC es serie son los #is#os !ue se e#lean

ara encontrar la resuesta natural o a un escal*n de un circuito RLC

en aralelo+ la !ue son dos circuitos se describen con ecuaciones

diferenciales !ue tienen la #is#a for#a" ,or e-e#lo+ la ecuaci*n

diferencial !ue describe la corriente del circuito de la .$ura+ tiene la

#is#a for#a !ue la ecuaci*n diferenciales !ue describe el 'olta-e en

un circuito aralelo" /alla#os la e!ui'alencia )aciendo una su#a de

los 'olta-es as0

C1 100n R2 8 9 10 L2 V2 TD =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05 V1=0 TR =0 V2=5 0 0 Vo idt C 1 dt di L Ri

+

∫

+

=

A)ora deri'a#os con resecto a t la ecuaci*n

0 LC i dt di L R dt i d 2 2

=

+

2ue lue$o de co#arar con las ecuaciones del circuito RLC+ tienen la

#is#a for#a"

Soluciona#os el siste#a or los #étodos de EDO+ cu3as ra0ces

caracter0sticas son

(4)

2 o 2 2 1 2 2 1 s LC 1 L 2 R L 2 R s ω α α

±

−

=

−













±

−

=

, ,

Cu3a frecuencia de Neer en el circuito serie es

L 2

R

=

α

5ientras !ue la e&resi*n de ara la frecuencia resonante es la

#is#a !ue ara el circuito RLC en aralelo

LC 1

o

=

ω

La resuesta de corriente ser% sobre a#orti$uada+

suba#orti$uada o a#orti$uada cr0tica#ente deendiendo de se w

o2

<

α 2

_{+ w}

o2

>

α 2

_{o w}

o2

=

α

2

_{+ resecti'a#ente" As0 las tres soluciones}

osibles ara la corriente son

t 2 t 1 t d t 2 d t 1 t t s 2 t s 1 t te D te D i t sin e B t e B i e A e A i 1 2 α α α α ω ω − −

+

=

+

=

+

=

) ( ) ( ) ( cos

Una 'ez se )a3a obtenido la resuesta natural ara la corriente+ se

uede deter#inar la resuesta natural ara el 'olta-e en cual !uiera

de los ele#entos del circuito"

De #anera si#ilar se uede )acer el an%lisis ara un circuito

!ue est% so#etido a un escal*n+ or e-e#lo el 'olta-e del

condensador v

c

de la .$ura es

(5)

C1 100n R2 8 9 10 L2 V2 TD =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05 V1=0 TR =0 V2=5 0 t 2 t 1 f t C d t 2 d t 1 f t C t s 2 t s 1 f t C te D te D V v t sin e B t e B V v e A e A V v 1 2 α α α α ω ω − −

+

=

+

=

+

=

) ( ) ( ) ( cos

Donde V

f

es el 'alor .nal de v

/c

" ,or lo tanto+ en el circuito !ue se

#uestro enla .$ura+ el 'alor .nal de v

c

es el 'olta-e de la fuente"

CIRCUITO A UTILIAR

C1 100n R2 0.5k 8 9 L2 2.8 V2 TD =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05 V1=0 TR =0 V2=5 0 10

El circuito fue si#ulado+ ara una resistencia 'ariable inicial de 7"89 3

una resistencia .nal de :9+ obteniéndose los si$uientes 'alores ara

el 'olta-e del caacitor+ resecti'a#ente

8 Laboratorio de circuitos eléctricos I

(6)

Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms V(10,0) -5V 0V 5V 10V Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms V(10,0) -2.0V 0V 2.0V 4.0V 6.0V

CALCULOS 1 RESULTADOS

= Laboratorio de circuitos eléctricos I

(7)

ESTADO TRANSITORIO EN CIRCUITO RCL

I*

De(a##%% Te2#ic% De Ci#c'i"%

L1 2.5h Rc R2 71.2 R4 10k C1 100n 0 V1

Alicando las le3es de circuitos se tiene

L t V LC R t V t i LC R R R LC t i L R R C R t i os ter agrupando t i R L t i R R R R t V t i LC t i R R C t V C t i en y t i L t i R R t V t V donde De t V t i L t i R R t V Ademas R t V i t V C i i i i C C v i v i C C C v i C v i v i C C v i C C C ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( : min Re ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) 1 ( ) 4 ( ) 3 ( ), 2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) 3 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ₁ ₂ 2 1

′

+

=













+

′













+

′′

′

−

+

−

+

′′

−

′

+

−

′

=

′

−

+

−

=

+

′

+

=

′

=

+

=

           

>

En la pat! t!"#ca v#$o% &'! paa c'al&'#! va#a(l! )*t+ &'! %!

&'#!a calc'la ,!l c#c'#to- la !c'ac#"n ,#f!!nc#al t!n,. la fo$a

) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 _X _t _f _t LC R R R LC D L R R C R D t f t X LC R R R LC t X L R R C R t X C v i v i C C v i v i C

=























₊

+











₊

+

=











₊

+

′











₊

+

′′

? Laboratorio de circuitos eléctricos I

i

i(

(8)

) ( ) ( ] 2 [ : 2 0 2 t f t X D D ecuacion la con lo Comparando

=

+

α ω

@ene#os ara nuestro circuito

α

=



+











1 2 1 R C R R L C i v 77777777777777777 ω 0 1

=



+











LC R R R LC i v C ω π

=

−



+







_

 +



+

−









 =

1 2 1 2 1 2 2 2 LC R R L R C R R L R C T i v C i v C

Lue$o ara el circuito del e&eri#ento

Ri ;=+6

Ω

R' B17<

Ω

RC ; (?<

Ω

+ 6?<

Ω

C;177n L;(+8/r"

Lue$o

α ( , ) , , R R R R C v C v

=



+











1 2 10 68 4 2 5 7 ω 0 7 7 10 2 5 68 4 2 5 10 ( , ) , , ( , ) R R R R x C v v C

=



+











−

II*

Cac'% &e

“

α

”3 “T” 4 “

ω

%” 5ana6"ica 4

e7e#i9en"a9en"e*-TALA DE /ALORES OTENIDA E;PERIMENTALMENTE: E, 5< E+ 5< E= 5< RC 5>  R< 5> T59(  R<5(in a#92nic% 1"4 7"6( 7"14 (? 1"?4( 4 "7 ("( 7"8 7"4: 6? 1"7=8 4"1 "(6 4"1 1": 1"1=

_∞

7"4:6 4"1 ?"

 Laboratorio de circuitos eléctricos I

(9)

FORMA DE ONDA OSER/ADA:

C?LCULO DE 1 T CON DATOS E;PERIMENTALES:

E, 5< E+ 5< @#s *a,/%!0+ *a,/%!0 + *a,/%!0+ ,*= 7"6( 4 ?84"(6 (7:6"4: (((8"?4 +*+ 7"8 4"1 =14"84 (7(="4 (11?"== =*, 1": 4"1 41:"(6 (7(="4 (781"(

C?LCULO DE 1 T CON DATOS TEORICOS:

R, @RiR/ 5> RC 5  (rad/seg) 0(rad/s eg) g) @#s 1"?:=6 (? 866"6=8 (7=8"6= 1::("61 4"186 1"1446 6? 444"7=4 (7(4":? 1::="4 4"16? 7"6=(

_∞

:("6 (77 1::?"= 4"168

: Laboratorio de circuitos eléctricos I

3 %

α=2/Τ∗λν /Ε =√ +α

3 0



(10)

CALCULO DE ERRORES:

RC @+B> RC @B> RC @ e7* "e%#* e##* e7* "e%#* e##

*

e7* "e%#* e##*

α

B=*+ *  +B*B0 =14"84 444"7=4 *B , 41:"(6 :("6 B,*0  (((8"?4 (7=8"6 = B*+0 (11?"= = (7(4":? *+ (781" ( (777 +*=

ω

(7:6"4: 1::("6 1 *8B (7(=" 4 1::="4 ,*0 (7(=" 4 1::?" = ,*= @#s 4 4"186 *,= 4"1 4"16? ,*+ 4"1 4"168 ,*= III"

PASO 

Con el aso 6 se consi$ue !ue el coe.ciente de

a#orti$ua#iento sea i$ual a la frecuencia natural del siste#a+

asando del caso suba#orti$uado al cr0tica#ente a#orti$uado+ es

or ello !ue no se obser'a nin$una oscilacin+ terica#ente

ω

debe

ser cero eriodo in.nito"

I/*

FUNCION DE R

C

,ara analizar la funci*n de R

C

+ te*rica#ente+ 'ea#os la

si$uiente ecuaci*n+ obtenida al rea$ruar tér#inos en la for#ula

dada ara

ω

en la ri#era arte

ω π

=

−



+







_

 +



+

−









 =

1 2 1 2 1 2 2 2 LC R R L R C R R L R C T i v C i v C

(11)

>

Rea$ruando tér#inos se tiene

ω ϖ α

=

sinR

+

−

sinR C C C C R C R C 2 2 2 2 1 4

Analizando la fr#ula co#o slo nos interesa el efecto de R

C

+

to#a#os el resto de 'ariables constantesF 'e#os !ue ara R

C

$randes+

ω

r%ctica#ente no 'ar0a+ sin e#bar$o ara 'alores

e!ueos de R

C

+

ω

tiende a crecer esto i#lica !ue el eriodo

dis#inu3a 3 entonces se 'er% #%s eriodos de oscilaci*n es

ar#*nicas durante el se#ieriodo de la onda cuadrada" @a#bién a

si#le 'ista 'e#os !ue R

C

es un ca#ino ara !ue el condensador se

descar$ue #%s r%ida#ente+ de tal #odo !ue se obser'en #%s

oscilaciones ar#*nicas"

/*

DIFERENCIAS ENTRE LOS PASOS =3  1 

En el aso 4 se lle'a el circuito al caso suba#orti$uado ara

realizar su estudio resecti'o 3 en el aso 6 se lle'a al circuito al caso

cr0tica#ente a#orti$uado"

/I*

E;PRESION DE /

L

:

Del desarrollo de la ri#era arte se tiene

(12)

′′ +



+









 ′

+



+











=

+ ′

=

′

₊



₊

+











+



+











=

+ ′

′′

₊



₊

+



∫

i t R C R R L i t LC R R R LC i t V t R LC V t L Como v t Li t emplaando v t L R C R R L v t L LC R R R LC v t dt L V t R LC V t L Derivando v t L R C R R L C i v i v C C L L C i v L i v C L C L C i v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) Re : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) 1 1 1 1 1









′

+



+











=

′

+ ′′

v t L LC R R R LC v t L V t R LC V t L L i v C L C ( ) 1 ( ) ( ) ( ) Reaco#odando

′′ +



+









 ′

+



+











=

′

+ ′′

v t R C R R L v t LC R R R LC v t V t R C V t L C i v L i v C L C ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )

/II* E;PRESION DE i5"*

Esto se desarroll* en la ri#era arte+ esta ecuaci*n diferencial es

′′

+



+









 ′

+



+











=

+ ′

i t R C R R L i t LC R R R LC i t V t R LC V t L C i v i v C C ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )

/III* EL PORUE ENERGIAR EL CIRCUITO CON ONDA

CUADRADA*

,ara lo$rar obser'ar er#anente#ente dic)a la for#a de onda

de las oscilaciones ar#*nicas es necesario !ue ésta se reita a

deter#inada frecuencia+ 3a !ue sino no se odr0a to#ar las #edidas

corresondientes+ es or ello !ue al circuito se ener$iza con una

(13)

for#a de onda rectan$ular con una frecuencia tal !ue er#ita 'er en

su #edio eriodo toda la arte transitoria areciable de H t"

CONCLUSIONES 1 RECOMENDACIONES

 Se obser'* !ue en el transitorio las #a$nitudes de las 'ariables del circuito alcanzan icos ele'ados+ de all0 la i#ortancia de !ue en un circuito se re!uiera una estabilizaci*n r%ida ara e'itar !ue debido a estos icos de

(14)

corriente 3 tensi*n+ se a'er0en los co#onentes o consu#an de#asiado en el arran!ue"

 @a#bién es i#ortante destacar la necesidad de ali#entar al circuito con una fuente de onda rectan$ular+ 3a !ue esta si#ula un sJitc) !ue se abre 3 se cierra con cierta frecuencia constante !ue nos er#itir% obser'ar el estado transitorio del circuito RLC 3 )acer su estudio resecti'o"

 En los asos anteriores se 'io la $ran inKuencia de la resistencia interna del $enerador en los resultados e&eri#entales+ ser0a bueno considerar en el circuito te*rico+ ade#%s de la resistencia interna de la bobina+ la resistencia de salida o interna del $enerador+ con lo !ue se obtendr0an datos #%s co)erentes"

 Se arecia ta#bién la i#ortancia de la resistencia RC + ara oder

obser'ar #a3ores eriodos del transitorio esto $racias al au#ento !ue ro'oca en la frecuencia de oscilaci*n"

ANE;O A: APLICACIONES DE RLC

1" CIRCUI@OS DE SIN@ONA VARIAMLE

(15)

Un uso frecuente de estos circuitos es en los circuitos de sinton0a de radios an%lo$os" La sinton0a re$ulable es lo$rada co#n#ente con un lato aralelo de caacitancia 'ariable" ,ara la etaa I en la radio en donde la sinton0a es reestablecida de f%brica+ la soluci*n #%s usual es un ncleo re$ulable en el inductor ara re$ular a L" En este diseo el ncleo )ec)o de un #aterial alta#ente er#eable !ue tiene el efecto de incre#entar la inductancia es roscado de #odo !ue uede ser atornillado en la #edida !ue el bobinado del inductor as0 lo re!uiera"

(" IL@ROS

En la alicaci*n en .ltros+ el resistor R se con'ierte en la car$a !ue el .ltro est% traba-ando" El 'alor del factor de a#orti$ua#iento es ele$ido en base a un anc)o de banda deseado del .ltro" ,ara un anc)o de banda #as a#lio+ un #a3or 'alor de factor de a#orti$ua#iento es re!uerido 3 'ice'ersa" Los tres co#onentes roorcionan al diseador tres $rados de libertad" Dos de estos son re!ueridos ara establecer el anc)o de banda 3 la frecuencia de resonancia" El diseador tiene an uno !ue uede ser usado ara establecer la escala de R+ L 3 C a un 'alor r%ctico con'eniente" Alternati'a#ente+ R uede ser redeter#inado or un circuito e&terno el cual usar% el lti#o $rado de libertad"

iltro de ,aso Ma-o

Un circuito RLC uede ser usado co#o un .ltro de aso ba-o" La con.$uraci*n del circuito es #ostrado en la i$ura 1" La frecuencia en la es!uina+ esto es+ la frecuencia del unto 4dM+ est% dada or

Esto es ta#bién el anc)o de banda del .ltro" El factor de a#orti$ua#iento est% dado or

iltro de ,aso Alto

Un .ltro de aso alto es #ostrado en la i$ura (" La frecuencia en la es!uina es la #is#a !ue en el .ltro de aso ba-o"

(16)

El .ltro tiene una banda de toe de este anc)o"

iltro de aso de banda

Un .ltro de aso de banda uede ser for#ado con un circuito RLC 3a sea #ediante un circuito serie LC en serie con una car$a resisti'a o ta#bién #ediante un circuito aralelo LC en aralelo con una car$a resisti'a" Estos arre$los se #uestran en las i$uras 4 3 6 resecti'a#ente"

1= Laboratorio de circuitos eléctricos I

Fig. 1. Circuito RLC como filtro de paso bajo Fig. 2. Circuito RLC as filtro de paso alt o

Fig. 3. Circuito RLC como un f iltro serie de paso de banda en serie con la línea

Fig. 4. Circuito RLC como un filtro paralelo de paso de banda en derivación a travs de la línea

Fig. !. Circuito RLC como un filtro serie de tope de banda en derivación a travs de la línea

Fig. ". Circuito RLC como filtro paralelo de tope de banda en serie con la línea

(17)

La frecuencia del centro est% dada or

 el anc)o de banda del circuito serie es

La 'ersi*n de deri'aci*n del circuito est% rearada ara ser accionada or una fuente de $ran i#edancia+ esto es+ una fuente de corriente constante" Ma-o esas condiciones el anc)o de banda es

iltro de toe de banda

La .$ura 8 #uestra un .ltro de toe de banda for#ado or un circuito serie LC en deri'aci*n a tra'és de la car$a" La .$ura = es un .ltro de toe de banda for#ado or un circuito aralelo LC en serie con una car$a" El ri#er caso re!uiere una fuente de alta i#edancia de #odo !ue la corriente es deri'ada al resonante cuando se con'ierte en ba-a i#edancia en resonancia" El se$undo caso re!uiere una fuente de ba-a i#edancia de #odo !ue el 'olta-e decae a tra'és del antiresonante cuando se con'ierte en alta i#edancia en resonancia"

4" OSCILLA@ORS

,ara alicaciones en circuitos de osciladores+ or lo $eneral es deseable )ace la atenuaci*n o de for#a e!ui'alente+ el factor de a#orti$ua#iento tan e!ueo co#o sea osible" En la r%ctica+ este ob-eti'o re!uiere )acer la resistencia del circuito R tan e!uea co#o f0sica#ente sea osible ara un circuito serie+ o alternati'a#ente incre#entar R tanto co#o sea osible ara un circuito aralelo" En cual!uier caso+ el circuito RLC lle$a a ser una buena aro&i#aci*n al circuito LC ideal" Sin e#bar$o+ ara circuitos de #u3 ba-a atenuaci*n factor 2 alto+ roble#as tales co#o érdidas dieléctricas de los caacitores ueden ser i#ortantes"

En un circuito oscilador

(18)

" O de for#a e!ui'alente " Co#o resultado .

6" 5UL@I,LICADOR DE VOL@APE

En un circuito serie RLC en resonancia+ la corriente se li#ita solo or la resistencia del circuito

Si R es e!ueo+ 3 consiste s*lo de una resistencia de la bobina del inductor+ entonces esta corriente ser% $rande" Ocasionar% una ca0da de tensi*n a tra'és del inductor de

Un 'olta-e de i$ual #a$nitud ta#bién ser% 'isto a tra'és del caacitor ero en contra fase al inductor" Si R uede ser )ec)o lo su.ciente#ente e!ueo+ estos 'olta-es ueden ser 'arias 'eces el 'olta-e de entrada" El ratio del 'olta-e es+ en efecto+ el 2 del circuito"

Un efecto si#ilar es obser'ado con las corrientes en el circuito en aralelo" Aun!ue el circuito arece de alta i#edancia a la fuente e&terna+ e&iste una $ran corriente circulando en el lazo interno del inductor 3 caacitor en aralelo"

ANE;O : SIMULACION DEL CIRCUITO CON “Eec"#%nic(

H%#$encJ”

(19)

B*ILIOGRAFIA

Anái(i( &e 9e&i&a( e!c"#ica(

(20)

E*K#an

Te#ce#a e&ici2n

G'6a a#a 9e&ici%ne( eec"#2nica( 4 #ác"ica( &e

a$%#a"%#i%

S"ane4 %K

C'a#"a e&ici2n

Ci#c'i"%( &e c%##ien"e a"e#na

>e#cJne# C%#ca#án

Deci9a (e7"a e&ici2n

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