Soluciones Energia Potencial y Conservacion de Energia Selectividad

1.

1. En el átomo de hidrógeno el electrón se encuentra a una distanciaEn el átomo de hidrógeno el electrón se encuentra a una distancia aproximada de 5,2

aproximada de 5,2 ⋅⋅ 1010−−1111 m del núcleo, donde está localizado el protón.m del núcleo, donde está localizado el protón.

Calcula la fuerza electrostática con que se atraen ambas partículas Calcula la fuerza electrostática con que se atraen ambas partículas y compárala con la fuerza gravitatoria entre ellas.

y compárala con la fuerza gravitatoria entre ellas. Datos: Datos: G G == 6,676,67 ⋅⋅ 1010−−1111 NN ⋅⋅ mm22 ⋅⋅ kgkg−−22;; m  m _pp == 1,671,67 ⋅⋅ 1010−−2727 kg;kg; m m _ee == 9,19,1 ⋅⋅ 1010−−3131 kg;kg; K K == 99 ⋅⋅ 101099 NN ⋅⋅ mm22 ⋅⋅ CC−−22;; q  q _pp == 1,61,6 ⋅⋅ 1010−−1919 C;C; q q _ee == −−1,61,6 ⋅⋅ 1010−−1919 C.C. Trabajaremos,salvoqueseindiquelocontrario,enunidadesdelSI. Trabajaremos,salvoqueseindiquelocontrario,enunidadesdelSI. Elmódulodelafuerzaelectrostáticaes: Elmódulodelafuerzaelectrostáticaes: F F K K  q q q q  d  d  E E = = ⋅⋅ p p ee ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ -2 2 9 9 19 19 22 11 11 22 9 9 1010 11 6 6 1100 5 5 2 2 1100 ( ( , , )) ( ( , , )) = = = = ⋅⋅ -8 8 5_{, ,} 522007 7 1100 88 _NN Obtendremoslafuerzagravitatoriaentreellasconlaexpresión: Obtendremoslafuerzagravitatoriaentreellasconlaexpresión: F F G G  m m m m  d  d  G G = = ⋅⋅ p p ee ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ -- - - -2 2 11 11 27 27 33 6 6 6_,,67 7 1100 1 61 67 , , 7 110 0 9 1 19 1 ,, 100 1 1 1 1 11 11 22 47 47 5 5 2 2 1100 3 3 7744889 9 1100 ( ( , , )) ,, ⋅ ⋅ = = = = ⋅⋅ -N N Aunqueambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido(protón Aunqueambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido(protón yelectrónseatraen),elmódulodelafuerzaelectrostáticaesmucho yelectrónseatraen),elmódulodelafuerzaelectrostáticaesmucho mayorqueenelcasodelafuerzagravitatoria. mayorqueenelcasodelafuerzagravitatoria. 2.

2. Dos partículas, a y b, tienen masas igualesDos partículas, a y b, tienen masas iguales

de 1,6 g y cargas de igual valor, pero de signos de 1,6 g y cargas de igual valor, pero de signos contrarios. La partícula b está fija en el espacio contrarios. La partícula b está fija en el espacio y la partícula a está colgada del techo por

y la partícula a está colgada del techo por un hilo de masa despreciable (ver la figura). un hilo de masa despreciable (ver la figura). Cuando ambas partículas están separadas Cuando ambas partículas están separadas

una distancia de 0,25 m, la partícula a se halla una distancia de 0,25 m, la partícula a se halla

en equilibrio y el hilo forma un ángulo de 30° con la vertical. Calcula: en equilibrio y el hilo forma un ángulo de 30° con la vertical. Calcula: a)

a) La tensión La tensión del hilo.del hilo. b)

b) La fuerza de atracción entre La fuerza de atracción entre las partículas.las partículas. c)

c) El valor absoluto de El valor absoluto de la carga de las la carga de las partículas.partículas. Datos: Datos: K K == 99 ⋅⋅ 101099 NN ⋅⋅ mm22 ⋅⋅ CC−−22;; g  g == 9,8 m9,8 m ⋅⋅ ss−−22.. Planteamoselbalancedefuerzas Planteamoselbalancedefuerzas delamasasuspendida. delamasasuspendida. Despreciamoslafuerzadeatracción Despreciamoslafuerzadeatracción gravitatoriaentrelasdospartículas gravitatoriaentrelasdospartículas porque,comosededuce porque,comosededuce delaactividadanterior,serámucho delaactividadanterior,serámucho menorquelafuerza menorquelafuerza electrostática. electrostática. a a 30° 30° b b 0,25m 0,25m a a 30° 30° b b 0,25m 0,25m W W F  F _EE W W T  T  W W P  P 

Observaquelatensióndebedescomponerseensuscomponentes Observaquelatensióndebedescomponerseensuscomponentes verticalyhorizontal,quesecalculanrelacionando

verticalyhorizontal,quesecalculanrelacionando T T conelánguloconelángulo queformaconlavertical(30°):

queformaconlavertical(30°): •

• EjeEjevertverticalical:: T T ⋅⋅ cocoss 330 0 °°== PP = = mm ⋅⋅ gg = =   0 0 0,,000116 6 kkgg ⋅⋅ 9 9 8 ,, m8 m//ss == 0 0 0,,0115 5 6688NN 2 2 • • Ejehorizontal:Ejehorizontal: T T F F K K  q q  d  d  q  q  ⋅ ⋅ sensen3030 == EE == ⋅⋅ == 99 ⋅⋅1100 ⋅⋅ 0 0 2525 2 2 2 2 9 9 2 2 2 2 °° ,, a

a)) Obtenemoslatensióndelhilo,Obtenemoslatensióndelhilo, T T ,apartirdelbalance,apartirdelbalance correspondientealejevertical: correspondientealejevertical: T  T == ⋅ ⋅ = = -1 15 5 668 8 1100 30 30 0 0 001188 101066 3 3 ,, cos cos ,, N N N N °° b

b)) ConociendoelvalordelatensiónConociendoelvalordelatensión T T podemosobtenerelvalorpodemosobtenerelvalor delafuerzaelectrostáticadeatraccióndelaspartículas delafuerzaelectrostáticadeatraccióndelaspartículas apartirdelbalancecorrespondientealejehorizontal: apartirdelbalancecorrespondientealejehorizontal: F F _EE == T T ⋅⋅ sseenn == ⋅⋅ NN⋅⋅ sseenn == ⋅⋅ NN - - - -3 30 0 _°° 18 18 1 _,,1006 6 110 0 3 3 30 30 _ºº 9 09 _,,0553 3 1100 33 c c)) ConociendoelvalordelafuerzaelectrostáticadeatracciónConociendoelvalordelafuerzaelectrostáticadeatracción delaspartículasysabiendoquesucargaesidéntica,podemos delaspartículasysabiendoquesucargaesidéntica,podemos obtenersuvalor: obtenersuvalor: F F K K  q q  d  d  q  q  E E == ⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ 2 2 2 2 9 9 2 2 2 2 9 9 1010 0 0 25_,,25 → → → →q q == F F  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅⋅ -E E 0 0 2525 9 9 1010 9 9 00553 3 110 0 0 0 2255 9 9 1010 2 2 55 2 2 9 9 3 3 22 9 9 , , , , ,, , , 111010--77 CC 3.

3. Dos Dos carcargas gas puntpuntualuales es de de 10 10 C C cada cada una una estestán án en en las las posposiciiciones ones (5, (5, 0)0) y (

y (−−5, 0). Una tercera carga de 0,1 C y 2 kg de masa se deja5, 0). Una tercera carga de 0,1 C y 2 kg de masa se deja

en libertad y con velocidad nula en el punto (0, 10). Calcula: en libertad y con velocidad nula en el punto (0, 10). Calcula: a)

a) La aceleración que actúa La aceleración que actúa sobre la tercera sobre la tercera cargacarga en las posiciones A (0, 10) y B (0, 0).

en las posiciones A (0, 10) y B (0, 0). b)

b) La velocidad de la tercera carga La velocidad de la tercera carga en (0, 0).en (0, 0). a

a)) CalcularemosCalcularemos

laaceleraciónencada laaceleraciónencada puntopormediode puntopormediode laexpresión laexpresiónF F WW = = m m ⋅⋅ WWa a .. Comoconocemossu Comoconocemossu masa,bastaconcalcular masa,bastaconcalcular lafuerzaqueresultade lafuerzaqueresultade lainteracciónelectrostática lainteracciónelectrostática delasotrasdoscargas delasotrasdoscargas sobreellaencadapunto. sobreellaencadapunto. A(0,10) A(0,10) B(0,0) B(0,0) q q _22==10C10C q  q _11==10C10C (5,0) (5,0) ((--5,0)5,0)

Lafuerzasecalcularáencadacasohaciendousodelprincipio Lafuerzasecalcularáencadacasohaciendousodelprincipio desuperposición: desuperposición:F F WW T T ==F F WW11 ++F F WW22.. Lafuerzaeléctricaexistenteentrecadapardecargases: Lafuerzaeléctricaexistenteentrecadapardecargases: F F K K  q q q q  d  d  u u  E E = = ⋅⋅ rr ⋅⋅ ⋅⋅ 0 0 2 2 W W W W CálculodelafuerzaenelpuntoA(0,10). CálculodelafuerzaenelpuntoA(0,10). Elvector ElvectorWWr r  1A

1Atieneorigenen(tieneorigenen(--5,0)yextremoen(0,10).5,0)yextremoen(0,10).

Portanto: Portanto: r r ii jj uu    r r  r  r  i i jj ii jj    1 1AA 11AA 1A1A 1A 1A = = ++ == == ++ + + = = ++ 5 5 1010 5 5 1010 5 5 1010 5 5 1010 2 2 22

→

→

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11125125 W W WW W W WW W W W W WW W W WW W W Entonces: Entonces: W W W W W W WW W W W W F F K K  q q q q  r  r  u u  i  i  1A 1A 1A 1A 1A 1A = = ⋅⋅ 1 1 ⋅⋅ 00 ⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ -⋅ - ⋅⋅ ++ 2 2 9 9 9 9 1010 110 0 0 0 11 125 125 5 5 11 ( ( , , )) 0000 125 125 3 3 222 12 10 0 7 7 6 6 444 14 10077  j   j  i i j j  = = = = -- , , ⋅⋅ -- , , ⋅⋅ NN Elvector

ElvectorWWr r _2A2Atieneorigenen(5,0tieneorigenen(5,0)yextremo)yextremoen(0,10).en(0,10).

Portanto: Portanto: r r ii jj uu    r r  r  r  i i j j i i  2 2AA 22AA 22AA 2 2AA = = ++ == == - - ++ + + = = - - ++ 5 5 1010 5 5 1010 5 5 1010 5 5 11 2 2 22

→

→

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

0 0 0 0 125 125  j   j  W W WW WW W W W W W W W W WW WW W W Entonces: Entonces: F F K K  q q q q  r  r  u u  i  i  2A 2A 2A 2A 2A 2A = = ⋅⋅ 2 2 ⋅⋅ 00 ⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ -⋅ - ⋅⋅ - -2 2 9 9 9 9 1010 110 0 0 0 11 125 125 5 5 ( ( , , ) ) (( ++++ = = = ⋅ = ⋅ -- ⋅⋅ 10 10 125 125 3 3 222 12 10 0 7 7 6 6 444 14 10077  j   j  i i j j  )) , , , , NN W W W W W W WW W W WW Portanto: Portanto: F F_{EEA A} == FF_{11A A} ++ FF_22AA == -- ⋅⋅ ii -- ⋅⋅ jj ++    + + ⋅⋅ ( ( ,, ,, )) ( ( ,, 3 3 222 12 10 0 6 6 444 14 100 3 3 222 2 11 7 7 77 0 0 0 0 7 7 _{i i} -- 6 46 ,,44 4 1⋅⋅ 10 0 7 7 _{j j} )) == -- ,1 21,2888 8 1⋅⋅ 10088 _j j NN W W WW WW W W W W WW W W WW Ylaaceleraciónserá: Ylaaceleraciónserá: W W W W W W W W a  a  F F  m  m   j   j   j   j  A A = = EAEA == mm/s/s22 - - ⋅⋅ = = - - ⋅⋅ 1 1228 8 8 8 1100 2 2 6 64 4 4 4 1100 6 6 6 6 ,, ,, RepetimosloscálculosparaelpuntoB(0,0). RepetimosloscálculosparaelpuntoB(0,0). Elvector

ElvectorWWr r _1B1Btieneorigenen(tieneorigenen(--5,0)yextremoen(0,0).5,0)yextremoen(0,0).

Portanto: Portanto: r r i i u u  r r  r  r  i  i  i  i  1 1BB 11BB 1B 1B 1 1BB = = 55 == == 55 == 5 522

→

→

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W W WW W W W W W W W W W W Entonces: Entonces: F F K K  q q q q  r  r  u u i i  1B 1B 1B 1B 1B 1B = = ⋅⋅ 1 1 ⋅⋅ 00 ⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ -- ⋅ ⋅ = = - -2 2 9 9 9 9 1010 110 0 0 0 11 25 25 3 3 ( ( , , )) ,6 ,6660 0 1⋅⋅ 10088WWi i  NN W W W W W W

Elvector

ElvectorWWr r _2B2Btieneorigenen(5,0)yextremoen(0,0).Portanto:tieneorigenen(5,0)yextremoen(0,0).Portanto:

r r i i u u  r r  r  r  i  i  i  i  2 2BB 22BB 2B 2B 2B 2B

=

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-

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55

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-5 522

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W W WW W W W W W W W W W W Entonces: Entonces: F F K K  q q q q  r  r  u u i i  2B 2B 2B 2B 2B 2B

=

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2 2

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9 9 10

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25 25 ( ( , , )) ( ( W W )) 333 3 6_,,60 0 1

_⋅⋅

10088WW_{i  Ni N} W W W W Finalmente: Finalmente: F F FF FF aa    F F  m  m  EB EB 11BB 22BB BB EB EB 22 N N mm//ss

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00 W W W W WW W W W W Lógico,puestoqueelpuntoBestájustoentre

Lógico,puestoqueelpuntoBestájustoentre q q 11yyq q 22.. b b)) Admitiendoquelaúnicainteraccióneslaelectrostática,sepuedeAdmitiendoquelaúnicainteraccióneslaelectrostática,sepuede obtenerlavelocidadenelpuntoB(0,0)apartirdelteorema obtenerlavelocidadenelpuntoB(0,0)apartirdelteorema deconservacióndelaenergíamecánica: deconservacióndelaenergíamecánica: E E_{CCB B}

+ = + =

+ = + =

EE_{PB PB} EE_{CC A A} EE_{PP A A} EE_MM

→

  

→

→

→

11 2 2 2 2 1 1 00 1 1 2 2 00 m m v v K K  q q q q  r  r  K K  q q q q  r  r 

⋅ ⋅

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A A A A 2A2A

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1 1 2 2 2 2 11 00 22 00 m m v v K K  q q q q  r  r  K K  q q q q  r  r  B B 1 1BB 22BB

→

→

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→

→

→

9 9 1010 110 0 0 0 11 125 125 9 9 1010 110 0 0 0 11 125 125 9 9 99

⋅ ⋅

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⋅ ⋅ -

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( ( , , ) ) ( ( , , ))

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11

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2 2 2 2 9 9 1100 110 0 0 10 1 5 5 9 9 1010 1010 2 2 9 9 99 v  v _BB

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( ( , , )) ((( (

-

-

, , ))

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0 0 11 5 5

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1 61_,,61 1 1

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10 0 9 9

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_{= + - ⋅}

_v v BB2 2 ₍₍

_{- ⋅}

3 3 6 _,,6 110 ₎₎099

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v v BB

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3 3 6 1, , 6 10

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-

1 61 1 6, ,

⋅

1 1

⋅

10 0 9 9

=

=

4 4 4,,46 16 10

⋅⋅

044 mm/s/s 4.

4. En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se disponenEn tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se disponen cargas de

cargas de ++1010 μμC. Calcula:C. Calcula:

a)

a) El vector intensidad de El vector intensidad de campo eléctrico en el campo eléctrico en el cuarto vértice.cuarto vértice. b)

b) El potencial eléctrico El potencial eléctrico en dicho vértice.en dicho vértice. c)

c) El trabajo necesario El trabajo necesario para llevar una para llevar una carga decarga de ++55 μμC desdeC desde

el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice. el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice. Dato:

Dato: K K == 99 ⋅⋅ 101099 NN ⋅⋅ mm22 ⋅⋅ CC−−22..

a

a)) Envirtuddelprincipiodesuperposición,podemosobtenerEnvirtuddelprincipiodesuperposición,podemosobtener elvectorintensidaddecampoenelcuartovérticeapartir elvectorintensidaddecampoenelcuartovérticeapartir delosvectoresintensidaddecampoquegeneracadacarga delosvectoresintensidaddecampoquegeneracadacarga porseparado: porseparado: W W E 

E _TTAA

=

=

E E WW AB

C(0,0) C(0,0) + +1010mmCC D(1,0) D(1,0) + +1010mmCC B(1,1) B(1,1) + +1010mmCC A(0,1) A(0,1) (0,5,0,5) (0,5,0,5) 00 Elvector

ElvectorWWr r _ABABtieneorigenen(1,1)yextremoen(0,1).Portanto:tieneorigenen(1,1)yextremoen(0,1).Portanto:

r r i i u u  r r  r  r  i  i  i  i  A ABB AABB ABAB AB AB = = --

→

→

== == -- = = -

-

 



₁₁22 W W WW WW W W W W W W W W ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenB ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenB conlaexpresión: conlaexpresión: E E K K  Q Q  r  r  u u i i  AB AB B B AB AB AB AB = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ - - = = - ⋅- ⋅ -2 2 9 9 6 6 4 4 9 9 1010 110 0 1100 1 1 9 9 1010 (

( )) i i i i  N/CN/C

W W W W W W WW Elvector ElvectorWWr r  AC

ACtieneorigtieneorigenen(0,0enen(0,0)yextremoe)yextremoen(0,1).Pon(0,1).Portanto:rtanto:

r r j j u u  r r  r  r   j   j   j   j  A ACC AACC ACAC AC AC = =

→

→

== == ==



 



₁₁22 W W WW WW W W W W W W W W ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenC ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenC conlaexpresión: conlaexpresión: E E K K  Q Q  r  r  u u j j j j  AC AC CC AC AC AC AC N/CN/C = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅⋅ -2 2 9 9 6 6 4 4 9 9 1010 110 0 1100 1 1 9 9 1010 W W W W W W W W Elvector ElvectorWWr r  AD ADtieneorigenen(1,0)yextremoen(0,1).Portanto:tieneorigenen(1,0)yextremoen(0,1).Portanto: r r i j i j u  u   r r  r  r  i i j j i i j  j   A ADD AADD ADAD AD AD = = -- ++ == == - - ++ + + = = - - ++

→

→



 



1 1 1 1 22 W W W W WW WW W W W W W W WW WW WW ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenD ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenD conlaexpresión: conlaexpresión: E E K K  Q Q  r  r  u u  i i j j  AD AD DD AD AD AD AD = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ - - ++ == = = - -2 2 9 9 6 6 9 9 1010 110 0 1100 2 2 ₂₂ 3 3 1_{, , 8}1₈882 2 1_{⋅ ⋅} 10 0 4 4 _{i i + +} 3 183 1_{, ,} 82 2 1_⋅⋅ 10044 _j j NN//CC W W W W W W WW W W WW Finalmente: Finalmente: E E EE EE EE    i i j j  T TA A == AAB B ++ AAC C ++ ADAD == = = - ⋅ - 9 9 1⋅ 10 0 4 4 + + ⋅ 9 9 1⋅ 10 0 4 4 + - + ( ( - 3 13,,1882 2 1⋅⋅ 10044 i i i i j j  i i j j  + + ⋅ ⋅ == = = -- ⋅⋅ ++ ⋅⋅ 3 3 11882 2 1100 1 1 2211882 2 110 0 11 2211882 2 1100 4 4 5 5 55 , , )) , , ,, NN//CC W W WW WW WW W W W W W W WW W W W W

b) Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos elpotencialcreadoenAporlascargasenlosrestantesvértices, sabiendoque: V V _A = _BA + V _CA +V  _DA Además,conocemoslosvectorescorrespondientesacadavértice, yaqueparaelpotencialcreadoenAcoincidenconlosobtenidos enelapartadoanterior. •V K  Q  r  AB B AB V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ -9 10 10 10 1 9 10 9 6 4 •V K  Q  r  AC C AC V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ -9 10 10 10 1 9 10 9 6 4 •V K  Q  r  AD D AD V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ -9 10 10 10 2 6 364 10 9 6 4 , Sumando: V V A AB V AC V  AD V V V = + + = = 9 10 ⋅ 4 + 9 10 ⋅ 4 + 6 364 10 _, ⋅ 4 = 2_,44364 10⋅ 5 V c) Sabemosque: W_O→_A = - DE_P = - ⋅ q ( V_A - VO)   HemosobtenidoelvalordelpotencialcreadoenelvérticeA enelapartadoanterior,porloquebastaconrepetir loscálculosparaelcentrodelcuadradodefinido enelenunciado. Comosetratadeuncuadrado,ladistanciaalaqueseencuentra cadaunadelascargasqueestánenB,CoDdelcentroes lamisma,ycoincideconlamitaddeladiagonal: r = 1 ⋅ + = 2 1 2 12 _0,71 _m Comolastrescargassonigualesylastresdistanciassoniguales, elpotencialquecreacadaunadelascargasenelcentro delcuadradotambiénesigual: V V V V   V V K  Q  r  O OB OC OD O OB B OB = + + = ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ → → 3 3 3 9 10 9 _{⋅⋅ ⋅} = ⋅ -10 -10 0 71 3 8184 10 6 5 , , → V _O V Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado: WO A EP q VA VO   C V → = - = - ⋅ - = = - ⋅ - ⋅ D _{( )} · ( _, 5 10 6 2 4364 105 -- 3 8184 10 _, ⋅ 5 V ₎ = 0 7_, J

5. Dos cargas puntuales q ₁ = +2,0 nC

y q ₂ = −1,0 nC están fijas

y separadas una distancia de 8 cm. Calcular:

a) El campo eléctrico en el punto T situado en el punto medio entre las cargas.

b) El potencial eléctrico en los puntos S y T.

c) El trabajo necesario para trasladar otra carga, q ', de +3,0 nC

desde el punto S hasta el punto T.

Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C.

a) ObtenemoselcampototalquelasdoscargascreanenelpuntoT haciendousodelprincipiodesuperposición:

W

E T =E WTA +E WTB

S(0,4) T(0,0) q _2= -1nC q _1=2nC B(4,0) A(-4,0) • CampogeneradoenTporlacargasituadaenA( q 1).

ElvectorWr _TAtieneorigenen(-4,0)yextremoen(0,0).

Portanto: r i u  r  r  i  i  TA TA TA TA = 4 = = 4 = 4

→

 

W W W W W W W Entonces: E K  q  r  u i i  TA TA TA N/C = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = -1 2 9 9 2 9 10 2 10 4 1125_, W W W W • CampogeneradoenTporlacargasituadaenB( q 2). ElvectorWr _TBtieneorigenen(4,0)yextremoen(0,0).Portanto: r i u  r  r  i  i  TB TB TB TB = -4 = = -4 = -4

→

 

W W W W W W W Entonces: E K  q  r  u i  TB TB TB = ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - = -2 2 9 9 2 9 10 1 10 4 ( ) 0 562, 55i  N/C W W W W 8cm 4cm q 2 q 1 S T + −

Sumando: EWT = EWT +A EWT =B 1 125 , Wi + 0 5625 , Wi = 1 69, Wi N/C  b) Tambiénutilizaremoselprincipiodesuperposiciónparacalcular elpotencialcreadoenTyenSporlascargassituadasenAyB. •V K  q  r  TA TA V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = -1 9 9 9 10 2 10 4 4 5, •V K  q  r  TB TB V = ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ = -2 9 9 9 10 1 10 4 2 25 ( ) , Portanto: V T = + = V TA V TB 4 5 , V - 2 25 , V = 2 25, V Ladistanciaalaqueseencuentracadaunadelascargas delpuntoSes: r _SA = = r _SB 4 2 + =4 2 32 m •V K  q  r  SA SA V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = -1 9 9 9 10 2 10 32 3 18_, •V K  q  r  SB SB V = ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ = -2 9 10 9 1 10 9 32 1 59 ( ) , Portanto: V _S = + = V _SA V _SB 3 18 , V - 1 59 , V = 1 59, V c) Sabemosque: WS T EP q VT V S   C V V → = - = - ⋅ - = = - ⋅ - ⋅ -D _{( )} ( , , 3 10 9 2 25 1 59 ₎₎ = - 1 98 10_, ⋅ -9 J Eltrabajoesnegativo,esdecir,hayquerealizarloencontra delasfuerzasdelcampo.

6. Dos cargas negativas iguales, de 1 mC, se encuentran sobre el eje

de abscisas, separadas una distancia de 20 cm. A una distancia de 50 cm sobre la vertical que pasa por el punto medio de la línea que las une

se abandona una carga positiva de 1 mC y masa 1 g, inicialmente en reposo. Calcula la velocidad que tendrá al pasar por el punto medio de la línea que las une.

C(0,50),q = +_{1mC,} m = 1g,v ₀ = 0 T(0,0) q _2= -_1mC q _1= -_1mC B(10,0) A(-_10,0)

Lasdistanciasserán: d _AC

= = + =

d _BC 10 2 50 2 2600

=

51 cm Comolainteracciónelectrostáticaesconservativa,laenergíamecánica delsistemapermaneceráconstante: EC O

+

EP O

=

EC C

+

EPC →

→

1 2 1 2 2 1 2 m v K  q q  d  K  q q  d 

⋅ + ⋅



⋅

+ ⋅

⋅













 =

=

O AO BO m  m v K  q q  d  K  q q  d 

⋅ + ⋅



⋅

+ ⋅

⋅















C AC BC 2 1 2 ExpresandotodaslasmagnitudesenunidadesdelSI: 1 2 1 10 2 9 10 1 10 1 10 0 1 3 2 9 3 3

⋅

⋅ ⋅ +



⋅ ⋅

⋅

- ⋅



- _v  - -O

⋅

· ( ₎ ,













=

=



⋅ ⋅

⋅

⋅

-

⋅

- -2 9 10 1 10 1 10 0 51 9 3 3

⋅

( ) ,















→ → v  O

= ⋅ ⋅

2 10

- ⋅ + ⋅

3 53 10 18 10

= ⋅

1 7 10 m/s 3 4 4 4 ( , ) ,

7. Una partícula de masa 5 g y carga −2 μC se deja en libertad y en reposo

a 0,5 m de dos cargas fijas de 5 μC separadas 0,6 m.

Suponiendo que solo intervienen fuerzas eléctricas, determina: a) El campo eléctrico en el punto donde se ha dejado la partícula. b) El potencial en ese punto.

b) La velocidad que tendrá la partícula cuando llegue al punto medio de las dos cargas.

C(0,0,5),q = -1mC,m = 5g O(0,0) q _2= +5mC q _1= +5mC B(0,3,0) A(-0,3,0) a) Envirtuddelteoremadesuperposición,podemosobtenerelvector intensidaddecampoenelpuntoinicialapartirdelosvectores intensidaddecampoquegeneracadacargaporseparado enelmismo: W E _C

=

E W AC

+

E WBC

• CampogeneradoenCporlacargasituadaenA. ElvectorWr  ACtieneorigenen(-0,3,0)yextremoen(0,0,5). Portanto: r i j  u  r  r  i j  AC AC AC AC = + = = + + 0 3 0 5 0 3 0 5 0 3 2 0 , , , , ,

→

→

 

_,, , , , 5 0 3 0 5 0 34 2 = i + j  W W W W W W W W W W Entonces: E K  q  r  u  i j  AC AC AC = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + -1 2 9 6 9 10 5 10 0 34 0 3 0 5 ⋅ , , , 0 0 34 6 81 10 4 1 135 105 , , , = = ⋅ i + ⋅ j  N/C W W W W W W • CampogeneradoenCporlacargasituadaenB. ElvectorWr _BCtieneorigenen(0,3,0)yextremoen(0,0,5). Portanto: r i j  u  r  r  i j  BC BC BC BC = - + = = - + 0 3 0 5 0 3 0 5 0 32 , , , , ,

→

→

 

₊₊ = - + 0 5 0 3 0 5 0 34 2 , , , , i j  W W W W W W W W W W Entonces: E K  q  r  u  i  BC BC BC = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ - + -2 2 9 6 9 10 5 10 0 34 0 3 0 5 , · , , j  j  i j  0 34 6 81 10 4 1 135 105 , , , = = - ⋅ + ⋅ N/C W W W W W W Sumando: E_C = E_AC + E_BC = ⋅ i + ⋅ j +   + - ⋅ ( , , ) ( , 6 81 10 1 135 10 6 81 1 4 5 0 0 4 _i + 1 135 10 , ⋅ 5 _j ) = ,2 27 10⋅ 5 _j  N/C W W W W W W W W b) Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos elpotencialcreadoenCporlasdoscargas. •V K  q  r  AC AC V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ -1 9 6 4 9 10 5 10 0 34 7 7174 10 , , •V K  q  r  BC BC V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ -2 _{9 10}9 5 10 6 4 0 34 7 7174 10 , , Sumando: V _C = V _AC +V _BC = 2 7 7174 10 ⋅ , ⋅ 4 V = 1 5435 10, ⋅ 5 V c) Calculamoslasdistancias: dAC = dBC = 0, 34 m; dA0 = dBO =  0,3 m

Deacuerdoconelteoremadeconservacióndelaenergía: E_{C O}

+

E_PO

=

E_{C C}

+

E_{P C} → → 1 2 1 2 1 2 m v K  q q  d  K  q q  d 

⋅

+



⋅

⋅

+

⋅

⋅















=

=

O AO BO 2 2 2 1 2 m v K  q q  d  K  q q  d 

⋅

+



⋅

⋅

+

⋅

⋅















C AC BC UtilizamostodaslasmagnitudesenunidadesdelSIysustituimos: → 1 2 5 10 9 10 5 10 2 10 0 3 2 3 2 9 6 6

⋅ ⋅

-

⋅ + ⋅



⋅

⋅

⋅ - ⋅

⋅

- -v _O ( ) ,













 =

=

⋅

⋅

⋅

⋅ - ⋅

⋅

- -9 10 5 10 2 10 0 34 2 9 6 6 ( ) ,

















→ → v  O

=

m/s

⋅ -

+

⋅

-

=

2 0 31 0 6 5 10 10 77 3 ( , , ) ,

8. a) Un campo electrostático que obedece a la expresiónE W

= 104 j  N/CW

está dirigido en el sentido positivo del eje Y.

a1) Calcular la fuerza que ejerce este campo sobre un electrón y comparar el resultado con el peso del electrón.

¿Qué conclusión se puede derivar de esta comparación?

a2) Hallar la energía cinética adquirida por el electrón cuando haya recorrido 1 cm, partiendo del reposo, y el tiempo que necesita para recorrer dicha distancia.

Datos: masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;

carga del electrón: −1,6 ⋅ 10−19 C.

a1) Obtenemoselvalordelafuerzaelectrostáticaqueejerceelcampo descritoenelenunciado: FWE

= ⋅ =

q EW

- ⋅

1 6 10 , - 19

⋅

10 4 Wj

=

- ⋅

1 6 10, -15 Wj N   Su peso es: PW

= ⋅ ⋅ - =

m a ( W j ) ,9 1 10

⋅

- 31

⋅

9 8 ,

⋅ - = -

( Wj ) 8 92 10,

⋅

-30 Wj _N   Ambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido,sibienelmódulo delpesoesdespreciablefrentealdelafuerzaelectrostática. a2) Enunaregióndondeelcampoelectrostáticoesconstante secumple:E d

⋅ = D

V . Además,enfuncióndelteoremadeconservacióndelaenergía mecánica: E_Ci E

+

_Pi

=

E_{C f}

+

E_{P f} → E_Pi

-

E_{P f}

=

E_{C f}

=

D

E_P  

Y además: V  E  q  E q V  = P → D P = ⋅ D UtilizandotodaslasmagnitudesenunidadesdelSI: 1 2 2 2 1 6 10 10 1 2 19 4 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ -m v q E d v   q E d  m  → , 00 9 1 10 5 93 10 2 31 6 -⋅ = ⋅ , , m/s

9. Dibuja aproximadamente las líneas del campo eléctrico contenidas en un plano en el que hay dos cargas eléctricas, una Q y otra, −2Q .

Elnúmerodelíneasdecampo debeserproporcional alcampoencadapunto; enconsecuencia,elnúmero delíneasdecampoeléctrico entrantesenlacarganegativa deberíadesereldoblede lassalientesdelacargapositiva.

10. Tenemos dos cargas iguales separadas una cierta distancia, en un caso de signos contrarios y en el otro del mismo signo, tal como se muestra en las figuras 1) y 2).

a) Representa las líneas del campo eléctrico en los dos casos.

b) Representa las superficies equipotenciales para los dos casos.

1)

2)

Nota: haz las representaciones en el plano que contiene ambas cargas.

Caso1:cargasdesignoopuesto.

Caso2:doscargaspositivas.

a) Líneas de campo: b) Superficies equipotenciales:

+ +

11. Defina la magnitud flujo del vector campo eléctrico. Enuncie el teorema de Gauss. Considere las dos

situaciones de la figura. ¿El flujo que atraviesa la esfera es el mismo en ambas situaciones? ¿El campo eléctrico en el mismo punto P es igual en ambas situaciones?

P P 4mC 1mC _1mC 1mC 1mC

Razone en todo caso su respuesta.

Sellamaflujo,φ,elnúmerodelíneasdecampoqueatraviesan unasuperficie.Serepresentadetalmaneraqueelnúmerodelíneas decampoporunidaddesuperficieperpendicularalasmismasindica laintensidaddelcampo. ElteoremadeGaussparaelcampoelectrostáticodicequeelflujoneto queatraviesaunasuperficiequesesitúaenelinteriordeuncampo dependedelacargaencerradapordichasuperficie. Elflujoeléctricoesindependientedelradiodelasuperficiegaussiana; solodependedelacargaencerradaporesasuperficie ydelaconstantedieléctricadelmedio,peronodeotrosfactores, comolaformadelasuperficieolaposicióndelacargaensuinterior. φ ε = Q encerrada .EstaesladefinicióndelteoremadeGauss paraelcampoelectrostático. Enrelaciónconlassituacionesmostradasenlafigura,elflujo eléctricoseráelmismoparaamboscasos,yaque,deacuerdo conelteoremadeGauss,esteúnicamentedependedelacarga encerrada,yestaeslamismaenamboscasos.Sinembargo, estonoesasíparaelvalordelcampoeléctricoenP,yaqueeste sídependedelosvectoresdeposicióndeladistribucióndecarga, queenestecasoesdiferente,puesladistribucióndecarga esdiferente.

12. Si el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada

es cero, ¿pueden existir cargas eléctricas en el interior de dicha superficie? Razone la respuesta.

Puedenexistircargaseléctricasdentrosiempreycuandoelbalance decargaspositivasynegativasseaigual,deformaquelacarga

positivaseigualeconlanegativaylasumadetodasseanula. 13. Dos pequeñas esferas conductoras de radios r ₁ = 1,00 cm

y r ₂ = 2,00 cm se encuentran cargadas con cargas

q ₁ = 2,0 nC y q ₂ = −5,0 nC, respectivamente. Si la distancia

que separa sus centros es 2,6 m, determina:

a) El módulo de la fuerza electrostática que ejerce una esfera sobre la otra. b) Si las esferas se unen con un hilo conductor de capacidad

despreciable, calcula la carga y el potencial que adquiere cada esfera. Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C. a) Aunadistanciamuchomayorquesusradios,deacuerdocon elteoremadeGauss,lasesferassecomportaráncomounacarga puntualdevalorigualalacargadetodalaesferaysituada ensucentro.Obtenemos,portanto,lafuerzaelectrostática queejercenentresíconsiderándolascomocargaspuntuales separadasunadistanciaigualalaseparacióndesuscentros. F K  Q q  R  = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ = -- -2 9 9 9 2 9 10 2 10 5 10 2 6 13 31 · · ( ) , , ⋅⋅ -10 9 _N Ypuestoquelascargassondesignosopuestos,esunafuerza atractiva. b) Aluniralasesferasconunhiloconductoralcanzaránelequilibrio electrostático,demaneraquesuspotencialesseigualarán. V V K  q  r  K  q  r  q q  q  1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 10 2 10 = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ - -→ → → → m m 1 1 2 2 2 1 2 = q  → q  = q  Comolacargadelsistemaseconserva: q 1 + q 2 = - ⋅3 10-9 C Relacionandolasexpresionesanteriores: q 1 q 1 9 q 1 9 9 2 3 10 3 10 3 1 10 + ⋅ = - ⋅ - = - ⋅ = - ⋅ -C → C C  q ₂

Y entonces: q 2 = ⋅ = ⋅ - ⋅ 2 q 1 2 ( 1 10 - 9 C ) = - ⋅2 10-9 C DeacuerdoconlodeducidopormediodelteoremadeGauss, elpotencialdentrodecadaesferacoincideconelque hayensusuperficie: • V K  q  r  1 1 1 9 9 2 9 10 1 10 1 10 900 = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ = -N m C C m 2 2 VV • V K  q  r  2 2 2 9 2 2 9 2 9 10 2 10 2 10 900 = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ = -N m C C m V V Secompruebaqueelpotencialdelasdosesferaseselmismo. 14. Dos placas metálicas cargadas eléctricamente

están dispuestas horizontalmente separadas una distancia d = 20 ⋅ 10−2 m, creando

en su interior un campo eléctrico

d 

de E = 2,50 ⋅ 104 N/C. Una microgota de

aceite de 5,1 ⋅ 10−14 kg de masa, cargada negativamente, está en equilibrio

suspendida en un punto equidistante de ambas placas. Determinar:

a) ¿Cuál de las placas está cargada negativamente?

b) ¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre las placas? c) La carga de la gota.

d) La magnitud de la fuerza eléctrica que se ejercería sobre la gota si estuviera solo 1 cm por encima de la placa inferior. Dato: g = 9,8 m ⋅ s−2. a) Paraquelagotaestéenequilibrio, lafuerzaelectrostáticadebeser igualydesentidocontrarioalpeso, esdecir,verticalyhaciaarriba. Lacargadelagotaesnegativa, loquedeterminaquelafuerza W P  W E  W F _E electrostáticatendrálamismadirección,perosentidoopuesto alcampo.Enconsecuencia,elvectorcampoelectrostáticodebe tenerdirecciónverticalysentidohaciaabajo.Dadoqueelsentido delaslíneasdecampovadelascargaspositivasalasnegativas, laplacapositivadebeserlasuperior. b) Paradosplacascargadas,planasyparalelassecumple, conuncampoconstante: DV = ⋅ = ⋅ E d  2 5 10 _, 4 _V/m⋅ ⋅ 20 10 -2 _m = ⋅5 103 _V

c) Siestáenequilibrio,seráqueelmódulodesupesoeselmismo queeldelafuerzaelectrostática,deformaque,altenersentidos contrarios,lagotasemantieneenequilibrio. P m g F = ⋅ = _E = ⋅E q  

_{ }

→

→

_{ }

q  m g  E  = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ -5 1 10 9 8 2 5 10 2 1 14 4 , , , kg N/kg N/C 0 0-17 _C d) Comoelcampoesconstante,seráelmismoencualquierpunto entrelasdosplacas.Conociendolacargadelagotadeaceite podemosobtenerlafuerzaelectrostáticaqueseejercesobreella deacuerdoconestaexpresión: F E =

 

q ⋅E  = 2 10 ⋅ - 17 C ⋅ 2 5 10 , ⋅ 4 N/C = 5 10 ⋅ -13 N 15. Un electrón se mueve con una velocidad de 5 ⋅ 10 5 m ⋅ s−1 y penetra

en un campo eléctrico de 50 N ⋅ C−1 de igual dirección y sentido

que la velocidad.

a) Haga un análisis energético del problema y calcule la distancia que recorre el electrón antes de detenerse.

b) Razone qué ocurriría si la partícula incidente fuera un protón. e = 1,6 ⋅ 10−19 C ; m _e = 9,1 ⋅ 10−31 kg; m _p = 1,7 ⋅ 10−27 kg. a) Lainteracciónelectrostáticaesconservativa. Enconsecuencia,laenergíamecánica delelectrónpermanececonstante. Supongamosqueiniciasumovimiento enAysedetienecuandollegaaB: EC A + EP A = ECB +EPB 

→

            

→

E _{C A} = E _PB - E _PA = ⋅ - q V V ( _{B A}) = ⋅q V  D _[1] W v 0 A d  B W E  Comoelcampoentrelasplacasesconstante,secumpleque: DV = - ⋅E d  [2] Relacionandolasecuaciones[1]y[2]: 1 2 0 2 m v _E ⋅ = ⋅ - ⋅q E d  _{( )} Sustituimoslosdatosteniendoencuentaquelacargadelelectrón esnegativa: 1 2 9 1 10 5 10 1 6 10 50 31 5 2 19 ⋅ ⋅ , - ⋅ ⋅ ( ) = - ⋅ , - ⋅ (- ⋅ d ) d 

→

→

== 14 2 10_, ⋅ -3 _m Llegamosalmismoresultadohaciendounestudiodinámico delproblema.

Puestoqueelelectróntienecarganegativa,estarásometido aunafuerzaelectrostáticadelamismadirecciónqueE ysentidoW contrario.Portanto,delamismadirecciónysentidoopuestoasu velocidadinicial.Tendrá,portanto,unmovimientodecelerado: W F _E = q ⋅E W= m ⋅ Wa _x SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI: 1 6 10 _, ⋅ - 19 ⋅ ₍50 W i ₎ = 9 1 10 _, ⋅ -31 ⋅ aW

→

aW= -8 79 10_, ⋅ 12Wi m/ss2  Conociendosuvelocidadinicialysuaceleraciónpodemosconocer eltiempoquetardaráendetenerseapartirde: v v a t   t  v  a  = + ⋅ = - = - ⋅ - ⋅ = ⋅ -0 0 5 12 8 5 10 8 79 10 5 6 10

→

→

, , s = = 56 883, ns Yconociendoestetiempopodemosyaobtenerladistancia recorridaenesteintervalo: x v t = ⋅ + a t  ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + - ⋅ ⋅ -0 2 5 9 1 2 5 10 56 883 10 1 2 8 79 10 , , 121 ⋅ ( , 56 883 10 ⋅ -9) 2 = 0 014 22, m 14,= 22 mm b) Silapartículaincidentefueraunprotón,suaceleraciónsería positivay,portanto,nosedetendríaporlaaccióndelcampo eléctrico,sinoquesumovimientoseaceleraría.

16. Una partícula de masa m y carga −10−6 C se encuentra en reposo al estar

sometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N ⋅ C−1 de la misma dirección.

a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa.

b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N ⋅ C−1 y determine su aceleración.  g = 10 m ⋅ s−2. a) Silapartículaseencuentraenreposo,significa queelmódulodelafuerzagravitatoriayeldelafuerza electrostáticaqueactúansobreellasonidénticos. Lasfuerzastendránasimismolamismadirección ysentidosopuestos,demaneraquemantienen alacargaenequilibrioyenreposo.Observaque, W F _E W E  W P  comolacargaesnegativa,lafuerzatienesentidoopuestoalcampo: P m g F E q   m  E q  g  = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ -E N/C C m/ 

 

 

→

→

100 1 10 10 6 ss2 = 1 1⋅

b) Puestoquetienecarganegativa,estarásometidoaunafuerza electrostáticadelamismadirecciónqueE ysentidocontrario;W portanto,delamismadirecciónysentidoopuestoalafuerza gravitatoria.Elcuerpodejarádeestarenequilibrioysemoverá haciaarribaconunmovimientoacelerado: F F F q E P    j j  = + = ⋅ + = = - - ⋅ - - - ⋅ = ⋅ E G ( 10 6 ) ( 120 ) 10 5 10 2 100-5 _{j  N} W W W W W W W W Y queda: F m a a   F  m  = ⋅ = = ⋅ = -→ 2 10 10 2 5 5 N kg m/s 2 W W

17. Sea una partícula de masa 1 g, cargada positivamente y que se mueve en el seno de un campo eléctrico uniforme E = 1 ⋅ 104 N/C cuyas líneas

de campo son perpendiculares al suelo. Inicialmente la partícula

está en reposo y a una altura de 5 m del suelo. Si se la deja libre, la partícula toca el suelo con una velocidad de 20 m/s. Determinar el sentido de las líneas de campo y la carga de la partícula.

Dato: tomar g = 10 m/s2. Dadoquelapartículatienecargapositiva, severásometidaaunafuerzaenladirección ysentidodelcampo.Ladirecciónserá vertical,yelsentido,hacialosvalores deYnegativos,yaquelapartículadesciende W E  d  i  f  5mdesdelaposicióninicial. Aplicamoselprincipiodeconservacióndelaenergíamecánica alasposicionesinicialyfinaldelmovimientodelapartícula: E E E E E E E   E E E  Ci Pi Cf P f Pi C f P f   C f Pi P f   + = + = + = - = -→ → → DE E _P = q ⋅ -( DV ) Enelsenodeuncampoeléctricouniforme: D_V = - ⋅_{E d} . Relacionandolasdosexpresionesanteriores: E q E d q d E m v   q  m v  d E  C f  _f  f  = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ → → → 1 2 2 1 10 2 2 - -⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 3 2 4 6 20 2 5 10 4 1_{0 C}

18. a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masa

puntual, en relación con su origen, intensidad relativa, dirección y sentido. b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto

a) Lasanalogíasylasdiferenciassededucendelassiguientes expresiones:

Campo gravitatorio Campo electrostático

g  F  m  G  M  r  u  = = - ⋅ G r 2 W W W E  F  q  K  Q  r  u  = = ⋅ E r 2 W W W Laslíneasdecampotienen direcciónradialysiempre muerenenelcuerpoque creaelcampo. Laslíneasdecampotienendirección radialysalendelcuerpoquecrea elcampositienecargapositiva ymuerenenélsitienecarganegativa. LaconstanteG esuniversal ysuvalorenelSIesdel ordende10-11. LaconstanteK dependedelmedio enqueseestudiaelcampo. Suvalorenelvacío,medidoen unidadesdelSI,esdelordende109. b) Dadasdospartículas,siemprehabráunpuntoenelsegmento quelasunedondeelcampogravitatorioseanula. m 1 m 2 W g 1 g W 2 Silaspartículastienencargadelmismosigno,habráunpunto delsegmentoquelasunedondeelcampoelectrostáticoseanule; sitienencargadesignocontrario,elcamponuncaseránulo enelsegmentoquelasune: q ₁ q ₂ W E ₁ E W 2 q 1 q 2 W E ₂ W E 1 Elpuntodondeseanulaelcampo,ensucaso,estaráenelpunto mediodelsegmentosiamboscuerpostienenlamismamasa olamismacarga;enotrocaso,elpuntodondeseanulaestará máspróximoalcuerpodemenormasaomenorcarga.

19. En una región del espacio el campo es nulo. ¿Debe ser nulo también el potencial eléctrico en dicha región? Razona la respuesta.

No.Dadosdoscuerposconcargadelmismosigno,habráunpunto enelsegmentoquelosunedondeelcampoesnulo,peronoesnulo elpotencial,queesunamagnitudescalarytendráelsigno delascargas. q 1 q 2 W E 1 E W2

DeacuerdoconelteoremadeGauss:

#

E d W⋅ r = -DV   W Enelinteriordeunconductoresféricoenequilibrio,elcampoesnulo. Deellosederivaqueelpotencialesconstante,loquenoindica queseanecesariamentenulo.

20. Dos cargas eléctricas puntuales, positivas y en reposo, están situadas en dos puntos A y B de una recta. Conteste razonadamente:

a) ¿Puede ser nulo el campo eléctrico en algún punto del espacio que rodea a ambas cargas? ¿Y el potencial eléctrico?

Paradoscargaseléctricaspuntualespositivasyenreposohabráalgún puntoenlalíneaquelasunedondeelcamposeránulo.Elpunto estaráenelcentrodelsegmentosilasdoscargassoniguales; encasocontrario,estarámáspróximoalacargamenor. q 1 q 2 W E 1 E W2 Elpotencialesunamagnitudescalarcuyovalordepende delsignodelascargas;silasdossonpositivas,elpotencialsiempre serápositivo.

21. Si el campo electroestático es constante en una determinada región del espacio, ¿también lo es el potencial en esa misma región?

Enunaregióndelespaciodondeelcampoelectrostático seaconstante: E d W⋅

#

Wr = - D V E r → W⋅ D W= -DV   Deacuerdoconesto,cuandoelcampoelectrostáticoesconstante, elpotencialdependedelvalordelcampoydelaposición queseconsidere,porloquenoseráconstanteenesaregión, sinoquesuvalordependerádecadapuntodelaregión.

22. ¿Qué relación hay entre el potencial y el campo eléctricos? ¿Cómo se expresa matemáticamente esa relación en el caso de un campo eléctrico uniforme?

Elpotencialyelcampoeléctricoserelacionansegún:

#

E d W⋅ r = -DV  

Además,sielcampoeléctricoesuniforme(nodependedelaposición) podremosdecirque:

E d W⋅

#

Wr = - D V E r → W⋅ D W= -DV  

23. Si una carga puntual produce, a una cierta distancia r un potencial eléctrico de 10 V y un campo de módulo E , ¿cuánto vale el potencial en otro punto en el cual el campo es E  /4?

ComparamoselmódulodeE conelvalordelpotencialenunmismopunto:W • E K  Q  r  = ⋅ ₂ •V K  Q  r  = ⋅ Tenemos: E K  Q  r  E K  Q  r  K  Q  r  r r r  ' ' ' ' ' = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = = 2 2 2 2 2 1 4 1 4 4 2 → → → → r r  Yentonces: V K  Q  r  K  Q  r  V  ' ' = ⋅ = ⋅ = = 2 2 5 V

24. Una partícula cargada que se deja en libertad en un punto de un campo eléctrico se va a mover:

a) En el sentido de los potenciales crecientes. b) En el sentido de los potenciales decrecientes.

c) La partícula no se mueve a menos que sobre ella se aplique una fuerza. Nota: haz el estudio tanto para una partícula con carga positiva

como con carga negativa.

Silapartículatienecargapositivasemoveráenladirecciónysentido delcampo.Portanto,enelsentidodelospotencialesdecrecientes. Porelcontrario,silapartículatienecarganegativa,elmovimientoserá contrarioalcampoysemoveráenelsentidodelospotencialescrecientes. 25. Una carga q > 0 se encuentra bajo la acción de un campo eléctrico

uniformeE . Si la carga se desplaza en la misma dirección y sentidoW

que el campo eléctrico, ¿qué ocurre con su energía potencial eléctrica? ¿Y si movemos la carga en dirección perpendicular al campo?

Cuandounacargasemueveenuncampoeléctrico,eltrabajo querealizanlasfuerzasdelcampoesigualydesignocontrario alavariacióndelaenergíapotencial: W A B → =

#

F d ⋅ r = -DE  P W W Siunacargapositivasemueveenlamismadirecciónysentido queelcampoeléctrico,sealejadelacargaquegeneraelcampo (tambiénpositiva).Eltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampo espositivo(elmovimientoserealizadeformaespontánea)ylacarga quesemuevepierdeenergíapotencial. Silacargasemuevedeformaperpendicularalcampo,lafuerza esperpendicularaldesplazamiento,porloqueeltrabajo querealizanlasfuerzasdelcampoesnuloylaenergíapotencial permanececonstante.

26. Se dispone un sistema de cargas eléctricas positivas, puntuales, del mismo valor y alineadas tal como indica la figura:

+_q  +_q  +_q 

r r 

1. La energía potencial electrostática del sistema es: a) 2 2 K q  r  b) 3 2 2 K q  r  c) 5 2 2 K q  r 

2. Si la carga del centro se acercase a uno de los extremos, la energía potencial electrostática del sistema:

a) Aumentaría. b) Disminuiría.

c) No cambiaría, porque el sistema sería el mismo.

1. Laenergíapotencialdelsistemaeslasumadelaenergíapotencial detodaslasparejasdecargasquesepuedanestablecer: E K  q q  r  K  q q  r  K  q q  r  K  q q  r  P = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2 5 2 Larespuestacorrectaeslac). 2. Aumentaría.Enlaexpresiónquepermiteelcálculohayuntérmino quenocambia(elqueserefierealaenergíapotencial delascargasqueestánenlosextremos).Delosotrosdos, laenergíapotencialdelascargasqueseaproximanaumenta másdeloquedisminuyelaenergíadelascargasquesealejan, porquelaenergíapotencialvaríaconelinversodeladistancia.

27. Dos cargas positivas e iguales están situadas en el eje Y; una está situada en y = a, y la otra, en y = −a . Calcular el campo y el potencial eléctrico

en un punto situado sobre el eje X y a una distancia d del origen. ¿Cómo varía el resultado si a >> d ? ¿Y si es d >> a ?

Obtenemoselcampoeléctricocreado enelpuntoD(d ,0)porlascargas devalorQ situadasenA(0,a ) yB(0,-a ).Paraello,envirtud delprincipiodesuperposición: W E _D =E W A +E WB • CampogeneradoenDporlacarga situadaenA. ElvectorWr  Atieneorigenen(0, a ) a  d  a  Q  Q  A B D yextremoen(d ,0). Portanto: r d i a j u   r  r  d i a j   d a  A A A A = - = = -+

→

 

2 2 W W W W W W W W Entonces: E K  Q  r  u K  Q  d a  d i a j   d a  A A A N/C = ⋅ = ⋅ + ⋅ -+ 2 2 2 _{2 2} W W W W • ObtenemoselcampogeneradoenDporlacargasituadaenB. ElvectorWr _Btieneorigenen(0,-a )yextremoen(d ,0).

Portanto: r d i a j u   r  r  d i a j   d a  B B B B = - = = -+

→

 

2 2 W W W W W W W W Entonces: E K  Q  r  u K  Q  d a  d i a j   d a  B B B N/C = ⋅ = ⋅ + ⋅ -+ 2 2 2 _{2 2} W W W W Sumando: E E E K   Q  d a  d i a j   d a  K  Q  d a  d i a  D = A + B = ⋅ + ⋅ -+ + + ⋅ + ⋅ + 2 2 _{2 2} 2 2  j   j  d a  K Q d  d a  i  2 2 2 2 3 2 2 + = ⋅ ⋅ ⋅ + ( ) /  W W W W W W W W (Lascomponentesverticalesseanulan.)

Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos elpotencialcreadoenDporlasdoscargas. V V K  Q  r  K  Q  d a  V V V K   Q  d a  A B A D A B = = ⋅ = ⋅ + = + = ⋅ + 2 2 2 2 2 →

• Sia >> d ,(d 2 + a 2)3/2

.

a 3y d 2 + a 2

.

a :

E K  Q d  a  i  D = ⋅ ⋅ ⋅ 2 3 W W ; V V K  Q  a  D = ⋅ 2 A = ⋅ ⋅2

• Sid >> a ,(d 2 + a 2)3/2

.

d 3y d 2 + a 2

.

d :

E K  Q  d  i  D = 2 ⋅ ⋅ ₂ W W ; V V K  Q  d  D = ⋅ 2 A = ⋅ ⋅2

28. Explica qué son las líneas de campo eléctrico y las superficies

equipotenciales. Razona si es posible que se puedan cortar dos líneas

de campo. Dibuja esquemáticamente las líneas de campo y las superficies equipotenciales correspondientes a una carga puntual positiva.

Laslíneasdecamposonlíneastangentes, encadapunto,alvectorintensidad decampoenesepunto.Sedibujandetal maneraqueelnúmerodelíneasdecampo queatraviesanunaunidaddesuperficie perpendicularalaslíneasesproporcional alaintensidaddelcampoenelpunto. P W E ₂ W E 1 Laslíneasdecamponosepuedencortarporque,silohiciesen, enelpuntodecortehabríadosvaloresdistintosparaelcampo (dostangentesdistintas)yelcampotieneunvalorúnicoencada puntodelespacio. Lassuperficiesequipotencialessonregionesdelespacio paralascualeselpotencialeléctricotieneelmismovalor. Enconsecuencia,eltrabajoparadesplazarunacargadeunpunto aotrodeunasuperficieequipotencialesnulo: W _i→ _f = - (E E _{P f} - _Pi) = - ⋅ - ⋅ (q V q V  _{f i}) = 0 Paraunacargapuntualpositiva:

29. Dos pequeñas esferas, de masa m = 5 g y con carga q , cada una,

se suspenden del mismo punto mediante hilos iguales, de masa

despreciable y longitud L = 0,5 m, en presencia del campo gravitatorio

terrestre. ¿Cuál debe ser el valor de la carga q para que, en equilibrio, los hilos formen un ángulo a = 60°?

Considera g = 10 N/kg; K  = 1 = ⋅ ⋅ 4 ₀ 9 10 9 2 2 pε N m C . ( Planteamoselbalancedefuerzaspara cadaunadelascargassuspendidas yenequilibrio. • Ejevertical: T ⋅ _cos θ = P = m ⋅ g   • Ejehorizontal: T F K  q q  d  ⋅ _senθ = _E = ⋅ ⋅ 2 a L L W T  W P  W T  W P  m, q  m, q  W F _E F W E

Laseparaciónentrelascargases d = ₂ ⋅ L ⋅ _senθ_{.Elánguloes:} θ = a = 2 30° Paracalcularlacarga,dividimosmiembroamiembroysustituimos losdatosquetenemos,expresandolasmagnitudesenunidadesdelSI: T  T  m g  K  q  L q  ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ cos ( ) ( , θ θ θ sen sen s 2 2 2 2 2 0 5 → → e en sen 30 5 10 10 30 9 10 30 89 2 3 9 ° ° ° ) cos = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = -→ → q  ,,5 ⋅10-6 C

30. Sean dos cargas Q ₁ y Q ₂ colocadas en los puntos del plano XY dados por (−d , 0) y (d , 0), respectivamente. Si Q ₁ > 0 y Q ₂ < 0

y se cumple ⎮Q ₁⎮ = 4 ⋅ ⎮Q ₂⎮, averiguar en qué puntos del plano XY

el campo eléctrico es nulo.

Encualquierpuntoentrelasdoscargaselcampocreadoporcada unadeellastendrálamismadirecciónysentido;portanto,

noseránulo.Elcamposeanularáenunpuntoenelqueelcampo creadoporunadelascargastengalamismadirecciónysentido contrarioqueelquecrealaotra(unpuntofueradelsegmento

quelasune)yamboscampostenganelmismomódulo.

Enconsecuencia,elpuntoestaráfueradelsegmentoquelasune ymáspróximoalacargademenorvalor( Q 1):

W

E T =E W1 +E W2

P (-x ,0) Q 1 -d  d  Q 2 W E 2 W E 1 E W1 W E 2

Buscamosunpuntoalaizquierdade Q 1donde⎮E W1⎮=⎮E W2⎮.

9 10 9 1 9 10 2 9 2 2 ⋅ ⋅ -= ⋅ ⋅ + Q  x d  Q  x d  ( ) ( ) Teniendoencuentaque⎮Q 1⎮=4⋅ ⎮Q 2⎮: 4 4 2 2 2 2 2 2 ⋅ -= + - = + ⋅ - = Q  x d  Q  x d  x d x d   x d  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) → → → ( (x d + ) ⋅ 2 → 2x d x d x + 2 = - → = -3d  

31. Una carga puntual de 5 nC está situada en el origen de coordenadas de un sistema cartesiano. Otra carga puntual de −15 nC está

situada en el eje OY a 30 cm del origen del mismo sistema. Calcula:

a) La intensidad de campo electrostático en un punto A, situado en el eje OX, a 40 cm del origen.

b) El valor del potencial electrostático en el punto A.

c) El trabajo realizado por el campo de fuerzas eléctricas cuando una carga de 10 nC se desplaza desde el punto A a otro punto B de coordenadas (40 cm, 30 cm). Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C. TrabajamosenunidadesdelSI. q _2= -15nC D(0,0,0,3) B(0,4,0,3) A(0,4,0) C(0,0) q _1=5nC O

a) ParaobtenerelcampocreadoenelpuntoA(0,4,0) porlascargassituadasenD(0,0,3)yC(0,0)utilizamos elprincipiodesuperposición: W E _A =E W D +E WC

Para cada carga:

E K  Q  r  u  = ⋅ 2 W W • CalculamoselcampoquelacargaqueestáenDcreaenA. Wr _Dtieneorigenen(0,0,3)yextremoen(0,4,0).Portanto: r i j u   r  r  i j  D D D D = - = = -+ = 0 4 0 3 0 4 0 3 0 4 0 3 0 2 2 , , , , , ,

→

 

,, , , 4 0 3 0 5 i - j  W W W W W W W W W Entonces: E K  Q  r  u  i j  D D D = ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ -2 2 9 9 2 9 10 15 10 0 5 0 4 0 3 ( ) , , , 0 0 5 432 324 , = = - i + j  N C W W W W W W • CalculamoselcampoquelacargaqueestáenCcreaenA: Wr  Ctieneorigenen(0,0)yextremoen(0,4,0).Portanto: r i u  r  r  i  C C C C = 0 4,

→

= =

 

W W W W W W Entonces: E K  Q  r  u i i  C C C N C = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = -1 2 9 9 2 9 10 5 10 0 4 281 25 , , W W W W Obtenemoselcampototaloriginadoporlasdoscargas enelpuntoA: E E E  i j i i   A = D + C = = (-432 + 324 ) + 281 25 , = -150 75 , + 324 j  j  N C W W W W W W W W b) TambiéncalculamoselpotencialcreadoenAporlascargas situadasenByChaciendousodelprincipiodesuperposición: V _A = V _D +V _C. Además,conocemoslosvectorescorrespondientesacadacarga, yaqueparaelpotencialcreadoenAcoincidenconlosobtenidos enelapartadoanterior. • V K  Q  r  D D = ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ = -2 9 9 9 10 15 10 0 5 270 ( ) , V • V K  Q  r  C C V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = -1 9 9 9 10 5 10 0 4 112 5 , ,

Sumando: V _A = + = V _D V _C - 270 V + 112 5 _, V = -157 5_, V c) Calculamoseltrabajoenesedesplazamientoporlarelación: WA→B = - DEP = - ⋅ q ( VB - V A)   HemosobtenidoelvalordelpotencialenA.Deformasimilar obtenemoselpotencialquelasdoscargasinicialescrean enB:V _B = V _D ' +V _C'_. • V K  Q  r  D D V ' ' ( ) , , = ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ = -2 9 9 9 10 15 10 0 4 337 5 • V K  q  r  C C V ' ' _, = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = -1 9 9 9 10 5 10 0 5 90 Sumando: V _B = + = V _D ' V _C' - 337 5 , V + 90 V = -247 5, V Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado: WA B EP q VB V A   C V → = - = - ⋅ - = = - ⋅ - ⋅ - + D _{( )} ( , 10 10 9 247 5 1577 5 _, V ₎ = 9 10⋅ -7J

32. Dos cargas puntuales de 3 ⋅ 10

6 _{C están localizadas}

en los puntos (0, 2) y (0, −2), respectivamente.

Otras dos cargas Q están localizadas en (4, 2) y (4, −2).

Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es 3 ⋅ 10

6 _N/C Wi , determinar el valor de Q .

Secalculaelcampoeléctrico quetodasestascargascrean enelorigendecoordenadas haciendousodelprincipio desuperposición: W

E O =E WOA +E WOB +E WOC +E WOD

Consideramosquelospuntos citadossecorresponden conA(0,2),B(0,-_2), C(4,2)yD(4,-_{2)yque} lascoordenadas seexpresanenmetros. A(0, 2) C(4, 2) D(4,-2) B(0,2) Q  O Q  3⋅106C 3⋅106C • CampocreadoporlacargasituadaenA. ElvectorWr  OAtieneorigenen(0,2)yextremoen(0,0).Portanto: r j u  r  r   j   j  OA OA OA O A = -2 = = -2 = -2

→

 

W W W W W W W

Entonces: E K  q  r  u j  OA A OA OA = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ - = - ⋅ 2 9 6 1 9 10 3 10 4 6 75 10 · ( _{) ,} 55 _j  W W W W • CampocreadoporlacargasituadaenB.

ElvectorWr _OBtieneorigenen(0,-2)yextremoen(0,0).

Portanto: r j u  r  r   j   j  OB OB OB OB = 2 = = 2 = -2

→

 

W W W W W W W Entonces: E K  q  r  u j j  OB B OB OB = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 2 9 6 15 9 10 3 10 4 6 75 10 · , W W W W • CampocreadoporlacargasituadaenC. ElvectorWr  OCtieneorigenen(4,2)yextremoen(0,0). Portanto: r j u  r  r  i j i j   OC OC OC OC = - = = - -+ = - -2 4 2 4 2 4 2 20 2 2

→

 

W W W W W W W W W Entonces: E K  q  r  u  Q i j  OC C OC OC = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ - - = = - ⋅ 2 9 9 10 20 4 2 20 4 025_{, 1}10 8 ⋅Q i - 2 0125 10, ⋅ 8 ⋅Q j   W W W W W W • CampocreadoporlacargasituadaenD. ElvectorWr  ODtieneorigenen(4,-2)yextremoen(0,0). Portanto: r i j u   r  r  i j i i   OC OD OD OD = - + = = - + + = - + 4 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2

→





00 W W W W W W W W W W Entonces: E K  q  r  u  Q i j  OD D OD OD = ⋅ = ⋅ ⋅ - + = = - ⋅ 2 9 9 10 20 4 2 20 4 025 · , 110 8 ⋅Q i + 2 0125 10, ⋅ 8 ⋅Q j   W W W W W W Sumandoloscuatrovectoresdecampocomprobamosque seanulanlascomponentesendireccióndelejeYysolo quedanlascomponentesenladireccióndeXcorrespondientes alcampoquecreanlascargasCyD: EWO = EWOA + EWOB + EWOC + EWOD = -2 4 025 10 ⋅ , ⋅ 8 ⋅QWi = 3 10 ⋅ 6Wi

→

 

→

Q = - ⋅ ⋅ ⋅ = - ⋅ -3 10 2 4 025 10 3 73 10 6 8 3 , , C