FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER
Producto interno de funciones: Producto interno de funciones: El producto interno de
El producto interno de dos funcionesdos funciones f f 11 y y f f 22 en un intervalo en un intervalo
aa,,bb es el número. es el número.
bb a a f f x x f f x x dxdx f f f f 11,, 22 11(( )) 22(( )) Funciones ortogonales: Funciones ortogonales: Dos funcionesDos funciones f f 11 y y f f 22 son ortogonales en un intervalo son ortogonales en un intervalo
aa,,bb sí. sí.
bb a a f f x x f f x x dxdx f f f f 11,, 22 11(( )) 22(( )) 00Demostrar que las funciones son ortogonales en el intervalo
Demostrar que las funciones son ortogonales en el intervalo indicadindicado.o. 1. 1. 22 1 1(( x x)) xx f f yy f f 22(( x x)) xx33 [[
11,,11]] 2.2. f f 11(( x x))
coscos x x yy f f 22(( x x))
sen sen22 x x [[00,,]]Conjunto ortogonal: Conjunto ortogonal:
Un conjunto de funciones de valor real
Un conjunto de funciones de valor real
(( x x),), (( x x),), ((xx))
2 2 1 1 0 0
se dice que es ortogonal en un se dice que es ortogonal en un intervalointervalo
aa,,bb si si
bb a a mm nn n n m m,, (( x x)) (( x x))dxdx 00 mm
nn Conjuntos ortonormales: la norma o longitudConjuntos ortonormales: la norma o longitud u u de un vector de un vector u u , se puede expresar en, se puede expresar en
términos del producto interno. La expresión
términos del producto interno. La expresión
u u ,,u u
u u 22 se llama norma cuadrada, por lo que se llama norma cuadrada, por lo quela norma es
la norma es u u
u u ,,u u . De igual modo la norma cuadrada de una función. De igual modo la norma cuadrada de una función 0 0 eses
n n n n
n
n x x
(( )) 22 ,, y así la norma o su longitud generalizada es y así la norma o su longitud generalizada es
nn((xx))
nn,,
nn
. . En En otrasotraspalabras la norma
palabras la norma cuadrada y cuadrada y la norma de la norma de una funciónuna función n n en un conjunto ortogonal en un conjunto ortogonal
nn(( x x))
son, respectivamente, son, respectivamente,
bb a a nn n n(( x x)) (( x x))dxdx 2 2 2 2 y y
bb
a a nn n n(( x x)) (( x x))dxdx 2 2 1.1. Demuestre que el conjuntoDemuestre que el conjunto
11,,cocoss x x,,cocoss22xx,...,...
es ortogonal en el intervalo es ortogonal en el intervalo [[
,,
]] yyencuentre las normas de
encuentre las normas de cada función.cada función.
2.
2. Demuestre que el conjuntoDemuestre que el conjunto
x x p p n n sen
sen con con nn
11,,22,,33,, es ortogonal en el intervalo es ortogonal en el intervalo [[00,,pp]] y yencuentre las normas de
encuentre las normas de cada función.cada función. Ejercicios del libro Ecuaciones dif
Ejercicios del libro Ecuaciones diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Denniserenciales, con problemas de valores en la frontera. Dennis G. Zill. Michael R. Cullen. Séptima edición
Ejercicios. 11.1
Demuestre que las funciones son ortogonales en el intervalo indicado 1. f 1( x)
x f 2( x)
x2
2,2
2. f 1( x)
x3 f 2( x)
x2
1
1,1
3. x e x f 1( )
f 2( x)
xe x
e x
0,2 4. f 1( x)
cos x f 2( x)
sen2 x
0, 5. f 1( x)
x f 2( x)
cos2 x
2,2
6. f 1( x)
e x f 2( x)
senx
5 4
4, Demuestre que el conjunto dado de funciones es ortogonal en el intervalo indicado. Encuentre la norma de cada función en el conjunto.
7.
senx, sen3 x, sen5x,...
0,2
8.
cos x,cos3 x,cos5x,...
0,2
9.
sennx
con n
1,2,3,
0, 10. x p n sen con n
1,2,3,
0, p 11. x p n cos , 1 con n
1,2,3,
0, p 12. x p m sen x p n , cos , 1 con n
1,2,3, ,m
1,2,3,
p, p
SERIES DE FOURIERLa serie de Fourier de una función f definida en el intervalo [ p,p] está dada por
1 0 cos 2 ) ( n n n x p n sen b x p n a a x f Donde
p p o f x dx p a 1 ( )
p p n xdx p n x f p a 1 ( )cosDesarrolle 1. x x x x f 0 , 0 , 0 ) (
Teorema: condición para la convergencia
Sean f
f ' continuas por tramos en el intervalo [ p,p] es decir, sean f
f ' continuasexcepto en un número finito de puntos en el intervalo y con discontinuidades finitas sólo en esos puntos. Entonces la serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x) en un punto de
continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge hacia el promedio
2
x f x fEn donde f x
f x
denotan el límite de f en x, por la derecha y por la izquierda,respectivamente.
Ejercicios del libro Ecuaciones diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Dennis G. Zill. Michael R. Cullen. Séptima edición
Ejercicios. 11.2
Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado.
1. x x x f 0 , 1 0 , 0 ) ( 2.
x x x f 0 , 2 0 , 1 ) ( 3. 1 0 , 0 1 , 1 ) ( x x x x f 4. 1 0 , 0 1 , 0 ) ( x x x x f 5.
x x x x f 0 , 0 , 0 ) ( 2 6. x x x x f 0 , 0 , ) ( 2 2 2 7. f ( x)
x
,
x
8. f ( x)
3
2 x,
x
9. x senx x x f 0 , 0 , 0 ) ( 10. 2 2 0 , cos 0 , 0 ) ( x x x x f 11. 2 1 , 0 1 0 , 1 0 1 , 2 1 2 , 0 ) ( x x x x x f 12. 2 1 , 1 1 0 , 0 2 , 0 ) ( x x x x t f13. 5 0 , 1 0 5 , 1 ) ( x x x x f 14. 2 0 , 2 0 2 , 2 ) ( x x x x f 15. f ( x)
ex,
x
16.
x e x x f x 0 , 1 0 , 0 ) (SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS Funciones par e impar.
2
) ( x x
f
es par, ya que f (
x)
x2
x2
f ( x)3
) ( x x
f
es impar, ya que f (
x)
x3
x3
f ( x)Propiedades de funciones pares e impares
a) El producto de dos funciones pares es par b) El producto de dos funciones impares es par
c) El producto de una función par y una impar es impar d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par
e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar
f) Si f es par, entonces
a a a dx x f dx x f 0 ( ) 2 ) (
g) Si f es impar, entonces
a
a f ( x)dx 0 Series de Fourier de cosenos y de senos.
1. La serie de Fourier de una función par en el intervalo
p, p
es la serie de cosenos.
1 0 cos 2 ) ( n n x p n a a x f Donde
p o f x dx p a 0 ( ) 2
p n xdx p n x f p a 0 ( )cos 22. La serie de Fourier de una función impar en el intervalo
p, p
es la serie de senos.
1 ) ( n n x p n sen b x f Donde
p n xdx p n sen x f p b 0 ( ) 2Ejercicios del libro Ecuaciones diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Dennis G. Zill. Michael R. Cullen. Séptima edición
Ejercicios. 11.3
Desarrolle cada función dada en una serie adecuada de cosenos o de senos.
1.