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Controlabilidad y observabilidad

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Academic year: 2021

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Controlabilidad y observabilidad

En las próximas clases discutiremos dos conceptos fundamentales de la teoría de sistemas: controlabilidad y observabilidad . Esos dos conceptos describen la interacción de un sistema entre el mundo externo (entradas y salidas) y las variables internas (estados).

Informalmente, la controlabilidad es la propiedad que indica si el

comportamiento de un sistema se puede controlar actuando sobre sus entradas.

La observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno de un sistema puede detectarse desde sus salidas.

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Controlabilidad

Considere el sistema LTI representado por la ecuación de estados de n estados, q entradas

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t); (1)

donde A ∈ Rn×n y B ∈ Rn×q. La controlabilidad solo relaciona entradas y

estados, así la ecuación de salida y(t) = Cx(t) + Du(t) es irrelevante.

Controlabilidad: La ecuación de estado (1) o el par (A; B) se dice controlable

si para todo estado inicial x(0) = x0 y todo estado final x1, hay una entrada

que transfiere x0 a x1 en tiempo finito. En otro caso, (1) o (A; B) se dice no

controlable

Esta definición solo requiere que la entrada sea capaz de llevar el estado a cualquier lugar en el espacio de estados en tiempo finito sin importar qué trayec-toria siga el estado.

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Controlabilidad

Ejemplo (Sistema no controlable). Considere el sistema eléctrico de la izquierda

en la figura de abajo.

Es un sistema de primer orden con variable de estado x, el voltaje en el capacitor. Si el capacitor no tiene carga inicial, x(0) = 0, entonces

x(t) = 0 ∀t > 0, sin imporat la entrada aplicada. La entrada no tiene efecto sobre el voltaje en el capacitor. Este sistema, o más precisamente, la

ecuación de estado que lo describe no es controlable.

El sistema a la derecha tiene dos variables de estado. La entrada puede transferir x1 o x2 a cualquier valor deseado, pero no importa qué entrada se

aplique, x1(t) siempre será igual a x2(t). Este sistema tampoco es

controlable. − + + x − 1F u + − y 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω − + u + − 1Ω 1Ω + − x1 x2 1F 1F

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Prueba de controlabilidad

Teorema (Prueba de controlabilidad). Las siguientes declaraciones son

equivalentes.

1. El par n dimensional (A; B) es controlable. 2. La matriz de controlabilidad

C = B AB A2B . . . An−1B , tiene rango n (rango fila completo).

3. La matriz n × n, Wc(t) = Z t 0 eAτBBTeATτdτ no es singular ∀t > 0.

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Prueba de controlabilidad

Ejemplo. La ecuación de espacio de estados linealizada del sistema de péndulo

invertido a la derecha está dada por,     ˙y ¨ y ˙θ ¨ θ     =     0 1 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 5 0     +     0 1 0 −2     u u θ m mg l M y La matriz de controlabilidad es C = B AB A2B A3B =     0 1 0 0 1 0 2 0 0 −2 0 −10 −2 0 −10 0    

la cual tiene rango fila completo, luego el sistema es controlable. Si θ se desvía un poco de 0, sabemos que existe un control que lo devolverá al equilibrio en tiempo finito.

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Controlabilidad & equivalencia algebraica

La controlabilidad es una propiedad de un sistema que es invariante respecto a transformaciones de equivalencia algebraicas (cambio de coordenadas).

Considere el par (A; B) con C = B AB . . . An−1B

y un par algebraicamente equivalente ( ¯A; ¯B), donde ¯A = PAP−1

, ¯B = P B, y P es una matriz no singular. Entonces la matriz de controlabilidad del par ( ¯A; ¯B) es

¯ C = B¯ B ¯¯A . . . A¯ n−1B¯ = PB PAP−1 PB . . . PAn−1P−1 PB = P B AB . . . An−1B = PC

(7)

Gramiano de controlabilidad

La matriz Wc(t) utilizada para chequear la controlabilidad de (A; B) se puede

usar para construir una señal de control de lazo abierto u(t) que lleve al estado x desde cualquier x0 a cualquier x1 en tiempo finito.

Wc(t) =

Z t

0

eAτBBTeATτdτ

Tal ley de control está dada por:

u(t) = −BTeAT(t1−t)W−1

c (t1)(eAt1x0 − x1)

Esta ley de control usa la menor cantidad de energía para transferir x desde x0 a

x1 en tiempo t1. Esto significa que cualquier otro control ¯u(t) que realice la misma transferencia, Z t1 0 ||¯u||2dτ ≥ Z t1 0 ||u||2dτ

Por ejemplo, si x0 = 0, la mínima energía de control es,

Rt1

0 ||u|| 2

dτ = ||W−12

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Gramiano de controlabilidad

Si la matriz A is Hurwitz (todos sus autovalores tiene parte real negativa), entonces Wc(t) converge para t → ∞, y se denota simplemente como Wc,

Wc =

Z ∞

0

eAτBBTeATτdτ;

y se denomina Gramiano de controlabilidad de (A; B).

Si deseamos llevar el estado x desde 0 a x1 en tiempo infinito, (t1 → ∞), se

encuentra que la mínima energía de control requerida debería ser, Z ∞

0

||u||2dτ = ||W−12

c x1||2

Entre más cercano a cero sea cualquier autovalor de Wc, más cercano estará

Wc de la singularidad, y más grande será la energía mínima requerida para llevar el estado hasta x1.

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Gramiano de controlabilidad

Para el caso de tiempo infinito, no se requiere resolver la integral de tiempo infinito para calcular Wc. Si (A; B) es controlable, (C tiene rango fila completo), Wc es la

única solución de la matriz lineal de Lyapunov,

AWc + WcAT = −BBT

la cual puede resolverse con MATLAB usando Wc = lyap(A,B*B’), o usando la función Wc = gram(SYS,’c’).

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Controlabilidad y muestreo

Como se dijo, la mayoría de los sistemas de control se implementan en forma digital, para lo cual es necesario un modelo de tiempo discreto del sistema.

c - ZOH - -c@@c -c T {A, B, C, D} {Ad, Bd, C, D} y[k] u[k] T

Antes hemos visto como obtener un modelo de tiempo discreto a partir de uno en tiempo continuo que es exacto en los instantes de muestreo.

˙x = Ax + Bu y = Cx + Du ⇒ x[k + 1] = Adx[k] + Bdu[k] y[k] = Cx[k] + Du[k] Donde Ad = eAT y Bd = RT 0 e Aτ Bdτ.

La pregunta es: Si el sistema de tiempo continuo es controlable, ¿el sistema de tiempo discreto siempre es controlable?.

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Controlabilidad y muestreo

La controlabilidad del sistema discretizado depende del período de muestreo T y los autovalores de la planta de tiempo continuo. La controlabilidad se puede

perder después del muestreo .

Teorema (Muestreo no patológico). Si el par (A; B) es controlable, entonces

el par discretizado (Ad; Bd) es controlable con periodo de muestreo T si para

cualquier dos autovalores λi; λj de A tales que Re[λi − λj] = 0, la condición de

muestreo no patológico

Im[λi − λj] 6=

2πm

T para m = 1, 2, . . . se satisfaga.

El teorema da una condición necesaria que preserva la controlabilidad después del muestreo. Esta condición también es suficiente para sistemas de una sola entrada.

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Controlabilidad y muestreo

Ejemplo (Muestreo patológico). Considere el sistema de tiempo continuo

˙x(t) =  0 1 −1 0  x(t) + 0 1  u(t)

Su discretización exacta con período de muestreo T es x[k + 1] =  cos T sin T − sin T cos T  x[k] + 1 − cos T sin T  u[k]

Note que si T = mπ, con m = 1; 2; . . . , este sistema se hace no controlable, i.e., x[k + 1] = (−1) m 0 0 (−1)m  x[k] + 1 − (−1) m 0  u[k]

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Controlabilidad y muestreo

Un par de observaciones finales acerca del muestreo y la controlabilidad: La condición de muestreo no patológico solo aplica a sistemas con

autovalores complejos; un sistema discretizado con solo autovalores reales es controlable para todo T > 0 si su contraparte de tiempo continuo lo es. La condición de muestreo no patológico solo es suficiente para un sistema MIMO; si el muestreo es patológico, la controlabilidad se puede perder después del muestreo.

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Ejemplos de controlabilidad

x1 u

y

x2

En el sistema hidráulico de la izquierda es obvio que la entrada no puede afectar el nivel x2, así que

in-tuitivamente es evidente que este sistema de 2 tan-ques no es controlable.

Un modelo linealizado de este sistema con parámetros unitarios da, ˙x(t) = −1 0 0 0  x(t) + 1 0  u(t) y(t) = 1 0 x(t)

La matriz de controlabilidad es C = [B AB] = 1 −1 0 0



la cual no es de rango completo, luego el sistema no es controlable.

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Ejemplos de controlabilidad

Example.

y x2

x1 x3

u La controlabilidad del sistema hidráulico de la

izquierda no es tan obvia, aunque podemos ver que x1(t) y x3(t) no se pueden afectar independiente-mente con u(t).

El modelo linealizado en este caso es, x(t) =   −1 1 0 1 −3 1 0 1 −1  x(t) +   0 1 0  u(t) y(t) = 0 1 0 x(t) La matriz de controlabilidad es C = [B AB A2B] =   0 1 −4 1 −3 11 0 1 −4   la cual tiene rango 2, mostrando que el sistema no es controlable.

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Ejemplos de controlabilidad

x1 u

x2 x3

y

Ahora en el sistema previo suponga que la entrada se aplica en el primer tanque, como se muestra en la figura.

En este caso el modelo linealizado es el mismo de antes, excepto que la matriz B ahora es diferente. x(t) =   −1 1 0 1 −3 1 0 1 −1  x(t) +   1 0 0  u(t) y(t) = 0 1 0 x(t)  1 −1 2 

Referencias

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