Guía N 4. Matemática Electivo. Parámetros Estadísticos. 1. Medidas de tendencia central para datos no agrupados.

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Nombre: Curso: 3° Medio Objetivo de Aprendizaje: Calcular medidas de tendencia central, posición y dispersión.

Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando estos parámetros para tomar decisiones.

Guía N° 4. Matemática Electivo. Parámetros Estadísticos.

1. Medidas de tendencia central para datos no agrupados.

Son parámetros estadísticos que pretenden resumir toda la muestra en un solo valor.

a. Moda (𝑴𝒐): es el dato que tiene mayor frecuencia.

b. Mediana (𝑴𝒆): es el valor que ocupa la posición central (cuando

los datos están ordenados de menor a mayor). Si consideremos que el total de datos es N:

- Si N es impar, entonces 𝑴𝒆 corresponderá al valor del dato que ocupa la posición 𝑵+𝟏

𝟐

- Si N es par, entonces 𝑴𝒆 corresponderá al promedio entre los

valores de los datos que ocupen las posiciones 𝑵

𝟐 y 𝑵

𝟐+1.

c. Promedio o Media aritmética (𝑿̅): suma de los valores de todos los datos, dividida por la cantidad total de datos.

2. Medidas de tendencia central en datos agrupados.

En las distribuciones de frecuencias con datos agrupados no es posible obtener valores precisos para las medidas de tendencia central, dado que no se conocen los valores exactos de los datos. Sin embargo, se pueden obtener algunos datos asociados a las clases (intervalos).

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El intervalo modal (o clase modal) corresponde al intervalo que tiene mayor frecuencia. Esto no significa necesariamente que en dicho intervalo se encuentre la moda de la muestra.

El intervalo donde se encuentra la mediana se determina de la

misma forma que en datos no agrupados.

El Promedio o Media aritmética se determina considerando la

marca de clase y la frecuencia absoluta de cada intervalo.

3. Medidas de posición (Cuantiles)

Un cuantil es un valor bajo el cual se encuentra en cierto porcentaje de datos, cuando estos se ordenan de menor a mayor. Se pueden calcular solo en variables estadísticas cuantitativas.

a. En los percentiles, el total de datos se divide en 100 partes iguales. El percentil k es el valor bajo el cual se encuentra el k% de los datos. Por ejemplo, el percentil 65 corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 65% de los datos.

Para encontrar la posición donde se encuentra el percentil k utilizamos: 𝑷𝒌 = 𝒌∙𝑵

𝟏𝟎𝟎 , 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 , , , 𝟗𝟗

b. En los deciles, el total de datos se divide en 10 partes iguales. El

decil k es el valor bajo el cual se encuentra el 10∙k% de los

datos. Por ejemplo, el decil 3 corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 30% de los datos.

Para encontrar la posición donde se encuentra el decil k utilizamos: 𝑫𝒌 = 𝒌∙𝑵

𝟏𝟎 , 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝟗

c. En los cuartiles, el total de datos se divide en 4 partes iguales. El

cuartil k es el valor bajo el cual se encuentra el 25∙ 𝒌% de los datos. Por ejemplo, el cuartil 1 corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 25% de los datos.

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Para encontrar la posición donde se encuentra el cuartil k utilizamos: 𝑸𝒌 =

𝒌∙𝑵

𝟒 , 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑

Recorrido intercuartílico: es la diferencia positiva entre 𝑸𝟑 𝒚 𝑸𝟏 Observación: 𝑴𝒆 = 𝑸𝟐 = 𝑫𝟓 = 𝑷𝟓𝟎

4. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión son parámetros estadísticos que indican la variabilidad de los datos de una muestra o población, en otras palabras, indican cuan similar es el valor de todos los datos. Estos parámetros son válidos solo para variables

estadísticas cuantitativas.

a. El Rango corresponde a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo. En datos agrupados, el rango corresponde a la diferencia entre el límite superior del último intervalo y el limite inferior del primer intervalo.

b. La Varianza 𝝈𝟐 de un conjunto de números corresponde al

promedio entre los cuadrados de las diferencias entre cada dato y el promedio del conjunto.

𝝈𝟐 =(𝑿̅ − 𝒙𝟏)

𝟐 + (𝑿̅ − 𝒙

𝟐)𝟐 + (𝑿̅ − 𝒙𝟑)𝟐+ ⋯ + (𝑿̅ − 𝒙𝒏)𝟐

𝑵

c. La desviación estándar o desviación típica 𝝈 es una

medida de homogeneidad de un conjunto, es decir, permite determinar que tan dispersos se encuentran los elementos de un conjunto con respecto al promedio del mismo y compararlo con otros conjuntos. Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.

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Nota:

Otro parámetro que permite realizar comparaciones entre conjuntos con respecto a la dispersión de sus datos,

corresponde al coeficiente de variación (CV) que se calcula: 𝑪𝑽 = 𝝈

|𝑿̅|

- Mientras menor sea el coeficiente de variación, el conjunto es más homogéneo (los datos son más parecidos entre sí) - Mientras mayor sea el coeficiente de variación, el conjunto

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Actividades: A partir de los conceptos y ejercicios resueltos,

desarrolle las siguientes actividades en su cuaderno. Recuerde además registrar todos los contenidos que se presentan.

1. Considere la tabla adjunta Calcule: rango y 𝝈 Puntajes Frecuencia [1,20] 14 [21,40] 28 [41,60] 16 [61,80] 12 [81,100] 10

2. Para participar en una olimpiada de ciencias, el profesor debe elegir un curso de un colegio. Las calificaciones de los 45 estudiantes de los dos cursos entre los que se escogerá al representante del colegio se ordenan en las siguientes tablas.

Calificaciones curso A Calificaciones curso B 5,9-4,0-2,5-1,8-6,0-2,9-5,7- 4,3-4,3-3,4-2,0-5,3-4,5-7,0- 5,9-5,9-5,0-3,3-4,4-3,5-1,0- 5,8-6,4-4,6-2,7-5,5-4,6-4,8- 3,6-5,5-4,8-6,0-6,0-4,0-6,5- 5,8-2,2-6,7-4,9-5,2-4,9-7,0-5,0-6,6-2,5 4,4-4,0-3,5-2,8-5,3-3,9-4,7- 4,3-7,0-3,4-4,0-5,3-4,5-7,0- 4,9-4,4-5,0-2,4-5,8-3,5-2,0- 5,8-6,4-2,6-1,9-5,9-4,6-4,8- 6,4-5,5-5,8-6,0-7,0-4,0-5,6- 6,0-4,2-6,7-4,9-5,2-5,8-6,8-7,0-6,8-4,9

a. ¿Cuál es el rango de las calificaciones de cada curso? b. ¿Cuál es el promedio de las calificaciones del curso A?, ¿y

del B?

c. ¿Cuál es la varianza de los datos obtenidos para cada curso?, ¿y la desviación estándar?

d. ¿Cuál es el coeficiente de variación para ambos cursos? e. ¿Qué curso tiene calificaciones homogéneas? Justifica tu

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f. Con los resultados anteriores, ¿qué decisión debe tomar el profesor? Argumenta tu respuesta.

3. En un taller mecánico se realizan pruebas del tiempo de frenado en dos automóviles A y B, arrojando los siguientes resultados:

Tiempo en segundos que demora en frenar:

auto A 12, 9, 8, 9, 10, 11, 9, 7

auto B 11, 8, 7, 10, 10, 10, 8, 10

a. ¿Cuál es el rango y el promedio para cada tipo de automóvil? b. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar para cada tipo

de automóvil?

c. ¿En cuál de los dos conjuntos de datos los valores se acercan más al promedio?

d. Si una persona quiere comprar, entre estos automóviles, el que brinde mayor seguridad, ¿Qué decisión debería tomar? Explica.

4. Utilizando su coeficiente de variación, determina que conjunto es más homogéneo en cada caso.

a. X = {203, 75, 5, 235, 193, 165, 47, 240, 37, 0} Y = {3, 0, 1, 5, 5, 6, 1, 4, 3, 2}

b. X = {2, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 2, 0, 0}

Y = {47,16, 2, 46, 44, 32, 4, 36, 1, 12}

5. En algunos países de Latinoamérica, las notas van de 1 a 10. Jorge tiene un amigo ecuatoriano, Matías, con el que compara sus notas de ciencias.

Jorge 4,5 5,0 5,2 6,7 6,1 5,8

Matías 6,2 7,8 3,1 9,6 5,4 7,7

a. ¿Es útil el rango para comparar la dispersión de sus notas? Justifica.

b. ¿Qué medida(s) de dispersión puede(n) resultar más conveniente(s) en este caso? Justifica.

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c. Aplica los indicadores que escogiste y señala quien tiene un rendimiento más regular en la asignatura. Argumenta tu respuesta.

6. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de hijos de 14 familias encuestadas:

2 - 2 - 1 - 2 - 3 - 0 - 2 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 0 - 6.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) La mediana y la moda tienen el mismo valor.

II) El percentil 40 es 5. III) El tercer cuartil es 3

7. Sean los siguientes datos correspondientes a la edad de 10 personas en una empresa: 18 - 20 - 25 - 32 - 19 - 21 - 19 - 33 -

26 - 28, entonces ¿cuál es el dato que corresponde al primer

cuartil? ¿Cuál es el recorrido intercuartílico?

8. Considere la siguiente tabla. Puntajes Frecuencia [10,19] 6 [20,29] 8 [30,39] 12 [40,49] 5 [50,59] 9 Determine a. El valor de N b. El intervalo modal

c. El intervalo que contiene a la mediana d. El coeficiente de variación.

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