Libro Geometria

CAPITULO1:

ÁNGULOS DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

PROPIEDADES.

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA

SECANTE; PROPIEDADES.

ÁNGULO: Definición: Es la figura

geométrica determinada por la reunión

de dos rayos no alineados que tienen

el mismo origen.

Elementos: Vértice: O

Lados: OA y OB

Notación: Ángulo AOB: <AOB, AÔB

Medida del ángulo AOB:

m<AOB=αº, m AÔB=αº

Clasificación de los ángulos por su medida:



Ángulo agudo



Ángulo recto



Ángulo obtuso



Ángulo llano



Ángulo convexo

Los ángulos de menor amplitud que el ángulo llano se llaman convexo, los de mayor amplitud que el llano se llaman cóncavos.

Los ángulos agudos, rectos y obtusos son convexos.



Ángulo completo

α

α

α

α

O

A

α

º

B

Bisectriz de un ángulo:

Ángulos adyacentes:

Ángulos complementarios:

Ángulos suplementarios:

Ángulos adyacentes suplementarios:

Ángulos opuestos por el vértice:

α

α

α

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante:

Si: L1// L2

Ángulos internos: c, d, e, f Ángulos externos: a, b, g, h

Ángulos alternos internos: e y d; c y f Ángulos alternos externos: a y h; g y b Ángulos conjugados internos: c y e; d y f Ángulos conjugados externos: a y g; b y h Ángulos correspondientes: a y e; b y f;

c y g; d y h.

 Propiedades:

1) Los ángulos correspondientes miden igual.

2) Los ángulos conjugados son Suplementarios.

3) Los ángulos alternos miden igual. Si: L1// L2 Entonces: aº+bº+cº=xº+yº+zº y z x a b c L₁ L₂ L₁ L₂

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, cuyas medidas se diferencian en 40°. Calcular la medida del ángulo que forman OB y la bisectriz del ángulo AOC

A) 10° B) 15° C) 20°

D) 25° E) 30°

2. La suma de las medidas del complemento de un ángulo y el suplemento de otro ángulo es 140°. Halle el suplemento de la suma de las medidas de ambos ángulos.

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: la medida del ángulo AOB mas la medida del ángulo AOD es igual a 100° y los ángulos BOC y COD son iguales. Halle la medida del ángulo AOC.

A) 10° B) 15° C) 50°

D) 20° E) 25°

4. Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forma la bisectriz del ángulo adyacente suplementario a un ángulo “x” y el lado no común es 140°. Calcule el ángulo “x”.

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

5. Las medidas de dos ángulos adyacentes se diferencian en a°.

Calcule la medida del ángulo que forman el lado común a dichos ángulos con la bisectriz del ángulo que forman las bisectrices de estos ángulos.

A) 0,4a° B) 0,25a° C) 0,33a° D) a° E) 0,5a°

6. Las medidas de los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, están en progresión geométrica de razón igual a 2. Calcule el complemento del ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos BOC y DOE, si m< AOE = 90°.

A) 30° B) 34° C) 36° D) 40° E) 38°

7. ¿En cuánto excede la medida del suplemento de un ángulo agudo, a la medida del complemento del mismo ángulo?

A) 45° B) 60° C) 75° D) 90° E) 120°

8. En la figura mostrada, calcule “α°” si

las rectas: L1//L2//L3.

A) 1° B) 5° C) 10° D) 15° E) 7°

9. En la figura mostrada, calcule “x°”.

L

1

L

₂

L

₃

4

α

5 +

α

2

α

α

A) 30 B) 40 C) 50 D) 20 E) 15

10. En la figura mostrada se cumple que: 29 11 = < < XOE m AOX m ; OX es la bisectriz del <BOC ; Calcule ,m<AOB si

m<BOE=180° y OC es ortogonal a DA.

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° 11. Si al complemento de un ángulo le aumentamos el suplemento de otro, resulta 126º. Hallar la suma de la medida de dichos ángulos.

A) 120º B) 130º C) 134º D) 144º E) 140º

12. Se tiene los ángulos adyacentes PQR y RQS, si la m<PQR=aº. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos RQS y PQS. A) a°/2 B) a° C) a°/3

D) 2a° E) 2a°/3

13. Si:L1// L2, a + b = 220°, halle ”x ”

A)10° B) 40° C) 20° D) 25° E) 30°

14. En la figura L1// L2, Halle el valor de “x”

A) 45° B) 30° C) 60° D) 50° E) 40°

15. En la figura L1 //L2 . Calcule ”x”, si las

medidas de los ángulos mostrados están en progresión aritmética.

A) 4 B) 8 C) 6 D) 9 E) 10

3x

4x

5x

2x

3x

x

D

_A

E

C

X

B

O

L

₁

L

2

10

°

5°

15

°

5x

L

1

L

2 a a 3x x

x

a

b

E

L

1

CAPITULO 2:

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS, PROPIEDADES

FUNDAMENTALES.

TRIÄNGULO

Definición:

Clasificación de triángulos:

Según sus ángulos



Triángulo equilátero: Sus tres lados

tienen la misma longitud y los

ángulos

de sus

vértices

miden lo mismo (60º)

 Triángulo isósceles: Tiene dos lados

iguales

 Triángulo escaleno: Todos sus lados y

todos sus ángulos son distintos. Por la medida de sus ángulos:

 Triángulo acutángulo: Es aquel

cuyos tres ángulos son agudos. En

particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.  Triángulo rectángulo: Tiene un

ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.

 Triángulo obtusángulo: uno de sus

ángulos es obtuso (mayor de 90º)

 Triángulo oblicuángulo: Cuando no

tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.

Propiedades fundamentales:

Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo

Teorema:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.

Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.

Corolarios:

 En todo triángulo, cada ángulo es igual

a 180º menos la suma de los otros dos ángulos.

 Si en un triángulo un ángulo es

rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos.

 Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Propiedad del ángulo exterior Teorema:

Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

 En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores.

Teorema de los ángulos interiores Hipótesis

Tesis

Demostración

Se traza por C una recta paralela al lado , quedando determinados los ángulos y .

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura mostrada, L1//L2. Halle el

menor valor entero de “x”, si θ es la

medida de un ángulo agudo.

A) 40° B) 43° C) 46° D) 49° E) 52° 2. Si: m//n. Calcular “α” A) 30° B) 60° C) 35° D) 53° E) 70° 3. Según el gráfico AB = BC, DE = 3u y EC = 6u, calcule el máximo valor

entero de FC.

A) 4u B) 3u C) 5u D) 7u E) 8u

4. Del gráfico, calcule “x”. A) 60°

B) 70° C) 75° D) 80° E) 85°

5. Del gráfico, calcule “x” 60° A D B C x x

α

α

θ

θ

x

80º

L

₁

L

₂

θ

α

α

x

β β

2

α

α

2

α

m

n

A

F

C

D

E

B

α

α

₂

_α

A

F

A) 15° B) 20° C) 18° D) 30° E) 40°

6. En el gráfico halle “x”

A) 30° B) 60° C) 45° D) 53° E) 37° 7. Del gráfico BH = 12m. Calcule AM.

A)14m B) 16m C) 18m D) 20m E) 24m

8. En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida del ángulo B. Calcular la medida del ángulo B.

A) 12º B) 18º C) 24º D) 36º E) 32º

9. En la figura mostrada, BD es bisectriz; DE es paralelo a AB. Halle la medida de los ángulos B y C si ° = <BDE 28 m . A) 56°;34° B) 20°;70° C) 45° ;45° D) 30°;60° E) 37°;53°

10. Según el gráfico calcule “x+y” A) 80° B) 70° C) 90° D) 60° E) 50°

11. Los lados de un triángulo miden (b+2); (b+4) y 9. Calcular el menor valor entero que puede tomar “b” para que el triángulo exista

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 13. Calcular su perímetro A) 23 B) 31 C) 26 y 31 D) 18 E) 28 13. En un triángulo ABC, sobre la

prolongación del lado BC se ubica el punto Q, tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ángulo ACB. Calcular QB. Si: AQ=9 y BC=7.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14. Si el perímetro de un triángulo es 16, calcular el mayor valor entero que podría tomar un lado de dicho triángulo.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 15

15. Si las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a los números: 2; 3 y 4; ¿De que naturaleza es el triángulo? A) Isósceles

x

A

B

M

α

H

C

α

B

A

D

C

E

20° 20° 20° x θ θ αα y

B) Acutángulo C) Rectángulo D) Obtusángulo E) Equilátero

CAPITULO 3:



LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO.



CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Ceviana: Es el segmento que une un

vértice con un punto cualquiera de su lado opuesto o de su prolongación

Mediatriz: Es la recta perpendicular a un

lado, trazada desde su punto medio.

O: circuncentro, centro de la

circunferencia circunscrita.

Altura: Es la recta perpendicular trazada

O: Ortocentro

Mediana: Es la recta que une el vértice

con el punto medio del lado opuesto.

G: baricentro o también llamado

gravicentro ya que es el centro de

gravedad de una figura triangular. El

baricentro divide a cada mediana en

dos segmentos que están en relación

de 2 a 1, como en la figura:

AG=2GA

’ CG=2GC’ BG=2GB’

Bisectriz: Es la recta que parte de un vértice y divide el ángulo en dos ángulos iguales.

O: incentro, centro de la circunferencia

inscrita.

Criterios de igualdad de triángulos

 Primer criterio: Dos triángulos

que tienen dos lados y el ángulo comprendido entre estos respectivamente iguales, son iguales.

 Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales.

Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales,

son iguales.

 Cuarto criterio: Dos triángulos

que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura: AD y BM son medianas del triángulo rectángulo ABC, y AC=30. Entonces, las longitudes “x” e ”y” en metros son respectivamente:

A) 11 y 4 B) 9 y 6 C) 10 y 5

D) 18 y 7 E) 9,5 y 5,5

2. Para determinar en un plano la posición de un punto equidistante de tres puntos A,B y C (que no pertenecen a una línea recta), se busca la intersección de:

A) Las bisectrices de los ángulos ABC y BCA.

B) Las mediatrices de AB y AC.

C) La bisectriz de ABC y la mediatriz de AC

D) La mediatriz de AB y la bisectriz del ángulo ABC.

E) La altura y la mediatriz de AB y BC.

3. La distancia entre el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo y el punto de intersección de sus tres alturas es igual a:

A) Dos tercios del cateto mayor. B) Un tercio del cateto mayor.

A

B

C

M

C) Un tercio de la altura relativa a la hipotenusa.

D) La semisuma de los catetos. E) La mitad de la hipotenusa.

4. Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia y sean los puntos C’, B’ y A’ los puntos medios de los arcos AB, BC y CA respectivamente. ¿Qué punto notable es el incentro del triángulo ABC para el triángulo A’B’C’? A) Ortocentro

B) Incentro C) Circuncentro D) Baricentro E) Excentro

5. En un cuadrado ABCD en los lados BC y CD se ubican los puntos medios M y N, tal que la intersección de AM y BN es el punto “P. ¿Qué punto notable es el centro del cuadrado respecto al triángulo NPA? A) Ortocentro B) Incentro C) Circuncentro D) Baricentro E) Excentro

6. Si el perímetro del cuadrado ABCD es 40m y CM=8m, halle la distancia del vértice B a la Recta L.

A) 11m B)12m C)14m D)16m E)17m.

7. En un triángulo rectángulo ABC, la m<C=26°; luego se trazan la bisectriz del ángulo recto B y la mediatriz de AC, que se cortan en Q. Hallar la medida del menor ángulo que se forman en Q.

A) 18° B)19° C)20° D)21° E)17°

8. En la figura halle “x”, si: AO= 2(OD)

A)30° B)53° C)37° D)60° E)45°

9. Del gráfico, calcule BP, si AP=4 y PC=7

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 7

10. En un triángulo rectángulo ABC se trazan la altura BH y la bisectriz del ángulo HBC que corta a AC en M. Hallar MC. Si AB=5u y BC=12u

A) 7u B) 6u C) 8u D) 9u E) 10u

11. En un triángulo ABC, AB=9u y BC=13u, por el vértice B se traza una recta paralela a AC que corta a las bisectrices exteriores de <A y <C en los puntos P y Q. Hallar PQ

A) 21u B) 23u C) 22u D) 24u E)

20u

12. En un triángulo acutángulo ABC la m<A=82°, las mediatrices de AB y AC interceptan en E y F respectivamente a BC. Calcular la m<EAF A) 41° B) 22° C) 18° D) 16° E) 24° L M A B C D A O D x

B

60º+α

α

A

P

Ø

C

Ø

13. Según el gráfico, AB=BC, MN=6m y NR=4m, calcule el valor de BH. 14. En el gráfico AN=BC y HC=HM, calcule “x” A) 28° B) 30° C) 32° D) 38° E) 45° 15. Dado un triángulo ABC, AH y CG son

alturas, las cuales se intersecan en “O”; si m<B=40º, calcular m<AOC.

A) 130º B) 135º C) 140º D) 145º E) 150º

A) 6m B)7m C)8m D)9m E)10m

CAPITULO 4:

TEOREMA DE LA BISECTRIZ, MEDIATRIZ, DE LA BASE MEDIA Y

DE LA MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Todo punto que pertenece a la

bisectriz de un ángulo, equidista de los lados de dicho ángulo..

α

α

M N O P

A

B

C

M

N

H

R

B A M H C N x

PM = PN

Además: OM = ON

PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ: Todo

punto situado sobre la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

PA = PB

TEOREMA DE LA BASE MEDIA DE UN TRIANGULO

: El segmento que une los

puntos medios de dos lados de un

triángulo es paralelo al tercer lado y

mide la mitad de su longitud.

MN: base media, MN//AC.

Entonces: MN=AC₂

TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN EL TRINGULO RECTANGULO: La

mediana, respecto a la hipotenusa, de un triángulo rectángulo, es igual a la mitad de la hipotenusa.

2

AC BM =

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la hipotenusa mide 19. Calcular el mayor valor entero que podrá tener la altura relativa a la hipotenusa

A) 7 B)8 C)9 D) 10 E) 11

2. en un triángulo ABC se trazan las alturas AE y BF que se intersecan en

D. Si el ángulo ADC es 125º. ¿Cuánto mide el ángulo ABE?

A) 70º B) 50º C) 75º

D) 55º E) 80º

3. En la figura mostrada, si BM es mediana y PB=10u. Halle el valor de MH. A P B A _M C B

A) 3m B) 2.5m C) 5m

D) 9m E) 10m

4. Del gráfico, calcular PQ, si: AB=6 y AC=8; BQ=QC.

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3

5. Del gráfico halle el valor de “x” si: 5 7 BD DC AD= = A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60°

6. En un triángulo ABC se traza la mediatriz de AC que intersecta al lado BC en N, luego AN corta a la altura BH

en F. Halle BN sabiendo que: AF = 5µ

y BC=17µ.

A) 3µ B) 5µ C) 6µ D) 8µ E) 9µ

7. En un triángulo ABC, se ubica los puntos medios M y N de AB y BC respectivamente. El segmento que une los puntos medios de MC y NA mide 2u. Calcular AC.

A) 2u B) 1u C) 10u D) 8u E) 6u

8. En el gráfico halle QC si:

m<BAC=2m<ACB; AQ es bisectriz, BC=10µ y PQ = 2µ. A) 3,8µ B) 4µ C) 5µ D) 7µ E) 7,5µ 9. En un

triángulo ABC acutángulo se traza la altura BH y la mediana CM, calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de HC y CM si:

AB = 6µ.

A) 1µ B) 1,5µ C) 2µ D) 2.5µ E) 3µ

10. En un triángulo ABC, la mediatriz de AB pasa por el pie de la bisectriz interior BD y forma 10º con la prolongación de BC. Calcular la medida del ángulo C.

A) 60º B) 30º C) 80º

D) 40º E) 50º

11. Sobre el lado AC de un triángulo ABC se toma un punto P; luego se trazan las mediatrices de AP y PC las cuales cortan a AB y BC en E y F respectivamente. Calcular la medida del ángulo EPF, sabiendo que el ángulo B mide 80º. A) 60º B) 30º C) 80º D) 40º E) 50º

B

Θ

Θ

_A

C

P

M

H

α

α

A

P

Q

C

B

A

B

C

D

x°

A

B

Q

C

P

12. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BF. Las bisectrices de los ángulos ABF y FBC cortan a la hipotenusa en los puntos M y N. Si AB=6 y BC=8, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de BM y BN.

A) 3 B) 4 C) 2

D) 1 E) 5

13. Sea el triángulo ABC cuyos lñados miden: AB=18, BC=16 y AC=20. Desde B se trazan BF y BG perpendiculares a las bisectrices interior de C y exterior de A respectivamente (f y G pertenecen a dichas bisectrices). Calcule FG.

A) 12 B) 13 C) 14

D) 11 E) 10

14. Se tiene un triángulo ABC tal que: AB=7u, BC=9u. Se traza la mediana BM. Halle el mayor valor entero de BM.

A) 4u B) 5u C) 6u D) 7u E) 8u

15. Calcule “α”

si: AM=MB y NC=3(AN)

A) 18º B) 20º C) 15º

D) 12º E) 10º

CAPITULO 5:

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS. PROPIEDADES

FUNDAMENTALES.

POLÍGONO

A B C N 7α 90º-α M

Definición: Es la unión de un conjunto de

segmentos coplanares, cada uno de los cuales tiene por intersección con otros dos segmentos, los puntos extremos.

Elementos de un polígono

Clasificación de los polígonos

A) Por el número de sus lados:

- Triángulo: 3 lados - Cuadrilátero: 4 lados - Pentágono: 5 lados - Hexágono: 6 lados - Heptágono: 7 lados - Octógono: 8 lados - Eneágono: 9 lados - Decágono: 10 lados - Endecágono: 11 lados - Dodecágono: 12 lados - Pentadecágono: 15 lados - Icoságono: 20 lados

B) Por la forma de su contorno: los polígonos se clasifican en:

Convexos: Son aquellos polígonos en los que una recta lo corta en un máximo de dos puntos.

No convexos: Son aquellos polígonos, en los que una recta al atravesarlos puede cortarlos en más de dos puntos.

Equiláteros: Son polígonos que tienen sus lados iguales.

Equiángulos: Son polígonos que tiene sus ángulos iguales.

Regulares: Son polígonos que tiene ángulos y lados iguales entre si.

Irregulares: Son los polígonos que tiene sus ángulos y lados desiguales

α

α

α

α

α

α

α

β

PROPIEDADES: n: Número de lados

1. La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es igual a 180º(n-2)

Sα=180º(n-2)

2. El valor de un solo ángulo interno de un polígono convexo regular de n lados es:

α=180º(n-2)/n

3. La suma de ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a 360º.

S_β=360º

4. El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular convexo de n lados es:

β=360º/n

Ángulo central de un polígono convexo regular:

5. La suma de los ángulos centrales de un polígono convexo REGULAR es igual a 360º

Sθ=360º

6. El valor de un solo ángulo central de un polígono convexo regular de n lados.

θ

=360º/n

Diagonales

7. El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono es igual al número de lados menos 3.

d=n-3

8. El número total de diagonales de un polígono (Dt) es:

Dt=n(n-3)/2

9. El número total de diagonales medias de un polígono (Dm) es:

Dm=n(n-1)/2

10. El número de diagonales trazadas desde”V” vértices consecutivos en un polígono de n lados es:

2 ) 2 )( 1 ( + + − =nV V V Dn V EJERCICIOS PROPUESTOS

θ

1. En un polígono convexo la suma de los ángulos internos excede en 720° a la suma de los ángulos exteriores. Calcule su número de diagonales.

A) 27 B) 35 C) 44 D) 14 E) 20 2. Halle el número de vértices del

polígono cuyo número de diagonales mas el número de lados es 105.

A) 12 B) 13 C) 15 D) 14 E) 16 3. Si la relación del ángulo interior y

exterior de un polígono regular es de 7 a 2. Hallar el número total de sus diagonales

A) 27 B) 20 C) 35 D) 44 E) 56 4. En el gráfico hallar, m<CBQ, si

ABCDE es un pentágono regular y CDPQ es un cuadrado

A) 12° B) 10° C) 9° D) 8° E) 15° 5. Hallar el perímetro de un hexágono

equiángulo ABCDEF. Siendo DE = 1u, BC =2u, AF =3u y CD = 4u.

A)14u B)15u C)16u D)18u E)20u 6. Se tiene un octógono equiángulo

ABCDEFGH. En el cual: AB = 2u,

BC=21/2_{u y CD = 3u. Hallar AD.}

A) 8u B) 6u C) 5u D) 7u E) 10u

7. Se tiene un nonágono regular ABCDEFGHI. Halle el menor ángulo que forman las prolongaciones de AB y ED.

A) 80° B) 70° C) 50° D) 40° E) 60° 8. En la figura L1 //L2 . Calcule ”x”, si las

medidas de los ángulos mostrados están en progresión aritmética.

A) 4 B) 8 C) 6 D) 9 E) 10 9. El Hexágono y el pentágono son

figuras regulares, halle “x”

A) 42° B) 46° C) 48° D) 52° E) 66° 10. En un hexágono regular la diagonal

mayor mide 6u, calcule la medida de la menor diagonal.

A) 4u B) 3√3u C) 3u D) 2√3u E) 6u 11. Se tiene un hexágono equiángulo

ABCDEF, halle EF si AB=8cm., BC=6cm y DE=5cm.

A) 7cm B) 10cm C) 6cm

D) 4cm E) 9cm

12. En un polígono de “n” lados desde la mitad de vértices consecutivos se

B

C

D

E

P

Q

A

L

₁

L

₂

10

°

5°

15

°

5x

x

trazan 29 diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?

A) 27 B) 44 C) 54 D) 60 E) 35 13. Si a cada uno de los ángulos interiores

de un polígono regular se le disminuye 20°, el número de lados de dicho polígono queda disminuido en la mitad. Halle el número de lados del polígono original.

A) 18 B) 9 C) 8 D) 36 E) 16

14. En un polígono convexo, el número de diagonales medias es 15. ¿Cuántas diagonales se podrá trazar desde tres vértices consecutivos?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

15. Hallar “x” si ABCDEF y APQF son polígonos regulares. A)30° B) 38° C) 40° D) 60° E) 45°

x

F

P

Q

A

C

B

D

E

CAPITULO 6:

CUADRILÁTERO, DEFINICIÓN, ELEMENTOS, CLASIFICACIÓN.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

.

CUADRILÁTEROS

Definición: Son aquellas figuras

determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Los segmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices.

Clasificación:

A) Cuadrilátero convexo : Una recta lo

corta a lo mas en dos puntos.

B) Cuadrilátero no convexo : Una recta lo

corta en mas de dos lados.

C) Cuadrilátero cruzado : cuando dos de

sus lados se cortan

CUADRILATEROS CONVEXOS

I. PARALELOGRAMOS :

Cuadriláteros que tiene los lados opuestos paralelos y congruentes entre sí. En ellos se cumplen las siguientes propiedades:

a) Sus ángulos opuestos son

congruentes.

b) Sus ángulos consecutivos suman

180º

c) Sus diagonales se bisecan(se

interceptan en su punto medio) Los paralelogramos se dividen en:

A) Romboide:

B) Rombo: 4 lados iguales y ángulos opuestos iguales a 2 a 2.

A C

C) Rectángulo: 4 ángulos rectos y sus lados opuestos iguales dos a dos.

D) Cuadrado: 4 ángulos rectos y 4 lados iguales.

Propiedades de los paralelogramos:

 Diagonales de un rectángulo son

iguales.

 Diagonales de un rombo son

perpendiculares entre sí y bisectrices de sus ángulos.

 Las diagonales de un cuadrado son

iguales, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.

II. TRAPECIOS : son cuadriláteros convexos que tienen un par de lados paralelos a los que se les llama bases y dos lados no paralelos.

Los trapecios se clasifican en:

A) Trapecio escaleno: Cuando los lados no paralelos son de diferente longitud.

B) Trapecio isósceles: cuando los lados no paralelos son iguales

C) Trapecio rectangular: Aquel que tiene 2 ángulos rectos.

Propiedades:

Mediana del trapecio (MN): Mediana de

un trapecio es la línea que une los puntos medios de los lados no paralelos y mide la semisuma de las bases

MN//B//b

2

B b MN= +

Segmento que une los puntos medios de las diagonales (PQ): el segmento que

une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de las bases. PQ Є MN; PQ//B//b 2 B b PQ= − b B M N b B M _N P Q

III. TRAPEZOIDES: Son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos y se clasifican en :

A) Trapezoide simétrico: es aquel en el cual se cumple que una diagonal es la mediatriz de la otra.

B) Trapezoide asimétrico: es aquel trapezoide donde no se cumple que una diagonal es la mediatriz de la otra.

Teorema de Euler:

La sumatoria de los cuadrados de las medidas de los lados de cualquier cuadrilátero convexo es igual a la sumatoria de los cuadrados de sus diagonales más cuatro veces el cuadrado de la medida del segmento MN que une los puntos medios de sus diagonales.

AB2_{+ BC}2_{+ CD}2_{+ AD}2_{= AD}2_{+ BD}2_{+4 MN}2 a _a b b A C B D A C B D M _N

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcular “θ” en la figura mostrada, si: ABCD es un cuadrado y M y N son puntos medios. A)135º B)143º C)127º D)120º E)115º

2. Si ABCD es un trapecio halle AD. A) 17

B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

3. Si ABCD es un cuadrado, calcule “x”. A) 50°

B) 36° C) 53° D) 40°

E) 60°

4. Si ABCD es un cuadrado, halle PC. Si AM=2 y MD=3. A) 0,5 B) 1 C) 2 D) 2 E) 1,5

5. Halle, aproximadamente el valor de “x”, si ABCD es un cuadrado. A) 127°₂ B) 53°₂ C) 137₂° D) 37°₂ E) 45₂° 6. En la figura ABCD es un paralelogramo, MH=1u, m<BCD=45°. Halle AB A) 2u B) 5 2 _u C) 3u D) 2 2 _u E)5/2u

7. En el rectángulo ABCD halle OM, si MD=2(AM), BC=12u y CD=4u. A) 2u B) 5 2 _u C) 3u D) 2 2 _u E)5/2u

8. Halle “x” si ABCD es un rectángulo y AO=OC=OP A)50° B)55° C)60° D)65° E)70° θ A D C B M N A B 8 C 9 D 100° 20° A B C D x 10° 20° B C A D x B 30° 60° A D C P

B

M

A

D

C

O

D A B C M H

D

C

P

M

A

B

O

x 25°

9. En la figura ABCD es un romboide. Halle m<BMN , si BN=NC y MN=MD A) 30° B) 26°30’ C) 25° D) 20° E) 18°30’

10. En un cuadrilátero ABCD, AD=18u, m<B=90° y BD=DC. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero.

A)6u B)9u C)9 2 _u

D)12u E) 6 2 _u

11. Las diagonales de un trapecio miden 10u y 12u. Calcular el máximo valor entero que puede tomar la mediana.

A)11u B)12u C)13u

D)10u E) 10.5u

12. Si la figura es un romboide. Además PQ=21m y EF=30m. Halle la longitud del segmento EL.

A) 9m. B)8m. C) 10m. D) 7m. E) 2m.

13. En la figura, ABCD es un cuadrado. Halle x”. A) 75° B) 50° C) 60° D) 55° E) 65°

14. En un trapecio la base menor mide 10u y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 4u. Hallar la base mayor.

A) 75° B) 50° C) 60°

D) 55° E) 65°

15. En un cuadrilátero ABCD: m<A=θº; m<B=m<C=2θº y m<D=3θº. Hallar la m<C. A) 75° B) 90° C) 60° D) 72° E) 135°

N

B

A

C

D

M

B A F C Q L a E a

D

P A D B C x 60° 60°°

CAPITULO 7

DEFINICIÓN, ELEMENTOS Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE

LA CIRCUNFERENCIA. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

POSICIONES RELATIVAS EN LAS CIRCUNFERENCIAS.

CIRCUNFERENCIA

Definición: Conjunto de puntos que están

en el mismo plano y que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro. A B M N Recta tangente Recta secante Flechao sagita Diámetro AB ( ) Centro  T  Punto de tangencia Q  P  Radio Arco BQ Cuerda PQ O Y X Elementos de la circunferencia: Es la

porción interior de plano limitado por una circunferencia. O : Centro de la circunferencia T : Punto de tangencia OB : Radio PQ : Cuerda PNQ : Arco MN : Flecha AB : Diámetro Y : Recta secante X : Recta tangente

Posiciones relativas de dos circunferencias ubicadas en un mismo plano.

1. Circunferencias tangentes exteriores:

d = R + r d = R + r r R R r Punto de tangencia Distancia entre los centros (d)

2. Circunferencias tangentes interiores

d

R

d = R - r

d = R - r d: Distancia entre los centros R

r

Punto de tangencia

r R d = Cero ; d : distancia d = Cero ; d : distancia 4. Circunferencias secantes R r ( R – r ) < d < ( R + r ) ( R – r ) < d < ( R + r ) Distancia entre los centros (d) 5. Circunferencias ortogonales d2_{= R}2_{+ r}2 d2_{= R}2_{+ r}2 Distancia entre los centros (d) r R Ángulos en la circunferencia 1. Ángulo central:

α A B C r r α= mAB α= mAB 2. Ángulo inscrito: θ A B C 3. Ángulo seminscrito: δ A B C 4. Ángulo interior: β A C B D

5.

Ángulo exterior: θ A B C O

β A B C O D α A B C _O α + mAB = 180° α + mAB = 180° Propiedades: P Q M N R A B C D Las cuerdas equidistan del centro A B C D  

Propiedad de las tangentes:

AP = PB AP = PB A B P R R α α

R L

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Siendo: P, Q y T puntos de tangencia AB=23u y BQ= 14u. Hallar AP.

A) 7u B) 8u C) 9u D) 6u E) 10u 2. Si T es punto de tangencia y TP=r. Hallar x. A) 120° B) 135° C) 150° D) 127° E) 143°

3. Hallar OH. Si: AB=16u y r =10u.

A) 4u B) 5u C)6u D)7u E)8u

4. El perímetro del triángulo ABC es 38u. Halle AF, si: DB=6u y EC=9u.

A) 3,5u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u A B Q P T

O

B

P

A

T

r

x

H

B

A

O

r

B

E

D

F

A

_C

5. En la figura halle “x”

A)20° B)30° C)24° D)35° E)53°

6. Calcule la medida de uno de los ángulos internos de un trapecio isósceles, sabiendo que la medida del radio de la circunferencia que se inscribe en el, es la 1/16 de su perímetro.

A)110° B)120° C)135° D)150° E)160°

7. Si: a+b=6, calcular a2_+b

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 8. En la figura, calcular CH, si

BD=12m y la medida del arco BC es

igual a la medida del arco

CD A) 4m B) 5m C) 5,5m D) 6m E) 4,5m 9. Hallar “R”, si AB=9 y BC=12. A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22

10. En la figura A y C son puntos de

tangencia, la medida del arco AC es 140º, AB//NC y CD//MA. Calcular la medida del arco BD. A) 50º B) 20º C) 30º D) 60º E) 45º 11. En la figura m<ABT=76º, “B” es un punto de tangencia. Hallar la m<ADS

A)76° B)96° C)114° D)104° E)110°

12. En la figura A; B; C y D son puntos de tangencia. Hallar “x” A)36° B)45° C)25° D)30° E)20°

40

°

60°

x

A B C

a+3

b+1

A

B

_C

D

O

A H

r

M

_A

B

D

N

C

A

B

C

D

T

S

A C E F B D 2x 3x

C

A

B

P

O

_A

R

13. En la figura, T es punto de tangencia. Calcular la medida del ángulo TGM si la medida del ángulo ABT es 80º y la medida del arco MC es 30º.

A) 60° B) 50° C) 65° D) 55° E) 45°

14. En la figura mostrada, se cumple que: AT es perpendicular a TD, m<ABC=20º. Halle “x” A) 60° B) 50° C) 65° D) 55° E) 45° 15. En la figura: A, B, C, D, E y F son puntos de tangencia. Si la

m<APD=84º, hallar la medida del ángulo EGF.

A) 168° B) 134° C) 114° D) 118° E) 111°

CAPITULO 8

TEOREMA DE PONCELET, TEOREMA DE PITOT, CUADRILÁTERO

INSCRIPTIBLE, CUADRILÁTERO INSCRITO.

.

TEOREMAS RELACIONADOS A LA CIRCUNFERENCIA

1. Teorema de Poncelet :En todo

triángulo rectángulo, la suma de las medidas de los catetos es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita. a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )_{a + b = 2 ( R + r )} a b c r R R Inradio Circunradio

2. Teorema de Pitot : Si un cuadrilátero

está circunscrito en una circunferencia, la suma de las medidas de sus lados opuestos son iguales.

B

_M

A

C

T

G

C

A

D

T

B

x A C P G B D E F

a + c = b + d a + c = b + d d a b c Cuadrilátero circunscrito

3. Cuadrilátero inscriptible : llamamos

cuadrilátero inscriptible, a aquel cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia. Para que el cuadrilátero sea inscriptible, se debe cumplir cualquiera de las siguientes condiciones:

a) Sus ángulos opuestos deben de ser suplementarios:

b)

Sus diagonales deben formar con los

lados opuestos, ángulos congruentes

.

c) El ángulo interno mide igual al ángulo externo opuesto a el.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura AB=BC; halle “x” A) 71°

B) 72° C) 73° D) 74°

E) 75°

2. Hallar “x”, si: AB = 9u, BC = x, CD=12u y AD = 2x+3

A) 2u B) 3u C) 4u D) 5u E) 6u

3. Halle la suma de la hipotenusa y el inradio de un triángulo rectángulo ABC, si su semiperímetro es 20m. A) 10m B) 15m C) 20m D) 25m E)30m

α

α

A

B

C

D

50°

78°

102°

x

D B C A

20°

ø ø

a

a

P

Q

4. Del gráfico halle “R”. Si: AB=6u, BC=5u y DC=15u A)3 B)4 C)5 D)6 E)8

5. Según el gráfico , halle la m PQ

A)40° B)30° C)35° D)45° E)15°

6. En un trapecio ABCD (BC//AD) circunscrito a una circunferencia, en AD se ubica el punto M, tal que m<MCD=90°, MC//AB. Si BC=4u. Halle el inradio del triángulo MCD. A)2u B)3u C)4u

D)1u E)1,5u

7. En la figura a+b=250°. Halle “x” A)110°

B)120° C)130° D)140° E)100°

8. En el gráfico: AC=BC, m<ACB=60º, calcular “θ”. A)10° B)15° C)20° D)25° E)30°

9. Se tiene el trapecio isósceles de 10m de perímetro y circunscrito a una circunferencia. Hallar la mediana del trapecio.

A) 10m B) 5m C) 2,5m D) 3m E)4m

10. En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es 20u. Calcular la suma del inradio y del circunradio.

A) 20u B) 15u C) 10u

D) 5u E) 12u

11. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo si el radio de la circunferencia inscrita y la hipotenusa suman 12u.

A) 12u B) 24u C) 20u

D) 18u E)16u

12. En la figura, hallar “x+y”. Si AB=8u y AD=BC+CD

A) 8u B) 16u C) 12u D) 4u E)6u 13. En la figura hallar xº. A) 80º B) 60º C) 120º D) 100º E)90º a

x

b

A M N C B θ 5θ

x

D

y

C

B

A

80º

x

C R 37º D B A

14. Hallar PT, si P y T son puntos de tangencia.

A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 22

15. El radio de la circunferencia y el perímetro de um triángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferencia miden 3cm y 50cm respectivamente. Entonces, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo mide:

A) 44cm B) 22cm C) 11cm D) 12cm E)13cm

CAPITULO 9

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS: TEOREMA DE THALES,

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR. TEOREMA

DEL INCENTRO, TEOREMA DE MENELAO, TEOREMA DE CEVA.

TEOREMA DE PROPORCIONALIDAD:

Tres o más paralelas determinan en dos secantes cualesquiera segmentos proporcionales. 13 D P B A 6 T

COROLARIO DE THALES:

Si una recta paralela a un lado del triángulo intersecta a los otros dos lados en puntos distintos, determina sobre ellos segmentos proporcionales.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR DEL TRIÁNGULO:

Si, BE es bisectriz, entonces:

CE BC AE BA = CE AE BC BA BE2 = × − × TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR DEL TRIÁNGULO:

Si BE es bisectriz exterior, entonces:

CE BC AE BA = BC BA CE AE BE2 = × − ×

TEOREMA DEL INCENTRO:

Si I es incentro, entonces: BC AC AB IE AI ₌ + TEOREMA DE CEVA:

Si en un triángulo se trazan tres cevianas interiores concurrentes, se determinan

α α A C E B α α A C E B E I

sobre los lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes.

d f b c e a××=×× TEOREMA DE MENELAO:

Si se traza una recta transversal a los lados del triángulo, se determinan sobre dichos lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes.

AZ XB YC BZ CX AY× × = × × BQ RC PA CQ AR BP× × = × × EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si las rectas: L1// L2// L3. hallar “x”

A)5 B)6 C)4 D)7 E)10 2. Hallar BQ. Si QC=12; 3BP=2AP y la recta L//AC. A)9 B)8 C)7 D)12 E)10 L 1 L 2 L 3 x 9 12 8

A

C

P

Q

_L

B

3. Hallar “x”.Si: 2BE=7AE A)9 B)8 C)6 D) 12 E) 10

4. En el gráfico mostrado , si AP=3m y PC=2m. Calcule QC.

A)5m B)6m C)9m

D)4m E)10m

5. En un triángulo ABC, se ubica en incentro “I” sobre la bisectriz BM, de tal manera que: 3IB=2BM. Calcular AC si, si: AB+BC=24.

A)9 B)8 C)7 D)12 E)10

6. Si en la figura las rectas a//b//c. Hallar “x+y” A)30 B)28 C)33 D)36 E)42 7. En la figura, hallar “x” A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

8. Hallar AB. Si AD=DC; AQ=8m; QC=12m y BC=18m A)10m B)13m C)12m D)9m E)8m 9. En la figura, halle “x”

A)0,5u B)1,5u C)2u

D)1u E)2,5u

10. La razón de dos segmentos es 3/5. Si uno de ellos mide 8 cm. más que el otro, ¿cuánto mide el segmento menor?

A)11cm. B)9cm. C)12cm. D)8cm. E)13cm.

11. En la figura, halle la medida de CE

A)9u B)7u C)8u D)10u E)12u

12. Hallar en la figura AC

A

C

E

F

28

B

x

θ

θ

A C 12 9 x B 6 θ θ D a b c 4 12 x y 5 6 A B C Q D A B E D C 2 x ₃ ø ø

β

A

B

E

D

C

6

3

x

α

β

α

A C 8 6 θ θ F B 12 P A C Q

A)3B)4 C)5 D)6 E)7 13. En el triángulo ABC donde:

5 7

=

BC AB se traza la bisectriz interior BD. Si: AD=3,5; ¿cuánto mide DC? A)2,5 B)1,5 C)3 D)3,5 E)2

14. En un triángulo ABC, BD es bisectriz interior y “P” es el incentro. Si: 5BP=7PD y AB+BC=21, calcular AC.

A)10 B)19 C)14 D)12 E)15

CAPITULO 10

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. DEFINICIÓN. CASOS DE

SEMEJANZA.

SEMEJANZA

Definición: Dos figuras son semejantes si

tienen la misma forma, y tamaños distintos.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos respectivamente proporcionales.

Primer caso: Dos triángulos serán

semejantes si tienen 2 ángulos internos respectivamente de igual medida.

Segundo caso: Dos triángulos serán

semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados congruentes.

Tercer caso: Dos triángulos serán

semejantes, si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

Observaciones:

En dos triángulos semejantes, sus lados homólogos, así como sus elementos homólogos: alturas, bisectrices, inradios, circunradios, etc. son respectivamente proporcionales.

Si los triángulos: ABC y DEF son semejantes entonces se cumple:

K r R h H e b f c d a _{= = = = =......} EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Del gráfico calcular MC, si R=4, r=3, los puntos A,B,E y D son puntos de tangencia, además las circunferencias mostradas son ortogonales.

A)12 B)13 C)11 D)12 E)15 2. En el gráfico hallar “x”

α

β

_α

_β

α

_α

a b ak bk a c b ak ck bk

A

H

R

b

a

c

C

B

D

h

r

e

d

f

F

E

R A B D E M C r

A

B

_C

_D

E

9 X 12 18

A)10 B)13 C)13,5 D)14 E)16 3. Halle AC, si PQ=8m., BQ=12m. y AB=36m. A) 18m. B) 24m C) 26m D) 32m E) 30m

4. En la figura, ABCD es un rectángulo y APCQ es un romboide BP=2(PC) y BM=1. Calcule CD. A)2u B)3u C)4u D)5u E)6u 5. En la figura, hallar: y A)12 B)16 C)10 D)14 E)18 6. En la figura calcule “BC” si FB = 2; BE=1; ED = 3 y AD = 6. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. En la figura hallar “x” A)12 B)16 C)10 D)14 E)11

8. En la figura, hallar BC, si: BC=CD; AD=12u y AE=30u A)10u B)9u C)8u D)6u E)7u

9. Dos triángulos son semejantes, en uno de ellos sus lados miden 5u; 7u y 10u. Hallar el menor lado del otro triángulo sabiendo que su perímetro es de 66u.

A) 21 B) 30 C) 10 D) 20 E) 15

10. En la figura mostrada, hallar”x”. Si AC=10, PQ=6 y PQ//AC. A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

11. En la figura: BC=15. Hallar DC, si: G es baricentro del triángulo ABC y L es paralela a AB. A)5 B)10 C)7,5 D)8 A B C

ø

Q

P

ø

A B C D P M Q

α

α

B

A

C

D

3

a

2

a

y y+5

F

A

B

C

D

E

α

α

α

8

18

x

A

C

B

D

E

x

A

P

Q

C

B

D

L

G

C

B

A

E)9

12. A partir de la figura, hallar el radio de la circunferencia mayor donde: OC=5m, BC=4m. A)12m B)9m C)4m D)6m E)5m

13. En el triángulo ABC se trazan las alturas AD y CE tal que: AE=12, BE=3; BD=5. Calcular CD. A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

14. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AP, de modo que: m<BAP= m<BCA, BP=5 y PC=7. Calcular AB. A)√16 B) 2√15 C) √57

D)4√5 E) 8√3

15. Por el baricentro de una región triangular se traza una paralela a un lado, determinándose un triángulo parcial cuyo perímetro es 4. Calcular el perímetro del triángulo inicial.

A)12 B)9 C)8 D)5 E)6

16.Halle AC, si PQ=8m., BQ=12m. y

AB=36m.

A) 18m. B) 24m. C) 26m. D) 32m. E) 30m.

CAPITULO 11

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS

Y

TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS.

RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO:

O

C

B

A

A B C ø Q P ø

b

A

h

a

c

C

B

n

m

I. _b2_=a2_+c2 II. c2₌b.m III. a2₌b.n IV. n m a c ₌ 2 2 V. h.b=a.c VI. h2 ₌m.n VII. 2 2 2 1 1 1 h a c + = RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: I. TEOREMA DE EUCLIDES

Primer caso: En todo triángulo

oblicuángulo, el cuadrado de la longitud de un lado opuesto a un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos lados restantes menos el doble del producto de la longitud de uno de ellos con la proyección del otro sobre él.

bm c b a2 ₌ 2₊2₋2 bn b a c2 ₌ 2₊2₋2

Segundo caso: En todo triángulo

oblicuángulo, el cuadrado de la longitud de un lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de cuadrados de los lados restantes más el doble del producto de la longitud de uno de ellos con la proyección del otro sobre él.

bn c b a2 ₌ 2₊ 2₊2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En la figura , si : a2_{+ b}2 ₌ 9m2_{; halle MN} A)2m B)2,5m C)3m

b

A

h

a

c

C

B

n

m

b

A

h

a

c

C

B

n

A B C M N 2a 2b

D)3,5m E)4m

2. Hallar “PB”, si AB=3m., BC=2m.y AC=4m. (P es punto de tangencia)

A) 1,5m.

B)

0,75m. C) 0,25m. D)0,3m. E) 1.25m.

3. La base de un rectángulo es el triple de su altura, si su diagonal mide

6(10)1/2_{m. ¿Cuál es su perímetro?}

A)42m B)40m C)48m

D)36m E)30m

4. En el gráfico ABCD es un cuadrado, O y B son centros de la semicircunferencia y el arco AC respectivamente. Halle “x”

A)a/2 B)a/3 C)2a/5

D)a/4 E)a/5

5. En la figura halle la medida de “h”

A) (3(11)1/2_)/2 B) (2(11)1/2_)/3 C) (2(22)1/2_{)/3 D) ((22)}1/2_)/4 E) (3(33)1/2_)/2 6. En la figura ,hallar “x” A)5m B)6m C)7m D)8m E)9m

7. Dado el triángulo de lados: 3u, 5u y 6u. Calcule aproximadamente la proyección del lado que mide 5u sobre el mayor lado.

A)1,5u B)2,5u C)3u

D)3.5u E)4,3u

8. En la figura , las dos semicircunferencias son tangentes en A, BD=9m y EF=5m. Halle AC A) 25m. B) 24m. C) 30m. D)20m. E) 40m. 9. Calcule la longitud de la cuerda PQ si EP=4cm; QF=7cm (ABCD es un cuadrado). A) 3cm B) 5cm C) 6cm D) 4cm E) 7cm 10. En un triángulo rectángulo ABC, se ubica en AC el

punto P de modo que AP=1u, PB=3u y PC=5u. Calcule AB.

A)33√2u B)3√3u C)3√5u

D)1u E) 2√3u

11. En un rombo ABCD, se toma el punto medio M de BC, calcular la longitud de A B C P A

a

a

D B C

x

o E F A B C D P Q

5u

8u

9u

h

F A B _C E D B C A D 4m 9m x

un lado del rombo. Si AM=9u y MD=13u.

A)12u B)11u C)13u

D)10u E)14u

12. En un paralelogramo de lados 9u y 13u. Calcular la suma de los cuadrados de sus diagonales.

A)250u2 _{B)350 u}2

C)700 u2 _{D)600 u}2

E)500 u2

13. En el gráfico , halle AB, si BE=4u, DE=3u y AB=BC

A) √7u B) √6u C) 2√6u D)2√5u E) 2√7u

14. En la figura mostrada, calcule la longitud del lado del cuadrado ABCD, sabiendo que: 9 2 1 1 1 2 2 2 + _y +_z = x y 72 . .yz = x . A) 6 B) 8 C) 10 D) 9 E) 7

15. En un triángulo ABC de lados a, b y c se cumple que: _a2 _=b2_+c2_−bc 3_.

Halle la medida del menor ángulo interior del triángulo ABC.

A) 45° B) 30° C) 37° D) 53° E) 60°

CAPITULO 12

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA.

B A C D E

z

x

y

C

B

A

D

D

POLÍGONOS REGULARES

I. TEOREMA DE LAS CUERDAS

d c b a. =.

II. TEOREMA DE LAS SECANTES

AE AD AB

AC. = .

III. TEOREMA DE LA TANGENTE

AB AC AT2₌ .

IV. CUADRILÁTERO INSCRITO

d b c a y x. =. +. Ptolomeo _yx =_abad₊+_cdbc _Viette EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En una circunferencia, una cuerda

mide 12 cm y su respectiva flecha

mide 2cm. Halle la longitud del diámetro de la circunferencia a b c d A B C D E A T B C b c a y x d

A)16cm B)5cm C)10cm D)15cm E)20cm

2. Halle el valor de “x” en la figura , si

ABCD es un rectángulo.

A)25u B)26u C)18u

D)24u E)30u

3. Calcule la medida del radio de una

circunferencia , si desde un punto exterior P se trazan las secantes PAB y PCD tal que PB=10u; PA=6u; PC=4u y la medida del arco CD es de 60°

A)10u B)11u C)12u

D)16u E)18u

4. Halle la longitud del lado del

heptágono regular ABCDEFG, si AC=4m y AD=6m.

A)1m B)2m C)3m D)0,5m E)1,5m

5. En la figura A, P y T son puntos de

tangencia. Calcule AP, si R=3r y AT=2u.

A)2u B)3u C)4u

D)5u E)6u

6. Según el gráfico, calcule “R”,

si PL=3cm y AP=R A)10cm B)11cm C)12cm D)13cm E)15cm

7. En una circunferencia está inscrito

un triángulo equilátero ABC, se toma sobre la circunferencia un punto M de tal manera que AM=5m y MC=7m. Halle MB.

A) 3m B) 2m C) 1m D) 4m E) 5m

8. Se tiene un cuadrilátero inscrito en una circunferencia cuyas diagonales miden 6 y 10 unidades. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales, si se sabe que una de dichas diagonales es el diámetro de la circunferencia.

A) 2u B) 6u C) 3u

D) 10u E) 4u

9. En la figura mostrada, halle AC, si CD=DE=3, siendo E punto de tangencia.

A) 4 3 B) 6 3

C) 9 3

D) 12 3 E) 18 3

10. Si: AB=BC=CD, hallar AD, si: R=9 y r=7. A)4 B)8 C)12 D)9 E)15 C D x A B 3u 9u 16u P R r A T R _P A O B L

B

E

D

A

_C

B

A

C

_D

R

r

11. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 6. Hallar el lado del hexágono regular inscrito en el triángulo. A)√2 B) √3 C) √5 D)2√2 E)2√3 12. En la figura, calcular “x” A)60º B)53º C)75º D) 58,5º E) 67,5º

13. En una misma circunferencia, el cociente del perímetro del hexágono regular circunscrito entre el perímetro del hexágono regular inscrito, es de:

A)√3 B)2/3 C)√3/3 D)2√3/3 E)2√2

14. Si el lado del dodecágono regular

ABCDEFGHIJKL mide 6−3 3 m.

hallar la longitud AE. A)1m B)2m C)3m D)4m E)5m

15. Según el gráfico, r=3 y AP=TB=1 calcule:

( ) ( ) ( )

_PQ 2_{+ QR} 2_{+ PR} 2_.

A) 34 B) 50 C) 31 D) 68 E) 62

CAPITULO 13

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES

Q

T

_B

A

P

O r

R

l

8

l

₅

x

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR  Forma Básica 2 .h b A=  Fórmula de Herón ) )( )( (p a p b p c p A= − − − Donde: P: Semiperímetro.

ÁREA EN FUNCIÓN DE LOS RADIOS

 Con el Inradio r p A=. p: Semiperímetro  Con el Circunradio A ab_Rc 4 . . =

 Con los Exradios

a r a p A=( −) b r b p A=( −) c r c p A=( −) c b a r r r r A= × × × c b a r r r r 1 1 1 1 + + = P: Semiperímetro ÁREA DE LA REGION CUADRANGULAR  Paralelogramo

b

h

b

c

a

b

c

a

r

b

c

a

R

b

c

a

r

_a

b

h

h b A= ×  Cuadrilátero inscrito ) )( )( )( (p a p b p c p d A= − − − − Donde P: Semiperímetro  Trapecio ( ) 2 .h b a A= +  Cualquier Cuadrilátero α Sen d b A . 2 × = EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En el gráfico; T es punto de tangencia. Calcule el área de la región triangular

APT, si AP= PT; TC=6µ.

b

c

a

d

a

h

b

b

α

a

T

C

A

P

B

A) 6µ2 _{B) 12 3}µ2 _{C) 18 3}µ2 D) _24µ2 _{E) 18µ}2

2. Si el lado de un triángulo equilátero mide 4 2m. Halle la longitud de la

paralela a uno de los lados que divida al triángulo en dos figuras equivalentes.

A) 2 2m B) 4m C) 3m

D) 3 2m E) 2m

3. Halle el área de un triángulo ABC sabiendo que: AB=9µ; BC=10µ y

AC=11µ. A) _{30 2µ}2 _{B) 10 2µ}2 _C) 2 2 20 µ D) _{15 2}µ2 _{E) 18 2}µ2

4. La base de un triángulo mide 40cm. y su altura relativa es los 3/8 de dicha base. El área de la región triangular es:

A) 280cm2 _{B) 300cm}2

C) 350cm2 _{D) 400cm}2

E) 250cm2

5. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50cm. y donde un cateto es el doble del otro. Calcular el área de la región triangular.

A) 300cm2 _{B) 400cm}2

C) 500cm2 _{D) 350cm}2

E) 600cm2

6. Calcular el área de la región triangular, cuyos lados miden: 10m, 17m y 21m. A)96m2 _B)80m2 _C)92m2

D)84m2 _E)76m2

7. En el problema anterior, calcular el radio de la circunferencia inscrita.

A)2m B)3m C)2,5m

D)1,5m E)3,5m

8. En un triángulo ABC; AB=4u,

AC=9u y m<A=53º. Hallar el área de la región triangular.

A)14,4u2 _B)16u2 _C)12u2

D)8u2 _E)13u2

9. El triángulo BCD es equilátero.

Hallar el área de la región triangular ABC, si AB=5m y AD=13m.

A) 18m2

B) 16m2

C) 15m2

D) 12m2

E) 10m2

10. Calcular el área de un hexágono

regular inscrito en una circunferencia de 4 cm. de radio. A) 18√3cm2 B) 24√2cm2 C) 20cm2 D) 24√3cm2 E) 16√6cm2

11. En la figura, halle el área de la región sombreada si se sabe que ABCD es un cuadrado de lado 12m y además “M” es punto medio.

A) 12m2 _{B) 16m}2 _{C) 18m} 2

D) 20m2 _{E) 24m}2

12. En la figura, calcule el área de la región triangular ABC; si S= 16µ2_;

2(AF)=3(FC) y 4(BE)=3(EC). A) 30µ2 _{B) 35µ}2 _{C) 46µ}2 D) 70µ2 _{E) 72µ.}

A

C

B

D

A

B

C

M

D

S

A

B

E

C

F

13. En un triángulo rectángulo ABC recto en B; AB= 6µ, BC = 8µ. Calcule el área de la región triangular AIC, siendo I el incentro del triángulo ABC. A) 6µ2 _{B) 20µ}2 _{C) 5µ}2

D) 10µ2 _{E) 15µ}2_.

14. En la figura, AE = DC y ED = 3. Calcule el área del cuadrante AOB si D es punto de tangencia.

A) π/2 B) π C) 3π D) 3π/2 E) 2π

15. En la siguiente figura, AB=6µ,

CD=1µ y ED=2 2µ. Calcule el área

de la región triangular EBC.

A) 7,5µ2 _{B) 9µ}2 _{C) 12 3µ}2

D) 6µ2 _{E)4 2µ}2_.

CAPITULO 14

ÁREAS DE REGIONES CURVAS

I. SECTOR CIRCULAR

2

θ

θ

A

B

C

D

E

O

A

E

D

B

C

R

α º

O

R

º 360 2 R As απ =

II. SEGMENTO CIRCULAR

AOB triángulo AOB circular tor A A A=sec −

III. FAJA O ZONA CIRCULAR

Si: AB//CD CD circular seg ACDB circular seg A A A= . − .

IV. CORONA O ANILLO CIRCULAR

) (_R2 _r2 S=π − V. TRAPECIO CIRCULAR 360 ) ( 2 2_α π R r S= − EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura mostrada, (AP)(PB)=6m2_.

Calcule el área de la corona circular.

A) 5πm2_{. B) 6πm}2_{. C) 8πm}2_. D) 9πm2_{. E) 10πm}2_.

R

α º

O

R

A

B

D

B

C

O

A

O

S

R

r

α

r A O B R S

A

B

P

2. Halle el área sombreada de la figura, si “A” es el centro del sector circular

DAC, además AC = AD=8µ y

mBC=90°. A) 4(π+2) B) 8(π-2) C) 4(π-1) D) 2(π+4) E) 4(π-2)

3. Por un punto A, exterior a una

circunferencia de radio R, se trazan las tangentes AM y AN de modo que el ánguloMAN mide 60º. Calcule el área de la región limitada por el arco MN y los segmentos MA y NA.

A)     − 3 3 2 π R B) 2 3 2 R C)

(

3−π

)

2 2 R D) _R2

(

2−π

)

E) 2_π 2 2 R 4. En la figura mostrada; P,Q,R,S,T y N son puntos de tangencia. Halle el área del círculo más pequeño.

A) 2π B) 6π C) 4π D) 3π E) 5π

5. Del gráfico, calcule el área de la región sombreada, si O es centro y CO=OD=4.

A) 2π B) 3π C) 4π D) 6π E) 5π

7. En la figura se muestra una circunferencia de centro O y radio 6u. Calcular el área de la región achurada, sabiendo que la suma de las medidas de los arcos AB y CD es igual a 60° (A,B,C y D son puntos de tangencia)

A)2πu2 _B)3πu2 _C)4πu2

D)5πu2 _E)6πu2

8. En la figura las circunferencias se interceptan de modo que el ángulo ADC mide 30° y PC=4cm. Calcular el área de la región sombreada

A) (8π-12(3)0.5_{)/3 cm}2 B)(7π-12(3)0.5_{)/2 cm}2 C) (6π-12(3)0.5_{) cm}2 D) 5π-12(3)0.5_cm2 A B D C o A _P D C B

A

B

D

C

A

C

D

B

O

•

3

P

₆

Q

S

R

T

N