100412_237 TRABAJO FASE 3

F

FASE 1: ASE 1: PLANIFICACIÓNPLANIFICACIÓN

LENNIS

LENNIS YYAJAIRA AJAIRA LEAL LEAL 1.1201.120.499..499.756756

YUDIBETH

YUDIBETH GONALE GONALE ROJAS ROJAS 1.120.500.!!71.120.500.!!7

JENNY

JENNY CACATHERINE THERINE RODRIGUE RODRIGUE AL"ANA AL"ANA 1.121.##1.1071.121.##1.107

"ARIA JOSE "ARTINE BARBOSA 1.0!0.646.057

"ARIA JOSE "ARTINE BARBOSA 1.0!0.646.057

GRUPO: 100412$2!7

GRUPO: 100412$2!7

TUTOR:

TUTOR:

DIEGO FRANCISCO "ARTINE

DIEGO FRANCISCO "ARTINE

UNI%ERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA&UNAD

UNI%ERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA&UNAD

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

2016

INTRODUCCION

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo nos permite afianzar y aplicar los conocimientos adquiridos durante el

En el siguiente trabajo nos permite afianzar y aplicar los conocimientos adquiridos durante el

 proceso de formación de la unidad 3. Es

 proceso de formación de la unidad 3. Estudio de series y funciones especiales: tudio de series y funciones especiales: GeneralidadesGeneralidades

del estudio de series,

del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias,serie de potencias,

Funciones especiales y series matemticas entre otras.

Funciones especiales y series matemticas entre otras.

OBJETI%OS

INTRODUCCION

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo nos permite afianzar y aplicar los conocimientos adquiridos durante el

En el siguiente trabajo nos permite afianzar y aplicar los conocimientos adquiridos durante el

 proceso de formación de la unidad 3. Es

 proceso de formación de la unidad 3. Estudio de series y funciones especiales: tudio de series y funciones especiales: GeneralidadesGeneralidades

del estudio de series,

del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias,serie de potencias,

Funciones especiales y series matemticas entre otras.



 !plicar los conocimientos adquiridos durante la unidad tres.!plicar los conocimientos adquiridos durante la unidad tres. 

 !plicar y conocer los estudios de series y funciones especiales:!plicar y conocer los estudios de series y funciones especiales:

"onocer las gener

"onocer las generalidadalidades del estudio de series, es del estudio de series, solucisolución de ecuaciones difereón de ecuaciones diferencialencialess

mediante serie

mediante serie de potencias, de potencias, Funciones especiales Funciones especiales y otras.y otras.

 DESARROLLO DE

P'()*'+ +,-((/+/ I/((/+:

3TE"S DE SELECCIÓN "LTIPLE CON NICA RESPUESTA

! continuación, usted encontrar preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o conte#to, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al $tem planteado entre cuatro identificadas con las letrasA, B, C, D. %na &ez la seleccione, mrquela con un ó&alo la que corresponda y justifique la respuesta.

'esponda las preguntas ( y ) con base a la siguiente información.

1. U )-/ +-*'+-( +'+ 8++' ,(* , *'(* /* -*,(+ /* *,+,(* /(*'*,(+* ,):  p( x) ´ y+q( x) ´ y+r( x) y=0 ; +'*/*/' /*  - '/(+'( < =

0 * * método de la serie de Taylor. E-* )-/ +  +'* /* + /*'(+/+ *++/+ * * - '/(+'(;  ,+* * >-(** /* + *,+,(? /(*'*,(+ ' /(*'*,(+,(? ,*(+. C+/ * *,*-'+ + /*'(+/+; +) *@ + *<+(? * *'(* /* T+'

 y( x)= y(a)+ ´ y(a) ( x−a)+ ´ y(a)( x−a)

2

2 ! + ⃛

 y(a)( x−a)3 3! +…

*ando la solución requerida. "onsiderando lo anterior, la solución para la ecuación ´

 y= x+ y+1  es:

!. y ( x)=c+(c+1) x+(c+2) x 2 2! + (c+2) x3 3! +… +. y( x)=c+(c−1) x+(c−2) x 2 2! + (c−2) x3 3! +… ". y( x)=c+(c+1) x+(c+5) x 2 2 ! + (c+5) x3 3! +… *. y( x)=c−(c+1) x+(c−2) x 2 2 ! + (c−2) x3 3 ! +…

Solución:  y´ = x+ y+1  y´ − y− x−1=0  y´ =

∑

n=1 ∞ n a_n xn−1; y_( x)=

∑

n=0 ∞ a_n xn

'eemplazo en la Ec. *if.

∑

n=1 ∞ n a_n xn−1−

∑

n=0 ∞ a_n xn− x−1=0

(

1. a₁+2 a₂ x+3 a₃ x2+4 a₄ x3

)

−

(

a₀+a₁ x+a₂ x2+…

)

− x−1=0

(

a1−a0−1

)

+

(

2a2−a1−1

)

 x+

(

3a3−a2

)

 x 2 +

(

4a4−a3

)

 x 3 =0

(

a₁−a₀−1

)

=o → a₁=a₀+1 a₁−a₀−1=0 → a₁=a₀+1 2 a₂−a₁−1=0 → 2 a₂=a₁+1 → a₂=a0+1+1 2 = a₀+2 2 a (¿¿0+2) 2 = a0+2 3 ! 3 a3−a2=0 → a3= 1 3 a2= 1 3 ¿ a (¿¿0+2) 3 ! = a0+2 4 ! 4 a4 – a3=0 → a4= 1 4 a3= 1 4 .¿  y( x)=a0+a1 x+a2 x 2₊ a3 x 3₊ a4 x 4  y_( x)=a₀+

(

a₀+1

)

 x+

(

a0+2

)

2 ! x 2₊(a0+2) 3 ! x 3₊(a0+2) 4 ! x 4 … …. .

R-+ L+ *,+,(? '**'(/+ +'+ * **',(,( * + A.

2. A *)*+' * )-/ /* *'(* /* -*,(+; + ,(? /* '>*)+ /* +' ((,(+ /* + *,+,(? /+/+  y´−2 x ´ y+8 y=0 ; con y(0)=3, ´ y(0)=0

es: !. y=3+12 x2+4 x3 +. y=3−12 x2+4 x4 ". y=3+12 x2+3 x3 *. y=3−12 x2+3 x4 R*(*/

 y -2xy'+8y=0; con y left (0 right ) =3, y' left (0 right ) =

C(/*'+/:

 y=

∑

n=0

∝

C _n xn

n C _n xn−1, y = s! fro! "n=2# to " # "n left (n-1 right ) "$# rs% "n# "x# & "n-2##∝

 y ' =

∑

n=1

∝

∑

n=2 ∝ n(n−1)C _n xn−2−2 x

∑

n=1 ∝ n C _n xn−1+8

∑

n=0 ∝ C _n xn=0 R**,'(>(*/ + E.D

∑

n=2 ∝ n(n−1)C _n xn−2−2

∑

n=1 ∝ nC _n xn+8

∑

n=0 ∝ C _n xn=0 S(: k =n−2 k =n k =n k =0 k =1 k =0 n=k +2 n=k n=k  REE"PLAANDO :

∑

k =0 ∝ (k +2) (k +2−1)C _k +2 xk +2−2−2

∑

k =1 ∝ k C _k  xk +8

∑

k =0 ∝ C _k  xk =0

∑

k =0 ∝ (k +2) (k +1)C _k +2 xk −2

∑

k =1 ∝ k C _k  xk +8

∑

k =0 ∝ C _k  xk =0 L*@: (2) (1)C ₂ x0+8 c₀ x0+

∑

k =1 ∝ (k +2) (k +1)C _k +2 xk −2

∑

k =1 ∝ kC _k  xk +8

∑

k =1 ∝ C _k  xk =0 2C ₂+8 c₀+

∑

k =1 ∝ (k +2) (k +1)C _k +2 xk −2

∑

k =1 ∝ kC _k  xk +8

∑

k =1 ∝ C _k  xk =0 2C ₂+8 c₀+

∑

k =1 ∝

[

(k +2) (k +1)C _k +2−2kC _k +8 C _k 

]

 xk =0

I@++/ + E<'*(* + 0: 2C ₂+8 c₀=0=¿C ₂=−4 c₀ (k +2) (k +1)C _k +2−2 kC _k +8 C _k =0 D**+/ C _k +2 C _k +2=2 kC k −8 C k  (k +2) (k +1) Si, c₀=1 , c₁=0, K =1,2,3 … c₀₊₂=−2(0)c0−8 c0 (0+2) (0+1) = −8(1) 2 =−4=C 2 c₁₊₂=−2(1)c1−8 c1 (1+2) (1+1) = 2(0)−8(0) (3) (2) =0=C 3 c₂₊₂=−2(2)c2−8 c2 (2+2) (2+1) = −4 c₂ (4) (3)= −4(−4) (4) (3) =  4 3=C 4 c₃₊₂=−2(3)c3−8 c3 (3+2) (3+1) = −2 c₃ (5) (4)= −2(0) 20 =0=C 5

c₄₊₂=−2(4)c4−8 c4 (4+2) (4+1) = −0 c₄ () (5)=0=C   y1=c0+c1 x+c2 x 2₊ c3 x 3₊ c4 x 4 … …  y₁=1+(0) x−4 x2+(0) x3+4 3 x 4  y₁=1−4 x2+4 3 x 4 Si, c₀=0 , c₁=1, K =1,2,3 … c₀₊₂=2(0)c0−8 c0 (0+2)(0+1)= −8(0) (2)(1)=0¿C 2 c₁₊₂=2(1)c1−8 c1 (1+2)(1+1)= 2(1)−8(1) (3)(2) = −  =−1¿C 3 c₂₊₂=2(2)c2−8 c2 (2+2)(2+1)= 4(0)−8(0) (4)(3) = 0 12=0¿C 4 c₃₊₂= 2(3)c3−8 c3 (3+2)(3+1)= (−1)−8(−1) (5)(4) =  2 20= 1 10 ¿C 5 c₄₊₂=2(4)c4−8 c4 (4+2)(4+1)= 8(0)−8(0) ()(5) = 0 30=0¿C 

 y2=c0+c1 x+c2 x 2₊ c3 x 3₊ c4 x 4 … …  y₂=0+(1) x+(0) x2−(1) x3+(0) x4+ 1 10 x 5₊ … …  y₂= x− x3+ 1 10 x 5₊ … L+ ,(? @**'+ /* + E.D *- /+/+ ':

 y=c₁+ y₁+c₂ y₂

E-,*:  y=c₁

(

1−4 x2+4 3 x 4

)

+c₂

(

 x− x3+ 1 10 x 5₊ …

)

D*'(+/:  y ' =c₁

(

−8 x+1 3 x 3

)

₊ c₂

(

1−3 x2+1 2 x 4₊ …

)

E++/ y y y '  *@ + ,/(,(*  y (0)=3, y' (0)=0  y(0)=c₁

(

1−4(0)2+ 4 3 (0) 4

)

+c₂

(

0−(0)3+ 1 10 (0) 5₊ … .

)

=3 c₁=3

 y '  (0)=c₁

(

−8(0)+1 3 (0) 3

)

+c₂

(

1−3(0)2+1 2(0) 4₊ … .

)

=0 c₂=0 R**)++/ c₁ y c₂ * + ,(? @**'+ /* E.D  y=3

(

1−4 x2+4 3 x 4

)

₊ 0

(

 x− x3+ 1 10 x 5₊ … .

)

 y=3−12 x2+4 x4 RESPUESTA : B !. U-((+/ * )-/ /* *'(* /* -*,(+; + ,(? +'+ + *,+,(? /* *@/ '/* d 2  y d x2+ x  dy dx+ y=0 *: !. y=

∑

n=0 ∞ (−1)n c0 x 2 n 2.4 ...(2n)+

∑

_n=0 ∞ ₍₋ 1)nc1 x 2 n+1 1.3.5..(2 n+1) +. y=

∑

n=0 ∞ (1)n c0 x 2 n 2.4...(2 n)−

∑

n=0 ∞ ₍₋₁₎n c1 x 2 n+1 1.3.5..(2 n+1) ". y=

∑

n=0 ∞ (−1)n c0 x 2 n 2.4 ...(2n)+

∑

_n=0 ∞ ₍ 1)nc1 x 2 n+1 1.3.5..(2 n+1) *. y=

∑

n=0 ∞ (1)n c0 x 2 n 2.4...(2 n)−

∑

n=0 ∞ ₍ 1)nc1 x 2 n+1 1.3.5..(2 n+1) S,(+/: d2 y d x2+ x  dy dx+ y=0  y + xy' +y =

C(/*'+/  y=

∑

n=0 ∝ C _n xn n C n x n−1

, y = s! fro! "n=2# to " # "n left (n-1 right ) "$# rs% "n# "x# & "n-2##∝

 y ' =

∑

n=1 ∝ ¿ Sustituyendo en la E.*

∑

n=2 ∝ n(n−1)C _n xn−2+ x

∑

n=1 ∝ n C _n xn−1+

∑

n=0 ∝ C _n xn=0

∑

n=2 ∝ n(n−1)C _n xn−2+ x

∑

n=1 ∝ n C _n xn+

∑

n=0 ∝ C _n xn=0 Si: k =n−2 k =n k =n k =0 k =1 k =0 n=k +2 n=k n=k  'EE-!/!0*1 n:

∑

k =0 ∝ (k +2) (k +2−1)C _k +2 xk +2−2+

∑

k =1 ∝ k C _k  xk +

∑

k =0 ∝ C _k  xk =0

∑

k =0 ∝ (k +2) (k +1)C _k +2 xk +

∑

k =1 ∝ k C _k  xk +

∑

k =0 ∝ C _k  xk =0 (2) (1)C ₂ x0+c₀ x0+

∑

k =1 ∝ (k +2) (k +1)C _k +2 xk +

∑

k =1 ∝ kC _k  xk +

∑

k =1 ∝ C _k  xk =0 2C ₂+c₀+

∑

k =1 ∝

[

(k +2) (k +1)C _k +2+k C _k +C _k 

]

 xk =0 2C ₂+c₀=0 C ₂=−c0 2 (k +2)(k +1)C _k +2+k C _k +C _k =0 C _k +2= −C k (k +1) ( K +2)(k +1) C _k +2=−C k  k +2 Si, c₀=1 , c₁=0, K =1,2,3 … c₀₊₂=−c0 0+2= −c₀ 2 =C 2=¿C 2=− 1 2

c₁₊₂=−c1 1+2= −c₁ 3 =¿C 3=0 c₂₊₂=−c2 2+2= −c₂ 4 = 1 2 4 1 =1 8=C 4 c₃₊₂= −c3 3+2= −c₃ 5 =C 5=0 c₄₊₂=−c4 4+2= −1 8  =− 1 48 = x  y₁=c₀+c₁ x+c₂ x2+c₃ x3+c₄ x4… …  y₁=1 .−1 2 x 2₊1 8 x 4₋ 1 48 x ₊ …  y₁=

∑

n=0 ∝ (−1)n. c0 x 2 n 2,4, …(2 n) Si, c₀=0 , c₁=1, K =1,2,3 … c₀₊₂=−c0 0+2= −c₀ 2 =C 2=0 c₁₊₂=−c1 1+2=− 1 3 =C 3

c₂₊₂=−c2 2+2=− 0 4 =0=C 4 c₃₊₂=−c3 3+2=− 1 3 .− 1 5= 1 15¿C 5 c₄₊₂=−c4 4+2=− 0 8 =0=C  c₅₊₂=−c5 5+2=− 1 15 . 1 = − 1 105 ¿C   y₂=c₀+c₁ x+c₂ x2+c₃ x3+c₄ x4… …  y₂= x−1 3 x 3 + 1 15 x 5 +… …. .  y₂=

∑

n=0 ∝ (−1)n. c1 x 2 n+1 1,3,5 …(2 n+1)  y=

∑

n=0 ∝ (−1)n. c0 x 2 n 2,4, …(2 n)+

∑

n=0 ∝ (−1)n. c1 x 2 n+1 1,3,5 …(2 n+1) R**-+ A

4. L+ ,(? /* + *,+,(?:  y´−e− x y=0, y (0)= ´ y(0)=1 -*(*/ * ,*-+ +

,/(,(? ((,(+* <=0  -((+/ + *'(* /* "+,+'( *: !. y( x)=1+ x+ x 2 2!−  x5 5 !+…

+. y( x)=1− x− x 2 2!+  x5 5 !+… ". y( x)=1+ x+ x 3 3 !−  x5 5!+… *. y( x)=1+ x+ x 2 2!−  x !+…

2eniendo en cuenta para una función f  ( x)  la serie de aclaurin esta dada por:

∑

n=0 ∞ f  n(0) n ! x n₌ f  (0)+f ' (0) x+f   ' ' ₍ 0) 2 ! x 2₊f  ' ' ' ₍ 0) 3 ! x 3₊ . …+f  n₍ 0) n ! x n

Solucionamos de la ecuacion planteada:

 y ' ' ( x)=e− x y( x)

! continuación tenemos  x=0  y (0)=1, y' (0)=1   se tiene:

 y ' ' (0)=e−0 y(0)

 y' ' (0)=1×1=1

Se deri&a  y ' ' ( x)=e− x y( x)

 y' ' ' ( x)=e− x y' ( x)−e− x y( x)  y' ' ' 

(0)=e−0 y' (0)−e−0 y(0)

 y' ' ' (0)=1 ×1−1 ×1=0

 yiv( x)=e− x( y' ' ( x)− y' ( x))−e− x( y' ( x)− y( x))

 yiv(0)=e−0( y' ' (0)− y' (0))−e−0( y' (0)− y(0))

 yiv(0)=1(1−1)−1(1−1)=0

Se deri&a  yiv( x)=e− x( y' ' ( x)− y' ( x))−e− x( y' ( x)− y( x))

 yv( x)=e− x( y' ' ' ( x)−2 y' ' ( x)+ y' ( x))−e− x( y' ' ( x)−2 y' ( x)+ y( x))

 yv(0)=e−0( y' ' ' (0)−2 y' ' (0)+ y' (0))−e−0( y' ' (0)−2 y' (0)+ y(0))

 yv(0)=1

(

0−2(1)+1

)

−1

(

1−2(1)+1

)

=−1

sustituimos los &alores en la fórmula la serie de aclaurin:

 y( x)= y(0)+ y' (0) x+ y

' ' ₍ 0) 2 ! x 2 + y ' ' ' ₍ 0) 3 ! x 3 +. …+ y n₍ 0) n ! x n  y( x)=1+(1) x+ 1 2 ! x 2₊ 0 3 ! x 3₊ 0 4 ! x 4₊(−1) 5 ! x 5₊ . …  y( x)=1+ x+ x 2 2!−  x5 5 !+. … 'ES-%ES2!: !

5. P+'+ + *,+,(? /(*'*,(+  y´+ P( x) ´ y+Q( x) y=0, ( * /**+ +>*' *

t =1  x , edecir x → ∞⇒t → 0 . T*(*/ * ,*-+ * ,,*- +-*'('  - * * (((- +'+ + *,+,(? /(*'*,(+ /* E*'; ´  y+4  x ´ y+  2  x2 y=0 , son:

!. 4 en el infinito es un punto singular regular con e#ponente ( y )

+. 4 en el infinito es un punto singular irregular con e#ponente ( y )

". 4 en el infinito es un punto singular regular con e#ponente ) y 5

*. 4 en el infinito es un punto singular irregular con e#ponente ) y 5

SOLUCIÓN:

Se realiza el "ambio de &ariable para saber el comportamiento en el infinito es decir 6 7

  6 8. *e la ecuación diferencial de Euler.

dy 2 dx 2 +4 x dy dx+ 2  x 2 y=0 t =1  x → dt =− 1  x2 dx→dx=− dt  t 2 d dx

(

dy dx

)

+ 4  x dy dx+  2  x2 y=0

−t 2 d dt 

(

t  2 dy dt 

)

−4 t  3dy dt  +2 t  2₌ 0 t 4d 2  y d t 2 −2t  3dy dt  +2t  2₌ 0 d2 y d t 2 − 2dy t dt + 2 t 2 y=0 "omo  p(t )=−t  2 q(t )= 2

t 2  no son diferenciables en t =0 , t =0  es un punto singular 

 p' (t )=(t −0) p(t )=−2 y q ' (t )=(t −0)2 q(t )=2

"omo  p' (t ) y q ' (t )  Son diferenciales en t =0, t =0  es un punto singular regular. -ara

obtener los e#ponentes usamos:

r(r−1)+rp 0+q 0 *onde  p=li! t → 0  p ' (t )¿−2 q=li! t → 0 q ' (t )=2

*onde se obser&a que r=1 " r=2  lo que implica que  9 8. -ero como t =1 x  , cuando

t =0⇒ x → ∞  Es un punto singular regular con e#ponente ( y ).

3TE"S DE SELECCIÓN "LTIPLE CON "LTIPLE RESPUESTA

Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o conte#to a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de ( a 5, usted deber seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la oja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: "+'* A ( 1  2  ,''*,-+. "+'* B ( 1  !  ,''*,-+. "+'* C ( 2  4  ,''*,-+. "+'* D ( !  4  ,''*,-+. 7. S* /(,* * < = + *  - '/(+'( /* + E,+,(? D(*'*,(+.   P K<  MK< = 0; ( P K<  MK<  ++-(,+ * < = +; * /*,('; ( P K<  MK< * */* *<+/(' * *'(* /* -*,(+ /* <  + ,  '+/( /* ,*'@*,(+ (-(. S(  -  * '/(+'( * /(,* * * (@+'.

2eniendo en cuenta el concepto anterior, los puntos ordinarios y singulares de la ecuación diferencial

(

 x2−4

)

 ´ y+2 x ´ y+3 y=0  son:

(. # =$2  -untos Singulares

). # % $2  -untos 1rdinarios

3. # =$ 4  -untos 1rdinarios

5. # % $ 4  -untos Singulares

(

 x2−4

)

 ´ y+2 x ´ y+3 y=0  # 2−4=0

−¿2

+¿ ¿

 # =¿

−¿2 on p&nto in&(are

+¿ ¿

 # =¿

−¿2 on p&nto ordinaria

+¿ ¿

 # %=¿

'ta: ;)<  # % $2  Puntos Ordinarios

9. L - (@+'* /* + *,+,(? /(*'*,(+:

(

t 2−t −2

)

 ´ x+(t +1) ´ x−(t −2) x=0 : (. # =−1 ). # =2 3. # =1 5. # =−2 'ES1=>E0*1:

(

t 2−t −2

)

 x´+(t +1) ´ x−(t −2) x=0 t 2−t −2=0 a=1

)=−1 c=−2 +¿ −¿√ )2−4 ac 2 a )¿  x=¿ +¿ −¿√ (−1)2−4(1)(−2) 2(1) 1¿  x=¿ +¿ −¿*) 2 1¿  x=¿  x=1+3 2  # ₁=1+3 2 = 4 2=2  # 2= 1−3 2 =− 2 2 =−1 '2!: (. # =−1 ). # =2

10. S+>(*/ * * -*'*)+ /* F'>*( /(,*: S(  x= x_{0  *  - (@+' '*@+'}

/* + *,+,(? /(*'*,(+ '/(+'(+ a₂( x) ´ y+a₁( x) ´ y+a₀( x) y=0 ; *-,* *<(-* + )* + ,(? * *'(* /* + ')+:

 y=

∑

n=0 ∞

C _n( x− x₀)n+r

*onde r es una constante a determinar.

Esta serie con&erge en un inter&alo de la forma 0< x− x₀< +

"onsiderando lo anterior, para la ecuación 4 x ´ y+2 ´ y+ y=0 , las dos soluciones en serie de

Frobenius son: (. y 1=cos√  x ). y 2=en√  x 3. y 2=−cos√  x 5. y 1=−en√  x *esarrollo:

4 xy ´ ´ +2 y ´ + y=0

4 x d

2

 y d y2+2

dy

dx+ y=4 xy´ ´ +2 y ´ + y=0

%tilizamos la solución de la forma:

 y( x)=

∑

k =0 ∞

 !ora realizamos la sustitución y reordenamos:

(

4 2−2 

)

 ₀ x−1+

∑

k =1 ∞

[

(

4(k +−1) (k +)+2(k +)

)

 _k + _k −1

]

 xk +−1=0

%tilizamos los primeros t?rminos para satisfacer la ecuación inicial:

4 2−2 =

(

−1

2

)

=0

-ara llegar a la solución debemos primero obtener dos soluciones lineales independientes en la forma de la serie Frobenius:

₁=1

2, 2=0

k =¿− k −1

[

4(k +−1)+2

]

(k +)  _¿

'esol&emos la primera solución:

=₁=1 2 k =¿− k −1 4k 2+2k   _¿ −1¿k  ¿ ¿ ¿ ¿  ₁=− 0  , 2= − ₁ 20 = ₀ 120 …

"ontinuamos con la segunda solución: =₂=0 k =¿− k −1 4 k 2−2 k   _¿ −1¿k  ¿ ¿ ¿ ¿  ₁=− 0 2 , 2= − ₁ 12 =  ₀ 24 …

as soluciones indi&iduales tienen la forma:

−1¿k  ¿ ¿ ¿  y₁( x)= x 1 2

∑

k =0 ∞ ¿ −1¿k  ¿ ¿ ¿  y₂( x)= x 1 2

∑

k =0 ∞ ¿  0os queda:

 x  x

√ ¿+¿

√ ¿+¿c₂cos¿

 y( x)=c₁ y₁( x)+c₂ y₂( x)=c₁en¿

CONSOLIDADO ACTI%IDAD INDI%IDUAL

1 ! !'@! A1SB !'2@0E/ +!'+1S!

2 + AE00C "!2DE'>0E '1*'>G%E/

!!0/!

! ! AE00C "!2DE'>0E '1*'>G%E/_!!0/!

4 ! !'@! A1SB !'2@0E/ +!'+1S!

5 ! E00>S C!A!>'! E! %''EG1

6

7 ) E00>S C!A!>'! E! %''EG1

#

9 'espuesta ( y )

 ! C%*>+E2D G10/!E/ '1A!S

10 F!2! 'ES-%ES2! E00>S C!A!>'! E! %''EG1 

DESARROLLO DE LA PRI"ERA ACTI%IDAD GRUPAL

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respecti&os en el foro colaborati&o con el fin de reconocer las caracter$sticas del problema que se a planteado y buscar  el m?todo de solución ms apropiado segn las ecuaciones diferenciales de primer orden.

P'>*)+:

Si tenemos en cuenta que la carga  en el capacitor de un circuito '" queda descrita por:

 -´q(t )+ +q´(t )+ 1

C  q(t )= (t ) , donde  es la >nductancia, ' la resistencia, " la capacitancia y E

la fuente de &oltaje. "omo la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que

 +(t )=1+ t  10 / .

0i -=0,1 1enrio,C =2 faradio, (t )=0, q(0)=10 co&(o2) y ´q(0)=0 

*etermine al menos los primeros cuatro t?rminos no nulos en un desarrollo en serie de potencias en torno a t9 8 para la carga del capacitor.

"onsideramos la ecuación:

∑

∞

*eri&amos:

Sustituimos:

∑

n=2 ∞ n(n−1)C _nt n−2+(10+t )

∑

n=1 ∞ nC _nt n−1+5

∑

n=0 ∞ C _nt n=0

∑

n=2 ∞ n(n−1)C _nt n−2+

∑

n=1 ∞ 10 nC _nt n−1+

∑

n=1 ∞ nC _nt n+

∑

n=0 ∞ 5 C _nt n=0

Se tiene en cuenta para la primera sumatoria k =n−2

k =n−1  para la segunda sumatoria k =n en las dos ltimas sumatorias.

k +1 ¿C  ¿ ¿k +1t k +1−1 10¿

∑

k =0 ∞ (k +2)(k +2−1)C _k +2t k +2−2+

∑

k =0 ∞ ¿ k +1 ¿C  ¿ ¿k +1t k  10¿

∑

k =0 ∞ (k +2)(k +1)C _k +2t k +

∑

k =0 ∞ ¿

k +1 ¿C  ¿ ¿k +1 t k  10¿ (0+2)(0+1)C ₀₊₂t 0+10(0+1)C ₀₊₁t 0+5C ₀t 0+

∑

k =0 ∞ (k +2)(k +1)C _k +2t k +

∑

k =0 ∞ ¿ k +1 ¿C  ¿ ¿k +1t k  10¿ 2C 2+10C 1+5C 0+

∑

k =1 ∞ (k +2)(k +1)C _k +2t  k ₊

∑

k =1 ∞ ¿ k +1 ¿C  ¿ (k +2)(k +1)C _k +2+10¿t k  ¿ ¿ 2C ₂+10C ₁+5 C ₀+

∑

k =1 ∞ ¿ 1btenemos: 2C ₂+10 C ₁+5 C ₀=0  ;(< k +1 ¿C  ¿ (k +2)(k +1)C _k +2+10¿  ;)< Se establece: C 0=q(0)=10 C 1=q ' ₍ 0)=0

C ₂=−10∗0−5∗10 2

C ₂=−25

*e la ecuación ) aciendo k =1  se obtiene

1+1 ¿C  ¿ (1+2)(1+1)C ₁₊₂+10¿  C ₃+20 C ₂+ C ₁=0  C ₃+20∗−25+∗0=0 C ₃=250 3

uego aciendo k =2  se tiene

2+1 ¿C  ¿ (2+2)(2+1)C ₂₊₂+10¿ 12C ₄+30 C ₃+ C ₂=0 12C ₄+30∗250 3 +∗−25=0

C ₄=−5 4 q(t )=C ₀+C ₁t +C ₂t 2+C ₃t 3+C ₄t 4+. … . q(t )=10+0 t −25 t 2+250 3 t  3 −5 4 t  4 +. …. q(t )=10−25 t 2+250 3 t  3 −5 4 t  4 +.

SEGUNDA ACTI%IDAD GRUPAL:

Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborati&a deben e&aluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas

utilizadas, resaltando en otro color los aportes e#tras a la solución. Si el grupo considera que el  proceso yo respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la obser&ación y corrección al error

o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes e#tras a la solución. Situación y solución planteada:

Enunciado y solución planteada:

a solución de la Ecuación *iferencial con coeficientes no polinomiales

%sando la serie de aclaurin para , junto con la suposición usual  y=

∑

n=0 ∞ C _n xn4ene2o q&e * ´

 y+(enx) y=

∑

n=2 ∞ n(n−1)C n x n−2₊

(

1− x 2 2 !+  x4 4 !−  x  !+…

)

∑

_n=0 ∞ C n x n O>*'+,(?:

"onsidero que el proceso se encuentra incorrecto, ya que debemos tener en cuenta que el

desarrollo en serie de enxe * en x= x− x

3 3 !+  x5 5!−  x  !+… ;

en el anterior planteamiento encuentro que la sustitución esta errada, ya que estn utilizando como referencia el desarrollo para cos x   H no obstante, se procede a corregir con Sen #,

siguiendo as$ el procedimiento.

a función en serie de aclaurin es:

en x= x− x 3 3 !+  x5 5!−  x  !+  x  !+… ;

-or tanto tenemos que: ´

 y+(enx) y=

∑

n=2 ∞ n(n−1)C n x n−2₊

(

 x− x 3 3 !+  x5 5 !−  x  !+…

)

∑

n=0 ∞ C n x n ´

 y+(enx) y=2C ₂+ C ₃ x+12 C ₄ x2+20 C ₅ x3+…+

(

 x− x

3 3 !+  x5 5 !−  x  !+…

)

(

C 0+C 1 x+C 2 x 2₊ C ₃ x3+…

)

´

 y+(enx) y=2C ₂+

(

 C ₃+C ₀

)

 x+

(

12 C ₄+C ₁

)

 x2+

(

20 C ₅+C ₂− 1

3 ! C 0

)

 x

3₊

Se tiene que 2C ₂=0  C ₃+C ₀=0 12C ₄+C ₁=0 20 C ₅+C ₂− 1 3! C 0=0 'esol&iendo tenemos: C ₂=0 ,C ₃=−1  C 0, C 4=− 1 12 C 1,C 5= 1 120C 0

!grupando los t?rminos llegamos a la solución general  y=c0 y1( x)+c1 y2( x) , donde

 y₁( x)=1−1  x 3₊ 1 120 x 5₋ ⋯ y y2( x)= x− 1 12 x 4₊ ⋯

a ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencia con&ergen  para II J 7.