SOLUCIONARIO - FORMULACIÓN DE PROGRAMAS LINEALES 1. Problema de Dieta – OZARK FARMS.
OZARK FARMS utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:
Libra por Libra de Alimento para Ganado
Alimento para Ganado Proteínas Fibra Costo ( /libra )
Maíz 0.09 0.02 0.30
Semilla de Soya 0.60 0.06 0.90
Los requerimiento dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OZARK FARMS desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento. Aplica un modelo de PL.
SOLUCIÓN:
Alimento para Ganado Proteínas Fibra Costo (/libra) Producció n
Maíz 0.09 0.02 0.30 1
Semilla de Soya 0.60 0.06 0.90 1
Disponible 0.30 (mezcla) 0.05 (mezcla) - 800
a) Definición de variables
X1: Cantidad a utilizar de libras de maíz en la mezcla diaria.
X2: Cantidad a utilizar de libras de semilla de soya en la mezcla diaria. b) Función Objetivo: minimizar
Min Z = 0.30X1 + 0.90X2 c) Restricciones:
Por la cantidad de alimento disponible: X1 + X2 ≥ 800
Por los requerimientos dietéticos diarios del alimento: Proteínas: 0.09X1 + 0.60X2 ≥ 0.30 (X1 + X2)
Fibra : 0.02X1 + 0.06X2 0.05 (X1 + X2) d) Restricciones de no negatividad:
e) El modelo de P.L es: Min Z = 0.30X1 + 0.90X2 Sujeto a X1 + X2 ≥ 800 0.09X1 + 0.60X2 ≥ 0.30 (X1 + X2) 0.02X1 + 0.06X2 0.05 (X1 + X2) X1 , X2 0
2. La compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos
cuesta S/.2.00 por unidad, mientras que la materia para cada clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento Nº 1 y tres horas en el departamento Nº2, mientras que un tornillo requiere 4 horas en el departamento Nº1 y 2 horas en el departamento Nº2, el jornal por hora en ambos departamentos es de S/.2.00. Si ambos productos se venden a S/.18.00 y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que se maximicen las utilidades.
SOLUCIÓN:
a) Definición de variables
X1: Cantidad a producir de tornillos por semana.
X2: Cantidad a producir de clavos por semana. Horas MO – DPTO 1 Horas MO – DPTO 2 Costo Materia Prima Pago Jornal por hora Precio Venta Tornillos 4 2 S/. 2 S/. 2 S/. 18 Clavos 2 3 S/. 2.5 S/. 2 S/. 18 Horas disponibles 160 180 - -
-UTILIDAD = PRECIO DE VENTA – COSTO
COSTO = (pago jornal por hora x total horas DPTO1 y DPTO2) + (Costo de Materia Prima) Costo de los Tornillos = (S/.2 x 6 horas) + (S/. 2)
= S/. 14
UTILIDAD – TORNILLOS = S/.18 – S/.14 = S/. 4 Costo de los Clavos = (S/.2 x 5 horas) + (S/. 2.50)
UTILIDAD – CLAVOS = S/.18 – S/.12.50 = S/. 5.5 b) Función Objetivo: maximizar utilidades
Max Z = 4X1 + 5.50X2 c) Restricciones M.Obra - DPTO 1: 4X1 + 2X2 160 M.Obra - DPTO 2: 2X1 + 3X2 180 d) Restricciones de no negatividad X1 0 , X2 0 e) El modelo de P.L. es: Max Z = 4X1 + 5.50X2 Sujeto a 4X1 + 2X2 160 2X1 + 3X2 180 X1, X2 0
3. A un joven matemático se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. Él pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al matemático S/.50.00.
El joven sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6 minutos por vaso de ginebra, 7 minutos por vaso de whisky y 4 minutos por vaso de martini. Los precios de las bebidas eran: Cerveza S/.1.00 el vaso, ginebra S/.2.00 el vaso, whisky S/.2.00 el vaso y martini S/.4.00 el vaso. El matemático asume que el objeto es maximizar el consumo alcohólico durante los 90 minutos que tenía que entretener a su huésped. Logró que un amigo químico le diera el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de cerveza 17, por un vaso de ginebra 15, por un vaso de whisky 16 y por un vaso de martini 7. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys.
SOLUCIÓN:
BEBIDAS TIEMPO COSTOS MEZCLAS CONSUMO
ALCOHÓLICO
Ginebra 6 S/. 2 10 15
Whisky 7 S/. 2 2 – 12 16
Martini 4 S/. 4 24 7
DISPONIBLE 90 S/. 50 -
-a) Definición de Variables:
x1 = Cantidad a beber de vasos de cerveza. x2 = Cantidad a beber de vasos de ginebra. x3 = Cantidad a beber de vasos de whisky. x4 = Cantidad a beber de vasos de martini.
b) Función Objetivo: maximizar el consumo alcohólico. Max Z = 17x1 + 15x2 +16x3 + 7x4
c) Restricciones:
Restricción 1: Costo de las bebidas.
1x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 50 Restricción 2: Cantidad límite de vasos de cerveza.
x1 < 8
Restricción 3: Cantidad límite de vasos de ginebras. x2 < 10
Restricción 4: Cantidad límite de vasos de whisky. 2 ≤ x3 < 12 Restricción 5: Cantidad límite de vasos de martini.
X4 < 24
Restricción 6: El tiempo que emplea para beber. 15x1 + 6x2 + 7x3 + 4x4 ≤ 90 d) Restricciones de No Negatividad:
e) El modelo de P.L. es: Max Z = 17x1 + 15x2 +16x3 + 7x4 Sujeto a 1x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 50 x1 < 8 x2 < 10 2 ≤ x3 < 12 X4 < 24 15x1 + 6x2 + 7x3 + 4x4 ≤ 90 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
4. LAN-PERÚ está considerando la probabilidad de adquirir aviones de pasajeros en el mercado mundial: U.S.A, Inglaterra o Rusia. El costo del avión - U.S.A (A) es de $6.7 millones, el avión – Ingles (B) es $5 millones y el avión – Ruso (C) es $3.5 millones.
El directorio de dicha empresa ha autorizado la compra de aviones por valor de 150 millones. Los economistas de LAN-PERÚ han calculado que cualquiera que sea el tipo A de mayor capacidad proporcionará una utilidad neta de $420 mil anuales, el avión B proporcionará una utilidad neta de $300 mil y el avión C una utilidad neta de $230 mil anuales.
Por otro lado se conoce que la Fuerza Aérea peruana solo le podría proporcionar 30 pilotos debidamente entrenados. Si solo se adquieren aviones más pequeños, los servicios de reparación y servicio con que cuenta LAN-PERÚ solamente podrán mantener en operación un máximo de 40 unidades. Además se sabe que mantener un avión B requiere 1 1/3 más que el avión C, y que el avión A requiere 1 2/3 más que el C. Determinar un modelo de P.L, para la compra de los aviones, obteniendo el máximo de utilidades.
SOLUCIÓN:
AVIONES UTILIDAD COSTO
(millones) PILOTOS MANTENIMIENTO
U.S.A (A) 420 6.7 1 12 3 Inglaterra (B) 300 5 1 11 3 Rusia (C) 230 3.5 1 1 DISPONIBL E - 150 30 40 a) Definición de variables:
X1: Cantidad a comprar de aviones A. X2: Cantidad a comprar de aviones B.
X3: Cantidad a comprar de aviones C. b) Función Objetivo: maximizar utilidades.
Max Z = 420X1 + 300X2 + 230X3 c) Restricciones:
Por el costo de cada de avión: 6.7X1 + 5X2 + 3.5X3 150 (millones) Por la cantidad de pilotos disponibles: X1 + X2 + X3 30
Capacidad de mantenimiento de los aviones: 12
3 X1 + 1 1 3 X2 + X3 40 d) Restricciones de no negatividad: X1 0, X2 0, X3 0 e) El modelo de P.L. es: Max Z = 420X1 + 300X2 + 230X3 Sujeto a 6.7X1 + 5X2 + 3.5X3 150 X1 + X2 + X3 30 12 3 X1 + 1 1 3 X2 + X3 40 X1 , X2 , X3 0
5. Un vendedor tiene a su cargo dos productos A y B. Desea establecer un programa de llamadas para los meses siguientes. Él espera ser capaz de vender a lo más 20 unidades del producto A y a lo más 78 unidades del producto B.
Él debe vender al menos 48 unidades del producto B, para satisfacer su cuota mínima de ventas, él recibe una comisión del 10% sobre la venta total que realiza. Pero él debe pagar sus propios costos (que son estimados en 30 soles por hora en hacer llamadas) de su comisión. Él está dispuesto a emplear no más de 160 horas por mes en llamar a sus clientes. Los siguientes datos están disponibles en la siguiente tabla:
PRODUCT O PRECIOVENTA Soles/Unidad TIEMPO EMPLEADO Hora/llamada PROBABILIDAD DE UNA VENTA EN LLAMADA
A 3 000 3 0.5
B 1 400 1 0.6
Formular el problema de manera tal que maximice la cantidad de ganancia que espera el vendedor.
SOLUCIÓN:
a) Definición de variables:
X1: Número de llamadas para vender el producto A. X2: Número de llamadas para vender el producto B. b) Función Objetivo: Maximizar la ganancia del vendedor.
GANANCIA-VENDEDOR = % COMISIÓN ( PROBAB. (PRECIO DE VENTA) )-COSTO Max Z = 0.1 (3000 (0.5)X1 + 1400 (0.6)X2) – 30 (3X1 + X2) Max Z = 0.1 (1500 X1 + 840 X2) – 90X1 - 30 X2 Maz Z = 150 X1 + 84 X2 – 90X1 - 30 X2 Maz Z = 60 X1 + 54 X2 c) Restricciones
Cantidad de productos vendidos: Producto A: 0.5 X1 20
Producto B: 0.6 X2 78
48 ≤ X2
Tiempo empleado en hacer llamadas: 3 X1 + X2 160 d) Restricciones de no negatividad:
X1 0, X2 0 e) El modelo de P.L. es:
Maz Z = 60 X1 + 54 X2 Sujeto a
0.5 X1 20
0.6 X2 78
48 ≤ X2
3 X1 + X2 160
X1 , X2 0
6. Un contratista está considerando una propuesta para la pavimentación de un camino, las especificaciones requieren un espesor mínimo de 12 pulgadas y un máximo de 48 pulgadas. El camino debe ser pavimentado en concreto, asfalto o gravilla, o cualquier combinación de los tres.
Sin embargo, las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 54 pulgadas de espesor. El contratista ha determinado que 3 pulgadas de su asfalto son tan resistentes como 1 pulgada de concreto y 6 pulgadas de gravilla son tan resistentes como 1 pulgada de concreto. Cada pulgada de espesor le cuesta el de concreto S/.100, el asfalto S/.380 y la gravilla S/.150. Determine la combinación de materiales que él debería usar para minimizar su costo.
SOLUCIÓN:
PAVIMENTACIÓN COSTOS ESPESOR MÍNIMO ESPESOR MÁXIMO CONSISTENCI A Concreto 100 1 1 1 Asfalto 380 1 1 1 3 Gravilla 150 1 1 1 6 DISPONIBLE - 12 48 54 a) Definición de variables
X1: Cantidad a utilizar de concreto. X2: Cantidad a utilizar de asfalto. X3: Cantidad a utilizar de gravilla.
b) Función Objetivo: minimizar los costos. Min Z = 100X1 + 380X2 + 150X3
c) Restricciones:
Espesor mínimo: X1 + X2 + X3 ≥ 12
Consistencia de la superficie comparada con el concreto: X1 + 1 3 X2 + 1 6 X3 ≥ 54 d) Restricciones de no negatividad X1 0, X2 0, X3 0 e) El modelo de P.L. es: Min Z = 100X1 + 380X2 + 150X3 Sujeto a X1 + X2 + X3 ≥ 12 X1 + X2 + X3 48 X1 + 1 3 X2 + 1 6 X3 54 X1 0, X2 0, X3 0
7. Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno.
Tiene espacio para 30 ovejas ó 50 cerdos ó 20 cabezas de ganado vacuno o cualquier combinación de estos.
Los beneficios (utilidades) dadas por animal son S/.500, S/.500 y S/.100 por ovejas, cerdos y vacas respectivamente. El granjero debe criar por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas.
SOLUCIÓN:
a) Definición de variables X1: Número de ovejas a criar. X2: Número de cerdos a criar. X3: Número de vacas a criar.
b) Función Objetivo: maximizar los beneficios. Max Z = 500X1 + 500X2 + 100X3
c) Restricciones:
Límite de espacio para ovejas: X1 ≤ 30
Límite de espacio para vacas: X3 20 Por ley: X2 ≥ X1 + X3 d) Restricciones de no negatividad: X1 0, X2 0, X3 0 e) El modelo de P.L. es: Max Z = 500X1 + 500X2 + 100X3 Sujeto a X1 ≤ 30 X2 50 X3 20 X2 ≥ X1 + X3 X1 , X2 , X3 0
