E
El l ddiisscocoAA ttiieene une una na mmasasaa mm==22kkgg y y sse e esesttá á ddeseslliizanzanddo o hhaciacia a el el centrcentroo s
sobobrre e uunna a susuppererfificicie e lliissa a con con uunna a velveloociciddadad V V AA11==5(5(mm/s/s)),,ccuanuando do cchohoca ca cconon el ci
el cilliinnddrroo BB, qu, que e sse e esesttá á desdeslliizzandando o hacihacia Aa A ccon on uuna na velvelociocidaddad V
V BB11==2(2(mm/s/s))pprrododuuciciénénddose ose uun n chochoqquue e centcentrral al ddiirrectecto. o. SSi i el el coeficoeficicienentte e ddee res
restititutucicióón n enentrtre e lloos s ddoos s ddiiscos scos esese=e=0.0.4,d4,deteterermmiinnar ar llas as velveloociciddadades es ddeeAA y
yBB jjuuststo o ddespespuués és de de lla a cocolliisisióónn..
ee
=
=
V V A A22−
−
V V BB22 VV BB11
−
−
V V A A 1 1((
V V BB11−
−
V V A A11))
ee=
=
V V A A22−
−
V V BB22 V V A A22−
−
V V BB22=
=
0.40.4∗
∗
((
−
−
22−
−((
55))
))
V V A A22−
−
V V BB22=−
=−
2.82.8 V V A A22=
=
V V BB22−
−
2.82.8((
11))
mm A AV V A A11
+
+
mmBBV V BB11=
=
mm A AV V A A 2 2+
+
mmBBV V BB222 2
∗
∗
55+
+
44∗
∗((−
−
22))=
=
22V V A A22+
+
44V V BB22 2 2=
=
22V V A A22+
+
44V V BB22 1 1=
=
V V A A 2 2+
+
22V V BB 2 2((
22))
Remplazo Remplazo((
11))
enen((
22))
1 1=
=
V V BB22−
−
2.82.8+
+
22V V BB22V B2
=
1.27(
m/
s)
V A2
=
V B2−
2.8V A2
=
1.27−
2.8V A2
=−
1.53(
m/
s)
Cada bola tiene una masa m y el coeficiente de restitución entre ellas es e. Si las bolas se están dirigiendo hacia la otra con una velocidad v. Determinar su velocidad común, cuando ellas alcanzan el estado de máxima deformación. No considerar el tamaño de las bolas.
e
=
V A2−
V B2 V B1−
V A 1(
V B1−
V A1)
e=
V A2−
V B2 V A2−
V B2=
e∗
(
−
v−(
v)
)
V A2−
V B2=−
2ev V A2=
V B2−
2ev(
1)
m AV A1
+
mBV B1=
m AV A 2+
mBV B20
=
m V A2+
m V B2 mV B2=−
mV A 2 V B2=−
V A 2(
2)
Remplazo(
1)
en(
2)
V B2=−(
V B2−
2ev)
2V B2=
2ev V B2=
ev V A2=
V B2−
2ev V A2=−
evEl hombre A tiene un peso de 100(lb) y salta desde el reposo hacia la plataforma P que tiene un peso de W P=60(lb). La plataforma está montada sobre un resorte que tiene una constante de k=200(lb/pie). Si el coeficiente de restitución entre el hombre y la plataforma e=0.6. Determinar la altura requerida del salto, si la máxima comprensión del resorte debe ser 2(pies).
Ec P
+
Ep P=
E EB+
EcB1 2
∗
m∗
V P 2+
m∗
g∗
h P=
1 2∗
k∗
x 2+
1 2∗
m∗
V B 21 2
∗
60 32.2∗
V P 2+
60∗
2=
1 2∗
200∗
2 2+
1 2∗
60 32.2∗
0 2 0.9316V P 2=
400−
120 V B=
17.3359(
pies/
s)
e=
V A2−
V B2 V B1−
V A 1(
V P1−
V A1)
e=
V A2−
V P2 V A2−
17.3359=
0.6∗
(
0−
√ 2gh)
V A2=
17.3359−
0.6√ 2gh(
1)
m AV A1
+
m PV P1=
m AV A2+
m PV P2100 32.2
∗
√ 2gh+
60 32.2∗
0=
100 32.2∗
V A2+
60 32.2∗
17.3359 24.92√ h+
0=
3.1056V A 2+
32.3029(
2)
Remplazo(
1)
en(
2)
24.9222√ h+
0=
3.1056(
17.3359−
0.6√ 2gh)+
32.3029 24.92√ h=
53.8384−
14.9534√ h+
32.3029 39.8755√ h=
86.1411 h=
4.67(
pies)
Las tres bolasA,B yC tienen la misma masam,SiA tiene una velocidad v justo antes del choque directo con B, determinar la velocidad de C después de la colisión. El coeficiente de restitución entre cada una de las bolas ese. No considerar el tamaño de las bolas
e
=
V A2−
V B2 V B1−
V A 1(
V B1−
V A1)
e=
V A2−
V B2 V A2−
V B2=
e∗(
0−
v)
V A2−
V B2=−
ev V A2=
V B2−
ev(
1)
m AV A1
+
mBV B1=
m AV A 2+
mBV B2m
∗
v+
m∗
0=
mV A 2+
mV B2mv
=
mV A 2+
mV B 2mV B2
=
mv−
m V A2Remplazo
(
1)
en(
2)
V B2=
v−(
V B2−
ev)
2V B2=
v−
ev V B2=
v(
1−
e)
2 e=
V C 3−
V B3 V B2−
V C 2(
V B 2−
V C 1)
e=
V C 3−
V B3 V C 3−
V B3=
e∗
(
v(
1−
e)
2−
0)
V C 3−
V B3=
ev(
1−
e)
2 V C 3=
V B3+
ev(
1−
e)
2(
1)
mC V C 2+
mBV B 2=
mC V C 3+
mBV B3 m∗
0+
m∗
v(
1−
e)
2=
m[
V B3+
ev(
1−
e)
2]
+
mV B 3 m v(
1−
e)
2=
m V B3+
m ev(
1−
e)
2+
mV B3 m v(
1−
e)
2=
2mV B3+
m ev(
1−
e)
2v
(
1−
e)
2=
2V B3+
ev(
1−
e)
2 V B3=
v(
1−
e2)
4 V C 3=
V B3+
ev(
1−
e)
2 V C 3=
v(
1−
e2)
4+
ev(
1−
e)
2 V C 3=
v(
1−
e)
2 4Se deja caer la bola deW =1(lb) partiendo del reposo y cae una distancia de4(pies)antes de golpear el plano liso en A. Sie=0.8, determinar la distancia d donde golpeara de nuevo el plano enB.
V 0
=
√ 2gh V 0=
√ 232.2∗
4 V 0=
16.05(
pies/
s)
e=
V 02−
V B2 V B1−
V 01(
V B1−
V 01)
e=
V 02−
V B2 V 02−
0=
0.8∗(
16.05)
V 02
=
12.84(
pies/
s)
x=
V 02cosα∗
t y=
V 02senα∗
t−
1 2g t 2 y=
V 02senα∗
t−
1 2g t 2 y=
V 02 senα∗
x V 02cosα−
1 2∗
32.2∗
x 2(
V 02cosα)
2 y=
tgα∗
x−
1 2∗
32.2∗
x 2(
12.84∗
3 5)
2−
3 4 x=
4 3 x−
0.27 x 2 0.27 x2−
1.33 x−
0.75 x=
0 0.27 x2−
2.08 x=
0 x(
0.27 x−
2.08)
=
0 x=
0 x=
10.49(
pies)
y=−
7.86(
pies)
d=
√
x2+
y2 d=
√
10.492+(−
7.86)
2 d=
13.8(
pies)
La bola demA=2kg, se lanza contra un bloque suspendidoB demB=20kg, con una velocidadV A=4(m/s). Si el tiempo de duración del impacto entre la bola y el bloque est=0.005(s), determinar la fuerza normal promedio ejercida sobre el bloque durante este tiempo. Tomee=0.8.
e
=
V A2−
V B2 V B1−
V A 1(
V B1−
V A1)
e=
V A2−
V B2 V A2−
V B2=
0.8∗(
0−
4)
V A2−
V B2=−
3.2 V A2=
V B2−
3.2(
1)
m AV A1
+
mBV B1=
m AV A 2+
mBV B22
∗
4+
20∗
0=
2V A2+
20V B28
=
2V A 2+
4204
=
V A 2+
10V B2(
2)
Remplazo
(
1)
en(
2)
4=
V B2−
3.2+
10V B2V B2
=
0.6545(
m/
s)
mB
∗
vB 1+
∑∫
F∗
dt=
mB∗
vB 220
∗
0+
F∗
t=
20∗
0.65450.005 F
=
13.09F
=
2618.18(
N)
Las placasA yB tiene una masam=4kg, cada una y están restringidos a moverse a lo largo de las guías lisas. Si el coeficiente de restitución entre las placas ese=0.7. Determinar: a) la velocidad de ambas justo después de la colisión, b) la máxima compresión del resorte. La placa A tiene una velocidad de V A=4(m/s) justo antes de golpear a B. La placa B esta originalmente en reposo y el resorte esta NO deformado.
e
=
V A2−
V B2 V B1−
V A 1(
V B1−
V A1)
e=
V A2−
V B2 V A2−
V B2=
0.7∗(
0−
4)
V A2−
V B2=−
2.8 V A2=
V B2−
2.8(
1)
m AV A1
+
mBV B1=
m AV A 2+
mBV B24
∗
4+
4∗
0=
4V A 2+
4V B24
=
V A 2+
V B2(
2)
Remplazo(
1)
en(
2)
4=
V B2−
2.8+
V B2 V B2=
3.4(
m/
s)
V A2=
V B2−
2.8 V A2=
3.4−
2.8 V A2=
0.6(
m/
s)
EcB
+
EpB=
E EC+
EcC1 2
∗
m∗
V B2 2+
m∗
g∗
h P=
1 2∗
k∗
x 2+
1 2∗
m∗
V C 2 1 2∗
4∗
3.4 2+
60∗
0=
1 2∗
500∗
x 2+
1 2∗
4∗
0 2 23.12=
250 x2 x=
0.3041(
m)
La bolaA de pesoW A=8(lb) es soltada desde el reposo desde una altura deh=10(pies)medidos desde la placa que tiene un peso de W P=6(lb). Determinar la máxima comprensión del resorte, si el impacto es perfectamente elástico.
V A
=
√ 2∗
32.2∗
10 V A=
25.3771(
pies/
s)
e=
V A2−
V B2 V B1−
V A 1(
V B1−
V A1)
e=
V A2−
V B2 V A2−
V B2=
1∗(
0−
25.3771)
V A2−
V B2=−
25.3771 V A2=
V B2−
25.3771(
1)
m AV A1
+
mBV B1=
m AV A 2+
mBV B28 32.2
∗
25.3771+
6 32.2∗
0=
8 32.2V A 2+
6 32.2V B2 6.3049=
0.2484V A2+
0.1863V B2(
2)
Remplazo(
1)
en(
2)
6.3049=
0.2484(
V B2−
25.3771)+
0.1863V B2 V B2=
28.79(
pies/
s)
EcB
+
EpB=
E EC+
EcC1 2
∗
m∗
V B2 2+
m∗
g∗
h P=
1 2∗
k∗
x 2+
1 2∗
m∗
V C 21 2
∗
6 32.2∗
28.79 2+
6∗
0=
1 2∗
36∗
x 2+
1 2∗
6 32.2∗
0 2 77.22+
6 x=
18 x2 18 x2−
6 x−
77.22 x=
2.2446(
m)
La bola de ping-pong tiene una masa de m=2(g).Si es lanzada con la velocidad v=18(m/s),determinar la altura h alcanza luego de rebotar en el tablero liso. Tomee=0.8.
x
=
V ox∗
t t=
2.25 18cos30 t=
0.1443(
s)
V=
Vo+¿
V=
18sen30+
9.8∗
0.1443 V=
10.4141(
m/
s)
e=
V A2−
V B2 V B1−
V A 1(
V B1−
V A1)
e=
V A2−
V B2V A2
−
0=
0.8∗(
0−
10.4141)
V A2=−
8.3313 h=
V A2senα∗
t−
1 2g t 2 h=
V A2 senα∗
x V A2cosα−
1 2∗
9.8∗
x 2(
V A2cosα)
2 h=
tg28.12∗
0.75−
1 2∗
9.8∗
0.75 2(
18cos30∗
cos28.12)
2 h=
0.4008−
0.0149 h=
0.3862(
m)
Si el discoA se desliza a lo largo de la tangente al discoB y golpea aB con una velocidadv, determinar la velocidad deB después de la colisión y calcular la perdida de energía cinética durante la colisión. El coeficiente de restitución ese. El discoB esta originalmente en reposo y cada disco tiene el mismo tamaño y la misma masa m.
e
=
V A2−
V B2 V B1−
V A 1(
V B1−
V A1)
e=
V A2−
V B2V A2
−
V B2=
e∗(
0−
vcos30)
V A2
−
V B2=−
evcos30V A2
=
V B2−
evcos30m AV A1
+
mBV B1=
m AV A 2+
mBV B2mvcos30
+
m∗(
0)=
m(
V B2−
evcos30)+
m V B2 mvcos30=
2m V B2−
emvcos30 2V B2=
vcos30+
evcos30 V B2=
vcos30(
1+
e)
2 V B2=
√ 3 4(
1+
e)
v V A2=
V B2−
evcos30 V A2=
√ 3 4(
1+
e)
v−
evcos30 V A2=
v 4√
3e 2−
6e+
7Una esfera de masa m1)5kg cuelga de una cuerda de 2 metros de longitud formando un angulo de 60 con la vertical, y al soltarse de esta posición, choca con otra esfera de masa m2=20 kg que se halla en reposo. Si e=0,5 entre las esferas y Uk=0,3; hallar:
El espacio que recorre la esfera m2 hasta detenerse Que tiempo empleo en detenerse
Cual es el máximo angulo que forma la esfera m1 con la vertical Cual es el porcentaje de energía perdido
h
=
cos60−
2 h=
1m h1=
2−
h → h1−
1m v1=
√ 2gh v1=
√
2(
9,8)
.1 v1=
4,43m/
s e=
v ´ 2−
v ´ 1 v1−
v2 e1=
4,43=
v ´ 2−
v ´ 1 v2=
2,215+
v ´ 1 v2=
1,329m/
s m1v1=
m1v ´ 1+
m2v ´ 2 5(
4,43)=
v ´ 1+
20(
2,215+
v ´ 1)
22,15=
5v1+
44,3+
20v ´ 1−
22.15=
25v ´ 1 v 1=−
0,886m/
s∑
x=
m2a2−
!N=
m2a2−
0.3.20.9.8 20=
a2 a2=−
2,94m/
s 2 v2=
v ´ 2+
20d2−(
1.324)
2 2(−
2,94)
=
d2 d2=
v ´ 2t+
at 2 2−
2,94 2 t 2+
h329t−
0,30=
0 t 1=
0,445 t 2=
0,475 v1=
√ 2gh2 h2=
(−
0,886)
2 2.9,8 h2=
0,040m h3=
2−
0,040 h3=
1,96m d2=
0.3cos"
=
h3 2 "=
arccos 1,96 2 Eo=
m1v1 2 2 Eo=
5.4,432 2 Eo=
49,06 E=
m1.v1 2 2+
m2. v22 2 E=
5(
0,886)
2 2+
30(
1,329)
2 2¿
1,9t+
17,66 E=
19,62Eppe#
=
Eo−
E¿
49.06−
19,67¿
29,44 # $ E p=
29,4449,06
∗
100Una esfera A de % A =2lb se mueve hacia la izquierda con una velocidad
v A
=40ft/s, cuando golpea la superficie del bloque B de % B = 5lb que
se encuentra en reposo. El bloque se aopoya en rodamientos y esta unido a un resorte de k=12 lb/ft. Si e=0.75 entre la esfera y el bloque, y despreciando el rozamiento determinar la maxima deformacion del resorte.
v A&
=
4 cos 60' =2 P0=
P¿
60−
m A v(Acos60'+
mBvoB=−
m A& v A& cos60'+
m AN v AN cos60'−
mBvB−
(
2 32.2)
4=−
(
2 32.2)
2∗
cos60'+
(
2 32.2)
v AN cos30'−
(
5 32.2)
vB -.0745=0.054 v A N -0.155 vB (1) e=-−
vBN sen60'−
v AN v(B−(−
v(AN )en60')
0.65=
0.87vB+
v AN (2) 2 en 1 -0.745=0.054( 0.65−
0.87vB )-0.155 vB vB =3.9ft/sCuerpo B (cuando esta sin el cuerpo A) Cuerpo B (cuando esta con el cuerpo A)
F *
=¿
ma∑
¿
FCos60° + % A)en60' +% B)en60' =ma F= 5 32.2 a (3) FCos60°+6.06=( 2 32.2
−
5 32.2 )a ⟹ F=6.579lb ⟹ 0.077a+6.06=0.22a F/k=x a=-42.37 ft/ s 2 x=6.579/12=0.548ftUna esfera de m A =1.2 kg se mueve hacia la izquierda con una velocidad
v A
=2m/s golpea la superficie inclinada del bloque B de mB = 4.8kg.
Si e=² entre la esfera y el bloque y despreciando el rozamiento, determinar las velocidades de A y B inmediatamente después del impacto.
v A& =2 Cos 60°=1 Po
=
P-m AvoA
+
mBvoB=−
m Av A& cos60'+
m Av AN cos60'−
mBvB-1.2(2)= -0.6 v A& +1.04v AN -4.8 vB -1.8= 1.04 v AN -4.8 vB (1) e=
-−
vBN )en60'−
v AN v(BN−(−
v(AN )en60')
1.732=
0.87vBN+
v AN (2) 2 en 1 -1.8= 1.04(1.732−
0.87vBN¿
--4.8 vB vB =0.63159 m/s ⟹ -1.8= 1.04 v AN -4.8(
0.63159)
v A =1.2 m/sUna pelota de 90g lanzada con una velocidad Vo golpea una placa de 720g fija a una pared vertical a una altura de 90mm Se observa que después de rebotar golpea el piso a una distancia de 480 mm de la pared cuando la placa esta fija rígidamente a esta figura y a una distancia de 220mm cuando entre la placa y la pared se coloca un colchón de caucho fijo Determinar
La velocidad Vo de la pelota x
=
V ot 0.48=
V 0t y=
V oyt+
1 2 g t 2 0.9=
0+
1 2∗
9.8∗
t 2 t=
0.429s V A=
0.48 0.429 V A=
1.12m/
s e=
V B−
V A V oA−
V (B e=
0−
V A V oA−
0 e=
V A V oA e=
1.12 V oA x=
V oxt 0.22=
V At y=
V oyt+
1 2g t 2 0.9=
4.9∗
t 2 t=
0.429s V A=
0.513m/
sm AV oA
+
mBV Bo=
m AV A+
mBV B−
0.09V oA=
0.09∗
0.513+
0.72V B−
0.09V oA=
0.0461+
0.72V B e=
V B−
V A V oA−
V (B e=
V B−
V A V (Ae
=
e−
1.12 V oA=
V B
−
V A V (A−
1.12=
V B−
0.513Una pelota golpea el piso en A con una velocidad de Vo=16 pies/s con un ángulo de 60. Sabiendo que e=0,6 entre la pelota y el piso y que después de rebotar la pelota alcanzara el punto B con una velocidad horizontal Determinar
Las distancias “h” y “d”
La velocidad de la pelota cuando alcanza B
V o
=
16 pies/
s V ot=
8 pies/
s V oN=
13.86 pies/
s e=
V V 0 V =
0.6∗
13.21 V =
8.316 pies/
sh
=
V 0 2 2g h=
8.316 2 2∗
32.2 h=
1.023 pies h=
V ot−
1 2g t 2 1.023=
8.316t−
1 2∗
32.2t 2 16.10t 2−
8.316t+
1.023=
0 t 1=
0.265s t 2=
0.753s1 La esfera B de W B=0,75lb cuelga de una cuerda estando
inicialmente en reposo cuando es impactada por la esfera A W A=0,375lb.Considerando un choque perfectamente elástico,
determinar la máxima altura “h” que puede alcanzar la esfera B después del impacto si se sabe que la velocidad de A antes del impacto es de VA=4,8 pies/s
e
=
V B−
V A V oA−
V oB(
4.8)
∗
1=
V B−
V A V A=−
4.8+
V Bcos30' V AN=−
2.18 pies/
s Po=
P m AV A=
m AV AN+
mBV B0.375
∗
4.8∗
cos 30'=
0.375∗
cos30∗
(
4.8+
V Bcos30')
+
0.75V B1.55
