PROBLEMAS PROBLEMAS CAPITULO 1
CAPITULO 1
1.1 Supóngase que el conjunto universal consta de los enteros positivos de 1 a 10. 1.1 Supóngase que el conjunto universal consta de los enteros positivos de 1 a 10. Sean A={2,3,4}, B={3,4,5}, y C={5,6,7}. Anote los elementos de los siguientes Sean A={2,3,4}, B={3,4,5}, y C={5,6,7}. Anote los elementos de los siguientes conjuntos. conjuntos.
a) A∩B
a) A∩B
= 5= 5b) ĀUB
b) ĀUB
= 1,3,4,5,6,7,8,9,10.= 1,3,4,5,6,7,8,9,10.c) A∩B
c) A∩B
= 2,3,4,5.= 2,3,4,5.d) A∩(B∩C)
d) A∩(B∩C)
= 1,5,6,7,8,9,10.= 1,5,6,7,8,9,10.e) A∩(BUC)
e) A∩(BUC)
= 1,2,5,6,7,8,9,10.= 1,2,5,6,7,8,9,10.1.9 Un lote contiene artículos que pesan 5,10,15…. 50 libras. Supóngase que al
1.9 Un lote contiene artículos que pesan 5,10,15…. 50 libras. Supóngase que al
menos dos artículos de cada peso se encuentran allí. Se eligen dos artículos del menos dos artículos de cada peso se encuentran allí. Se eligen dos artículos del lote. Identifíquese por X el peso del primer artículo elegido y por Y el peso del lote. Identifíquese por X el peso del primer artículo elegido y por Y el peso del segundo artículo. Así el par de números (X,Y) representa un solo resultado del segundo artículo. Así el par de números (X,Y) representa un solo resultado del experimento. Usando el plano XY, indíquese el espacio muestral y los espacios experimento. Usando el plano XY, indíquese el espacio muestral y los espacios siguientes. siguientes. a) a) {X=Y}{X=Y} b) {X>Y} b) {X>Y}c) El segundo artículo pesa el doble del
c) El segundo artículo pesa el doble del primeroprimero d) El primer artículo pesa 10 libras menos que el
d) El primer artículo pesa 10 libras menos que el segundosegundo e) El promedio de peso de los
1.12 Demuestre el teorema 1.4
P(AUBUC)= P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) P(AUBUC)= P[(AUB)UC]= P(AUB) + P(C) - P(A∩C) - P(B∩C)
= P(A) + P(B) – P(A∩B) + P(C) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)
1.16 Supongase que A y B son sucesos para los cuales P(A)= x, P(B)=y, y P (A
∩
B)=z. Expresar cada una de las probabilidades siguientes en términos de x,y , y z.a) P (AUB) = 1- z
b) P (A∩B)
= y-z c) P (AUB) = 2y-zd) P (A∩B)
= y-x1.19 Un mecanismo tiene dos tipos de repuestos, dugamos I y II. Suponga que hay dos del tipo I y tres del tipo II. Definir los sucesos Ak k=1,2 y Bj= 1,2,3 como sigue: Ak: la k-ésima unidad del tipo I está funcionando correctamente; Bj: la j-ésima unidad del tipo II está funcionando correctamente. Finalmente C representa el suceso: el mecanismo funciona. Dado que el mecanismo funciona si al menos una unidad del tipo I y dos unidades del tipo II funcionan, exprese el suceso C en función de los Ak y Bj.
CAPITULO 2
2.2 En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente y se anotan los números de las insignias.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número menor de las insignias sea 5? 1/12 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número mayor de las insignias sea 5? 1/20 2.5 Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (X y Y) una y otra vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que X + Y= 10? 4/45
2.9 Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir a los operadores que sepan cuándo inspeccionará, varía el orden de las visitas. ¿De cuantas maneras puede hacerlo?
P6=6!=6x5x4x3x2x1=720
2.12 Un mecanismo puede ponerse en cuatro posiciones digamos a,b,c y d. Hay 8 de tales mecanismos en el sistema.
a) ¿De cuantas maneras puede instalarse este sistema? 48
b) Supóngase que dichos mecanismos están instalados en algún orden (lineal) pre-asignado. ¿De cuantas maneras posibles se instalan los mecanismos si dos mecanismos adyacentes no están en la misma posición? 4* 37
c) ¿Cuántas maneras son posibles si solo se usan las posiciones a y b con la misma frecuencia? 70
d) ¿Cuántas maneras son posibles si solo se usan dos posiciones diferentes y una de ellas aparece tres veces más a menudo que la otra? 336
2.22 r números (0<r<10) se escogen al azar (sin sustitución) entre los números
0,1,2,…,9. ¿Cuál es la probabilidad de que dos no sean iguales?
10!/ 10r (10-r)! CAPITULO 33.1 La urna 1 contiene x esferas blancas e y rojas. La urna 2 contiene z esferas y v rojas. Se escoge una esfera al azar de la urna 1 y se pone en la urna 2 . Entonces se escoge una esfera al azar de la urna 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esa esfera sea blanca?
P(blanca) = P(blanca/primera es blanca)*P(primera es blanca) + P(blanca/primera es roja)*P(primera es roja)=
=
3.7 Supóngase que tenemos 2 urnas, 1 y 2 cada una con dos cajones. La urna 1 tiene una moneda de oro en un cajón y una de plata en el otro, mientras que la urna 2 tiene una moneda de oro en cada uno de los cajones. Se escoge una urna al azar; y de ésta se escoge un cajón al azar. La moneda encontrada en este cajón resulta ser de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda provenga de la urna 2?
Sean los eventos O--> Moneda de Oro P--> Moneda de Plata
En la Urna1 hay 1 moneda de plata y una de oro por lo que la probabilidad de cada una es 0.5 P(O|U1)= 0.5
P(P|U1)=0.5
En la Urna2 hay 2 moneda de de oro por lo que la probabilidad de cada tipo es 2/2=1 (oro) y 0/2=0 (plata)
P(O|U2)= 1 P(P|U2)= 0
La probabilidad de cada urna es P(U1)=0.5
P(U1)=0.5
Debemos calcular P(U2|O)
Por el teorema de Bayes
P(U2|O) = P(O|U2)*P(U2) / { P(O|U1)*P(U1) + P(O|U2)*P(U2) } P(U2|O) = 1*0.5 / { 0.5*0.5+1*0.5 } = 2/3 = 0.6667
3.21 Dos máquinas A y B, que se accionan independientemente, pueden tener un cierto número de fallas cada día. La tabla 3.2 da la distribución de las probabilidades de las fallas de cada una. Calcular las siguientes probabilidades: Número
de fallas
0 1 2 3 4 5 6
A 0.1 0.2 0.3 0.2 0.09 0.07 0.04
B 0.3 0.1 0.1 0.1 0.1 0.15 0.15
a) Ay B tienen el mismo número de fallas 0.03, 0.02, 0.03, 0.02, 0.009, 0.0105, 0.006 b) El número de fallas es menor que 4; menor que 5. 0.10; 0.1009
c) A tiene más fallas que B.
d) B tiene el doble de fallas que A. 0.08
e) B tiene 4 fallas, cuando se sabe que B tiene por lo menos 2 fallas
f) El número minimo de fallas de las dos máquinas es de 3; es menor que 3. 0.0455; 0.08
3.24 Verifique que el teorema de la multiplicación P (A∩B) = P (AIB
) P (B), establecido para dos sucesos, se puede generalizar para tres sucesos como sigue:P (A∩B∩C) = P (AIB∩C) P (BIC) P (C)
P (A∩(B∩C)) = P (AIB∩C) P (BIC) = P (AIB∩C) P (BIC) P (C) P(B∩C)= P (BIC) (C)3.32 La probabilidad que un sistema se sobrecargue es 0.4 durante cada conjunto de ensayos de cada experimento. Calcule la probabilidad de que el sistema deje de funcionar en tres ensayos independientes del experimento si las probabilidades de fallar en 1,2 ó 3 ensayos son iguales a 0.2, 0.5, y 0.8 respectivamente.
