ANÁLISIS CINEMÁTICO INVERSO DE UN ROBOT PARALELO RPU+3UPS PARA LA REHABILITACIÓN DE EXTREMIDADES INFERIORES

Texto completo

(1)

ANÁLISIS CINEMÁTICO INVERSO DE UN ROBOT PARALELO RPU+3UPS PARA LA REHABILITACIÓN DE EXTREMIDADES INFERIORES

Pedro Araujo

Miguel Díaz-Rodríguez pfaraujo,dmiguel@ula.ve

Facultad de Ingeniería, Universidad de Los Andes

Nucleo Universitário Pedro Rincón Gutiérrez, La Hechicera, Mérida-Venezuela Vicente Mata Álvaro Page Ángel Valero vmata@mcm.upv.es alvaro.page@ibv.upv.es giuprog@isa.upv.es

Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera, Valencia, España.

Resumen. La rehabilitación mediante dispositivos robóticos ha tenido avances significativos en los últimos años, donde se han desarrollado una gran cantidad de dispositivos. Específicamente, la rehabilitación de extremidades inferiores se ha convertido en uno de los campos más estudiados debido a la gran cantidad de lesiones que en esta extremidad se producen. Existe gran variedad de dispositivos robóticos para la rehabilitación de rodillas diferenciándose entre sí, en cuanto a la etapa del tratamiento para la cual está destinada (pasiva, activa, pasiva-activa); sin embargo, dispositivos para la diagnosis de rodillas han sido escasamente desarrollados. Este trabajo está enmarcado en el desarrollo de un dispositivo mecánico que cumpla con ambas tareas, es decir, rehabilitación y diagnóstico de extremidades inferiores. El dispositivo se basa en un robot paralelo de configuración RPU+3UPS, ya que este tipo de robot resulta muy conveniente para su aplicación en robots rehabilitadores, principalmente por su alta capacidad de carga respecto a su tamaño, lo cual hace que el dispositivo sea compacto. Se desarrollan las ecuaciones que resuelven el problema cinemático inverso a nivel de posición, velocidad y aceleración del efector final del mecanismo con respecto al desplazamiento de las juntas actuadas. También, se estudia el espació de trabajo alcanzado por el dispositivo y se compara con respecto a la movilidad de la rodilla necesaria para realizar ciertos tratamientos de rehabilitación. Como resultado se tiene que el dispositivo es capaz de realizar el tratamiento para !"#$%&'"()*+*&,%"'&'"-).!*/.'".)0.!*,&/&*'".)'"&*+*0.')-%-12&* *

+3*14567896:*.3*;7<=8>:*?3*;@>AB9:*#3*'>5C>8:*-3,988=DD=45=:*E3*;>A=>F:*#3*'9AA48>6>*G.C=B4A9FH*I*JKLM*!?#)"* 04C4F*84F*C9A9DN4F*A9F9A<>C4F

(2)

el cual está diseñado, lo que permite continuar en futuros trabajos con el desarrollo del dispositivo, abordando aspectos tales como el análisis dinámico, identificación de parámetros y el control del dispositivo.

Abstract. Robotic rehabilitation has had a significant progress in the last years, where have been developed a variety of robotic devices. Specifically, robotic devices for lower limbs rehabilitation has become one of the most studied, because of the large number of injuries that occur in these limbs. There is a variety of robotic rehabilitation devices for knees which differ in terms of the kind of treatment they focus on (passive, active, passive-active); however, robotic diagnosis devices are poorly developed. This paper presents the kinematic analysis of a mechanical device that performs both rehabilitation and diagnosis treatment for lower limbs. The device is based on a parallel robot RPU+3UPS configuration, as this type of robot is very suitable for application in rehabilitation robots, mainly, because of its high load capacity. Equations to solve the inverse kinematic problem in position, velocity and acceleration of the end effector with respect to the position of the actuated joint are developed. The workspace of the robot is also studied, and it is compared with the knee mobility necessary to perform certain rehabilitation treatments. As a result we find that the device is capable of performing the treatment which is designed, allows us to continue in future work with the development of device addressing issues such as dynamic modeling, parameter identification and control design stages. Keywords: Rehabilitación robótica, robot paralelo, cinemática inversa, espacio de trabajo.

1. INTRODUCCIÓN

La robótica recientemente se ha ampliado a otros campos no tradicionales, debido a la creación de nuevas necesidades y mercados, como por ejemplo los servicios, para atender necesidades humanas y sociales [1]. La rehabilitación robótica es una de las más desarrolladas, cuyos dispositivos contribuyen en aliviar el trabajo del fisioterapeuta, aumentar los tiempos de realización de ejercicios de rehabilitación, permitir el registro de información del estado de recuperación del paciente e incluso abre la posibilidad de que los tratamientos puedan ser operados a distancia. Sin embargo, los sistemas disponibles son costosos y necesitan de un protocolo para la terapia [2], aunque existen ciertos estudios que reportan alguna evidencia de una superior efectividad de la terapia robótica, además de claros beneficios en cuanto a la reducción de costos y del esfuerzo físico del terapeuta [1].

Por otro lado, varios estudios demostraron que los robots de rehabilitación tienen un gran potencial en precisar el diagnóstico del paciente y proporcionar medidas cuantitativas de su recuperación [3]. En la actualidad existe una amplia variedad de dispositivos de rehabilitación, diferenciados especialmente en cuanto a la fase del tratamiento a la que están orientados [2].

Se destacan los dispositivos del tipo estacionario. Aquí se observan muchos desarrollos tanto de tipo comercial, como en fase de investigación algunos con gran desarrollo y otros básicamente en una fase inicial. Yaskawa Electric produjo un robot tipo serial para rehabilitación de extremidades inferiores, el TEM LX2 [4], se comenzó a desarrollar hace más de 15 años, !"#$%&"' #"()%*(#' "+"#,%,%-.' /./()$"0&"'(!)%,(1-.' !-#' &"#(!"/&(.2' 341- (0' 5' ,-)"6(.' "0' ")' 7899' [5], desarrollaron un dispositivo estacionario para la rehabilitación de rodillas, que recoge la información de fuerzas y posiciones de la terapia, luego es capaz de controlar al paciente, tomando en cuenta las fuerzas de reacción que pudiera generar el paciente. El LAMBDA se trata e!eOVW*#9P4A=>F*C98*'45QA9F4*"5B9A5>D=45>8*C9*#RB4C4F*)@PRA=D4F*95*"5Q95=9AS>*T*'=95D=>F*&U8=D>C>F:*'"#.)"'!

(3)

de un proyecto desarrollado por Bouri y colegas en 2009 [6], y consiste de un sistema de 3 GDL, dos translacionales y uno rotacional (2T1R), permitiendo la movilización de la extremidad inferior en el plano sagital, presenta la ventaja de que se puede utilizarse para entrenamiento en actividades deportivas. Aún en fase de desarrollo encontramos el NeXOS [7], este dispositivo trabaja en el plano sagital, tiene 2 GDL, pero se plantea aumentarlo a 4 GDL, además este proyecto propone que el dispositivo pueda ser teleoperado, para su utilización en casa. Todos los dispositivos anteriores coinciden en el hecho de tener una configuración bastante robusta.

Los dispositivos para rehabilitación de rodillas siguen siendo muy estudiados, y existe gran variedad de modelos, pero pocos son comerciales, mientras los dispositivos para la diagnosis de lesiones en rodillas han sido muy poco estudiados.

En este artículo se presenta el análisis cinemático de un nuevo dispositivo para rehabilitación y diagnosis de rodillas, se comienza con el estudio de la geometría del mecanismo, luego se hace el análisis cinemático inverso y se evalúa el espacio de trabajo que alcanza el dispositivo. Finalmente se presentan las conclusiones.

2. GEOMETRÍA DEL DISPOSITIVO PARA LA REHABILITACIÓN Y DIAGNOSIS El mecanismo para rehabilitación y diagnosis de rodilla que aquí se presenta, es un robot paralelo conformado por 4 brazos que conectan una plataforma fija con una plataforma móvil, un brazo se encuentra en los centros de las plataformas y los tres restantes son brazos laterales. El brazo central está unido a la plataforma fija por medio de un par de revolución, contiene un par prismático y finalmente se conecta a la plataforma móvil por medio de un par universal, los brazos laterales son idénticos entre sí, están conformados por un par universal conectado a la plataforma fija, continua un par prismático y se una a la plataforma móvil por medio de un par esférico. En consecuencia, la arquitectura del dispositivo es de tipo RPU+3UPS de 4 grados de libertad (gdl), dos rotacionales y dos translacionales (2T2R), donde los actuadores del mecanismo son los pares prismáticos.

La configuración del mecanismo obliga al efector final, ubicado en el punto central de la plataforma móvil, a moverse a lo largo de un plano perpendicular a la plataforma fija. El mecanismo se mueve en el plano sagital, puesto que sobre este plano se realizan gran cantidad de tratamientos de rehabilitación y diagnosis de rodillas, además, en este plano es donde se desplaza la pierna durante la caminata. La figura 1 muestra la configuración del robot RPU+3UPS.

Figura 1- Configuración del robot RPU+3UPS.

(4)

3. ANÁLISIS CINEMÁTICO INVERSO DEL ROBOT RPU+3UPS 3.1 Posición

Para comenzar el análisis cinemático, primero se definen dos sistemas de coordenadas en ambas plataforma, donde el centro de cada sistema se ubica en el punto donde se conecta el

brazo central a cada plataforma. En la base fija se define un sistema de coordenadas OF-XF,YF,ZF,

y en la móvil OM-XM,YM,ZM, estos sistemas se pueden relacionar a partir de una matriz de transformación, en donde se definen los ángulos de Euler , y , como la rotación de los ejes XM,YM y ZM respecto al sistema fijo, respectivamente:

! " # $

$ !!!!!!!!!!

$

$ !!!!!!!!!! % (1)

en donde s es sen( ) y c es cos( ).

Luego, se analizan cada uno de los brazos. La asignación de coordenadas a partir de la notación Denavit-Hantenberg del brazo central (brazo 1), se indican a continuación, en donde la junta universal se define como dos pares de revolución.

Brazo 1.

Figura 2- Coordenadas Denavit-Hartenberg para el brazo 1.

donde, d1 se refiere a la magnitud del par prismático.

La posición del punto OM ( &') queda definida de la siguiente manera:

&' " &($)! (*(! (&+" # % $ # (( (( (( (( % # (% " # ( ( ( ( % (2)

s11 representa el seno del ángulo 11 del par de revolución, &( es el vector que va del punto 1 al

centro de la plataforma fija, (!(&+ es el vector que va del puto 1 al punto 2.

Además, este punto también se define como la posición del efector final con el vector " & & , que se iguala con el término derecho de la Eq. (2). Resolviendo d1, para obtener las ecuaciones que permitan calcular la magnitud de los actuadores para alcanzar una posición y orientación especifica de la plataforma móvil, resolviéndose el problema inverso de posición:

(5)

(" +$ + (3)

También se define una restricción de la Eq. (2) que Y=0, es decir, el punto central de la plataforma no tiene desplazamiento en el eje y.

Otra restricción que tiene el mecanismo está referida a la rotación de la plataforma en la dirección del eje x. Definiendo el vector normal de la plataforma móvil, el cual no tiene desplazamiento en la dirección del eje y, por lo el segundo componente es nulo. En la siguiente expresión se muestra la segunda componente del vector normal al plano, que es igual a cero: * * +*

& " (4)

en donde (&+ es el ángulo de inclinación de la línea de unión del centro de la plataforma móvil y

la conexión del segundo brazo lateral con esa plataforma respecto del eje XM y rM es el radio de

la plataforma móvil. Se extrae de la Eq. (4), que el ángulo !", para satisfacer la igualdad. Brazos laterales.

A partir de análisis semejantes y considerando las restricciones impuestas en el mecanismo, se pueden determinar las ecuaciones de la dimensión de los brazos laterales del mecanismo:

+" , $

-+

$ + +$ , -+ (.+ (5)

" , $ (

& $ & $ &

-+ $ (6) $, & $ ( & $ & -+ $ $, $ & $ ( & -+ (.-+

para i=3,4; en donde rF es el radio de la plataforma fija, +&+ es la inclinación de la línea de unión

del centro de la plataforma y la conexión del último brazo lateral. 3.2 Velocidad

El problema inverso de velocidad se resuelve en primer lugar determinando la velocidad

lineal del punto central de la plataforma móvil ( " & & ) más su velocidad angular, que

se obtiene de las derivadas parciales de la matriz de rotación anteriormente determinada:

" !! !! $ !! !! $ ! !! !! " !!!! !!!! (7)

Luego, la velocidad de cada brazo del mecanismo puede ser determinada. El brazo central se

obtiene al diferenciar la Eq. (2), y luego igualando al vector :

(! " (( $ (( (8)

(6)

La velocidad para el primer brazo lateral se puede determinar a partir de la diferenciación del vector de posición del punto de contacto entre la plataforma móvil y este brazo, el cual involucra la velocidad lineal y angular de la plataforma móvil. Luego, esta expresión se igual a la ecuación de diferenciar el vector de posición de ese mismo punto, pero basado en el análisis hecho de la posición del brazo apoyados en la notación D-H, después de ciertos procedimientos matemáticos y algunas simplificaciones se tiene lo siguiente:

+ " ++ +( ++ +( $ , +( +( - ++ $ , +( +( - ++ $ ++ (9)

donde +( y ++ son los senos de los ángulos 21 y 22, que son los ángulos de la junta universal

del primer brazo lateral.

Por análisis semejantes se determinan las velocidades de los actuadores de los brazos restantes.

/" /+ /( /+ /( $ , /( /( -, $ - $

$ , /( /( -, - /+$ , - /+ (10)

0" 0+ 0( 0+ 0( $ , 0( 0( -, - $

+ , 0( 0( -, - 0+$ , - 0+ (11)

donde /( y /+ son los senos de los ángulos 31 y 32, que son los ángulos de la junta universal

del segundo brazo lateral, también, 0( y 0+ son los senos de los ángulos 41 y 42, que son los

ángulos de la junta universal del segundo brazo lateral 3.3 Aceleración

Como es sabido, las velocidades de las juntas actuadas se relacionan a las velocidades del efector final, a partir del Jacobiano del manipulador, esto es:

" !! !! !! (11)

en donde J representa la matriz jacobiana.

La aceleración del sistema se puede determinar fácilmente a partir de la matriz jacobiana; diferenciando la Eq. (11) resulta lo siguiente:

" $ (12)

en donde representa el vector de las velocidades generalizadas, " !! !! !!

4. ESPACIO DE TRABAJO

A partir de las ecuaciones determinadas, se puede desarrollar un algoritmo para determinar el espacio de trabajo del mecanismo RPU+3RPS, las condiciones de diseño se basan en e!eOVZ*#9P4A=>F*C98*'45QA9F4*"5B9A5>D=45>8*C9*#RB4C4F*)@PRA=D4F*95*"5Q95=9AS>*T*'=95D=>F*&U8=D>C>F:*'"#.)"'!

(7)

distancias que resulten adecuadas para que al utilizar el mecanismo, se pueda realizar el movimiento de una pierna tamaño promedio, durante una caminata normal. Las dimensiones de diseño son rF=0,4m, rM=0,2m, los ángulos ((" 1, (+" 2 1, +( " 1, ++ " 1, los

límites de los pares prismáticos están entre 0,60 y 0,90m; ésta configuración asimétrica reduce enormemente la existencia de singularidades en el mecanismo. El espacio de trabajo representado en la figura 3 a) muestra la posibilidad de desplazamiento del punto central de la plataforma móvil, en las direcciones x y z, considerando que la rotación alrededor del eje y es cero, mientras la rotación alrededor del eje z varia cada 5°.

El movimiento de la caminata fue analizado por Andriacchi y colegas en 2007 [8]. Se determinaron en ese trabajo las rotaciones principales que se producen en las articulaciones del tobillo, rodilla y cadera. Con estos resultados, se describe el desplazamiento que tiene el punto central del pie, considerando fijo el desplazamiento de la rodilla y luego fijo el desplazamiento de la cadera. En la figura 3 b), se observa como el mecanismo es capaz de soportar estos movimientos.

a) b)

Figura 3- a) Desplazamiento en el plano xz, para rotación en Y=0º, Z variando cada 5º.

b) Desplazamiento en el plano xz, para rotación en Y=0º, Z=0º, comparadao con el

movimiento del pie durante a caminata.

Actualmente se ha construido un prototipo preliminar del mecanismo, y el mismo se encuentra aún en fase de investigación, tanto en su comportamiento dinámico, como en su control y otros aspectos mecánicos. La figura 4 muestra el prototipo del mecanismo.

(8)

Figura 4- Prototipo preliminar del 3UPS-RPU. 5. CONCLUSIONES

En el presente artículo se estudia el análisis cinemático de un mecanismo para la rehabilitación y diagnosis de rodillas lesionadas, se logró una configuración del tipo RPU+3UPS, el cual presenta cuatro grados de libertad, dos rotacionales y dos translacionales. Esta configuración de movimiento le permite realizar una gran cantidad de ejercicios de rehabilitación y de diagnosis. Se realizó un análisis del espacio de trabajo del robot y se comparó con el movimiento de la rodilla durante la caminata, resultando en un movimiento capaz de ser realizado por el mecanismo, la geometría del mecanismo le ayuda a evitar algunas singularidades y aunque el mecanismo todavía se encuentra en fase de estudio en cuanto a su dinámica, ya se tiene un prototipo y se espera en un futuro se implemente en tratamientos para personas.

REFERENCIAS

[1].*Alcocer, R., Vela, L., Blanco, A., González, J., & Oliver. M., Major trends in the development of ankle rehabilitation devices. Revista DYNA, 79, pp 45-55, 2012.

[2].*Díaz, I., Gil, J.J., & Sánchez, E., Lower-limb robotic rehabilitation: Literature review and challenges. Journal of Robotics, vol. 2011. 11 pg. 2011.

[3].*Saglia, J.A., Tsagarakis, N., Dai, J., & Caldwell, D., Control strategies for ankle rehabilitation using a high performance ankle exerciser. In Robotics and Automation (ICRA), 2010 IEEE International Conference, pp 2221-2227, 2010.

[4].*Sakaki, T., TEM: therapeutic exercise machine for recovering walking functions of stroke patients. Industrial Robot:An International Journal, pp 446-450, 1999.

[5].*341- (0:';2:'& Adli, M. A., The design and control of a therapeutic exercise robot for lower limb rehabilitation: Physiotherabot. Mechatronics, Vol. 21, N° 3, pp 509-522, 2011.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...