4.1.DEFINICION DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

(1)

Recordemos que la forma de representar a un vector es: Recordemos que la forma de representar a un vector es:

V= V=



 

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C_{onjunto no vacio}_{onjunto no vacio} de vectores Ov de vectores Ov Operación Operación Interna (SUMA Interna (SUMA DE VE DE VECTCT_ORES)_ORES) Operación Operación Externa Externa (PRODU (PRODUCTCT_{O DE}_{O DE} UN VE UN VECTCT_{OR por}_{OR por} un ES un ESCC_ALAR)_ALAR) C C_ondiciones_ondiciones o restricciones o restricciones Genérico Genérico

(2)

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(3)

OPER OPERACAC  ¡ ¡ N N IINN¢ ¢ ER

ERNANA OPEROPERACACIÓIÓNN EXTEREXTERNANA S

S££ ¤¤ ¥ ¥ ddee VecVec

¦ ¦

§§ ¨ ¨ eses MultipliMultiplicc¥ ¥ cción dión dee unun escesc¥ ¥ lar por un Veclar por unVectortor

  

   == 33

   

Espacios Vectoriales Comunes

((VV , K , + , * ), K , + , * ) GENÉRICOGENÉRICO EJEEJEMPLMPLOO __

 aa ++ bx bx 3 3 - - x x 00 ++ 0 x0 x                _{}_{} ( ( a a , , b b ) ) ( ( 2 2 , , 5 5 ) ) ( ( 0, 0, 0 0 ))  ( ( a a , b ,, b , cc ) ) ( ( 4 4 , , -6 -6 , , 2 2 ) ) ( ( 0 0 , , 0 0 , , 0 0 ))                    Un

Un esespapaccioio vecvectorial (torial (VV), d), dee© © inidoinido ssobrobree unun ccuueerpo k (rpo k (een gn geenneeralral )) eses unun cconon j juntounto

    ;; ssobrobree eel qul quee hay dhay dee© © inidainidass dodoss opopeeraraccionioneses 

1. 1. _Suma_Suma_::         Ve

Verifirificcando laando lass ssiguiiguieentnteses propipropieedaddadeses 

(a (a)) ConConmumuttaatiti  a: a:                __        __  

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2

2.. PrProo_duc_ductoto poporr _u_unn _e_ess_ca_call_a_arr_::

          

V

Veerrifiificacannddoo llaass sigsiguuiieentnteess pprropiopiedadeedadess:: (a (a))           (b (b))              (c (c))                   (d (d))                               Los

Loseellemeementosntosdede uunneespspacacioio vvecectotorriiaall sseellllamaamann vvecectotorreess.. U

Unneespspacacioio vvecectotorriiaall rreaealleessuunneespspacacioio vvecectorriito aall sosobbrree eellcuecuerrpopo RRdedeloslos núnúmemerrosos rreaealleess..

S

SUUBBEESSPPACACIOIO VVEECCTORITORIALAL

Se

Se llamallama ssububesespapaccioio vecvectorial (torial (SS) ) ddee unun esespapaccioio vecvectorialtorial VV aa ccualquiualquieerr ssububcconon j junto nounto no v

vaacc  o, tal quo, tal quee     ququee eses esespapaccioio vecvectorialtorial ccon laon lass mimissmamass opopeeraraccionioneses ddeefinidafinidass

ssobrobree VV 

C

C_ara_aracctte_eriza_{rizacción d}_{ión de}_{e ssub}_ubes_espa_paccio_{ioss vec}_vectorial_toriales_es

S

Sii VV eses unun esespapaccioio vecvectorialtorial       ,, eentonntoncesces 



           _{   }_{  }_{  } C

COONN  IICCIOIONNEESS PPAARRAA QUEQUE SSEECCUMPUMPLALAUUNN EESSPPACACIOIO VVEECCTORITORIALAL

a)

a) 

  



b)

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(7)

Ej

Ejememploplo::

D

D_e_emo_mosstrar_{trar ssi W}_{i W es}_{es ssub}_ubes_espa_paccio_{io vec}_vectorial:_torial:

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 

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  

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_{   }

   

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11..          _{       }_{   }

_

 C

COMOMBBIINACNACIÓIÓNN LLIINNEEALAL

Se

Seaa  , un, un cconon j junto dunto dee vecvectortoreses ddee unun ee! ! vv! ! VV, un, un vecvector u dtor u dee VV eses unauna

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E

E_je_jemplo1:_mplo1:

¿

¿   EEss ccombinaombinacción linión lineeal dal dee   ??

      _{  }_{  }                   E

¿

¿   EE_{ss ccombina}_{ombinacción lin}_{ión line}_{eal d}_{al de}_e   _?_?

                                               E

¿

¿                EE_{ss ccombina}_{ombinacción lin}_{ión line}_{eal d}_{al de}_e           _?_?

          _{      }                                                                                                                               

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CA

CAPPSSUULALA LLIINNEEALAL (()) Grá

Gráfificamecamentnteesseelolo rreepprreesseentntaa aasí sí ::

Se

Seaa  , un, un cconon j junto dunto dee vecvectortoreses ddee unun ee# # vv# # VV# # EEll cconon j juntounto SS

ggeenneerraa aa VV, o, o VV eses ggeenneerado porrado por SS,, ssi todoi todo vecvector utor u eses ddee VV unauna ccombinaombinacción linión lineealal d

dee loloss vecvectortoreses ddee SS,, eses ddececir:ir:

                   

PA

PASSOOSS PAPARRAAOOBTBTENERENER UUNNAACCAPAPSSULA LULA LINEINEAL ALAL ALGÚNGÚN CONJCONJUUNNTTOOSS

Ej

Ejememploplo::

E

E_n_{nccontrar la}_{ontrar la ccap}_{apssula d}_{ula de}_e __  

1.

1. EEscscribimoribimoss la dla deefinifinicción:ión:

                    

2.

2. EEscscribimoribimoss la formula gla formula geennééririccamameentntee

      

3.

3. OObtbteenneemomoss unun ssiisstteema dma dee ececuauaccionioneses

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4.

4. EE_xpr_xpres_esamo_{amoss matri}_matriccialm_ialme_ent_nte_{e la}_{la e}_expr_xpres_{esión ant}_{ión ante}_erior_rior

           _{  }_{ }_

5.

5. ApliApliccamoamossGGauaussss--JJordán paraordán para eennccontrar la rontrar la resestritricccciónión eenn esesttee ccaassoo

           _{  }_{ }_ _ __ _ _       _{  }_{ }     _{ }            

      _{    }_{    }_{    }        

6.

6. CComo tomo teenneemomoss ququee nono eexixissttee ssoluolucción obtión obteenneemomoss lala ssiguiiguieentntee ccapapssulaula

                               

C

COONJNJUUNNTO GETO GENNERERAA OROR

S

S ggeenneera a Wra a W , dond, dondee SS eses eell cconon j junto gunto geenneeradorrador

P

PAASSOOSSPPAARRAAHHALLAALLARRSSQUE GEQUE GENNERERAAAAWW

11.. HHaallllaarr llaass rreeststrriiccccionioneess

2.

2. RRememplplazaazarr llaass rreeststrriiccccionioneess

3.

3. ContContaarreell nnumeumerroodedevvaarriiabablleess

(14)

(15)

Cancel Anytime. Ej Ejememploplo 22::                                                                     DEPE

DEPENNDEDENCNCIIAA E IE INNDEPEDEPENNDEDENCNCIIAA LLIINNEEALAL

E

En álgn álgeebra linbra lineeal, unal, un cconon j junto dunto dee vecvectortoreses eseslinlineaeallmementntee inindedeppeennddiieentntee ssi ninguno di ninguno dee e

ellolloss pupueeddee seserr escescritorito ccon unaon una ccombinaombinacción linión lineeal dal dee loloss rresestanttanteses. Por. Por ejeejemplo,mplo, eennRR33_,,

lo

loss vecvectortoreses (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1)(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) sson linon lineealmalmeentntee indindeeppeendindieentnteses, mi, mieentrantrass ququee (2, 1, 1), (1, 0, 1) y (3, 1, 2) no lo

(2, 1, 1), (1, 0, 1) y (3, 1, 2) no lo sson, ya quon, ya quee eel tl teerrceceroro eses lala ssuma duma dee loloss dodoss primprimeeroross.. Un

Un cconon j junto dunto dee vecvectortoreses eseslinlineaeallmementntee dedeppeennddiieentnte ssi alguno de i alguno dee loloss vecvectortoreses pupueeddee seserr esc

escritorito ccon unaon una ccombinaombinacción linión lineeal dal dee loloss rresestanttanteses.. Un

Un cconon j juntounto eses LLII ssi ninguno di ninguno dee ssuuss vecvectortoreses eses ccombinaombinacción linión lineeal dal dee loloss otrootross.. Un

Un cconon j juntounto eses LLDDssi alguno di alguno dee ssuuss vecvectortoreses eses ccombinaombinacción linión lineeal dal dee loloss otrootross..

P

PAASSOOSS PPAARRAA PROPROBABARRSSI EI ESS LL.I. O.I. O LL.D..D.

(16)

(17)

Cancel Anytime. Ej Ejememploplo 11:: V Veerrifiificacarrsisi SSeessLLDD                            __{   }_ _ _ _{  } _  _{    }        Ej Ejememploplo 22:: V Veerrifiificacarrsisi SSeessLLII                     _{  }_ _ _ _ _ _{ } _ ___{ }_{ }         

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BA BASSEE

Se

Sea (a (VV, k,, k, ++,*)un,*)un ee..vv yy   

S S eses babasese ddee VV ssi:i: a) a) SS eses L.L.II.. b) b) SS ggeenneera Ara Avv P PAASSOOSSPPAARRAAHHALLAALLAR UR UNANABABASSEE a)

a) HH_allar_{allar e}_{ell ccon}_on j_{junto g}_{unto ge}_en_ne_erador_rador

b)

b) Probar quProbar quee eses L.L.II..

DIME

DIMENNSSIÓIÓNN DEDE VV

DEFI

DEFINNIICCIÓIÓNN:: eses eel núml númeero dro dee vecvectortoreses ddee SS

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EJE_MPL_MPLOO_:: E

E_n_{nccontrar una ba}_{ontrar una base}_{se d}_de_{ell ss..e}_e..v_{v W.}_W.

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a) HH_allar_{allar e}_{ell ccon}_on j_{junto g}_{unto ge}_en_ne_erador_rador

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(20)

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y

y HHallarallar eell cconon j junto gunto geenneeradorado

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y Probar quProbar quee SS eses L.L.II..

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TTeeoorremaema1111((lilibbrroodede ttrrabaaba j joo))

D

D_{im (}_{im (V}_V))=_{= n}_{n =#}_{=# d}_de_{e vec}_vector_tores_{es d}_de_{e S}_S

S

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E

E_je_jemplo:_mplo:

y

y DDeemomosstrar qutrar quee SS eses una bauna basese ddee W:W:

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D_im(_im(RR33₎₎₌_{= 3}_{3 =#}_{=# d}_de_{e vec}_vector_tores_{es d}_de_{e S}_S

S S ggeenneera a Wra a W       y

y EEnnccontrar la dimontrar la dimeennssión dión dee SS ccon W:on W:

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E

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COMOOMO CCOMPOMPLLETETAAR UR UNANABABASSEE

E

E_je_jemplo:_mplo: C

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..

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3.

3. Ahora dAhora deemomosstramotramoss ssii eses LLIIparapara ccomplompleetar una batar una basese ddeeRR33..

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