50 ejercicios de Bonos

100 

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Texto completo

(1)

Determinar TIR

Valor Nominal (VN)

1000

Plazo de Vencimiento

4

Tasa cupon (Pagado

Anualmente)

12%

Precio (P)

1200

Año 0

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

1200

120

120

120

1120

Factor (6%)

0.943396226

0.889996

0.839619283

0.792094

1200

113.2075472

106.7996

100.754314

887.1449

Factor (7%)

0.934579439

0.873439

0.816297877

0.762895

1200

112.1495327

104.8126

97.95574523

854.4426

V Absoluto

38.54577394

1%

30.63943718

X

X= 0.79%

TIR= 7.00%

-0.79%

6.21%

#VALUE!

Supongamos que un inversor puede comparar un bono con Valor Nominal (VN) de

$1.000, plazo de vencimiento de 4 años, tasa cupón de 12%, pagado anualmente. por

$ 1.200. Determine el rendimiento al vencimiento del bono.

(2)

-7.906337

30.63944

(3)

Valor Nominal

(VN)

1000

Plazo de

Vencimiento

3

Tasa cupon

(Pagado

Anualmente)

10%

Precio (P)

Determinar

Rendimiento al

Vencimiento (RAV

o TIR)

12%

Año 1

Año 2

Año 3

Cupones

100

100

1100

RAV 12%

0.892857143

0.797193878

0.711780248

Valor Presente

89.28571429

79.71938776

782.9582726

PRECIO

951.9633746

#VALUE!

Supongamos el caso de un bono con Valor Nominal de $ 1.000, pago de cupón de $

100 (10%) al final de cada año y al que le restan 3 años hasta su vencimiento. La tasa

de rendimiento al vencimiento requerido por el inversionista es del 12% anual.

(4)

Valor Nominal (VN) 1000

Plazo de Vencimiento 4

Tasa cupon (Pagado Anualmente) 10%

Precio (P) 1200

Determinar Rendimiento al Vencimiento

(RAV o TIR) 12%

Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 5 Periodo 6

Cupones (1000*(10%/2)) 50 50 50 50 50 1050

0.943 0.890 0.840 0.792 0.747 0.705 RAV 12%

Valor Presente 47.17 44.50 41.98 39.60 37.36 740.21

PRECIO 950.83

Consideremos un bono con Valor Nominal de $ 1.000, pago de cupón

10% anual pagado semestralmente y al que le restan 3 años hasta su

vencimiento. La tasa de rendimiento al vencimiento requerido por el

inversionista es del 12% anual. Determine su precio.

(5)

Precio de un Bono del Estado

Año Bono A Bono B ETTI Factor Bono Estado

0 (1,000.00) (600.00) (1,016.45)

1 1,110.00 0.00 11.00% 0.9009009 110.00

2 726.00 10.00% 0.82644628 1,110.00

TIR 11.000% 10.000% 10.051%

#VALUE!

En el mercado secundario están disponibles los siguientes bonos:

Bono A: Bono cupón cero a un año que se adquiere por 1.000 € y se amortiza por 1.110 €. Bono B: Bono cupón cero a dos años que se adquiere por 600 € y se amortiza por 726 €.

Determine el precio de adquisición de un Bono del Estado de nominal 1.000 € que proporciona un cupón anual del 11% y al que restan dos años para su amortización.

(6)

Rentabilidad de un Bono

Solución TIR 10% efectivo anual

Cupón % 10% anual

Nominal $100.00

Cupón $10.00 anual

Año Flujo Caja

0 -$100.00 1 $10.00 2 $10.00

3 $10.00 TIR 10%

4 $10.00

5 $110.00 También se puede calcular la TIR acudiendo la la fórmula TIR de Excel.

TIR 10%

Un bono estandar es aquel que cumple las siguientes condiciones: 1 Se adquiere por el nominal

2 Se amortiza por el nominal (no existe prima de amortización) 3 La periodicidad de cobro de cupón es constante.

#VALUE!

Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años, cupón 10% anual que se adquiere por el nominal.

Por ser un bono estandar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. O bien diciendo que la TIR coincide con el Cupón expresado en porcentaje.

Un bono estandar se puede interpretar como un préstamo americano. Por ello, se puede calcular el tipo de interés que paga sin más que dividir el cupón entre el nominal. Esto es, cupón (en %) y TIR coinciden.

(7)

También se puede calcular la TIR acudiendo la la fórmula TIR de Excel.

Se amortiza por el nominal (no existe prima de amortización) Por ser un bono estandar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. O bien diciendo que la TIR coincide con el Cupón expresado en porcentaje.

Un bono estandar se puede interpretar como un préstamo americano. Por ello, se puede calcular el tipo de interés que paga sin más que dividir el cupón entre el nominal. Esto es, cupón (en %) y TIR coinciden.

(8)

Rentabilidad de un Bono de cupón semestral

Solución TIR 10.25% efectivo anual

Cupón % 5% semestral

Nominal $100.00

Cupón $5.00 semestral

Semestre Flujo Caja

0 -$100.00 1 $5.00 2 $5.00 3 $5.00 TIR semestral 5% 4 $5.00 TIR 10.25% 5 $5.00

6 $5.00 También se puede calcular la TIR acudiendo la la fórmula TIR de Excel.

7 $5.00

8 $5.00 TIR semestral 5%

9 $5.00 TIR 10.25%

10 $105.00

Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años, cupón del 5% semestral que se adquiere por el nominal.

Por ser un bono estandar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. O bien diciendo que la TIR coincide con el Cupón expresado en porcentaje. Pero en este caso al ser semestrales los flujos, la TIR es semestral. Finalmente hemos de anualizarla.

(9)

También se puede calcular la TIR acudiendo la la fórmula TIR de Excel. Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años, cupón del 5% semestral que se adquiere por el nominal.

Por ser un bono estandar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. O bien diciendo que la TIR coincide con el Cupón expresado en porcentaje. Pero en este caso al ser semestrales los flujos, la TIR es semestral. Finalmente hemos de anualizarla.

(10)

TIR de un Bono

Solución TIR 5.8824% efectivo anual

Cupón % 6% anual Nominal $1,000.00 Cupón $60.00 anual Prima Amort. $20.00 Precio % $1.02 Precio $1,020.00 TIR 5.8824%

Año Flujos Caja

0 -$1,020.00

1 $60.00 TIR 5.8824%

2 $60.00

3 $60.00

4 $1,080.00

En el mercado secundario cotiza un bono al 102% sobre el nominal que es de 1.000 $, paga un cupón del 6% anual venciendo el primero de ellos dentro de un año. El bono madura a los 4 años y paga una prima de amortización de 20 $. Calcular la TIR.

Este bono no es un bono estandar , pero como coincide el precio de adquisición con el de amortización más la prima (1.020 $) se puede calcular la TIR como si de un bono estandar se tratara. Esto es, dividiendo el cupón entre el precio de adquisición.

También se puede calcular la TIR usando la fórmula de Excel

(11)

En el mercado secundario cotiza un bono al 102% sobre el nominal que es de 1.000 $, paga un cupón del 6% anual venciendo el primero de ellos dentro de un año. El bono madura a los 4 años y paga una prima de amortización de 20 $. Calcular la TIR.

Este bono no es un bono estandar , pero como coincide el precio de adquisición con el de amortización más la prima (1.020 $) se puede calcular la TIR como si de un bono estandar se tratara. Esto es, dividiendo el cupón entre el precio de adquisición.

También se puede calcular la TIR usando la fórmula de Excel

(12)

Precio de un Bono en el mercado secundario

TIR 3.40% efectivo anual Precio 99.45 €

TIR trimestral 0.8394% efectivo trimestral Tiempo 3 años y 9 meses

Trimestres 15 Trimestres Cupón % 1.50% semestral Cupón $1.50 semestrales Nominal $100.00

Trimestre Flujos Caja

0 - P 1 $1.50 2 $0.00 3 $1.50 4 $0.00 5 $1.50 6 $0.00 7 $1.50 8 $0.00 9 $1.50 10 $0.00 11 $1.50 12 $0.00 13 $1.50 14 $0.00 15 $101.50

Sabemos que el tiempo entre la adquisición y el cobro del primer cupón es de un trimestre ya que la amortización del bono coincide con el pago del último cupón, y contando los periodos hacia atrás en el tiempo llegamos a la conclusión de que el bono se adquiere en t=1/2 semestres.

Determinar el precio de adquisición de un bono en el mercado secundario que cotiza al 3,4% efectivo anual y al que restan para su amortización 3 años y 9 meses. El cupón es del 1,5% semestral.

El precio del bono es el Valor Actual de los Flujos de Caja que promete el bono a futuro, descontados a su TIR.

Ha sido necesario trabajar con perodicidad trimestral porque el tiempo más pequeño entre dos fluos de caja es el trimestre. Concretamente, el tiempo entre la adquisición y el cobro del primer cupón. Además para que el VAN funcione es imprescindible poner flujo de caja cero en los trimestres donde no se paga cupón. Si esas celdas se dejan vacias la formula no funciona bien.

(13)

Sabemos que el tiempo entre la adquisición y el cobro del primer cupón es de un trimestre ya que la amortización del bono coincide con el pago del último cupón, y contando los periodos hacia atrás en el tiempo llegamos a la conclusión de que el bono se adquiere en t=1/2 semestres.

Determinar el precio de adquisición de un bono en el mercado secundario que cotiza al 3,4% efectivo anual y al que restan para su amortización 3 años y 9 meses. El cupón es del 1,5% semestral.

El precio del bono es el Valor Actual de los Flujos de Caja que promete el bono a futuro, descontados a su TIR.

Ha sido necesario trabajar con perodicidad trimestral porque el tiempo más pequeño entre dos fluos de caja es el trimestre. Concretamente, el tiempo entre la adquisición y el cobro del primer cupón. Además para que el VAN funcione es imprescindible poner flujo de caja cero en los trimestres donde no se paga cupón. Si esas celdas se dejan vacias la formula no funciona bien.

(14)

Prima de amortización

Solución TIR 6.7554% efectivo anual

Cupón nominal % 6% nominal anual

Cupón % 3% semestral Nominal $1,000.00 Cupón $30.00 semestral Prima Amort. $10.00 Precio % $1.00 Precio $1,000.00

Semestre Flujo Caja TIR semestral 3.32% 0 -$1,000.00

1 $30.00 TIR 6.7554%

2 $30.00

3 $1,040.00

Un inversor adquiere un bono en el mercado secundario por el nomial. El bono paga un cupón semestral del 6% nominal anual, venciendo el próximo dentro de 6 meses, y se amortiza dentro de 18 meses, con una prima de amortización de 10 $. El nominal del bono es de 1.000 $. Calcular la rentabilidad del bono.

(15)

efectivo semestral efectivo anual

Un inversor adquiere un bono en el mercado secundario por el nomial. El bono paga un cupón semestral del 6% nominal anual, venciendo el próximo dentro de 6 meses, y se amortiza dentro de 18 meses, con una prima de amortización de 10 $. El nominal del bono es de 1.000 $. Calcular la rentabilidad del bono.

(16)

Nominal del bono

Solución Nominal 1,250.00 € Cupón nominal % 8% nominal anual

m 2 numero de subperiodos contenidos en el periodo Cupón semestral % 4%

Cupón 50 €

Cupón (€) = Cupón (%) x Nominal Nominal 1,250.00 €

Se puede adquirir un bono en el mercado secundario por P €. Su nominal es N € y vence dentro de 3 años y 2 meses. El bono proporciona un cupón semestral del 8% nominal anual. El primer cupón por importe de 50 € se cobrará dentro de p meses. Calcular N.

(17)

Se puede adquirir un bono en el mercado secundario por P €. Su nominal es N € y vence dentro de 3 años y 2 meses. El bono proporciona un cupón semestral del 8% nominal anual. El primer cupón por importe de 50 € se cobrará dentro de p meses. Calcular N.

(18)

Deuda perpétua

Solución Precio 330 Cupón % 3% anual Nominal 1,000.00 € Cupón 30.00 € anuales TIR 10%

Año Prestación Contraprestación Precio 330.00 €

0 - P 30 1 30 Precio 330.00 € 2 30 3 30 4 30 5 30 6 30 7 30 8 30 9 30 10 30 11 30 12 30 13 30 14 30 15 30 : : : : : :

30

Determinar el precio de mercado de un bono de deuda perpétua con cupón anual del 3%, TIR del 10%, nominal de 1.000 € y sabiendo que hoy cobrará el cupón.

El precio de un bono es el valor actual de los flujos de caja futuros descontados a su TIR.

(19)

Determinar el precio de mercado de un bono de deuda perpétua con cupón anual del 3%, TIR del 10%, nominal de 1.000 € y sabiendo que hoy cobrará el cupón.

El precio de un bono es el valor actual de los flujos de caja futuros descontados a su TIR.

(20)

Cupón que percibe el inversor

Solución Cupón 32.70 € Precio 970.00 €

Nominal 1,000.00 €

Tiempo 4 años

C/C 2% efectivo anual Saldo en C/C 1,134.76 € 1,134.76 €

Rentabilidad inversor 4% Rentabilidad del inversor 4.000000% efectivo anual

Cupón 32.70 € <-- Método 1

Año Flujo Caja Flujos Caja V.F. C/C

0 -970- 970.00 € 1 C 32.70 € 34.70 € 2 C 32.70 € 34.02 € 3 C 32.70 € 33.35 € 4 1000+C 1,032.70 € 1,032.70 € Cupón 32.70 € <-- Método 2

Don Andrés adquiere un bono en el mercado primario por 970 €. El bono es de 1.000 € nominales y proporciona un cupón de C € durante 4 años, amortizándose por el nominal. Todos los cupones se ingresan en una cuenta corriente bancaria que proporciona una rentabilidad del 2% efectivo anual. Si Don Andrés obtiene una rentabilidad del 4% efectivo anual durante los 4 años por sus 970 €, determinar el importe del cupón.

Otra forma de resolverlo es plantear la ecuación, despejarla y efectuar los cálculos con la ayuda de Excel

(21)
(22)

Meses transcurridos

Solución Meses 4

Precio 1,349.89 €

Cupón 20 € semestral

TIR 3% efectivo anual

TIR semestral 1.4889% efectivo semestral TIR mensual 0.2466% efectivo mensual Vencimiento Perpétua

Semestre Flujos Caja Valor Actual de la Renta Perpétua en t=1 semestres

0 1 Valor de la Renta 1 mes antes

1 20 € 2 Valor de la Renta 2 meses antes

2 20 € 3 Valor de la Renta 3 meses antes

3 20 € 4 Valor de la Renta 4 meses antes

4 20 € 5 Valor de la Renta 5 meses antes

5 20 € 6 Valor de la Renta 6 meses antes

6 20 € 7 Valor de la Renta 7 meses antes

7 20 € 8 Valor de la Renta 8 meses antes

8 20 €

: :

: :

: :

20+N Diferencia

Doña Isabel adquiere un bono de deuda pertétua en el mercado secundario por 1.349,89 €. El bono paga un cupón semestral de 20 €. La TIR del bono en el momento de la compra es del 3%. Calcular cuantos meses transcurren desde la compra hasta el cobro del primer cupón.

Otra forma de resolverlo con Buscar Objetivo Meses

(23)

1,363.26 € 0 1,359.91 € 1 1,356.56 € 2 1,353.22 € 3 1,349.89 € 4 1,346.57 € 5 1,343.26 € 6 1,339.95 € 7 1,336.66 € 8 1,349.89 € 4.00 - € Doña Isabel adquiere un bono de deuda pertétua en el mercado secundario por 1.349,89 €. El bono paga un cupón semestral de 20 €. La TIR del bono en el momento de la compra es del 3%. Calcular cuantos meses transcurren desde la compra hasta el cobro del primer cupón.

(24)

ETTI del cuarto año

Año Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E ETTI Factor Bono F Bono G Bono H

0 (100.00) (101.50) (870.00) (99.00) (10,056.47) (9,816.00) (102,170,527.92) (97,427,928,239.95) 1 104.00 5.00 0.00 4.80 0.00 4% 0.96153846 0.00 0.00 0.00 2 105.00 0.00 4.80 10,920.00 4.205% 0.92092258 499.20 0.00 0.00 3 1,000.00 4.80 4.751% 0.87 499.20 5,451,264.00 0.00 4 104.80 5.1316422% 0.81858957 10,899.20 119,019,264.00 119,019,264,000.00 TIR 4% 4.2% 4.751% 5.083% 4.205% 5.1316422% Precio D 99 Diferencia 0.00 Coeficientes: -0.16847215 -0.17521104 -0.01839716 3.83274149

Año Bono A Bono B Bono C Bono D Bono H

0 (100.00) (101.50) (870.00) (99.00) -328.80 1 104.00 5.00 0.00 4.80 0.00 2 105.00 0.00 4.80 0.00 3 1,000.00 4.80 0.00 4 104.80 401.67 5.1316422% En el mercado secundario cotizan los siguientes bonos:

A. Bono cupón cero a un año. TIR del 4%

B. Bono cupón explícito a dos años. Cupón anual del 5% y TIR del 4,2%.

C. Bono cupón cero a tres años, que se adquiere por 870 € y se amortiza por el nominal que es de 1.000 €. D. Bono cupón explícito a cuatro años. Cupón anual del 4,8% y precio de adquisición del 99% sobre el nominal Calcular la TIR de un bono cupón cero a cuatro años.

(25)

ECO

Cupón de un Bono

Cupón 41.6953<-- Método 1

Año Bono Cta. Cte. Montante Neto

0 -900.00 -900.00 1 41.70 -41.70 0.00 2 41.70 -41.70 0.00 3 41.70 -41.70 0.00 4 1,041.70 -1,041.70 1,179.71 1,179.71 5% 6.99990131% 7.00000000% -0.00009869% Cupón 41.6963<-- Método 2

Un inversor adquiere un bono en el mercado primario por 900 €. El bono es de 1.000 € nominales y proporciona un

cupón anual de C € durante 4 años, amortizándose por el nominal. Todas las cuantías recibidas se ingresan en una cuenta

corriente bancaria que proporciona una rentabilidad del 5% efectivo anual. Si el inversor obtiene una rentabilidad del 7%

efectivo anual durante los 4 años por sus 900 €, determinar el importe del cupón C.

#VALUE!

1

0

,

07

1000

(26)

Bono perpétuo

Años Flujo caja Años Flujo caja Cupón

0- 1,000.00 € 0- 1,000.00 € Precio 1 52.00 € 1 52.00 € 2 52.00 € 2 52.00 € 3 52.00 € 3 52.00 € 4 52.00 € 4 52.00 € Método 1 5 52.00 € : : Método 2 6 52.00 € : : Método 3 7 52.00 € : :

1,052.00 €

1,052.00 €

Calcular la TIR de un bono perpétuo que paga un cupón de 52 € anuales y se adquiere por 1.000 €. El próximo cupón vence dentro de 1 año.

(27)

52.00 € 1,000.00 € TIR 5.200% 5.200% 5.200% Calcular la TIR de un bono perpétuo que paga un cupón de 52 € anuales y se adquiere por 1.000 €. El próximo cupón vence dentro de 1 año.

(28)

Bono perpétuo con cobro del primer cupón a distinta frecuencia

Semestre Flujo Caja TIR

0 -1026 Precio 1,026.00 € VA 1,026.00008 € 1 52 VAN 1,026.00 € TIR 5.1983% 2 0 TIR 5.1983% VA-Precio 0.00 € 3 52 4 0 5 52 6 0 7 52 8 0 9 52 10 0 11 52 12 0 13 52 14 0 15 52 16 0 17 52 -7.5299407% 18 0 -7.5299407% 19 52 -5.9879551% 20 0 -5.9879551% 21 52 -4.7651143% 22 0 -4.7651143% 23 52 -3.7781911% 24 0 -3.7781911% 25 52 -2.9697189% 26 0 -2.9697189% 27 52 -2.2989090% 28 0 -2.2989090% 29 52 -1.7361149% 30 0 -1.7361149% 31 52 -1.2593397% 32 0 -1.2593397% 33 52 -0.8519646% 34 0 -0.8519646% 35 52 -0.5012320% 36 0 -0.5012320% 37 52 -0.1972081% 38 0 -0.1972081% 39 52 0.0679413% 40 0 0.0679413%

Calcular la TIR de un bono perpétuo que paga un cupón de 52 € anuales y se adquiere por 1.026 €. El próximo cupón vence dentro de 6 meses.

Método 1 Método 2 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 1 49 97 145 193 241 289 337 385 433 Evolución de la TIR

(29)

41 52 0.3004653% 42 0 0.3004653% 43 52 0.5054009% 44 0 0.5054009% 45 52 0.6868465% 46 0 0.6868465% 47 52 0.8481652% 48 0 0.8481652% 49 52 0.9921393% 50 0 0.9921393% 51 52 1.1210865% 52 0 1.1210865% 53 52 1.2369511% 54 0 1.2369511% 55 52 1.3413740% 56 0 1.3413740% 57 52 1.4357480% 58 0 1.4357480% 59 52 1.5212618% 60 0 1.5212618% 61 52 1.5989348% 62 0 1.5989348% 63 52 1.6696454% 64 0 1.6696454% 65 52 1.7341539% 66 0 1.7341539% 67 52 1.7931208% 68 0 1.7931208% 69 52 1.8471224% 70 0 1.8471224% 71 52 1.8966633% 72 0 1.8966633% 73 52 1.9421868% 74 0 1.9421868% 75 52 1.9840834% 76 0 1.9840834% 77 52 2.0226985% 78 0 2.0226985% 79 52 2.0583385% 80 0 2.0583385% 81 52 2.0912754% 82 0 2.0912754% 83 52 2.1217519% 84 0 2.1217519% 85 52 2.1499851% 86 0 2.1499851% 87 52 2.1761689% 88 0 2.1761689% 89 52 2.2004780% 90 0 2.2004780% 91 52 2.2230691% 92 0 2.2230691% 93 52 2.2440837% 94 0 2.2440837% 95 52 2.2636495% 96 0 2.2636495%

(30)

99 52 2.2988867% 100 0 2.2988867% 101 52 2.3147580% 102 0 2.3147580% 103 52 2.3295829% 104 0 2.3295829% 105 52 2.3434401% 106 0 2.3434401% 107 52 2.3564017% 108 0 2.3564017% 109 52 2.3685335% 110 0 2.3685335% 111 52 2.3798957% 112 0 2.3798957% 113 52 2.3905435% 114 0 2.3905435% 115 52 2.4005274% 116 0 2.4005274% 117 52 2.4098939% 118 0 2.4098939% 119 52 2.4186859% 120 0 2.4186859% 121 52 2.4269427% 122 0 2.4269427% 123 52 2.4347005% 124 0 2.4347005% 125 52 2.4419930% 126 0 2.4419930% 127 52 2.4488510% 128 0 2.4488510% 129 52 2.4553031% 130 0 2.4553031% 131 52 2.4613758% 132 0 2.4613758% 133 52 2.4670936% 134 0 2.4670936% 135 52 2.4724793% 136 0 2.4724793% 137 52 2.4775540% 138 0 2.4775540% 139 52 2.4823373% 140 0 2.4823373% 141 52 2.4868473% 142 0 2.4868473% 143 52 2.4911012% 144 0 2.4911012% 145 52 2.4951145% 146 0 2.4951145% 147 52 2.4989021% 148 0 2.4989021% 149 52 2.5024776% 150 0 2.5024776% 151 52 2.5058538% 152 0 2.5058538%

(31)

153 52 2.5090427% 154 0 2.5090427% 155 52 2.5120553% 156 0 2.5120553% 157 52 2.5149022% 158 0 2.5149022% 159 52 2.5175930% 160 0 2.5175930% 161 52 2.5201369% 162 0 2.5201369% 163 52 2.5225424% 164 0 2.5225424% 165 52 2.5248175% 166 0 2.5248175% 167 52 2.5269696% 168 0 2.5269696% 169 52 2.5290059% 170 0 2.5290059% 171 52 2.5309329% 172 0 2.5309329% 173 52 2.5327567% 174 0 2.5327567% 175 52 2.5344833% 176 0 2.5344833% 177 52 2.5361180% 178 0 2.5361180% 179 52 2.5376660% 180 0 2.5376660% 181 52 2.5391320% 182 0 2.5391320% 183 52 2.5405207% 184 0 2.5405207% 185 52 2.5418363% 186 0 2.5418363% 187 52 2.5430828% 188 0 2.5430828% 189 52 2.5442640% 190 0 2.5442640% 191 52 2.5453834% 192 0 2.5453834% 193 52 2.5464445% 194 0 2.5464445% 195 52 2.5474503% 196 0 2.5474503% 197 52 2.5484038% 198 0 2.5484038% 199 52 2.5493079% 200 0 2.5493079% 201 52 2.5501652% 202 0 2.5501652% 203 52 2.5509782% 204 0 2.5509782% 205 52 2.5517492% 206 0 2.5517492% 207 52 2.5524806% 208 0 2.5524806%

(32)

211 52 2.5538325% 212 0 2.5538325% 213 52 2.5544569% 214 0 2.5544569% 215 52 2.5550493% 216 0 2.5550493% 217 52 2.5556115% 218 0 2.5556115% 219 52 2.5561449% 220 0 2.5561449% 221 52 2.5566512% 222 0 2.5566512% 223 52 2.5571317% 224 0 2.5571317% 225 52 2.5575877% 226 0 2.5575877% 227 52 2.5580206% 228 0 2.5580206% 229 52 2.5584315% 230 0 2.5584315% 231 52 2.5588216% 232 0 2.5588216% 233 52 2.5591919% 234 0 2.5591919% 235 52 2.5595435% 236 0 2.5595435% 237 52 2.5598774% 238 0 2.5598774% 239 52 2.5601943% 240 0 2.5601943% 241 52 2.5604953% 242 0 2.5604953% 243 52 2.5607811% 244 0 2.5607811% 245 52 2.5610525% 246 0 2.5610525% 247 52 2.5613102% 248 0 2.5613102% 249 52 2.5615550% 250 0 2.5615550% 251 52 2.5617875% 252 0 2.5617875% 253 52 2.5620082% 254 0 2.5620082% 255 52 2.5622180% 256 0 2.5622180% 257 52 2.5624172% 258 0 2.5624172% 259 52 2.5626064% 260 0 2.5626064% 261 52 2.5627861% 262 0 2.5627861% 263 52 2.5629568% 264 0 2.5629568%

(33)

265 52 2.5631190% 266 0 2.5631190% 267 52 2.5632731% 268 0 2.5632731% 269 52 2.5634194% 270 0 2.5634194% 271 52 2.5635585% 272 0 2.5635585% 273 52 2.5636906% 274 0 2.5636906% 275 52 2.5638161% 276 0 2.5638161% 277 52 2.5639353% 278 0 2.5639353% 279 52 2.5640486% 280 0 2.5640486% 281 52 2.5641563% 282 0 2.5641563% 283 52 2.5642586% 284 0 2.5642586% 285 52 2.5643557% 286 0 2.5643557% 287 52 2.5644481% 288 0 2.5644481% 289 52 2.5645358% 290 0 2.5645358% 291 52 2.5646192% 292 0 2.5646192% 293 52 2.5646984% 294 0 2.5646984% 295 52 2.5647737% 296 0 2.5647737% 297 52 2.5648453% 298 0 2.5648453% 299 52 2.5649133% 300 0 2.5649133% 301 52 2.5649779% 302 0 2.5649779% 303 52 2.5650393% 304 0 2.5650393% 305 52 2.5650976% 306 0 2.5650976% 307 52 2.5651530% 308 0 2.5651530% 309 52 2.5652057% 310 0 2.5652057% 311 52 2.5652558% 312 0 2.5652558% 313 52 2.5653034% 314 0 2.5653034% 315 52 2.5653486% 316 0 2.5653486% 317 52 2.5653916% 318 0 2.5653916% 319 52 2.5654325% 320 0 2.5654325%

(34)

323 52 2.5655082% 324 0 2.5655082% 325 52 2.5655433% 326 0 2.5655433% 327 52 2.5655766% 328 0 2.5655766% 329 52 2.5656083% 330 0 2.5656083% 331 52 2.5656384% 332 0 2.5656384% 333 52 2.5656670% 334 0 2.5656670% 335 52 2.5656942% 336 0 2.5656942% 337 52 2.5657200% 338 0 2.5657200% 339 52 2.5657446% 340 0 2.5657446% 341 52 2.5657680% 342 0 2.5657680% 343 52 2.5657901% 344 0 2.5657901% 345 52 2.5658112% 346 0 2.5658112% 347 52 2.5658313% 348 0 2.5658313% 349 52 2.5658504% 350 0 2.5658504% 351 52 2.5658685% 352 0 2.5658685% 353 52 2.5658857% 354 0 2.5658857% 355 52 2.5659021% 356 0 2.5659021% 357 52 2.5659176% 358 0 2.5659176% 359 52 2.5659324% 360 0 2.5659324% 361 52 2.5659464% 362 0 2.5659464% 363 52 2.5659598% 364 0 2.5659598% 365 52 2.5659725% 366 0 2.5659725% 367 52 2.5659846% 368 0 2.5659846% 369 52 2.5659960% 370 0 2.5659960% 371 52 2.5660069% 372 0 2.5660069% 373 52 2.5660173% 374 0 2.5660173% 375 52 2.5660272% 376 0 2.5660272%

(35)

377 52 2.5660365% 378 0 2.5660365% 379 52 2.5660454% 380 0 2.5660454% 381 52 2.5660539% 382 0 2.5660539% 383 52 2.5660619% 384 0 2.5660619% 385 52 2.5660696% 386 0 2.5660696% 387 52 2.5660768% 388 0 2.5660768% 389 52 2.5660837% 390 0 2.5660837% 391 52 2.5660903% 392 0 2.5660903% 393 52 2.5660966% 394 0 2.5660966% 395 52 2.5661025% 396 0 2.5661025% 397 52 2.5661081% 398 0 2.5661081% 399 52 2.5661135% 400 0 2.5661135% 401 52 2.5661186% 402 0 2.5661186% 403 52 2.5661234% 404 0 2.5661234% 405 52 2.5661280% 406 0 2.5661280% 407 52 2.5661324% 408 0 2.5661324% 409 52 2.5661366% 410 0 2.5661366% 411 52 2.5661405% 412 0 2.5661405% 413 52 2.5661443% 414 0 2.5661443% 415 52 2.5661478% 416 0 2.5661478% 417 52 2.5661512% 418 0 2.5661512% 419 52 2.5661545% 420 0 2.5661545% 421 52 2.5661575% 422 0 2.5661575% 423 52 2.5661605% 424 0 2.5661605% 425 52 2.5661632% 426 0 2.5661632% 427 52 2.5661659% 428 0 2.5661659% 429 52 2.5661684% 430 0 2.5661684% 431 52 2.5661707% 432 0 2.5661707%

(36)

435 52 2.5661752% 436 0 2.5661752% 437 52 2.5661772% 438 0 2.5661772% 439 52 2.5661792% 440 0 2.5661792% 441 52 2.5661810% 442 0 2.5661810% 443 52 2.5661828% 444 0 2.5661828% 445 52 2.5661844% 446 0 2.5661844% 447 52 2.5661860% 448 0 2.5661860% 449 52 2.5661875% 450 0 2.5661875% 451 52 2.5661890% 452 0 2.5661890% 453 52 2.5661903% 454 0 2.5661903% 455 52 2.5661916% 456 0 2.5661916% 457 52 2.5661929% 458 0 2.5661929% 459 52 2.5661940% 460 0 2.5661940% 461 52 2.5661951% 462 0 2.5661951% 463 52 2.5661962% 464 0 2.5661962% 465 52 2.5661972% 466 0 2.5661972% 467 52 2.5661982% 468 0 2.5661982% 469 52 2.5661991% 470 0 2.5661991% 471 52 2.5661999% 472 0 2.5661999% 473 52 2.5662008% 474 0 2.5662008% 475 52 2.5662015% 476 0 2.5662015% 477 52 2.5662023% 478 0 2.5662023% 479 52 2.5662030% 480 0 2.5662030% 481 52 2.5662037% 482 0 2.5662037% 483 52 2.5662043% 484 0 2.5662043% 485 52 2.5662049% 486 0 2.5662049% 487 52 2.5662055% 488 0 2.5662055%

(37)

489 52 2.5662060% 490 0 2.5662060% 491 52 2.5662065% 492 0 2.5662065% 493 52 2.5662070% 494 0 2.5662070% 495 52 2.5662075% 496 0 2.5662075% 497 52 2.5662080% 498 0 2.5662080% 499 52 2.5662084% 500 0 2.5662084%

(38)

Cupón 52.00 € Precio 1,026.00 €

(39)

Dos inversiones

Inversión A Inversión B Año Montante 0 Ca 1 88,037.15 $ 2 VFa= 99,479.25 $ 3 99,479.25 $

Ca(1+i)=88037,15 88037,15(1+i)2=99479,25 ia= 6.30% Ca(1+i)3=99479,25

Ca= 82,819.52 $

C= 201,133.12 € Cb= 118,313.60 $

Un bono

Semestre Flujo Caja

0 -E 1 16.53 i2= 0.9950% 2 16.53 3 16.53 4 16.53 VF de un Bono = 451.68 $ 5 16.53 6 366.53

#VALUE!

Un ahorrador dispone de un capital inicial de C $ que desea invertir durante 3 años. Con este capital acomete dos inversiones simultaneamente (A y B). El capital destinado a la inversión A es un 30% menor que el destinado a la inversión B.

Imposición a interés compuesto durante 3 años. El montante alcanzado durante el primer año asciende a 88.037,15 $ y al final del tercer año es de 99.479,25 $

Aquiere q bonos que serán amortizados dentro de 3 años. Cada bono proporciona cupones semestrales de 16,53 $, venciendo el próximo dentro de 6 meses. Cada bono se amortiza por el nominal (350 $) y se adquiere por E $. Los cupones son ingresados, en el momento de percibirse, en una cuenta bancaria que proporciona una rentabilidad del 2% efectivo anual.

VF=VFa+VFb VF=C(1+0,043)^3

Sabiendo que la rentabilidad obtenida por éste señor durante los 3 años, por sus C $ iniciales, ha sido del 4,3% efectivo anual, calcular q.

Inversión A

Inversión B

(40)

Número de bonos 285.00634 bonos

(41)

Un ahorrador dispone de un capital inicial de C $ que desea invertir durante 3 años. Con este capital acomete dos inversiones simultaneamente (A y B). El capital destinado a la inversión A es un 30% menor que el destinado a la inversión B.

Imposición a interés compuesto durante 3 años. El montante alcanzado durante el primer año asciende a 88.037,15 $ y al final del tercer año es de 99.479,25 $

Aquiere q bonos que serán amortizados dentro de 3 años. Cada bono proporciona cupones semestrales de 16,53 $, venciendo el próximo dentro de 6 meses. Cada bono se amortiza por el nominal (350 $) y se adquiere por E $. Los cupones son ingresados, en el momento de percibirse, en una cuenta bancaria que proporciona una rentabilidad del 2% efectivo anual.

Sabiendo que la rentabilidad obtenida por éste señor durante los 3 años, por sus C $ iniciales, ha sido del 4,3% efectivo anual, calcular q.

(42)

Suponga un bono a cuatro años con un cupón anual del 5% y un nominal de $100. Si el rendimiento del mercado es de un 8%, ¿cuál es la duración de este bono? Respuesta

1 2 3 4 5

Periodo Cupón Factor de 4=(1*2)/3 5=2/3 Descuento 0 1 5 1.08 4.6296296 4.6296296 2 5 1.1664 8.5733882 4.2866941 3 5 1.259712 11.907484 3.9691612 4 105 1.360489 308.71254 77.178135 333.82304 90.063619 Duración = 3743.7619/848.36853 = 3.706525 La duración del bono es de 3.71 años

(43)
(44)

Un inversionista está considerando invertir en dos bonos, A y B. El bono A genera cupones de UF50 por año y entrega un nominal de UF1000 al cabo de 5 años.

El bono B, es un bono a 3 años que entrega UF65 por año y un principal de UF1000 al vencimiento. Si el horizonte de planificación del inversionista es de 3.5 años y la tasa de mercado es de un 7%, ¿cuánto debe invertir en cada uno de los bonos?

Respuesta

Como primer paso se debe calcular la duración de cada bono, así la duración del bono A será:

1 2 3 4 5

Periodo Cupón Factor de 4=(1*2)/3 5=2/3 Descuento 0 1 50 1.07 46.728972 46.728972 2 50 1.1449 87.343873 43.671936 3 50 1.225043 122.44468 40.814894 4 50 1.310796 152.57904 38.144761 5 1050 1.4025517 3743.1774 748.63549 4152.274 917.99605 Duración: 4.523194 1 2 3 4 5

Periodo Cupón Factor de 4=(1*2)/3 5=2/3 Descuento 0 1 65 1.07 60.747664 60.747664 2 65 1.1449 113.54703 56.773517 3 1065 1.225043 2608.0717 869.35724 2782.3664 986.87842 Duración: 2.819361

Se sabe que la duración de una cartera se obtiene promediando de duración de cada bono, por lo tanto, como el horizonte de inversión del agente es de 3.5 años, para determinar el monto a invertir en cada bono, se debe resolver la siguiente ecuación:

3.5 = w*4.523194 + (1-w)*2.819361 w=0.399

(45)
(46)

Si el horizonte de planificación del inversionista es de 3.5 años y la tasa de mercado es de un 7%,

Como primer paso se debe calcular la duración de cada bono, así la duración del bono A será:

Se sabe que la duración de una cartera se obtiene promediando de duración de cada bono, por lo tanto, como el horizonte de inversión del agente es de 3.5 años, para determinar el

(47)
(48)

Bonos de igual cupón en euros

Año Bono A Bono B Bono Cupón 0

0 -1000 -500 -500 1 50 50 0 2 50 50 0 3 1200 550 650 TIR 9.55% 10.00% 9.139288% Cupón 5% 10% 0%

Dos bonos se amortizan en la misma fecha, dentro de 3 años. Ambos bonos se pueden adquirir hoy a la par: el bono A por 1.000 € y el bono B por 500 €. Ambos proporcionan un cupón anual, el bono A del 5% y el bono B del 10%. El bono A tiene una prima de amortización de 150 €. Se pide calcular la TIR de un bono cupón cero a tres años que se adquiera en la misma fecha que los otros dos bonos.

(49)

Réplica del Bono Cupón cero a ocho años

Año (s) ETTI (1+

rs

)-s Bono A Bono B Bono C

0 -1,115.23 € -808.55 € -501.87 € 1 2% 0.9803922 100.00 € 50.00 € 0.00 € 2 3% 0.9425959 100.00 € 50.00 € 0.00 € 3 4% 0.8889964 100.00 € 50.00 € 0.00 € 4 5% 0.8227025 100.00 € 50.00 € 0.00 € 5 6% 0.7472582 100.00 € 50.00 € 0.00 € 6 7% 0.6663422 100.00 € 50.00 € 0.00 € 7 8% 0.5834904 100.00 € 50.00 € 0.00 € 8 9% 0.5018663 1,100.00 € 1,050.00 € 1,000.00 € 7.9952% 8.3797% 9.0000%

#VALUE!

Sean dos bonos A y B que maduran dentro de 8 años. El bono A se emitió hace 22 años cuando los tipos de interés estaban altos y proporciona un cupón del 10% anual. Por el contrario, el bono B se emitió hace 2 años cuando los tipos de interés estaban más bajos y proporciona un cupón del 5% anual. El nominal es de 1.000 €. La ETTI que se deduce del mercado en estos momentos es la siguiente: A plazo de un año es del 2%, y experimenta incrementos de un punto al año, hasta llegar al 9% para un plazo de 8 años. Calcular las TIR de los bonos A y B. Crear un Bono C sintético

combinando los bonos A y B, que sea un Bono Cupón Cero a un plazo de 8 años. Y calcular la TIR del bono C.

TIR

Observe que la TIR A es distinta de la TIR B. Esto se debe a que la TIR es una media de rentabilidades ponderada por los flujos de caja. Y el bono B tiene mayor peso relativo que el bono A, en el largo plazo (en la amortización). Esto unido a que, al ser la ETTI a largo superior a la ETTI a corto, hace que la TIR del bono B sea superior a la TIR del bono A.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 1 2 3 4 5 6

(50)

mayor peso relativo que el bono A, en el largo plazo (en la amortización). Esto unido a que, al ser la ETTI a largo superior a la ETTI a corto, hace que la TIR del bono B sea superior a la TIR del bono A.

(51)
(52)

Sensibilidad del precio de un bono ante las variaciones de los tipos de interés

Bono A Bono B Bono A Bono B

TIR 5% 5% TIR 4% 4% TIR

Nuevo Precio 102.78 € 117.29 € Nuevo Precio

Año Bono A Bono B

0 -100.00 € -100.00 € 1 5.00 € 5.00 € 2 5.00 € 5.00 € 3 105.00 € 5.00 € 4 5.00 € 5 5.00 € 6 5.00 € 7 5.00 € 8 5.00 € 9 5.00 € 10 5.00 € 11 5.00 € 12 5.00 € 13 5.00 € 14 5.00 € 15 5.00 € 16 5.00 € 17 5.00 € 18 5.00 € 19 5.00 € 20 5.00 € 21 5.00 € 22 5.00 € 23 5.00 € 24 5.00 € 25 5.00 € 26 5.00 € 27 5.00 € 28 5.00 € 29 5.00 € 30 105.00 €

Vea que al bajar la rentabilidad al 4% el precio de ambos bonos aumenta, y que al subir la rentabilidad al 6% el precio de ambos bonos se reduce.

Segunda Regla de Oro de la Renta Fija

La sensibilidad de un bono ante las variaciones de los tipos de interés es mayor cuanto mayor es la duración del bono.

Vea que el bono a 30 años incrementa más el precio cuando la rentabilidad cae, y reduce más el precio cuando la rentabilidad aumenta. El bono a 30 años es más En el mercado cotizan a la par dos bonos (A y B) que pagan un cupón del 5%

anual, y se amortizan por el nominal. El bono A es un bono a 3 años, mientras que el bono B vence a los 30 años. La TIR de ambos en este momento es del 5%. Si repentinamente la TIR de ambos bonos cae un punto, calcular como influye esto en el precio de ambos bonos. ¿Y si la TIR aumentara un punto?

Primera Regla de Oro de la Renta Fija

(53)

Sensibilidad del precio de un bono ante las variaciones de los tipos de interés

Bono A Bono B

6% 6%

97.33 € 86.24 €

Vea que al bajar la rentabilidad al 4% el precio de ambos bonos aumenta, y que al subir la rentabilidad al 6% el precio de ambos bonos se reduce.

Segunda Regla de Oro de la Renta Fija

La sensibilidad de un bono ante las variaciones de los tipos de interés es mayor cuanto mayor es la duración del bono.

Vea que el bono a 30 años incrementa más el precio cuando la rentabilidad cae, y reduce más el precio cuando la rentabilidad aumenta. El bono a 30 años es más

Primera Regla de Oro de la Renta Fija

(54)

Rentabilidades negativas en renta fija

Año Sr. A Sr. B Sr. A Sr. B 0 -100 -100 TIR Sr. A -4.158% 1 7+P -P 95.84 € -88.84 € 2 7 7 3 7 7 4 7 7 5 7 7 6 7 7 7 7 7 8 7 7 9 7 7 10 7 7 11 7 7 12 7 7 13 7 7 14 7 7 15 7 7 16 7 7 17 7 7 18 7 7 19 7 7 20 7 7 21 7 7 22 7 7 23 7 7 24 7 7 25 7 7 26 7 7 27 7 7 28 7 7 29 7 7 30 107 107

El Sr. A es un inversor que adquiere un bono a 30 años por 100 €, paga de cupón anual del 7% y se amortiza por el nominal que es de 100 €. Transcurrido un año, un instante después de cobrar el primer cupón decide vender el bono en el mercado secundario. El bono es adquirido por otro inversor, el Sr. B. En ese momento (t=1) el bono cotiza en el mercado a un precio P que proporcionaría al Sr. B una TIR del 8% en caso de mantener el bono durante los 29 años que restan hasta su vencimiento. Calcular la rentabilidad del Sr. A.

(55)

Duración y Duración Modificada

Calcular la duración y la duración modificada de los siguientes bonos:

Año ETTI Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E Bono F Bono G

0 -Pa -Pb -Pc -Pd -Pe -Pf -Pg 1 5% 1,070.00 € 80.00 € 90.00 € 100.00 € 110.00 € 120.00 € 0.00 € 2 6% 1,080.00 € 90.00 € 100.00 € 110.00 € 120.00 € 0.00 € 3 7% 1,090.00 € 100.00 € 110.00 € 120.00 € 0.00 € 4 8% 1,100.00 € 110.00 € 120.00 € 0.00 € 5 9% 1,110.00 € 120.00 € 0.00 € 6 10% 1,120.00 € 1,000.00 €

Año ETTI (1+

rt

)-t t (1+

rt

)-t Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E Bono F Bono G

0 -1,019.05 € -1,037.39 € -1,055.58 € -1,074.40 € -1,094.73 € -1,117.45 € -564.47 € 1 5% 0.952381 0.952381 1,070.00 € 80.00 € 90.00 € 100.00 € 110.00 € 120.00 € 0.00 € 2 6% 0.8899964 1.7799929 1,080.00 € 90.00 € 100.00 € 110.00 € 120.00 € 0.00 € 3 7% 0.8162979 2.4488936 1,090.00 € 100.00 € 110.00 € 120.00 € 0.00 € 4 8% 0.7350299 2.9401194 1,100.00 € 110.00 € 120.00 € 0.00 € 5 9% 0.6499314 3.2496569 1,110.00 € 120.00 € 0.00 € 6 10% 0.5644739 3.3868436 1,120.00 € 1,000.00 € 5.0000% 5.9619% 6.8866% 7.7654% 8.5904% 9.3542% 10.0000% 1.000 1.927 2.762 3.492 4.111 4.616 6.000 0.952 1.818 2.584 3.241 3.786 4.221 5.455

#VALUE!

TIR

Duración de Macaulay (años) Duración Modificada (años)

   

n t t t n t t t

r

C

r

tC

D

1 1

1

1

 

n t t t

r

C

P

1

1

r

D

DM

1

(56)
(57)

Fórmula aproximada de la sensibilidad del Precio

t Ct (1+r) -t Ct (1+r) -t Ct t (1+r) -t 0 92.79 € 1 10.00 € 0.89285714 8.93 8.93 2 10.00 € 0.79719388 7.97 15.94 3 10.00 € 0.71178025 7.12 21.35 4 10.00 € 0.63551808 6.36 25.42 5 110.00 € 0.56742686 62.42 312.08 92.79 383.73 TIR (r) 0.0% 0.2% Inicial Variación % Final 0.4% 12% -2% 10% 0.6% 4.13546179 0.8% 3.6923766 1.0% 92.79 € 7.38% 99.64 € 1.2% 92.79 € 7.77% 100.00 € 1.4% 1.6% 1.8% 2.0% 2.2% Analicemos como varía el Precio de un bono (P) ante las variaciones en la rentabilidad (TIR=r) 2.4%

El precio es: 2.6%

2.8% 3.0% 3.2% 3.4% La derivada del precio respecto a su rentabilidad es: 3.6% 3.8% 4.0% 4.2% 4.4%

Como la duración es: 4.6%

4.8% 5.0% 5.2% 5.4% 5.6% de donde 5.8% 6.0% 6.2% Precio Real

#VALUE!

Sea un bono a cinco años con cupón anual del 10% cuya TIR es r = 12% anual. Calcular el precio, la duración y la duración modificada. Determinar en términos aproximados el nuevo precio del bono si los tipos bajan hasta el 10%, y compararlo con el precio real del bono tras la bajada de tipos. TIR Duración Duración Modif. Precio Aprox. 65 85 105 125 145 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 El Precio en función de la Rentabilidad

Es una curva decreciente

r

r

D

P

P

)

1

(

n t t t

r

C

P

1

1

 

n t t t

r

tC

r

dr

dP

1

1

1

1

P

r

tC

D

n t t t

1

1

P

r

D

dr

dP

)

1

(

(58)

6.4% 6.6% 6.8% Y podemos expresar la variación porcentual de precio como: 7.0% 7.2% 7.4% 7.6% 7.8% 8.0% 8.2%

Donde D/(1+r) es la duración modificada 8.4%

8.6%

La expresión anterior, en términos aproximados es: 8.8%

9.0% 9.2% 9.4% 9.6% 9.8% donde es la variación porcentual del precio (expresada en tanto por uno) 10.0% 10.2% 10.4% Además del concepto de duración, existe otro concepto que es el de CONVEXIDAD. 10.6% 10.8% 11.0% 11.2% 11.4% La convexidad es: 11.6% 11.8% 12.0% 12.2% 12.4% Calculemos la segunda derivada del precio respecto a la rentabilidad. 12.6% 12.8% 13.0% 13.2% 13.4% 13.6% 13.8% 14.0% 14.2% 14.4% 14.6% 14.8% 15.0% 15.2%

Apliquemos la Convexidad al problema anterior. 15.4%

15.6% t Ct (1+r) -t Ct (1+r) -t Ct t (1+r) -t t (t+1) Ct (1+r) -t 15.8% 0 92.79 € 16.0% 1 10.00 € 0.89285714 8.93 8.93 17.85714286 16.2% 2 10.00 € 0.79719388 7.97 15.94 47.83163265 16.4% 3 10.00 € 0.71178025 7.12 21.35 85.41362974 16.6% 4 10.00 € 0.63551808 6.36 25.42 127.1036157 16.8% 5 110.00 € 0.56742686 62.42 312.08 1872.508624 17.0% 92.79 383.73 2,150.71 17.2% 17.4% La Convexidad de un bono es una medida que nos permite mejorar la aproximación anterior,

debido a que se basa en la derivada segunda del precio respecto a la rentabilidad.

Utilizando el concepto de Convexidad podemos establecer una mejor aproximación a la variación porcentual del precio aplicando el polinomio de Taylor de grado dos:

P

r

dr

(

1

)

dr

r

D

P

dP

)

1

(

r

r

D

P

P

)

1

(

2 2

1

dr

P

d

P

C

n t t t

r

C

t

t

r

dr

P

d

1 2 2 2

1

1

1

1

P

P

 

2

2

1

)

1

(

r

r

C

r

D

P

P

(59)

Inicial Variación % Final 17.6% 12% -2% 10% 17.8% 4.13546179 18.0% 3.6923766 18.2% 18.48 € 18.4% Precio Aprox. 1 92.79 € 7.38% 99.64 € 18.6% 92.79 € 7.75% 99.99 € 18.8% 92.79 € 7.77% 100.00 € 19.0% 19.2%

La Aproximación 2 es mejor que la Aproximación 1, ya que usa la Convexidad que hace referencia a la derivada 2ª.19.4% 19.6%

19.8% 20.0% Por el polinomio de Taylor sabenos que cuanto mayor es el grado del polinomio, y por tanto de

mayor grado es la derivada utilizada, mejor se aproxima el polinomio a la curva que pretende

Duración Modif. Convexidad Precio Aprox. 2 Precio Real TIR Duración

(60)

Precio (P) 150.00 € 148.71 € 147.43 € 146.17 € 144.92 € 143.68 € 142.46 € 141.25 € 140.06 € 138.88 € 137.71 € 136.55 € 135.41 € 134.28 € 133.16 € 132.06 € 130.96 € 129.88 € 128.81 € 127.76 € 126.71 € 125.68 € 124.65 € 123.64 € 122.64 € 121.65 € 120.67 € 119.70 € 118.74 € 117.79 € 116.85 € 115.92 €

(61)

115.00 € 114.09 € 113.19 € 112.30 € 111.42 € 110.55 € 109.68 € 108.83 € 107.99 € 107.15 € 106.32 € 105.50 € 104.69 € 103.89 € 103.10 € 102.31 € 101.53 € 100.76 € 100.00 € 99.25 € 98.50 € 97.76 € 97.03 € 96.30 € 95.59 € 94.88 € 94.17 € 93.48 € 92.79 € 92.11 € 91.43 € 90.77 € 90.10 € 89.45 € 88.80 € 88.16 € 87.52 € 86.89 € 86.27 € 85.65 € 85.04 € 84.43 € 83.83 € 83.24 € 82.65 € 82.07 € 81.49 € 80.92 € 80.35 € 79.79 € 79.24 € 78.69 € 78.14 € 77.60 € 77.07 € 76.54 €

(62)

75.50 € 74.98 € 74.47 € 73.97 € 73.47 € 72.97 € 72.48 € 71.99 € 71.51 € 71.04 € 70.56 € 70.09 €

(63)

CALCULO DE LA TASA EFECTIVA

i= 2% mensual Donde:

n= 6 meses ie= Tasa de interés efectiva por período ie= Semestral i= Tasa de interés nominal por período n= Número de perídos de capitalización ^ = Signo de elevación de potencia

ie= 12.62% Semestral i= 5% Trimestral n= 2 Trimestres ie= Semestral ie= 10.25% Anual i= 5% Trimestral n= 4 Trimestres ie= Anual ie= 21.55% #VALUE!

Una empresa propietaria de una tarjeta de crédito anuncia que su tasa de interés es del 2% mensual. Calcular la tasa de interés efectiva semestral.

Calcular la tasa efectiva semestral y anual si el interés nominal se expresa en un 5% trimestral.

(64)
(65)

SEGREGABLES

Venta bono 10,30 Compra segregable

días 127 82

cupón en euros 10.3 4.25

precio ex cupón % 114.21 99.49

cupón corrido € 3.58 0.95 ratio conversión nominales

precio P 117.79 100.44 1.1727 1.1675 bonos del 4,25 por cada uno de 10,30 cupones en euros 4.96

prueba de vencimiento (días) flujos valor actual unitario valor actual

rentabilidad 239 4.96 0.9717 4.82

0.04477 604 4.96 0.9301 4.61

#VALUE!

Un fondo de inversión se plantea sustituir Bonos al 10,3% con vencimiento 15 -06-05 por Bonos Segregables 4,25% con vencimiento 30-07-05.

La cotización al 20-10-02 es la siguiente:

- Bonos 10,30% , cotización venta a 114,21% (ex cupón) - Segregables 4,25% , cotización compra a 99,49% (ex cupón)

4,96 4,96 4,96+116,76 239 días 20/10/02 30/07/03 30/07/04 30/07/05 117,79

TIR o rentabilidad de la operación:

117,79 = 4,96 (1 + r)^(- 239/365) + 4,96 (1 + r)^[-(1+ 239/365)] + 121,72 (1 + r)^[-(2+ 239/365)] r = 4,47%

(66)
(67)

Duración de un bono

tasa r:0.0475

Fechas

Flujos Ci

plazos: i

(1 + r)^i

Ci / (1 + r) ^i i

xCi / (1 + r)^i

30.05.95 5 0.5 1.023474475 4.8853197 2.442659844 30.05.96 5 1.5 1.072089512 4.6637897 6.995684517 30.05.97 5 2.5 1.123013764 4.4523052 11.13076295 30.05.98 5 3.5 1.176356918 4.2504107 14.87643736 30.05.99 5 4.5 1.232233871 4.0576713 18.2595208 30.05.00 5 5.5 1.29076498 3.8736719 21.30519531 30.05.01 5 6.5 1.352076317 3.6980161 24.03710471 30.05.02 5 7.5 1.416299942 3.5303256 26.47744231 30.05.03 5 8.5 1.483574189 3.3702393 28.64703384 30.05.04 105 9.5 1.554043963 67.5656561 641.8737332 precio: 104.3474055 796.0455748 Duración: 7.628800838 Duración bono perpétuo: 22.05263158 años

BONO 29

Duración de un bono con vencimiento dentro de 9 años y medio, siendo el vencimiento del primer cupón, del 5%, dentro de medio año.

En particular, coloque como tasa de rentabilidad el 5%, ¿que ocurre? ¿y si cambiamos el primer vencimiento para dentro de un año?

Copie de nuevo la hoja en espacio libre y modifique el número de flujos y el plazo a la amortización, siempre ésta a la par. Comprobará que la duración aumenta a medida que aumenta el plazo, lógicamente, pero nunca

sobrepasará la cifra límite obtenida a partir de:

1 + 1 / r

en nuestro caso, nunca la duración alcanzará el valor: 1 + 1 / 0,0,475 =22,05 años.

LA GESTIÓN ACTIVA:

La gestión activa de una cartera de renta fija se utiliza cuando los inversores suponen que el mercado NO es eficiente, de forma que identificando a los bonos infravalorados se pueden obtener rendimientos superiores a los del mercado. Pero como dicha infravaloración no podrá mantenerse mucho tiempo (teoría de la linea de mercado) [periodo de work out time], hay que comprar y / o vender con frecuencia para "batir el mercado".

Así: la Duración de una cartera puede alterarse permutando algunos de los bonos que la componen por otros nuevos [denominado permuta por anticipación de los tipos de interés o rate anticipation swaps]. En este sentido, la compra de futuros aumenta la duración de la cartera y viceversa.

Una expectativa al alza de los tipos de interés garantiza un descenso en la duración de la cartera y por tanto del riesgo, mientras que una previsión de descenso de tipos repercute en un aumento de la duración.

(68)
(69)

Duración de un bono con vencimiento dentro de 9 años y medio, siendo el vencimiento del primer cupón, del 5%, dentro de medio año.

En particular, coloque como tasa de rentabilidad el 5%, ¿que ocurre? ¿y si cambiamos el primer vencimiento para dentro de un año?

Copie de nuevo la hoja en espacio libre y modifique el número de flujos y el plazo a la amortización, siempre ésta a la par. Comprobará que la duración aumenta a medida que aumenta el plazo, lógicamente, pero nunca

en nuestro caso, nunca la duración alcanzará el valor: 1 + 1 / 0,0,475 =22,05

que identificando a los bonos mucho tiempo (teoría de la

muta por anticipación de los

(70)
(71)

a) Curva de Rentabilidad

periodos: 1 2 3 4 5 tipo Rt: Valor actual TIR

-96.491228 110 0.14 96.491228 14.000% -94.765502 11.5 111.5 0.1475 94.765502 14.708% -93.281438 12 12 112 0.15 93.281438 14.940% -91.892537 12.5 12.5 12.5 112.5 0.155 91.892537 15.360% -89.263565 12.5 12.5 12.5 12.5 112.5 0.16 89.263565 15.761% precios

b)

Cálculo de los precios y la TIR de un bono

Curva de

Rentabilidad

periodos: 1 2 3 4 5 tipo Rt: Valor actual TIR

bono A 6 6 6 6 106 0.05 bono B 8 8 8 8 108 0.055 0.0625 precios 0.07 0.08 #VALUE!

Valor actual de un bono americano y cálculo de la TIR

1) Respecto a los bonos cupón cero

está construida. Así: el tipo de interés contado para operaciones a un año es el 14%, para

operaciones a dos años, el 14,75%, etc. 2) Sin embargo para los bonos convencionales

de Deuda Pública con pago de cupón explícito, primero se deberá calcular el

bono, descontando cada flujo con los tantos de interés señalados en la ETTI, luego, la tasa interna de rentabilidad de cada uno de ellos:

para poder construir la curva de rendimientos, la cual difiere muy poco, por defecto, de la ETTI

C

i

Precio: P = Suma

(

1 + R

i

)

^i

TIR:

P = Ci

a

n|TIR + C (1 + TIR)^(-n)

En el ejercicio se consideran 5 bonos americanos con distintos plazos a la amortización,

se conocen los tipos spot Rt para cada uno de los plazos. Se calculan, primero, los precios de los bonos y luego sus TIRs

Actividad propuesta: Este es un ejemplo de estructura ETTI creciente. Introduce los datos de otra ETTI que sea decreciente o invertida. Observa los nuevos valores actuales y las nuevas TIRs obtenidas.

en negativo para calcular la TIR

(72)

está construida. Así: el tipo de interés contado para operaciones a un año es el 14%, para

operaciones a dos años, el 14,75%, etc. ) Sin embargo para los bonos convencionales de Deuda Pública con pago de cupón explícito, primero se deberá calcular el precio de cada bono, descontando cada flujo con los tantos de

interés señalados en la ETTI, luego, la tasa interna de rentabilidad de cada uno de ellos: TIR,

para poder construir la curva de rendimientos, la cual difiere muy poco, por defecto, de la ETTI

(73)

ETTI.xls

Réplica del Bono Cupón Cero a dos años

ETTI.xls

En el mercado se encuentran los siguientes bonos:

El Bono A, que es un Bono Cupón Cero a un año, que se adquiere por 100 € y se amortiza por 110 €.

Calcular la TIR de un Bono C que es un Bono Cupón Cero Implícito y duración 2 años.

Año Bono A Bono B Bono C

0 -100.00 € -982.41 € -100,064.98 €

1 110.00 € 80.00 € 0.00 € 2 1,080.00 € 118,800.00 €

TIR 10% 9% 8.9600%

Para conseguir un Bono Cupón Cero se han de combinar los Bonos A y B de tal forma que el cupón intermedio sea cero. Para conseguir esto se pueden hacer cualquiera de las dos alternativas siguientes:

Opción 1: Comprar 110 bonos B y vender 80 bonos A (+110B-80A) Opción 2: Comprar 80 bonos A y vender 110 bonos B (+80A-110B) Con ambas alternativas se consigue que el cupón intermedio sea cero.

De las dos alternativas elegimos la primera porque es la que nos dará un flujo de caja negativo en cero y positivo en t=2. Si se elige la opción 2 los flujos serán del mismo importe pero de signo contrario.

Input 1 Input 2 m.c.m. Output 1 Output 2

110.00 80.00 #NAME? #NAME? #NAME?

En lugar de multiplicar por 110 y por 80, multiplicaremos por 11 y por 8.

Año Bono A Bono B Bono C'

0 -100.00 € -982.41 € -10,006.50 €

1 110.00 € 80.00 € 0.00 €

2 1,080.00 € 11,880.00 €

TIR 10% 9% 8.9600%

De esta forma el Bono C' es equivalente al bono C ya que sus flujos de caja son proporcionales y la TIR la misma. Método 2

Primero calculamos el precio del bono B usando la TIR

Año Bono A Bono B ETTI (1+ETTI) 1/(1+ETTI)^n

0 -100.00 € -982.41 € 1 110.00 € 80.00 € 10% 1.1 0.909090909 2 1,080.00 € 8.9600% 1.089600187 0.842297792 TIR 10% 9% Precio B 982.41 € Diferencia -5.49811E-07

El Bono B, que es un Bono Cupón Explícito del 8% anual, que madura a los dos años por el nominal que es de 1.000 €. La periodicidad del cupón es anual y el próximo vence dentro de un año, adquiriéndose en estos momentos por un precio PB, que supone una TIR del 9%.

Para evitar que los flujos de caja que se van obteniendo en los bonos sintéticos sean de importes muy grandes, se puede trabajar con el minimo común múltiplo, de la siguiente forma.

#VALUE!

Luego, planteamos la ecuación que calcula el precio del bono B usando la ETTI, pero como ya conocemos el precio del bono B, sustituimos y la única incógnita que nos queda en la ecuación es el valor de la ETTI para el año dos que coincide con la TIR del bono C, por ser este un bono cupón cero a dos años.

(74)
(75)

El Bono A, que es un Bono Cupón Cero a un año, que se adquiere por 100 € y se amortiza por 110 €.

Para conseguir un Bono Cupón Cero se han de combinar los Bonos A y B de tal forma que el cupón intermedio sea cero.

De las dos alternativas elegimos la primera porque es la que nos dará un flujo de caja negativo en cero y positivo en t=2.

De esta forma el Bono C' es equivalente al bono C ya que sus flujos de caja son proporcionales y la TIR la misma. El Bono B, que es un Bono Cupón Explícito del 8% anual, que madura a los dos años por el nominal que es de 1.000 €. La periodicidad del cupón es anual y el próximo vence dentro de un año, adquiriéndose en estos momentos por un precio PB, que supone una TIR del 9%.

Para evitar que los flujos de caja que se van obteniendo en los bonos sintéticos sean de importes muy grandes, se puede trabajar con el minimo común múltiplo, de la siguiente forma.

Luego, planteamos la ecuación que calcula el precio del bono B usando la ETTI, pero como ya conocemos el precio del bono B, sustituimos y la única incógnita que nos queda en la ecuación es el valor de la ETTI para el año dos que coincide con la TIR del bono C, por ser este un bono cupón cero a dos años.

(76)
(77)

Bono Cupón explícito a tres años

r

01

Año Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E Bono F

r

01

r

12

r

23

0 -100.00 € -982.41 € -100,064.98 € -97.00 € -9,970.00 € -1,107,385,967.17 €

r

23 1 110.00 € 80.00 € 0.00 € 7.00 € 0.00 € 0.00 € 2 1,080.00 € 118,800.00 € 7.00 € 770.00 € 0.00 € 3 107.00 € 11,770.00 € 1,398,276,000.00 €

10%

10%

7.9299%

6.3554%

TIR 10% 9% 8.9600% 8.17% 8.0848%

6.3554%

r

03 8.0848%

r

23 6.3554%

r

13 7.1397%

Año Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E Bono F

0 -100.00 € -982.41 € #NAME? -97.00 € #NAME? #NAME?

8.0848%

Formulas #VALUE!

Suponga que además de los bonos del Problema 1, se encuentra en el mercado un Bono D que es una Bono Cupón Explícito que madura a los tres años, paga cupón anual del 7% anual, y se puede adquirir por un precio del 97%. Calcular

r

03,

r

23 y

r

13.

r

02

r

03

r

13

La misma tabla que la anterior pero aplicando el minimo común múltiplo

(1+

r

03)3=(1+

r

02)2(1+

r

23) (1+

r

13)2=(1+

r

12)(1+

r

23)

7.1397%

(78)

2 1,080.00 € #NAME? 7.00 € #NAME? #NAME?

3 107.00 € #NAME? #NAME?

TIR 10% 9% #VALUE! 8.17% #VALUE!

Input 1 Input 2 m.c.m. Output 1 Output 2

110.00 80.00 #NAME? #NAME? #NAME?

110.00 7.00 #NAME? #NAME? #NAME?

(79)

Precio de un Bono usando la ETTI

Plazo Notación ETTI Año Flujo Caja Valor Actual Flujos de Caja

0 -P - 9,191.33 € 1 año

r

01 10.000% 1 500.00 € 454.55 € 500.00 € 2 años

r

02 8.9600% 2 500.00 € 421.15 € 500.00 € 3 años

r

03 8.08% 3 10,500.00 € 8,315.63 € 10,500.00 € Cupón % 5% Nominal 10,000 € Precio 9,191.33 € Cupón 500.00 € TIR 8.1462%

Con toda la información de los tres problemas anteriores calcular el precio y la TIR de un bono que cotiza en el mercado por un precio P, paga un cupón anual del 5% anual, madura a los 3 años y su nominal es de 10.000 €.

(80)
(81)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 A B C D E F G H I J Bonos.xls

Precio de adquisición

Cupón % 5% anual Año Flujo Caja Precio

Nominal 100.00 € 0 -P 105.66 € Tiempo 3 años 1 5.00 € TIR 3% 2 5.00 € Cupón 5.00 € 3 105.00 € 105.66 € 105.66 € Precio

Año Flujo Caja TIR 3% #NAME?

1-Jan-03 -P Cupón % 5%

1-Jan-04 5.00 € 1-Jan-05 5.00 € 1-Jan-06 105.00 €

Precio

Cupón % 5% anual Año Flujo Caja 105.66 €

Nominal 100.00 € 0- 105.66 €

Tiempo 3 años 1 5.00 € TIR calculada 3.000000%

TIR 3% 2 5.00 € Diferencia 0.000000%

Cupón 5.00 € 3 105.00 €

Método 4 Método 3

#VALUE!

Calcular el Precio de adquisición de un Bono de cupón anual 5% amortizable por el nominal a los 3 años y cuya TIR es del 3%.

Nota: Cuando no se da el Nominal de un bono se supondrá que es de 100 € de esta forma el precio se puede

interpretar como un porcentaje sobre el Nominal.

Método 1

Método 2

Precio

(82)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Precio de venta

Solución Precio de Venta 934.83 €

Nominal 1,000.00 €

Fecha Compra 7/1/2004

Precio 922.00 €

Fecha cobro 1er cupón 1/1/2005

Fecha Venta 5/1/2005

Rentabilidad obtenida % 5% efectivo anual Cupón semestral nominal 5% nominal anual Cupón semestral % 2.5% efectivo semestral Cupón semestral 25.00 €

Fecha Flujo Caja Flujos de Caja

7/1/2004- 922.00 € - 922.00 € 1/1/2005 25.00 € 25.00 € 5/1/2005 +P 934.83 €

TIR #NAME?

Se compra un bono de nominal 1.000 € en el mercado secundario el 1 de julio de 2004 por 922 €. El cupón semestral es del 5% nominal anual y el próximo pago se efectuará el 1 de enero de 2005. Se vende el bono el 1 de mayo de 2005 por un precio P, obteniéndose una rentabilidad del 5% efectivo anual. Calcular P.

#VALUE!

Resuelto con Solver porque al resolverlo con 'Buscar Objetivo' no se alcanzaba la precisión necesaria.

(83)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 A B C D E F G H I

Cupón Corrido

Solución TIR #NAME? efectivo anual Precio 1,073.35 €

Cupón Corrido 14.61 €

Fecha adquisición 17-Oct-04 Nº de días desde el último cupón 124

Pex % 105.874% Nº de días del periodo de cupón 241

Pex 1,058.74 € Total días del periodo entre cupones 365

Nominal 1,000.00 €

Cupón % 4.30% Cupón Corrido 14.61 €

Cupón 43.00 €

Pago cupón 15-Jun Precio=Pex+Cc 1,073.35 €

Vencimiento 15-Jun-07

TIR #NAME?

Fecha Flujos caja

15-Jun-04

17-Oct-04- 1,073.35 € 15-Jun-05 43.00 € 15-Jun-06 43.00 € 15-Jun-07 1,043.00 €

Se adquiere el 17 de octubre de 2004 un Bono del Estado que cotiza a un precio excupón del 105,874% (1058,74 €). Cupón del 4,3% pagadero el 15 de junio de cada año, y con vencimiento el 15 de junio de 2007. Calcule el cupón corrido, el precio de adquisición del bono y su TIR.

#VALUE!

La fórmula TIR.NO.PER da la TIR siempre ANUAL. Por el contrario, la fórmula TIR da la TIR referida al periodo utilizado. Si se trabaja con periodicidad mensual dará una TIR mensual, que luego tendremos que anualizar.

(84)

Dos opciones de invesión en bonos

Co 20,000.00 € i 14.49000% C5 39,343.03 € i6 2.2809% C 824.73 € VF 39,343.03 € Diferencia - € VA 20,000.00 € <-- Comproboción Opción B

A un inversor que dispone de 20.000 € le ofrecen dos opciones de inversión:

La opción A consiste en adquirir un bono cupón cero que se amortizará por 39.343,03 € dentro de 5 años. La opción B consiste en adquirir un bono de cupón explícito C, periodicidad bimestral, recibiendo el primero transcurridos 2 años y el último al cabo de 5 años. El nominal es de 20.000 €.

Si ambas opciones son financieramente equivalentes, calcular: a) La rentabilidad anual efectiva ofrecida por ambas alternativas. b) Calcular el cupón bimestral de la segunda opción.

(85)

EjerciciosVarios.xls

Valoración con la ETTI

En el mercado cotizan los siguientes bonos:

El bono A es un Bono Cupón Cero con vencimiento a un año y TIR del 5%. El bono B es un Bono Cupón Cero a dos años y TIR del 6%.

El bono D es un Bono Cupón Cero a 4 años y TIR del 7%.

Determinar la TIR de un Bono Cupón Explícito del 8% anual a 4 años.

Año Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E Bono F ETTI Factor

0 -28.57 € -26.70 € -905.00 € -762.90 € -849.728678 -103.7315364 1 30 0 30 0 0 8 5% 0.9524 2 30 30 0 0 8 6% 0.8900 3 1030 0 1030 8 6.6233% 0.8250 4 1000 0 108 7% 0.7629 TIR 5% 6% 6.59% 7.00% 6.62% 6.9008113%

Comprobación Precio Bono C 905.000000

#VALUE!

El bono C es un Bono Cupón Explícito del 3% anual a 3 años, que se adquiere por 905 € y se amortiza por el nominal que es de 1.000 €.

(86)

Réplica del bono cupón cero a dos años

En el mercado cotizan los siguientes bonos:

Bono A: Es un bono cupón cero a un año cuya TIR es del 10%

Calcular la TIR del Bono C que es un bono cupón cero a dos años.

Año Bono A Bono B Bono C

0 -636.36 -9,640.45 -9,004.09

1 700.00 700.00 0.00

2 10,700.00 10,700.00

TIR 10% 9.045183% 9.011437%

#VALUE!

Bono B: Es un bono cupón explícito del 7% anual que madura a los dos años, amortizándose por el

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