Institución Educativa el Bosque Guía de Aprendizaje en Casa

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Texto completo

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1. Momento de exploración

En la Tabla 1, se observa que el número de latidos del corazón disminuye a medida que aumenta la edad, pero también se infiere que el cambio sobre el número de los latidos del corazón es constante.

Este valor constante indica el cambio de una variable por unidad de cambio de la otra y es llamado tasa de cambio. Gráficamente, en el plano cartesiano, correspondería a la pendiente de la recta que modela la situación.

En la Tabla 2, se muestra que la tasa de cambio de los datos sobre los latidos del corazón es constante. Es decir, su pendiente es -0,5.

Solo las funciones lineales tienen una tasa de cambio promedio constante. Las funciones lineales son crecientes si su pendiente es positiva y son

decrecientes si su pendiente es negativa. Además, es constante si su pendiente es cero y corresponde a una recta paralela al eje X.

Ejemplo 1

Para hallar la pendiente de la recta de la Figura 1, se consideran dos puntos que pertenezcan a ella, por ejemplo, (x1, y1) = (1, -4) y (x2,

y2) = (2, 1). Luego, se reemplazan los valores correspondientes en la expresión general de la pendiente: m=y2-y1 x2-x1= 1-(-4) 2-1 =5

Por lo tanto, la pendiente de la recta dada es 5. Identificación

Número de Guía 4 Ciclo 10° - 11°

Duración: Fecha de inicio: Abril 5/2021 Fecha de finalización: Abril 16/2021 Área Integradas

Matemáticas – Tecnología – Física – Economía y política

Articulación con Proyectos Transversales Competencias a desarrollar

Economía financiera Razonamiento, explicación de fenómenos, indagación y argumentación

Situación de Aprendizaje – Pregunta Problematizadora ¿Qué es el movimiento?

Aprendizajes Esperados:

Al finalizar esta guía de trabajo se espera que el estudiante: • Analizar en términos de la velocidad el movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

• Identificar situaciones que, de acuerdo a sus características, se puedan modelar mediante la ecuación lineal. Instrucciones para el Desarrollo:

Apreciado estudiante: esta guía está diseñada en cuatro momentos para que se realice en quince días: 1. Momento de exploración: lee la información que presenta esta guía y responde las preguntas de acuerdo con lo que sabes y trata de comprender los nuevos conceptos que se dan.

2. Momento de estructuración y profundización: encuentre una serie de actividades y conceptos que permitirán ayudarte a construir tu propio conocimiento. Antes de iniciar la realización de cada actividad, lee todos con cuidado para saber si necesitas algún material, y así conseguirlo y tenerlo a la mano. Luego de que tengas los materiales, inicia en orden la realización de cada una de las actividades.

3. Momento de socialización y evaluación: queremos saber cómo te sentiste y tus dificultades en la elaboración del módulo.

4. Momento de autoevaluación: Es importante, siendo un acto de conciencia y honestidad tuyo.

En general, en una función lineal y = f(x), la razón de cambio de la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x se

calcula mediante la expresión: Pendiente =y2-y1

x2-x1

(x1, y1) y (x2, y2) son dos pares de valores de la función.

En una función lineal y = mx + b, la constante de proporcionalidad m corresponde a la pendiente de la recta mediante la cual se representa la función y b

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En cierto experimento se midió la temperatura de un líquido sometido a un aumento gradual de temperatura. Los datos se muestran en la tabla 3.

Representa estos datos gráficamente. ¿Qué tipo de función representan?

Solución:

Al graficar la relación dada entre el tiempo que transcurre y la temperatura del líquido, se

obtiene una línea recta que no pasa por el origen (Figura 2). Esto significa que dicha relación es una función lineal cuya constante de proporcionalidad es 12 y corta el eje Y en el punto (0, 12).

Del razonamiento anterior se tiene que m = 12 y b = 12, con lo cual puede deducirse que la expresión algebraica de la función es y = 12x + 12.

1. Determina, en cada caso, cuál es la constante de proporcionalidad de la función.

2. Encierra las funciones lineales.

3. Identifica la constante de proporcionalidad y el punto de corte con el eje de ordenadas de cada función.

4. Representa en un plano cartesiano los valores de cada tabla e identifica la pendiente y el intercepto.

5. Observa y responde.

¿A cuál de las siguientes funciones corresponde la gráfica de la Figura?

6. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.

7. Clasifica cada recta obtenida en la actividad 6 según sea creciente, decreciente o constante. 8. Lee y resuelve.

Cuando la pendiente de una recta es indeterminada, dicha recta es vertical (paralela al eje Y). Por ejemplo, x = 3 es la ecuación de una recta cuya pendiente no puede determinarse. Su gráfica se muestra a continuación.

9. Calcula la pendiente de las rectas que se muestran en siguientes figuras.

10. Estudia las tablas de valores. Luego, clasifícalas, según corresponda, en funciones crecientes, decrecientes o constantes.

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Resolución de problemas

11. La función f(x) = 4x + 9 representa la variación del capital (en millones de dólares) de una empresa con x años de funcionamiento. ¿Estas afirmaciones son verdaderas o falsas? a. La función no es lineal, porque 9 y 4 son

números cuadrados.

b. El capital inicial fue de nueve millones. 12. Por el alquiler de un auto, sin conductor, se

cobra $ 20 diarios más $ 2 por kilómetro. a. Halla la función lineal que relaciona el costo

diario del alquiler con el número de kilómetros y represéntala.

b. Si en un día se recorren 300 km, ¿cuánto debe pagarse por el alquiler?

13. El encargado de pruebas de velocidad de una empresa aeronáutica desea conocer la velocidad de un avión en cierto intervalo de tiempo. Al realizar una medición del tiempo en minutos junto con la distancia recorrida en kilómetros obtuvo los datos de la Tabla.

Halla una función lineal que modele la situación.

2. Momento de estructuración y profundización

Cuando se conocen la pendiente (m) y un punto (x1, y1), puede utilizarse la expresión algebraica de la pendiente para determinar la ecuación de una recta.

Para el caso de la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene pendiente −1

4, se reemplazan estos valores en la expresión general de ecuación punto-pendiente y se obtiene:

Ejemplo 2

La ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 5) y tiene pendiente 2 se obtiene de la siguiente manera:

Para elaborar la gráfica, basta con considerar que la recta pasa por los puntos (-3, 5) y (-5, 1). Observa la Figura 3.

Para determinar la ecuación de la recta dados dos puntos (x1 , y1) y (x2 , y2), se debe:

1. Calcular la pendiente por medio de la expresión m=y2-y1

x2-x1.

2. Usar la pendiente m calculada y uno de los puntos (x1, y1) o (x2, y2) para reemplazar en la ecuación punto-pendiente (y – y1) = m(x – x1). Ejemplo 3

En la Figura 4, se observa la recta que pasa por los puntos (-4, 5) y (2, 1).

Para encontrar la ecuación de la recta conociendo dos puntos de la misma, se emplea la expresión algebraica de la pendiente, así:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 = 1 − 5 2 − (−4)= −4 6 = − 2 3 Luego, con 𝑚 = −2

3 y uno de los puntos, en este caso (2, 1), se obtiene la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.

A la expresión (y – y1) = m(x – x1) se le conoce como ecuación punto-pendiente.

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14. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m en cada caso.

15. Halla la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos.

16. Calcula la pendiente de cada recta. Luego, encuentra su ecuación considerando los puntos que pertenecen a ella.

Entre todos los tipos de movimientos posibles destaca por su importancia y

sencillez el

movimiento rectilíneo uniforme, en forma abreviada, MRU.

La trayectoria de un MRU es una línea recta y la velocidad es constante.

En un MRU la velocidad media en cualquier intervalo de tiempo es siempre la misma; además, coincide con la velocidad instantánea para cualquier tiempo.

Puesto que la velocidad es constante, un objeto con MRU siempre tardará el mismo tiempo en recorrer una distancia determinada.

La ecuación del MRU nos da la posición que ocupa el móvil en cualquier instante y es la siguiente: x = x0 + vt, donde x0 es la posición inicial

v es la rapidez

t es el tiempo transcurrido

Ejemplo 4

Una persona puede alcanzar una velocidad de 22,22 m/s (80 km/h) en la Avenida Regional. Si mantiene esta velocidad constante durante el tiempo suficiente, calcula:

a. Si pierde de vista la carretera durante 2 s, ¿qué distancia recorrerá en este tiempo? b. ¿Qué tiempo tardará en recorrer 1.000 m?

Solución a.

—Datos:

x0 = 0 t = 10 s v = 22,22 m/s x2 = 1.000 m a. La distancia recorrida en 10 s coincidirá con la posición en ese instante, puesto que hemos elegido como condición inicial x0 = 0.

Se reemplazan los valores en la ecuación del MRU, así:

x = x0 + vt

x = 0 + 22,22 (2) = 44,44 m Se responde:

R/ En esos 2 s que pierde de vista la carretera, avanza 44,44 m.

b. Se realiza un dibujo de la situación:

Se despeja el tiempo en la ecuación del MRU x = x0 + vt

t = x - x0

v

t = 1000 −022,22 = 45 s

R/ Tardará 45 s en recorrer 1 km.

Es muy útil representar gráficamente el movimiento de un cuerpo para visualizar con claridad las características.

Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme (MRU) si sigue una trayectoria rectilínea y su velocidad es constante en todo

momento, recorriendo distancias iguales en iguales intervalos de tiempo.

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17. Coloca un ejemplo de movimiento rectilíneo uniforme y explica qué característica tiene la velocidad en este tipo de movimiento. 18. Pedro va al colegio caminando desde su casa.

La distancia que debe recorrer es de 410 m. Si tarda 6 min 24 s en llegar, ¿cuál es la velocidad de Pedro?

19. Un ciclista se encuentra en el kilómetro 25 de una etapa de 115 km. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a la meta si rueda a una velocidad de 60 km/h?

20. Si los animales tuvieran sus propios olímpicos, según estos datos, ¿cuál obtendría la medalla de oro en una carrera de 200 metros planos?

Oso perezoso Caracol Tortuga

0,2 km/h 50 m/h 70 m/h

21. Un ave vuela a una rapidez constante de 15 m/s. a. Confecciona una tabla que recoja las posiciones

del ave cada 5 s durante un vuelo de 30 s. b. Dibuja la gráfica posición tiempo del ave a

partir de los valores registrados en la tabla. 22. Una estudiante realizó un experimento para medir la velocidad de

propagación del sonido en el aire a diferentes temperaturas. Los resultados que obtuvo se muestran en la siguiente tabla.

¿Cuál de las siguientes gráficas muestra los resultados del experimento?

3. Momento de socialización y evaluación 1. ¿Cuánto tiempo dedicaste a realizar el módulo? 2. ¿Quién te ayudo a realizar el módulo?

3. ¿Has sentido apoyo por parte de tus directores de grupo o tu asesor para realizar el módulo? 4. ¿Tienes internet para ver videos explicativos?

4. Momento de autoevaluación

1. ¿Qué fue lo que más te gusto al resolver la guía?

2. ¿Qué fue lo que menos te gusto al resolver la guía?

3. ¿Cómo te evalúas en la solución de esta guía? Referencias

Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Física 1 BGU. Quito: Don Bosco. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemáticas. Quito: SM Ediciones.

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