Unidad 5: Integración Múltiple

CALCULO VECTORIAL

UNIDAD 5

“INTREGRACIÓN MULTIPLE”

Docente: Americo Martínez Ovalle

Alumno: Edgar Benito Hernandez Chavez

5.1 Calculo de areas e integrales dobles

Recordemos que la definicion de la integral definida de una funcion de una sola variable esta dada por el limite de una suma o sumatoria:

g(x , y )=x2+y2+4

Los cinco pasos que conducen a esta definicion esta resumida en la columna izquierda de la tabla adjunta. En la columna derecha de indican los pasos analogos que conducen al concepto de una integral definida bidimencional, conocida comunmente como integral doble de un funcion f de dos variables.

De esta manera se tiene la siguiente definicion.

Sea f una funcion de dos variables definidas de una region cerrada R. entonces la integral doble de f en R esta dada por

IntegrabilidadSe dice que f es integrable en R, si existe el limite. Si f es continua en R, entonces f es integrable en R. para una particion de P de R en subregiones Rk con (xk*,yk*) en Rk, se llama suma de Riemann a una sumatria de la forma k=1nf(xk*,yk*)∆Ak.

AreaCuando f(x, y)=1 en R, entonces

dara simplemente el area A de la region, esto es

Volumen

producto f(xk*,yk*)∆Ak se puede interpretar como el volumen de un prisma rectangular de altura f(xk*,yk*) y base con area ∆Ak. La suma de los volumenes k=1nf(xk*,yk*)∆Ak. Es una aproximacion al volumen V del solido que se muestra arriba la region R y debajo de la superficie z=F(x, y). el limite de esta suma cuando P→0, si existe, dara el volumen exacto de este solido; esto es, si f es no negativa en R, entonces

Las siguientes propiedades de la integral doble son analogas a las integrales definidas dadas en el teorema.

La parte (iii) del teorema es la equivalente en dos dimensiones a

La figura ilustra la dimension de una region en subregiones R1 y R2 para las cuales R=R1∪R2. R1 y R2 no pueden tener puntos en comun excepto posiblemente en su frontera comun. Ademas, el teorema (iii) se extiende a cualquier numero finito de subregiones que no se traslapen y cuya union sea R.

5.2 Integrales iteradas

Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables). Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial

dx o la diferencial dy o viceversa.

Ahora veremos cómo se pueden presentar este tipo e integrales:

∫

_∫

∫

_∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Definicion. Integral doble iterada en dominio simple respecto de x. Sea D c [a,b] x [c,d] un dominio simple respecto de x, y sea f(x,y) continua en D. Se llama integral doble iterada en F en el dominio D al numero:

∫

∫

∬

∫

∫

Defincion. Integral triple iterada en dominio (tridimensional) simple respecto de x,y o de y,x.

Sea D c [a,b]x[c,d]x[e,h] un dominio simple respecto de x,y o de y,x y sea f(x,y,z) continua en D. Se llama integral triple iterada de f en el dominio D al número:

∬

∫

que se denota

∭

∬

∫

_∫

_∫

[

_]

5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares

Una integral doble, está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

De una manera más formal, el Theorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

Esto ocurre, cuando es una función acotaada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si

la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.

La notación

se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.

Metodo de integración Función constantes

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región

de R2 esto da el área de la región, mientras que si es una región de R3

da el volumen de la región y así sucesivamente. Por ejemplo:

Integrando f sobre D:

5.4 Integral doble en coordenadas polares

Consideremos la región A determinada por las semirrectas θ = ß, θ = a y las curvas r = f1(θ), r = f2(θ), como en la sig figura. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector

R: “r” a “θ “

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro O y radios r, 2r, ..mr y trazamos rectas desde O tales que el ángulo formador por dos rectas consecutivas cualesquiera sea siempre el mismo e igual a ∆ θ, R queda dividido en tres tipos de subregiones:

a) exteriores de A b) interiores de A y

c) atravesadas por el contorno de A.

Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero podemos, incluir algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,..., N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k).

Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma.

El radio del arco interior que limita es rk-1/2r; el del exterior, rk-1/2r; por consiguiente.

Consideramos el límite de las umas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones.

Si la funcion F es continua y la región A esta limitada por curvas continuadas rectificables, las sumas tienden como límite la integral doble de F extendida a A:

El límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:

∫

∫

∫

∫

Es posible utilizar primero coordenas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla despues a coordenadas polares.

Cambio de variables: coordenadas polares

Supongamos que

F={(x , y , z ;u)∨u=F( x , y , z ),(x , y , z )ϵ R3}

Es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una

región cerrada acotada R3_{. Sea N}3

k una red de R3, sea

Tk 3 ={(x1, y1, z1),(x2, y2, z2), ...,( xi, yi, zi), ... ,(xk, yk, zk)con(xi, yi, zi) ϵ}Ri 3 un aumento de N3 k , formemos la suma

∑

Si existe el número I con la propiedad de que dado un numero ε > 0 existe un numero δ > 0 tal que

para todas las redes N3

k y aumentos T3k con forma N3) de F sobre la

región R3_{, y la representamos}

La existencia de una integral triple sobre una región R3 _{depende no sólo}

de la naturaleza de F sino también de la naturaleza de R3_.

Teorema. Si F es continua sobre una región cerrada acotada R3 _cuya

frontera consiste de la unión de un número finito de superficies uniformes entonces

5.6 Integral triple en coordenadas cilindricas y esfericas

A continuación deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares

en coordenadas cilíndricas.

Para ello, si f(x,y,z) es una función continua y si definimos g(r,θ,z) = f(rcosθ, rsenθ) tenemos la siguiente relación entre las integrales:

Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas según convenga el orden de integración.

Cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas

A continuación deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectagulares

en coordenadas esféricas.

Para ello, si f(x,y,z) es una función continua y si definimos g(p,θ,φ)= f(cos θsen φ, psenθsenφ, pcosφ ) tenemos la siguiente relación entre las integrales:

Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas.

Un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma .

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para

representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclidiano es una función con valores vectoriales:

Se dice que es un campo vectorial Ck si como función es k veces

diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Operaciones con campos vectoriales

Dados dos campos vectoriales Ck F, G definidos sobre X y una función Ck

a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:

Debido a la linealidad de la función (F+G):

define el módulo de los campos vectoriales Ck sobre el anillo de las

funciones Ck. Alternativamente el conjunto de todos los campos

vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espacio vectorial.

Derivación y potenciales escalares y vectores

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor

respectivamente. Recíprocamente:

• Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto ,

existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

• Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en

un punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Estas propiedades derivan del teorema de Poincaré. Puntos estacionarios

Un punto x ∈Χ es estacionario si:

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la sección anterior.

Campo gradiente

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador diferencial vectorial gradiente que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial Ck F sobre X se llama un campo gradiente o

campo conservativo si existe una función Ck+1 a valores reales f: X →

R (un campo escalar) de modo que

La integral curvilínea sobre cualquier curva cerrada (e.g. γ(a) = γ(b)) en un campo gradiente es siempre cero.

Campo central

Artículo principal: Campo central

Un campo vectorial C∞ sobre Rn \{0} se llama campo central si puede

encontrarse un punto tal que:

Donde O(n, R) es el grupo ortogonal.Se dice que los campos centrales son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de un punto S cuyo vector posición es . El punto S se llama el centro del campo.

Un campo central es siempre un campo gradiente, por los campos centrales pueden ser caracterizados más fácilmente mediante:

Donde U=f (

‖

_‖

distancia entre el punto donde se mide el campo y el "centro del campo".

Campo solenoidal

Otros campos vectoriales se pueden construir a partir de un campo vectorial usando el operador diferencial vectorial rotacional que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial Ck F sobre X se llama un campo solenoidal si

existe una función vectorial Ck+1 A: X → Rn (un campo vectorial) de

modo que:

La integral de superficie o flujo cualquier superficie cerrada de un campo solenoidal es siempre cero.

5.8 Integral de línea

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas

en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

→→ W= F * d

Que tiene su paralelismo en la integral de línea

W=

∫

C

1

F∗ds

Acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio. La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;

El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

F(x,y,z)=(F1(x,y,z), F2(x,y,z),F3(x,y,z))

Una función vectorial definida en UCR3 _{-> R}3

U(t)=(x(t),y(t),z(t)) diferenciable y acotada en la parametrización de

una trayectoria en R3Se llama integral de línea de F sobre σ a la

integral: F∗¿∂ s=

∫

∫

Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

x ∈ Χ

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

∫

∑

∫

∫

√

√

(

)

(

)

5.9 Divergencia rotaciónal, interpretación geometrica y fisica Divergencia de un campo vectorial

Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ Rn _y

consideramos sus coordenadas F = (F1, F2,…,Fn). Supongamos que F es

diferenciable en un punto a ϵΩ , lo que sabemos equivale a todos los campos escalares F, con k = 1,2,…,n, sean diferencibles en el punto a.

De hecho cada vector grandiente ∇Fk(a) es la k-ésima fila de la matriz

jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por

definición, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por div F(a). Así pues, se tendrá.

Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de Ω

tenemos una función div F: Ω → R que en cada punto x Є Ω toma el valor divF(x) de la divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, valida en todo punto de Ω:

Para un campo vectorial plano (x,y) 7 → F(x,y) = P(x,y), Q(x,y), que sea

diferenciable en un punto (x0,y0), tendremos

Análogamente, si F = P i + Q j + R k es un campo vectorial en el espacio, diferenciableen un punto (x0,y0, z0), tendremos

y cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R3 _{podremos escribir}

Vector simbólico “nabla”. Para operar con las nociones que estamos estudiando es utl introducir el simbolisismo

y manejar ∇ como si se tratase de un vector de Rn_.

Por ejemplo si f es un campo escalar definido en un abierto Ω ⊆ Rn _y

diferenciable en un punto Є Ω, al multiplicar simbólicamente el “vector” ∇ por el escalar f(a) se obtine la expresión correcta del vector gradiente:

Cuando f es diferenciable

en todo punto de Ω podemos hacer el mismo cálculo simbólico con el “escalar variable” f, que multiplicado por ∇ nos da

Si ahora F = (F1, F2, · · · , Fn) es un campo vectorial definido en el abierto Ω y diferenciable en el punto a∈Ω, cuando calculamos

simbólicamente el producto escalar del “vector” ∇ por el vector F(a) = (F1(a), F2(a), . . . , Fn(a)) obtenemos:

Esto explica que frecuentemente se denote por ∇. F(a) a la divergencia del campo F en elpunto a. Cuando F es diferenciable en Ω, tenemos igualmente

Con las debidas precauciones, este cálculo simbólico con el “vector” ∇ resulta útil. Destacamos como siempre los dos casos particulares que nos interesan

En el caso n = 2 tenemos

Interpretación Geométrica de la derivada

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo

infinitesimal es muy antiguo,data del gran científico griego Arquímedes (287–212 a.C.) es el llamado:problema delas tangentesy que se describe a continuación.

Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada pory = f (x)(fig.9.5.).

Fig. 9.5

Sea P un punto fijo de la curva y sea Qun punto móvil de la curva y próximo a P.

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las

posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn,..., entonces, la posición límite (si

existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P. Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente: P(c,f(c)), Q(c+h,f(c+h)) ver fig. 9.6, entonces, la pendiente de la recta

secante PQ, denotada por m_{sec PQ viene dada por:}

m_{sec PQ}=tan a=f (c +h)−f (c) h

Fig. 9.6

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente m viene dada por:

De esta forma la ecuación de la recta tangente a la curva en P(c,f(c)) es: y – f(c) = f’(c)(x-c) (Punto-pendiente)

Velocidad promedia y velocidad instantánea

Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., enun tiempo de 2 horas, lavelocidad promedioes de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades,

dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea. Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caida libre, laposición S del objeto, como función del tiempo viene dada por:

S = 16t2 _{: S en pies t en segundos}

Así, en el primer segundo, cae 16pies.

En el intervalo de t = 1 seg a t = 2 seg, P cae (64-16) pies. Así que su velocidad promedio será:

Vprom=

64−16

2−1 =48

pies seg

En el intervalo de t = 1 seg a t = 1.5 seg, P cae (16(1.5)2 _{– 16 pies.}

Su velocidad promedio será respectivamente: V_prom=16(1.5 2 )−16 1.5−1 = 20 0.5=40 pies seg

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t = 1 seg a t = 1.1 seg,

y de t = 1 seg a t = 1.01 seg, P caerá respectivamente (16(1.1)2 _{– 16}

pies y 16(1.0.1)2_{-16 pies.}

Sus velocidades promedio serán respectivamente: V_prom=16(1.1 2 )−16 1.1−1 = 3.36 0.1 =33.6 pies seg V_prom=16(1.01 2₎₋₁₆ 1.01−1 = 0.3216 0.01 =32.16 pies seg

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedio sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos a t= 1seg, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t= 1seg.

Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar"que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg.

El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea.

Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posiciónSen cada instantetes una función S = f (t). En el instante t = c, el objeto está enf (c).

En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h)(Ver fig. 9.7.) Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:

V_prom=f (c +h)−f (c ) h

Se define la velocidad instantáne V en el instante t = c asi: V =lim k →0 Vprom= lim k→ 0 f (c +h)−f (c) h =f ' (c) 5.10 Teoremas de integrales Integración a lo largo de curvas

Dependencia de la parametrización

Teorema de Green

Integración sobre superficies

Dependencia de la parametrización

¿Las integrales sobre superficies dependen de la parametrización o de la orientación?

• f escalar: no depende de la parametrización

• F→ _{campo vectorial}

• Si consideramos dos parametrizaciones que definen la misma

orientación: la integral no varía

• Si las parametrizaciones definen orientaciones opuestas: la

integrales tienen signo opuesto Teorema de Gauss-Ostrogradski