EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS, MONOMIOS
Una expresión algebraica se defina como el conjunto de variables y constantes (letras y números) combinadas por operaciones matemáticas (adición, sustracción, multiplicación, división potenciación, radicación)
SITUACION DE APRENDIZAJE
Luis, Patricia y Marcela donaron dinero a una fundación que protege animales en peligro de extinción. Luis dono una cantidad m de dinero, Patricia el doble que Luis y Marcela el triple de Luis más $ 50.000
¿Cómo se expresa el dinero que aporta cada persona en términos de m? Para responder la pregunta, se asocia cada expresión con la respectiva operación así:
El doble de m: 2 (m) = 2m
El triple de m más $50.000 = 3m +50.000 Por lo tanto, el dinero que aporta cada persona en términos de m es m: dinero que aporta Luis
2m = dinero que aporta Patricia 3m+50.000 dinero que aporta Marcela Cada una de las distintas letras que aparecen en una expresión algebraica se llaman Variables (representan valores que no conocemos) a los números conocidos se los denomina Constantes (coeficientes).
Las expresiones algebraicas nos permiten también hallar áreas y volúmenes. Por ejemplo:
Longitud de la circunferencia 𝐿 = 2𝜋𝑟 , donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado
𝐴 = 𝑙2 , donde 𝑙 es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo
𝑉 = 𝑎3, donde 𝑎 es la arista(lado) del cubo.
Volumen de una esfera 𝑉 = 4
3𝜋𝑟
3 , donde r es el radio de la esfera
La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones Grado 8:2 k4tznr Año: 2020 Guía No 2: Expresiones Algebraicas, lenguaje algebraico y Monomios grado: 8 Grado 8:1 urdtbw Área: Matemáticas Asignatura: Matemáticas Docente (s): Grado 8:3 72etti
Lucy Ponce Ojeda grado 8:4 2we2z2 mail: lucyponce53@hotmail.com celular: 3136553768 grado 8:5 j43259
numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números.
Ejemplos.
Un ejemplo de expresión algebraica con una única variable o letra es:
4𝑥2+ 3𝑥3− 𝑥 − 4𝑥4− 3
La anterior expresión algebraica tiene 5 términos, los cuales están separados por los signos de suma y resta.
Un ejemplo de expresión algebraica con dos variables (letras):
2𝑚3𝑛2− 3𝑚2𝑛3+ 5 − 𝑚𝑛 La anterior expresión algebraica tiene 4 términos, los cuales están separados por los signos de suma y resta. El número 5 es el término independiente ya que no tienen ninguna letra o variable.
TERMINOS ALGEBRAICOS
Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más variables literales.
Cada término algebraico contiene el
coeficiente numérico (que incluye el signo
y números o constantes matemáticas) y la
parte literal (que incluye las variables).
Para mejor comprensión las variables son las letras
Los elementos de un término algebraico son: signo de adición o sustracción, coeficiente numérico, coeficiente literal o también llamado variable y exponente del o los coeficientes literales
Ejemplo. Los siguientes son términos algebraicos 2𝑚3𝑛5 −3 5𝑥 −3𝑦4 √7𝑥6𝑦−1𝑧
NOTA. Debemos tener en cuenta que existen varias maneras de expresar una multiplicación entre dos números a y b. a b a*b (a)(b) axb a·b ab .
LENGUAJE ALGEBRAICO
Consta principalmente de letras del alfabeto y algunos vocablos griegos .La principal función es estructurar un lenguaje que ayude a generalizar las diferentes operaciones.
En el lenguaje algebraico debemos tener en cuenta algunas palabras.
ADICION . sumar incrementar, aumentar mas
SUSTRACCION . diferencia, menos, disminuir restar.
MULTIPLICACION: veces, por, doble, producto triple, multiplicar,
DIVISION: entre, parte, cociente mitad, razon, tercera EJEMPLOS : LENGUAJE COMUN LENGUAJE ALGEBRAICO Un numero cualquiera X, b, c, La suma de dos números X + y La diferencia de dos números a-b El producto de dos números a.b (a) (b) El cociente de dos numeros x/y El doble de un número 2 x Un número aumentado en 3 y + 3 La mitad de un número x/2 La tercera parte de un número y/3 El cuadrado de un nùmero X2 El cubo de un nùmero X3 MONOMIOS
Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término, en donde el coeficiente es un número real, y los exponentes son mayores o iguales a cero. Un monomio consta de los mismos elementos de un término; signo, coeficiente, exponente y variables.
Los monomios se clasifican en
homogéneos y heterogéneos.
Homogéneos. Si dos o más monomios
tienen el mismo grado absoluto.
Heterogéneos. Si dos o más monomios
tienen diferente grado absoluto. Grado Absoluto de un Monomio
Para encontrar el grado absoluto de un monomio, se suman los exponentes de las variables del monomio.
Ejemplo. Hallar el grado absoluto de los siguientes monomios:
3
4 𝑎 3𝑏2
Para encontrar el grado absoluto sumamos los exponentes de las variables (letras): 3+2 = 5
Por lo tanto, el grado absoluto del monomio es 5
Grado Relativo de un Monomio
Es el grado que tiene cada una de las variables.
Ejemplo.
−3𝑥3𝑦4
El grado relativo con respecto a x es 3 El grado relativo con respecto a y es 4
Ejercicios. Establecer si los siguientes monomios son homogéneos o heterogéneos.
a) −5𝑎2𝑏2 y 4𝑥3𝑦4
RTA/ Son heterogéneos ya que los grados absolutos son diferentes. El grado absoluto de −5𝑎2𝑏2 es 4 y el de 4𝑥3𝑦4 es 7.
b) 2𝑚3𝑛2 y − 6𝑎4𝑏3
RTA/ Son heterogéneos ya que los grados absolutos son diferentes. El grado absoluto de 2𝑚3𝑛2 es 5 y el de −6𝑎4𝑏3 es 7.
c) 7𝑥2𝑦4𝑧 y 4𝑚4𝑛3
RTA/ Son homogéneos ya que los grados absolutos de los dos monomios son iguales. El grado absoluto de 7𝑥2𝑦4𝑧 es 7 y el de 4𝑚4𝑛3 es 7.
VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO
Es el valor que se obtiene al efectuar las operaciones entre los valores numéricos que se asignan a cada variable.
Las variables pueden tomar diferentes valores según se indique.
Ejemplos.
1) Tenemos el monomio 2𝑥𝑦2, donde le podemos asignar los valores de
x=3 y y=2.
Por lo tanto, reemplazamos los valores en el monomio, es decir, cambiamos la variable x por el 3 y la variable y por el 2, lo cual nos quedaría:
2𝑥𝑦2= 2(3)(2)2 = 2(3)(4) = 24
2) Determinar el valor numérico del monomio −5𝑥𝑦2𝑧3. Donde x=4,
y=2, z=3
Solución. Primero se reemplazan los valores numéricos a las respectivas variables.
−5𝑥𝑦2𝑧3= (−5)(4)(2)2(3)3 = (−5)(4)(4)(27)
= −2160
Monomios Semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. (las mismas variables, letras) y los mismos exponentes.
3𝑥2𝑦4𝑧 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 8𝑥2𝑦4𝑧
Mismas variables x, y, z y exponentes
OPERACIONES CON MONOMIOS Adición y sustracción de Monomios. Solo se pueden sumar o restar monomios semejantes. No olvidemos que deben tener la misma variable y el mismo exponente. Tal es el caso que para sumar o restar se hace con cantidades de la misma especie; por ejemplo 5 lápices + 3 lápices = 8 lápices.
10 cuadernos + 2 cuadernos = 12 cuadernos.
Observamos que son de la misma especie. No podemos sumar lápices con cuadernos. Para el caso del algebra pertenecen a la misma especie cuando son los monomios son semejantes; por ejemplo. 2X + 3X = 5X
8Y2 - 3Y2 = 5Y2
2m + 10 m + 5m – 7m = 17m – 7m = 10m Pero si decimos 2X + 8Y = 10 X es un error o 2X + 8Y = 10 Y es un error, puesto que la letra o variable X es diferente a Y Otro error seria: 2X2 + 7X = 9X, ya que
tienen la misma variable, pero el exponente es diferente.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. 𝑎𝑥𝑛+ 𝑏𝑥𝑛= (𝑎 + 𝑏)𝑥𝑛 Ejemplos. 4𝑥2𝑦3𝑧 + 3𝑥2𝑦3𝑧 = 7𝑥2𝑦3𝑧 2𝑥𝑦2𝑧3+ 3𝑥2𝑦𝑧 − 5𝑥𝑦2𝑧3 = −3𝑥𝑦2𝑧3+ 3𝑥2𝑦𝑧
Producto de un número por un Monomio.
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número. Ejemplo. 3 · (4𝑥2𝑦3𝑧) = 12𝑥2𝑦3𝑧 6 · ( 1 2 𝑚 3𝑛2) = 6 2 𝑚 3𝑛2= 3𝑚3𝑛2 Producto de Monomios.
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando entre si las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
Lo que indica que se multiplico los coeficientes, se deja la misma variable sumando sus exponentes. Así:
𝑎𝑥𝑛· 𝑏𝑥𝑚 = (𝑎 · 𝑏)𝑥𝑛+𝑚 Ejemplos. (2𝑎4𝑏2𝑐 ) · (7𝑎𝑏3𝑐2) = (2 · 7)𝑎4+1𝑏2+3𝑐1+2 = 14𝑎5𝑏5𝑐3 (6𝑥2𝑦3𝑧) · (3𝑥𝑦2𝑧4) = (6 · 3)𝑥2+1𝑦3+2𝑧1+3= 18𝑥3𝑦5𝑧3 Cociente de Monomios.
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
En otras palabras, se divide los coeficientes, se deja las mismas variables y se restan los exponentes.
Así: 𝑎𝑥𝑛 𝑏𝑥𝑚= ( 𝑎 𝑏)𝑥 𝑛−𝑚 Ejemplos. . 12𝑥7 6𝑥2 = 2x7-2 = 2x5 12𝑥7𝑦6𝑧2 6𝑥2𝑦4𝑧2 = 2𝑥7−2𝑦6−4𝑧2−2= 2𝑥5𝑦2 6𝑥3𝑦4𝑧5 2𝑥2𝑦𝑧3 = 3𝑥3−2𝑦4−1𝑧5−3 = 3𝑥𝑦3𝑧2
Potencia de un Monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva cada elemento de éste al exponente de la potencia. (𝑎𝑥𝑛)𝑚 = 𝑎𝑚𝑥𝑛∗𝑚 Ejemplos. (2𝑥3)4= 24(𝑥3)4 = 16𝑥12 (−3𝑎2𝑏3)3= (−3)3𝑎2∗3𝑏3∗3 = −27𝑎6𝑏9 TALLER DE APLICACION
Una vez analizado el contenido de la guía, vamos a revisar lo aprendido, si de pronto tiene dificultad, vuelva a leer detenidamente los ejemplos. Animo que con su inteligencia vamos a lograr resolver el taller.
RESOLVER EL TALLER
JUSTIFICANDO CADA UNA DE SUS RESPUESTAS
1. Dos términos son semejantes si:
A. Tienen la misma parte numérica con iguales exponentes
B. Tienen la misma parte literal con iguales exponentes
C. Tienen la misma parte literal con diferentes exponentes
D. Tienen la misma parte literal con diferentes coeficientes
2. Un número mas la cuarta parte del mismo, en lenguaje algebraico se lo representas, de la siguiente forma
A. X + X/ 4 B. X/4 + (X+1) C. X+1 + ¼ X D. X/ 4 + 1 3. En la expresión algebraica 2 (a 2 - c2) se lee.
A. El cuadrado de la diferencia de a y c. B. La diferencia de los cuadrados de a y c
C. El doble de la diferencia de los cuadrados a y c
D. Dos veces la diferencia de a y c
4. Si el precio de un lápiz es X pesos y el de un cuaderno es Y pesos, el precio de 5 lápices y 3 cuadernos se puede expresar como.
A. 3X +5Y B. 5X+3 Y C. Y + X D. 5X+Y
CONTESTA LAS PREGUNTAS 5 Y 6 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACION.
Un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, si uno de los lados mide 2m2 unidades
5. El monomio que representa el perímetro de la figura a es: A. 4m B. 2m C. 8m2 D. 6m2
6. Si m = 3 unidades; calcular el valor numérico:
A. 6 B. 8 C. 18 D. 54
7. La figura representa un hexágono regular, cuyo lado mide 3pq2 .
El perímetro y su valor numérico si P= 4 y q = 2, es: 3pq2 A. 9pq2 valor numérico 54 B. 18pq2 valor numérico 188 C. 9pq2 valor numérico 18 D. 188pq2 valor numérico 18
8. ¿Cuál es el coeficiente numérico del termino algebraico − 𝟐𝟗 a3 b4 c ? A. − 2 9 B. 2 9 C. 7 D. 8 9. EN LA EXPRESION ALGEBRAICA: 3X2 SE LEE.
A. El cuadrado de un número impar B. El cuadrado del triple de un número C. El triple de un número que esta elevado al cuadrado
D. El triple de un número todo ello al cuadrado.
Las preguntas de la 10 y 11 se responden con base en los monomios: 6m4 y -3m2
10. El resultado que se obtiene al multiplicar el segundo monomio con 2m es
A.-12m4
B.-6m3
C.-12m5
D.-6m5
11. El resultado que se obtiene al dividir el primer monomio con 3m2 es A.2m4
B.6m3
C.12m5
D.2m2
12. El área de la figura que se muestra es A. 15 m2 B. 8 m2 C. 7.5 m2 3m D. 5 m2 5m
13. El área de la figura que se muestra es A. 81 m2 B. 9 m2 C.18m2 D. 36 m2 9m
14. los monomios homogéneos son: 𝐴. 3𝑥3𝑦2 y 9𝑎3𝑏2 𝐵. 1 2𝑚 3𝑛4 y 3 2𝑚 3𝑛4 𝐶. 8𝑎5𝑏𝑐4 y -8𝑎5𝑐4 𝐷. 𝑥10𝑦12 y 2𝑎10𝑏12 15. En la expresión Algebraica a2 + b2 se lee: A. El cuadrado de la diferencia de a y b. B. La suma del cuadrado de dos
números
C. El doble de la suma del cuadrado a y D. E l cuadrado del producto de a y b. DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACION CONTESTAR LAS PREGUNTAS 16,17 Y 18
CONSIDERANDO QUE JESUS TIENE UN REBAÑO CON “X” OVEJAS.CON LA AYUDA DE JESUS ESCRIBA EN LENGUAJE ALGEBRAICO
16 Número de patas del rebaño---
17 Numero de patas si se mueren 6 ovejas--- 18. Número de ovejas después de nacer 18 corderillos---
19. Determinar el valor numérico de cada uno de los siguientes monomios, reemplazando con los valores asignados a cada variable
𝐴. −1 3 𝑚𝑛 2 ; Para 𝑚 =1 2 y 𝑛 = −2 𝐵. 2𝑎5𝑏4𝑧3 ; Para 𝑎 = −1, 𝑏 = −3 𝑦 𝑐 = 2 𝐶. −1 4𝑥 4𝑦2; Para 𝑥 = −2 𝑦 𝑦 = −1
20. Realizar las siguientes operaciones: 𝐴. 3𝑎2𝑏4− 12𝑎2𝑏4 𝐵. 4𝑥2𝑦3+ 12𝑥3𝑦2− 6𝑥3𝑦2+ 𝑥2𝑦3 C. 12𝑎2𝑏3+ 24𝑎3𝑏2− 16𝑎3𝑏2+ 2𝑎2𝑏3+ 7 𝐷. (2 3𝑥 2𝑦4)(3 2𝑥 5𝑦3) 𝐸.30𝑚 6𝑛4𝑜5 15𝑚8𝑛5𝑜3 F.150𝑎 16𝑏12𝑐5 25𝑎8𝑏5𝑐3
