CUADRADO DE NÚMEROS NATURALES

(1)

85 A

O

PERACIÓN

P

EGAMIENTO Y EL

C

UADRADO DE

N

ÚMEROS

N

ATURALES

Primitivo Belén Acosta Humánez*

L

RESUMEN

El propósito de este artículo es mostrar a partir de la operación unaria cifra digital y de la operación binaria pegamiento, un método para hallar el cuadrado de números naturales (y raíces cuadradas exactas) en función de la última cifra.

ABSTRACT

My goal with this paper is to show since the monoary operation digital cipher and since the binary operation pasting, a method to find the square of natural numbers (and exact square roots) in function of the last cipher.

PALABRAS CLAVES

Cifra digital, operación pegamiento, números naturales, cuadrados.

1. I

NTRODUCCIÓN

Siempre ha existido fascinación por encontrar métodos rápidos para hallar el cuadrado de los números naturales y las raíces cuadradas exactas. Para el propósito planteado en este artículo presentaremos las siguientes definiciones:

* Estudiante de la Escuela de Matemáticas de la Universidad Sergio Arboleda. Email: primitivo.acosta@usa.edu.co.

Este artículo es un resumen mejorado de un taller de diez horas ofrecido y realizado por el autor en la Semana Matemática y Física de la Universidad del Tolima, evento realizado en el mes de abril de 1993, del cual no quedaron memorias.

El autor desea agradecer a los profesores Reinaldo Núñez, Jairo Charris y Jesús Hernando Pérez por sus valiosos aportes en la presentación de este artículo.

(2)

86

Definición 1.1. Sea a , la operación unaria ç : o , es tal que a o ça,

donde ça es el número de cifras o dígitos que conforman al número natural a, por ejemplo ç589 = 3.

De ahora en adelante ç se denominará la operación unaria cifra digital y llamaremos a ça como la cifra digital de a.

Definición 1.2. Sean a, b , la operación binaria _¡ : x o , es tal que a la pareja (a , b) o a ¡ b = 10çb_{a + b, por ejemplo 18}_¡_{3 = 10}ç3_{x18 + 3.}

De ahora en adelante ¡ se denominará la operación binaria pegamiento y llamaremos a ¡ b como el pegamiento de a con b.

2. C

UADRADO DE

N

ÚMEROS

N

ATURALES Y

R

AÍCES

C

UADRADAS

E

XACTAS

Para hallar el cuadrado de cualquier número natural en función de la última cifra utilizaremos la operación pegamiento. Nos interesa ver que sucede cuando los dígitos considerados son {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, el cero no lo consideramos por ser un caso trivial. Un ejercicio para el lector es proponer y demostrar el cuadrado de los números terminados en cero. Presentaremos las demostraciones en dos columnas de tal forma que se pueda observar fácilmente el esquema de la afirmación - razón. Fácilmente se puede observar que ça = 1 siempre que a sea un dígito, por tal razón en los casos presentados a continuación se considerará a a _¡b = 10a + b. Para hallar las raíces cuadradas exactas se utilizará el proceso

inverso.

Proposición 2.1. Para hallar el cuadrado de un número cuya cifra final sea 1, se multiplica el número conformado por las cifras anteriores a 1 con su pegamiento con 2; y a este producto le pegamos 1. Es decir:

Sea n ¡ , (n ¡1)2 = [n (n ¡ 2)] ¡1. Demostración. Sea n ¡ , obsérvese que:

(n ¡1) = (10n + 1) por operación pegamiento ¡ (n _¡1)2 _{= (10n + 1)}2 _{elevando al cuadrado}

(3)

87 = 10n(10n+2)+1 factor común 10n

= 10n(n _¡2) + 1 por operación pegamiento _¡ = [n(n _¡ 2)] _¡1 por operación _¡.

Ejemplo 2.1.1. Note que 312_{= (3}_¡₁₎2_{= [3(3}_¡_2)]_¡_{1 = [3(32)]}_¡_{1 =}

96_¡1 = 961.

Ejemplo 2.1.2. 712_{= (7}

¡1)2_{= [7(7}

¡2)] _¡1 = [7(72)] _¡1 = 504_¡1 = 5041. Como consecuencia inmediata de la proposición anterior se tiene el siguiente corolario.

Corolario 2.1. Si un número terminado en 1, al omitir esa cifra se puede expresar como el producto de dos números naturales tales que el segundo número natural sea el pegamiento del primer número natural con 2, entonces tiene raíz cuadrada exacta, y tal raíz cuadrada es el pegamiento del primer factor con 1. Es decir:

Sea x = m _¡ 1 , si m = n (n _¡ 2), entonces _X = n _¡1. La demostración se deja como ejercicio.

Ejemplo 2.1.3. Note que 6561= 81 porque 656 = 8(82).

Ejemplo 2.1.4. Note que 904401= 951 porque 90440 = 95(952).

Sea n ¡ , (n ¡ 2)2_{= [n (n} _¡_4)]_¡_4.

Demostración. Sea n , obsérvese que:

(n ¡2) = (10n + 2) por operación pegamiento ¡ (n ¡2)2_{= (10n + 2)}2 _{elevando al cuadrado}

(4)

88

= 100n2_{+ 40n + 4} _{resolviendo el cuadrado}

= 10n(10n+4)+4 factor común 10n

= 10n(n _¡ 4) + 4 por operación pegamiento _¡ = [n(n ¡4)] ¡4 por operación ¡.

Ejemplo 2.2.1. 222_{= (2}_¡₂₎2_{= [2(2}_¡_4)]_¡_{4 = [2(24)]}_¡_{4 = 48}_¡_{4 = 484.}

Ejemplo 2.2.2. 922_{= (9}_¡₂₎2_{= [9(9}_¡_4)]_¡_{4 = [9(94)]}_¡_{4 = 846}_¡_{4 = 8464.}

Como consecuencia inmediata de la proposición anterior se tiene el siguiente corolario.

Sea x = m ¡ 4 ¡ , si m = n (n ¡ 4), entonces X = n ¡ 2.

La demostración se deja como ejercicio.

Ejemplo 2.2.3. Note que ₅₃₈₂₄ = 232 porque 5382 = 23(234). Ejemplo 2.2.4. Note que ₁₇₆₄ = 42 porque 176 = 4(44).

Sea n , (n ¡ 3)2_{= [n (n} _¡_6)]_¡_9.

(5)

89 (n ¡ 3)2_{= (10n + 3)}2 _{elevando al cuadrado}

= 10n(10n + 6) + 9 factor común 10n

= 10n(n ¡ 6) + 9 por operación pegamiento ¡ = [n(n ¡ 6)] ¡9 por operación ¡.

Ejemplo 2.3.1. 132_{= (1}_¡₃₎2_{= [1(1}_¡_6)]_¡_{9 = [1(16)]}_¡_{9 = 16}_¡_{9 = 169.}

Ejemplo 2.3.2. 632_{= (6}_¡₃₎2_{= [6(6}_¡_6)]_¡_{9 = [6(66)]}_¡_{9 = 396}_¡_{9 = 3969.}

Sea x = m _¡ 9 , si m = n (n _¡ 6), entonces _X = n _¡ 3. La demostración se deja como ejercicio.

Ejemplo 2.3.3. Note que 1849 = 43 porque 184 = 4(46).

Ejemplo 2.3.4. Note que 5329 = 73 porque 532 = 7(76).

Proposición 2.4. Para hallar el cuadrado de un número cuya cifra final sea 4, se multiplica el número conformado por las cifras anteriores a 4 con su pegamiento con 8, a este producto le sumamos 1; y a este resultado le pegamos 6. Es decir:

Sea n , (n ¡ 4)2_{= [n (n} _¡_8)+1]_¡_6.

(6)

90 (n ¡4)2_{= (10n + 4)}2 _{elevando al cuadrado} = 100n2_{+ 80n + 16} _{resolviendo el cuadrado} = 100n2_{+ 80n + 10 + 6} _{separando unidades} = 10(10n2_+8n+10)+6 _{factor común 10} = 10(n(10n+8)+1)+6 factor común n

= 10(n(n¡8)+1) + 6 por operación pegamiento ¡ = [n(n _¡ 8)+1] _¡ 6 por operación _¡. Ejemplo 2.4.1. 342_{= (3} ¡ 4)2_{= [3(3} ¡8)+1] _¡6 = [3(38)+1] _¡6 = 11515_¡6 = 1156. Ejemplo 2.4.2. 842_{= (8} ¡4)2_{= [8(8} ¡8)+1] _¡6 = [8(88)+1] _¡6 = 705_¡6 = 7056.

Corolario 2.4. Si un número terminado en 6, al omitir esa cifra se puede expresar como el consecutivo del producto de dos números naturales tales que el segundo número natural sea el pegamiento del primer número natural con 8, entonces tiene raíz cuadrada exacta, y tal raíz cuadrada es el pegamiento del primer factor con 4. Es decir:

Sea x = m ¡ 6 , si m - 1 = n (n ¡8), entonces _X = n ¡ 4.

Ejemplo 2.4.3. Note que ₂₉₁₆ = 54 porque 290 = 5(58). Ejemplo 2.4.4. Note que 5476 = 74 porque 546 = 7(78).

Proposición 2.5. Para hallar el cuadrado de un número cuya cifra final sea 5, se multiplica el número conformado por las cifras anteriores a 5 con su consecutivo y a este resultado le pegamos 25. Es decir:

(7)

91 Sea n , (n ¡ 5)2_{= [n (n + 1)]}_¡_25.

(n _¡5) = (10n + 5) por operación pegamiento _¡ (n ¡5)2_{= (10n + 5)}2 _{elevando al cuadrado} = 100n2_{+ 100n + 25} _{resolviendo el cuadrado} = 100(n2 _{+ n) + 25} _{factor común 100} = 100(n(n+1)) + 25 factor común n = [n(n + 1)] _¡25 por operación _¡. Ejemplo 2.5.1. 252_{= (2}_¡₅₎2_{= [2(2+1)]}_¡_{25 = 6}_¡_{25 = 625.} Ejemplo 2.5.2. 652_{= (6}_¡₅₎2_{= [6(6+1)]}_¡_{25 = 42}_¡_{25 = 4225.}

Corolario 2.5. Si un número terminado en 25, al omitir esa cifra se puede expresar como el producto de dos números naturales consecutivos, entonces tiene raíz cuadrada exacta, y tal raíz cuadrada es el pegamiento del primer factor con 5. Es decir:

Sea x = m¡ 25 , si m = n (n + 1), entonces _X= n ¡5. La demostración se deja como ejercicio.

Ejemplo 2.5.3. Note que 15625 = 125 porque 156 = 12(12 + 1).

Ejemplo 2.5.4. Note que 7225 = 85 porque 72 = 8(8 + 1).

Proposición 2.6. Para hallar el cuadrado de un número cuya cifra final sea 6, se multiplica el número conformado por las cifras anteriores a 6 con el pegamiento

(8)

92

de su consecutivo con 2, a este producto le sumamos 3; y a este resultado le pegamos 6. Es decir:

Sea n , (n ¡ 6)2 = [n ((n + 1)¡2) + 3] ¡6. Demostración. Sea n , obsérvese que:

(n_¡6) = (10n + 6) por operación pegamiento _¡ (n _¡6)2_{= (10n + 6)}2 _{elevando al cuadrado} = 100n2_{+ 120n + 36} _{resolviendo el cuadrado} = 100n2_{+ 120n + 30 + 6} _{separando unidades} = 10(10n2_+12n+3)+6 _{factor común 10} = 10(n(10n+12)+3)+6 factor común n = 10(n(10n+10+2)+3)+6 separando unidades = 10(n(10(n+1)+2)+3)+6 factor común 10

= 10((n((n+1) ¡2))+3)+6 por operación pegamiento ¡ = [(n((n+1) ¡2))+3] ¡6 por operación ¡. Ejemplo 2.6.1. 162_{= (1} ¡6)2 = [1(2_¡2)+3] _¡6 = [1(22)+3] _¡6 = 25_¡6 = 256. Ejemplo 2.6.2. 462_{= (4} ¡6)2 = [4(5_¡2)+3] _¡6 = [4(52)+3] _¡6 = 2111_¡6 = 2116.

Corolario 2.6. Si un número terminado en 6, al omitir esa cifra y restar 3 se puede expresar como el producto de dos números naturales tales que el segundo número natural sea el pegamiento del consecutivo del primer número natural con 2, entonces tiene raíz cuadrada exacta, y tal raíz cuadrada es el pegamiento del primer factor con 6. Es decir:

(9)

93 Sea x = m¡ 6 , si m - 3 = n ((n +1) ¡ 2), entonces _X= n ¡ 6.

Ejemplo 2.6.3. Note que 256= 16 porque 25 - 3 = 1(22).

Ejemplo 2.6.4. Note que 1296= 36 porque 129 - 3 = 3(42).

Proposición 2.7. Para hallar el cuadrado de un número cuya cifra final sea 7, se multiplica el número conformado por las cifras anteriores a 7 con el pegamiento de su consecutivo con 4, a este producto le sumamos 4; y a este resultado le pegamos 9. Es decir:

Sea n , (n ¡ 7)2 = [n ((n + 1)¡4) + 4] ¡9.

(n¡7) = (10n + 7) por operación pegamiento ¡ (n_¡7)2_{= (10n + 7)}2 _{elevando al cuadrado} = 100n2_{+ 140n + 49} _{resolviendo el cuadrado} = 100n2_{+ 140n + 40 + 9} _{separando unidades} = 10(10n2_+14n+4)+9 _{factor común 10} = 10(n(10n+14)+4)+9 factor común n = 10(n(10n+10+4)+4)+9 separando unidades = 10(n(10(n+1)+4)+4)+9 factor común 10

= 10((n((n+1)¡4))+4)+9 por operación pegamiento ¡ = [(n((n+1)¡4))+4]¡9 por operación ¡.

(10)

94

Ejemplo 2.7.2. 572_{= (5}_¡₇₎2_{= [5(6}_¡_4)+4]_¡_{9 = [5(64)+4]}_¡_{9 = 324}_¡_{9 = 3249.}

Sea x = m¡9 , si m - 4 = n ((n +1) ¡ 4), entonces _X = n ¡ 7. La demostración se deja como ejercicio.

Ejemplo 2.7.3. Note que 9409=97 porque 940 - 4 = 9(104).

Ejemplo 2.7.4. Note que ₁₈₇₆₉=137 porque 1876 - 4 = 13(144). Proposición 2.8. Para hallar el cuadrado de un número cuya cifra final sea 8, se multiplica el número conformado por las cifras anteriores a 8 con el pegamiento de su consecutivo con 6, a este producto le sumamos 6; y a este resultado le pegamos 4. Es decir:

Sea n , (n _¡ 8)2_{= [n ((n + 1)}_¡_{6) + 6]}_¡_4.

(n¡8) = (10n + 8) por operación pegamiento ¡ (n¡7)2 = (10n + 8)2 _{elevando al cuadrado}

= 100n2 + 160n + 60 + 4 separando unidades = 10(10n2_+16n+6)+4 _{factor común 10}

(11)

95 = 10(n(10n+10+6)+6)+4 separando unidades

= 10(n(10(n+1)+6)+6)+4 factor común 10

= 10((n((n+1)_¡6))+6)+4 por operación pegamiento _¡ = [(n((n+1)¡6))+6] ¡4 por operación ¡.

Ejemplo 2.8.1. 482_{= (4}_¡₈₎2_{= [4(5}_¡_6)+6]_¡_{4 = [4(56)+6]}_¡_{4 = 230}_¡_{4 = 2304.}

Ejemplo 2.8.2. 282 _{= (2}_¡₈₎2_{= [2(3}_¡_6)+6]_¡_{4 = [2(36)+6]}_¡_{4 = 78}_¡_{4 = 784.}

Sea x = m ¡ 4 , si m - 6 = n ((n +1) ¡ 6), entonces _X = n ¡8. La demostración se deja como ejercicio.

Ejemplo 2.8.3. Note que ₁₄₄₄=38 porque 144 - 6 = 3(46). Ejemplo 2.8.4. Note que ₄₆₂₄=68 porque 462 - 6 = 6(76).

Proposición 2.9. Para hallar el cuadrado de un número cuya cifra final sea 9, se multiplica el número conformado por las cifras anteriores a 9 con el pegamiento de su consecutivo con 8, a este producto le sumamos 8; y a este resultado le pegamos 1. Es decir:

Sea n , (n _¡ 9)2_{= [n ((n + 1)}

¡8) + 8] _¡1. Demostración. Sea n , obsérvese que:

(12)

96 (n¡9)2 _{= (10n + 9)}2 _{elevando al cuadrado} = 100n2_{+ 180n + 81} _{resolviendo el cuadrado} = 100n2_{+ 180n + 80 + 1} _{separando unidades} = 10(10n2_+18n+8)+1 _{factor común 10} = 10(n(10n+18)+8)+1 factor común n = 10(n(10n+10+8)+8)+1 separando unidades = 10(n(10(n+1)+8)+8)+1 factor común 10

= 10((n((n+1)_¡8))+8)+1 por operación pegamiento _¡ = [(n((n+1)¡8))+8] ¡1 por operación ¡.

Ejemplo 2.9.1. 192_{= (1}

¡9)2_{= [1(2}

¡8)+8] _¡1 = [1(28)+8] _¡1 = 36_¡1 = 361. Ejemplo 2.9.2. 492_{= (4}_¡₉₎2_{= [4(5}_¡_8)+8]_¡_{1 = [4(58)+8]}_¡_{1 = 240}_¡_{1 = 2401.}

Sea x = m ¡ 1 , si m - 8 = n ((n +1) ¡ 8), entonces X = n ¡ 9.

Ejemplo 2.9.3. Note que ₉₄₀₉=97 porque 940 - 4 = 9(104).

(13)

97

3. C

ONCLUSIONES

Con los últimos avances en la Criptología y las seguridades computacionales se ve necesario crear nuevos algoritmos que agilicen los procesos, claro está que el computador es una excelente herramienta, pero un algoritmo computacional es mas eficiente que otro si gasta menos tiempo. Esta teoría está fundamentada en algunas propiedades de las sucesiones aritméticas, para ampliación del tema véase [A3] y [A5]. Considero que la operación pegamiento se puede extender para hallar (a _¡ b)n_{, donde çb > 1 y n > 2, obteniendo así algoritmos más}

rápidos que los convencionales para calcular potencias de números naturales.

4. B

IBLIOGRAFÍA

[A1] ACOSTA Primitivo. Ley Costeana. Memorias del primer encuentro nacional de estudiantes de matemáticas pag 64. Universidad del Cauca. Popayán, 1992.

[A2] ACOSTA Primitivo. Memorias del primer seminario de matemáticas y ciencias afines. Tecnológico INESPRO. Bogotá D.C, 1996.

[A3] ACOSTA Primitivo. Algunas propiedades de las sucesiones aritméticas. Revista Muzangá. Universidad de Sucre. Sincelejo, 1997.

[A4] ACOSTA Primitivo. Memorias del segundo seminario de matemáticas y ciencias afines. Tecnológico INESPRO. Bogotá D.C, 1997.

[A5] ACOSTA Primitivo. Algunas regularidades de las sucesiones aritméticas. Revista Notas de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá D.C, 1999.