SOLUCIONES: ; I g = I 3 I 2. siendo: Z 11 = R 1 + R 2 + R 3 + L 1 D + L 2 D + L 3 D 2M 23 D + 1/(C 1 D)

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Plantear todas las ecuaciones necesarias para resolver el siguiente circuito. Los acoplamientos magnéticos son M14, M23, M24 y M34. Dar el resultado en

forma matricial (vector de fuerzas electromotrices e impedancias Zij).

Nota: todos los generadores son variables con el tiempo, pero no necesariamente senoidales. SOLUCIONES:           ⋅           =           − + − + 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 4 2 3 2 1 I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z V E V E E E E g g g g g g g ; Ig = I3 – I2 siendo: Z11 = R1 + R2 + R3 + L1D + L2D + L3D – 2M23D + 1/(C1D) Z12 = -R2 – L2D + M24D + M23D – M34D – M14D = Z21 Z13 = -R3 – L3D + M14D + M23D – M24D + M34D = Z31 Z22 = R2 + R4 + R5 + L2D + L4D + 1/(C2D) – 2M24D Z23 = -R4 – L4D + M24D + M34D – M23D = Z32 Z33 = R3 + R4 + R6 + L3D + L4D – 2M34D

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SUGERENCIAS:

Tenemos dos formas usuales de resolver este tipo de circuitos (siempre por mallas, ya que nudos es prácticamente imposible y el método completo de variables de rama no se ha visto con todo detalle), aplicando expresamente la segunda ley de Kirchhoff (recomendado) o aplicando directamente el método matricial, con las indicaciones específicas que hay que seguir para el caso de que el circuito contenga acoplamientos magnéticos.

El método recomendado es el primero, ya que solamente se tiene necesidad de saber aplicar la 2ª ley de Kirchhoff (que se supone de sobra conocida), mientras que para el método matricial se necesita memorizar una serie de reglas que, casi con toda seguridad, se olvidarán cuando dejen de usarse de forma continuada, además de que, según nuestra experiencia, se corren más riesgos (si los acoplamientos tienen una cierta complejidad) de olvidar algún término en el proceso.

Para el primer método, a fin de no olvidar ningún término, se ruega encarecidamente, que, antes de empezar, se “pinten” todas las caídas que cada acoplamiento produce en el resto de bobinas. Una vez indicados todos, ya es relativamente fácil el plantear la 2ª ley de Kirchhoff para todas las mallas existentes en el circuito.

Para el segundo método, suponemos conocido el procedimiento cuando las mallas no tienen acoplamientos magnéticos, con lo que solamente recordaremos las modificaciones a tener en cuenta, debido a la existencia de éstos:

Regla 1.- Para cada impedancia propia de malla, se añadirá un término ±2MjkD por cada pareja de bobinas acopladas que se encuentren en la misma

malla. El signo será positivo si la corriente de malla entra en ambas bobinas por terminales correspondientes, y negativo en caso contrario.

Regla 2.- Para las impedancia mutuas, se añadirán términos de la forma ±MijD por cada acoplamiento mutuo que se tenga entre bobina de la malla i y

bobina de la malla j. El signo será positivo si la corriente de malla de cada una, entra por terminales correspondientes para cada bobina, y negativo en caso contrario.

En ambos casos, como es de uso general, cuando se utilizan mallas, no se deben tener generadores de corriente, y si se dispone de ellos (y no se puede o no se desea su transformación a generador de tensión), hay que suponerles una caída de tensión de polaridad arbitraria, que introducirá una nueva incógnita en el sistema. Afortunadamente, también se añade otra ecuación más, la dada por el hecho de que por la rama en que se encuentra el generador de corriente, la intensidad es conocida.

(3)

RESOLUCIÓN:

En primer lugar, es muy importante no olvidar que el generador de corriente también tiene una caída de tensión en sus bornes (Vg) con una

polaridad asignada arbitrariamente (posteriormente se obtendrá el signo correcto), por lo que lo vamos a considerar como si de un generador de tensión se tratase (a efectos del planteamiento de mallas).

A continuación, vamos a resolver el problema planteando en cada malla el segundo lema de Kirchhoff, para lo cual, previamente vamos a dibujar las caídas de tensión que cada bobina provoca sobre las demás (en cada caso, elegiremos arbitrariamente el sentido de la corriente inductora I1 – I2 o

viceversa). En cualquier caso, el resultado final deberá ser el mismo. Esas caídas son las indicadas a continuación, con los sentidos indicados en el siguiente circuito:

V1 = M14DI1 V2 = M14D(I3 – I2) V3 = M23D(I1 – I2)

V4 = M23D(I1 – I3) V5 = M24D(I1 – I2) V6 = M24D(I3 – I2)

V7 = M34D(I3 – I2) V8 = M34D(I1 – I3)

(4)

Malla 1: Eg1 + Eg2 = (1/C1D)I1 + R1I1 + L2D(I1 – I2)+ R2(I1 – I2) + R3(I1 – I3) + L1DI1 + + L3D(I1 – I3) + V2 – V4 –V6 + V7 – V3 Malla 2: Eg3 – Eg2 + Vg = R5I2 + 1/(C2D)I2 + R4(I2 – I3) + R2(I2 – I1) + L4D(I2 – I3) + + L2D(I2 – I1) + V4 + V6 + V5 – V8 – V1 Malla 3: Eg4 - Vg = R6I3 + R3(I3 – I1) + L3D(I3 – I1) + R4(I3 – I2) + L4D(I3 – I2) + + V1 + V3 – V7 + V8 – V5

Adicionalmente necesitamos (tenemos tres ecuaciones y cuatro incógnitas) otra ecuación más, que saldrá de la definición del generador de intensidad:

Ig = I3 – I2

Si sustituimos los valores de Vn y separamos los factores

correspondientes a cada corriente, se obtiene la solución matricial que obtenemos a continuación de forma directa.

Para terminar, vamos a plantear el problema por la forma matricial, considerando esta última ecuación del generador y el sistema matricial obtenido a continuación. Recuérdese que en la diagonal principal solamente aparecerán términos de la forma ±2·MklD si se tienen dos acoplamientos

mutuos sobre la misma malla, siendo el signo + solamente si por ambas inductancias la corriente de la malla entra por terminales correspondientes, mientras que en el resto, aparecerán un término de la forma ±MklD por cada

acoplamiento entre las inducciones k y l de mallas distintas, con signo positivo si y solo si, el sentido de la corriente de la malla de la primera inducción y el de la otra malla, son concurrentes con los terminales correspondientes de las bobinas k y l.           ⋅           =           − + − + 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 4 2 3 2 1 I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z V E V E E E E g g g g g g g siendo Z11 = R1 + R2 + R3 + L1D + L2D + L3D – 2M23D + 1/(C1D) Z12 = -R2 – L2D + M24D + M23D – M34D – M14D = Z21 Z13 = -R3 – L3D + M14D + M23D – M24D + M34D = Z31

(5)

Z22 = R2 + R4 + R5 + L2D + L4D + 1/(C2D) – 2M24D

Z23 = -R4 – L4D + M24D + M34D – M23D = Z32

Z33 = R3 + R4 + R6 + L3D + L4D – 2M34D

Figure

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