COLEGIO SAN CARLOS DE QUILICURA MATEMÁTICA/TERCERO MEDIO
J. VELÁSQUEZ/L. CONTRERAS/2020
Solucionario de la Guía de Trabajo N° 1 Matemática
ÍTEM I: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS: MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO, MEDIANA Y MODA. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS Y EJERCICIOS. Para resolver este ÍTEM debemos recordar lo siguiente:
1) Javiera hizo un recorrido diario durante su preparación para participar en una carrera. Ella registró la distancia que recorrió durante una semana en la siguiente tabla.
Si la distancia promedio la semana anterior fue de 12,3 km, ¿se puede afirmar que esta semana obtuvo un mejor promedio?
Solución:
Calculamos el promedio del recorrido diario que hizo Javiera :
𝑥̅ =11,4 + 12,1 + 12,5 + 10,8 + 11,3 + 12,4 + 11,5 7
𝑥̅ =82
7 ≈𝟏𝟏, 𝟕
Por tanto, no se puede afirmar que Javiera esta semana obtuvo un mejor promedio, puesto que, el promedio de esta semana fue de 11,7 km.
2) En los datos 4, 3, 3, 2, 5, 5, 2, 1, 4 la moda no puede ser
Solución:
La moda no puede ser 1, puesto que, es el dato que menos se repite. Por tanto, la respuesta correcta es la opción A.
3) Halla la mediana y la moda de cada conjunto de datos.
Solución:
a) 5 9 8 13 4 0
Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor: 0 4 5 8 9 13 Como hay una cantidad par de datos, se marcan los dos datos del centro: 0 4 5 8 9 13 Y se calcula el promedio o media aritmética entre ambos: 5+8
2 = 13
2
Entonces, la mediana de los datos es 6,5.
Luego, la moda es el dato que más se repite, sin embargo en este caso no existe moda puesto que, ningún dato se repite.
b) 6 6 3 3 2 2
Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor: 2 2 3 3 6 6 Como hay una cantidad par de datos, se marcan los dos datos del centro: 2 2 3 3 6 6 En este caso, como el par de datos son iguales, entonces la es 3.
Lo puedes comprobar calculando el promedio o media aritmética entre ambos 3+3 2 =
6 2= 3.
La moda, en este caso son los números 2,3 y 6 puesto que, cada uno se repite la misma cantidad de veces.
c) 0 1 2 3 4
Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor: 0 1 2 3 4 Luego marcamos el dato central: 0 1 2 3 4
Por tanto, la mediana es 2.
En este caso no existe moda puesto que, ningún dato se repite.
d) 9 9 5 3 6 6 6 6 1 1 0 0
Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor: 0 0 1 1 3 5 6 6 6 6 9 9 Como hay una cantidad par de datos, se marcan los dos datos del centro:
0 0 1 1 3 5 6 6 6 6 9 9
Y se calcula el promedio o media aritmética entre ambos: 5+6 2 =
11 2
Entonces, la mediana de los datos es 5,5.
e) 24 32 28 40 33 45 28 34 33
Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor: 24 28 28 32 33 33 34 40 45 Luego marcamos el dato central: 24 28 28 32 33 33 34 40 45
Por tanto, la mediana es 33.
La moda, en este caso son los números 28 y 33 puesto que, cada uno se repite la misma cantidad de veces.
f) 50 50 50 30 60 10 80
Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor: 10 30 50 50 50 60 80 Luego marcamos el dato central: 10 30 50 50 50 60 80
Por tanto, la mediana es 50.
La moda, en este caso es el número 50 puesto que, es el dato que más se repite.
ÍTEM II: MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO DE DATOS AGRUPADOS Para resolver este ÍTEM debemos recordar lo siguiente:
1) Calcula la media aritmética o promedio del peso de los 35 recién nacidos cuyos pesos en kilogramos se muestran en la Tabla1. Realiza los cálculos en la Tabla 2.
Solución:
Peso (kg)
Marca de clase
(X
mc)
Frecuencia
absoluta (f)
Marca de clase ·
frecuencia (X
mc· f)
[1,5; 2,0)
1,75
1
1,75
[2,0; 2,5)
2,25
3
6,75
[2,5; 3,0)
2,75
9
24,75
[3,0; 3,5)
3,25
12
39
[3,5; 4,0)
3,75
6
22,5
[4,0; 4,5)
4,25
4
17
Total:
Suma: 35
Suma: 111,75
Por tanto, la media del peso de los niños es:
𝟏𝟏𝟏, 𝟕𝟓
𝟑𝟓 = 𝟑, 𝟏𝟗 𝒌𝒈
En cada intervalo se toma un valor representativo llamado marca de clase, que corresponde al valor medio del intervalo. Para hallar la marca de clase, se suman los extremos del intervalo y se divide el resultado entre dos
ÍTEM III: MEDIDAS DE POSICIÓN: CÁLCULO DE CUARTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS. Para resolver este ÍTEM debemos recordar que:
1) Calcula e interpreta los cuartiles del siguiente conjunto de datos:
Solución:
Lo primero que debemos hacer es organizar los datos de menor a mayor e identificar la posición de cada uno de los datos utilizando xn:
0 0 1 2 4 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 11 11 12 12 13 14 15 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 X21 X22 X23 X24
Luego,
Para la posición del primer cuartil tenemos:
𝑁 · 𝐾
4 =
24 · 1 4 = 6
Lo que quiere decir entonces es que 𝑄1 esta entre las posiciones 6 y 7.
𝑸𝟏= 𝟒 + 𝟓
𝟐 =
𝟗
𝟐= 𝟒, 𝟓
Para la posición del segundo cuartil tenemos:
𝑁 · 𝐾
4 =
24 · 2 4 = 12
Lo que quiere decir entonces es que 𝑄2 esta entre las posiciones 12 y 13. 𝑸𝟐= 𝟕 + 𝟕 𝟐 = 𝟏𝟒 𝟐 = 𝟕
Para la posición del tercer cuartil tenemos:
𝑁 · 𝐾
4 =
24 · 3 4 = 18
Lo que quiere decir entonces es que 𝑄3 esta entre las posiciones 18 y 19. 𝑸𝟑= 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐 = 𝟐𝟐 𝟐 = 𝟏𝟏 En conclusión, el 25% de los datos está por debajo de 4,5, el 50% de los datos se encuentra por debajo de 7 y el 75% de los datos se encuentra por debajo de 11.
ÍTEM IV: DIAGRAMA DE ÁRBOL. RESUELVE EL SIGUIENTE PROBLEMA. Para resolver este ÍTEM debemos recordar que:
1) Lucía está remodelando su habitación. Para ello, pintará las paredes de verde, rosado o amarillo, la puerta café o blanca y colgará una copia de un cuadro de Picasso o Dalí. ¿De cuántas maneras diferentes puede remodelar su habitación realizando todos los cambios?
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número infinito de maneras de ser llevado a cabo.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Solución:
Contando las ramas finales se obtienen 12 posibles combinaciones.
ÍTEM V: PROBABILIDAD. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS. Para resolver este ÍTEM debemos recordar:
1) Se escoge al azar un dulce de una caja donde hay diez de menta, seis de fresa y cinco de caramelo. Halla las siguientes probabilidades.
a) Que sea de menta. b) Que sea de caramelo. c) Que sea de fresa. d) Que no sea de fresa Solución:
a) Para determinar la probabilidad de que al escoger al azar un dulce, este sea de menta, se halla el cociente entre la cantidad de dulces de menta que hay en la caja y la cantidad de dulces que hay en total en la caja.
𝑃(𝑎) =10
21= 0,476 = 47,6 %
Es decir, existe el 47,6 % de probabilidad de que al escoger al azar un dulce, este sea de menta.
b) Para determinar la probabilidad de que al escoger al azar un dulce, este sea de caramelo, se halla el cociente entre la cantidad de dulces de caramelos que hay en la caja y la cantidad de dulces que hay en total en la caja.
𝑃(𝑏) = 5
21= 0,238 = 23,8 %
c) Para determinar la probabilidad de que al escoger al azar un dulce, este sea de fresa, se halla el cociente entre la cantidad de dulces de fresa que hay en la caja y la cantidad de dulces que hay en total en la caja.
𝑃(𝑐) = 6
21= 0,285 = 28,5 %
Es decir, existe el 28,5 % de probabilidad de que al escoger al azar un dulce, este sea de fresa.
d) Como la probabilidad de que al escoger al azar un dulce, este sea de fresa es de 0,285, entonces la probabilidad de que este no sea de fresa es:
𝑃(𝑐̅) = 1 − 0,285 = 0,715 = 71,5 %
Es decir, existe el 71,5 % de probabilidad de que al escoger al azar un dulce, este sea no sea de fresa.
2) Se dispone de 2 cajas con fichas de colores, como muestra la figura, y se extrae al azar una ficha de cada una. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja y una azul?
b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja y una amarilla? c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha verde y una no azul?
Solución: Antes de comenzar, recordemos lo siguiente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja y una azul? Llamemos a la ficha roja: P(r) y a la ficha azul: P(a).
Luego, 𝑃(𝑟 ∩ 𝑎) = 𝑃(𝑟) ∙ 𝑃(𝑎) 𝑃(𝑟) =𝟑 𝟓 𝑃(𝑎) =𝟒 𝟔 𝑃(𝑟 ∩ 𝑎) =3 5∙ 4 6= 12 30= 𝟐 𝟓 Entonces, la probabilidad de sacar una ficha roja y una azul es de 𝟐
𝟓= 𝟎, 𝟒 = 𝟒𝟎%. b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja y una amarilla?
Llamemos a la ficha roja: P(r) y a la ficha amarilla: P(am). Luego, 𝑃(𝑟 ∩ 𝑎𝑚) = 𝑃(𝑟) ∙ 𝑃(𝑎𝑚) 𝑃(𝑟) =𝟑 𝟓 𝑃(𝑎𝑚) =𝟐 𝟔 𝑃(𝑟 ∩ 𝑎) =3 5∙ 2 6= 6 30= 𝟏 𝟓
Entonces, la probabilidad de sacar una ficha roja y una amarilla es de 𝟏
𝟓= 𝟎, 𝟐 = 𝟐𝟎%. c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha verde y una no azul?
Llamemos a la ficha verde: P(v) y a la ficha no azul: P(𝑎̅). Posteriormente, calculamos cada una de las probabilidades.
𝑃(𝑣) =𝟐 𝟓 𝑃(𝑎̅) = 1 − 𝑃(𝑎) 𝑃(𝑎̅) = 1 −4 6= 6 − 4 6 = 2 6= 𝟏 𝟑 Luego, 𝑃(𝑣 ∩ 𝑎̅) = 𝑃(𝑣) ∙ 𝑃(𝑎̅) 𝑃(𝑣 ∩ 𝑎̅) =2 5∙ 1 3= 𝟐 𝟏𝟓 Entonces, la probabilidad de sacar una ficha verde y una no azul es de 𝟐
COLEGIO SAN CARLOS DE QUILICURA
MATEMÁTICA/TERCERO MEDIO
J. VELÁSQUEZ/L. CONTRERAS/2020
Guía de Trabajo N° 2 Matemática
(Del 30 de marzo al 03 de abril)
Nombre
Curso
Fecha
IIIº
___ / 04 / 2020
OA 2: Tomar decisiones en situaciones de incerteza que involucren el análisis de datos estadísticos con
medidas de dispersión y probabilidades condicionales.
CONTENIDOS:
Medidas de dispersión: el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar.
INSTRUCCIONES:
El tiempo estimado para el desarrollo de la guía será de 90 minutos. Puedes realizarla en dos sesiones
de 45 minutos.
Los materiales que necesitaras para el desarrollo de la guía serán: lápiz mina, lápiz pasta, goma, saca
puntas y una regla.
El desarrollo de los ejercicios escríbelo con lápiz mina y la respuesta final escríbela con lápiz pasta.
En la Guía de Trabajo N° 3 se anexará la retroalimentación de esta guía.
ÍTEM I: MEDIDAS DE DISPERSIÓN.
PARA TRABAJAR LAS ACTIVIDADES PRESENTADAS EN ESTE ÍTEM,
PRIMERO ESTUDIEMOS LO SIGUIENTE:
¿QUÉ SON LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN?
Las medidas de dispersión dan una idea ideal de “alejamiento” de los datos respecto a las medidas de
centralización (mediana y media). En otras palabras, sirven para determinar si los datos se encuentran en
torno a la media o si están muy dispersos.
a) ¿Cuál es el tiempo promedio de Daniela en las últimas 5 carreras de 100 m estilo libre?, ¿y el de
Bárbara?
Recordemos el concepto de promedio o media aritmética que trabajamos en la Guía N°1, donde para
calcularlo, primero se suman todos los datos y luego se divide por la cantidad de datos:
𝑥̅ =
64 + 58 + 68 + 62 + 65
5
=
317
5
= 63,4 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 (𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙𝑎)
𝑥̅ =
69 + 63 + 65 + 50 + 70
5
=
317
5
= 63,4 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 (𝐵á𝑟𝑏𝑎𝑟𝑎)
Por tanto, el tiempo promedio de Daniela en las últimas 5 carreras de 100 m estilo libre es de 63,4 segundos y
el de Bárbara también es de 63,4 segundos.
b) ¿Cómo son los promedios de Daniela y Bárbara?
El promedio de los tiempos de Daniela y Bárbara son iguales.
c) ¿A quién debiera elegir el entrenador para participar en la competencia?, ¿por qué?
Respuesta variable. Pero un ejemplo seria, que el entrenador debiera elegir a Daniela ya que sus tiempos son
menos dispersos en relación a los de Bárbara.
¿CUÁLES SON LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN MÁS CONOCIDAS?
El rango.
La desviación media.
La varianza.
Desviación estándar.
¿QUÉ ES EL RANGO Y CÓMO SE CALCULA?
El rango (R) corresponde a la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de la distribución. Esta
medida indica de alguna manera cuán dispersos están los datos de la distribución.
𝑹 = 𝑿
𝒎𝒂𝒙− 𝑿
𝒎𝒊𝒏Por ejemplo: en el caso anterior, si se denotan por R1 y R2 los rangos de los tiempos de Daniela y Bárbara
respectivamente, se tiene:
¿QUÉ ES LA DESVIACIÓN MEDIA Y CÓMO SE CALCULA?
La desviación media (
𝑫
𝒙̅) es un dato de dispersión que sirve para comparar los datos en relación con el
promedio y tomar decisiones. si los datos están más lejos del promedio entonces se puede decir que los datos
son más dispersos.
Donde:
Por ejemplo:
Analiza los pasos que realiza el entrenador para comparar los tiempos de las competencias de Daniela
con respecto a su tiempo promedio.
PASO 1:
Calcula las desviaciones de los tiempos de Daniela, tal como se muestra a continuación:
Tiempos de Daniela (Recordemos que su promedio era
𝑥̅ = 63,4)
Tiempo (s)
𝑥
64
58
68
62
65
Desviación
con respecto
a la media.
𝑥 − 𝑥̅
𝑥 − 𝑥̅ = 64 − 63,4 = 𝟎, 𝟔 𝑥 − 𝑥̅ = 58 − 63,4 = −𝟓, 𝟒 𝑥 − 𝑥̅ = 68 − 63,4 = 𝟒, 𝟔 𝑥 − 𝑥̅ = 62 − 63,4 = −𝟏, 𝟒 𝑥 − 𝑥̅ = 65 − 63,4 = 𝟏, 𝟔PASO 2:
Calcula la suma de las desviaciones medias:
0,6 + (–5,4) + 4,6 + (–1,4) + 1,6 = 0
PASO 3:
Calcula la desviación media de la siguiente manera:
𝐷𝑥̅ = |64 − 63,4| + |58 − 63,4| + |68 − 63,4| + |62 − 63,4| + |65 − 63,4| 5
𝐷
𝑥̅=
0,6 + 5,4 + 4,6 + 1,4 + 1,6
5
𝐷
𝑥̅=
13,6
5
= 𝟐, 𝟕𝟐 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔
Ahora respondemos:
1. ¿Cuáles son las desviaciones con respecto a la media aritmética en los tiempos obtenidos por
Bárbara?
Tiempo (s)
𝑥
69
63
65
50
70
Desviación
con respecto
a la media.
𝑥 − 𝑥̅
𝑥 − 𝑥̅ = 69 − 63,4 = 𝟓, 𝟔 𝑥 − 𝑥̅ = 63 − 63,4 = −𝟎, 𝟒 𝑥 − 𝑥̅ = 65 − 63,4 = 𝟏, 𝟔 𝑥 − 𝑥̅ = 50 − 63,4 = −𝟏𝟑, 𝟒 𝑥 − 𝑥̅ = 70 − 63,4 = 𝟔, 𝟔2. ¿Qué resultado se obtiene al sumar las desviaciones de Bárbara?, ¿es el mismo que en el caso de
Daniela? ¿Qué puedes concluir al respecto?
Se obtiene cero. Sí. La suma de las desviaciones respecto a la media es siempre cero.
3. Calcula la desviación media de los tiempos de Bárbara.
𝐷𝑥̅ = |69 − 63,4| + |63 − 63,4| + |65 − 63,4| + |50 − 63,4| + |70 − 63,4| 5 = 5,6 + 0,4 + 1,6 + 13,4 + 6,6 5 𝐷𝑥̅ = 27,6 5 = 𝟓, 𝟓𝟐 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔
Recuerda calcular la
media aritmética x
̄ antes
de aplicar la fórmula de la
desviación media.
La desviación media permite determinar en cuánto varían, en promedio, los datos de una distribución con respecto a la media aritmética.
4.
Según los resultados de las actividades 2 y 3, ¿qué datos son más dispersos: los de Daniela o los
de Bárbara?, ¿por qué?
Los datos de Bárbara son más dispersos, porque su desviación media es mayor.
¿QUÉ ES LA VARIANZA? ¿Y LA DESVIACIÓN ESTANDAR?
Ejemplo:
El entrenador continúa su análisis para tomar una adecuada decisión. Para ello, sigue estos pasos:
PASO 1:
Calcula la media de los cuadrados de las diferencias entre cada tiempo de Daniela y el promedio.
Obtiene así la varianza (𝜎
2)
𝜎
2=
(64 − 63,4)
2+
(58 − 63,4)2+
(68 − 63,4)2+ (62 − 63,4)
2+ (65 − 63,4)
25
𝜎
2=
0,36 + 29,16 + 21,16 + 1,96 + 2,56
5
=
55,2
5
= 11,04 𝑠
2PASO 2:
Calcula la raíz cuadrada del valor anterior y obtiene la desviación estándar (𝜎):
𝜎 = √11,04 ≈ 3,32 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Ahora respondemos,
1. ¿Puede ser negativo el valor de la varianza?, ¿por qué?
No, ya que es la suma de números positivos.
2. Calcula la varianza de los tiempos de Bárbara.
𝜎
2=
(69 − 63,4)
2+
(63 − 63,4)2+
(65 − 63,4)2+ (50 − 63,4)
2+ (70 − 63,4)
25
𝜎
2=
31,36 + 0,16 + 2,56 + 179,56 + 43,56
5
=
257,2
5
= 51,44 𝑠
23. Calcula la desviación estándar de los tiempos de Bárbara.
4. Compara la dispersión entre los datos de Daniela y los de Bárbara. ¿Dónde es mayor la
dispersión?
En los tiempos de Bárbara es mayor.
5. Finalmente, con toda la información obtenida acerca de los tiempos de ambas nadadoras,
responde: ¿Qué decisión debe tomar el entrenador?, ¿quién debería participar en la próxima
competencia: Daniela o Bárbara?
Daniela debería participar.
APLICA LO APRENDIDO Y RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:
1) Las temperaturas (en grados Celsius) durante dos semanas en Talca fueron las siguientes:
a) Calcula e interpreta las medidas de dispersión (Rango, desviación media, varianza y desviación
estándar.
b) ¿Qué ocurriría con la dispersión de los datos si las temperaturas se tomaran en distintas estaciones
2) La cantidad de cheques cobrados diariamente en todas las sucursales de un banco el mes anterior se
registran en la siguiente tabla:
Para resolver este problema, recuerda calcular la media aritmética x
̄ para datos agrupados (trabajado en la
Guia N°1) antes de aplicar la fórmula de la desviación media.
¿Deberá preocuparse el jefe de operaciones del banco por la cantidad de empleados que se necesitará el mes
siguiente?, ¿qué decidirá?
3) La chef de un restaurante acaba de recibir un encargo de barras de chocolate de su proveedor, pero
aún no los acepta. Los gramos de cada barra se muestran en el recuadro.
¿Qué decisión tomará la chef?, ¿por qué? Argumenta.
Recuerda que en la plataforma pedagógica PUNTAJE NACIONAL puedes conseguir
material de apoyo como el que se presenta a continuación:
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: https://youtu.be/V3xoYlxjL5U
ESTUDIA PARA LA PSU: MEDIDAS DE DISPERSIÓN: https://youtu.be/uwHz-WYYVpQ
REFLEXIONA Y RESPONDE
1. El tiempo estimado para la realización de la guía fue de 90 minutos. ¿Fue suficiente este tiempo? Si
No
¿Por qué?:_______________________________________________________________________________________ 2. De las actividades propuestas, ¿hay alguna que te resultó más difícil desarrollar? ¿Cuál o cuáles? Explica.
_________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 3. ¿Qué deberías mejorar respecto a las actividades en las que tuviste mayor dificultad?
_________________________________________________________________________________________ 4. ¿Demostraste interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente a la resolución de problemas? Si tu respuesta es
negativa, explica por qué no lo hiciste. Si fue afirmativa, explica como lo hiciste.
_________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________
5. ¿Fueron de ayuda los videos y el material de apoyo? Si
No
