Matemática Básica para Arquitectura (MA435), ciclo

Matemática Básica para Arquitectura (MA435), ciclo 2015-1

Item Type info:eu-repo/semantics/LearningObject

Authors Alvarado Chico, María del Pilar; Garay Porras, Paulo César

Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

Download date 08/05/2021 08:57:00

PREGRADO

PROFESORES : Alanya Beltrán, Joel Elvys Alvarado Chico, María del Pilar Arriola Cancino, Deys Karina Carranza Pucra, Marlo

Garay Porras, Paulo Cesar Huillca Guevara, Ruben Elias León Vega, Iván Manuel Martínez Poma, Tania Lissett Milla León, Genie Luis Guillermo Pozsgai Hernani, Erick Jozsef Ricra Mayorca, Juan Manuel Rivera Guevara, Lucía Norma Rojas Barrio, Marlenny

Sánchez León, Ruth Giselle

Silva Santisteban Chero, Jorge Raúl

AUTORES : Alvarado Chico, María del Pilar Garay Porras, Paulo César

TÍTULO : Cuaderno de trabajo

FECHA : Marzo 2015

CURSO : Matemática Básica para Arquitectura

CODIGO : MA435

ÁREA : Ciencias

COLABORADORES : Arriola Cancino, Deys Karina Ricra Mayorca, Juan Manuel Rojas Barrio, Marlenny Sánchez León, Ruth Giselle

Pág. 1

ÍNDICE

Unidad 1: Ecuaciones e inecuaciones……….………..………...……...4

Ecuaciones de primer grado con una variable..……….………...4

Reforzando la clase virtual (Ecuaciones reducibles a lineales y cuadráticas)...10

Modelación con ecuaciones….………..….………….………..12

Inecuaciones lineales…....….……….15

Inecuaciones no lineales……...………..18

Unidad 2: Geometría Analítica...………23

Reforzando la clase virtual (Plano cartesiano-Distancia entre dos puntos-Punto medio de un segmento)………...………...………...23

Circunferencia……….….………..24

La recta………...32

Reforzando la clase virtual (Casos especiales de rectas-Circunferencia y recta)… ……..………..39

Modelación usando rectas….………...42

Reforzando la clase virtual (Parábola_ecuación canónica)...……….46

Parábola trasladada……….………....48

Modelación con parábola...……….………...53

Reforzando la clase virtual (Elipse_ecuación canónica)...…...………….…..57

Elipse trasladada……….………....59

Modelación con elipse…....……….………...64

Unidad 3: Geometría del espacio…….……….…..68

Introducción a la geometría del espacio………...68

Prisma………...……….…….…...….72

Reforzando la clase virtual (Pirámide y tronco de pirámide)…..………77

Pág. 2

Unidad 4: Funciones reales de variable real…..…..………...……83

Introducción: Dominio y rango……….…….….….……..83

Reforzando la clase virtual (Análisis gráfico de funciones)……….………89

Simetría (Pariedad)………...………..90

Funciones básicas………...…….………….….……….95

Reforzando la clase virtual (Técnicas de graficación)……..…..……….99

Función cuadrática: valores extremos y modelación………...………...100

Funciones seccionadas………...………..………104

Optimización………107

Unidad 5: Álgebra de funciones y función inversa…..………...………...111

Algebra de funciones………111

Reforzando la clase virtual (Método gráfico: suma de ordenadas)…….……...114

Reforzando la clase virtual (Función inyectiva_Función inversa)……….115

Unidad 6: Función exponencial y logaritmo……..………..116

Función exponencial………117

Función logaritmo…...……….121

Reforzando la clase virtual (Modelación con función exponencial)….………..128

Unidad 7: Trigonometría analítica………..………...………...…130

Razones trigonométricas…….………...………..130

Ángulo de elevación y depresión……….134

Circunferencia trigonométrica y funciones trigonométricas...……….…137

Reforzando la clase virtual (Gráfica de la función seno y coseno generalizada)…. ………...142

Ecuaciones trigonométricas..………..……….…143

Reforzando la clase virtual (Gráfica de función seno y coseno_ Cortes con los ejes coordenados)……….………...146

Pág. 4

UNIDAD 01: ECUACIONES E INECUACIONES

LOGRO DE LA UNIDAD 01:

Al finalizar la unidad 1, el alumno, resuelve problemas de modelación haciendo uso de ecuaciones o inecuaciones demostrando rigurosidad en el desarrollo.

SESIÓN 1.1:ECUACIONES _ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno resuelve ecuaciones de primer grado con una incógnita.

________________________________________________________________________________

Consideremos la expresión algebraica 2 3 

x ¿x puede tomar cualquier valor real?

Tabulemos….

Por lo tanto los valores admitidos para x en la expresión anterior son:

x 2 3  x

Y en la expresión (2x1) ¿se puede reemplazar a la variable x por cualquier número real?

Por lo tanto los valores admitidos para x en la expresión anterior son:

¿Cuáles crees que serían los valores admitidos para:

2

1

3

2

x

x

 

Pág. 5

CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA):

Es el conjunto de valores que toma la variable x, de tal manera que la expresión exista o esté bien definida.

Ejemplo 01: Determine el CVA en los siguientes casos:

1.

3

x



2



2

x



5

2

1

1







x

x

3

0

2







x

x

¿Qué entiendes por ecuación en una variable?

En las siguientes expresiones, marca con un aspa aquellas que son ecuaciones en una variable:

1. 3x2 5x 2. 14x2y 10 3.

7

5



x

1



x



1

x

2

x



1



4

x



3

x



y



9

Una ecuación es un enunciado en que dos expresiones matemáticas son iguales1.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACION:

En las siguientes ecuaciones, si x = - 2, ¿se verifica la igualdad?

1.

3

x



2



8

Los valores de la incógnita que hagan que la ecuación sea verdadera se denominan soluciones o raíces de la ecuación.2

1

PRE-CÁLCULO (Stewart James 6edición), pág. 44

Pág. 6

¿Qué tipo de ecuaciones conoces?

Relacione mediante flechas las siguientes ecuaciones con el tipo de ecuación:

1. x113x2

Ecuación de primer grado o ecuación lineal

2.

15

7

3

2

_

_

_

x

Ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática

3.

3

x

(

x



2

)



5



3

x

ECUACIONES LINEALES3 o de primer grado con una incógnita

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación equivalente a una de la forma: axb 0 , a0

donde

a

b

Ejemplo 03:

Determine el CVA y CS en cada una de las siguientes ecuaciones:

1.

2

(

1



x

)



3

(

1



2

x

)



5

Pág. 7 2.

7

10

3

5



x



x

x

(

x



3

)



x

9

3

1

3

5

x

x

x

x

x













Pág. 8 5.

3

2

9

5

3

1











x

x

x

x



4



2

x

DESPEJE DE INCÓGNITA EN UNA ECUACIÓN:

Despeje la incógnita x:





2   

 b c x

Pág. 9

EJERCICIOS PROPUESTOS: Determine el CS de las siguientes ecuaciones:

a.

2

x



1



4

x

CS





9

9

2

1

3











x

x

x

x

CS



 



6

c. Despeje la incógnita m,si: ₂

r mM G

F  d. Despeja la variable “x” en: x a m b x

Pág. 10

SESIÓN 1.2:ECUACIONES CUADRÁTICAS

REFORZANDOLOAPRENDIDOENLACLASEVIRTUAL…….

ECUACIONES CUADRÁTICAS4 o de segundo grado con una incógnita

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

0

2







c

bx

ax

donde

a

b

EJERCICIOS:Determine el CS en cada una de las siguientes ecuaciones:

1. 3 3 6 10 2 2        x x x x x 2. 3 1 9 6 3 2       x x x x

Pág. 11

Pág. 12

SESIÓN 1.3:MODELACIÓN CON ECUACIONES_INECUACIONES LINEALES

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión el alumno resuelve problemas de modelación haciendo uso de ecuaciones.

________________________________________________________________________________

MODELACIÓN CON ECUACIONES Guía para modelar con ecuaciones5:

No existe un único procedimiento que nos permita resolver el problema planteado y responder la pregunta en cuestión, por tanto usaremos la siguiente guía que nos puede ayudar a formular ecuaciones que modelen situaciones reales.

1. Identifique la variable. Identifique la cantidad que el problema le pide hallar e introduzca notación para la variable (llámela x o alguna otra letra) - ¿Qué representa la variable?

2. Transforme palabras en álgebra. Exprese, en términos de la variable que haya definido en el paso 1, todas las cantidades mencionadas en el problema. Para organizar esta información, a veces es útil trazar un diagrama o hacer una tabla.

Observe que existe información explícita que entrega el texto del problema, pero también existe información que se asume conoce el estudiante.

3. Formule el modelo. Relacione las cantidades – formule una ecuación (o modelo).

4. Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta. Exprese la respuesta como una oración que conteste la pregunta planteada en el problema (verbo y unidades)

Problema 01: Dimensiones de un jardín (Stewart: ejercicio 39, página 68).

Un jardín rectangular mide 10 pies más de largo que de ancho y su área es de 875 pies cuadrados. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Bosquejo de la situación enunciada

Pág. 13

Bosquejo de la situación hallada Respuesta:

Problema 02: Dimensiones de una estructura (Stewart: ejercicio 87, página 72).

Un silo de almacenamiento para maíz está formado de una sección cilíndrica hecha de malla de alambre, rematada por un techo cónico de estaño, como se ve en la figura. La altura del techo es un tercio de la altura de toda la estructura. Si el volumen total de la estructura es 1400  pies cúbicos, ¿cuál es su altura?

Recordar: V_cilindro  R2H y V_cono R2H

3

1_



Pág. 14

Bosquejo de la situación hallada Respuesta:

Problema 03:

En la siguiente figura se muestra la vista en planta de un jardín rectangular, siendo la parte sombreada una vereda de ancho constante. ¿Cuánto debe medir el ancho de la vereda, de modo que el área sombreada sea los 3/10 del área no sombreada?

Pág. 15

INECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE

¿Se puede reemplazar cualquier valor real en la variable x (CVA) en las siguientes expresiones? a)

4

x

 

7

x

_x

 

_x

₆

2

1

3

_





x

x

Una inecuación en una variable es un enunciado que involucra dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene la variable, separadas por uno de los signos de desigualdad < , >,  ,  .

Solución de una inecuación:

Son todos los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad.

RESOLVIENDO INECUACIONES: Revisar: PRE-CÁLCULO (Stewart James 6edición, pág. 73)

INECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO:

Una inecuación de primer grado con una incógnita (inecuaciones lineales), es aquella inecuación que puede reducirse a cualquiera de las siguientes formas generales:

0

ax b

 

ax

 

b

0

0

ax b

 

ax b

 

0

Pág. 16

Ejemplo 01: Determine el conjunto solución (CS) de las siguientes inecuaciones:

1)

2

x

 

4

0

4

x



7

x



9

3

2

3

5

2

4

2

x

x

x



_

_

_



1. Un parque tiene un jardín de 50m de largo y 30m de ancho; y una vereda de ancho uniforme a su

alrededor. Si el área de la vereda es de 704 m2, hallar su ancho. (UPC_MA101_PC01_201201).

Respuesta: Ancho de la vereda es 4m .

2. Sobre un terreno rectangular cuyo largo

mide 10m más que su ancho, se desea construir una losa deportiva de 375 m2 de área, la cual debe estar rodeada por una zona de ancho constante (4m), destinada

para la construcción de graderías.

Determine las medidas de la losa deportiva. (UPC_MA101_PC01_201301).

Respuesta: El largo es 25m y el ancho15m

4m

4m

Pág. 17

3. La vista muestra un parque de 24mx40m,

en el cual para preservar los jardines se ha construido un paseo peatonal (ver la figura adjunta) cuya área es la cuarta parte del área destinada a los jardines. Determine el perímetro del paseo peatonal.

(UPC_PC01_201302) Respuesta: 104 m

4. La figura muestra la vista en planta de un

parque de forma rectangular en el cual para preservar los jardines se ha construido una vereda de ancho constante (ver figura adjunta). Si se sabe que el área de la vereda es la quinta parte del área destinada a los jardines. Determine el perímetro del parque.

(Aproxime a dos decimales).

(UPC_PC01_201402)

Respuesta: El perímetro del parque mide aproximadamente 135,88 m

5. Determine el conjunto solución de la inecuación:

3 2 2 2 1 1 2x  x  x Respuesta: _ _ 3 1 ; 7 CS x 3x 24m 40m x x 4m PASEO PEATONAL Elaboración propia Elaboración propia

Pág. 18

SESIÓN 2.1:INECUACIONES NO LINEALES CON UNA VARIABLE

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno resuelve inecuaciones no lineales (polinómicas y racionales) aplicando el método de los puntos de referencia

________________________________________________________________________________

INECUACIONES NO LINEALES

INECUACIONES POLINÓMICAS:

Complete la siguiente tabla:

INECUACIÓN CONJUNTO SOLUCIÓN

0



x

0



x

0



x

0



x

0

)

7

(

x





0

)

1

(

x





0

)

3

(

x





0

4





x

Pág. 19

MÉTODO: PUNTOS DE REFERENCIA6

Ejemplo 01: Determine el conjunto solución (CS) de las siguientes inecuaciones:

a.

x

  

x

6

0

x



x



4

x

 

4

0

INECUACIONES RACIONALES:

Una inecuación racional, son aquellas expresiones que se pueden reducir a cualquiera de las siguientes formas:

( )

0

( )

P x

Q x



( )

0

( )

P x

Q x



( )

0

( )

P x

Q x



( )

0

( )

P x

Q x



Donde P y Q son polinomios y

Q x

( )



0

Pág. 20

MÉTODO: PUNTOS DE REFERENCIA7

Ejemplo 02: Determine el conjunto solución (CS) de las siguientes inecuaciones:

a.

3

0

3

x

x



_



4

0

(

5)

x

x x



_



(

1)

0

9

9

x

x

x

x



_

 



Pág. 21

Ejercicios:

Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

0

8

6

17

6

.

1

x



x



x





Pág. 22

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Indique la verdad o falsedad de la siguiente afirmación. Justifique su respuesta.

El conjunto solución de la inecuación 3(x2)2 0 es CSR (UPC_MA101_PC01_201302)

2. Determine el CVA y CS de las siguientes inecuaciones:

a. 2 2 (2 1) (2 ) 0 ( 3) ( 4) x x x x x    _   (UPC_MA101_PC01_201301) Respuesta:



  























2

1

4

;

1

2

;

3

CS

CS









;



3

  



1

;

3



 



2

x



x

CS









;



1

 



1

;







Pág. 23

UNIDAD 02: GEOMETRÍA ANALÍTICA

LOGRO DE LA UNIDAD 02:

Al finalizar la unidad 2, el alumno resuelve problemas de modelación haciendo uso de conceptos de geometría analítica y ecuaciones, demostrando análisis crítico en su desarrollo.

SESIÓN 2.2:PLANO CARTESIANO

REFORZANDOLOAPRENDIDOENLACLASEVIRTUAL……. EJERCICIO:

La figura muestra la vista del espejo de agua de una piscina con las

dimensiones dadas en metros.

Determine el perímetro y el área del espejo de agua.

Pág. 24

SESIÓN 2.3:CIRCUNFERENCIA_SEMICIRCUNFERENCIA

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno identifica una circunferencia y sus elementos, determina la ecuación y la gráfica de una circunferencia y semicircunferencia.

________________________________________________________________________________

CIRCUNFERENCIA

Construyendo…

Ubique un punto fijo C en el plano cartesiano (ver figura), considere todos los puntos en el plano cartesiano que están a una distancia r del punto fijo. Luego una los puntos (use compás) que cumplen con esta condición geométrica, ¿qué tipo de curva es…? , ¿qué elementos posee? –

detalle su respuesta.

Ecuación de una circunferencia8

Una ecuación de la circunferencia con centro ( kh, )y radio r es:

2 2 2 ) ( ) (xh  yk r

Ésta se llama forma ordinaria para la ecuación de la circunferencia. Si el centro de la

circunferencia es el origen (0;0), entonces la ecuación es:

2 2 2 r y x   8 _{PRE-CÁLCULO: Stewart, pág. 88} X Y

Pág. 25

Ejemplo 01:

Encuentre el centro y radio de la circunferencia y trace su gráfica (use compás):

a. x2y2 9 b. (x3)2(y1)2 4

Ejemplo 02:

a. Determine la ecuación de la siguiente circunferencia, y las intersecciones de la circunferencia con los ejes coordenados.

Pág. 26 b. Determine la ecuación de la siguiente circunferencia, y las intersecciones de la circunferencia

con los ejes coordenados.

Algo más sobre circunferencia…

Desarrollando la ecuación ordinaria (xh)2(yk)2 r2 obtenemos:

0 2

2_y _Dx_Ey_F 

x : ECUACIÓN GENERAL

¿Qué sucede si…

- El radio es ………..

- La suma de cuadrados es igual a un número negativo….………..

Pág. 27

Ejemplo 03:

Verifique si la siguiente ecuación representa a una circunferencia, en caso afirmativo, determine el centro, su radio, esboce su gráfica (use compás) y determine las intersecciones con los ejes

Pág. 28

Semicircunferencia

Puente Románico – Puente La Reyna

Su longitud es de 110 metros, por donde discurre una calzada de 4 metros de anchura, mientras que está sostenido sobre 6 arcos de medio punto (El arco de medio punto,

en arquitectura, es un tipo de arco que en el intradós tiene la forma de un semicírculo) y 5 pilares.

Recordamos:

DESPEJE DE UNA VARIABLE EN UNA ECUACIÓN:

Para las siguientes ecuaciones:

1.

x



y



1

Despeje la variable x Despeje la variable y

2. (x3)2 (y 2)24

Pág. 29

SEMICIRCUNFERENCIAS

Ejemplo 04: Grafique las siguientes ecuaciones que representan a semicircunferencias:

a. y 4 x 2

b. x 9y2

Pág. 30

Ejemplo 05:

En cada caso determine la ecuación de la semicircunferencia, cuya gráfica se muestra:

a. _b.

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. El diámetro de una circunferencia es el segmento que une los puntos (-1; 5) y (-5; -7), determine la ecuación de la circunferencia, realice su gráfica y determine los cortes con los ejes coordenados.

Respuesta: (_x3)2(_y1)2 40

2. Determine la ecuación de la circunferencia cuya gráfica se muestra.

Respuesta: (x1)2(y3)2 10

Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia

Pág. 31

3. (UPC_MA101_PC01_201302) Dada una circunferencia de ecuación

x



y



4

x



4

y



5



0

determine:

a. Las coordenadas del centro, el valor del radio y trace su gráfica.

b. El área del triángulo formado por el centro de la circunferencia y puntos de corte con el eje Y.

4. ¿Es cierto que el radio de la semicircunferencia _x _{8 (} _{y 1)}2 _{es r} _{2 2 ?}

(UPC_MA101_PC02_201301)

5. A partir de la gráfica dada, en cada caso, determine la ecuación de la semicircunferencia:

(UPC_MA101_PC02_201301)

6. Dada una circunferencia de centro C(1;2)y radio r3, determine las ecuaciones y gráficas de

cada una de las cuatro semicircunferencias que se obtienen a partir de ella.

Pág. 32

SESIÓN 3.1:LA RECTA_PENDIENTE Y ECUACIONES

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno interprete el valor de la pendiente, determina la ecuación de una recta en sus diferentes formas y la grafica.

________________________________________________________________________________

RECOMENDAMOS VER EL VIDEO: http://www.youtube.com/watch?v=A6Vp18ctfWc

¿Cómo calculamos?

PRE-CÁLCULO: Stewart, pág. 106

Consideremos:

Colocar el techo en un sistema de coordenadas:

- Medir la variación vertical: - Medir la variación horizontal: - Determinar la inclinación del techo:

   o corrimient elevación ntal entohorizo desplazami vertical ento desplazami

Declive de una rampa _{Declive de un techo}

X Y

Pág. 33

Definición:9 La pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2)

es:

La pendiente de una recta vertical no está definida.

Es decir:

Pendiente de una recta:

Ejemplo 01:

En cada caso, ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de los segmentos determinados. 1. A( 6;1) y B(1;2) 2. C( 1;4) y B(3;1) 9 _{PRE-CÁLCULO: Stewart, pág.107} Cambio en Cambio en y y m x x     1 2 1 2 x x y y o corrimient elevación m     o corrimient elevación m

Pág. 34

3. E(4;2) y B(6;2) 4. G(2;1) y H(2; 3)

Conclusiones:

a. Si m > 0, la recta L es………

b. Si m < 0, la recta L es……….

c. Si la recta es horizontal su pendiente vale……….

d. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

ECUACIÓN DE LA RECTA

¿Es posible determinar la ecuación de una recta conociendo su pendiente y un punto de paso?

Forma: punto - pendiente10

Una ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m es:

Pág. 35

Ejemplo 02:

Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2;-6) y (-4; 2). Grafique la situación hallada.

Cortes con los ejes coordenados:

x y

0

0

¿Si conocemos la pendiente y el punto de intersección con el eje Y, será posible determinar la ecuación de la recta?

Forma: pendiente - punto de intersección de una recta11

Una ecuación de la recta que tiene pendiente m y punto de intersección b en el eje Y es:

11 _{PRE-CÁLCULO: Stewart, pág.109}

Pág. 36

Ejemplo 03:

Determine la ecuación de la recta que tiene pendiente igual a 5 y ordenada en el origen (intersección con el eje Y) igual a -3. Grafíquela en el plano cartesiano.

Cortes con los ejes coordenados:

x y

0

0

Ejemplo 04:

Dado el segmento AB de extremos A(-5; 3) y B(3; -1), determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1; 4) y por el punto medio del segmento AB . Grafique indicando los cortes con los ejes coordenados.

Cortes con los ejes coordenados:

x y

0

Pág. 37

Forma: Ecuación general de una recta12

La gráfica de toda ecuación lineal

es una recta. A la inversa, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

Ejemplo 05:

Dada la siguiente gráfica:

a. Determine la ecuación de la recta.

b. Determine analíticamente las coordenadas de los puntos de corte de cada recta con los ejes coordenados.

c. Determine el área del triángulo que forma la recta con los ejes coordenados.

Cortes con los ejes coordenados:

x y 0 0 12 _{PRE-CÁLCULO: Stewart, pág.110} 0 , ( )

Ax By C   A y B no son cero ambas

Pág. 38

Ejemplo 06: Determine la ecuación de la recta que se muestra en la figura:

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Dada la recta L:kxyk3, determine un valor de k para que el punto (3, 7) pertenezca a dicha recta.

Respuesta: k5

2. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0; 0), B(4; 0) y C(4; 4), determine la ecuación de la

mediana M que pasa por el vértice C. Realice un esbozo de la situación hallada.

Respuesta: M:y 2x4

3. Para cada una de las rectas mostradas en la figura, determine la ecuación de la recta y determine analíticamente las coordenadas de los puntos de corte de cada recta con los ejes coordenados.

Respuesta: 2 2 3 :y x L Respuesta: 3 2 5 :y  x L Cortes: Eje X: ;0) 3 4 (

A Eje Y: B(0;2) Cortes: Eje X: ;0) 5 6 ( A Eje Y: B(0;3) Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia

Pág. 39

SESIÓN 3.2: CASOS ESPECIALES DE RECTAS: RECTAS HORIZONTALES, VERTICALES, PERPENDICULARES Y PARALELAS_CIRCUNFERENCIA Y RECTA

REFORZANDOLOAPRENDIDOENLACLASEVIRTUAL…….

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por el punto (a,b) es y = b.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por el punto (a,b) es x = a.

EJERCICIO 01:

Trace la gráfica de la recta con ecuación x = -3 y la recta con ecuación y = 2. Determine los puntos de intersección de cada una de ellas con los ejes coordenados.

Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente13.

Dos rectas con pendientes m y ₁ m son perpendiculares si y solo si ₂ m₁.m₂ 1.14

13

PRE-CÁLCULO: Stewart, PÁG.111

14 _{PRE-CÁLCULO: Stewart, PÁG.112}

Pág. 40

EJERCICIO 02:

a. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1;2) y es perpendicular a la recta de

ecuación 3x4y10.

Pág. 41

EJERCICIO 03:

Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia (x1)2(y2)2 25 en el punto ). 6 ; 4 ( P

Pág. 42

SESIÓN 4.1:MODELACIÓN USANDO RECTAS

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno aplica las diversas ecuaciones de la recta en la resolución de problemas reales.

________________________________________________________________________________

Ejemplo 01:

La gráfica muestra el comportamiento del número de habitaciones alquiladas “y”. Si “x” representa el incremento sobre el precio del alquiler expresado en dólares y además se sabe que ambas variables se relacionan mediante una ecuación lineal.

A partir de la gráfica:

a. ¿Qué representa el intercepto con el eje Y?

b. Determine el modelo matemático que relaciona el número de habitaciones alquiladas en términos del incremento sobre el precio del alquiler.

c. Interprete el valor de la pendiente.

N° de habitaciones alquiladas

Incremento en dólares

Pág. 43

Ejemplo 02:

Una oficina comercial compró una computadora en S/ 5 000. Al cabo de 3 años se estima que el valor es de S/ 3 500. Para cuestiones de contabilidad, la oficina comercial aplica el modelo de “depreciación lineal”, que sirve para calcular el valor V (en soles) de la computadora luego de t años de comprada.

(UPC_MA101_PC02_201301)

a. Exprese el valor V de la computadora en términos del tiempo t.

b. Interprete el valor de la pendiente

c. Trace la gráfica de la ecuación.

Pág. 44

Ejemplo 03:

Bob Michaels compró una casa en el 2006 a $ 82 000 y este año (2014) el inmueble se valúo en $ 107 500. Suponiendo que el precio P de la casa expresado en dólares y el número de años x transcurridos desde la compra de la casa, se relacionan mediante una ecuación lineal.

a. Determine el modelo matemático que relaciona el precio P de la casa en términos del número de años transcurridos x desde la compra.

b. Trace la gráfica de la ecuación.

c. ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje vertical de la gráfica?

Pág. 45

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. En los últimos años se ha observado un incremento constante en la producción de arroz en cierta zona del país. Si en 1998 la producción fue de 42 toneladas y en el 2002 la producción fue de 49 toneladas. Asuma que hay una relación lineal entre la producción de arroz en esa zona y el tiempo medido en años a partir de 1998 (t=0)

a. Exprese la producción P de arroz en término tiempo t.

b. ¿Cuál fue la producción en el año2010?

Respuestas:

a.

b. En el 2010 la producción de arroz fue de 63 toneladas.

2. La empresa “MARQ” compra una máquina en 2 800 dólares. Después de cinco años, el valor de la máquina será de 1 050 dólares. Para cuestiones de contabilidad, la empresa aplica el modelo de “depreciación lineal”, que sirve para calcular el valor V en dólares de la máquina, luego de t años de comprada.

a. Determine la ecuación lineal que relacione V y t. b. Grafique la ecuación lineal obtenida en (a).

c. ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje vertical de la gráfica?

Respuestas:

a.

c. Cada año el valor de la maquina disminuye $ 350. El precio al que se compró la máquina.

3. La gráfica muestra la relación entre el valor V en dólares de un automóvil y el tiempo t en años transcurridos desde su compra. Interprete el valor de la pendiente. 7 42 4 P t 350 2800 V   t Elaboraciónpropia

Pág. 46

SESIÓN 4.2:PARÁBOLA_ECUACIÓN CANÓNICA

REFORZANDOLOAPRENDIDOENLACLASEVIRTUAL…….

Ecuación canónica de la parábola con vértice V(0;0):

x



4

p

y

y



4

p

x

Elementos:

EJERCICIO 01:

Grafique las siguientes parábolas y determine las coordenadas de su vértice, foco y ecuación de su directriz en cada caso:

Pág. 47

b.

2

x



12

y



0

EJERCICIO 02:

Halle la ecuación de cada una de las parábolas mostradas y sus respectivos elementos.

a.

b.

Foco

Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia

Pág. 48

SESIÓN 4.3:PARÁBOLA TRASLADADA

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno identifica las propiedades básicas de la parábola trasladada, grafica una parábola trasladada a partir de su ecuación o a partir de cumplir un conjunto de condiciones dadas y determina la ecuación de una parábola partiendo de su gráfica transformada.

________________________________________________________________________________

A partir de la gráfica de la parábola x28y. Traslade el vértice horizontalmente 3 unidades hacia

la derecha y verticalmente 2 unidades hacia arriba, manteniendo el valor de p , y responda lo

siguiente15:

¿Cuál es el vértice de la parábola obtenida? ¿Cuáles son las coordenadas del foco?

¿Cuál es la ecuación de la directriz? Finalmente… ¿Cuál es la ecuación de la gráfica

obtenida?

Pág. 49

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h;k)

Parábola con vértice (h;k) y eje focal paralelo al eje Y

ECUACIÓN:

GRÁFICA p0 GRÁFICA p0

Parábola con vértice (h;k)y eje focal paralelo al eje X

ECUACIÓN: GRÁFICA p0 GRÁFICA p0 Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia

Pág. 50

Ejemplo 01:

Grafique las siguientes parábolas y determine las coordenadas de su vértice, foco, las coordenadas de los extremos del lado recto, longitud del lado recto y ecuación de su directriz. Además indique los interceptos con los ejes coordenados.

a. 2

(x2)  8(y4)

Pág. 51

Ejemplo 02:

A partir de la gráfica mostrada, determine su ecuación, las coordenadas del foco, las coordenadas de los extremos del lado recto, longitud del lado recto y la ecuación de la directriz. Además indique los interceptos con los ejes coordenados.

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Dada las gráficas de x2 12y y (x3)2 12(y1). Determine las coordenadas del foco, la ecuación de la recta directriz y vértice de cada parábola. (Adaptado Stewart, página 755)

Respuesta: Foco (0;3), vértice (0;0), ecuación de la recta directriz y = -3. Respuesta: Foco (3;4), vértice (3;1), ecuación de la recta directriz y = -2.

D D

Pág. 52 2. Grafique la siguiente parábola y determine las coordenadas de su vértice, foco, las coordenadas

de los extremos del lado recto, longitud del lado recto y ecuación de su recta directriz. Además indique los interceptos con los ejes coordenados. (Stewart, página 756)

0 9 12 6 2    y x x

Respuesta: La parábola se abre hacia abajo.

y

x

3

)

12

(







ecuación de la directriz y=3, longitud del lado recto: 12u, extremos del lado recto: (3;-3) y

(-9;-3). Interceptos: (-3;0) y (0;-0.75)

3. Determine la ecuación de la parábola, cuya gráfica se muestra a continuación:

(Adaptado Stewart, página 756)

Pág. 53

SESIÓN 5.1:MODELACIÓN CON PARÁBOLA

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno resuelve problemas de modelación con parábola.

________________________________________________________________________________ Ejemplo 01:

El terreno de un centro recreacional está limitado por un arco parabólico

BC y dos tramos rectos AB y AC

(ver figura). El centro recreacional

posee un área verde AFDCAde forma

trapezoidal que se encuentra inscrita en el terreno (ver figura). El punto F coincide con el foco de la parábola. a. Ubique el sistema de referencia. b. Modele la ecuación que define el arco parabólico.

c. Determine la extensión del área

verde. (UPC_MA101_PC02_201400) 60m C A B D F 45m Elaboraciónpropia

Pág. 54

Ejemplo 02:

Los cables de un puente colgante tienen forma parabólica, como se muestra en la figura. Las torres que sostienen el cableado están a 600 pies una de la otra y tienen 80 pies de altura. Si los cables tocan la superficie del camino a la mitad de la distancia entre las torres.

a. Determine analíticamente la ecuación de la curva que describe los cables (curva parabólica).

b. Determine la altura h del cable.

c. ¿Cuál sería la ecuación de la curva parabólica si el origen de coordenadas estuviese ubicado en el

extremo izquierdo de la pista del puente?

(UPC_MA101_PC02_201401) pista

Pág. 55 6 pulg

3 pulg

Ejemplo 03:

Un reflector parabólico para las luces delanteras de un auto forma un tazón que mide 6 pulgadas de ancho en su abertura y 3 pulgadas de profundidad, como se muestra en la figura adjunta. (Stewart,

página 775)

a. Determine la ecuación de la sección transversal del reflector (parábola)

b. ¿A qué distancia del vértice debe estar colocado el filamento de la bombilla eléctrica si ha de estar situado en el foco?

Pág. 56

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. El túnel de una carretera tiene la forma de un arco parabólico, que tiene 6 m de ancho en su base y 5m de altura.

a. Si el origen de coordenadas del sistema de referencias se encuentra en el centro de la base del túnel. ¿Cuál es la ecuación que modela el arco del túnel?

b. ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 4 m de ancho, para poder pasar por el centro del túnel?

c. Si el origen del sistema de referencias se ubica en el extremo izquierdo de la entrada al túnel, ¿cuál es la ecuación que modela el arco del túnel?

2. La figura muestra la fachada de un almacén ubicado en la ciudad de Chiclayo de 8m de altura máxima, el cual se encuentra cubierto por un techo en forma parabólica. Se desea colocar un letrero sobre la puerta del almacén cuyos extremos superiores toquen el techo (ver figura).

a. Coloque un sistema de referencia adecuado b. Determine el área que ocupará el letrero del

almacén.

Respuesta: El letrero ocupará 7,11 m2

3. Diseño de un área verde

El terreno de un centro recreacional está limitado por un arco parabólico COD y un tramo recto CD (ver figura). El centro recreacional posee un área verde ABDC de forma trapezoidal que se encuentra inscrita en el terreno (ver figura). El punto F coincide con el foco de la parábola.

a. Ubique un sistema de referencia adecuado y determine la ecuación que modela el arco de parábola.

b. Determine la extensión del área verde.

Respuesta: La extensión del área verde es de 2485, 57 m2 6 m 5 m Elaboración propia Elaboración propia Elaboración propia Elaboración propia

Pág. 57                                                  x y

SESIÓN 5.2:ELIPSE_ECUACIÓN CANÓNICA

REFORZANDOLOAPRENDIDOENLACLASEVIRTUAL…….

Ecuación canónica de la elipse con centro en C (0; 0):

₂ 1 2 2 2   b y a x ₂ 1 2 2 2   a y b x Elementos: EJERCICIO 01:

Grafique la siguiente elipse y determine las coordenadas de sus vértices, focos, la longitud del eje mayor y la longitud del eje menor.

144 9

Pág. 58

EJERCICIO 02:

Halle la ecuación de cada una de las elipses e indique las coordenadas de sus vértices, focos, longitud de su eje mayor y longitud de su eje menor.

Pág. 59

SESIÓN 5.3:ELIPSE TRASLADADA_MODELACIÓN CON ELIPSE

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno determina la ecuación de una elipse trasladada, la grafica e identifica sus elementos principales; y resuelve problemas de modelación con elipse.

________________________________________________________________________________

ELIPSETRASLADADA

A partir de la gráfica de una elipse con centro C (0; 0), traslade el centro C al punto C´ (4; -2) y grafique una nueva elipse manteniendo la longitud de los ejes mayor y menor. Determine la ecuación de la nueva elipse y las coordenadas de cada uno de sus elementos.

Pág. 60

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (h;k)

Ecuación:

Centro:

Vértices:

Focos:

Longitud del eje menor:

Longitud del eje mayor:

Ecuación del Eje Focal:

Ecuación:

Centro:

Vértices:

Focos:

Longitud del eje menor:

Longitud del eje mayor:

Ecuación del Eje Focal:

             x y (h; k) F F Eje focal paralelo al eje X               x y (h; k) F F Eje focal paralelo al eje Y Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia

Pág. 61

Ejemplo 01:

A partir de la gráfica, determine la ecuación de la elipse y halle analíticamente los interceptos (cortes) con el eje coordenado X. (UPC_MA101_PC02_201401)

Ejemplo 02:

Determine la ecuación de la elipse con centro C, que pasa por el punto (2; 2) ; y determine los

cortes con los ejes coordenados.

Elaboraciónpropia

Pág. 62

Ejemplo 03:

Dada la ecuación 4x216x9y218y110. Halle los vértices, focos, la longitud del eje mayor

Pág. 63

EJERCICIOSPROPUESTOS:

1. Dada la ecuación de la elipse 9x218x4y28y230. Halle las coordenadas del centro, los vértices, focos, la longitud del eje mayor y menor. Además indique los interceptos con los ejes coordenados.

Respuesta:

Centro (-1;1),

Vértices: (-1;-2) y (-1;4), Focos: (-1;-1,24) y (-1;3,24)

Longitud del eje mayor: 6u, longitud del eje menor: 4u. Interceptos: (-2,89;0 ), (0,89;0)

2. Determine la ecuación de la elipse que pasa por el punto P(2;2). Ver figura adjunta.

Respuesta:



 



Pág. 64

MODELACIÓN CON ELIPSE

Ejemplo 01:

“La Elipse” es un área verde ovalada ubicada detrás de la Casa

Blanca en Washington, D.C. La elipse mide 616 pies de largo, 528 pies de ancho y se encuentra limitada por los puntos A, B, C, D. Ver figura adjunta.

a. Ubique un sistema de referencia.

b. Determine la ecuación que modela la elipse.

c. Si el sistema de referencia se ubica en el punto A, determine la ecuación que modela la elipse.

Pág. 65

Ejemplo 02:

Los pobladores del puerto de Pacasmayo desean promover el turismo de su pueblo, para lo cual han decidido ubicar un letrero de 18 m de largo en la entrada de la carretera que tiene forma de arco

semielíptico. Si dicho letrero estará sostenido por dos cables tal como lo muestra la figura,

determine:

a. ¿A qué altura sobre la carretera estará ubicado el letrero? b. ¿Cuál debe ser la longitud de cada cable?

5 m

20 m PACASMAYO

5 m 30 m 5 m

Pág. 66

Ejemplo 03:

La siguiente figura muestra la vista en planta de una piscina, donde el tramo AMB es un arco semielíptico, los tramos BD, DE y FA son rectos, y el tramo EF es un arco de cuarto de circunferencia. a. Ubique el sistema de referencia considerando el origen de coordenadas en el punto M. b. Determine el modelo

matemático (ecuación) que representa el arco AMB.

Elaboración propia

Pág. 67

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. La figura muestra la entrada de un salón, cuyo techo tiene la forma de un arco semielíptico (galería de murmullos). En la entrada del salón se encuentran ubicados dos amigos, Mario y

Pedro. Mario está parado en el punto F1 que se encuentra a 6 metros de la pared más cercana. Su

amigo Pedro está parado en el punto F2, a una distancia de 60 metros de él. Determine la máxima

altura del salón de baile. (F1 y F2 son puntos ubicados sobre la pista y debajo de los focos de la

elipse).

Respuesta: La máxima altura es de 21,60m

2. En la figura se muestra la elevación frontal principal de una residencia (región sombreada), la cual está limitada en la parte superior por un arco semi - elíptico ABC, en los extremos laterales

por segmentos de rectas verticales AH y CD , en la parte inferior por segmentos de recta

horizontal HG , ED y por un arco de semicircunferencia GFE. (UPC_EA_201202)

a. Coloque la elevación frontal sobre un sistema de referencia.

b. Determine la altura de las paredes laterales AH y CD . Sug: Use de la ecuación de la elipse

A H A 10 m 8m _{16 m} 8 m 6 m 6 m C D A Semi - elipse _B A G A E A F A Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia

Pág. 68

UNIDAD 03: GEOMETRÍA DEL ESPACIO

LOGRO DE LA UNIDAD 03:

Al finalizar la unidad 3, el alumno resuelve problemas de modelación haciendo uso de conceptos de geometría del espacio y de geometría plana, manifestando iniciativa en las actividades grupales.

INTRODUCCIÓN A GEOMETRÍA DEL ESPACIO

PLANOS Y RECTAS

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

Un plano queda determinado por: 1. Tres puntos no colineales

2. Una recta y un punto exterior a ella 3. Dos rectas que se cortan

4. Dos rectas paralelas

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

1. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio:

a) Paralelas: cuando se encuentran en un mismo plano y no tienen ningún punto común.

b) Secantes: cuando se intersecan y tienen por lo tanto un punto común. Las rectas secantes se encuentran en un mismo plano.

c) Coincidentes: cuando se superponen, para lo cual es suficiente que tengan dos puntos comunes.

d) Cruzadas: cuando no están en un mismo plano y no tienen ningún punto común. 2. Posiciones relativas de dos planos en el espacio:

a) Paralelos: cuando no tienen ningún punto común.

b) Secantes: cuando se intersecan. La intersección de dos planos es una recta

c) Coincidentes: cuando se superponen, para lo cual es suficiente que tengan tres puntos comunes no colineales

3. Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio:

a) Paralelos; cuando la recta no tiene ningún punto común con el plano

b) Secantes; cuando la recta y el plano se intersecan. La intersección de una recta y un plano es un único punto que recibe el nombre de traza o pie de la recta en el plano

c) Coincidentes; cuando la recta está contenida en el plano, para lo cual es suficiente que la recta y el plano tengan dos puntos comunes.

Pág. 69

RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES

Una recta y un plano son perpendiculares, si se intersecan y si, además, toda recta contenida en el plano que pase por el punto de intersección es perpendicular a la recta dada. El punto de intersección de la recta con el plano recibe el nombre de pie de la perpendicular. Si una recta interseca a un plano sin serle perpendicular, se llama oblicua al plano.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

La distancia de un punto exterior a un plano, es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto al plano.

PROYECCIONES

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO

Se llama proyección ortogonal de un punto sobre un plano, al pie de la perpendicular trazada del punto al plano. La perpendicular se denomina proyectante, y el plano recibe el nombre de plano de proyección.

PROYECCIÓN DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO

La proyección de una recta sobre un plano es el conjunto de todos los puntos del plano que son proyecciones de los puntos de la recta.

PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO SOBRE UN PLANO

La proyección de un segmento sobre un plano es el conjunto de puntos del plano que son proyecciones de los puntos del segmento. Equivalentemente, la proyección de un segmento sobre un plano es el segmento que se obtiene al unir los pies de las perpendiculares trazadas desde los extremos del segmento original al plano.

ÁNGULOS

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

Es el ángulo que forma una de las rectas con una paralela a la otra, trazada por un punto cualquiera de la primera.

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Se llama ángulo entre una recta y un plano al ángulo que forma la recta con su proyección en el plano. El ángulo entre una recta y un plano, es menor que el ángulo que forma la recta con cualquier otro rayo, contenido en el plano, que parte del punto de intersección.

Pág. 70

ÁNGULOS DIEDROS

Se llama ángulo diedro al espacio comprendido entre dos planos que se cortan. En otras palabras, si dos semiplanos tienen la misma arista, pero no están en el mismo plano, entonces la reunión de los dos semiplanos y su arista común, es un ángulo diedro.

Elementos de un ángulo diedro:

Caras: son los planos P y Q que se cortan

Arista: es la arista común AB de los planos que se cortan

Notación de un ángulo diedro:

Un ángulo diedro con caras P y Q y arista común AB, se puede denotar como sigue: AB o P-AB-Q

Ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro:

Es el ángulo determinado por la intersección del ángulo diedro y un plano perpendicular a su arista.

Medida de un ángulo diedro

La medida de un ángulo diedro es un número real, correspondiente a la medida de cualquiera de sus ángulos rectilíneos.

POLIEDROS:

Un poliedro es un sólido completamente limitado por polígonos. El mínimo número de caras que tiene un poliedro es cuatro. Los poliedros se denotan por las letras de sus vértices.

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

 Caras: son los polígonos que componen la superficie del poliedro.  Aristas: son las intersecciones de las caras.

 Vértices: son los puntos de concurrencia de las aristas.

 Ángulos diedros: son los formados por dos caras consecutivas.  Ángulos poliedros: son los formados en los vértices del poliedro.

 Diagonales: son los segmentos de recta que unen dos vértices del poliedro no situados en una misma cara.

Pág. 71

Elementos de un poliedro

POLIEDROS REGULARES

Poliedro regular es aquel cuyas caras son todos polígonos regulares iguales, y todos sus ángulos diedros y ángulos poliedros también iguales.

Existen únicamente cinco poliedros regulares. Estos son: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Pág. 72

SESIÓN 6.1:PRISMAS

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión el alumno reconoce los elementos básicos de los prismas rectos y resuelve problemas de cálculo de áreas y volúmenes relacionados con la Arquitectura.

________________________________________________________________________________

ACTIVIDAD:

Determine el área lateral, área total y volumen del prisma recto pentagonal regular de arista “a” y de altura “h”, sabiendo que:

a. El área lateral es la suma de las áreas de las caras laterales del prisma. b. El área total es la suma de las áreas de todas las caras del prisma. c. El volumen es el espacio contenido dentro del prisma.

A partir de lo anterior encuentre las fórmulas que permiten calcular el área lateral, área total y volumen de un prisma recto.

Área lateral Área total Volumen

Elaboración propia

h

a

h

a

a

a

a

=

+

Pág. 73

Ejemplo 01:

Se tiene un prisma recto, cuyas bases son triángulos rectángulos, de catetos 9 y 12 cm respectivamente y con altura de 10cm.

a. Dibuje el prisma. b. Calcule el área total y el volumen del

prisma.

Ejemplo 02: Calcule el volumen del siguiente prisma recto.

Pág. 74

Ejemplo 03:

La figura muestra el volumen de agua contenido en una piscina que tiene 15m de ancho. Las medidas están en metros. Determine el volumen de agua contenida en ella (en metros cúbicos), sabiendo que el agua llega a 0,5 metros del borde superior de la piscina.

6,0 0,5 5,0 10,0 20.0 0,5 0,5 15,0 Elaboraciónpropia

Pág. 75

Ejemplo 04:

La figura muestra la vista en planta y el corte m-m de una piscina. Determine la capacidad de la piscina sabiendo que debe estar completamente llena:

Pág. 76

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se muestra la vista en planta de una piscina, donde su espejo de agua está limitado por los tramos rectos AC, CE, EF, FI, IJ, JK, KL, LM y MA. Determine la capacidad de la piscina., si se sabe que el triángulo CDE es isósceles.

Respuesta: La capacidad de la piscina es 287,94 m3

2. La figura muestra la vista en planta de una piscina. Determine:

a. El área del espejo de agua. Respuesta: El área es 226 m2

b. El volumen de la piscina. Respuesta: El volumen es 164 m3

K L

Elaboraciónpropia

Pág. 77

SESIÓN 6.2:PIRÁMIDE Y TRONCO DE PIRÁMIDE

REFORZANDOLOAPRENDIDOENLACLASEVIRTUAL…….

Elementos

EJERCICIO 01:

Calcule el área lateral, total y el volumen de una pirámide pentagonal regular de 20 cm de altura, cuya base es un pentágono regular de 8 cm de lado y la apotema de la base mide 3,24 cm.

Elaboraciónpropia Elaboraciónpropia

Pág. 78

EJERCICIO 02:

La base de una pirámide regular es un hexágono de 10 cm de lado y su altura es 24 cm. Si se corta por un plano que pasa a 18 cm de la base, halle el área total del tronco de pirámide que resulta.

SESIÓN 6.3:CLASE INTEGRAL PC02 Elaboraciónpropia

Pág. 79

SESIÓN 7.1:ACTIVIDAD CALIFICADA EN AULA

SESIÓN 7.2:SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN_CILINDRO RECTO Y ESFERA SESIÓN 7.3:SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN_CONO RECTO Y TRONCO DE CONO

LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el alumno reconoce los elementos básicos de los sólidos de revolución: cilindro, cono y esfera; y resuelve problemas de cálculo de áreas y volúmenes.

________________________________________________________________________________ PRIMERA PARTE:ACTIVIDAD

Rotando las figuras geométricas alrededor del eje de giro indicado, en cada caso resulta un sólido de revolución. Dibuje y nombre los sólidos que se han generado.

GRÁFICA: GRÁFICA: GRÁFICA:

¿Nombre del sólido? ¿Nombre del sólido? ¿Nombre del sólido?

Área lateral: Área total: Volumen: Área lateral: Área total: Volumen: Área total: Volumen: R