COMPORTAMIENTO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN PAREDES
DAVID LENIS YÁÑEZ
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ, D.C.
COMPORTAMIENTO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN PAREDES
DAVID LENIS YÁÑEZ
Proyecto para optar al título de Ingeniero Industrial
Asesor: Juan Felipe Torres G. Ingeniero Industrial, Msc.
Coasesor: Roberto Zarama U.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ, D.C.
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN...4
2. MARCO TEÓRICO...6
2.1 TRANSFERENCIA DE CALOR ...6
2.1.1 LEY DE FOURIER...6
2.1.2 ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR ...7
2.1.3 CELDA CALORIMÉTRICA ...10
2.2 PROCESOS DE DIFUSIÓN ... 12
2.2.1 MOVIMIENTO BROWNIANO...12
2.2.1.1 Propiedad de Markov y Ecuación de Chapman-Kolmogorov ...14
2.2.1.2 Movimiento Browniano En Varias Dimensiones...15
2.3 TEORÍA AUTÓMATA CELULAR... 18
3. ANÁLISIS Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA... 21
4. RESULTADOS... 23
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES... 29
6. BIBLIOGRAFÍA ... 31
1. INTRODUCCIÓN
Cuando un edificio va a ser construido, una de las principales tareas de los ingenieros es hacer estudios para analizar los diferentes materiales que pueden llegar a utilizarse en la fabricación de las paredes, pisos, columnas, y en general todas aquellas superficies que pueden ser expuestas a cambios drásticos de temperatura.
Estos estudios pueden hacerse experimentalmente en un laboratorio con los mismos materiales que se utilizarán en la realidad, pero podría ser un poco costoso cuando se tienen muchas opciones y cuando las condiciones de frontera a las que están expuestas estas superficies, pueden llegar a ser variables y un poco difíciles de reproducir en un laboratorio.
Es por eso que puede plantearse un modelo matemático que permita representar y pronosticar el comportamiento de la temperatura y la transferencia de calor en una pared de cualquier tipo y además pueda predecir cosas como la temperatura en un punto interior de la pared o la transferencia de calor en cada instante, cosas que en la realidad pueden ser difíciles de observar o medir experimentalmente.
La ecuación diferencial que rige la transferencia de calor por conducción en una pared es una ecuación de difusión que representa un movimiento browniano, por lo cual podría realizarse un modelo matemático que permitiera conocer la temperatura aproximada en cada punto de la pared (si esta se discretiza), a medida que se excita uno de los lados de una pared con una señal de calor, y con estas temperaturas hallar la transferencia de calor total en cada instante.
Si se asume que al empezar a transmitir calor en una pared, este se transmite en todas las direcciones, el calor por unidad de volumen se expresa de la siguiente manera:
∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 22 22 22 z u y u x u k
Q donde k, es la conductividad del material y los otros términos son las segundas derivadas parciales de la temperatura con respecto al desplazamiento en cada uno de los tres ejes cartesianos.
Para solucionar esta ecuación, para cada punto en particular al interior de la pared, se podría hacer diferencias finitas o plantear un modelo “autómata celular1”, y ya que esta ecuación describe un movimiento browniano, el sistema podría modelarse como una cadena de “Markov” de tiempo continuo o discreto2.
A lo largo de este semestre se desarrolló, en el Departamento de Ingeniería Mecánica, un proyecto de grado que consistió en la construcción de una celda calorimétrica (Hot Box) para analizar la transferencia de calor de una pared de construcción en estado transitivo. Se pretende hacer una comparación entre los datos experimentales y los datos teóricos hallados por el modelo matemático que se realizará para saber si existen diferencias significativas entre lo experimental y lo teórico, o si de lo contrario, la utilización de un software es de gran ayuda para predecir comportamientos de la vida real permitiendo un ahorro tanto en tiempo como en dinero.
1
Ver el objeto como una red y la solución de cada punto depende de los puntos vecinos.
2
Tocaría discretizar tanto el espacio como el tiempo, aunque se perdería la esencia de un movimiento browniano.
2. MARCO TEÓRICO
2.1 TRANSFERENCIA DE CALOR
La conducción, o transferencia de calor por difusión, se refiere al transporte de energía en un medio, o a través de un cuerpo, debido a un gradiente de temperatura, y el mecanismo físico es el de la actividad aleatoria atómica o molecular.
2.1.1 LEY DE FOURIER
La ley de Fourier es una ley fenomenológica, es decir, que se ha desarrollado a partir de los fenómenos observados más que derivarse de los principios físicos básicos. Por ejemplo, si se considera una varilla cilíndrica de material conocido, y esta varilla es aislada en la superficie lateral, y sus extremos se mantienen a diferentes temperaturas T1, T2 donde T1 > T2. La diferencia de temperaturas
entre ambos extremos ocasiona una transferencia de calor por conducción del extremo con mayor temperatura al otro extremo, hasta que ambos extremos se estabilicen a la misma temperatura. Se puede medir la rapidez de transferencia de calor qx, y se busca determinar, como esta rapidez depende de las
siguientes variables:
• ∆T, diferencia de temperaturas entre los extremos
• ∆X , longitud de la varilla
• A, área de la sección transversal
Si se mantienen constantes ∆T y ∆X , y se varía A, se puede ver que al aumentar el área de la sección transversal, también aumentaría qx. De la misma
manera si se mantienen ∆T y A constantes, se observa que qx varía
inversamente con X∆ . Finalmente si se mantienen X∆ y A constantes, qx varía
proporcionalmente a T∆ . Es decir que el efecto colectivo es el siguiente:
X T A qx ∆ ∆
α , si se cambia el material, por ejemplo de un metal a un plástico, veríamos que la proporcionalidad anterior seguiría siendo válida, pero para
valor iguales de T∆ , X∆ y A, el valor de qx sería menor para el plástico que
para el metal ya que las átomos que componen el metal se encuentran mucho más aglomerados y organizados haciendo que la rapidez de la transferencia de calor sea mayor. Este experimento sugiere que la proporcionalidad anterior se convierta en una igualdad si se introduce un coeficiente que sea una medida del comportamiento del material:
x T kA qx ∆ ∆ =
donde k es la conductividad térmica (W/m*K), una propiedad importante del material. Al evaluar esta expresión cuando ∆x→0, se obtiene para la rapidez de transferencia de calor:
dx dT kA
qx =− o para el flujo de calor
dx dT k
qx´´=− . El signo negativo es necesario para indicar que el calor se transfiere en la dirección opuesta a la del gradiente de temperatura. La anterior ecuación es la llamada Ley de Fourier.
2.1.2 ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR
Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el campo de temperaturas de un objeto que posee unas condiciones de frontera impuestas. Es decir, que se desea conocer como varía la temperatura con la posición dentro de un cuerpo o medio. Una vez se conozca esta distribución de temperaturas, se puede calcular el flujo de calor por conducción, en cualquier punto en el medio o en la superficie, utilizando la primera Ley de Fourier. La distribución de temperaturas además ser utilizada para determinar otras cantidades importantes, es útil para optimizar el espesor de un material aislante o para determinar la compatibilidad de recubrimientos o adhesivos especiales que se usen junto con el material.
Para obtener la ecuación de calor se puede pensar en un volumen de control infinitesimalmente pequeño3. Las velocidades de transferencia de calor por conducción perpendiculares a cada una de las superficies de control en las coordenadas x, y y z se indican con los términos qx, qy, qz, respectivamente.
Las velocidades de transferencia de calor por conducción en las superficies opuestas se expresan como una expansión en series de Taylor donde puedo omitir los términos de orden superior ya que el residuo, que se refiere a estos términos, tiende a cero a medida que el orden es mayor. Además las condiciones de frontera e iniciales no cambian ya que para órdenes superiores a la segunda derivada son iguales a cero.
dx x q q q x x dx x ∂ ∂ + = + dy y q q qy dy y y ∂ ∂ + = + dz z q q qz dz z z ∂ ∂ + = +
Expresado en palabras, las anteriores ecuaciones afirman que el componente i de la rapidez de transferencia de calor en i+di es igual al valor de este componente mas la cantidad por la que cambia con respecto a x veces dx.
Para determinar el total de transferencia de calor que ocurre en este volumen de control se debe también tener en cuenta si dentro de este volumen de control se genera calor y el cambio en la energía al interior del volumen de control, todo esto para cumplir con la primera ley de la termodinámica4.
La generación de energía se halla de la siguiente forma: dxdydz
q Eg
. .
= , donde q es la rapidez a la que se genera energía por unidad de . volumen.
3
Un cubo diferencial es un cubo de dimensiones dx, dy y dz, donde cada una de estas dimensiones tiende a cero.
4
La energía almacenada dentro del volumen de control se halla de la siguiente forma: dxdydz t T C Ealm p ∂ ∂ =ρ . donde t T Cp ∂ ∂
ρ es la rapidez de cambio temporal de la energía sensible5 por unidad de volumen.
Al expresar la ecuación de conservación de energía se tiene lo siguiente:
alm sale gen entra E E E E . . . . = −
+ , y sustituyendo por todos lo términos definidos anteriormente: dxdydz t T C q q q dxdydz q q q qx y z x dx y dy z dz p ∂ ∂ = − − − + + + . + + + ρ dxdydz t T C dxdydz q dz z q dy y q dx x q p z y x ∂ ∂ = + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − . ρ , como ya se había
mencionado la rapidez de conducción se evalúa a partir de la Ley de Fourier
t T kdydz qx ∂ ∂ − = , t T kdxdz qy ∂ ∂ − = , t T kdxdy qz ∂ ∂ − = .
Por todo lo anterior la ecuación de difusión de calor se puede expresar como:
t T C q z T k z y T k y x T k x p ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ . ρ
, esta ecuación podría simplificarse si decimos que la conductividad térmica es constante en todas las direcciones y que además no hay generación de calor al interior del volumen de control: t T z T y T x T ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ α 1 2 2 2 2 2 2 donde p C k ρ α= es la difusividad térmica6. 5
Asumiendo que el material no experimenta un cambio de fase. 6
La difusividad térmica mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su capacidad para almacenar energía térmica. Los materiales que poseen á grande responderán rápidamente a cambios en su medio térmico, mientras que los materiales de á pequeña responden más lentamente y tardan más en alcanzar una nueva condición de equilibrio.
2.1.3 CELDA CALORIMÉTRICA
Una celda calorimétrica (Hot Box), es una máquina que es utilizada para medir las propiedades térmicas de cualquier elemento que pueda estar en presencia de transferencia de calor por conducción, por ejemplo una pared, una ventana, un piso o un techo.
La celda calorimétrica es una “caja” que está dividida en 2 partes, una de ellas es llamada “caja caliente” y la otra es llamada “caja fría”, se llaman de esta manera porque una cumple la función de un horno y la otra la función de una nevera. En la siguiente figura se pueden observar ambas cajas, la caja “caliente” es la de la izquierda, y la caja de la derecha es la caja “fría”. Estas cajas están “completamente” aisladas, es decir que la transferencia de calor hacia y desde el interior es despreciable, así que solo existe transferencia de calor entre las cajas, más precisamente solamente debe haber calor que fluya de la caja caliente a la caja fría.
La caja caliente posee un par de calentadores, lo que hace que la temperatura al interior de esta sea bastante alta, esta temperatura se controla con termostatos que son manejados manualmente por el operario, esta caja también consta de unos ventiladores al interior para que
el flujo de calor y la temperaturas de este sean lo mas uniformes posibles.
La caja fría, tiene un par de ductos de carga y descarga, estos ductos conectan la caja con un sistema de refrigeración7 para que el interior de la caja se mantenga a una temperatura baja. De nuevo esta temperatura es controlada por un termostato. En el medio de ambas cámaras, se coloca el llamado “prototipo”, es decir el elemento a ser analizado, ya sea una pared u otra superficie.
Si las temperaturas al interior de cada cámara son fijadas en un valor conocido y si además se sabe cuanto calor está generando el calentador al interior de la cámara caliente8, se puede hallar la conductividad térmica del material del prototipo de la siguiente manera:
Cabe recordar que
x T kA qx ∆ ∆ = , si se despeja k, obtenemos: T x A q k x ∆ ∆ = .
Donde qx es la rapidez de transferencia de Calor en Watios, A es el área
normal a la transferencia de calor, ∆x es el espesor del prototipo, y ∆Tes la diferencias de temperatura entre las superficies del prototipo.
De la misma manera que se puede hallar la conductividad térmica de cualquier material, se puede analizar el prototipo para encontrar otras propiedades como la difusividad térmica, la capacidad calorífica entre otras. También se puede hacer un análisis transitivo del prototipo, en este tipo de análisis se deben conocer las propiedades del material y lo que interesa es hallar la cantidad de transferencia de calor a través del prototipo para cada momento de tiempo. Como las temperaturas de las superficies van cambiando con el tiempo, la transferencia de calor va ir cambiando hasta estabilizarse en un valor. Este análisis se lleva a cabo con el propósito de conocer el comportamiento de la transferencia de calor en un material especifico que está sujeto a cambios de
7
Un sistema de refrigeración que opera de la misma manera al sistema de una nevera convencional. 8
Este calor hay que corregirlo por el calor que puede estar perdiéndose hacia el exterior ya que construir algo perfectamente adiabático es casi imposible.
temperaturas, es así como se diseñan los equipos de ventilación y aire acondicionado en lugares que tienen grandes cambios de temperaturas a través del año, por ejemplo los países que poseen estaciones, donde en un verano las temperaturas exteriores pueden llegar a ser del orden de los 40ºC mientras que en invierno estas pueden bajar hasta los -30ºC e incluso inferiores.
2.2 PROCESOS DE DIFUSIÓN
Procesos estocásticos los hay de muchos tipos, puede haber procesos que están definidos en tiempo discreto o en tiempo continuo, también pueden estar definidos en espacio discretos o continuos. Muchos fenómenos de la naturaleza pertenecen al tipo de proceso en el cual el tiempo y el espacio son continuos, por ejemplo el registro de datos metereológicos, sistemas de comunicación con ruido, el movimiento de partículas, entre otros. Todos estos son llamados procesos de difusión, entre estos, el proceso más conocido es el de “Wiener”, el cual es un proceso “Gaussiano” en el que una partícula se mueve con incrementos estacionarios independientes.
2.2.1 MOVIMIENTO BROWNIANO
En el año de 1827 un botánico Inglés llamado R. Brown estudió el movimiento de partículas bastante pequeñas suspendidas en el agua, si una persona se acerca a un recipiente que contenga agua, esta puede parecer no estar en movimiento, pero esto es solo una ilusión.
Si alguien pudiera acercarse tan cerca de este recipiente como para distinguir individualmente cada molécula, se podría percibir que cada una de estas partículas está experimentando un movimiento que no tiene un orden aparente, este movimiento, al que R. Brown le dejó su nombre, es el llamado movimiento Browniano.
La primera teoría sobre el movimiento Browniano fue desarrollada por Albert Einstein en 1905, quien obtuvo el premio Nobel por este trabajo. Einstein
desarrolló la representación física del modelo la cual sirvió de punto de partida para otras personas que desarrollaron la parte matemática del modelo. Más adelante, un matemático Americano, llamado Norbert Wiener, modeló matemáticamente este tipo de fenómeno, y es el llamado proceso de “Wiener”.
El movimiento Browniano es un proceso estocástico que modela un movimiento continuo y aleatorio. Se hace la suposición de que X representa la posición de t una partícula en el tiempo t. En este caso t tomaría valores reales positivos y
t
X podría tomar valores reales en una línea, un plano o en el espacio
dependiendo de cuantas dimensiones se estén trabajando.
Si se supone que X0 =0, la siguiente suposición es que el movimiento es completamente aleatorio. Ahora se consideran los tiempos “s” y “t” donde s<t. No se desea decir que las posiciones X y t X son independientes, pero el s movimiento después de “s”, X -t X , si es independiente de s X . Esta s suposición se necesita para un finito número de d tiempos: para cada
n n t s t s t
s1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤...≤ ≤ , las variables aleatorias Xt1 − Xs1, Xt2 −Xs2, ...,
n n s
t X
X − son independientes.
También se puede decir que la distribución de los movimientos aleatorios no debe cambiar con el tiempo. Con esto se puede asumir que la distribución de
s t X
X − depende solo de “t - s”. También se puede asumir, por ahora, que el proceso no tiene desplazamiento, es decir que el valor esperado de X es cero t (E
( )
Xt =0).Si se supone que X satisface las anteriores suposiciones, cual sería la t distribución de X ?. Para resolver este problema se puede observar el caso en t el q ue t=1. Para cualquier n se puede escribir:
[
X n X] [
X n X n]
[
Xn n X n n]
X1= 1/ − 0 + 2/ − 1/ +...+ / − ( −1)/ , en otras palabras, X puede 1 ser escrita como la suma de n variables aleatorias, independiente e
idénticamente distribuidas. Si n, es lo suficientemente grande, cada una de las variables aleatorias seria bastante pequeña es decir que cada una tiende a cero, esto es una consecuencia de asumir que X es una función continua que t depende de t.
Por el teorema que dice que la distribución Normal puede ser escrita como la suma de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, y el máximo de estas variables tiende a cero, podemos concluir que X sigue una t distribución Normal.
Ahora definimos un Movimiento Browniano:
Un movimiento Browniano o Proceso de Wiener con varianza σ es un proceso 2
estocástico X que toma valores reales y satisface las siguientes condiciones: t
• X0 =0
• Para cualquier s1 ≤t1 ≤ s2 ≤t2 ≤...≤sn ≤tn, las variables aleatorias 1
1 s t X
X − , ..., Xtn −Xsnson independientes.
• Para cualquier s < t, la variable aleatoria Xt −Xstiene una distribución Normal con media 0, y varianza (t-s) σ . 2
• X es una función continua de t. t
Se puede hablar de movimiento Browniano estándar, este es un tipo de movimiento Browniano en el cual la varianza es 1.
2.2.1.1 Propiedad de Markov y Ecuación de Chapman-Kolmogorov
Sea X un movimiento Browniano estándar, se puede llamar t Γt a la Γ información contenida en X , donde s < t, en otras palabras s ΓtΓ es la información que se puede obtener al observar el movimiento Browniano hasta justo antes del tiempo t. Esta información contiene el movimiento completo de una partícula hasta exactamente antes del tiempo t.
Suponga que s < t, y considere el valor esperado condicional E
(
Xt/Γs)
. Note que:(
Xt s) (
E Xs s) (
E Xt Xs s)
E /Γ = /Γ + − /Γ
Con Γs se puede calcular X , entonces el primer término de la ecuación es s X . s Como Xt −Xs es independiente de Γs, el segundo término es igual a
(
Xt − Xs)
=0E . Por lo anterior:
(
Xt s)
Xs E(
Xt Xs)
E /Γ = = /
Esta ecuación muestra la propiedad de Markov del Movimiento Browniano, la cual dice que para predecir el valor de X dada toda la información hasta el t tiempo s, solo se necesita el valor del Movimiento Browniano en el tiempo s, es decir que no se necesita información anterior.
Si la función de densidad de X para un movimiento Browniano que comienza t en x se denota como pt(x,y) , y como Xt −X0 es una variable aleatoria Normal con media 0 y varianza t, y x t
t e t y x p ( )2/2 2 1 ) , ( = − − π , −∞< y<∞ Esta función de densidad satisface la ecuación de Chapman-Kolmogorov9.
∫
∞ ∞ − + x y = p x z p z y dz ps t( , ) s( , ) t( , ) 102.2.1.2 Movimiento Browniano En Varias Dimensiones
9 Esta propiedad dice
s t s
t X X
Y = + − es un movimiento Browniano independiente de Xs, en otras palabras Zt = Xs+ten un movimiento Browniano comenzando, aleatoriamente, en el punto Xs. 10
La Ecuación de Chapman-Kolmogorov define la probabilidad de que se pase de una posición x a una posición y en s+t unidades de tiempo, pasando por la posición z.
Si se supone que d t t X X ,...,1
son un conjunto de movimientos Brownianos unidimensionales estándar. Se puede decir que
(
1 2)
,..., t t
t X X
X = , es un vector de procesos estocásticos d-dimensional.
En otras palabras un movimiento Browniano d-dimensional es un proceso en el cual cada componente experimenta un movimiento Browniano independiente de otra. Por todo lo que se ha dicho, X se puede definir de la siguiente t manera:
0
0 =
X
Para cualquier s1 ≤t1 ≤s2 ≤t2 ≤...≤sn ≤tn, los vectores Xt1 −Xs1, ...,
n n s
t X
X − son independientes.
Para cualquier s < t, la variable aleatoria Xt −Xs tiene una distribución Normal conjunta con media 0, y matriz de varianza y covarianza (t-s) σ I. 2
( )
= = − − −x r d r x r x d e r e r e r x x f d /2 2 / 2 / 2 / 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 ) ,..., ( π π π donde r = t – s. tX es una función continua de t.
Como en el caso de un movimiento Browniano unidimensional, d
t x y x y R
p ( , ), , ∈ , denota la función de densidad de X asumiendo que t X0 = x
t x y d t e t y x p /2 /2 2 ) 2 ( 1 ) , ( = − −
π , al igual que en el caso unidimensional, esta función de densidad de probabilidad también satisface la ecuación de Chapman-Kolmogorov.
∫
= + d R d t s t s x y p x z p z y dz dz p ( , ) ( , ) ( , ) 1...El movimiento Browniano está relacionado con la teoría de difusión. Suponga que un gran número de partículas están distribuidas en el espacio d
una función de densidad f
( )
y . Si f ,( )
t y denota la función de densidad de las partículas en el tiempo t, y si se asume que las partículas realizan un movimiento Browniano, cada una independientemente de la otra, se puede escribir la función de densidad de las partículas en el tiempo t. Si una partícula comienza su movimiento en la posición x, la función de densidad de probabilidad es:∫
= d R f x pt x y dx dxd y tf(, ) ( ) ( , ) 1... , si suponemos que el movimiento Browniano es
simétrico es decir que que pt(x,y)= pt(y,x), entonces la ecuación queda:
∫
= d R f x pt y x dx dxd y t f(, ) ( ) ( , ) 1...y si se observa esta ecuación, es el valor esperado de f(Xt) asumiendo que y
Xo = , así que se puede escribir como f(t,y)=Ey(f(Xt)).11 Ahora se busca una ecuación diferencial que satisfaga f( xt, ).
Se considera t f
∂ ∂
, y para que sea sencillo se define que t = 0 y d = 1. Si f es una función “bonita”, se podría hacer una aproximación de Taylor alrededor de x de manera sencilla: ) ) (( ) )( ´´( 2 1 ) )( ´( ) ( ) ( 2 2 x y O x y x f x y x f x f y f = + − + − + − 12
Con esto se podría escribir
[
−]
= →[
[
−]
]
+ → = ∂ ∂ = f x E X x t t X f X f E t t t f t x t x t ´( ) 1 ) 0 lim( )) ( )) ( ( 1 ) 0 lim( 0 0[
]
[
]
´´( )[
[
(
)
]
(( ) )]
2 1 ) ´( 1 ) 0 lim( f x E X x f x E X x 2 O X x 2 t t t t x t x − + − + − → Ya se sabe que Ex[
Xt −x]
=0 y Ex[
Xt −x]
=Var Xt =t ) ( ) ( 2 , y como 2 ) (Xt −x es de orden t, el termino t-1 O(.) tiende a 0. Por lo tanto se tiene que
11
La notación Eysignifica valor esperado de Xtasumiendo que X0 = y
12
) ´´( 2 1 0 f x t f t = ∂ ∂ = à 2 2 2 1 x f t f ∂ ∂ = ∂ ∂
De la misma manera se puede obtener esta ecuación para d dimensiones:
f t f = ∆ ∂ ∂ 2 1 .
Si se observa esta ecuación, y se compara con la ecuación de calor antes descrita, se puede ver que la ecuación de calor tiene esta forma, por lo cual se podría decir, que la temperatura, en la ecuación de difusión de calor, sigue un movimiento Browniano en varias dimensiones.
2.3 TEORÍA AUTÓMATA CELULAR
Un modelo autómata celular es un modelo dinámico que tiene muchos grados de libertad, todos ellos son discretos ya que se mueven en un espacio discreto (cada uno de cuyos elementos se denomina célula), en un tiempo discreto y con un número de estados discretos. Tiene un número definido de entradas y unas pocas reglas que definen su estado durante el siguiente período discreto de tiempo, en función de estas entradas. Las reglas se actualizan sincrónicamente. Los autómatas celulares no necesariamente sufren evolución hacia el equilibrio, pero a veces capturan las características esenciales de la termodinámica y de la hidrodinámica. Se puede esperar de ellos una conducta rica, con una dinámica reproducible y trazable si se parte de las mismas condiciones iniciales. Cualquier pequeño cambio en ellas puede llevar a una evolución muy diferente. Es imposible predecir qué resulta del cambio, incluso si el sistema se detendrá o seguirá indefinidamente. Hay que probar y ver antes de contestar. En ciertas ocasiones algunos de estos sistemas se auto organizan, lo cual es típico de los sistemas complejos.
Los autómatas celulares tienen la capacidad de representar comportamientos complejos a partir de una dinámica sencilla. Debido a esto, desde su origen se
les ha utilizado como elementos de la computación para la modelación de fenómenos biológicos y físicos. Además, los autómatas celulares son estudiados como objetos matemáticos debido al interés intrínseco relativo a los aspectos formales de su comportamiento.
Cada autómata consta de un número determinado de células, donde cada una de estas está representada por una cuadrícula bi-dimensional. El valor del estado en que se encuentra cada célula del arreglo localizada en una posición (i,j) (donde i es la columna y j la fila) en un tiempo t estará determinado por los valores de los estados en que se encuentran las células localizadas en las posiciones (i-1,j), (i+1,j), (i,j+1) e (i,j-1) y el valor del estado en que se encuentra la célula central localizada en la posición (i,j) en el tiempo (t-1); cada célula del arreglo en algún momento será una célula central, la cual junto con las células ubicadas arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha (ortogonalmente) de la misma forman lo que se conoce como vecindad “Von Neumann” (Ver figura 1). Las interacciones locales de las vecindades en un tiempo t determinan el estado global del arreglo (el cual es actualizado sincrónicamente) en el tiempo t+1.
Figura 1: Vecindad Von Neumann.
La anterior figura es llamada la vencindad de Von-Neumann, se pueden ver claramente cada una de las celdas del autómata y el por qué es válido pensar que una celda en el tiempo t+1 depende de las celdas a su alrededor y de ella misma en el tiempo t.
Como se dijo, un autómata celular puede reproducir comportamientos físicos, en este caso se modelará la conducción de calor en estado transitivo en una pared.
3. ANÁLISIS Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Para discretizar el problema, al nivel de espacio y al nivel de tiempo y poder programarlo en un Software, hay que ayudarse de la ecuación diferencial de difusión de calor y se aproxima utilizando la definición de la derivada. Para el modelo se hace el supuesto que el calor dentro de la pared solo fluirá en las direcciones x y y, en z no hay transferencia de calor, esto para simplificar el problema, ya que gráficamente es muy difícil observar las tres dimensiones. Este supuesto no es tan fuerte, ya que muchos “softwares” que pronostican este tipo de cosas, son unidimensionales.
La siguiente es la ecuación transiente de energía, es la misma descrita anteriormente en el marco teórico pero esta es solo en dos dimensiones luego del supuesto que se hizo.
t T y T x T ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ α 1 2 2 2 2
Para aproximar la segunda derivada con respecto a “x” y a “y”, se utiliza la aproximación de las “diferencias centrales”.
( )
2 , , 1 , 1 , 2 2 2 x T T T x T mpn p n m p n m n m ∆ + + ≈ ∂ ∂ + −( )
2 , 1 , 1 , , 2 2 2 y T T T y T mpn p n m p n m n m ∆ + + ≈ ∂ ∂ + −Los subíndices m y n, son utilizados para denotar la distancia en “x” y “y” desde el origen, y el superíndice p, hace relación al tiempo.
Para aproximar la derivada con respecto al tiempo hacemos lo siguiente:
t T T t T mpn p n m n m ∆ − ≈ ∂ ∂ + , 1 , ,
Es decir que la ecuación de calor, para dos dimensiones, queda aproximada de la siguiente manera:
( )
( )
2 , 1 , 1 , 2 , , 1 , 1 , 1 , 2 2 1 y T T T x T T T t T T p n m p n m p n m p n m p n m p n m p n m p n m ∆ + + + ∆ + + = ∆ − + − + − + αSi se asume que ∆x =∆y, entonces:
p n m p n m p n m p n m p n m p n m F T T T T F T T ,+1 = 0( +1, + −1, + , +1+ , −1)+(1−4 0) , , donde
( )
2 0 x t F ∆ ∆ = αPara que el modelo sea completamente estable existe una condición:
(
)
( )
4 1 0 4 1 0 0 2 ≤ ∆ ∆ = → ≥ − x t FF α , si esta condición no se cumple, el modelo se desestabilizará y nunca convergerá a una respuesta.
Como se puede ver, para poder modelar la anterior situación, hay que discretizar tanto el espacio como el tiempo. La pared hay que verla como un autómata celular donde cada celda tendrá una temperatura diferente, y la temperatura de esta celda i en el tiempo t+1, dependerá de las temperaturas de las celdas que la rodean en el tiempo t.
Para llevar a cabo la modelación, se programó el anterior procedimiento en un software llamado “Mathemática”, este es un software que a diferencia de muchos otros no es numérico sino simbólico.
Este Software permite visualizar gráficamente el cambio de temperatura en cada celda del autómata a medida que el tiempo va pasando.
Para Obtener resultados se debe primero conocer los siguientes datos de entrada para el modelo:
• Las dimensiones de la pared a analizar
• Las propiedades de la pared. Conductividad térmica, Calor específico y Densidad.
• Condiciones de frontera, es decir las temperaturas de los alrededores.
Con los anteriores datos y siguiendo el procedimiento antes descrito se puede llegar a conocer la temperatura de cada punto del autómata y la transferencia de calor para cada tiempo antes de que el sistema se estabilice por completo. El código, en “Mathemática”, de la implementación se encuentra anexado al final.
4. RESULTADOS
Para comprobar si el modelo tiene validez, y si es eficiente para utilizarlo al analizar cualquier tipo de prototipo, se compararon los resultados obtenidos con resultados experimentales hallados con una celda calorimétrica que fue construida en el laboratorio de Ingeniería Mecánica de la Universidad de los Andes.
En el laboratorio se construyó una celda calorimétrica que tiene dimensiones para analizar cualquier prototipo de 0.6X1.0 metros, la caja caliente de la celda calorimétrica puede ser observada en la siguiente figura.
En la parte superior de la caja se alcanzan a observar los termostatos que controlan la temperatura interior de la caja, y al interior se ve uno de los calentadores y uno de los ventiladores que hacen que el flujo sea uniforme.
El prototipo que se utilizó en el laboratorio, fue una pared de yeso con las mismas dimensiones de alto y ancho de la caja, y un espesor de 20 cm. La temperatura de la caja fría se fijó en un valor de -10°C y la temperatura de la caja caliente se fijó en 40°C. Inicialmente todo el prototipo estaba a una temperatura ambiente de 22°C la misma temperatura del laboratorio. El prototipo utilizado tiene las siguientes propiedades:
• Conductividad térmica (K) = 0.17 W/ m °K
• Densidad (ñ)= 800 kg/m3
• Calor Especifico (Cp) = 1085 J/ kg °K
Esto da como resultado una Difusividad térmica (á) de 1.95853X10-7 m2/s.
El prototipo se colocó en medio de las dos cajas, y una vez las temperaturas frías y calientes estaban estables, se apagaron tanto los calentadores como el sistema de refrigeración para así empezar a tomar datos de temperaturas, en estado transitivo, en ambas caras del prototipo cada 10 segundos hasta que el sistema se volviera a estabilizar a una temperatura ambiente, es decir por espacio de mas o menos 2 horas. Estas temperaturas fueron guardadas a un computador y fueron medidas con ayuda de unas termocuplas13.
Para cada espacio de tiempo se tomaron las temperaturas promedio de cada una de las caras del prototipo, y luego aplicando la siguiente ecuación se halló la transferencia de calor en para cada tiempo:
x T kA qx ∆ ∆ = .
Luego de tener la transferencia promedio para cada tiempo se procedió a graficarla en una grafica de Calor contra tiempo. Los resultados fueron los siguientes:
13
Una termocupla es simplemente dos alambres de distinto material unidos en un extremo . Al aplicar temperatura en la unión de los metales se genera un voltaje muy pequeño, del orden de los milivoltios el cual aumenta proporcionalmente con la temperatura.
Transferencia de Calor en estado transitivo 0 5 10 15 20 25 30 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Tiempo (s) Calor (W) Si observamos esta grafica nos podemos dar cuenta que a medida que pasa el tiempo inicial la transferencia de calor va disminuyendo, empieza a disminuir de una forma bastante rápida y luego esa disminución empieza a decrecer hasta que la transferencia de calor se estabiliza en un valor rela tivamente cercano a cero.
Todo esto es bastante normal ya que a medida que pasa el tiempo, la diferencias de temperaturas ÄT va decreciendo, haciendo que el valor de la transferencia de calor también lo haga. Por otro lado, apenas el sistema se desconecta de las fuentes de calor y frío, las temperaturas empiezan a cambiar drásticamente y a medida que pasa el tiempo los cambios de temperatura no son tan fuertes, además a medida que el sistema empieza a estabilizarse, las temperaturas de las dos caras del prototipo tienden a ser iguales haciendo que la transferencia de calor sea casi nula.
Luego de tener los datos experimentales se procedió a correr el modelo. Los datos de entrada para el modelo fueron los siguientes:
• Conductividad térmica (K) = 0.17 W/ m °K • Densidad (ñ)= 800 kg/m3 • Calor Especifico (Cp) = 1085 J/ kg °K • Altura (h)= 1.0 m • Ancho(d)=0.6 m. • Espesor: 0.2 m. • Temperatura Fría (tf)= -10ºC • Temperatura Caliente (tc)= 40ºC
• Las temperaturas superior e inferior, se asumieron como la temperatura ambiente ya que en estos sitios la celda calorimétrica esta aislada en estos sitios del prototipo.
• Cada celda del autómata celular tendrá dimensiones de 0.005 m. X 0.005 m.
• El Ät (Cada espacio de tiempo) fue de 10 segundos al igual que los datos tomados experimentalmente.
• Se corrió la simulación por dos horas, el mismo tiempo que hubo para toma de datos experimentales.
Luego de introducir todos estos datos de entrada se procedió a correr el modelo. Primero que todo se puede ver el autómata en su posición inicial donde la temperatura de todo el prototipo es la temperatura ambiente y uno de sus lados está en contacto con la temperatura fría (lado negro en la figura), y el otro lado está en contacto con la temperatura caliente (lado blanco).
Los ejes de esta figura representan el número de celda del autómata, es decir que de altura existen 200 celdas y en espesor hay 40 celdas.
A medida que el tiempo va pasando, el autómata va cambiando ya que las temperaturas empiezan a cambiar, el modelo me muestra una figura para cada tiempo, la siguiente es una figura casi a la hora de simulación:
0 10 20 30 40 0 50 100 150 200
Si se observa esta figura, se puede ver que las temperaturas al interior de la pared ya no son todas igual a la temperatura ambiente y que por un lado a empezado a ganar calor obteniéndolo del lado caliente y por el otro ha empezado a perder calor cediéndolo al lado frío.
Este es el autómata en su estado final, donde la temperatura de ambos lados es prácticamente la misma, existe una diferencia de un solo grado, la diferencia grande en los colores es porque el Software le coloca el color blanco a la temperatura mas alta y el color negro a la temperatura más baja sin importar que las diferencias sean mínimas.
Luego de haber podido observar la simulación de este autómata se procede a obtener una grafica de la transferencia de calor contra el tiempo y a compararla con aquella hallada experimentalmente.
0 10 20 30 40 0 50 100 150 200 0 10 20 30 40 0 50 100 150 200
Si se observa la grafica de la izquierda, y la comparamos con la grafica hallada experimentalmente, se podría decir que se parecen y que este modelo es una buena aproximación a la realidad, la diferencia entre estas dos graficas es que la grafica hallada con el modelo resulta en una función perfecta ya que es hallada con un modelo completamente teórico que no tiene en cuenta ninguna fuga ni entrada de calor, y cuando se hallaron los datos experimentales pudo haber ocurrido cualquiera de estas cosas.
Como complemento, en la implementación, se tiene en cuenta no solo un tipo de pared sino 5 tipos distintos de materiales, y los cambios de temperaturas durante el periodo de dos horas pueden ser distintos dependiendo de lo que se quiera evaluar. 100 200 300 400 500 600 700 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Los datos experimentales y teóricos fueron muy parecidos, el error del 3.13% en promedio muestra que los valores están muy cercanos, la diferencia radica solo en la grafica hallada experimentalmente muestra la realidad mucho más cercana, mientras la grafica hallada teóricamente simplifica el sistema a un sistema 100% eficiente donde no hay perdidas ni entradas de calor, esto supondría una Celda calorimétrica completamente adiabática, lo cual es casi imposible.
Los modelos de computador que son utilizados para predecir el comportamiento térmico de una pared, como el modelo creado en este proyecto, son basta nte buenos para una primera aproximación, además existe un ahorro económico bastante grande, ya que si no se tiene muy en claro el material a utilizar, y las pruebas se hacen para realizar esta escogencia, sería bastante costoso hacer pruebas experimentales con cada uno de los materiales posibles, en cambio utilizando este modelo, se podrían por lo menos reducir las posibilidades analizando solo aquellos materiales con los que obtenga unos resultados deseables al utilizar el modelo.
Este modelo funciona como una buena aproximación cuando el prototipo es una pared simple, es decir que el material de esta es uno solo14. Para prototipos compuestos, paredes que no son de un solo material, sino compuestas por capas de distintos materiales15, también se puede utili zar el modelo para aproximar la transferencia de calor, ya que existen formulas para hallar las propiedades esperadas de este tipo de paredes.
El problema es cuando la pared no tiene una densidad uniforme, en este caso el modelo podría no ser de gran uso ya que este modelo asume que la densidad del prototipo es la misma para cualquier punto de la pared. En
14
No existen “sanduches” de materiales (Un material en medio de otros dos o cosas similares). 15
Paredes normalmente utilizadas para aislamiento térmico, incluso se puede utilizar una capa de aire para que a conducción sea menor.
muchos casos hay paredes que se fabrican con una densidad no uniforme, en este caso seria mucho mejor hacer pruebas experimentales y con prototipos que pudieran alcanzar las dimensiones reales para que los resultados sean lo más cercano a los resultados reales.
6. BIBLIOGRAFÍA
1. BELTRÁN PULIDO, Rafael G., y CARRANZA SÁNCHEZ, Yamid A. “Transferencia de Calor de Estado Inestable en Forros para Frenos”. 2. BURCH, D. M., ZARR, R.R., and LICITRA, B.A. “A comparison of two
test Methods for Determining Transfer Function Coefficients for a Wall Using a Calibrated Hot Box”.
3. CARSLAW, H.S., y JAEGER, J. C. “Conduction of Heat in Solids”. Oxford University Press. 1959.
4. GERALD, Curtis., WHEATLEY, Patrick. “Análisis Numérico con Aplicaciones”. Prentice may, Sexta Edición.
5. GRIMMET, Geoffrey; STIRZAKER, David. “Probability and Random Processes”. Oxford University Press. Third Edition. 2001.
6. INCROPERA, Frank, P., y DE WITT, David, P. “Fundamentos de Transferencia de Calor”. Prentice Hall, Cuarta Edición.
7. KARLIN, Samuel; TAYLOR, Howard. “A first Course in Stochastic Processes”. Academic Press. Second Edition. 1975.
8. KARLIN, Samuel; TAYLOR, Howard. “A Second Course in Stochastic Processes”. Academic Press. 1975.
9. KRZYSZTOF, Burdzy; CHEN, Zhen-Qing; and SYLVESTER, John. “The Heat Equation and Reflected Brownian Motion in Time-Dependent Domain”.
10. LAWLER, Gregory. “Introduction to Stochastic Processes”. Chapman & Hall Probability Series. 1995
11. LENIS YÁÑEZ, David. “Análisis de Transferencia de Calor Transiente en Paredes” Bogotá D.C., 2004. Proyecto de Grado (Ingeniero Mecánico). Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Mecánica.
12. LIDA, Y., y SHIGETA, H. “Measurement of Thermophysical Properties of Solids by Arbitrary Heating”. Bulletin of the ASME, Vol 24, No. 197, November 1981.
13. WOLFRAM, Sthephen. “A New Kind of Science”. Wolfram Media, Inc. 2002.
7. ANEXOS
(Lo escrito entre paréntesis no hace parte del código)
ECUACION DE DIFUSION
Entre las dimensiones del volumen a analizar h=altura,
l=grueso de la pared, d=ancho.
h=1.0; l=0.2; d=0.6;
(Los anteriores datos los entra el usuario con las dimensiones de la pared a analizar)
Entre los deltas de distancia y tiempo, tambien el tiempo máximo de corrida.
deltax=0.005; deltat=10; tmax=7200;
(El deltax es la dimensión de una celda del autómata, deltat es, en segundos, cada cuanto tiempo se va a hacer una medición, y el tmax representa el tiempo total por el cual se va a hacer mediciones)
Entre que tipo de material quiere analizar: 1. Yeso 2. Ladrillo 3. Vidrio 4. Madera 5. Acero material= 4;
(Aquí el usuario entra el tipo de material a analizar)
If[material 1, K=0.17;Ro=800;Cp=1085, If[material 2, K=0.72;Ro=1920;Cp=835, If[material 3, K=0.058;Ro=145;Cp=1000, If[material 4, K=0.16;Ro=720;Cp=1255, K=80.2; Ro=7870;Cp=447]] ]];
(En estos condicionales se le asigna el valor a las variables de conductividad térmica, densidad y calor específico, dependiendo del material que el usuario quiera analizar).
alfa=K/(Ro*Cp)
f0=(alfa*deltat)/(deltax^2)
(Luego de tener las propiedades del material a analizar, se halla el valor de la difusividad térmica y el valor del f0, valores que
utilizaran en la implementación).
El anterior número (f0) debe ser menor a 0.25 para asegurar estabilidad en el modelo.
Entre la ciudad que quiere modelar 1. Ciudad con cambios drásticos 2. Ciudad con cambios suaves 3. Ciudad casi constante 4. Ciudad Constante
ciudad=1;
(En esta línea el usuario entra el tipo de ciudad que quiere modelar, del tipo de ciudad depende el valor de la temperatura ambiente a través del tiempo).
Entre las condiciones de frontera, temperaturas de los alrededores, las temperaturas pueden ir en °C o °K. tamb=22;
tf=-10; tc=40; tarr=22; tabaj=22;
(Las anteriores temeparturas las tiene que entrar el usuario, son las temperaturas de los alrededores del sistema)
PROGRAMA
T1=Table[tamb,{h/deltax},{l/deltax}]; T2=Table[tamb,{h/deltax},{l/deltax}];
(Con las anteriores líneas lleno las tablas T1 y T2, matrices de temperaturas, con la temperatura ambiente).
Do[T1[[i,1]]=tc,{i,1,h/deltax}];
Do[T1[[i,l/deltax]]=tf,{i,1,h/deltax}]; Do[T1[[1,j]]=tarr,{j,1,l/deltax}];
Do[T1[[h/deltax,j]]=tabaj,{j,1,l/deltax}];
(Lleno la matriz T1 con las condiciones de frontera, es decir las temperaturas en los extremos de la matriz).
T2=T1;
(A la matriz T2 le asigno los valores de la matriz T1, esta matriz T2 hace las veces de una varibale intermedia).
Q={};
(Se crea el vector Q, que en este momento no tiene una dimensión definida).
ListDensityPlot[T2,ColorFunction→→GrayLevel,Mesh→→False]
(Muestro el autómata en su fase incial, con una función de colores grises, el valor máximo lo muestra blanco y el mínimo lo muestra negro).
For[k=1,k<tmax/deltat, k++,
(este es un ciclo donde se van a hacer ciertas operaciones cada intervalo deltat de tiempo, hasta un tiempo maximo de corrida)
If[ciudad 1 && 0 k&&k 900, tamb=-10, If[ciudad 1 && 900 k&&k 1800, tamb=5, If[ciudad 1 && 1800 k&&k 2700, tamb=18, If[ciudad 1 && 2700 k&&k 3600, tamb=25, If[ciudad 1 && 3600 k&&k 4500, tamb=16, If[ciudad 1 && 4500 k&&k 5400, tamb=8, If[ciudad 1 && 5400 k&&k 6300, tamb=2, If[ciudad 1 && 6300 k&&k 7200, tamb=-4, If[ciudad 1 && 0 k&&k 900, tamb=5, If[ciudad 1 && 900 k&&k 1800, tamb=8, If[ciudad 1 && 1800 k&&k 2700, tamb=13, If[ciudad 1 && 2700 k&&k 3600, tamb=19, If[ciudad 1 && 3600 k&&k 4500, tamb=21, If[ciudad 1 && 5400 k&&k 6300, tamb=10, If[ciudad 1 && 6300 k&&k 7200, tamb=6, If[ciudad 1 && 0 k&&k 900, tamb=18, If[ciudad 1 && 900 k&&k 1800, tamb=20, If[ciudad 1 && 1800 k&&k 2700,tamb=22, If[ciudad 1 && 2700 k&&k 3600, tamb=21, If[ciudad 1 && 3600 k&&k 4500, tamb=19, If[ciudad 1 && 4500 k&&k 5400, tamb=16, If[ciudad 1 && 5400 k&&k 6300, tamb=18, If[ciudad 1 && 6300 k&&k 7200, tamb=20,tamb= 22 ]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]];
(En estos condicionales se le asigna el valor de la temperatura
ambiente a la respectiva variante, de acuerdo al tipo de ciudad que el usuario quiera analizar)
dato=((K*h*d*(T1[[(h/deltax)/2,1]]-T1[[(h/deltax)/2,l/deltax]]))/l);
(Cada intervalo deltat, hallo el valor de la variable dato, esta variable se halla con la anterior fórmula y es la transferencia de calor en cada instante de tiempo).
ListDensityPlot[T2,ColorFunction→→GrayLevel,Mesh→→False];
(Para cada instante de tiempo se muestra el autómata gráficamente con la escala de colores de los grises).
Q=Append[Q,dato];
(Despues de hallar el valor de la variable dato, en cada iteración, adjunto esta a una nueva casilla del vector Q).
Do[
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i-1,j]]+T1[[i,j+1]]+tamb),
If[j l/deltax&&i 1&&i h/deltax,
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i-1,j]]+T1[[i,j-1]]+tamb),
If[i 1&&j 1&&j l/deltax,
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i,j-1]]+T1[[i,j+1]]+tamb),
If[i h/deltax&&j 1&&j l/deltax,
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i-1,j]]+T1[[i,j+1]]+T1[[i,j-1]]+tamb),
If[j 1&&i 1,
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i,j+1]]+2*tamb), If[j 1&&i h/deltax,
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i-1,j]]+T1[[i,j+1]]+2*tamb),
If[i 1&&j l/deltax,
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i,j-1]]+2*tamb), If[i h/deltax&&j l/deltax,
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i-
1,j]]+T1[[i,j-1]]+2*tamb),T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i-1,j]]+T1[[i,j+1]]+T1[[i,j-1]])]]]]]]]],
(El codigo anterior me muestra varios condicionales para las reglas sobre las uales fluye la temperatura a través del tiempo, la razon por la cual hay mas de un solo condicional es que para los puntos extremos y las esquinas las condiciones son diferentes que para un punto al interior del autómata).
{i,1,h/deltax},{j,1,l/deltax}];
(Con esto se dice desde y hasta donde están definidos los valores de i y de j para las anteriores iteraciones)
T1=T2];
(Cada intervalo de tiempo actualizo la matriz T1 aginándole el valor de la matriz T2, para que en la siguiente iteración, las temperaturas de T2 dependan de las temperaturas de T1).
T2//MatrixForm
(Con esto puedo mostrar la temperatura en cada punto de la pared, es decir que me muestra una matriz con la temperatura en cada célula del autómata).
ListPlot[Q,PlotJoined→True]
(Con esto, Mathematica me muestra una grafica de los valores del vector Q contra el tiempo, el cual es un vector que posee en cada una de sus posiciones, el valor de la transferencia de calor, es decir la transferencia de calor en cada instante que se tome una medición).
