Temas: I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EN DATOS SIN AGRUPAR 2 II HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS 6 III. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EN DATOS AGRUPADOS.

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1 INSTITUCION UNIVERSITARIA “ANTONIO JOSÉ CAMACHO”

Asignatura: ESTADÍSTICA Profesores:; CESAR PAZ

Temas:

I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EN DATOS SIN AGRUPAR _________________________ 2

MEDIA (PROMEDIO ARITMETICO) ______________________________________________________________ 2 MEDIANA (Me) ________________________________________________________________________________ 3

MODA (Mo) ___________________________________________________________________________________ 4

MEDIA GEOMETRICA _________________________________________________________________________ 5 MEDIA PONDERADA __________________________________________________________________________ 5

II HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ______________________________________________________ 6

FORMAS COMUNES DE LOS HISTOGRAMAS Y SU SIGNIFICADO ________________________________ 8

III. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EN DATOS AGRUPADOS. ________________________ 11

MEDIANA ___________________________________________________________________________________ 11 MODA _______________________________________________________________________________________ 11

TALLER PROPUESTO ________________________________________________________________ 153 BIBLIOGRAFIA________________________________________________________________________________15

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I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EN DATOS SIN AGRUPAR MEDIA (PROMEDIO ARITMETICO)

Es una medida de tendencia central que indica un único valor representativo de un conjunto de datos. Su expresión es:

N x N i i

  1  : Media Poblacional. n x X n i i

  1 : Media muestral Propiedades:

 Se calcula para variables medidas minimamente en escala de intervalo.  Es un valor único para un conjunto de datos.

 ( ) 1 x x n i i

 =0.

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3 MEDIANA (Me)

Es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos. Aquel valor que excede al 50% de las observaciones y que se encuentra bajo la mitad de ellas.

Pasos:

Caso I (si el número de elementos del conjunto es impar)

Primero.

Ordenar el conjunto de valores. Segundo

Contar las posiciones, hasta el valor que ocupe la posición: 2

1

n

el cual será iguala a la mediana Me

Caso II (si el número de elementos del conjunto es par)

Primero.

Ordenar el conjunto de valores. Segundo

La mediana Me , será igual al promedio de los valores que ocupan las posiciones       1 2 2 n y n

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MODA (Mo)

Se define como valor mas frecuente. Es especialmente empleada para describir variables cualitativas medidas en escala nominal.

EJEMPLO

Los siguientes valores corresponden a las edades de un grupo de estudiantes de la UNIAJC que participaron en la copa Loyola en representación de la institución en las diferentes modalidades deportivas. Para ellas calcule las medidas de tendencia central e interprete.

25 18 16 19 20 22 24 19 17 20 Media. 20 10 20 17 19 24 22 20 19 16 18 25            X Mediana (Me). Paso I Ordenar el conjunto. 16 17 18 19 19 20 21 22 24 25 Paso II

Como el conjunto tiene un numero de elementos par (n=10) entonces la mediana será igual al promedio de los valores que ocupen las posiciones

     1 2 2 n y n . 6 1 5 1 2 10 1 2 5 2 10 2             y n n

Promediando las posiciones quinta (19) y sexta (20). Me=

5 , 19 2 39 2 20 19    La moda es Mo=19. Interpretación:

Los participantes en la copa Loyola por la UNIAJC tienen edades que oscilan entre los 16 y 25 años, con un promedio de 20 años. La mitad de los deportistas superan los 19 años.

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5 MEDIA GEOMETRICA

La media geométrica es empleada para el cálculo de promedios para: Tasas

Porcentajes Razones Índices

Tiene por expresión:

n

n

G x x x x

M  1. 2. 3... Ejemplo.

Las ganancias mensuales obtenidas por una empresa de construcción en el primer semestre del año, fueron de:

6%, 5.6%, 4.9%, 5%,5.5%,6%. 5 (6)(5.6)(4.9)(5)(5.5)(6)G M = 5 27765,6 G M =7.7

La constructora obtuvo una ganancias mensuales en promedio de 7.7%.

MEDIA PONDERADA

La media ponderada es un caso especial de la media y se emplea cuando la característica de interés se ve influenciada por otro factor que actúa como peso, tiene la siguiente expresión:

   n i i n i i i W w w x X 1 1 , donde:

Xi: Es el valor que toma la variable aleatoria en la i-esima observación

Wi Es el peso de la i-esima observación.

N: Tamaño de la muestra. Ejemplo.

Las salas de cine en estados unidos venden refrescos en tres tamaños: pequeño, mediano y grande. Los refrescos cuestan: 0.50, 0.75 y 1.00 dólares correspondientemente. Si el día Domingo se vendieron: 100 pequeños, 250 medianos y 125 grandes. ¿Cuál fue el precio promedio por refresco? 80 . 0 475 363 125 250 100 ) 125 ( 00 . 1 ) 250 ( 75 . 0 ) 100 ( 50 . 0        W X

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II HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

EJEMPLO

Se tienen el número de horas semanal invertido en la preparación semanal de clases para un grupo de 30 docentes de una institución de educación superior.

0 14 5 15 16 17 6 9 8 10 10 13 4 12 11 10 11 12 13 12 15 5 6 18 19 7 25 20 25 14

Paso I

Obtener el número de intervalos.

5 30   Intv No Paso II Rango= 25-0=25.

Paso III (calcular la amplitud de intervalo, Ci)

Ci =25/5 =5

Paso IV

Organizando los intervalos y calculando las frecuencias. Intervalo ni fi Ni Fi 0 a 5 2 0,07 2 0,07 5 a 10 7 0,23 9 0,30 10 a 15 12 0,40 21 0,70 15 a 20 6 0,20 27 0,90 20 a 25 3 0,10 30 1 Total 30 1.0 Donde: n: total de docentes.

ni: representa las frecuencias absolutas para el intervalo i-ésimo.

fi: representa las frecuencias relativas para el intervalo i-ésimo

Ni: representa las frecuencias absolutas acumuladas para el intervalo i-ésimo Fi: representa las frecuencias relativas acumuladas para el intervalo i-ésimo

Como se obtienen los términos de las columnas: fi = ni / n

Ni= ni + ni-1+ ni-2+….+ n1.

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7 Interpretación de los elementos de las columnas de la tabla de frecuencias:

ni =7. Expresa la frecuencia de docentes para ese intervalo, sin incluir el límite superior. Quiere decir

que siete de los docentes dedican a la preparación de clases de 5 hasta 9 horas a la semana. El límite superior (10) está abierto, ya que este valor se encuentra incluido en el siguiente intervalo. fi=0.4. Indica que el 40% de los docentes dedican a la preparación semanal de 10 hasta 14 horas.

Ni =9. Expresa que nueve de los docentes dedican menos de 10 horas a la preparación semanal de clases. Recuerde que 10 es el valor que corresponde al límite superior del intervalo.

Fi =0.7. Indica que el 70% de los docentes dedican menos de 15 horas a la preparación de clases a la semana. Las frecuentas acumuladas para cada intervalo se interpretan de acuerdo al valor del límite superior.

El histograma es un esquema donde se grafican las frecuencias para los intervalos.

Se procede a graficar del histograma de frecuencias, en el primer cuadrante del plano cartesiano colocando el eje de las abscisas los limites de los intervalos y en el eje de las ordenadas las frecuencias.

El histograma muestra una distribución de acampanada, aproximadamente normal. 0 5 10 15 Fr e cu e n ci a Clase

Histograma

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FORMAS COMUNES DE LOS HISTOGRAMAS Y SU SIGNIFICADO

El histograma 1 corresponde a la forma de campana habitual que representa la variabilidad debida a causas aleatorias. A su lado podemos apreciar una curva de frecuencias simétricas o en forma de campana, se caracteriza porque las observaciones equidistantes del máximo central tienen la misma frecuencia. En este caso corresponde con la curva de la normal o Gaussiana. Donde xMoMe

El histograma 2, con dos máximos diferenciados, responde a una distribución denominada bimodal y se presenta cuando están mezclados datos de distinto origen centrados en valores distintos. De igual manera la curva de frecuencia bimodal tiene dos máximos.

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9 El histograma 3 se denomina, por su forma, sesgado a la derecha, y responde a la variabilidad que presenta ciertas variables que no siguen una ley normal, como los tiempos de vida. En las curvas de frecuencias poco asimétricas, o segadas, la cola de la curva a un lado del máximo central es más larga que al otro lado. Si la cola mayor está a la derecha, la curva se dice asimétrica a la derecha o de asimétrica positiva. Donde xMeMo

El histograma 4 parece faltarle una parte y por ello se le llama censurado o sesgado (en este caso, a la izquierda). No representa una variabilidad natural y por tanto hay que sospechar que se han eliminado algunos valores. Igual ocurre con las curvas de frecuencias poco asimétricas o sesgadas a la izquierda o de asimetría negativa. Donde MoMex

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Histograma 4. Distribución plana.

Una gran parte plana, sin ningún pico y con dos ligeras colas a los lados. Esta forma puede ser el resultado de varias distribuciones en campana con sus centros distribuidos uniformemente a lo largo del recorrido de los datos. Se deberán identificar los diferentes procesos que intervienen dentro del proceso básico. Esta distribución es un caso típico de departamentos u organizaciones que no tienen el trabajo bien definido y cada cual lo hace "a su manera".

Histograma 5. Distribución en peine.

Valores altos y bajos se alternan de forma regular. Esta pauta de variación es típica de errores de medición, errores en la forma de agrupar los datos para la construcción del Histograma o sesgos sistemáticos de redondeo. En este caso revisar inicialmente los procesos de recogida de datos y construcción del Histograma.

Histograma 4 histograma 5

OJIVA

Se construye de manera similar al histograma, en el eje de las ordenadas se colocan las frecuencias acumuladas. 0 10 20 30 40 tu lo d e l e je

OJIVA

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III. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EN DATOS AGRUPADOS

.

MEDIA

Su expresión es:

n n x

X

i i ; Donde xi representa la marca de clase o punto medio del intervalo.

2 sup inf L L xi   ; MEDIANA Su expresión es: i i i e C n N n L M     inf 2 1 Donde: inf

L : Límite inferior del intervalo que contiene a la mediana.

1  i

N : Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene a la mediana.

i

n : Frecuencia de la clase que contiene a la mediana.

Ci: Amplitud de intervalo. MODA Su expresión es: Ci 2 1 1 inf   d d d L Me 1 1  ninid y d2nini1 inf

L : Limite inferior del intervalo que contiene a la moda. i

n : Frecuencia de la clase que contiene a la moda.

1  i

n : Frecuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene a la moda

1  i

n : Frecuencia acumulada de la clase siguiente a la que contiene a la moda Ci: Amplitud del intervalo.

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Ejemplo

Se tienen el número de horas semanal invertido en la preparación semanal de clases para un grupo de 30 docentes de una institución de educación superior. Calcular la media, mediana y moda. De acuerdo con la tabla obtenida se adiciona la columna de la marca de clase o punto medio.

Clase ni fi Ni Fi Xi xi*ni [0-5) 2 0,07 2 0,07 2,5 5 [5-10) 7 0,23 9 0,30 7,5 52,5 [10-15) 12 0,40 21 0,70 12,5 150 [15-20) 6 0,20 27 0,90 17,5 105 [20-25] 3 0,10 30 1,00 22,5 67,5 total 30 1,00 380 66 , 12 30 380  

x Los docentes dedican a la preparación de clases en promedio 12.66 horas a la semana.

MEDIANA

Para calcular la mediana encontramos el intervalo que la contiene, para este caso el tercero, porque el recorrido el 50% de los valores se encuentra en ese intervalo. Con base en este calculamos la mediana. inf L =10. 1  i N =9. i n =12 Ci =5 5 . 12 5 12 9 2 30 10      e

M La mitad de los docentes dedican más de 12 horas y media semanales a la preparación de clases. MODA inf L = 10 i n = 12 1  i n = 7 1  i n = 6 Ci =5.

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13 TALLER PROPUESTO GRUPO s 2320

EJERCICIO # 1

En un proceso de producción de bombillos se seleccionaron 24 unidades y se llevó a cabo una prueba con ellos para Determinar la duración. A continuación se describe los tiempos de duración en meses.

I. La Media de la variable es:

a) 35,4 Meses b) 34,55 Meses c) 42,54 Meses d) 51,05 Meses II. La Moda de la variable es:

a) 31,6 Meses b) 38,2 Meses c) 48 Meses d) 50 Meses III. La mediana de la variable es:

a) 43,3 Meses b) 43 Meses c) 42,4 Meses d) 42,7 Meses Interprete la media y mediana calculadas.

EJERCICIO # 2

El Jefe de Sistemas de la empresa CompumaX que diseña programas que solucionan problemas específicos, desea analizar la rapidez de respuesta de uno en particular, para lo cual lo evalúa durante 1000 veces la ejecución del programa, de las cuales escoge aleatoriamente 100 y obtiene la siguiente información de sus tiempos de respuesta en minutos.

TABLA No 1

RAPIDEZ DE RESPUESTA UN PROGRAMA EN PARTICULAR QUE SE IMPLEMENTA EN LA EMPRESA COMPUMAX (MEDIDA EN MINUTOS) RAPIDEZ MINUTOS PUNTO MEDIO DEL INTERVALO FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA [11.5-21.5) 16.5 10 0.10 10 0.10 [21.5-31.5) ? 15 0.15 25 0.25 [31.5-41.5) 36.5 25 0.25 ? ? [41.5-51.5) 46.5 26 ? 76 0.76 [51.5-61.5) 56.5 ? 0.14 90 0.90 [61.5-71.5] 66.5 10 0.10 100 1.00 TOTALES ? ? 50,0 43,3 31,6 38,2 40,1 35,4 38,8 38,2 43,0 41,7 48,0 45,8 44,6 52,8 34,0 42,4 42,4 50,0 31,6 52,8 32,5 48,0 45,8 50,0

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1. Al completar e interpretar esta tabla, se podría decir que:

a. El 50% de los tiempos de respuesta fue de 31.5 minutos o menos

b. 14% de las veces el tiempo de respuesta del programa estuvo entre 11.5 y 61.5 minutos c. El 90% de las veces el tiempo de respuesta del programa estuvo entre 11.5 y 51.5 minutos d. El 24% de las veces el tiempo de respuesta del programa estuvo entre 51.5 y 71.5 minutos.

2. La Media de la variable aleatoria tiempo de respuesta del programa es:

a. 35,4 Minutos b. 4,14 Minutos c. 41,4 Minutos d. 4140 Minutos

3. La población de interés es:

a) Los 100 tiempos escogidos aleatoriamente b) El programa evaluado

c) Los 1000 tiempos ejecutados de la evaluación. d) El equipo en que es evaluado

4. Qué porcentaje de veces el programa se demoró como mínimo 31.5 minutos: a. 15% b. 75% c. 25% d. 85%

5. Calcule la moda de la variable.

6. Un programador informa que el tiempo de respuesta de su unidad supera en velocidad al 50% del resto de los casos, indique: ¿cuál es el tiempo de atención de esta unidad?

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BIBLIOGRAFIA

Texto Guía, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, Rubén Darío Corrales V., Publicación ITM AJC, 2ª edición, 2007

LINCOYAN PORTUS Govinden, CURSO PRÁCTICO DE ESTADÍSTICA, Editorial Mc Graw Hill. MENDENHALL Reinmuth Y Terry Sincich, 1997 ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA, Editorial Iberoamericana, Sta fe de Bogotá.

KINNEAR/TAYLOR. INVESTIGACIÓN DE MERCADOS. Mc Graw Hill. 2000

DOUGLAS A. Lind, WILLIAM G. Marchal, SAMUEL A. Wathen. ESTADÍSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMÍA. Editorial Mc Graw – Hill. 12ª. Edición. 2005..

WEBSTER A. ESTADÍSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y A AL ECONOMÍA. Tercera edición. McGraw Hill.

BERENSON L.,Levine D., Krehbiel T. ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN. Segunda edición. Prentice Hall.

CEBALLOS R. Argemiro. ESTADISTICA DESCRIPTIVA, Un Enfoque Didáctico Segunda Edición 1992. MARTINEZ CADENA, Luis Fernando. ESTADISTICA DESCRIPTIVA. Primera Edición 1994

MURRAY R. Spiegel. ESTADISTICA. Primera Edición. 1987. Editorial McGraw Hill. PERIÓDICOS, REVISTAS, BASE DE DATOS

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