Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Eléctrica
IE – 0502 Proyecto Eléctrico
Análisis de fallas en redes de distribución
Por:
Allan Mauricio Ortiz Serrano
Ciudad Universitaria Rodrigo Facio
Diciembre del 2010
ii
Análisis de fallas en redes de distribución
Por:
Allan Mauricio Ortiz Serrano
Sometido a la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería
de la Universidad de Costa Rica
como requisito parcial para optar por el grado de:
BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
Aprobado por el Tribunal:
_________________________________ Ing. Jonathan Rodríguez Campos
Profesor Guía
_________________________________ _________________________________ Ing. Tatiana Aragón Ramírez Ing. Natalia Picado Vargas
DEDICATORIA
A mis padres por todo el apoyo brindado durante esta trayectoria, y demás familiares, amigos y compañeros por toda su ayuda. A Dios que siempre me acompaña y me sostiene y guía en todo momento de la vida.
iv
RECONOCIMIENTOS
Al Ing. Jonathan Rodríguez Campos, a la Ing. Tatiana Aragón Ramírez y a Ing. Natalia Picado Vargas por todo su apoyo y la colaboración brindada en la elaboración
de este proyecto. A Dios y a mis padres por todo lo que me han dado.
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE GENERAL ...v ÍNDICE DE TABLAS ...x ÍNDICE DE TABLAS ...x NOMENCLATURA ...xi RESUMEN ...xvi CAPÍTULO 1: Introducción...1 1.1 Objetivos...2 1.1.1 Objetivo general...2 1.1.2 Objetivos específicos ...2 1.2 Metodología empleada...3CAPÍTULO 2: Introducción al estudio de fallas. ...4
2.1 Clasificación de fallas:...4
2.2 Consecuencia de las fallas: ...6
2.3 Corrientes de cortocircuito y la importancia de su estudio...8
2.4 Principales fuentes de corriente de cortocircuito ...10
2.5 Comportamiento de la corriente de las fuentes de cortocircuito ...11
CAPÍTULO 3: Principales métodos para el cálculo de corrientes de cortocircuito...14
3.1 Modelado de un sistema eléctrico...14
3.2 Estudio de corrientes de cortocircuito por componentes simétricas:...17
3.2.1 Análisis de fallas simétricas...18
3.2.2 Componentes de secuencia ...20
3.2.3 Análisis de fallas asimétricas ...25
3.2.3.1 Determinación de las tensiones en las barras del sistema luego de la falla. ..25
vi
3.2.3.3 Falla de línea a tierra (Falla monofásica) ...33
3.2.3.4 Falla de línea a línea ...35
3.2.3.5 Falla de doble línea a tierra ...38
3.2.4 Método simplificado por componentes asimétricas...40
3.3 Método Ohmico para cálculo de corrientes de cortocircuito ...43
3.4. Método Por unidad para cálculo de corrientes de cortocircuito ...46
3.5 Método punto a punto ...49
3.6 Sobre los métodos estudiados anteriormente...52
3.7 Método de los KVA ...53
3.7.1 Comparación métodos cortocircuito ...54
3.7.2 KVA en un sistema de distribución ...57
3.7.2 Determinación de los KVA equivalentes en generadores ...57
3.7.3 Determinación de los KVA equivalentes en motores ...58
3.7.3.1 Determinación de los KVA equivalentes en motores de menos de 600 V ...59
3.7.3.2 Determinación de los KVA equivalentes en motores de más de 600 V ...59
3.7.4 Determinación de los KVA equivalentes en transformadores...60
3.7.5 Determinación de los KVA equivalentes en reactores ...60
3.7.6 Determinación de los KVA equivalentes en los cables ...61
CAPÍTULO 4: Ejemplos de análisis de fallas en sistemas de distribución. ...62
4.1 Determinación de corrientes de cortocircuito mediante el método simplificado de componentes simétricas. ...62
4.2 Determinación de corrientes de cortocircuito mediante el método ohmico: ...63
4.2.1 Falla en el punto F1. ...65
4.2.2 Falla en el punto F2. ...67
4.3 Determinación de corrientes de cortocircuito mediante el método por unidad (p.u). ....71
4.3.1 Falla en el punto F1. ...71
4.4 Determinación de corrientes de cortocircuito mediante el método punto a punto ...77
4.4.1 Falla en el punto F1. ...77
4.4.2 Falla en el punto F2. ...79
4.5 Determinación de corrientes de cortocircuito mediante el método los KVA ...82
4.4 Comparación de los resultados ...88
CAPÍTULO 5: Conclusiones y recomendaciones ...90
Bibliografía ...93
viii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2. 1: Comportamiento de la corriente durante los primeros ciclos de la falla. ...12
Figura 3. 1: Fasores de un sistema desbalanceado a partir de la suma de componentes se secuencia. ...20
Figura 3. 2: Componentes de secuencia cero...21
Figura 3. 3: Componentes de secuencia positiva ...21
Figura 3. 4: Componentes de secuencia negativa ...22
Figura 3. 5: Sistema trifásico y corrientes que fluyen hacia fuera del sistema...26
Figura 3. 6: Sistema con una falla en un punto P. ...27
Figura 3. 7: Red de secuencia positiva y circuitos equivalentes de Thévenin...27
Figura 3. 8: Red de secuencia negativa y circuitos equivalentes de Thévenin ...27
Figura 3. 9: Red de secuencia cero y circuitos equivalentes de Thévenin...28
Figura 3. 10: Representación de una falla trifásica a tierra ...31
Figura 3. 11: Circuito equivalente de Thevenin de una falla trifásica ...32
Figura 3. 12: Representación de una falla de línea a tierra...33
Figura 3. 13: Representación de una falla de línea a línea. ...35
Figura 3. 14: Circuito equivalente para una falla de línea a línea ...37
Figura 3. 15: Representación de una falla bifásica a tierra ...38
Figura 3. 16: Circuito equivalente de una falla de dos líneas a tierra...40
Figura 3. 17: Corriente de cortocircuito durante los primeros ciclos de falla. ...41
Figura 3. 18: Corriente de cortocircuito durante los primeros ciclos de falla. ...42
Figura 3. 19: Elementos conectados en serie. ...56
Figura 3. 20: Elementos conectados en paralelo...57
Figura 4. 1: Comportamiento de la corriente luego de los primeros ciclos de falla. ...62
Figura 4. 2: Diagrama de la red para realizar cálculos de corrientes de cortocircuito...64
Figura 4. 3: Red equivalente de la primera parte del sistema en donde se muestran impedancias en ohms. ...66
Figura 4. 4: Red equivalente de la segunda parte del sistema en donde se muestran
impedancias en ohms. ...69
Figura 4. 5: Red equivalente de la primera parte del sistema en donde se muestran impedancias en pu...73
Figura 4. 6: Red equivalente de la segunda parte del sistema en donde se muestran impedancias en pu...75
Figura 4. 7: Red de la primera parte del sistema en donde ocurre una falla F1...78
Figura 4. 8: : Red de la primera parte del sistema en donde ocurre una falla F2. ...80
Figura 4. 9: red en términos de los KVA de cortocircuito equivalente ...84
x
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. 1: Datos sobre la impedancia de los transformadores. ...94
Tabla 1. 2: Datos de la impedancia de transformadores trifásicos. ...94
Tabla 1. 3: Datos de la impedancia de transformadores monofásicos...95
Tabla 1.4: Datos de impedancia para transformadores monofásicos y trifásicos. ...95
Tabla 2: Reactancia aproximada de transformadores de corriente. ...96
Tabla 3: Reactancia aproximada de Switch. ...97
Tabla 4: Datos de reactancia para Breakers...98
Tabla 5: Datos de impedancia para conductores. ...99
Tabla 6: Valores de la constante "C" para conductores. ...100
Tabla 7: Datos de impedancia para buses. ...101
NOMENCLATURA
Q Calor
R Resistencia eléctrica X Reactancia.
I Corriente eléctrica
A Amper (Unidad de corriente eléctrica)
max
V Tensión máxima
max
I′′ Corriente máxima en el periodo subtransitorio
max
I′
Corriente máxima en el periodo transitorio
d X ′′ Reactancia subtransitoria d X′ Reactancia transitoria d
X Reactancia del generador en régimen estable.
X/R Relación entre la reactancia y resistencia del circuito. KVA Kilovoltiampers
KV Kilovolts.
p.u. Valor en por unidad (ver sección 3.1)
base
I
Corriente base en ampers.
base
S
Potencia base en kVA V Tensión base en kV
xii base
Z Impedancia base en Ω
Ω Ohm, unidad de resistencia eléctrica.
Ф Fase.
pf
V
Tensión post falla
0
x
V Tensión equivalente en barra “x”, usada en el análisis de fallas simétricas. V
∆ Cambio en la tensión, usada en el análisis de fallas simétricas.
f
I
Corriente de falla.
Zij Impedancia entre las barras “i” y “j” del sistema
Vf Tensión real antes de la falla, usada en el análisis de fallas simétricas. a En un sistema trifásico se suele denotar como “a” a una fase del sistema. b En un sistema trifásico se suele denotar como “b” a una fase del sistema. c En un sistema trifásico se suele denotar como “c” a una fase del sistema.
( )0
a
V
r
Tensión en la fase “a”, donde el (0) denota la secuencia cero. ( )1
a
V
r
Tensión en la fase “a”, donde el (1) denota la secuencia positiva. ( )2
a
V
r
Tensión en la fase “a”, donde el (2) denota la secuencia negativa. ( )0
a
I
r
Corriente en la fase “a”, donde el (0) denota la secuencia cero. ( )1
a
I
r
Corriente en la fase “a”, donde el (1) denota la secuencia positiva. ( )2
a
I
r
a En la sección 3.2.2 es un operador multiplicativo cuyo valor es 1<120. j Operador complejo.
A Matriz constante generalizada, usada en la sección 3.2.2 para el análisis de componentes de secuencia.
abc
V
Vector de tensiones de las líneas a,b y c.
012
V
Vector de tensiones con secuencia 0,1 y 2.
∆ Conexión en delta. Y Conexión en estrella.
t En las imágenes se utiliza como subíndice, indica que el valor de tensión, corriente o impedancia se refiere al transformador.
P Como subíndice, indica el lado primario del transformador. S Como subíndice, indica el lado secundario del transformador.
f
Z Impedancia de falla entre una línea a tierra, usada en el análisis de fallas simétricas y asimétricas.
g
Z Impedancia del nodo en común de tres fases a tierra, usada en el análisis de fallas simétricas y asimétricas.
FG
Z Matriz de impedancia usada en cálculos para determinar corrientes de cortocircuito en análisis de fallas simétricas.
IS Es la componente de simétrica de la corriente, que es utilizada en el método simplificado de componentes asimétricas para determinar la corriente de
xiv cortocircuito.
Ia Es la componente de asimétrica de la corriente, que es utilizada en el método simplificado de componentes asimétricas para determinar la corriente de cortocircuito.
IP Es el valor más alto que alcanza la corriente de cortocircuito, y ocurre en el primer ciclo luego de la falla.
utlidadΩ
X Es la reactancia que se obtiene a partir de los KVA disponibles en la red, utilizado en el método ohmico para calcular corrientes de cortocircuito. C.C. Cortocircuito.
SC Cortocircuito, en ingles “Short Circuit”. %X Porcentaje de reactancia en un transformador. %R Porcentaje de resistencia en un transformador. %Z Porcentaje de impedancia en un transformador.
ZT Impedancia total de sección la red que se está analizando.
RMS SIMETRICA CC
I Corriente simétrica de cortocircuito.
RMS ASIMETRICA CC
I Corriente asimétrica de cortocircuito.
MOTOR SIMETRICA
I Aporte de corriente del motor, a la corriente de cortocircuito
fm Factor multiplicativo usado en la sección 3.3, para determinar la contribución de un motor a la corriente de cortocircuito.
Mm En el método ohmico, es el factor asimétrico multiplicativo para una falla monofásica promedio.
Ma En el método ohmico, es el factor asimétrico multiplicativo para una falla trifásica promedio.
ELL Tensión línea a línea.
f Factor multiplicativo usado en la sección 3.5, para determinar la corriente de cortocircuito mediante el método punto a punto.
L Longitud de la línea.
C Constante de la tabla 6 de los anexos, se usa para determinar la corriente de cortocircuito mediante el método punto a punto.
M En el método punto a punto, es el factor de corrección multiplicativo para determinar la corriente de cortocircuito.
xvi
RESUMEN
Este trabajo es un estudio sobre fallas en sistemas de distribución en donde se parte desde la exposición de que son fallas, cuales son las causas que las provocan y cuales son sus consecuencias.
La metodología de este trabajo fue primeramente el estudio y recopilación de información de distintos libros y artículos en donde tratan sobre algunos de los distintos tipos de análisis de fallas en sistemas de potencia.
Finalmente para reforzar el estudio se realizan ejemplos en una red de distribución en donde se aplican algunos de los métodos estudiados y se llega a comparar los resultados de las magnitudes de las corrientes de cortocircuito calculadas a partir de estos métodos.
Este trabajo pretende ser una guía para los estudiantes de la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Costa Rica, y para aquellos que estén interesados en reforzar conocimientos sobre cálculos de corrientes de cortocircuito en sistemas de distribución.
En este trabajo se estudiaron los distintos métodos de análisis de fallas, partiendo desde la exposición de la utilidad y los conceptos relacionados con el tema, la explicación de los principales métodos para cálculos de corrientes de cortocircuito. Se realizaron ejemplos con los cuales se reforzaron los conocimientos adquiridos y se obtuvieron datos importantes y la interpretación de los mismos.
Los estudios de fallas en redes eléctricas permiten deducir la mejor forma para enfrentar los problemas de ser que estos ocurriesen en la realidad, así mismo para recrear situaciones ocurridas en la vida real. Cabe mencionar que a partir de los análisis de fallas se pueden escoger las protecciones adecuadas para las redes eléctricas ante las distintas contingencias.
Este trabajo pretende ser una guía para los estudiantes para que puedan reforzar los conocimientos adquiridos en otros cursos y dar mayor entendimiento de los métodos usados en análisis de fallas y sobre la utilidad de estos análisis.
Se inició con un estudio sobre los conceptos fundamentales relacionados con el tema, los criterios con que se construyen y modelan las redes de distribución y demás elementos que conforman un sistema de potencia. Posteriormente se abarcó el tema de fallas analizando los distintos tipos de fallas que se pueden presentar en las líneas y sus respectivos métodos de análisis. Para reforzar el estudio y poner más claros los conceptos adquiridos se realizaron ejemplos de fallas de líneas de redes eléctricas y se compararon los resultados que ofrecieron los distintos métodos.
2
1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo general
Estudiar las distintas metodologías empleadas para el análisis de fallas en redes de distribución.
1.1.2 Objetivos específicos
Elaborar una guía didáctica que explique detalladamente distintos métodos de análisis de fallas en redes de distribución.
Realizar ejemplos de fallas en una red de distribución y comparar los resultados brindados por los cálculos basados en los estudios con los distintos métodos
1.2 Metodología empleada
El trabajo se basó en una investigación bibliográfica, la recopilación de información importante mencionada en distintos libros de texto y publicaciones. La estructura de este trabajo es la siguiente:
Se introdujo con el concepto de falla, las consecuencias, los tipos de fallas que hay y como afectan a un sistema de potencia. Se expuso cuales son los tipos más comunes de fallas en el sistemas eléctricos y se dio una breve explicación de cuales han sido algunas de las medidas que se han tomado en cuanto a la selección de protecciones y el manejo en la estabilidad.
Luego se estudiaron algunos de los métodos de análisis fallas existentes, y se describieron cada uno de ellos y lo pasos que se deben realizar para el cálculo de las corrientes de cortocircuito.
En el siguiente capítulo se presentan ejemplos en los cuales se demostrará como mediante los métodos estudiados es posible el cálculo de corrientes de cortocircuito.
4
CAPÍTULO 2: Introducción al estudio de fallas.
Se conoce como falla en un circuito a cualquier evento o condición anormal que interfiere con el flujo normal de la corriente de este.1 En las redes de distribución las fallas se generan a partir de una reducción de la resistencia del aislamiento que hay entre algunos o todos los conductores de las fases o entre los conductores de las fases y la tierra.
Los análisis de fallas permiten calcular los valores de las corrientes que fluyen en las diferentes partes del sistema inmediatamente después de que ocurre la falla y determinar cual interruptor actúa en ese circuito.
Los análisis de fallas son útiles ya que dependiendo de los cálculos de dichas corrientes se realiza una selección apropiada del interruptor que se debe de instalar. El estimar el valor de estas corrientes debe realizarse con mucha precisión y de esta forma prevenir daños en los sistemas o sobredimensionamiento innecesario de las protecciones debido a una mala coordinación.
2.1 Clasificación de fallas:
Las fallas en las redes eléctricas se pueden clasificar de varias formas. De acuerdo a su origen y cuales fueron sus efectos sobre la tensión se clasifican en: si la falla se dio durante un evento en que se mantuvo la tensión normal provocada por cortocircuitos accidentales o si la falla ocurrió debido a tensiones anormales en el sistema que el
aislamiento no pudo soportar, donde las causas pudieron ser variaciones en la tensión provocada por descargas atmosféricas o variaciones provocadas por los interruptores.
Las fallas también pueden clasificarse de acuerdo al circuito equivalente resultante generado producto de esta, se clasifican en fallas asimétricas o en fallas simétricas.
Fallas asimétricas: Son fallas asimétricas porque originan un desbalance entre las fases. En un sistema trifásico son: las que se dan entre dos de cualquiera de las fases (falla de línea a línea); entre dos de las fases y la tierra (doble falla de línea a tierra); entre una de las fases y la tierra (falla de línea a tierra o falla monofásica a tierra). Esta última es la que presenta el porcentaje más alto de ocurrencia en la vida real.
Fallas simétricas: En un sistema trifásico son las que intervienen las tres fases y son menos comunes que las fallas asimétricas.
En sistemas industriales la mayoría de los casos, la corriente máxima de cortocircuito se da con una falla trifásica; en fallas entre líneas o entre líneas a tierra las magnitudes de las corrientes de cortocircuito son menores, debido a esto el estudio de fallas trifásicas o simétricas es normalmente suficiente para determinar las corrientes de los dispositivos de protección.
En sistemas de alta tensión mayores a 2,4 kV, el neutro está conectado a tierra por generadores con neutro aterrizado o por transformadores principales, que en el lado de alta se encuentran en delta y en el lado de baja en donde se conecta la carga, están en estrella aterrizada. Para determinar la corriente máxima de cortocircuito en estos sistemas se puede tomar como una falla monofásica a tierra y se requiere únicamente realizar estudios de
6 cortocircuito monofásico.
Para limitar corrientes de cortocircuito a valores inferiores en estos sistemas, se conectan los transformadores y generadores a tierra a través de reactancias o resistencias.
Al igual que en los sistemas industriales, en los sistemas de alta tensión aunque las fallas de línea a tierra son más comunes, el valor máximo de la corriente de cortocircuito sucede en caso de una falla trifásica. Para los cálculos de corrientes de cortocircuito en estos sistemas se toma el caso que causa mayor estrés en el sistema, esto es cuando la corriente de falla es mayor, o sea cuando se dan fallas trifásicas y tomando en cuenta impedancia en el punto de falla igual a cero.
2.2 Consecuencia de las fallas:
Cuando sucede un cortocircuito se generan corrientes muy elevadas que a su vez generan mucho calor. La magnitud del calor es igual a la potencia que disipa el conductor o el medio en donde la corriente fluye, y se puede calcular mediante la siguiente ecuación:
2
RI
Q= (2.2-1)
De la fórmula se observa como el calor aumenta con el cuadrado de la corriente, lo que hace que sea bastante alto al incrementarse esta.
Cuando la corriente fluye por efecto de falla de arqueo la resistencia del arco es bastante alta con lo cual el calor se incrementa excesivamente.
La energía térmica que se libera en una falla puede hacer que los conductores se derritan, que se den explosiones, se pueden producir incendios y causar la muerte de
personas. Además puede hacer que la falla se transforme en una falla franca y aumentar la corriente de cortocircuito.
Otra de las consecuencias es que cuando los conductores se ven afectados por las fuerzas electromagnéticas (producidas por las corrientes que circulan por los conductores dispuestos paralelamente) hacen que estos se atraigan o repelen con una gran fuerza la cual es proporcional al cuadrado de la magnitud de la corriente de cortocircuito. Estas excesivas fuerzas mecánicas pueden deformar, doblar los conductores, hacer que se desprendan o rompan y dar peligrosos latigazos que pueden ocasionar severas consecuencias y atentan contra la vida.
Cuando se diseñan circuitos propensos a altas corrientes de cortocircuito se debe tomar en cuenta a la hora del diseño y montaje, el que los conductores estén bien anclados y puedan soportar los esfuerzos mecánicos, asimismo el dispositivo interruptor debe diseñarse para soportar el calor y los esfuerzos mecánicos producto de la falla, de aquí también se resalta la importancia de obtener los valores máximos de las corrientes de cortocircuito.
A través del dispositivo interruptor, al ocurrir una falla fluyen altas corrientes que causan gran calentamiento y se forman gases ionizantes cuando se empieza a interrumpir la corriente lo cual aumenta el nivel de peligro para alguien que se encuentre muy cerca de esa falla.
La reducción de la tensión en las líneas puede generar la interrupción del suministro eléctrico y que se vean afectadas partes importantes del sistema, importantes sectores
8 industriales pueden quedar paralizados y experimentar severas pérdidas por el tiempo muerto (sin suministro de energía). La reducción de la tensión puede ser tan grande que los relevadores pueden dañarse.
Debido a la falla pueden afectarse otros sectores del sistema que se encuentran conectados al sistema que está fallando, los motores pueden absorber cantidades anormales de energía y esto hace que se activen sus protecciones. Una incorrecta coordinación de protecciones puede causar que algunos de los dispositivos de protección en lugares más alejados de la falla se activen y dejar sin suministro a muchos sectores, lo cual no hubiera sucedido si se aplicara una correcta coordinación.
Las fallas afectan la estabilidad del sistema y la de los generadores que pueden perder el control y aumentar la velocidad del rotor a niveles inseguros, además pueden dañarse severamente debido al sobrecalentamiento o a las fuerzas mecánicas anormales.
2.3 Corrientes de cortocircuito y la importancia de su estudio
La corriente eléctrica circula por caminos establecidos previamente a través de conductores y está limitada a conducir a través de ellos mediante la barrera de aislamiento que hay entre el material conductor y el medio. La corriente de cortocircuito es el flujo de energía eléctrica que como resultado de una falla en la barrera de aislamiento, va a través de un camino más corto que el establecido.
Por ley de ohm se sabe que la corriente es directamente proporcional a la tensión e inversamente proporcional a la impedancia. En condiciones normales de operación las
impedancias de las cargas del sistema limitan el flujo de corriente a valores relativamente pequeños los cuales han sido establecidos en la etapa del diseño de la red.
Cuando ocurre una falla, las cargas quedan aisladas del sistema y no limitan el flujo de corriente que proviene del sistema que los alimenta. La impedancia que queda es la existente entre la fuente de energía y el punto de falla, y puede llegar a ser demasiado pequeña comparada con la que existía antes de la falla, debido a esto la corriente se incrementa excesivamente y solamente es limitada por los elementos que se encuentra antes del punto de falla.
Bajo condiciones de falla las corrientes de cortocircuito representan una gran cantidad de energía destructiva que puede causar daños bastante serios al sistema eléctrico, a las líneas y a los equipos que forman parte de este, además pueden tener suficiente potencial como para causar daños en la infraestructura de los edificios y causar serias lesiones a personas o incluso matarlas.
El estudio de cortocircuito de un sistema se debe realizar en el momento del diseño y cuando en la compañía distribuidora de energía o en una industria se realicen modificaciones en la configuración de la instalación o en algún elemento del sistema que cause modificaciones en la impedancia (como cambios en la dimensión de los conductores, cambios en un transformador o en los motores conectados al sistema).
En caso de alguna modificación se debe revisar la capacidad de interrupción de los dispositivos de protección y su capacidad de soportar los esfuerzos mecánicos. De no adecuarse al cambio, estos dispositivos se deben reemplazar.
10 Las corrientes que se presentan en una falla dependen de la fuerza electromotriz de las máquinas del sistema, las impedancias de estas y entre las máquinas y el punto de falla.
Las compañías generadoras y distribuidoras mediante dispositivos de regulación logran que la tensión eléctrica en el sistema tienda a mantenerse estable, por lo tanto para los cálculos y análisis de fallas se asume que la tensión se mantiene constante.
2.4 Principales fuentes de corriente de cortocircuito
La magnitud de la corriente de cortocircuito en el lado que no queda desacoplado de la fuente principal de alimentación, es independiente de las cargas que se estaban alimentando, la corriente de cortocircuito está directamente relacionada con la capacidad de la fuente de alimentación.
La compañía distribuidora de electricidad es la mayor fuente de corrientes de cortocircuito y el transformador es que el va a proveer la impedancia que limita en la mayor parte la corriente de cortocircuito.
Los motores propios de la instalación es la segunda fuente más importante de corrientes de cortocircuito. El comportamiento de la falla va a depender de si es sincrónico o de inducción, asimismo de la potencia del motor, la tensión, la reactancia y resistencia de los devanados del motor y la impedancia desde el motor hasta el punto de falla.
Un motor sincrónico se comporta como un generador que entrega corriente por varios ciclos después de la falla, esto ocurre porque no absorbe energía y aunque está desacelerando, la inercia de su carga y su propia inercia lo mantiene girando y sigue siendo
excitado.
En un motor de inducción, cuanto deja de alimentarse por parte de la fuente de tensión, sigue girando producto de la inercia y se genera una tensión en el estator y una corriente alimentará la falla hasta que se anule el flujo en el estator durante casi cuatro ciclos, lo cual es suficiente como para afectar el funcionamiento del dispositivo interruptor, por lo tanto se deben de tomar en cuenta en análisis de fallas cuando interesan los valores de las corrientes de cortocircuito durante los primeros cinco ciclos luego de la falla. La corriente de cortocircuito inicial es aproximadamente igual a la corriente de arranque a plena tensión debido a que en ese instante la impedancia de la máquina es aproximadamente igual a la de rotor bloqueado.
Los generadores internos son otra de las principales fuentes de cortocircuito. Luego de una falla, estos continúan entregando tensión ya que la excitación de campo se mantiene, así mismo el primotor continúa manteniéndolo a velocidad de operación normal. Debido a esta tensión generada y a que la carga queda desconectada, se va a generar una corriente excesiva que solamente estará limitada por la reactancia del generador y la impedancia existente entre el generador al punto de falla.
2.5 Comportamiento de la corriente de las fuentes de cortocircuito
Como la reactancia de una máquina sincrónica es compleja y varía con el tiempo, al presentarse un cortocircuito en las terminales del generador la corriente de cortocircuito va a presentar además de la componente alterna, una componente unidireccional y la onda de
12 la corriente en una de las fases en el momento de la falla va a ser como se muestra en la siguiente figura:
Figura 2. 1: Comportamiento de la corriente durante los primeros ciclos de la falla.
En el momento de la falla la corriente comienza con un valor alto y decae hasta un valor estable, como no varía la velocidad de la máquina ni la excitación, se asume que hay un cambio en la reactancia aparente y esta provoca el cambio en la corriente de cortocircuito.
Para el análisis de la corriente en función del tiempo en un generador se separa la curva de corriente en tres periodos:
El periodo subtransitorio, que esta caracterizado por la reactancia subtransitoriaXd′′ es la que corresponde a los primeros instantes del cortocircuito y determina la corriente subtransitoria, esta disminuye rápidamente. En términos de la tensión y de la corriente, la reactancia subtransitoria está dada por:
max max I V Xd ′′ = ′′ (2.5-1)
El periodo transitorio, es el caracterizado por la reactancia transitoriaXd′, que es la reactancia aparente luego de los primeros ciclos y determina la corriente transitoria. Al igual que el anterior se puede obtener la reactancia en términos de la tensión y la corriente:
max max
I V
Xd′ = ′ (2.5-2)
Periodo estable permanente, es el caracterizado porque se alcanza un régimen estable, la reactancia sincrónica determina el flujo de corriente y se puede expresar en términos de la tensión y la corriente:
max max
I V
Xd = (2.5-3)
Dado que este periodo se da hasta varios segundos después iniciado el cortocircuito no tiene efectos en los cálculos de cortocircuitos para la determinación de dispositivos de protección.
Para una simplificación en la determinación de los valores de la corriente asimétrica se hace uso de factores multiplicadores que se aplican a la corriente simétrica, para estos casos los valores de corrientes de las componentes unidireccionales pueden variar, pero para efectos de cálculos de corrientes de cortocircuito y determinación de protecciones el valor que interesa es el máximo.
El factor multiplicativo tiene un valor que va desde 1 hasta 1,8, y depende de la relación X/R y de la tensión del circuito. Para circuitos de más de 600V el factor es cercano a 1,6, y en sistemas de menos de 600V se puede aproximar a 1,25. En la tabla 8 de los anexos están los datos del factor multiplicativo dependiendo de la relación X/R.
14
CAPÍTULO 3: Principales métodos para el cálculo de corrientes
de cortocircuito.
Existen varios métodos para el cálculo de corrientes de cortocircuito, en este capítulo se verán algunos de los más usados.
En la primera parte se estudiará como se puede obtener un modelo del sistema que será útil para análisis posteriores. Luego se expondrá el método para encontrar el valor de las corrientes de cortocircuito para las distintas fallas utilizando componentes simétricas.
Después se estudiarán los métodos punto a punto, método ohmico, método por unidad, los cuales se apoyan de tablas de datos y aproximaciones, basados en la experiencia y en generalidades de los elementos eléctricos, para lograr un valor muy aproximado de las corrientes que se desean calcular.
Luego se estudiará el método de los KVA, un método novedoso y muy práctico para cálculos de corrientes de cortocircuitos, en forma rápida y sencilla y que se puede aplicar en sistemas muy complejos.
3.1 Modelado de un sistema eléctrico.
Para un análisis de la estabilidad de una red eléctrica es útil contar con un diagrama de dicha línea en donde se presente de una forma concisa y clara los datos de interés para el estudio que se va a realizar.
Un diagrama unifilar es una representación del sistema que suministra la información necesaria para realizar análisis de dicho sistema. En un diagrama unifilar los
datos de los elementos que conforman al sistema pueden estar dados en valores en por unidad.
Un valor en por unidad (p.u.) es una relación de la cantidad real a una base seleccionada la cual es un valor referencia para estas cantidades. Los cálculos para obtener los valores en por unidad se basan en simples conversiones con las fórmulas que relacionan la potencia, la corriente, la tensión y los valores de impedancia.
Si para una línea de distribución se establecen los valores de la potencia base por fase de dicha línea (Sbase en kVA), y la tensión base al neutro de dicha línea (Vbase en kV), la corriente base está dada por:
base base base V S A I [ ]= (3.1-1)
Al tener el valor de la corriente base en ampers, se puede obtener la impedancia base de la línea: base base base I V Z [Ω]= (3.1-2)
También se puede obtener la impedancia base de la tensión base a partir de la potencia base:
(
)
base base base S V Z 2 ] [Ω = (3.1-3)Para obtener los valores en por unidad, se divide la cantidad real entre la cantidad base (cantidad referencia) que se estableció, por ejemplo para obtener la impedancia en por unidad para algún elemento de la red, se tiene:
16 base elemento u p Z Z Z .. = (3.1-4)
En una línea el valor de resistencia y reactancia en por unidad puede obtenerse si se conoce la relación X/R en dicha línea.
2 . . . 1 + = R X Z Rpu pu (3.1-5) = R X R Xp.u. p.u. (3.1-6)
Si se está trabajando en sistemas trifásicos, se debe tomar en consideración el tener el debido cuidado con las conversiones de valor trifásico a monofásicos, para elementos conectados en configuraciones delta o estrella, si se quiere obtener las cantidades base.
En una conexión en delta se tiene:
1φ base 3φ base V V = (3.1-7) 1φ base 3φ base 3I I = (3.1-8) 1φ base 3φ base 3 S S = (3.1-9)
(
)
(
)
φ φ φ φ base3 2 1 base base1 2 1 base base3φ V 3 V Z S S = = (3.1-10)En una conexión en estrella se tiene:
1φ base 3φ base 3V V = (3.1-11) 1φ base 3φ base I I = (3.1-12) 1φ base 3φ base S S = (3.1-13)
(
) (
)
φ φ φ φ base3 2 1 base base1 2 1 base base3φ V V Z S S = = (3.1-14)Entre las ventajas del usar cantidades en por unidad están las siguientes:
Los métodos de cálculo a través de unidades en por unidad son más simples que usando ampers, volts o ohms.
El producto de dos cantidades expresadas en por unidad también está expresado en por unidad.
Dada las relaciones entre las variables analizadas, con tan solo seleccionar los valores base de dos de ellas, se conocen las otras cantidades base.
Las impedancias en transformadores no requieren de una corrección por transformación de tensión, tampoco afecta el tipo de conexión en el transformador para los valores en por unidad de las impedancias.
Normalmente los fabricantes dan especificaciones de las impedancias en valores de porcentaje o en por unidad.
Para obtener el valor en por unidad, de la potencia activa, reactiva o potencia aparente, solamente se dividen sus valores entre la potencia base (Sbase).
3.2 Estudio de corrientes de cortocircuito por componentes simétricas:
2 Por medio de componentes simétricas se pueden obtener valores de las corrientes de cortocircuito en sistemas desbalanceados, y mediante estos estudios es posible encontrar valores de las corrientes para distintos tipos de fallas que se pueden dar en varios puntos del18 sistema.
Los siguientes análisis son breves explicaciones sobre los métodos de cálculos de corrientes de falla que se encuentran en la mayoría de libros sobre sistemas de potencia.
Se inicia con el estudio de fallas simétricas, y la determinación de la corriente de falla, luego el método de componentes simétricas desarrollado por Fortescue en el año 1918, para luego continuar con análisis y cálculos de corrientes de cortocircuito en fallas asimétricas.
3.2.1 Análisis de fallas simétricas
Se supone que se tiene un sistema con “n” barras y ocurre una falla trifásica a tierra en la barra “q”, las fuentes de tensión quedan en cortocircuito y la red se energiza, esto se puede representar como una fuente de tensión equivalente V0 en la barra “q”.
Los valores de corrientes y tensiones durante la condición postfalla se obtienen al sumar a los valores de corrientes o tensiones pretalla, los cambios ocurridos debido a la falla: V V Vpf = +∆ 0 (3.2.1-1) Escrito en forma matricial:
∆ ∆ ∆ + = n n n V V V V V V V V V M M M 2 1 0 0 2 0 1 2 1 (3.2.1-2) 2
Dado que los cambios en las tensiones ocurren por la inyección de una corriente de falla, por la barra “q” el vector ∆V se puede obtener a partir de:
I Z V = *
∆ (3.2.1-3)
En donde la corriente está dada por:
− = M M 0 0 f I I (3.2.1-4)
En forma matricial el vector ∆V está dado por:
( ) ( ) − = ∆ − ∆ ∆ − − − − M M L L O M M M O M L L M M 0 0 0 ) 1 ( 2 1 1 1 1 2 22 21 1 ) 1 ( 1 12 11 1 2 1 f nn n n n n n n n qq n n n n f I Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z V V V V (3.2.1-5)
En donde la tensión Vf es la tensión real antes de la falla. En general la corriente de falla trifásica para una barra “q” de la red se obtiene despejando de la ecuación anterior, y está dada por:
qq f f Z V I′′ = (3.2.1-6)
En donde Zqq es la impedancia vista desde el lugar en donde ocurre la falla. Puede
20
3.2.2 Componentes de secuencia
El análisis consiste en que un sistema desbalanceado puede resolverse mediante un sistema de fasores balanceados.
Figura 3. 1: Fasores de un sistema desbalanceado a partir de la suma de componentes se secuencia.3
El método fue propuesto por C.L Fortescue en 1918, y resulta ser una herramienta útil para el cálculo de fallas asimétricas, en un sistema trifásico por ejemplo se podrán encontrar las corrientes y tensiones desbalanceadas para cada una de las fases.
Los fasores desbalanceados están formados por los siguientes sistemas balanceados de fasores, en donde se designan las tres fases como fase a, b y c:
Componentes de secuencia cero: Para el análisis se va a designar los componentes de secuencia cero con un (0), los componentes están conformados por tres fasores con la misma magnitud, y sin desfase entre un fasor y otro.
Figura 3. 2: Componentes de secuencia cero
Componentes de secuencia positiva: Para el análisis se va a designar los componentes de secuencia positiva con un (1), se encuentran formados por tres fasores de igual magnitud y con 120 grados de desfase entre un fasor y otro. La secuencia de fase es la misma que los fasores originales.
Figura 3. 3: Componentes de secuencia positiva
Componentes de secuencia negativa: Para el análisis se va a designar los componentes de secuencia negativa con un (2), están formados también por tres fasores de igual magnitud, con 120 grados de desfase entre un fasor y otro, pero la secuencia de fase es opuesta a los fasores originales.
22
Figura 3. 4: Componentes de secuencia negativa
Teniéndose los fasores de secuencia, los fasores desbalanceados para las tensiones estarán dados por la suma de los componentes de la siguiente manera:
) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( a a a a V V V V r r r r + + = (3.2.2-1) ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( b b b b V V V V r r r r + + = (3.2.2-2) ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( c c c c V V V V r r r r + + = (3.2.2-3)
Y para las corrientes está dado por:
) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( a a a a I I I I r r r r + + = (3.2.2-4) ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( b b b b I I I I r r r r + + = (3.2.2-5) ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( c c c c I I I I r r r r + + = (3.2.2-6)
Por conveniencia se introduce un operador denotado como “a” que está definido como: 120 2 3 2 1 j e j a=− + = (3.2.2-7) o a=1∠120 (3.2.2-8)
Este operador va a generar una rotación de 120 grados, en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
o j e j a 1 120 2 3 2 1+ = 120 = ∠ − = (3.2.2-9) o j e j a 1 240 2 3 2 1 240 2 =− − = = ∠ (3.2.2-10) o j a3 =1+ 0=1∠0 (3.2.2-11) a e j a =− + = j =1∠120o = 2 3 2 1 120 4 (3.2.2-12) 2 5 a a = (3.2.2-13)
Volviendo con el análisis, se puede escribir los componentes de secuencia en términos de este operador y de las componentes de una sola fase. Tomando las componentes para las tensiones se obtiene:
Para la secuencia cero:
) 0 ( ) 0 ( a b V V r r = (3.2.2-14) ) 0 ( ) 0 ( a c V V r r = (3.2.2-15)
Para la secuencia positiva:
) 1 ( 2 ) 1 ( a b a V V r r = (3.2.2-16) ) 1 ( ) 1 ( a c aV V r r = (3.2.2-17)
Para la secuencia negativa
) 2 ( ) 2 ( a b aV V r r = (3.2.2-18) ) 2 ( 2 ) 2 ( a c a V V r r = (3.2.2-19)
Sustituyendo las componentes denotadas mediante el operador, las ecuaciones de los fasores desbalanceados para las tensiones; se tiene:
) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( a a a a V V V V r r r r + + = (3.2.2-20)
24 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 0 ( a a a b V a V aV V r r r r + + = (3.2.2-21) ) 2 ( 2 ) 1 ( ) 0 ( a a a c V aV a V V r r r r + + = (3.2.2-22)
Si se escribe en forma matricial se obtiene:
= ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 2 2 1 1 1 1 1 a a a c b a V V V a a a a V V V r r r r r r (3.2.2-23)
Comúnmente en los libros de texto se denota la matriz A:
1 1 1 1 1 2 2 = a a a a A (3.2.2-24)
Por lo tantoVabc =AV012. Puede obtenerse las componentes de secuencia de la fase “a” al multiplicar la matriz invertida en ambos lados de las ecuaciones de los fasores desbalanceados en forma matricial.
abc 1 012 1 V V − − = A A A (3.2.2-25) 1 1 1 1 1 3 1 2 2 1 = − a a a a A (3.2.2-26) = c b a a a a V V V a a a a V V V r r r r r r 1 1 1 1 1 3 1 2 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( (3.2.2-27)
De esta forma se obtienen las componentes de secuencia de la fase a, en términos de los fasores desbalanceados:
(
a b c)
a V V V V r r r r + + = 3 1 ) 0 ( (3.2.2-28)(
a b c)
a V aV a V V r r r r 2 ) 1 ( 3 1 + + = (3.2.2-29)(
a b c)
a V a V aV V r r r r + + = 2 ) 2 ( 3 1 (3.2.2-30) Este estudio permite, mediante el análisis de componentes de las corrientes, calcular cual es la magnitud total de la corriente de cortocircuito en una falla.3.2.3 Análisis de fallas asimétricas
Son fallas asimétricas aquellas que no poseen la naturaleza simétrica que normalmente posee un sistema eléctrico. Son las que ocurren con más frecuencia en los sistemas de potencia. Las fallas asimétricas pueden ser las siguientes:
Entre una de las fases y la tierra.
Entre dos fases.
Entre dos fases y la tierra.
Para el análisis de fallas desbalanceadas se puede llevar a cabo mediante la utilización de transformación en componentes simétricas, para lo cual se supone que el sistema es simétrico antes de ocurrir la falla.
3.2.3.1 Determinación de las tensiones en las barras del sistema luego de la falla.
Para el estudio de fallas en sistemas trifásicos se designan comoI ,fa I y fb I a las fc corrientes que van de las fases a, b, c, hacia afuera del sistema.
26 segmentos que van desde una de las fases del sistema, hacia la falla.
Figura 3. 5: Sistema trifásico y corrientes que fluyen hacia fuera del sistema
Para un sistema de potencia con N barras, la matriz de impedancias de barra para secuencia positiva está dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 22 1 21 1 1 1 1 1 12 1 11 1 NN Nk N N kN kk k k N k N k barra Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z L L M O M O M M L L M O M O M M L L L L (3.2.3.1-1)
La matriz de impedancias de barra para secuencia negativa (denotada con un 2) está dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 12 2 11 2 NN Nk N N kN kk k k N k N k barra Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z L L M O M O M M L L M O M O M M L L L L (3.2.3.1-2)
La matriz de impedancias de barra para secuencia cero (denotada con un 0) está dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 1 0 2 0 2 0 22 0 21 0 1 0 1 0 12 0 11 0 NN Nk N N kN kk k k N k N k barra Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z L L M O M O M M L L M O M O M M L L L L (3.2.3.1-3)
A continuación se muestra el diagrama unifilar de un sistema trifásico, en el cual ocurrió una falla en el punto P:
Figura 3. 6: Sistema con una falla en un punto P.
Se puede representar por sus redes de secuencia y sus correspondientes circuitos equivalentes de thevenin:
Figura 3. 7: Red de secuencia positiva y circuitos equivalentes de Thévenin
28
Figura 3. 9: Red de secuencia cero y circuitos equivalentes de Thévenin
Se muestra también los circuitos equivalentes de Thévenin para cada una de las redes de secuencia. La tensión V en la red de secuencia positiva es la tensión al neutro f existente antes de la falla.
Los valores de impedancia se miden desde el punto de la falla al neutro del sistema y dependen de las reactancias usadas en la red. Dado que las corrientes van hacia fuera del sistema y hacia la falla, las corrientes que se inyectan a las barras en la fase a están dadas por: −Ifa( )0 ,−Ifa( )1,−Ifa( )2
Estas corrientes provocan cambios en las tensiones en las distintas secuencias, de las tres fases de las barras y se pueden calcular de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∆ ∆ ∆ ∆ 0 I -0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 22 1 21 1 1 1 1 1 12 1 11 1 1 1 2 1 1 M M L L M O M O M M L L M O M O M M L L L L M M fa NN Nk N N kN kk k k N k N k Na ka a a Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z V V V V (3.2.3.1-4) Por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∆ ∆ ∆ ∆ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 I -I -I -I -fa Nk fa kk fa k fa k Na ka a a Z Z Z Z V V V V M M M M (3.2.3.1-5)
Se suelen considerar, en situaciones prácticas, las corrientes prefalla igual a cero, y como Vf las tensiones de secuencia positiva en todas las barras. A partir de aquí se obtienen las tensiones de secuencia positiva durante la falla:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ + = 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 Na ka a a f f f f Na ka a a V V V V V V V V V V V V M M M M M M (3.2.3.1-6)
De esta forma se pueden obtener las tensiones de falla para las secuencias positiva, negativa y cero. En el caso de estas dos últimas, las tensiones antes de la falla son cero.
Para la secuencia positiva, las tensiones en las barras luego de la falla en la fase a está dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 fa Nk f fa kk f fa k f fa k f Na ka a a I Z V I Z V I Z V I Z V V V V V M M M M (3.2.3.1-7)
30 está dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 fa Nk fa kk fa k fa k Na ka a a I Z I Z I Z I Z V V V V M M M M (3.2.3.1-8)
Para la secuencia cero, las tensiones en las barras luego de la falla en la fase a está dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 2 0 1 fa Nk fa kk fa k fa k Na ka a a I Z I Z I Z I Z V V V V M M M M (3.2.3.1-9)
En forma general se puede obtener que para una barra “j” las tensiones de secuencia
positiva, secuencia negativa y secuencia cero luego de la falla. Tomando en este caso Vf como la tensión de secuencia positiva antes de la falla en la barra “j” (en secuencia positiva, ya que al principio estaba balanceada) se obtiene:
( )0 ( ) ( )0 0 fa jk ja Z I V =− (3.2.3.1-10) ( )1 ( ) ( )1 1 fa jk f ja V Z I V = − (3.2.3.1-11) ( )2 ( ) ( )2 2 fa jk ja Z I V =− (3.2.3.1-12)
En donde los valores de las corrientes −Ifa( )0 ,−Ifa( )1,−Ifa( )2 van a depender del tipo de falla.
3.2.3.2 Falla Trifásica
No corresponde a una falla desbalanceada, sin embargo se puede analizar con el fin de comprobar como se conserva la simetría del sistema, el modelo para representar una falla trifásica a tierra es el siguiente:
Figura 3. 10: Representación de una falla trifásica a tierra
Donde se denota como Zf es la impedancia de falla entre una línea a tierra, o entre dos o más líneas, y se había denotado como Z a la impedancia del nodo en común de las g tres fases a tierra, por ley de tensiones de Kirchhoff en la fase “a” se tiene:
(
a b c)
g a f a Z I Z I I I V = + + + (3.2.3.2-1)Reordenando esta ecuación, calculando para las demás fases y escribiendo en forma matricial: + + + = c b a g f g g g g f g g g g f c b a I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z V V V (3.2.3.2-2)
32 abc G F abc Z I V = (3.2.3.2-3)
Como se tenía del estudio de componentes simétricas:Vabc =AV012 y Iabc =AI012 entonces: abc 1 012 V V =A− (3.2.3.2-4) abc G F 1 012 Z I V =A− (3.2.3.2-5) 012 G F 1 012 Z I V =A− A (3.2.3.2-6)
Se obtiene como resultado:
+ + + = 2 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 I I I Z Z Z Z Z Z V V V g f g f g f (3.2.3.2-7)
Se puede notar como dada la naturaleza diagonal de la matriz que las tensiones de secuencia dependen directamente de las corrientes en las mismas secuencias.
El circuito equivalente de Thevenin para la red se muestra a continuación:
Figura 3. 11: Circuito equivalente de Thevenin de una falla trifásica
positiva, con lo que se mantiene la simetría del sistema. Las corrientes de falla para la fase “a” de la red serían.
( ) ( ) f kk f fa Z Z V I + = 1 1 (3.2.3.2-8) ( )2 =0 fa I (3.2.3.2-9) ( ) 0 0 = fa I (3.2.3.2-10)
Para las demás fases es la misma, con lo cual se corrobora como se mantiene la simetría del sistema.
3.2.3.3 Falla de línea a tierra (Falla monofásica)
Es el tipo más común de falla, se puede representar de la siguiente manera:
Figura 3. 12: Representación de una falla de línea a tierra.
Para el análisis se supone una falla monofásica a tierra en la línea “a” por lo tanto para las fases “b” y “c” las corrientes de falla son cero.
0 = fb I (3.2.3.3-1) 0 = fc I (3.2.3.3-2)
34 Del análisis de componentes simétricas se había obtenido:
abc 1 012 I I =A− (3.2.3.3-3) = fc fb fa fa fa fa I I I a a a a I I I r r r r r r 1 1 1 1 1 3 1 2 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( (3.2.3.3-4) = 0 0 1 1 1 1 1 3 1 2 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( fa fa fa fa I a a a a I I I r r r r (3.2.3.3-4) Se obtiene: 1 1 1 3 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( = fa fa fa fa I I I I r r r r (3.2.3.3-5)
La descomposición en componentes simétricas de las corrientes, da como resultado:
3 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( fa fa fa fa I I I I r r r r = = = (3.2.3.3-6)
Se observa como en una falla monofásica, las componentes van a tener el mismo valor, y va a ser un tercio de la corriente de falla que fluye hacia fuera de la fase en donde ocurrió la falla. Las tensiones de secuencia de la barra, para la fase “a” luego de la falla son:
( )0 ( ) ( )0 0 fa kk ka Z I V =− (3.2.3.3-7) ( )1 ( ) ( )1 0 fa kk f ka V Z I V = − (3.2.3.3-8) ( )2 ( ) ( )2 0 fa kk ka Z I V =− (3.2.3.3-9)
( )0 ( )1 ( )2 ka ka ka ka V V V V = + + (3.2.3.3-10) ( )0 ( )0
(
( )0 ( )1 ( )2)
3ZfIfa =Ifa Zkk +Zkk +Zkk r r (3.2.3.3-11) La corriente de falla en la fase “a” para las distintas secuencias está dada por:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f kk kk kk f fa fa fa Z Z Z Z V I I I 3 0 2 1 2 1 0 + + + = = = r r r r (3.2.3.3-12) Si se desea obtener la corriente total de falla se calcula:
( )0 ( )1 ( )2 fa fa fa fa I I I I r r r r + + = (3.2.3.3-13)
Como se había mencionado, para las otras fases la corriente de falla es cero.
3.2.3.4 Falla de línea a línea
Se representa de la siguiente manera:
Figura 3. 13: Representación de una falla de línea a línea.
Para el análisis se supone una falla entre las líneas “b” y “c” por lo tanto para la fase “a” la corriente de falla es cero.
0
= fa
I (3.2.3.4-1)
También se tiene que la corriente que fluye hacia fuera de la fase “b” es igual y opuesta a la que fluye hacia fuera de la fase “c”.
36 Realizando un procedimiento similar que el que se realizó para el caso de falla monofásica, del análisis de componentes simétricas tenía que:
abc 1 012 I I =A− (3.2.3.4-2) = fc fb fa fa fa fa I I I a a a a I I I r r r r r r 1 1 1 1 1 3 1 2 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( (3.2.3.4-3) − = fb fb fa fa fa I I a a a a I I I r r r r r 0 1 1 1 1 1 3 1 2 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( (3.2.3.4-4) Se obtiene: 0 3 1 3 1 ) 0 ( = − = fb fb fa I I I r r r (3.2.3.4-5) fb fb fa a I a I I r r r 3 1 3 1 2 ) 1 ( = − (3.2.3.4-6) fb fb fa a I aI I r r r 3 1 3 1 2 ) 2 ( = − (3.2.3.4-7) Por lo tanto: ) 1 ( ) 2 ( fa fa I I r r − = (3.2.3.4-8)
La corriente de falla que fluye desde la fase “b” se puede calcular en términos de las componentes de la corriente en la fase a, haciendo uso de componentes simétricas de la siguiente manera: ( )0 ( )1 ( )2 b b b fb I I I I r r r r + + = (3.2.3.4-9) ( )1 ( )2 2 0 a a fb a I aI I r r r + + = (3.2.3.4-10)
(
2)
( )1 a fb a a I I r r − = (3.2.3.4-11)está dada por: kc kb f fbZ V V I r r r − = (3.2.3.4-12) ( ) ( ) ( )
(
0 1 2)
(
( )0 ( )1 ( )2)
kc kc kc kb kb kb f fbZ V V V V V V I r r r r r r r + + − + + = (3.2.3.4-13)Los componentes de secuencia cero se hacen cero, y por componentes simétricas a la ecuación anterior se le puede aplicar la transformación:
( ) ( )
(
1 2)
(
( )1 ( )2)
kc kc kb kb f fbZ V V V V I r r r r r + − + = (3.2.3.4-14) ( ) ( )(
2 1 2)
(
2 ( )1 ( )2)
ka ka ka ka f fbZ a V aV a V aV I r r r r r + − + = (3.2.3.4-15)(
2)
(
( )1 ( )2)
ka ka f fbZ a a V V I r r r − − = (3.2.3.4-16)Como se tenía que:
(
)
( ) f a f fbZ a a I Z I 2 1 r r − = (3.2.3.4-17) Se tiene entonces: ( )1 ( )1 ( )2 ka ka f a Z V V I r r r − = (3.2.3.4-18)O sea existe una caída de tensión debido a la impedancia Z( )fka2 que se debe de tomar en cuenta. El circuito equivalente de Thévenin para representar la falla de línea a línea es la siguiente:
Figura 3. 14: Circuito equivalente para una falla de línea a línea
La ecuación para la corriente de falla de la fase “a” para sus componentes está dada por:
38 ( ) ( ) ( ) ( ) f kk kk f fa fa Z Z Z V I I + + = − = 2 1 2 1 r r r (3.2.3.4-19)
3.2.3.5 Falla de doble línea a tierra
Una falla de doble línea a tierra, que ocurre en las fases “b” y “c” de la red se representa de la siguiente manera:
Zf a b c Ia=0 Ifb Ifc
Figura 3. 15: Representación de una falla bifásica a tierra
Igual que en el caso analizado anteriormente se tiene que la corriente de falla de la fase a es igual a cero.
Como Vkb Vkc
r r
= las tensiones de secuencia para la fase “a” en la barra “k” se pueden
calcular de la siguiente manera:
abc 1 012 V V =A− (3.2.3.5-1) = kb kb ka ka ka ka V V V a a a a V V V r r r r r r 1 1 1 1 1 3 1 2 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( (3.2.3.5-2) Despejando se obtiene:
