soluciones ejercicios logaritmos

Ejercicio 20 Resuelve: ) log 100 a  2 b) log 100 000 5 ) log 0'1 c  1 d) log 0'000 001 6 27 ) log 10 e   27 2 ) log 10 f  2 6 ) log 36 g  2 h) log 8₈    11 3 ) log 3 i  11 j) log 0 '5₂  1 Ejercicio 21 Resuelve: 4 ) log 2

a Igualamos a x y aplicamos la definición: log 24 4 2

x x    ;

 

      _{; por tanto:} log 2₄ 1

2 

) log 10

b Igualamos a x y aplicamos la definición: log 10  x  10x  10;

1 2 1 10 10; 10 10 ; 2 x x x

   _{; por tanto:} log 10 1 2  3 2 2 3 ) log 8 2 2 2 x

c  x    x _{; por tanto:} log₂ 8 3 2  1 3 ₃ 3 1 ) log 3 3 3 3 x d  x    x ; por tanto: 3 3 1 log 3 3  (Continuación) 13 ) log 1 13x 1 0

e  x    x ; por tanto: log 113  0 3 2 125 1 ) log 0 '125 2 0 '125; 2 2 3 1000 8 x x f  x        x  _;

1 5 2 1 ) log 0 ' 2 5 0 ' 2; 5 5 1 10 5 x x g  x       x  ; por tanto: 5 log 0 ' 2 1 3 1 3 1 ) log 27 27; 3 3 3 3 x x h  x _{ }     x    ; por tanto: 13 log 27  3 4 1 3 1 1 1 ) log ; 3 3 4 81 3 81 x x i  x  _{ }      x    ; por tanto: 13 1 log 4 81 3 2 1 10 1 3 ) log 1000 1000; 10 10 10 2 x x j  x_ _     x    ; por tanto: 1 10 3 log 1000 2   Ejercicio 22

a) Halla la base en la cual el logaritmo de 16 es 2:

2 2 2

log 16_x 2  x 16; x 4  x4 b) Halla la base en la cual el logaritmo de 125 es 3:

3 3 3

log 125_x 3  x 125; x 5  x 5 c) Halla la base en la cual el logaritmo de 729 es 3:

 

3 3 6 3 2

log 729_x 3  x 729; x 3 ; x  3  x9 d) Halla la base en la cual el logaritmo de 27 es -3:

3 3 3 3 3 3 1 1 1 log 27 3 27; 3 ; 3 3 3 x x x x x              _{ }    

Ejercicio 23

Calcula el valor de x en las siguientes igualdades:

) log 3 a x   ; aplicando la definición: 3 3 1 1 10 ; 10 1000 x x x      ) log 0 '5_x 4 b  ; aplicando la definición: 4 4 4 ₄ 1 1 0 '5 0 '5 ; ; 2 2 x   x  x  x  1 2 ) log 32 c x 5 5 ₂ 1 1 5 32 2 2 2 2 2 2 x x x x               

Hay tres consecuencias inmediatas de la definición:

El logaritmo de 1 es cero (en cualquier base) basex 1 0

x

  

El logaritmo de la base es 1: log_basebasexbasex base x1

Sólo tienen logaritmo los números positivos: log N_a xax N

Como a > 0, a x 0 siempre.

(el ejercicio 24 es de calculadora)

Ejercicio 25

Aplicando propiedades (de momento sólo conoces una), obtén:





log 40 log 25 log 40 25 log1000 3

Ejercicio 26

Simplifica la expresión log

































log_ x1 1  x1 1 _

  se trata de una suma por diferencia:













log_ x1 1 _ log x 1 1  logx

Ejercicio 27

Aplicando propiedades obtén: 80

log 80 log 8 log log10 1 8

   

Ejercicio 28

Sabiendo que logxlog y 1, encuentra la relación que existe entre x e y:

logxlog y 1; aplicando la propiedad del cociente: log 1 x y  ; y por la definición de logaritmo: 101 10; 10

x x

x y

y y

   

Ejercicio 29

Aplicando propiedades obtén:

1 2

4 4 4

1 1 1

log 4 log 4 log 4 1

2 2 2

    

Ejercicio 30

Sabiendo que log 2 0 '3, calcula:

3

) log 8 log 2 3 log 2 3 0 '3 0 '9

a      

10

) log 5 log log 10 log 2 1 0 '3 0 '7 2

b      

3 3

3

5 2

) log 125 log log 1000 3 log 2 3 3 0 '3 2 '1 2

c        

6

64

) log 0 '64 log log 2 log 100 6 0 '3 2 0 ' 2 100

Ejercicio 31

Sabiendo que log 50 ' 69, calcula:

) log 500 log 5 log 100 0 '69 2 2 '69

a     

5

) log 0 '5 log log 5 log 10 0 '69 1 0 '31 10

b       

Ejercicio 32

Opera (sin calculadora):

) log 2 log 5 log 10 1

a   

40 5 200

) log 40 log 5 log 20 log log log 10 1

20 20

b       





3

5 5 3 6

) log 25 log 4 log 1000 log100 log10 2 1

5 5

c       

Ejercicio 33

Simplifica las siguientes expresiones:

) 2 log 5 log 4 log 10_{a a a} log 25 4 log 10_{a a} log 10_a

a      

3

1 1 12 12

) log 12 log 9 log 8 log log log 2

2 3 9 8 3 2 a a a a a a b _  _       4 3

) log log 4 log 3log log

c x  x  x x x

) 1 log 2 log 10 log 2 log 20

d    

) 3 log 2 log 1000 log 2 log 500

e    

3

) log 2 log 3log 2 log 5 log

Ejercicio 34

Expresa la propiedad anterior con una expresión matemática:

log

A



log

B



A



B

Ejercicio 35

Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones: ) log 2 log 3 log 2 log 5

a A x y

2 3 2

log Alogx log y log 5

2 3

log Alog 25x log y

2 3 25 log A log x y  _{; tomando antilogaritmos:} 2 3 25x A y 









) log log log

b B x y  x y







logB log_ x y x y _





logB log x y ; tomando antilogaritmos: B x2 y2

) log 3log log 32 log 2 x

c C  x 

3 5 1

logC logx log 2 log 2 x





3 5 1

logC logx  log 2 log 2 x

3 2

4

log log log log

2 16 x x C C x    _{; tomando antilogaritmos:} 2 16 x C  Ejercicio 36

Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones:

2 3 4

)

a A x y z log Alog





2 3 4

log Alog x log y log z log A2 log x3 log y4 log z

3 4 2 ) a b b B c  3 4 2 log B log a b c 





log B log a b log c

log B 3loga4 logb2 logc

2 3 5 ) mn c C ñ o  1 2 ₃ 5 logC log mn ñ o    _{ }  









log log log

3

C  _ mn  ñ o _





1

log log 2 log 5 log log 3

C  _ m n ñ o _





1

log log 2 log 5 log log 3