1 GUÍA N°2 DE CÁLCULO I
Composición y Límites de funciones I Composición de Funciones
Dadas dos funciones
f
yg
, la función compuestaf
g
está definida por 𝑓�𝑔(𝑥)� En otros palabras: Sean dos funciones 𝑓 y 𝑔, donde 𝑓 depende de 𝑔 y 𝑔 depende de la variable 𝑥Al componer 𝑓 con 𝑔, es decir 𝑓𝑓𝑔, se obtiene que 𝑓 depende de la variable 𝑥.
1. Determine f(x) de las siguientes funciones:
a) x
e
x
g
g
g
f
=
=
)
(
4
)
(
b)15
3
8
)
(
)
(
3 5 13−
−
=
=
x
x
x
g
g
g
f
c)5
2
)
(
)
log(
)
(
+
=
=
x
x
g
g
g
f
2. El costo unitario en dólares de la fabricación de 𝑛 motos para Cross country, se describe con la función
C
(
n
)
=
14320
e
−0,031⋅n+
1120
, donde n ∈{
96,97,...,120}
Además se sabe que hasta inicios del 2012, la cantidad de motos fabricadas ha dependido de año de funcionamiento de la empresa. Esta variación se puede analizar mediante el siguiente modelo matemático
n
(
t
)
= t
2
+
96
, dondet
son los años trascurridos a partir del 2000.a) ¿Cuántas motos se fabricaron a inicios del 2001? ¿y cuál fue el costo unitario? b) Determine 𝐶(𝑡)
c) Interprete la función
C
(t
)
indicando unidades de medidad) Escriba dominio contextualizado
C
(t
)
e) ¿Cuál fue el costo unitario de fabricación a inicios del 2007?
𝒇
Depende
𝒈
Depende
𝒙
Depende
𝑓(𝑔)
𝒇(𝒙)
2 3. Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar y establece un
modelo que indica que la cantidad de kilógramos embalados por día depende de la cantidad 𝑛 de personas que trabajan, según:
( )
n n nk =30⋅3 +5 , donde n ∈
[
1,343]
Además se sabe que el ingreso total en pesos que se percibe por la exportación de la fruta embalada está dado por:
k
k
I
(
)
=
570
, donde k ∈[
35,1925]
a) ¿Cuántos kilos de fruta son embalados por 100 trabajadores? ¿Cuál sería el ingreso?
b) Determine 𝐼(𝑛)
c) Interprete la función 𝐼(𝑛) (siempre indicar unidad de medida) d) ¿Cuál es el ingreso si trabajan 150 personas?
4. El número de viviendas construidas
N
depende de la tasa de interés hipotecaria 𝑟de acuerdo con la función:
2
100
50
)
(
r
r
N
+
=
DondeN
está en millones de viviendas.La tasa de interés actualmente está en 12% y se predice que disminuirá a 8% en los siguientes 2 años de acuerdo con la función:
24
8
12
)
(
+
−
=
t
t
t
r
Dondet
es el tiempo medido en meses.a) Exprese el número de viviendas en función del tiempo. b) ¿Cuál es el número de viviendas en este instante?
c) ¿Cuál es el número de viviendas transcurrido 1 año y 6 meses? ¿y cuál será la tasa de interés?
3 5. La velocidad de reacción de un químico (grados Celsius por segundo) depende de
la temperatura 𝑇 (en grados Celsius) de acuerdo con la función
100
3
2T
T
R
=
+
⋅
.Si 𝑇 varía con el tiempo de acuerdo a
T
=
0
,
5
(
t
+
1
)
, donde 𝑡 representa el tiempoen segundos.
a) Exprese la velocidad de reacción en función del tiempo. b) ¿Cuál es la velocidad de reacción a los 5 segundos?
6. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será
C
(
p
)
=
0
,
4
p
+
1
partes pormillón (ppm) cuando la población sea
p
miles. Se estima que ent
años lapoblación de la comunidad será 2
2
,
0
8
)
(
t
t
p
=
+
miles.a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo. b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años, a partir de hoy?
c) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el nivel de monóxido de carbono alcance las 6,2 partes por millón?
7. La cantidad de unidades
y
, que venderá un fabricante dependerá del precio unitariop
del artículo (en dólares) y se modela con la siguiente función:p
p
y
2
3
300
)
(
=
−
, donde p∈[
10,200]
Además se sabe que el ingreso semanal en dólares está dado por la función:
2
100
1
)
(
y
y
I
=
, donde y∈[
0,285]
a) Determine 𝐼(𝑝) b) Interprete la función 𝐼(𝑝)c) Si el precio unitario es de US10 y US 200 ¿Cuál será el ingreso semanal respectivo?
4 II Límites de funciones
Para tener una visión intuitiva del concepto de límite de una función revisemos los siguientes ejemplos.
Un avión para aterrizar sobrevuela un pista (variable 𝑥 longitud que recorre de la pista) mientras que su altura va disminuyendo (variable 𝑓(𝑥)). A medida que la variable 𝑥 aumenta 𝑓(𝑥) disminuye hasta hacerse cero. En este caso el límite de la altura 𝑓(𝑥), cuando la distancia 𝑥 crece es cero, en otras palabra tenemos
Un segundo ejemplo. Una persona se contagia de una enfermedad y entra en contacto con varias personas que a su vez se contagian y estas contagian a aquellas con las que se cruzaron ¿Cuánta gente se contagiará de la enfermedad?
Un inicio apropiado para responder esta pregunta es recopilar los datos y graficarlos obteniendo lo siguiente.
Vemos que aunque el número de contagios 𝑓(𝑡) puede continuar creciendo a medida que aumenta el tiempo (variable 𝑡 ) nunca sobrepasa el número 700. En este caso el límite de la cantidad de contagiados 𝑓(𝑡), cuando el tiempo 𝑥 crece es 700, en otras palabra tenemos
𝐥𝐥𝐥 𝒕→∞𝒇(𝒕) = 𝟕𝟕𝟕
Distancia X
Altura f(x)
𝐥𝐥𝐥
𝑿→∞𝒇(𝒙) = 𝟕
5 II.1 Límite mediante a aproximaciones
8. Es costo en dólares de producción de x cantidad de artículos se modela mediante la siguiente función
(
)
=
400
+
20
x
x
C
a) ¿Cuál es el costo de producción al fabricar 2, 20 y 200 artículos?
b) ¿Qué ocurre con el costo de producción a medida que la fabricación de artículos crece indefinidamente? Para responder puede completar la siguiente tabla.
x
1.000 10.000 1.000.000 10.000.000)
(x
C
9. El porcentaje de interés por cuentas por cobrar asociados al uso de tarjetas de créditos de un banco después de t meses de la obtención de la tarjeta está dado por la función P(t) = 0,9(1 − 3−0,08t)
a) ¿Qué % de interés se espera al finalizar el primer año? b) Determine
lim
P
(
t
)
t→∞ , para ello puede utilizar la siguiente tabla de valores
t
10 100 1.000 1.000.000)
(t
6 c) Interprete el valor del límite, obtenido en la pregunta anterior
II.1 Límites al Infinito Elementales.
i) , Si 𝑛 > 0 y 𝐶 es un número real
ii) , Si 𝐶 es un número real
10. Es costo en dólares de producción de x cantidad de artículos se modela mediante la siguiente función
(
)
=
400
+
20
x
x
C
a) Determine
lim
C
(
x
)
x→∞ utilizando tabla e límites al infinito elementales b) Interprete el valor del
lim
f
(
x
)
x→∞
11. Se modela la preparación de un deportista que correrá 100 metros planos con la
función
15
2
,
0
10
3
)
(
2 2+
+
−
−
=
x
x
x
f
, dondef
(x
)
son los segundos que se demora enllegar a la meta después de
x
días de entrenamiento.a) Si su entrenamiento dura 6 días ¿En cuánto tiempo se estima que llegue a la meta?
b) Determine
lim
f
(
x
)
x→∞ (utilice límites al infinito elementales) c) Interprete el valor del
lim
f
(
x
)
x→∞
12. Una empresa consultora ha determinado que el número de mini-markets existentes en una ciudad se puede representar por la función
3 2 3
2
25
1
120
45
12
)
(
x
x
x
x
x
M
+
+
+
−
=
dondex
son los años transcurridos.a) ¿Cuántos de estos negocios habrá, transcurridos 11 años? b) ¿Cuántos de estos negocios habrá a largo plazo?
lim 𝑥→∞ 𝐶 𝑥𝑛= 0 lim 𝑥→∞𝐶 = 𝐶
7 13. El diámetro de la pupila (en milímetros) puede obtenerse a partir de la función
f(x) =
160+90x4+15x0,40,4, dondex
es la intensidad luminosa.¿Qué ocurre con el diámetro de la pupila si la intensidad luminosa aumenta en
forma indefinida?
14. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis1, x días
después del primer caso reportado, está dado por la función
P(x) =
100x 2x2+32.a) Determine
lim
P
(
x
)
x→∞
b) Interprete el valor del
lim
P
(
x
)
x→∞
15. La Federación de caza de cierto estado introduce 50 ciervos en una determinada
región. Se cree que el número de ciervos crecerá siguiendo el modelo
f(x) =
1+0,04x50+30x , donde x es el tiempo transcurrido en añosa) Calcule la cantidad de animales que habrá dentro de 10 años
b) ¿A cuántos animales se podrá llegar a medida que transcurre el tiempo indefinidamente?
1 La mononucleosis también conocida como enfermedad del beso es causada por un virus perteneciente a la
misma familia del virus del herpes. Aparece más frecuentemente en adolescentes y adultos jóvenes, y los síntomas que la caracterizan son fiebre, faringitis o dolor de garganta, inflamación de los linfonodos y fatiga
8
SIGUE PRACTICANDO:
16. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, es una función que depende del número de trabajadores, que viene dada por
5
8
+
= m
P
. Además el ingreso total (en dólares) al vender las unidadesproducidas, está dada por la función
I
=
60
P
, determine:a) Determine el ingreso total en función del número de trabajadores b) ¿Cuál es el ingreso si trabajan en la producción 35 personas?
17. Se sabe que el precio de un artículo en miles de pesos a medida que transcurre el tiempo t (en meses) está dado por la función
P(t) =
5t13+t+10a) ¿Cuál es el precio del artículo transcurrido 10 meses? b) Determine
lim
P
(
t
)
t→∞
c) Interprete el valor del
lim
P
(
t
)
t→∞
18. En una academia de mecanográfica, el número promedio de palabras por minutos luego de t semanas prácticas, está dado por
N(t) =
1+5e157−0,12ta) Determine el número promedio de palabras por minuto que pueden escribir una persona luego de haber recibido lecciones durante 10 semanas
b) Determine el número promedio de palabras por minuto que pueden escribirse cuando el estudiante practica indefinidamente
1 SOLUCIONES GUÍA N°2
Composición y Límites de funciones N°1 a)
(
f
g
)( )
x
=
4
e
x b)(
)( )
(
5 3)
1315
3
8
−
−
=
x
x
x
g
f
c)(
f
g
)( )
x
=
log
(
2
x
+
5
)
N°2 a) A inicios del 2001 se fabricaron 98 motos, cuyo costo unitario es de US
1.806,37
b) C(t)=14320e−0,031(−2t+96) +1120
c) La función C(t) indica el costo unitario en dólares por la fabricación
de motos que depende de los años transcurridos
d)
dom
C
(t
)
:
[
0
,
12
]
e) El costo unitario de fabricación iniciando el 2007 fue de aproximadamente de US 1593,15
N°3 a) 100 trabajadores embalan aproximadamente 639,25 kilogramo de fruta,
cuyo ingreso será de $364.371 aprox. b)
I
( )
n
=
570
⋅
(
30
⋅
3n
+
5
n
)
c) El ingreso total en pesos por la venta de frutas dependiendo de la
cantidad de trabajadores n está dado por la función
d) El ingreso del fundo si trabajan 150 personas será de $518.357 aprox. N°4 a) 2
24
8
12
100
50
)
(
+
−
+
=
t
t
t
N
b) La cantidad de viviendas construidas hoy es de 204.918 aprox
c) En un año y medio se estima que la cantidad de viviendas sea de 288.235 aproximadamente, con una tasa de interés de un 8,6%
2 N°5 a)
(
)
100
5
,
0
5
,
0
3
5
,
0
5
,
0
)
(
2+
+
+
=
t
t
t
R
b) A los 5 segundos la velocidad de reacción es de
0
,
142
º
C
s
aprox. N°6 a)(
)
=
0
,
4
(
8
+
0
,
2
2)
+
1
t
t
C
b) En 2 años se estima que el nivel de monóxido de carbono sea de 4,52
partes por millón.
c) Se estima que en 5 años el monóxido de carbono sea de 6,2 partes por millón N°7 a) 2
2
3
300
100
1
)
(
−
=
p
y
I
b) El ingreso semanal en dólares está dado o depende del precio
unitario en dólares de las unidad vendidas
c) Si el precio unitario es de US10 el ingreso será de US812,25, y si es de US200 el ingresó es US0
N°8 a) El costo de producción al fabricar 2, 20 y 200 artículos será
respectivamente de 220, 40 y 22 dólares
b) Entre más artículos se fabriquen el costo de producción tiende a ser de 20
dólares.
x
1.000 10.000 1.000.000 10.000.000)
(x
C
20,4 20,04 20,0004 20,00004N°9 a) Al finalizar el primer año el % de interés se estima en 0,59%
b)
p
(t
)
0,526280 0,899862 0,9 0,9 0,9 0,99
,
0
)
(
lim
=
∞ →P
t
tc) A largo Plazo (o a medida que transcurre el tiempo) se estima que el % de interés de cuentas por cobrar llegará a un 0,9%
3
N°10 a)
lim
(
)
=
20
∞
→
C
x
x
b) Entre más artículos se fabriquen el costo de producción tiende a ser de 20 dólares.
N°11 a) Si entrena 6 días se demorará 12,7 segundos aproximadamente en llegar a la meta
b)
lim
(
)
=
10
∞
→
f
x
x
c) Si entrena en forma indefinida, se estima que su tiempo para llegar a la meta será de 10 segundos
N°12 a) Transcurridos 11 años se estiman 28 negocios
b)
lim
(
)
=
60
∞
→
M
x
x
A largo plazo se estima que la cantidad de mini-markets llegue a los 60 locales
4
N°13
lim
(
)
=
6
→∞
f
x
x
Si la intensidad luminosa aumenta indefinidamente se espera que el diámetro de la pupila sea de 6 mm
N°14 a)
lim
(
)
=
0
∞
→
P
x
x
b) A largo plazo se estima que el % de estudiantes enfermos disminuya a un 0%
N°15 a) Se estima que a los 10 años existirán 250 ciervos
5 N°16 a)
I
(
m
)
=
60
(
8
m
+
5
)
b) Si hay 35 trabajadores el ingreso será de $17.100
N°17 a) Trascurrido 10 meses el precio del artículo será de $2.609
aproximadamente.
b)
lim
(
)
=
5
∞
→
P
x
t
c) A largo plazo se estima que el precio del artículo será de $5.000
N°18 a) Si la persona se prepara 10 semanas, se espera que escriba en promedio 63 palabras por minuto
b) Si la persona practica en forma indefinida, se espera que en promedio escriba 157 palabras por minutos
