Matem´atica 61
Agronom´ıa
2014
Introducción
Esta guía de trabajos prácticos corresponde a la materia Matemática 61 del Ciclo Básico Co-mún que se dicta para carreras de la Facultad de Agronomía. La materia fue especialmente diseñada a pedido de la Facultad para incluir las herramientas básicas de matemática nece-sarias para sus carreras. Esencialmente, los temas a estudiar son los conceptos clásicos del análisis matemático en una variable, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y una primera noción de combinatoria y probabilidad.
Todos los temas se desarrollarán en clase con la teoría correspondiente, varios ejemplos y resolución de ejercicios. El trabajo del alumno consiste en estudiar los conceptos y las explica-ciones dados y resolver todos los ejercicios de esta guía, de forma tal que, en el momento de las evaluaciones, sea capaz de resolver en forma correcta ejercicios similares sobre los temas explicados. Durante las clases también se dedicará cierto tiempo a consultas individuales o colectivas de los alumnos para disipar las dudas que puedan surgir.
El contenido de la materia se dará completamente en clase, por lo que no es obligatorio el uso de bibliografía. Sin embargo, se sugieren a continuación algunos textos que, si bien no se adecuan estrictamente al programa de la materia, pueden servir para ahondar, repasar o ver otro enfoque de algunos temas, así como para obtener más ejercitación.
Libros de consulta
• ALLENDOERFER, Carl B. y OAKLEY, C. Matemáticas Universitarias. McGraw - Hill. • de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 1. ANAYA. • de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 2. ANAYA. • de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 3. ANAYA. •de GUZMÁN, Miguel y COLERA J. Matemática II. C.O.U. ANAYA.
• PROFESORES DEL ÁREA MATEMÁTICA DEL CBC. Matemática Teórica. CCC Educando. • PURCELL, Edwin J. y VARBERG. D. Cálculo Diferencial e Integral. Prentice Hall.
• SPIEGEL, Murray R. Cálculo Superior. McGraw - Hill. • ZILL, Dennis G. Álgebra y Trigonometría. McGraw - Hill.
Práctica 0
Preliminares
Ejercicio 1. Calcular: a) 5 6 + 2 3− 3 4+ 1 6 b) 2 3+ 1 5 5 2 + 5 6 c) 4 3− 2 9 −15 6+ 1 2 2 d) 4+53−9 : 102−70 e) 1 8+ 2 5 5 2 : 1 4 f ) 132(5+1, 2)−5, 8 2+52 :(3+2, 1) g) √ 9+16 15 + 2 3 !1 2 h) 4 9 −12 + 1 16 3 4 i) −15 0 + 3 r −278 j) "1 5 31 5 4#27 k) " 2 5 6 : 2 5 4#−1 l) 849 −32Ejercicio 2. Reducir cada expresión a una sola fracción:
a) 4− 5x b) 2−2x3+1 c) 2x√x− x2 2√x x d) x x−4+ − 3 4−x e) 2x+5−1 25 −2x f ) 2 x2 +3x g) 5x2+15x 2x+6 : 1+ 5 2x h) x+2 3x−12+ 2x−1 4−x
Ejercicio 3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: a) 2x+5=9 b) 4x−11=−5x+7 c) 3− x 2 =−1 d) 5 x+2=−3 e) 6x2−12 3x−4 =2x f ) 3+x= x−2 g) 10 x+2 =5 h) 4 x−2− x 2x−4 = 7 3x−6 i) 3x−7 x+6 =−2 j) x+ 5 x−2 = x+3 x−2 k) 3x−2 7x =0 l) x2−3x =x2+5x−2 m) x+1 2 + x 3 = x 2+ 1 6 n) 5 x−3+x =3+ 5 x−3 Ejercicio 4.
a) Desarrollar cada expresión:
i)(x−5)2 ii)(x+7)2
iii)(x−3)(x+1) iv)(x−y)(x+y) b) Escribir en cada caso como producto de dos factores:
i) x2−81 ii) x3−11x iii) x4−16 iv) x4+3x3+5x2 v) x2−10x+25 vi) 4x2−9
Ejercicio 5. Decidir, en cada caso, si las expresiones dadas son iguales para todos los posibles
valores de a , b , c y d especificados. En caso de no ser iguales, encontrar valores fijos que hagan que las expresiones sean distintas:
a)√ab y √a√b (a, b≥0) b)√a+b y √a+√b (a, b ≥0)
c) √1a y √ a a (a>0) d)(a+b)2 y a2+2ab+b2 e)(a+b)2 y a2+b2 f) a+b a y 1+ b a (a6= 0) g) a+b c y a c + b c (c 6=0) h) 1 a+b y 1 a + 1 b (a6= 0 , b6=0 , a+b6=0) i) a53 y √3 a5 j) a2−b2 y (a−b)(a+b) k) a−1 y 1 a (a6= 0) l) a−1 y −a (a6= 0) m) a b −1 y b a (a6= 0, b6=0) n) a b : c d y ad bc (b 6=0, c6=0, d6= 0)
Ejercicio 6. En cada uno de los siguientes casos, escribir en lenguaje algebraico la información
relativa a un rectángulo utilizando la base b y la altura h : a) La base excede en 2 unidades a la altura.
b) El perímetro del rectángulo es de 50 cm. c) La base es el doble de la altura.
d) El área del rectángulo es de 200 cm2.
e) La diagonal del rectángulo mide 5 cm. f) El rectángulo es un cuadrado.
g) La altura es igual a 2
Ejercicio 7. El Gran Mago me dijo:
• Pensá un número. • Sumale 7.
• Multiplicá el resultado por 3. • Al número obtenido, restale 15. • Dividí por 3.
• Sumá 2.
• Decime el resultado.
Le dije 53 y, de inmediato, el Gran Mago dijo “Pensaste el 49”. ¿Cómo hizo el Gran Mago para responder tan rápidamente?
Ejercicio 8. Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente:
a) El área de un triángulo es base por altura dividido por 2. i) 7−3a b) 7 menos el triple de un número. ii) a
3−b c) La diferencia de dos cuadrados. iii) (a−b)2 d) El triple de un número menos 7. iv) A= bh
2 e) El cuadrado de la diferencia de dos números. v) 3a−7 f) La diferencia de dos números dividida por 3. vi) a2−b2
g) La tercera parte de un número menos otro. vii) a−b 3
Ejercicio 9. ¿Cuántos minutos hay en 3
8 de día?
Ejercicio 10. ¿Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco sextas partes de la
mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero?
Ejercicio 11. Un automóvil cuesta hoy $ 63000 . Si cada año pierde el 10 % de su valor, calcular
cuánto valdrá dentro de dos años.
Ejercicio 12. Una pastilla que pesa 2 g contiene 25 % de aspirina, 35 % de vitamina C y el
Ejercicio 13. Un patio rectangular mide 24 m de perímetro. Si el largo es tres veces el ancho,
¿cuánto miden el largo y el ancho del patio?
Ejercicio 14. María tiene 36 años y Juan, 8. ¿Dentro de cuántos años la edad de María será el
triple de la edad de Juan?
Ejercicio 15. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas:
a) Si a≥3 y a≤3 entonces a =3 . b) Si a=2 entonces a2 =4 . c) Si a2=4 entonces a =2 . d) Si a=2 entonces a ≥2. e) Si a.b=0 entonces a =0 o b=0 . f) Si a.b=0 entonces a =0 y b=0 . g) Si a=0 y b=0 entonces a.b=0 . h) Si a=0 o b=0 entonces a.b=0 . i) Si a2=3 entonces a4−3a2 =0 . j) Si a4−3a2 =0 entonces a2 =3 . k) Si a4−3a2 =0 y a 6=0 entonces a2=3 . l) Si a>1 entonces a >0 . m) Si a>0 entonces a ≥1 .
ALGUNAS RESPUESTAS 1. a) 7 12 b) 3 c) 8 5 d) 4 e) 21 4 f) 10 g) 1 h) 13 8 i)− 1 2 j) 1 25 k) 25 4 l) 1 4 2. a) 4x−5 x b) 4x−1 2x+1 c) 3√x 2 d) x+3 x−4 e) −4x2−8x−20 1−2x f) 2+3x3 x2 g) 5x2 2x+5 h) 5−5x 3(x−4) 3. a) x =2 b) x =2 c) x=8 d) x =−1 e) x = 3 2 f) No hay solución. g) x =0 h) x = 10 3 i) x =−1 j) x =1 k) x = 2 3 l) x = 1 4 m) x =−1 n) No hay solución.
7. Si x es el número que pensé, la cuenta que me hizo hacer el Mago es 3(x+7)−15
3 +2 = x+4 . Es decir, para responder rápidamente, debe restarle 4 al número que le dije.
9. 540 minutos.
10. El primero come 5
12 de la pizza, el segundo 7
16 de la pizza, que resulta ser una porción mayor que la del primero.
11. $ 51030 .
12. 0, 5 g de aspirina, 0, 7 g de vitamina C y 0, 8 g de excipiente. 13. 9 m de largo y 3 m de ancho.
Práctica 1
Números reales
Ejercicio 1. Representar en la recta real:
a) Todos los números enteros x tales que x(x−1) = 0 . b) Todos los números naturales x tales que x2−16=0 .
c) x∈ R/(5−2x)(x2−9) = 0 d) x∈ N/x2−6x+9=0 e) x∈ R/x3−6x2+9x =0 f ) x∈ R/x2+10=0
Ejercicio 2.
a) En cada caso, decidir si los números a y b pertenecen al conjunto C : i) C ={x ∈R/3x−2<4} a=5 b =0 ii) C ={x ∈R/−2<x ≤8} a=−3 b =4 iii) C=x ∈R/x2−25 >0 a=0 b =5 iv) C =x ∈R/x3−x >10 a=5 b =−1 v) C = x ∈R/x−1 2 −x ≤ 1−x 4 −3 a=9 b =4
b) En cada caso, dar dos números que pertenezcan y dos que no pertenezcan a A : i) A={x ∈R/−2< x≤4} ii) A =x ∈ R/x2 >5
Ejercicio 3. Escribir cada conjunto como intervalo, unión de intervalos disjuntos o por
exten-sión y representarlo en la recta real:
a) El conjunto A de todos los números reales menores que 2 .
b) El conjunto B de todos los números reales mayores o iguales que −1 .
c) El conjunto C de todos los números enteros mayores que −3 y menores o iguales que 7. d) El conjunto D de todos los números reales mayores que −3 y menores o iguales que 7 .
e) El conjunto E de todos los números reales que no son menores que 5 .
h) H={x ∈ R/x<0 y x ≥1} i) I ={x∈ R/x≥1 y x ≥3} j) J ={x∈ R/x<−1 ó x≥5} k) K ={x ∈R/x<3 ó x >0}
Ejercicio 4. Escribir en cada caso el conjunto resultado como intervalo, unión de intervalos
disjuntos o por extensión y representarlo en la recta real:
a) A= (−1 ; 5)∪ [4 ; 7, 3] b) B= [−2 ; 3, 5]∩ (0 ; 4) c) C = [−2 ; 4]− (0 ; 6) d) D = (−∞ ; 4]∩ (0 ; +∞) e) E ={1; 2; 4; 5} ∩43 ; 9 2 f ) F= −2 ; 31 3 − (0 ; 6) g) G=N ∩ (1, 5 ; 7) h) H= (−∞ ; 3)∩ [3 ; +∞) i) I = (−∞ ; 3]∪ [3 ; +∞)
Ejercicio 5. Escribir en cada caso el conjunto dado como intervalo, unión de intervalos
dis-juntos o por extensión y representarlo en la recta real:
a) A={x ∈R/5+x<−x+3} b) B={x ∈ R/8−2x <3} c) C ={x ∈R/3x−2≤3x+5} d) D ={x ∈ R/5−x <−x+3} e) E= x∈ R/x−1 2 −x < 1−x 4 −3 f ) F ={x∈ R/−1≤x <4}TZ g) G={x ∈ R/2x−1 <0} T {x ∈R/3x+2≤ −x−5} h) H= x ∈ R/5x−3> 1 2−x S {x∈ R/3<2x−1 ≤7} i) I ={x∈ R/3<2x−1≤7} − {x ∈ R/−11 ≤1−3x <−2}
Ejercicio 6. Representar en la recta real cada uno de los siguientes conjuntos. Escribir en cada
caso el conjunto dado como intervalo, unión de intervalos disjuntos o por extensión: a) El conjunto A de todos los números reales que están a distancia 3 del 0.
b) El conjunto B de todos los números reales cuya distancia al 0 es menor o igual que 5. c) El conjunto C de todos los números reales cuya distancia al 3 es mayor que 2.
d) D ={x∈ R/|x| = 4} e) E ={x ∈R/|x| <3} f ) F ={x∈ R/|x| = −2} g) G ={x ∈ R/|x| ≥5} h) H={x ∈ R/|x+3| −5 =−2}
Ejercicio 7.
a) Representar en el plano los siguientes puntos:
P = (3, 1); Q= (−4, 2); R= (0, 2); S= (−1, 0); T = 5, 1 2 y U = −32,−2 . b) Para los puntos del ítem anterior, hallar las coordenadas de sus simétricos con respecto
al eje x y al eje y y representarlos en el plano.
Ejercicio 8. Representar en el plano los siguientes conjuntos:
a) El conjunto A de puntos de abscisa 8.
b) El conjunto B de puntos de abscisa positiva o nula. c) El conjunto C de puntos de abscisa y ordenada positiva.
d) El conjunto D de puntos de ordenada mayor o igual que −1 y menor que 5 .
Ejercicio 9.
a) Hallar la distancia entre los puntos P y Q en cada caso: i) P= (3, 2), Q = (7, 5)
ii) P= (−1, 0), Q= (3,−2) iii) P= (0,−2), Q= (−4, 1)
b) Hallar el perímetro del triángulo de vértices P= (−2, 1), Q = (1,−3) y R= (−2,−3).
Ejercicio 10.
a) Dar cinco puntos del plano que estén a distancia 2 del punto P= (3, 1). Graficar. b) Hallar todos los puntos del eje x que estén a distancia 5 del punto P= (1, 3). Graficar. c) Decidir si existe algún punto del eje x a distancia 2 del punto P = (2,−3). Justificar
gráficamente.
Ejercicio 11.
a) Hallar todos los puntos de la forma P = (a,−2) con a ∈ R que están a distancia 5 del punto Q= (0, 1).
b) Hallar todos los puntos de la forma P = (a, a) con a ∈ R que distan 13 del punto Q= (5,−12).
c) Hallar todos los puntos de la forma P = (a, 2a−1) con a ∈ R que están a distancia 5 del punto Q= (3, 3).
Ejercicio 12. Dar una ecuación que caracterice a todos los puntos (x, y) del plano que equi-distan de los puntos P= (0, 0) y Q = (4, 0). Graficarlos.
Práctica 2
Funciones: generalidades - Algunas funciones usuales
Ejercicio 1. Un avión tarda 60 minutos en llegar desde Buenos Aires hasta Bahía Blanca. El
si-guiente gráfico describe aproximadamente la altura en metros del avión en función del tiempo durante el viaje: 60 1000 2000 3000 4000 5000 10 20 30 40 50
A partir del gráfico, responder:
a) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó el avión? ¿Cuánto tiempo voló a esa altura? b) ¿Cuánto tardó en llegar a la altura máxima?
c) ¿A qué altura se encontraba a los 30 minutos de partir? d) ¿Cuántas veces estuvo a 3000 m de altura?
e) ¿En qué momentos subió? ¿En qué momentos bajó? f) ¿Cuántas veces voló a altura constante?
Ejercicio 2.
a) Sea f(x) = −x2+4x−5 . Calcular f(0), f(1), f(6) y f(−1). b) Sea f(x) = 4x(x+1)3. Completar la siguiente tabla:
x 2 4 −2 −3
Ejercicio 3. En cada uno de los siguientes casos, escribir Dom(f) como intervalo o unión de intervalos y decidir si −3∈Im(f): a) f(x) = x−4 6+2x b) f(x) = √ x+2 c) f(x) = −5x x2−4 d) f(x) = x+ 3 x e) f(x) = √2x−1+√1−x f ) f(x) = √ 3x x−4
Ejercicio 4. Determinar para cada una de las funciones graficadas su conjunto de ceros, los
conjuntos de positividad y negatividad y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) 1 0 f b) −4 −3 −2−1 0 1 2 g c) −2 0 2 h
Ejercicio 5. Graficar la función lineal f y decidir si el punto (1, 4) pertenece al grafico de f en cada uno de los siguientes casos:
a) f(x) = −2x+6 b) f(x) = x+4 c) f(x) = 4x d) f(x) = −3
2x+2 e) f(x) = 4
Ejercicio 6.
a) En cada uno de los siguientes casos, encontrar la función lineal f que satisface simultá-neamente:
ii) f(−1) =1 y f(3) =−5 iii) f(1) =3 y f(4) =3
b) Hallar la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por los puntos P y Q , indicando en cada caso su pendiente y su ordenada al origen:
i) P = (1, 2) Q = (3, 6) ii) P = (−2, 2) Q = (4, 5) iii) P = (2,−5) Q = (−4, 5)
c) En cada caso, hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P : i) P= (0, 2) m=3 ii) P= (−1, 3) m=−1
iii) P = (2, 5) m=0 iv) P= (2, 5) m=−3 2
Ejercicio 7. En cada caso, hallar la ecuación de la recta graficada:
a) 1 −1 2 b) 3 c) 1 −1
Ejercicio 8. Decidir, en cada caso, si existe una función lineal f de modo que los puntos P , Q y R pertenezcan simultáneamente al gráfico de f :
a) P= (−2, 5) Q = (0, 7) R= (4, 11). b) P= (−2, 5) Q = (0, 3) R= (4, 0).
Ejercicio 9. Sea f(x) =mx+5 . Encontrar el valor de m∈ R tal que f(2) =−3 . Para el valor hallado, determinar los puntos en los que el gráfico de f corta a los ejes coordenados.
Ejercicio 10. Dada la recta que pasa por (3, 2) y (4, a), a) ¿para qué valor de a la pendiente vale 8 ?
b) ¿para qué valor de a la recta corta al eje y en el punto (0, 3)? c) ¿para qué valor de a la recta pasa por el punto (2, 9)?
Ejercicio 11. Dada f(x) =2x−8 , hallar sus ceros y el conjunto de positividad, el de negati-vidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
Ejercicio 12. Encontrar la función lineal f tal que f(4) = 9 y cuyo conjunto de negatividad es (7;+∞). Para la f hallada, calcular f(10).
Ejercicio 13. Hallar el punto de intersección de los gráficos de f y g en cada caso: a) f(x) = x+2 , g(x) =−2x+8 .
b) f(x) = 1
2x−3 , g(x) = 4 .
c) f(x) =2x+1 , g es la función lineal cuyo gráfico es la recta de pendiente 4 y ordenada al origen 5 .
d) f(x) = −x−6 , g es la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente 2 .
Ejercicio 14. Escribir el conjunto A = {x ∈ R/ f(x) ≤g(x)} como intervalo o unión de in-tervalos. En cada caso, representar gráficamente en un mismo plano f y g y el conjunto A en el eje x .
a) f(x) = x+10 , g(x) =3x+2 . b) f(x) =3x+2 , g(x) =−4 .
c) f(x) = −x+1 , g la función lineal tal que g(1) = 2 y g(−2) =8 .
Ejercicio 15. La boleta mensual de luz tiene un cargo fijo de $ 25 y $ 0,02 por cada KWH
consumido.
a) Dar la función lineal que dice cuánto se debe pagar (en $) en función de los KWH con-sumidos. Representar gráficamente.
c) Si Pedro debe pagar $ 40 , ¿cuánto consumió?
Ejercicio 16. Una empresa de celulares tiene dos planes. El plan TANGO tiene un abono
men-sual fijo de $30 y además cobra $1 por cada minuto de llamada (sin minutos libres). El plan TONGO no tiene abono pero cobran $2 por cada minuto de llamada.
a) ¿Cuánto se debe pagar con cada plan si se realizan en el mes 20 minutos de llamadas? ¿Y si se realizan 60 minutos?
b) Dos personas, una abonada al plan TANGO y la otra al plan TONGO, pagaron $100 cada una. ¿Cuál de las dos habló más minutos?
c) ¿Cuántos minutos se deben utilizar para que ambos planes cobren lo mismo? ¿Cuándo conviene más cada plan?
Ejercicio 17. Para cada función f , hallar el vértice de su gráfico, calcular su imagen, los inter-valos de crecimiento y de decrecimiento y graficarla aproximadamente:
a) f (x) = x2−9 b) f (x) = (x+2)2 c) f (x) = −x2−2 d) f (x) = 3x2+12x−9 e) f (x) = 4x(x−1) +1 f ) f (x) = 1
4x2−3x−2 g) f (x) = −x2+x h) f (x) = 2x2+x−3
Ejercicio 18. Hallar en cada caso los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de
negati-vidad de f :
a) f (x) = −5(x+1) (x−2) b) f (x) = 1− (x−3)2 c) f (x) = x2−5x+6 d) f (x) = −2x2+3x−3 e) f (x) = 2x2+8 f ) f (x) = 3x2+6x+3
Ejercicio 19. En cada uno de los siguientes casos, hallar la función cuadrática f que verifica lo pedido:
a) El gráfico de f tiene vértice V = (4, 5) y pasa por el punto (3, 3). b) El conjunto de positividad de f es (0; 6) e Im(f) = (−∞; 4].
c) El intervalo de crecimiento de f es (3;+∞), su imagen es [−2;+∞) y f(4) =6 .
Ejercicio 20. Sea f(x) = 3x2−3x−18. Encontrar la función cuadrática g que tiene los mis-mos ceros que f y satisface g(1) =24 .
Ejercicio 21. Hallar los puntos de intersección de los gráficos de f y g en cada caso: a) f(x) = x2+5x+4 y g(x) =3x+7 .
b) f(x) = −x2+x+1 y g(x) =−2x+4 . c) f(x) =3(x+1) (x+7) y g(x) = −15 . d) f(x) =3x2+5x−7 y g(x) =2x2+x+14 .
e) f(x) =2x2+5x−7 y g(x) =2x2−x+5 .
f) f es la función lineal tal que f (2) =5 y f (4) =9 y g(x) = x2+8x+6 .
Ejercicio 22. El precio en pesos de una torta circular de x cm de radio viene dado por p(x) = 1
2x2+30 .
a) ¿Cuál es el precio de una torta de 10 cm de radio? ¿Y de una de 20 cm? b) ¿Cuál es el radio de una torta si su precio es de $ 192 ?
Ejercicio 23. Un artesano confecciona cuadros rectangulares, en los que la base mide el doble
que la altura. La placa de madera de fondo tiene un costo de $ 0,10 el centímetro cuadrado, y las varillas que adornan los bordes cuestan $ 2 el centímetro.
a) ¿Cuál es el costo en materiales de un cuadro cuya altura mide 10 cm?
Ejercicio 24. Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el marco utiliza 3,20 m
de varilla metálica.
a) ¿Cuál es el área de la abertura si la construye con una base de 0,40 m? ¿Y si la base es de 0,60 m? ¿Y si es de 0,90 m?
b) ¿Cuál debe ser la base para que el área de la abertura sea de 0,55 m2? ¿Cuántas
posibi-lidades hay?
c) ¿Es posible hacer una ventana cuya área sea de 1,20 m2?
Ejercicio 25.
a) Dada f(x) = x3−3x2+4x , describir por extensión el conjunto A={x ∈R/ f(x) = 0}. b) Sea f una función polinómica de grado 3 que corta al eje x en los puntos (−1, 0), (1, 0)
y (2, 0). Determinar f si se sabe que f(3) =16 .
c) Hallar la función polinómica f de grado 3 tal que su conjunto de ceros es {−1, 1, 5} y f(2) =9 .
Ejercicio 26. En cada caso, representar gráficamente en forma aproximada cada grupo de
funciones polinómicas y comparar sus gráficos:
a) f1(x) =x3 f2(x) = (x+1)3 f3(x) = x3−1 f4(x) = −x3.
Práctica 3
Composición de funciones - Más funciones usuales
Ejercicio 1. Dadas las funciones f y g , calcular f ◦g y g◦ f en cada caso: a) f(x) = 3x−2 , g(x) = x2+3 b) f(x) = x2−4 , g(x) = 2x+1 x−3 c) f(x) = 3 x+2, g(x) = 3 x −2 d) f(x) = 2x−1 , g(x) = x√x2+2 Ejercicio 2.
a) La relación funcional entre grados Celsius (oC) y la escala Kelvin (K) es lineal. Sabiendo que 0oC= 273 K y que 27oC=300 K, encontrar la función f que da la temperatura en
grados Celsius conocida la misma en la escala Kelvin.
b) La función g(x) = 1, 8 x+32 expresa la temperatura en grados Fahrenheit si x es la temperatura en grados Celsius. Encontrar la expresión de la temperatura en grados Fahrenheit en función de la temperatura en la escala Kelvin. ¿Es lineal?
Ejercicio 3.
a) Sean f(x) = x+k y g(x) = 2
x. Hallar el valor de k ∈ R de manera que(g◦ f)(1) = −4 . Para el valor de k encontrado, calcular (f ◦g)(1).
b) Sean f(x) = kx−2 y g(x) = 2x+6
−x+4. Hallar el valor de k ∈ R de modo que (g◦ f)(1) =5 . Para el valor de k hallado, calcular (f ◦g)(1).
Ejercicio 4. En cada caso, resolver la ecuación f(x) = b para cada uno de los valores de b dados y representar gráficamente:
a) f(x) = 2x+1 , b =9 , b=−1 b) f(x) = x2−3 , b=13 , b =−4 c) f(x) = √x−2 , b =5 , b=−3
Ejercicio 5. En cada caso, calcular f−1, dar su dominio y graficar aproximadamente f y f−1:
a) f :R → R f(x) =2x−4 b) f :R → R f(x) =√3 x
c) f : [0,+∞) → R f(x) =3x2+2 d) f : [−2,+∞) → R f(x) = √x+2
Ejercicio 6. La función f(x) =1, 8 x+32 expresa la temperatura en grados Fahrenheit (oF) si x es la temperatura en grados Celsius (oC). Dar la función que permite, dada una temperatura
cualquiera en grados Fahrenheit, obtener la misma en grados Celsius. Sabiendo que el papel arde aproximadamente a 451oF, ¿a cuántos grados Celsius hay que exponer esta práctica para
quemarla?
Ejercicio 7. Dadas f y g , calcular h= g◦ f y h−1 en cada caso:
a) f(x) = −2x+1 , g(x) = −x+3 4x−1 b) f(x) = x−2
3x+5, g(x) = 2x−1
Ejercicio 8. Graficar cada una de las siguientes funciones y escribir la imagen como intervalo
o unión de intervalos:
a) f(x) =2x−1 b) f(x) =µ1 2
¶x+1
c) f(x) =10−x−2 d) f(x) =e−x+1+3
Ejercicio 9. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 22x−1 =8 b) 3·92−x =1
c) ln(2x−3) =0 d) log3(5x−1) =2
Ejercicio 10. En cada caso, hallar el dominio y los ceros de f :
Ejercicio 11. Para cada función f , hallar la función inversa f−1 y dar dominio e imagen de
f y f−1:
a) f(x) =e2x+1 b) f(x) =ln(3−x) c) f(x) =3−e3+√4−5x d) f(x) =1+ln(2x+3)
e) f(x) =ln(√x+1) +5
Ejercicio 12. Sea f(x) = e4x−8+b . Hallar el valor de b para que Im(f) = (9;+∞). Para el valor de b hallado, calcular la función inversa f−1.
Ejercicio 13. La población (en millones) de cierta región, t años después del año 2000, se puede aproximar mediante la función
f(t) = 300· (1, 02)t.
a) ¿Cuántos individuos tenía la región en el año 2000? ¿y en el año 2010? b) Si no varían las condiciones, ¿cuántos tendrá en 2040?
c) ¿Cuándo será la población el doble de lo que era en el año 2000?
Ejercicio 14. Un jarro con agua se retira del fuego cuando el agua que contiene está hirviendo
y se coloca en una habitación donde la temperatura ambiente es 20oC. La temperatura
(me-dida enoC) del agua, transcurridos t minutos de haber retirado el jarro del fuego, viene dada por T(t) =20+80e−0,41t.
a) Hallar la temperatura del agua a los 5 minutos.
b) ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que la temperatura del agua sea de 40oC?
Ejercicio 15. En cada caso, hallar la función exponencial f(x) =kax que satisface: a) f(0) = 5 y f(3) = 40 .
Ejercicio 16. Completar las tablas siguientes: a) Radianes 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π Grados 180◦ b) x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sen(x) 1 2 cos(x) √ 2 2 1 2 tg(x) 1 @ c) x 5 6π − π 3 5 4π 7 3π − 3 4π π 3 7 6π − π 4 sen(x) cos(x) tg(x)
Ejercicio 17. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo
señalado: a) sen(x) = −1 2 en [0; 2π) b) sen(x) = − 1 2 en R c) sen(x) = −1 2 en h −π2; 3πi d) sen(x) = − √ 2 2 en[−π; π]
e) cos(x) =− √ 3 2 en[0; π) f ) cos(x) =−1 enR g) cos(x)−1 2 =0 en [−π; 2π] h) tg(x) = 0 en[0; 2π) i) tg(x) = √3 en R j) tg(x) = −1 en · −π;5 2π ¸
Ejercicio 18. Hallar los ceros de f en el intervalo señalado en cada uno de los siguientes casos: a) f(x) =cos³x+π 4 ´ en [−π; 5π] b) f(x) =tg(2x) +1 en [−π; 5π] c) f(x) =3 tg³2x−π2´−√3 en [−π; 3π] d) f(x) =2 sen³x−π4´+1 en [0; 3π] e) f(x) =2 sen2(x)−sen(x) en [−π; π] f ) f(x) =µ1 2 +sen(x) ¶ cos(x) en [−π; π]
Ejercicio 19. En cada caso, hallar la imagen de f . Determinar el valor máximo y el valor mínimo de f e indicar en qué puntos se alcanzan dichos valores.
a) f(x) = 1
3sen(x) b) f(x) =−2 sen(2x+π) c) f(x) =3 cos(−x) +2 d) f(x) =2 cos(3x)−1
Ejercicio 20. Sea f(x) = −3 sen(x+π) + k . Determinar el valor de k para que Im(f) = [−4; 2]. Para el valor de k hallado, encontrar un valor de x0 tal que f(x0) = −4 y un valor
de x1 tal que f(x1) =2 .
Ejercicio 21. Dado el triángulo rectángulo ABC , con BAC[ =90◦, resolverlo completamente (es decir, calcular la medida de todos sus lados y de todos sus ángulos) en cada uno de los siguientes casos:
a) AB=3 AC =4 b) BC =5 ABC[ =60◦ c) AC=12 BC =13 d) AB=12 [ACB=60◦
Ejercicio 22. Dado el triángulo ABC , resolverlo completamente en cada uno de los siguientes casos:
a) AB=3 AC =4 BC =6 b) BC =5 ABC[ =60◦ [ACB=45◦ c) AB=13 AC =10 BAC[ =30◦ d) AB=12 BC =10 ACB[ =45◦
Ejercicio 23. En un día nublado, para calcular la altura de un árbol, se cuenta con un teodolito
que mide ángulos de manera vertical y horizontal. Si uno se aleja 50 m del árbol, el ángulo medido en forma vertical desde el suelo hasta la punta del árbol es de 35◦. Estimar la altura del árbol.
Ejercicio 24. En un día de sol, un árbol da una sombra de 3,5 m en el mismo momento del día
en que una vara vertical de 1 m da una sombra de 0,74 m. Estimar la altura del árbol.
Ejercicio 25. Para hallar la distancia entre dos puntos A y B , un agrimensor escoge un punto C que está a 420 m de A y a 540 m de B . Si el ángulo ACB mide 63[ ◦100, calcular la distancia entre A y B .
Ejercicio 26. Un guardabosques ubicado en un punto de observación A avista un incendio
en dirección N 27◦100 E (es decir, rumbo NE haciendo un ángulo de 27◦100 con la dirección norte). Otro guardabosques, que está en un punto de observación B a 6 km directamente al este de A, advierte el mismo incendio en dirección N 52◦400 O. Calcular la distancia entre cada punto de observación y el incendio.
Ejercicio 27. Para calcular la altura de una torre (AD ), se colocaron dos puntos de referencia B y C sobre el suelo distantes entre sí 50 m. Con un teodolito, desde los puntos B y C se midieron los ángulos horizontales ABC[ = 60◦ y [ACB = 70◦ y el vertical ABD[ = 42◦. Calcular la altura de la torre.
Práctica 4
Límite de funciones - Asíntotas - Continuidad
Ejercicio 1. En cada caso, a partir del gráfico de f , determinar (si existen) los valores de l´ım x→+∞ f(x) y l´ımx→−∞ f(x): a) −1 3 f b) 2 f c) 5 f d) 4 f e) f f ) 2 −2 f
Ejercicio 2. Calcular los siguientes límites:
a) l´ım x→+∞4x 2 b) l´ım x→+∞−2x 5 c) l´ım x→+∞ 2 x3 d) l´ımx→+∞− 3 x +5
e) l´ım x→+∞x 3−2+7 x f ) l´ım x→+∞ 6−x52 x29+1 x g) l´ım x→+∞6x 5−2x3+x+9 h) l´ım x→+∞ −2x5+x3−3 x6+1 i) l´ım x→+∞ x2+4x −2x2+1 j) l´ımx→+∞ − x4+2x3−5x x3+9x2+10x +5 k) l´ım x→+∞ 3 x+2−1 6+ 1 x l) l´ım x→+∞ 9x2−x+1 −3x2+7x 5 x−4 m) l´ım x→+∞ x2 x+1−x n) l´ımx→+∞ex 2+x+1 ñ) l´ım x→+∞e− x+3 o) l´ım x→+∞ln(x 2+x+1)
Ejercicio 3. Calcular los siguientes límites:
a) l´ım x→−∞4x 3 b) l´ım x→−∞ 4 x c) l´ım x→−∞x 9− x22 d) l´ım x→−∞−x 4−7x3+20 e) l´ım x→−∞ 3x−1 −6x4+7 f ) l´ımx→−∞ x3 x2+x+1 g) l´ım x→−∞ 5 x−3+1 h) l´ım x→−∞ex 3+x+1 i) l´ım x→−∞e x2−3 +1 j) l´ım x→−∞ln(x 2+1)
Ejercicio 4. En cada caso, analizar la existencia de asíntotas horizontales al gráfico de f y, cuando existan, dar sus ecuaciones:
a) f(x) = 3x+5 −x+2 b) f(x) = 2x x+9 −4 c) f(x) = 8x 4x2+6x+1 d) f(x) = 2x2−5x x+6 e) f(x) = 6 x+1+1 f ) f(x) = 30x2−25x+6 5x2+6x−3 g) f(x) = ex3+1+2 h) f(x) = ln(x2+1) +7
Ejercicio 5. En cada caso, determinar el valor de a ∈R para que se verifique lo pedido: a) l´ım x→+∞ 3x−5 ax+1 =6 b) l´ımx→−∞ ax2−2x+5 6x2+1 =− 2 3 c) La recta de ecuación y=−2 es asíntota horizontal para f(x) = ax
3x−1+1 d) La recta de ecuación y=3 es asíntota horizontal en +∞ para f(x) = e−x+3+ 1
x+a
Ejercicio 6. A partir del gráfico de f , en cada caso, dar el valor de los límites que se indican y escribir las ecuaciones de todas las asíntotas verticales y horizontales al gráfico:
a) 3 −1 f l´ım x→3− f(x), l´ımx→3+ f(x) l´ım x→+∞ f(x), l´ımx→−∞ f(x) b) f l´ım x→0+ f(x), l´ımx→+∞ f(x) c) −2 f l´ım x→0− f(x), l´ımx→0+ f(x), l´ımx→0f(x) l´ım x→+∞ f(x), l´ımx→−∞ f(x) d) 2 −3 f l´ım x→−3− f(x), l´ımx→−3+ f(x) l´ım x→2− f(x), l´ımx→2+ f(x) l´ım x→+∞ f(x), l´ımx→−∞ f(x)
e) 1 f l´ım x→0− f(x) , l´ımx→0+ f(x) l´ım x→+∞ f(x) , l´ımx→−∞ f(x) f ) −2 3 −1 f l´ım x→−1− f(x) , x→−l´ım1+ f(x) l´ım x→+∞ f(x) , l´ımx→−∞ f(x)
Ejercicio 7. Calcular, si existen, los siguientes límites:
a) l´ım x→32x 2+x−10 b) l´ım x→−1 x+9 x−1 c) l´ım x→3− 1 x−3, xl´ım→3+ 1 x−3 d) l´ımx→−2− −5x+1 x+2 , x→−l´ım2+ −5x+1 x+2 e) l´ım x→0− 3 x2 −1, xl´ım→0+ 3 x2 −1, xl´ım→0 3 x2 −1 f ) l´ım x→1− 4x−4 x2−1, xl´ım→1+ 4x−4 x2−1, xl´ım→1 4x−4 x2−1 g) l´ım x→2− 4x x2−4, x→−l´ım2+ 4x x2−4 h) l´ım x→−1 2x2−2 x2−3x−4, xl´ım→4+ 2x2−2 x2−3x−4, xl´ım→4− 2x2−2 x2−3x−4 i) l´ım x→0+e 1 x, l´ım x→0−e 1 x j) l´ım x→π2− tan(x), l´ım x→π2+ tan(x) k) l´ım x→0+ln(x), xl´ım→3+ln(x−3), xl´ım→3−ln(3−x)
Ejercicio 8. Calcular, en cada caso, el dominio de f , analizar la existencia de asíntotas verti-cales a su gráfico y, cuando existan, dar sus ecuaciones:
a) f(x) = −x+5 2x+1 b) f(x) = 6x (x−2)3 c) f(x) = 4x−3 x2−x−6 d) f(x) = 2x2−18 x2−2x−15 e) f(x) = ex−11 f ) f(x) = ln(2x+3)
Ejercicio 9. Hallar en cada caso el dominio, la imagen, los ceros de f y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales a su gráfico. Hacer un gráfico aproximado de f y, a partir del gráfico, determinar los conjuntos de positividad y de negatividad de f .
a) f(x) = 1 x−2 b) f(x) = − 2 x+4 c) f(x) = 3 x+2+1 d) f(x) = 3x+2 x+1
Ejercicio 10. Hallar, para cada f , su función inversa f−1 y las ecuaciones de las asíntotas de
ambas:
a) f(x) = 1
x−2 b) f(x) =
2x−5 x+1
Ejercicio 11. Hacia un tanque que contiene agua pura, fluye agua salada de modo que la
concentración de sal en un tiempo t está dada por la función c(t) = 3t
100t+4000 para t >0. Graficar c(t). Calcular el límite de la función cuando t→ +∞ e interpretar el significado.
Ejercicio 12. Hallar la expresión de la longitud L de un lado de un rectángulo en función de la longitud x del otro lado, si se sabe que el área es 36 . Calcular l´ım
x→0+ L(x) y l´ımx→+∞L(x).
Ejercicio 13. En cada caso, calcular el dominio de f y dar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales a su gráfico:
a) f(x) = 2
x3 +1 b) f(x) = −
2x2+x
c) f(x) = x+4 x2+4x+3 d) f(x) = x2−2x+1 x2+x−2 e) f(x) = −x 2+x+6 x2+x−2 f ) f(x) = 6x2−24 x2−4x+4 g) f(x) = ex+11 h) f(x) = ln(x2−4)
Ejercicio 14. Hallar en cada caso el dominio y todas las asíntotas de f−1:
a) f(x) = 3 ln(x) +5 b) f(x) = 2 1+ex Ejercicio 15. a) Sea f(x) = −20x+4
ax+10 . Determinar el valor de a ∈ R para que la recta de ecuación x =2 sea asíntota vertical al gráfico de f . Para el valor de a hallado, dar la ecuación de la asíntota horizontal al gráfico de f .
b) Sea f(x) = ax
2−2x
x2+ax−5 . Determinar a ∈ R para que la recta de ecuación x = −1 sea
asíntota vertical al gráfico de f . Para el valor hallado, dar las ecuaciones de todas las asíntotas verticales y horizontales al gráfico de f .
Ejercicio 16. Analizando el gráfico de la función f , determinar en cada caso si f está defi-nida en x0, si existe l´ımx
→x0 f(x) y, en caso afirmativo, si estos dos valores coinciden. Usar la
información anterior para deducir en cada caso si f es continua en x0:
a) x0 f(x0) b) x0 f(x0) c) d) f(x0)
e) x0 f ) x0 f(x0) g) x0 f(x0) h) x0 f(x0)
Ejercicio 17. En cada uno de los siguientes casos, decidir si la función f es continua en el valor de x0 especificado: a) f(x) = x3−3x+8 en x0 =3 b) f(x) = sen(x−π) +3 en x0 = π2 c) f(x) = xe3x−6+ln x en x0 =2 d) f(x) = x 3−3 x+1 en x0 =2 e) f(x) = x−1 x2−1 en x0 =1 f ) f(x) = ln(x−5) en x0 =5 g) f(x) = 1 cos(x−π) en x0 = π 2 h) f(x) = x+1 si x >2 x2−1 si x ≤2 en x0=2 i) f(x) = x−1 x2−1 si x 6=1 1 2 si x =1 en x0 =1 j) f(x) = x3−27 x2−9 si x 6=3 −92 si x =3 en x0 =3
Ejercicio 18. En cada uno de los siguientes casos, hallar el valor de k para que la función f sea continua en el valor de x0 especificado:
a) f(x) = −5+xex2−4 si x >−2 3x+k si x ≤ −2 en x0=−2 b) f(x) = x4−1 x−1 si x 6=1 k si x =1 en x0=1 c) f(x) = 2x2+6x−8 x3+4x2−x−4 si x <−4 k 6+x si x ≥ −4 en x0 =−4
Ejercicio 19. En cada uno de los siguientes casos, hallar todos los puntos de discontinuidad
de la función f en el intervalo indicado:
a) f(x) = |x+3| en R b) f(x) = xex 2−9 −5 x3−4x2+3x en R c) f(x) = 1 ln(x−3) en [3,+∞) d) f(x) = sen(x) x2+x−2 si x ≤0 x−3 x2−9 si x >0 en R
Ejercicio 20. Sea f : R → R una función continua que corta al eje x en exactamente tres puntos y de la cual se conoce la siguiente tabla de valores:
x −3 −2 −1 0 1 2 3 f(x) 2 −2 3 5 4 1 −1
a) Para cada uno de los ceros de f indicar un intervalo de amplitud 1 que lo contenga. b) Determinar, si es posible, el signo de f en los intervalos dados:
i) (0; 1) ii) (2; 3) iii) (5;+∞) iv) (−∞;−2) v) (0; 2) vi) (−3;−1)
c) Hacer el gráfico de una función f que satisfaga las condiciones dadas.
Ejercicio 21. En cada una de las siguientes situaciones, hallar el conjunto de positividad y el
conjunto de negatividad de la función f si se sabe que Dom(f) =R y que f es continua en todo punto:
a) Los únicos ceros de f son −3 y 2 y f (−5) =−4 , f (0) =−2 y f (3) =6 .
b) Los únicos ceros de f son −2 , 0 y 3 y f(−3) = −1 , f (−1) = 1 , f (2) = 5 y f (5) =−4 .
Ejercicio 22. En cada uno de los siguientes casos, hallar todos los ceros de la función
polinó-mica f y determinar su conjunto de positividad y de negatividad: a) f (x) = (2x+3) (3x−9) (x−4) b) f (x) = x2(2x−3)2 c) f (x) = 5(x+1) x2+x−2 d) f (x) = x3+3x2+2x x2−9 4
Ejercicio 23. Hallar, en cada caso, el dominio, el conjunto de ceros, el conjunto de positividad
y el conjunto de negatividad de la función f : a) f (x) = 3x+7 x+3 b) f (x) = |5x+2| −17 c) f (x) = |x−3| −5 x−6 d) f (x) = 4−√x ln(x−3) e) f (x) = (x−2)e 1 x f ) f (x) = ln3x+7 x+3
(Sugerencia: usar el ítem a) para calcular el dominio de f )
Ejercicio 24. En cada uno de los siguientes casos, escribir el conjunto A como intervalo o unión de intervalos: a) A={x ∈R/(3x−6)(x+2)(x−5) <0} b) A ={x∈ R/|2x−6| ≥8} c) A ={x ∈R/3−6x x+4 ≤3} d) A ={x∈ R/ 3x−12 x2−4 ≤3}
e) A={x ∈R/ ln(x2−3) >0} f ) A ={x∈ [−2π; 2π]/cos(2x+π
2) >0}
Ejercicio 25. Sea f (x) = x3+x−7 . Probar que a) f tiene un cero en el intervalo (1; 2) b) f tiene un cero en el intervalo (1, 7; 1, 8) c) f tiene un cero en el intervalo (1, 73; 1, 74)
Ejercicio 26. En cada uno de los siguientes casos, aproximar con error menor que 1
8 un cero de f en el intervalo indicado:
Práctica 5
Derivadas - Regla de L’Hôpital
Ejercicio 1. En cada uno de los siguientes casos, utilizando la definición, calcular la pendiente
de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P . Dar la ecuación de la recta y graficar la curva y la recta. a) f(x) = x2−2 P= (3, 7) b) f(x) = x2−2 P = (−2, 2) c) f(x) = 2 x P= (2, 1) d) f(x) = 2 x P = (−1,−2)
Ejercicio 2. En cada uno de los siguientes casos hallar la derivada de la función f usando las reglas de derivación: a) f(x) = x 3 2 b) f(x) = 3x5 c) f(x) = −4√x d) f(x) = x 3 3 √ x2 e) f(x) = 2x3−4x+3 f ) f(x) = 3x+cos(x) +π g) f(x) = 5x2+ln(x) h) f(x) = excos(x)−2e i) f(x) = (2x+3)ex j) f(x) = (x4−3x3)(ln(x) +3) k) f(x) = 3x 2+x x4+3 l) f(x) = tg(x) = sen(x) cos(x) m) f(x) = 3x 4+1 cos(x) n) f(x) = x2 ex
Ejercicio 3. En cada uno de los siguientes casos, hallar la ecuación de la recta tangente al
gráfico de f en el punto de abscisa x0:
a) f(x) = 1
2x3 x0 =2 b) f(x) = −2x2+13x−15 x0 =3 c) f(x) = e−xcos(x) x
Ejercicio 4. En cada uno de los siguientes casos, hallar la derivada la función f : a) f(x) = (2x+3)4 b) f(x) = √3 x2+x c) f(x) = 1+ 2 x 10 d) f(x) = sen(3x) e) f(x) = cos2(x) f ) f(x) = ln(3x2+1) g) f(x) = p5x+sen(x) h) f(x) = p(2x−3)7 i) f(x) = ex2+x j) f(x) = cos(sen(x)) k) f(x) = ex sen(x) l) f(x) = ln(e 1 x −7x) m) f(x) = ln3x+1 2x n) f(x) = x+1 3x e−2x ñ) f(x) = ln2(5x2+1) o) f(x) = sen2(x3+x) p) f(x) = ex2ln 3 x
Ejercicio 5. En cada uno de los siguientes casos, hallar la ecuación de la recta tangente al
gráfico de f en el punto de abscisa x0:
a) f(x) = √2x−3 x0 =6 b) f(x) = 3 sen(2x) x0 =0
c) f(x) = ln(x4+2x−2) x0 =1 d) f(x) = e 3x
2x−1 x0 =0
Ejercicio 6.
a) Hallar todos los valores de x0 para los que la pendiente de la recta tangente al gráfico
de f(x) =ln(9x2−4) en (x0, f(x0)) es igual a 2 .
b) Sea f(x) = x3−2x2+2 . Hallar el punto del gráfico de f en el que la ecuación de la
recta tangente es y=−x+2 .
c) Hallar todos los puntos del gráfico de f(x) = x
2+12x+2
x+1 para los cuales la recta tangente es paralela a la recta de ecuación y =2x+3 . Para cada punto hallado, escribir las ecuación de la recta tangente correspondiente.
Ejercicio 7.
a) Sea f(x) = 4+aex2−3bx. Determinar los valores de a y b para que la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en x0 =0 sea y=−3x+6 .
b) Sea f(x) =ln(x2−6x+k). Hallar k∈ R de modo que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en x0=4 sea igual a 2 .
c) Sea f(x) = x
5x2+a. Hallar a ∈R para que la recta tangente al gráfico de f en x0 =−1
sea horizontal.
Ejercicio 8. En cada uno de los siguientes casos, calcular f0, f00 y f000: a) f(x) = cos(3x) b) f(x) = 3
x +2x c) f(x) = xe2x d) f(x) = √3x+2
Ejercicio 9.
a) El desplazamiento (en metros) de un objeto que se mueve en línea recta está dado, al cabo de t segundos, por la función x(t) = 6t2. Hallar la velocidad instantánea en t =2 segundos dada por v(2) = x0(2).
b) La posición x en el instante t≥0 de un móvil que se desplaza en línea recta está dada por x(t) = 1
6t3−8t . Determinar la aceleración a(t) = x00(t) en el instante en el cual la velocidad v(t) = x0(t) se anula.
Ejercicio 10. Dos móviles A y B se desplazan según las ecuaciones A : s(t) = 3t4−2t+t B : e(t) =t2+at+b
a) Calcular a y b para que, en el instante t =1 , A y B se encuentren en el mismo lugar y tengan además la misma velocidad.
b) Para los valores de a y b hallados, calcular la posición, la velocidad y la aceleración de cada móvil en el instante t=1 .
Ejercicio 11. Calcular los siguientes límites: a) l´ım x→3 2x2−5x−3 x3−2x2−2x−3 b) l´ımx→0 √ x+9−3 √ x+16−4 c) l´ımx→1 √ 3x+1−1 x−3 d) l´ım x→4 √ 2x+1−x+1 x2−5x+4 e) l´ımx→−2 3 √ 5x+2+2 (x+2)2 f ) l´ımx→0 e2x−2x−1 x2 g) l´ım x→1 ln(x) 1−x h) l´ımx→1 ln(x)−x+1 e1−x+x−2 i) l´ımx→0 ln(3x+1) √ 5x+4−2 j) l´ım x→0 sen(3x) 2x k) l´ımx→0 sen(6x) sen(7x) l) l´ımx→0 1−cos(x) x2
Ejercicio 12. Calcular los siguientes límites:
a) l´ım x→+∞ ex x3+2x b) l´ımx→−∞ x3+2x ex c) l´ımx→0+ ln(x) x3 d) l´ım x→+∞ ln(x) ex e) l´ımx→+∞ ln(x2−1) +x2 x2+x+1 f ) l´ımx→−∞ ln(x2−1) +x2 x2+x+1 g) l´ım x→0+x ln(x) h) l´ımx→+∞x. sen 1 x i) l´ım x→0+ ln(x) ln(sen(x))
Ejercicio 13. Determinar si la función f : R − {0} → R dada por f(x) = ln(4x
2+1)
3x2 tiene
una asíntota vertical en x=0 .
Ejercicio 14. Hallar a∈ R para que l´ım
x→0
x−3x2−xe−3x
ax3 =3 .
Ejercicio 15. Dada la función f(x) = 5−x
ln(x−4), hallar su dominio y las ecuaciones de todas sus asíntotas.
Ejercicio 16. Dada la función f(x) = sen(5x2+2x) 4x si x6=0 a si x=0
, hallar a ∈ R para que f sea continua en x0 =0 .
Práctica 6
Estudio de funciones - Problemas de optimización
Ejercicio 1. En cada uno de los siguientes casos, analizando el gráfico de la función f , deter-minar:
i) El dominio de f .
ii) En qué puntos del dominio de f no existe la derivada de f . iii) El conjunto {x∈ R/ f0(x) >0}
iv) El conjunto {x∈ R/ f0(x) <0} v) El conjunto {x∈ R/ f0(x) =0}
vi) Los máximos y mínimos relativos de f .
vii) La cantidad de soluciones de la ecuación f(x) =2 .
a) f 2 4 −1 1 b) f 2 −2 2 3 0 c) f 2 4 −1 0 1 d) f 2 1 0 e) f 2 1 2 −3 f ) f 2 −2 2 0 4 −4
Ejercicio 2. Sea f :R → R una función derivable tal que el gráfico de su función derivada f0 es
−2
−4 0 1 2
f0
a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
b) Ubicar los valores de x donde f alcanza sus máximos y mínimos locales.
Ejercicio 3. En cada uno de los siguientes casos, trazar el gráfico de una función f que sa-tisfaga simultáneamente las siguientes condiciones y decir para qué valores de x la función alcanza máximos o mínimos relativos:
a) • f es continua en R − {1} • f0(x) >0 en (3; 8)
• f0(x) <0 en (−∞; 1)∪ (1; 3)∪ (8;+∞) • x=1 es una asíntota vertical del gráfico de f
• y=−4 es una asíntota horizontal del gráfico de f en +∞ • y=2 es una asíntota horizontal del gráfico de f en −∞ b) • Dom(f) = R − {0}
• f0(x) >0 en (−2; 0)∪ (2;+∞) • f0(x) <0 en (−∞;−2)∪ (0; 2) • f0(x) =0 en x =−2 y en x=2
• x=0 es una asíntota vertical del gráfico de f • El gráfico de f no tiene asíntotas horizontales.
Ejercicio 4. En cada uno de los siguientes casos, estudiar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento, los máximos y mínimos relativos, los límites en +∞ y −∞ de f y, utilizando esta información, hacer un gráfico aproximado:
c) f(x) = 3x5+5x3+3 d) f(x) = (x−10)3x2
Ejercicio 5. En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio, los intervalos de
creci-miento y de decrecicreci-miento, los extremos locales de f y las asíntotas verticales y horizontales a su gráfico. Utilizar la información obtenida para hacer un gráfico aproximado de f :
a) f(x) = x 2 x−1 b) f(x) = x x2+1 c) f(x) = x 3 (x−1)2 d) f(x) = x3 x−1 e) f(x) = 2(x2+3)−1 f ) f(x) = x 2−x−6 x2−x g) f(x) = 8−3x x2−2x h) f(x) = xe x 2 i) f(x) = x4e−x j) f(x) = x3e3x k) f(x) = e−x3+12x l) f(x) = ln(x) x m) f(x) = x ln(x) n) f(x) = x ln2(x)
Ejercicio 6. En cada uno de los siguientes casos, hallar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento, los máximos y mínimos relativos de f y las asíntotas verticales a su gráfico en el intervalo indicado. Usar la información obtenida para hacer un gráfico aproximado de f :
a) f(x) = 2+sen2(x) en [0; 2π] b) f(x) = sen(x) +cos2(x) en [−π; π] c) f(x) = cos(x)
sen(x) en (0; π) d) f(x) = 1
sen(x) en (0; π)∪ (π; 2π)
Ejercicio 7. Sea f : R − {0} → R definida por f(x) = (5x−k)
2
x con k constante. a) Hallar todos los valores de k ∈R para los cuales f tiene un punto crítico en 1 . b) Para cada valor de k hallado, determinar todos los extremos relativos de f .
Ejercicio 8. Sea f(x) = ex3−kx con k constante. Determinar el valor de k ∈ R para que f tenga un extremo relativo en x =2 . Para el valor de k hallado, determinar todos los máximos y mínimos relativos de f .
Ejercicio 9. En cada uno de los siguientes casos, hallar los intevalos de crecimiento y de
de-crecimiento y los extremos relativos y absolutos de f en el intervalo indicado: a) f(x) = −x2+6x en [1; 4] b) f(x) = x3−6x2+2 en [−3; 2] c) f(x) = x 2 3 en [ −1; 8] d) f(x) = x 5 3(x2−1) en [−1; 1]
Ejercicio 10. La concentración de un fármaco en la sangre t horas después de ser inyectado está dada por la función C(t) = 3t+2
4t2+1. Calcular el intervalo de tiempo en el que la
concen-tración aumenta, el intervalo en el que disminuye y el momento en el que es máxima.
Ejercicio 11. En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que si se le administra cierta droga
cuando tienen 38◦C, la temperatura T en grados centígrados h horas después está dada por la función T(h) = 37+2e−
(h−1)2 1,44
. ¿Cuál será la temperatura máxima alcanzada? ¿En qué momento se alcanza?
Ejercicio 12. Las funciones C1(t) = te−t y C2(t) = t2e−t expresan la concentración en sangre
de dos drogas distintas t horas después de administradas. a) ¿Cuál de las dos drogas alcanza mayor concentración? b) ¿Cuál alcanza la concentración máxima en menor tiempo?
Ejercicio 13. Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo según una curva
exponen-cial. Sin embargo, si no hay catástrofes (epidemias, incendios, poderosos depredadores), lle-gan a invadir su propio espacio vital y su crecimiento se va amortiguando. La función logística dada por p(t) = `
1+ke−at donde `, k y a son constantes positivas adecuadas, proporciona
un modelo apropiado para describir este tipo de fenómenos.
Consideremos la función logística dada por ` =5000 , k=4 y a =0,1 : a) Calcular la población existente en tiempo t =0 .
c) Calcular hacia qué valor tiende la población a medida que pasa el tiempo.
Ejercicio 14. Descomponer el número 16 en dos sumandos tales que su producto sea
máxi-mo.
Ejercicio 15. Hallar el menor valor que se puede obtener al sumar un número positivo con 25
veces su inverso. ¿Para qué número se alcanza dicho mínimo?
Ejercicio 16. Hallar el punto de la recta y = 3x+5 que está a menor distancia del punto P = (4, 7).
Ejercicio 17. Hallar dos números tales que su suma sea igual a 12 y la suma de sus cuadrados
sea mínima.
Ejercicio 18. Hallar las dimensiones que debe tener un rectángulo de área 64 para que
a) su perímetro sea mínimo.
b) su diagonal sea lo más corta posible.
Ejercicio 19. Un constructor debe hacer una ventana rectangular y dispone, para el marco, de
6,40 m de varilla metálica. Hallar las dimensiones de la ventana si se pretende que el área de abertura sea máxima.
Ejercicio 20. En un terreno, se decide cercar una zona rectangular y dividirla en tres porciones
iguales mediante dos cercas paralelas a dos de los lados del terreno. Si el alambre total que va a usarse es de 8000 m, encontrar las dimensiones de la zona a cercar con mayor área posible.
Ejercicio 21. El dueño de una huerta de manzanas calcula que si siembra 60 árboles por
hectárea, cada árbol maduro dará 750 manzanas al año. Por cada árbol más que siembre por hectárea, el número de manzanas producidas por árbol al año disminuirá en 5 . ¿Cuántos árboles debe plantar por hectárea para obtener el mayor número posible de manzanas al año?
Práctica 7
Integrales - Áreas - Introducción a las ecuaciones diferenciales
Ejercicio 1.
a) En cada caso, hallar una función g tal que i) g0(x) = x3 iv) g0(x) = sen(x) ii) g0(x) =3 v) g0(x) =ex+4 iii) g0(x) = cos(x) vi) g0(x) = x5+2x
b) En cada caso, hallar una primitiva F de f : i) f(x) =2 sen(x)
iii) f(x) =3x2+√x
ii) f(x) = x3+ 1 x iv) f(x) = −4ex
Ejercicio 2. En cada caso, hallar la función g que satisface simultáneamente: a) g0(x) =8x y g(0) =4 b) g0(x) =−x3 y g(1) =5
c) g0(x) = −2 cos(x) y g π 2
=3
Ejercicio 3. Calcular las siguientes integrales:
a) Z x123 dx b) Z (2+√x)dx c) Z (6x2+sen(x))dx d) Z x2(1+√x)dx e) Z (ex+ 1 x4)dx f ) Z (3 cos(x)−2 sen(x))dx
Ejercicio 4. Calcular las siguientes integrales aplicando el método de sustitución:
a) Z 1 x+3 dx b) Z 1 5x−2 dx c) Z x x2+1 dx d) Z sen(4x) dx e) Z xpx2+3 dx f ) Z 1 (3x+1)2 dx g) Z ln(x) x dx h) Z cos(x) sen5(x) dx i) Z e−6x dx
j) Z ln3(x) x dx k) Z x2cos(x3)dx l) Z cos(ln(x)) x dx m) Z ln(−2x+3) −4x+6 dx n) Z 4x3+6x2 3x4+6x3−9 dx ñ) Z x√x+2 dx o) Z x(3x+1)5dx p) Z xex2+5dx q) Z ecos(x)sen(x)dx
Ejercicio 5. Calcular las siguientes integrales aplicando el método de integración por partes:
a) Z x cos(x)dx b) Z xexdx c) Z x√x+2 dx d) Z x9ln(x)dx e) Z x3ln 1 x dx f ) Z x2e−xdx g) Z x2sen(x)dx h) Z (x2+x)(x−2)−3 dx i) Z exsen(x)dx
Ejercicio 6. Calcular las siguientes integrales aplicando el método de fracciones simples:
a) Z 1 x(x−2) dx b) Z 2x −1 (x−1)(x−2) dx c) Z 3x x2−9 dx d) Z 2 x2−5x+6 dx e) Z x−4 x2+3x−4 dx f ) Z x x2+x−2 dx
Ejercicio 7. Calcular las siguientes integrales:
a) Z x 3 2 (x−3)2dx b) Z sen(ln(x)) x dx c) Z x3+5x2+ (5x−1)5 dx d) Z ln(sen(x)) cos(x) sen(x) dx e) Z cos( √x +1) √x +1 dx f ) Z x2cos(6x−2) +e2x dx g) Z 1 (√x+1)(√x−2) dx h) Z ex(ex−1) e2x+ex−6 dx
Ejercicio 8. En cada caso, hallar la función g que cumple simultáneamente: a) g0(x) = 4x3−6x+2
x4−3x2+2x+1 y g(1) =5 b) g0(x) = x
√
c) g0(x) = xex y g(0) = 4 d) g0(x) =ln(√x+2) y g(−1) =3
Ejercicio 9. La aceleración de un móvil que se desplaza en línea recta está dada en el instante
t para 0≤t≤6 por la función a(t) = t(t−6)kmh2 . Si el móvil parte en el instante t=0 a una
velocidad de 40km
h , ¿cuál es la velocidad v(t) para 0 ≤t ≤ 6 ? (Recordar que la aceleración
a(t) es la derivada de la velocidad v(t), es decir a(t) = v0(t).)
Ejercicio 10. Un cohete está en reposo en el instante t = 0 y comienza a desplazarse en línea recta. Mediante mediciones en el interior del cohete se comprueba que experimenta una aceleración a(t) = √t+2 , para todo t ≥ 0 , donde el tiempo se mide en segundos y la aceleración en segm2 ¿Qué velocidad tiene el cohete en el instante t=36 ? ¿A qué distancia del
punto de partida está en ese instante? (Recordar que la aceleración a(t) es la derivada de la velocidad v(t) y que la velocidad v(t) es la derivada de la función posición x(t), es decir a(t) =v0(t) y v(t) = x0(t).)
Ejercicio 11. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
a) Z 2 −14x dx b) Z 4 1 √ x dx c) Z π 2 0 cos(t)dt d) Z π 0 cos(t)dt e) Z π 0 sen(u)du f ) Z 1 −1e −x+1 dx
Ejercicio 12. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
a) Z 1 −1e x(x+1)2 dx b) Z e−1 0 dt t+1 c) Z 3 0 (x 2+2)√x+1 dx d) Z π 2 π 4 cos(u) sen2(u) du e) Z 1 0 (e 2x−e−2x) dx f ) Z 4 1 ln2(x) x +x ! dx g) Z 2π 0 (t−π)cos(t)dt Ejercicio 13. a) Sabiendo que Z 3 1 f(x)dx=5 , calcular Z 3 1 (f(x) +2x)dx .
b) Sabiendo que Z 1(f(t)−3)dt =−2 , calcular
Z 1
Ejercicio 14.
a) Hallar a ∈R tal que Z a
1
4 x2 dx=
16 5 . b) Hallar a∈R tal que Z 4
0 (3
√
x+ax)dx=0 .
Ejercicio 15. Expresar, usando integrales definidas, el área de cada una de las regiones
som-breadas: a) 5 6 g f b) 4 7 f 0 c) f 1 2 4 −2,5 5 d) −1 2 5 6 f g e) (3, 2) (−1,−1) f g f ) (8, 10) (14, 13) 10 14 g f h
g) 2 −2 f y=x h) 4 8 4 f i) −2 1 2 f g j) −4 f 5
Ejercicio 16. Sabiendo que el área de la región sombreada vale 8,5 , calcular Z 4
0 g(x)dx .
−3 4
4 g 1
Ejercicio 17. Calcular el área de la región encerrada entre:
a) el gráfico de f(x) = x2+2x−3 y el eje x . b) el gráfico de f(x) = x3−3x2−10x y el eje x . c) los gráficos de f(x) =−x+4 y g(x) = x2+2x .
d) los gráficos de f(x) = x3−1 y g(x) =4x−1 .
e) los gráficos de f(x) =2x2+6x−5 y g(x) = x2−3x+5 .
Ejercicio 18. Calcular el área de la región comprendida entre los gráficos de
a) f(x) = −x+2 y g(x) =x(x−2) para 0≤x ≤3 b) f(x) = −x+2 y g(x) =x(x−2) para −2≤x ≤4 c) f(x) = e−x y g(x) =e2x para −1≤x ≤1 d) f(x) = −x2−x+2 y el eje x para −3≤x ≤3 e) f(x) = 1 2(x−1) y g(x) = √ x−1 para 1≤ x≤10 f) f(x) = x2+4x+2 y g(x) = −2x2+7x+8 para −2≤x ≤6
Ejercicio 19. Calcular el área de la región limitada por
a) los gráficos de f(x) =√x−5 , g(x) = √5−x y la recta y=2 . b) los gráficos de f(x) =√10−x , g(x) = √x y el eje x.
c) los gráficos de f(x) =√x , g(x) =−x+6 y el eje x . d) el eje y, la curva y =√x y la recta y=−x+6 .
e) las curvas y= 16
x2, x=4 , y=2x .
f) las curvas y= 16
x2, y=2x , y =16 .
g) las curvas y=√x−2 , y=2x−10 y el eje x.
Ejercicio 20. Hallar y = f(x) que satisfaga simultáneamente y0y=2x3+6x e y(1) = 3 .
Ejercicio 21. Hallar y = f(x) que satisfaga simultáneamente y0+2xy =0 e y(0) = 3.
Ejercicio 22. Hallar todas las funciones y(x) que satisfacen y0+2y =0 . Estudiar el compor-tamiento de las soluciones para x→ +∞ .
Ejercicio 23. Encontrar todas las soluciones y= f(x) de la ecuación y0
y =xex.
Ejercicio 24. Los átomos de elementos radiactivos son inestables. En un intervalo de tiempo
dado, una fracción fija de los átomos se escinde espontáneamente para formar un nuevo ele-mento de modo que, si N(t) denota el número de átomos existentes en el tiempo t (medido en años), entonces N0(t), la velocidad a la que cambia este número de átomos, es proporcional a N(t). Es decir
N0(t) = −dN(t)
donde d>0 es una constante que se conoce como la constante de decaimiento de la sustancia. Se sabe que la constante de decaimiento del carbono 14 es d = 0, 0001216 . Si en el instante t=0 hay 106 átomos de carbono 14:
a) Calcular el número de átomos N(t) para t>0 .
b) ¿En qué momento habrá la mitad de átomos de carbono 14 de los que había inicialmen-te? (semivida)
c) Elegir otro número inicial de átomos cualquiera y repetir el cálculo de la semivida. Com-probar que la semivida no depende de este número inicial.
Ejercicio 25. La temperatura de un cuerpo que se enfría cambia a una tasa que es proporcional
a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura ambiente. Así, si C(t) es la temperatura del cuerpo en tiempo t (medido en horas) y a es la temperatura ambiente (a la que supondremos constante), se tiene que
C0(t) =−λ(C(t)−a),
donde λ>0 es una constante llamada la conductividad térmica del cuerpo.
En un ambiente que está a 22oC, se coloca un cuerpo a 30oC. Se sabe que la conductividad
térmica para dicho cuerpo es de λ=0,5 .
a) Hallar la temperatura del cuerpo C(t) para t >0 . b) Calcular l´ım
t→+∞C(t) e intentar explicar el significado físico del límite encontrado.
Práctica 8
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejercicio 1. Dados los puntos A = (2, 3,−1), B = (1, 0,−7) y C = (0,−2,−3) en R3, calcular A+B , A+B+C , 1
2A , 2C−B y −3(A+2B)
Ejercicio 2. En cada caso, decidir cuáles de los puntos A , B , C , D son soluciones del sistema dado: a) x1 + x2 + x3 = 1 −x1 + 2x2 − 3x3 = −2 −x1 + 5x2 − 5x3 = −3 A = (0, 0, 0); B= (−2, 1, 2); C = (−1, 1, 1); D= (4 3,− 1 3, 0). b) x2 + x3 + 2x4 = 0 2x1 − x2 − x3 − x4 = 0 x1 + 3x2 + x3 = 0 3x1 + 2x2 − x4 = 0 A = (0, 0, 0, 0); B = (2, 1, 4, 3); C = (−2, 5,−13, 4); D = (0, 1, 1,−2). Ejercicio 3.
a) Resolver cada uno de los siguientes sistemas en R3: i) ( x1−2x2+x3=0 2x2+x3=0 ii) ( x1−2x2+x3=3 2x2+x3=4 iii) x1−x2+x3 = 1 x2−x3 = −3 2x3 = 4 b) Resolver cada uno de los siguientes sistemas en R4:
i) −x1+x2+x3 =7 x3 +x4=3 x4=1 ii) ( x1 +x4=0 −x2 +x4=0 iii) ( x1 +x4 =1 −x2 +x4 =2
