UNA INTRODUCCIÓN ELEMENTAL A LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

- 126

UNA INTRODUCCIÓN ELEMENTAL A LAS

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

p o t

J A V I E R L A F U E N T E L Ó P E Z

Es conocida la dificultad que existe de introducir a un nivel elemen-tal —de 3.o de B U P o GOU— las funciones exponencial y logarítmica. Un planteamiento riguroso del tema requiere inevitablemente conceptos y resultados pertenecientes al análisis superior, que, en principio, no están dentro del nivel permisible.

La exposición sobre este t e m a que se presenta a continuación, y que pretende servir como posible solución a la dificultad antes a p u n t a d a , es, además, un ejemplo de cómo la utilización de un potente resultado {en nuestro caso, la existencia y unicidad de soluciones en R para la ecuación diferencial

dy

== y

dx

cuyo contenido intuitivo es abordable a un nivel dado de conocimien-tos — a u n q u e no así su demostración — puede simplificar, en algunas ocasiones, notablemente las cosas.

FUNCIÓN E X P O N E N C I A L Y LOGARÍTMICA 1. INTRODUCCIÓN.

Se plantea la cuestión de si existe alguna función F : R -> R, tal que su derivada coincida con ella misma, es decir, F = F ' . H a y una res-puesta trivial a esta cuestión: la función constante F = O verifica este requisito, pero ¿existe alguna otra respuesta? Desde luego ninguna fun-ción constante, aparte de la idénticamente nula, nos puede servir, ya que su derivada F ' es igual a cero. Tampoco merece la pena intentarlo con las funciones F polinómicas de grado n > 1, pues como es sabido.

— 127

-su derivada F', tiene grado n —^ 1 (y por tanto F 7^ F'). No obstante, si

ensayamos con una función F de la forma

x^ x^ X* x^

¥{x) = 1 + ce + — + + + . . . 4- 4- . . .

2 2 - 3 2 • 3 • 4 n\

(suma de infinitos términos) y derivamos «formalmente», se tendría:

F-(x) = 1 + 2 • -^ h 3 -f 4

2 2 - 3 2 • 3 • 4

-f . . . + n + . . . = F(íc)

ni

¿hemos encontrado entonces una respuesta no trivial a la cuestión?

Sí y no.

a) No, porque a nivel elemental se desconoce lo que significa una suma

de infinitos términos, y aunque no fuera así, porque hemos utilizado

una regla, en principio aplicable sólo a las funciones polinórnicas

{la de derivación de polinomios) a una función que ciertamente

no lo es.

h) Sí, porque ésta es una de las soluciones que proporciona el análisis

superior, después de haber salvado las dificultades anteriores.

Se puede también tratar de dar una respuesta gráfica a la cuestión

antes planteada, de la forma que se indica en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 1: Trazar, sobre un papel milimetrado, unos ejes

rectangu-lares OXY, y construir un arco de poligonal que, pasando por el punto

(0,1), esté formado por segmentos AB de longitud d = 0,5 cm y con

pen-diente igual a la ordenada en el punto A.

Se comprende que este arco de poligonal se aproxima a la gráfica de

una hipotética función F, tal que F = F' y tanto más cuanto más

pe-queño sea d. Por otra parte, si se impone al arco poligonal anterior que

pase por O = (O, O), es fácil percatarse de que lo que así se obtiene es la

gráfica de la función constante F = O.

Al lector que haya realizado (aunque sólo sea mentalmente) el

ejer-cicio anterior no debe sorprenderle ninguna de las afirmaciones

conte-nidas en el siguiente teorema.

Teorema 1

a) Existe una única función E : R -> R, tal que E(0) = 1 y E' = E.

b) Si F es una función tal que F' = F y F(0) = O, necesariamente F es

la función constante nula.

Se reservará, en adelante, la letra E para designar la función a que

hace referencia el apartado a) y se denominará función exponencial.

— 128 —

por encima del nivel que nos podemos permitir, aunque en esencia no muy alejadas de la sugerida en el ejercicio 1. De cualquier forma, dare-mos por válido el teorema y sobre él edificaredare-mos una original exposi-ción sobre la teoría de las funciones exponencial y logarítmica, abordable desde un p u n t o de vista elemental.

2. L A FUNCIÓN EXPONENCIAL E .

E n primer lugar, vamos a t r a t a r de mejorar el resultado del teorema 1.

Teorema 2.

Dado un número k cualquiera, existe una única función F : R -^ R, tal que F ' == F y F(0) = k.

Demostración:

Si k = O, el teorema se transforma en la segunda afirmación de

teorema 1.

Si. k ^ O, considérese la función F{x) = k • E{x). Como F'{x) = k -• W{x) = k -• E{x) == F(x) y F(0) = k - E(0) = /c -• 1 = /c, F es la función buscada. ¿Puede existir otra función distinta, digamos G, que verifique G' = G y G(0) = /f? Imposible, pues la función G//c coincidiría con su derivada y toma valor 1 para x ~ 0; por el teorema 1, G//c = E y por t a n t o G = k ' E = F.

El teorema 2 nos proporciona todas las posibles respuestas a la cues-tión planteada al principio, es decir, las funciones F : R ^ R, tales que F ' = F son todas de la forma F = /c • E, siendo k un número real.

A continuación se v a n a enumerar (y demostrar) algunas propiedades de gran interés para la función exponencial E.

Propiedad 1: Si a y ÍC son números reales cualesquiera E(a + x) ==

= E(a) • E[x), Demostración:

Se fija el número real a, y se t r a t a r á de demostrar la igualdad entre las funciones F(ír) == E(a + X)Y G[X) = E(a) • E{x), para ello es suficien-te observar que F(0) = E(a) = G(0) y que F'{x) = E'{a + ÍC) = E(a -f

+ íc) = F{x)] Gc'{x) = E(a) • E'[x) = E(a) • F.{x) = G{x) y aplicar el teorema 2.

Propiedad 2: E{x) ^ O para todo ÍC G R.

Demostración:

E{x) • E{—x) = E[x + (—¿c) ) = E(0) = 1, por t a n t o , E{x) 7^ O y E{—x) ^ 0.

Propiedad 3: E{x) > O para todo re G R.

Demostración:

E{x) = E(a!/2 + x¡1) = E[x¡1) • E(ÍC/2) = (E(a;/2) Y > O, pero E[x)

es distinto de cero, luego E{x) > 0.

Propiedad 4: La función exponencial E es estrictamente creciente.

Demostración:

Propiedad 5: El número e = E(l) es estrictamente mayor que 1.

Demostración:

Por ser E función estrictamente creciente y O < l e s l = E ( 0 ) < < E(l) = e.

Propiedad 6: E(n) = e" para n G N.

Demostración:

E(l) = eS E(2) = E(l + 1) = E(l) • E(l) = e\ E(3) = E(2 + 1) = = E(2) • E(l) = £2 • 8 = e^, . . . , etc.

Propiedad 7: lim E{x) == + c».

£C ~> 4 - 00

Demostración:

La sucesión Xn = E(n) = e^ tiene por límite + oo ya que e > 1 y si a? es un número comprendido entre los naturales n y n + 1 es E(n) = = e" < E{aí) < zn+i por la monotonía de E. Se comprende entonces que E{x) se «va» Ü + oo con la sucesión e", cuando x se hace arbitraria-mente grande.

Propiedad 8: lim E(x) = O

X - > C30

Demostración:

1 lim E(a;) = lim E(' -x) = lim

x-^—00 ír->+oo a;->+oo E{x)

1 1 - O lim E{x) +00 íc->-Hoo

Ejercicio 2: Hacer una representación gráfica de la función

exponen-cial y = E{x)j utilizando las técnicas habituales (asíntotas, concavidad y convexidad, ..., etc.) y compruébese (sobre el dibujo) que E es una aplicación biyectiva de R en R*4-.

La propiedad 6 justifica, en parte, el por qué se ha dado a E el nom-bre de función exponencial. La siguiente proposición da una justifica-ción completa.

Proposición 1

Si r es número racional cualquiera, entonces E(r) = z^. Demostración:

Puede hacerse en cuatro fases, dos de las cuales se dejan como ejer-cicio.

1) Si n G IN es E{n) = e" (propiedad 6).

2) Si g G N* es E(l/g) = V e = eV9. Sugerencia: Pruébese que (E(l/g))g = e.

q

3) Si p G N y g G N* es E(p/g) = \/ eP = eP/9. Sugerencia: Pruébese que (E(p/g))a = eP.

— 130 —

4) Demostrar el teorema: r > O, corresponde a la lase 3; si r < O es •—r > O' y entonces

1 1 E(r) = = = zr

E(—r) e-r

La proposición 1 nos permite escribir con cierta garantía la igualdad E(.T) == zx para todo a; e R, de esta manera la propiedad 1 expresa una propiedad «natural*: s^j+a _ gx . sa seguramente conocida por el lector, cuando x y a son números racionales.

Pero, ¿quién es ese número e = E ( l ) ? Seguramente es un número importante. Los lectores que hayan realizado el ejercicio 1 pueden com-probar que se t r a t a de un número comprendido entre 2 y 3, más cerca de 3 que de 2, quizás 2,7... En el siguiente parágrafo se comprobará que s es precisamente el número e] recuérdese que este número es el límite de la sucesión (1 + 1/n)".

Ejercicio 3,

La función

¥{x) = 1 + a? + — + + . .

2 2 - 3

.. +

_{+ ..}

(suma de infinitos términos), propuesta en el parágrafo 1, si existiera, tendría que coincidir con la función exponencial E (obsérvese que F(0) =

= 1) y F(l) = E(l) sería aproximadamente igual a

1 1 1 1 1

1 + 1 + — + + + +

Realícese esta operación con una calculadora, y compruébese que el re-sultado es m u y aproximado al número e.

3. L A FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

E n el ejercicio 2 se muestra que la función exponencial E : R -> R*+ es una aplicación biyectiva, y por t a n t o admite una función inversa £ _ i : R * ^ _^ R que se designará por la letra L (E—* = L) y que se llama función logarítmica. Obsérvese que para a > O, L(a) = b <=> E{b) = a. Las propiedades de la función logarítmica L quedan sintetizadas en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 4,

Pruébense las propiedades siguientes: 1) L(l) = O y L(e) = 1.

3) Si a e R*+ y r e Q es Lía'") = r • L(a). 4) lim L{x) = 4- cx) , lim h{x) = — œ

x-^-{-oo x->0+

5) La función L es continua.

D E R I V A D A D E LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función inversa de y = L{x) es x = E{y), derivando, por la regla de la cadena, ambos miembros de la última igualdad, respecto de x

{\y = L{x)\) queda luego Ejercicio S. dE 1 = dy dy dx dy dy dy = E{y) = X dx dx dx 1 1 — y L'{x) = — para x > 0 X X

Hágase una representación gráfica de la función logarítmica y = L{x), Se probará, finalmente, que el número s coincide con el número e: La derivada de la función logarítmica en el punto a? = 1 es, por lo an-terior,

L'(l) = — = 1 1

Si se calcula esta derivada, utilizando la definición queda L(l + h) — L{l) L(l + h) 1 = lim = lim

h-^0 h h-^0 h

tomando h = l/n (n e N) se, tiene L(l + l / n )

1 = lim = lim n • L{1 + l/n) = n->oo 1 /n n->co

= lim L ( ( l + lln)n) = L( lim (1 + l/n)") n->oo n->oo (la última igualdad es consecuencia de la continuidad de la función loga-rítmica L en el p u n t o de abscisa ÍC = 1), pero

e = lim (1 + l¡n)n

luego L(e) = L(e) = 1 y por ser L inyectiva es s = e. La función expo-nencial puede escribirse ahora de la forma E(ÍC) = e^.

— 132 —

Los siguientes ejercicios completarán la teoría que acabamos de iniciar.

Ejercicio 6.

Compruébese que para a > O la función F{a:) = e'^^if^) es una defi-nición satisfactoria de a^, es decir, F(r) = a^ para todo r número racional.

Ejercicio 7.

Tomando como definición de a^ la igualdad a« = ea;L(a) (para a > 0) probar: a) a^+y = a^ • av, b) (ax)y = a^y. c) {ub)x = a^ » b^ {b > 0). d) h{a^) =-. X • L(a). Ejercicio 8,

Comprobar que para a>0, a:^lYX>Qlsí definición

L{x) logaX

L{a)

es satisfactoria, es decir, se verifica la equivalencia: logao; = y <=> au — x (la función loga se denomina logaritmo en base a, y es la función inversa de la función exponencial a^).

Ejercicio 9,

Si a es un número positivo y distinto de 1, pruébese:

1) logai^y) •= logaíZJ + loga?/, logaix/y) = logaX — logay para X > o,

y > 0.

2) loga(xb) = b loga(íc) para x > O,

Ejercicio 10,