04 Raz. Matematico

(1)

Razonamiento

Matemático

Para medir tu capacidad: Para medir tu capacidad: ¿Cuántos

¿Cuántos palitos palitos debes debes mover mover como como mínimo, mínimo, para para que que lala igualdad se verifique? igualdad se verifique? Resolución: Resolución: Objetivos. Objetivos. *

* Desarrollar Desarrollar la la capacidad capacidad de de análisis análisis del del estudiante.estudiante. *

* Dar al estudiDar al estudiante las hante las herramientas merramientas metodológicasetodológicas adecuada para enfrentar situaciones complejas a partir de adecuada para enfrentar situaciones complejas a partir de un análisis progresivo de situaciones sencillas.

un análisis progresivo de situaciones sencillas. *

* ejercitar ejercitar la capacla capacidad de idad de observación observación para establecpara establecerer

relación que permitan dar solución a un problema. relación que permitan dar solución a un problema. Introducción

Introducción Expresiones

Expresiones como como “soy “soy incapaz incapaz para para la la matemática”, matemática”, “no“no he nacido para los números”, “me falta la memoria para he nacido para los números”, “me falta la memoria para aprender fórmulas ”, etc., son un producto amargo del tipo aprender fórmulas ”, etc., son un producto amargo del tipo de enseñanza memorística y mecanizada que hemos de enseñanza memorística y mecanizada que hemos recibido desde nuestra infancia. En consecuencia nos recibido desde nuestra infancia. En consecuencia nos corresponde revertir esta situación, poniendo en práctica corresponde revertir esta situación, poniendo en práctica nuestra capacidad de análisis y raciocinio objetivo. nuestra capacidad de análisis y raciocinio objetivo. Queremos contribuir a ello desarrollando este tema del Queremos contribuir a ello desarrollando este tema del razonamiento este tema del razonamiento lógico.

razonamiento este tema del razonamiento lógico. Capacidades

Capacidades a a desarrollar.desarrollar.

= =

MAPA CONCEPTUAL

LÓGICA RECREATIVA LÓGICA RECREATIVA ENUNCIADOS ENUNCIADOS PROBLEMAS PROBLEMAS SOBRE SOBRE ORDEN DE ORDEN DE NÚMEROS NÚMEROS PROBLEMAS PROBLEMAS SOBRE SOBRE ACERTIJOS ACERTIJOS LÓGICOS LÓGICOS PROBLEMAS PROBLEMAS SOBRE SOBRE CUADRADOS CUADRADOS MÁGICOS MÁGICOS PROBLEMAS PROBLEMAS SOBRE SOBRE CERILLOS CERILLOS PROBLEMAS PROBLEMAS SOBRE SOBRE RELACIÓN DE RELACIÓN DE TIEMPOS TIEMPOS PROBLEMAS PROBLEMAS SOBRE SOBRE MATEMÁTICA MATEMÁTICA RECREATIVA RECREATIVA CASOS CASOS MÉTODOS MÉTODOS CASOS CASOS TÉCNICAS TÉCNICAS * RAZ. LÓGICO

* RAZ. LÓGICO  LUIS RUBINOSLUIS RUBINOS

LÓGIC

A RECR

EA

TIVA

L

OGRAFÍA:

L

OGRAFÍA:

BI BLI OGRAFÍA:

(2)

6 6 6 6 9 9 9 9 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 8 8 8 8 4 4 4 4 7 7 7 7 A A A A

En los organismos más simples un

individuo es una célula, por lo que

se llama unicelular.

¡DESAFÍO!

DESAFÍO!

¡DESAFÍO!

Los Quince Tantos Los Quince Tantos

Cambia una sola carta de lugar, de Cambia una sola carta de lugar, de manera que las de cada montón sumen manera que las de cada montón sumen quince tantos.

quince tantos.

OBJETIVOS: OBJETIVOS:

En

En esta esta sección sección vamos vamos a a plantear plantear situaciones situaciones en en las las queque solo necesitamos una pequeña dosis de concentración solo necesitamos una pequeña dosis de concentración para dar con la respuesta debida. No es necesario para para dar con la respuesta debida. No es necesario para este tipo de preguntas recurrir a la

este tipo de preguntas recurrir a la teoría matemática si noteoría matemática si no generalmente al sentido común con el que todos generalmente al sentido común con el que todos manejamos los problemas diarios de la vida.

manejamos los problemas diarios de la vida. Veamos

Veamos entonces entonces algunos algunos de de estas estas situaciones:situaciones: Introductorio:

Introductorio: *

* Con Con 8 8 palitos palitos mondadientes mondadientes forma forma cuatro cuatro triángulos triángulos y y dosdos cuadrados.

cuadrados. Los Los palitospalitos Mondadientes Mondadientes tendría que tendría que colocarse colocarse dede la

la siguiente siguiente forma:forma:

Recuerda

Recuerda que que alguien alguien dijo: dijo: "¡No "¡No digas digas que que es es imposible!imposible! más bien di

más bien di ¡N° lo he in¡N° lo he intentado todavía!.... ptentado todavía!.... pero .... ¡Alláero .... ¡Allá voy!”

voy!”

Hay grandes hombre que hacen Hay grandes hombre que hacen a los demás sentirse pequeños. a los demás sentirse pequeños.

1)

1) Pendiente en el café: Esta mañanPendiente en el café: Esta mañana se me cayó una se me cayó un pendiente en el café. Y aunque la tasa estaba llena, el pendiente en el café. Y aunque la tasa estaba llena, el pendiente no se mojo. ¿sera posible?.

pendiente no se mojo. ¿sera posible?. Rpta.:

Rpta.: 2)

2) Un granjero Un granjero tiene 75 tiene 75 pavos. Vino pavos. Vino la plaga la plaga y murieron y murieron todostodos menos 5. ¿Cuántos pavos quedan?

menos 5. ¿Cuántos pavos quedan? Rpta.:

Rpta.: 3)

3) Tengo 100 silTengo 100 sillas y ciento las y ciento cincuenta nicincuenta niños. ¿Cuántas sillños. ¿Cuántas sillasas quedan ?

quedan ? Rpta.: Rpta.: 4)

4) Si Domingo Si Domingo murió y murió y el Sábado el Sábado lo enterraron, lo enterraron, ¿Cuál fue ¿Cuál fue elel Ultimo día que vivió?

Ultimo día que vivió? Rpta.:

Rpta.: 5)

5) Con que debo lCon que debo llenar una caja lenar una caja de metal para que de metal para que pesepese menos?

menos? Rpta.: Rpta.: 6)

6) La botella La botella y el corcho y el corcho : Una bot: Una botella de viella de vino, taponada no, taponada concon un corcho este llene hasta la mitad ¿Que podemos hacer un corcho este llene hasta la mitad ¿Que podemos hacer para beber el vino sin sacar

para beber el vino sin sacar el corcho ni romper la botella?.el corcho ni romper la botella?. Rpta.:

Rpta.: 7)

7) Si un Si un tren eléctrico tren eléctrico transita de transita de sur a nsur a norte, ¿Hacia orte, ¿Hacia donde sedonde se dirige el humo?

dirige el humo? Rpta.:

Rpta.:

8) ¿Cuántos panes como máximo, to puedes comer con el 8) ¿Cuántos panes como máximo, to puedes comer con el

estomago vació? estomago vació? Rpta.:

Rpta.: 9)

9) Si Mario cae a Si Mario cae a un pozo con aun pozo con agua de poca profungua de poca profundidad.didad. ¿Cómo sale?

¿Cómo sale? Rpta.: Rpta.:

10) Los esposos García tienen tres hijas y cada hija tiene un 10) Los esposos García tienen tres hijas y cada hija tiene un

hermano. ¿Cuántas personas hay en total? hermano. ¿Cuántas personas hay en total? Rpta.:

Rpta.:

11) El naranjo: Subió a un árbol de naranjas, sin naranjas, y 11) El naranjo: Subió a un árbol de naranjas, sin naranjas, y

bajo con naranjas. Como se explica esto? bajo con naranjas. Como se explica esto? Rpta.:

Rpta.:

Actividad

Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria

(3)

12) Un barco se hundió entre las fronteras de Perú y Chile, con 80 pasajeros a bordo, mueren 60 ¿En que país entierran a los sobrevivientes?

Rpta.:

13) Quien lo hace lo hace silbando, quien lo compra lo hace llorando y quien lo usa, no lo ve; ¿Que será?

Rpta.:

14) Si el día de hoy fuese como mañana faltarían 3 días para ser viernes, ¿Que día es hoy?

Rpta.:

15) Por una calle van 3 triciclos, en cada triciclo van 3 cajones y en cada cajón 3 conejos. ¿Cuántos conejos vienen?

Rpta.:

16) Los siete pescados: Hay siete personas sentadas a la mesa . Entre la criada con una fuente con siete pescados; cada uno de los comensales se sirve una y queda en una fuente ¿Cómo es posible?

Rpta.:

17) Un sastre cortador: Un sastre corta cada minuto un metro de una tela que mide diez metros ¿Cuánto tardara en tenerla completamente cortada?

Rpta.:

18) Un ladrillo tiene 6 caras. Si se forma un bloque con dos ladrillos ¿Cuántas caras tiene este bloque?

Rpta.:

19) Un caracol sube por un acantilado de 9m de altura. Cada día por cada 3m que sube baja 2m. ¿Cuántos días tardaría para llegar a la cima?

Rpta.:

20) La mitad de 4 mas la mitad de 6 mas la mitad de 6 y 4 es: Rpta.:

1) Un chivatito nace en Huancayo y al venderlo (a los pocos días) es trasladado a Lima, ¿Dónde le salieron sus cachitos? Rpta.:

2) Un cazador dispara su escopeta hacia un árbol donde se encuentran 16 palomas. Si mata 10; ¿Cuántas quedan en el árbol?

3) Azúcar al Café: ¿Cómo puede ud. Poner un terrón de azúcar en el café sin que se le moje? Naturalmente, después de haberlo sacado de su papel o plástico.

Rpta.:

4) Se tiene una lamina cuadrangular si corto en una esquina. ¿Cuántas esquinas quedan?

Rpta.:

5) ¿Que relación de parentesco hay entre ud. Y con el hijo del hijo del padre de su madre?

Rpta.:

6) Edad del Griego: nació el séptimo día del año 40 a. de c.; y murió el séptimo día del año 40 d. de c. ,Cuántos años vivió?

Rpta.:

7) Estoy en el mar y no me ahogo, estoy en el aire y no vuelo y estoy en medio de to brazo ¿Quién soy?

Rpta.:

8) Karina, hace dos días tenia 30 años y el próximo año cumplirá 33, ¿Cuándo nació Karina?

Rpta.:

9) Si por cada tres chapitas de gaseosa, obsequian una gaseosa, por 9 chapitas, el número de gaseosas que obtendré es:

Rpta.:

10) Camino del bosque: Raquel y su perro deciden entrar en el bosque ¿Hasta que parte del mismo pueden hacerlo? Rpta.:

11) A un árbol subí donde manzanas habían, manzanas no comí ni manzanas deje, ¿Cuántas manzanas habían? Rpta.:

12) 5 monitos comen 10 plátanos en 10 minutos, ¿En cuántos minutos se comerán 4 monitos 12 plátanos?

Rpta.:

13) Una secretaria puede escribir una letra en medio segundo.

TAREA PARA LA CASA

Hay gente tan lenta de sentido común que no le queda el más pequeño

rincón para el sentido propio.

(4)

En esta sección se te recomienda:

1) Libera to imaginación. Los problemas aquí planteados tienen pequeños detalles que aparentemente no son muy útiles, sin embargo debes tenerlos en cuenta.

2) Si es posible, haz un gráfico de la situación que te plantean y en él indica los datos.

3) Debes intentar una y otra alternativa de solución al problema y decidirte por la que cumpla con el mas mínimo detalle.

4) Algunas preguntas son de tipo capcioso. Probablemente tengas que leerlos mas veces que en los problemas comunes, hasta encontrar el pequeño tr uco escondido. “El Titulo de Triunfador esta reservado solo al que se atreve”

En esta vida la paciencia ha de ser un plan de cada día; pero la necesitamos en particular para nosotros, por que nadie se nos hace tan pesado como nosotros

mismos.

San Francisco de Sales

1) Del 1 al 8 : Escribir en cada cuadradito los números del 1 al 8, con la condición de que la diferencia entre dos números vecinos no sea nunca menos que 4.

Rpta.:

2) Ahora que los viajes son rapidisimos no se acostumbra ya llevar enormes equipajes sin ser considerado un viajero anticuado. Por eso Juan en su reciente viaje a Bogotá solo llevó un equipaje que pesaba 9/10 Kg. mas 9/10 Kg. del peso de dicho equipaje ¿Cuánto pesa su equipaje?

Rpta.:

3) Se tienen 5 trozos de cadenas de 3 eslabones cada uno. Si necesitamos unirlos en un solo trozo de 15 eslabones ¿Cuántos eslabones tendremos que abrir como mínimo y soldar de nuevo para conseguirlo?

Rpta.:

4) ¿Quién es el hijo del abuelo, del bisnieto de mi abuelo? Rpta.:

5) Maritza tiene 2 hermanos, pero cada uno de sus hermanos

sólo tiene 2 hermanos. Sin embargo todos son hijos de la misma familia y tienen los mismos padres ambos vivos ¿Cuántas personas conforman la familia de Maritza? Rpta.:

6) David intentando hacer razonar a José le comenta: “José, Cómo me podrías demostrar que la mitad del número nueve es exactamente cuatro?”. Ud. ¿Cómo la haría? 7) Si disponen de 27 dados y con todos ellos forman un cubo

del cual luego pintas todas sus caras, ¿Cuántas de los 27 dados tendrán solo dos de sus caras pintadas? iAverígualo! ¡Tú Puedes!

Rpta.:

8) Utilizando cinco números 3, exprese, el número 100 mediante operaciones aritméticas ¡Inténtalo!.

Rpta.:

9) Utilizando los dígitos del 1 al 8 y sustituyendo por ellos las letras A y B. Los que pongas en B deben ser la suma de sus dos "A" vecinas.

Rpta.:

10) Boca abajo y boca arriba, tenemos sobre la mesa una hilera de copas. Hay 5 boca arriba alterándose con 4 que están boca abajo.

Se trata de ir dando vuelta a las copas, siempre de dos en dos, hasta conseguir que queden 4 boca arriba y 5 boca abajo. ¿Sera ud. Capaz de conseguirlo?

Rpta.:

11) Las cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas en la rueda que se muestra (en cada circulo) de manera que las tres cifras de cada una de las filas sume siempre 15.

Rpta.:

12. ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir con cuatro cifras iguales? ¡Piensa bien la respuesta!

MATEMÁTICA RECREATIVA

A

B

A

SUB TEMA:

Problemas

para Clases

(5)

Rpta.:

13) Si necesitamos 23 minutos para hornear un pastel: ¿Cuánto tiempo necesitamos para hornear cinco pasteles? Rpta.:

14) En un determinado mes existen 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Hallar el día de la semana que cae 25 de dicho mes?

Rpta.:

15) Distribuir los números del 1 al 8 en los ocho casilleros. de modo que no pueden haber dos números consecutivos en casilleros adyacentes.

Rpta.:

16) El cubo de primos: En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los dos de cada arista sea un número Primo.

Rpta.:

17) Si un borrachin forma un cigarro con 3 colillas: ¿Cuántos cigarros fumaria el día que recoge 14 colillas?

Rpta.:

18) Acabo de vender - dijo un granjero - nueve caballos y siete vacas en s/. 25000. Supongo que habrá recibido ud. mas por los caballos que por las vacas - repuso le un amigo suyo.

Si contesto - me han dado por cada caballo el doble que por cada vaca; ¿Cuánto se pagó por cada animal?

Rpta.:

19) Un padre de familia emocionado por saber que sus hijos aprobaron con altas notas sus cursor bimestrales, se dispone a premiarlos con dinero, para lo cual reflexiona del siguiente modo: “Si les doy S/. 15 a cada uno me faltarían S/.8 y si les doy s/.12 a cada uno me sobrarían

S/.4, ¿Cuántos hijos tenia que premiar?" Rpta.:

20) Utilizando cinco números 1, exprese el número 100 mediante operaciones aritméticas ¡Intentalo!.

Rpta.:

¿Quién puede jactarse de no tener defectos? El que examina los suyos aprende a

perdonar los ajenos.

Metastasio

1) Dos padres deciden dar propina a sus respectivos hijos. uno de ellos dio a su hijo 150 soles, mientras que el otro dio a su hijo 100, sin embargo los 2 hijos juntos aumentaron su capital solo en 150. 6 ¿Cómo es posible esto?

Rpta.:

2) Con una lupa que aumenta cuatro veces, se observe un ángulo dibujado en un papel de 15 grados de medida; razona y contesta: ¿Cuál Sera la medida que tendría el ángulo a través de la lupa?

Rpta.:

3) Andrea le pide propina a su papi y este le da 12 monedas de un sol y le dice “Forma con estas monedas seis filas de 4 monedas cada fila y luego serán tuyas”. Si Andrea lo logró: ¿Cómo lo hizo?.

Rpta.:

4) En cada uno de los casilleros que aparecen se debe ubicar un número de modo que al completarlo, se hallan usado los números 1;2;....;9. Si además no deben haber dos casilleros con un lado o vértice común que contengan 2 números consecutivos ¿Cómo hacerlo?.

Rpta.:

5) Supongamos que tenemos un papel cuadrado de área

2 2

1m y lo dividimos en cuadraditos de 1 mm de área. Si los colocamos luego en fila ¿Qué longitud se obtendría?. Rpta.:

TAREA PARA LA CASA

(6)

6) Utilizando cinco números 5, exprese el número 100 mediante operaciones aritméticas ¡Intentalo!.

Rpta.:

7) La configuración que se expone a c o n t i n u a c i ó n , representa una igualdad incorrecta; moviendo solo un palito de los mostrados, transformar dicha false igualdad en una igualdad verdadera.

Rpta.:

8) Jorge le preguntó a su profesor por su edad y este le contesto: “Mi edad es el - exceso del quíntuple de la edad que tendré dentro de 7 años, sobre el quíntuple de la edad que tuve hace dos años”. ¿Cuál es la edad del profesor? Rpta.:

9) El cuadrado sin marco: Este cuadrado se lo doy a ud. Con marco por S/. 12 – dijo el vendedor, sin embargo en otro marco que cuesta la mitad que este, se lo vendo a S/.10, ¿Cuánto cuesta el cuadro sin marco?.

Rpta.:

10) En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los 4 de cada arista sea un número primo

Rpta.:

11) Alfredo y Jorge son respectivamente el primero y el Ultimo de los hermanos de una familia; la suma de s us edades es

20 arios y Alfredo es 15 años mayor que Jorge. ¿Cuántas veces la edad de Jorge tiene Alfredo?

Rpta.:

12) Juguemos con el reloj : Divide la esfera del reloj en 6 partes, como lo desee, pero de modo que en cada parte la suma de los números que en el aparecen sea la misma

Rpta.:

13) En la siguiente figura tenemos una "casita" con palitos de fósforo. Si solo moviéramos tres palitos convertiríamos la "casita" en cuatro triángulos de lados guales cada uno. ¿Te atreves a mover esos tres palitos?.

(7)

CONTEO DE FIGURAS, trazos y lineas

Observa ¿Cuántos cuadrados distintos

puedes contar en el dibujo del joven hindú

con turbantes?

¿Cuántos triángulos distintos

puedes contar en el dibujo del gato?

Objetivos:

* Desarrollar la capacidad de observación y análisis en el estudiante.

* Proporcionar al alumno estrategias y métodos de conteo así como herramientas de análisis de figuras.

Capacidades a Desarrollar 1. Razonamiento y Demostración

2. Comunicación Matemática (Interpretación de Gráficos y Expres - Simbólicas)

(8)

CONTEO DE FIGURAS

CONTEO POR INDUCCIÓN

CONTEO DIRECTO

Capacidades a Desarrollar:

Capacidad I. Razonamiento y Demostración

Capacidad II. Interpret ación de gráficos y representaci ones

CONTEO POR FÓRMULA

RED CONCEPTUAL

* COLECCIÓN - PAMER (ACADEMIA)

* EDITORIAL - ADUNI (COMPENDIO)

* EDITORIAL - COVEÑAS

Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria

L OGRAFÍA:

BIBLIOGRAFÍA:

(9)

Conteo de Figuras

Los ejercicios de conteo de figuras generalmente forman parte de todos los exámenes de ingreso a los centros de estudios de educación superior. No por que impliquen el use de complicadas operaciones matemáticas; sino, por que evalúan el nivel de análisis, de síntesis y la capacidad de atención y concentración del postulante.

Este tipo de ejercicios también desarrollan la percepción visual, entrenan la atención y concentración, por lo tanto, contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico matemático.

Para contar figuras se presentan los siguientes métodos: 1.- El Método de Schoenk :En este método se le asigna a

números o letras a cada una de las figuras simples que forman la figura completa, dichos números o letras se colocan de menor a mayor, para luego contar las figuras agrupándolas en forma ascendente.

Ejemplo:

¿Cuantos Triángulos hay en la figura?

Solución

Se empieza el conteo de la siguiente forma: Figura de un número : 1, 2, 3 = 3

Figura de dos números : 23 = 1 (+) Figura de tres números : 123 = 1

Luego sumamos las respuestas total = 5 Triángulos 2.- El Método mediante la inducción: (Formula) en este

método se aplica la fórmula de la sumatoria de los números naturales para la cual veamos cómo salió esta fórmula: Si: 6 = 1 + 2 + 3 6 = 3 + 2 + 1 (+) 6 + 6 = 4 + 4 + 4 2 x 6 = 4 x 3 6 = 6

De aca se deduce la formula:

Ejemplos

1. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

Solución

Primero se colocan los números de forma creciente y consecutiva comenzando de la unidad:

luego: Sumamos los números

1 + 2 + 3 = 6 segmentos en total.

2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura hay en la siguiente figura?

Solución:

Colocamos los números comenzando de la unidad en cada uno de los espacios de la figura.

Luego: sumamos los números 1 + 2 + 3 + 4 + 5 1

2 3

Se puede colocar otra vez luego procedemos a la suma

6 = 4 x 3 2 ╗ ╗ S 2  1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 S 2 5 x 10 S 2 S 25     1 2 3

Compendio Académico - I Bimestre



(10)

Solución:

Método practico: Contamos los cuadros cada uno dibujado y nos resulta 8 en total, luego:

Cuadriláteros en total

Observación:Estos métodos solo se aplican a estos tipos de figuras.

01. Cuántos segmentos hay:

Rpta.:

02. Calcular el número de segmentos que aparecen en la siguiente figura.

Rpta.:

03. Calcular la cantidad de segmentos que se pueden ubicar en la siguiente figura:

Rpta.:

04. Un profesor ofrece a un alumno de 1° B un cierto puntaje por cada segmento que encuentre en la figura siguiente:

Rpta.:

05. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Rpta.:

06.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Rpta.:

07. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Rpta.:

08. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

Rpta.:

09.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 8(8 1) S 2 8 x 9 S 2 S 36    

Me preguntas ¿Qué es Dios? no se que decirte; lo que si puedo afirmar es que siempre será mucho más de lo que

la naturaleza humana puede ofrecerte Francisco Jaramillo

Actividad

C B A I H G F E D

(11)

Rpta.:

10. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

Rpta.:

12. Se ofrece una recompensa de S/. 3 por cada cuadrilátero que aparezca en la siguiente figura. ¿Cuánto de recompensa recibirá el que de la cantidad exacta de cuadriláteros?

Rpta.:

13. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Rpta.:

16. ¿Cuántos hexágonos hay en la siguiente figura?

Rpta.:

Ninguno puede ser feliz si no se aprecia a sí mismo

Jean Jacques Rousseau

(12)

Rpta.:

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

02. ¿Cuántos segmentos hay?

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 15

03. ¿Cuántos cuadriláteros hay?

a) 4 b) 3 c) 8

d) 6 e) N. A.

04. ¿Cuántos triángulos hay?

a) 14 b) 26 c) 42

d) 36 e) 24

05. ¿Cuántos cuadriláteros hay?

a) 6 b) 8 c) 9

d) 18 e) 15

06. ¿Cuántos semicírculos hay?

a) 4 b) 8 c) 12

d) 16 e) 24

07. ¿Cuántos triángulos hay?

a) 26 b) 22 c) 13

d) 17 e) 24

08.¿Cuántos trapecios hay?

TAREA PARA LA CASA

(13)

a) 21 b) 17 c) 9

d) 6 e) 7

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

a) 30 b) 31 c) 35

d) 42 e) 28

a) 26 b) 22 c) 21

d) 20 e) 24

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

a) 9 b) 12 c) 8

d) 13 e) 11

a) 6 b) 9 c) 12

d) 15 e) 18

a) 27 b) 30 c) 29

d) 26 e) 28

01. Cuántos triángulos hay en:

a) 8 b) 11 c) 13

d) 14 e) 16

a) 12 b) 17 c) 18

d) 19 e) 24

03. Cuántos cuadrados contienen dos asteriscos en su interior:

Practicando

en Clases

*

* *

*

(14)

04. Cuántos rectángulos hay en:

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) más de 16 05. Cuántos cuadrados hay en:

a) 14 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

06. Cuántos cuadrados hay en:

a) 10 b) 9 c) 11

d) 12 e) 13

07. Cuántos triángulos tienen un asterisco (*)

a) 5 b) 6 c) 8

d) 9 e) 10

08. Cuántos trapecios hay en:

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) más de 12 09. Cuántas semicircunferencias hay en:

a) 12 b) 18 c) 30

d) 21 e) 24

10. Cuántos bloques están en contacto con otros “7” y cuántos con otros “5” en:

a) 4,5 b) 2,5 c) 2,2

d) 4,4 e) 3,2

11. El número total de triángulos en la figura es:

a) 10 b) 12 c) 14

d) 15 e) más de 15

12. El número total de sectores circulares que puede contarse es:

a) 30 b) 35 c) 40

d) 45 e) 60

a) 18 b) 30 c) 33

d) 34 e) 40

14. Calcular el número total de triángulos en:

a) 30 b) 21 c) 31

d) 41 e) 51

15. El número total de triángulos en la figura es: 3

7 6 1 2

(15)

Ejemplo:

* La figura es posible dibujarla de un solo trazo sin pasar por una misma línea 2 veces.

* Vértice

Ejemplo

Vértice par:

Es aquel punto donde convergen un número

de lineas

Vértice Impar:

Es aquel punto donde convergen un número

de lineas

Ejemplo:

Aplicación:

En la siguiente figura, hallar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente.

Vértices pares = Vértices impares =

CONDICIONES NECESARIAS

1. La figura es posible dibujarla de un solo trazo si posee sólo vértices

Ejemplo:

TRAZADO DE FIGURAS

¡Hola amigos!

y seguimos pues con el estudio de FIGURAS

pero ya no vamos a contar si no vamos a ver si es posible dibujarlos

de un solo trazo sin levantar el lápiz

Primero hay que entender el concepto de vértice

(16)

2. La figura es posible dibujarla de un sólo trazo si posee a lo más 2 vértices empezando por uno de esos puntos y terminando en el punto. Ejemplo:

3. Si la figura posee más de 2 vértices no es posible dibujarlo de un solo trazo. Ejemplo:

01. Colocar verdadero (V) o (F) según:

* Un vértice es la intersección de 2 líneas o más. ( )

* Vértice par es aquel donde convergen un número par de

líneas. ( )

* Vértice impar es aquel donde convergen 3 líneas ( ) 02. Para que sea posible recorrer una figura sin pasar una

misma línea 2 veces. La figura debe tener a lo más_______________

03. La siguiente figura es posible dibujarla de un solo trazo comenzando desde un vértice y terminando en el mismo vértice.

a) Verdadero b) Falso

04. La siguiente figura es posible dibujarlo o recorrerlo sin pasar por el mismo trazo.

a) Verdadero b) Falso

05. La siguiente figura no es posible dibujarla de un solo trazo.

a) Verdadero

b) Falso

06. A continuación de las preguntas del 6 al 13 se dan 3 pares de figuras ¿Cual de ellas es posible dibujarla de un solo trazo? a) I b) II c) II y III d) I, II y III e) I y II 07. a) Sólo II b) I y II c) III d) Sólo I e) ninguno 08. ¡RECUERDEN! Utiliza bien estas 3 condiciones y todo será fácil.

Actividad

I _II

III

I II

III

(17)

a) I y III b) II y III c) I y II d) Todas e) II y III 09. a) Sólo II b) I c) III d) I y III e) I y II 10. a) I y II b) III y I c) II y III d) Todos e) Ninguno 11. a) I b) I y II c) II y III d) II e) III 12. a) I b) III c) I y III d) II y III e) I y II 13. a) I y II b) II y III c) I y III d) todos e) ninguno

14. ABCD es un cuadrado de 8cm. de lado el cual se ha dividido en 4 partes iguales. ¿Cuántos centímetros como mínimo se deben recorrer con el lápiz para dibujarlo sin levantar el lápiz del papel?

15. Un maratonista desea recorrer una ciudad con la condición de pasar tan sólo una vez por cada calle o avenida. ¿Podrá lograrlo?

a) Si b) no

c) no se sabe d) tal vez e) es imposible

01. Colocar verdadero (V) o falso (F) según:

* Vértice par es aquel punto en el cual convergen un

número par de lineas. ( )

* Si una figura tiene vértices pares no es posible d i b u j a r l o d e u n s o l o t r a z o ( ) II I III I II III I II III I II III

A

B

D

C

TAREA PARA LA CASA

Compendio Académico - I Bimestre

(18)

02. En el gráfico indicar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente. a) 8 y 12 b) 11 y 9 c) 15 y 5 d) 17 y 3 e) 14 y 6

03. La siguiente figura es posible dibujando de un solo trazo comenzando desde vértice y terminando en el mismo vértice.

a) verdadero b) falso

04. La siguiente figura es posible dibujarlo o recorrerlo sin pasar por el mismo trazo.

05. La siguiente figura no es posible recorrerlo sin pasar una vez por un mismo trazo.

A continuación de las preguntas del 6 al 13 se dan tres pares de figuras . ¿Cuál de ellas es posible dibujarlo o recorrerlo de u solo trazo?

06. a) I b) II c) I y II d) Todos e) II y III 07. a) II b) II y III c) I y II d) III e) Ninguno 08.

a) Sólo III b) Sólo II c) Sólo II d) I y III e) II y III

09.

a) II y III b) I y II c) Sólo I d) Sólo II e) Sólo III

10. a) I y III b) II y III c) I y II d) Todos e) Ninguno 11.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 12. a) II y I b) II y III c) Sólo I I II III I II III I II III I II III I II III III I II I II III I II III

(19)

A. Construir las siguientes figuras de un sólo trazo comenzando de cualquier punto.

Indicar si se puede o no. 01. a) SI b) NO 02. a) SI b) NO 03. a) SI b) NO 04. a) SI b) NO 05. a) SI b) NO 06. 07. a) SI b) NO 08. a) SI b) NO 09. a) SI b) NO 10. a) SI b) NO

B. De las figuras que se muestran a continuación. ¿Cuántos no se puede realizar con un trazo continuo y si pasar dos veces por el mismo trazo pudiendo cruzarse los trazos?. 01.

Guía de

Clase

(20)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N. A. 02. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Todas 03. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) todas 04.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I y III

05.

a) Sólo I b) Sólo II c) II y III d) I y III e) I y II

C.

01. Podrá un perro que se encuentra en su casa coger un hueso, con la condición de que recorra todo el trayecto, sin

pasar dos veces por el mismo trayecto, pudiendo cruzarse los recorridos.

a) Si b) No c) no se puede

d) faltan datos e) no me sale

02. ¿Podrá un joven entrar al laberinto y recorrer todos los caminos, sin pasar dos veces por un mismo trazo, pudiendo cruzarse en los recorridos hechos?

a) Si, si entra por “A” b) No puede

c) Si, si entre por “B” d) Se pierde

e) N. A.

03. Podrá un pirata entrar a un laberinto y recorrer todos los caminos, sin pasar dos veces por un mismo tramo, pudiendo cruzar los recorridos hechos.

a) Si b) No c) le faltaría un tramo d) faltan datos e) se cansa D. Cerillos:

01. De los siguientes gráficos mover un cerillo para que se verifique la igualdad: a) b) c) d)

(III)

(II)

(I)

(I) (II) (III)

(I) (II) (III) A B          

(21)

OPERADORES MATEMÁTICOS

Este es un capitulo de poca dificultad, pero de gran aplicación, su objeto fundamental al utilizarlo en una prueba de admisión , es medir la capacidad del alumno para captar relaciones nuevas, a los que se supone no esta acostumbrado; el principio fundamental que se utiliza en estos problemas, es el valor numérico.

* ¿Qué es una Operación Matemática?

Es un procedimiento que se emplea para transformar con Sujeción a ciertas reglas, una o varias cantidades o funciones, en otros, ó también para efectuar con ellos determinados cálculos.

* ¿Qué es un Operador Matemático?

Es un símbolo determinado que sirve para representar a una determinada operación matemática. Así por ejemplo: +  Representa la Operación Suma.

-  Representa la Operación Resta.

 Representa la Operación Radicación.

Teniendo como base las operaciones anteriores, es que se “CREAN” nuevas operaciones, con diferentes reglas de definición, arbitrariamente elegidos; reglas que se obtienen combinando, según como queramos, a nuestras operaciones usuales básicos o conocidos ( +; -; ; etc). Y para representarlos podemos también utilizar “nuevos” símbolos escogidos al azar.

No esta demás decir; que las “nuevas” operaciones

pueden ser definidas para uno, dos, tres o más cantidades según nuestro deseo.

Ejemplo de una de estas operaciones sería:

a  b = a2 + 5b 

Hallar: 52 Solución:

OPERADORES MATEMÁTICOS

¿Puedes escribir del 1 al 10 utilizando 4

veces el número cuatro y solamente las

Objetivos:

1. Conocer en todas sus variantes el concepto de operación matemática

2. Conocer diversas formas de definición de operación matemática

3 . C o m p r e n d e r p r o p i e d a d e s d e l a s operaciones matemáticas.

4. Conocer la definición de ley de composición interna y sentar las bases para su estudio

Marco conceptual

OPERACIONES MATEMÁTICAS OPERADORES MATEMÁTICOS CLASES OPERADORES COMPLEJOS OPERADORES SIMPLES OPERADORES CON TABLAS Nueva operación en este caso definido por 2 cantidades: a y b, los representan. Regla de definición Símbolo arbitrario u operador a 5 5x2 25 10 35 b 2         

“El optimista se equivoca con tanta frecuencia como el pesimista, pero es incomparablemente feliz”.

N. Hill * RAZ. MATEMÁTICO * RAZ. MATEMÁTICO   EDITORIAL ADUNI EDITORIAL COVEÑAS

Compendio Académico - I Bimestre

5

L OGRAFÍA:

BI BLI OGRAFÍA:

(22)

01. Si a b = 4a + 5b Calcular: 23 Rpta.: 2 2 02. Si m # n = m + n Calcular: 1 # 5 Rpta.: 2

03. es un operador de tal modo que: x  y = x + 5y; según esto, calcular: 25

Rpta.:

04. Si y = 5y + 1, hallar el valor de:

Rpta.:

05. Calcular 7 1 sabiendo que m n = 5 (m + n) - 5 (m - n) Rpta.: 06. Si se cumple que: x = 3x - 1 Hallar : 4 - 2 2 Rpta.: 2 2 07. Sabiendo que x y = x + y Calcular: (5 1) (3 2) Rpta.: 08. Si pq = + 2, hallar: (82)(33) Rpta.:

09. Si se sabe que: m n = 2m + 3n; hallar: (12)(31) Rpta.:

10. Si se cumple que: m n = mn + 1; si: m > n, y m n = m + n - 1; si: m < n . Hallar (82)(35) Rpta.:

11. Si se sabe que: x * y = (x + y + 1)(x + y - 1)hallar:(8 * 1)*10 Rpta.:

13. Siendo # una operación definida por; x # y = x2 - y3; calcular:

[(-1) # (-2)] # [(+1) # (+2)] Rpta.:

14. Si x % y = (x + y)(xy), calcular el valor de (-1)%(-2) Rpta.:

2

15. Si m n = mn + 1; si: m es par m n = (m + n) ; si m es impar hallar: (43)2

Rpta.:

16. es un operador de tal modo que: x = 7x - 25 si x> 4 x = 25 - 7x si x < 4; calcular 2 + 5 - 1 Rpta.: 17. Sabiendo que: m = 2m + 3, Hallar: 5 Rpta.: 2 3 18. Si a c = 3a + 2c ; calcular el valor de (21)(10) Rpta.: 19. Sabiendo que a = 2a + 5 Hallar el valor de: 3 + 1 Rpta.: 20. Si: 2 2 m n = (m + n)(m - mn + n )

1

p q

TAREA PARA LA CASA

01. Si a # b = (a + b)(a - b); Calcular: 7 # 2 a) 46 b) 44 c) 42 d) 45 e) 49 2 5 02. Si se conoce que: m @ n = 5m - 2m ; Calcular el valor de 1 @ 0 a) 6 b) 5 c) 10 2

_-

6 - 2

Problemas

para la Clase

(23)

03. Si x = 5x + 1, calcular 2 a) 8 b) 3 c) 5 d) 11 e) 17 2 3 04. Si a c = 3a + 2c , calcular el valor de (21)(10) a) 542 b) 510 c) 642 d) 480 e) 417 05. Sabiendo que: x = 2x + 7, Calcular: a) 57 b) 25 c) 37 d) 55 e) 47 N 06. Si se sabe que: MN = M - 1 , Hallar: (32)2 a) 64 b) 24 c) 63 d) 15 e) 35

07. Calcular 5 2 sabiendo que:

2 2 x y = (x + y) + (x - y) a) 51 b) 16 c) 58 d) 69 e) 70 2 2 08. Si a # b = (a + b) - (a - b) ; Hallar: (2 # 1) # 3 a) 93 b) 111 c) 96 d) 114 e) 120 09. Si se sabe que: 2

z = z + z + 1, calcular el valor de.

1 + 2 a) 8 b) 10 c) 13 d) 15 e) 9 a b 10. Se sabe que: a ( ) b = a + b ; Hallar: [3 ( ) 2] - 29 a) 2 b) 4 c) 3 d) 31 e) 19 11. Si: n = -n; hallar:8-4- (2+ 1) a) -13 b) 15 c) -15 d) 13 e) -12 12. Se sabe que: a) 15 b) 35 c) 20 d) 38 e) 42 2 2 13. Si x y = x + 2xy + y ; Calcular: (-1) (-2) a) 7 b) 6 c) 11 d) 5 e) 9 14. Si: pq = , hallar: 2(11 725)726 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

15. Si: a = 2a ; hallar el valor de:

1

A B C 3 8 4 = AB - C 8 4 12 + p + 1 3

2 Compendio Académico - I Bimestre

(24)

 c b a a b c a b c b c a c a b SUB TEMA: OPERADORES MATEMÁTICOS

Hoy veremos el capitulo más sencillo de 1er bimestres sólo tienes que tener en cuenta las 4 operaciones fundamentales. * OPERACIÓN MATEMÁTICA * OPERADOR MATEMÁTICO 1. Mediante Formula: Ejemplo: a b = 2a + 3b Luego: 12 = 35 = Ejemplo: x = 2x + 3 Luego: 2 = 3 = 2. Mediante Tabla:

Es el conjunto A = {a, b, c, d} podemos definir la siguiente tabla.

ad = cd =

Se puede usar cualquier símbolo para mi “nueva operación matemática”

Ejemplo:, #,,,,,, ..., etc.

PROPIEDADES DE LA OPERACIONES MATEMÁTICAS. 1. CLAUSURA O CERRADURA.

Si a y b pertenecen a un conjunto “C” por ejemplo, la operación definida también pertenecen a dicho conjunto.

Ejemplo: EnN la suma es cerrada

3 + 4 = 7

3N , 4N entonces 7 N

- EnN la multiplicación es cerrada:

8 x 5 = 40 8N , 5N entonces 40N Aplicación: - EnN se define: a b = 3a + 4b ¿Es cerrada? Solución:

- En A = {a, b, c} se define la tabla:

¿Es cerrada? Solución: OPERACIÓN OPERADOR Suma + Resta -Multiplicación  División   a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d

(25)

 m n p m n p n p m p m n m n p 2. PROPIEDAD CONMUTATIVA _a,b C a b = b  a

Ejemplos:EnN la suma es conmutativa

8 + 3 = 3 + 4 2 + 7 = 7 + 2 - EnZla multiplicación es conmutativa. * 8 x 3 = 3 x 8 * 7 x 2 = 2 x 7 Aplicación: - EnN se define a = a + b + 3 ¿Será conmutativa? Solución:

- En C = {m, n, p} se define la tabla. ¿es conmutativa?

3. ELEMENTO NEUTRO

Es aquel que operando con cualquier número se obtiene el mismo número.

Ejemplos:

- El elemento neutro de la suma es el 0 3 + 0 = 3, 11 + 0 = 11

- El elemento neutro de la multiplicación es el 1. 4 x 1 = 4, 19 x 1 = 19 , etc

Aplicación:

- EnN se define: a b = a - b + 2

¿Cuál será el elemento neutro? Solución:

- En B = {x, y, z} se define la tabla.

¿Cuál será el elemento neutro? 4. ELEMENTO INVERSO

Es aquel que operando con un número se obtiene el elemento neutro. El inverso de un número es único para ese número.

Ejemplo: En la suma el inverso de 4 es -4

Por que 4 (-4) = 0 Aplicación:

* Del ejemplo anterior para la operación  hallar el inverso de 3 y el inverso de 5.

-1

Inverso de 3 (3 ) =

-1

Inverso de 5 (5 )=

* Del ejemplo anterior de la tabla, hallar:

-1 Inverso de x (x ) = -1 Inverso de y (y ) = - 1 Inverso de z (z ) =

01. La operación matemática en un proceso que consiste en la ________________ de una o más ___________ en otra cantidad llamada _____________.

02. la operación matemática es representada por un símbolo llamado. 03. Si: a b = 2a + b Hallar: 3 4  x y z z x y x y z y z x z x y

Actividad

 a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d

(26)

 a a c d e a b b c d e b d e a b c c e a b c d d a b c d e e b c d e a  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 1 1 4 1 2 1 1 4 2 1 2 2 4  0 1 2 3 0 1 2 3 2 2 0 3 3 3 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 04. Se define en: A = {a, b, c, d} la siguiente tabla:

Hallar: (bd)(ac) a) a b) b c) c d) d e) b y d 05. Se define: 2 x = x + 3x Hallar: 4 + 5 a) 66 b) 67 c) 68 d) 69 e) 70 06. Si m # n = 2m + 3n Hallar: (2 # 3) # (4 # 2) a) 76 b) 77 c) 78 d) 79 e) 80 07. Se define: Calcular: P = (2 1) (12) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 08. Si: 2 = a - bc Hallar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 09. Se define en: A {2, 3, 4} Calcular: a) 1 b) 2 c) 0,5 d) 0,2 e) 3

10. Dada la siguiente tabla:

Calcular:

a) b b) a c) a /b

d) 1 e) d

11. Se tiene la siguiente tabla:

Hallar el elemento Neutro.

a) m b) n c) p

d) q e) r

12. Del ejercicio anterior:

-1 -1 -1 -1 Hallar: (n p )(q r ) a) m b) n c) p d) q e) r 13. Si: x = 2(x - 1) x = 3(x - 1) Hallar x en: a) 4 /7 b) 7 /3 c) 13/7 d) 13/6 e) 13/3 14. En el conjunto: A = {0, 1, 2, 3, 4} b " b a b a b; a b          a b c 4 3 2 3 2 1

- 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 S (2* 3)* (3* 4)   a b c d a b c d c d a b d a b c a b c d b c d a "  " l | S (a* b)* (c* d)  = x 2  m n p q m n p q p q m n q p n r m n p q n r q p r r m r n r r m r n p

Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria

(27)

v z x y z v w  w x y z y y z v w x w z v w x y x v w x y z y w x y z w 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 5 7 7 7 # Hallar “x” en: (xx)(3 1) = (43)(41) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. Se define en. C = {a, b, c, d, e}

¿Cuál de las siguientes proporciones es verdadera? I. [a(x c)] d = c, si x = e

II. Se cumple la propiedad conmutativa III. Se cumple la propiedad de clausura IV. El elemento neutro es “a”

a) I y III b) III y IV c) II y III

d) Iy IV e) Todas

01. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: - Toda operación matemática presenta una regla de

definición ( )

- El elemento neutro es aquél que operado con otro elemento se obtiene el elemento inverso. ( )

- La operación matemática es representada por el

operador. ( )

- Toda operación matemática presenta elemento neutro

( ) 02. El resultado de operar un elemento con su inverso es el

__________________________________ 03. Si a b = a - 2b

Hallar 52

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

04. Se define en: A = {a, b, c, d} La siguiente tabla: Hallar: (ca)(db) a) a b) b c) c d) d e) a ó c 05. Se define: x = 2x+ 3 x = 4x - 5 Hallar: 5 + 3 a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 06. Si: m % n = 2m - n y: m n = n - 3m Hallar: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 07. Se define: Calcular: M = (5 2) (4 3) a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 08. Si: 2 = bc - a Hallar:

- TAREA PARA LA CASA

 a b c d a b c d c d a b d a b c a b c d b c d a  (20 5) " " b a b a b; a b        a b c 2 5 2 3 2 7 E (5# 6)#(6# 7)  d c b a a b c d c d a b d a b c a b c d b c d a % b   |  b " N (d%c)(b%a) 

Compendio Académico - I Bimestre

(28)

09. Se define en A = {5, 6, 7}

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 0,7

d) 0,2 e) 3

10. Dada la siguiente tabla:

Calcular:

a) a b) b c) b/a

d) 1 e) c

11. Se tiene la siguiente tabla:

Hallar el elemento neutro:

a) v b) w c) x

d) y e) z

12. Del ejercicio anterior, hallar:

-1 -1 -1 -1 -1 [(w  z )](y v )x 13. Si: x = x + 4 x = 5 - x Hallar “x” en: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 14. En el conjunto: B = {0, 1, 2, 3, 4} Hallar “x” en: (3x)(4 1) = (32)(10) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 15. Se define en: C = {m, n, p, q, r}

¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? I. Es conmutativa

II. Es cerrada

III. No tiene elemento neutro

a) I b) II y III c) III d) I y II e) todas OPERADORES MATEMÁTICOS 01. Si: K* = 2K - 1, E = E + 1, N = 4N Hallar: 5* + 7 - 9 Rpta.: 02. Si: x + 2 = x + 5 Señalar lo incorrecto a) 6 = 9 b) a = a + 3 c) - 3 = 0 d) E - 2 = E - 5 e) 100 =103 03. a - 1 = 2a Hallar: 5 + 6 + 3 Rpta.: 2 04. a  b = 3a + a Hallar: Rpta.: 05. = 3a - 2b Hallar: Rpta.: x = 3  1 4 2 3 4 1 2 3 4 3 3 4 1 2 2 4 1 2 3 1 1 2 3 4  3 0 3 2 1 0 2 1 0 1 2 1 0 3 2 1 0 3 2 3 0 3 2 1  m n p q r q p n p q r m p r m n r m n p m n p q r n p q r m r p q r m ╗ 2 (PRIMER AÑO) a b  1 2 4 x 3 x-2 a b " b a b   2 3 " b 2  ф (4 * 3)* (8 * 6) (12 * 9) 2       