Simulación de Yacimientos. Diseño del Model
Simulación de Yacimientos. Diseño del Modelo del Reservorio: Solución o del Reservorio: Solución de ecuaciones lineales en base de diferenciasde ecuaciones lineales en base de diferencias
finitas y programación. Escuela Politécnica Nacional. Ing. Petróleos. Sexto Semestre. María Alfonsina Trujillo. 13 noviembre
finitas y programación. Escuela Politécnica Nacional. Ing. Petróleos. Sexto Semestre. María Alfonsina Trujillo. 13 noviembre
de 2015
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DISEÑO DEL MODELO DEL
RESERVORIO: SOLUCIÓN DE
ECUACIONES LINEALES EN BASE
DE DIFERENCIAS FINITAS Y
PROGRAMACIÓN
Simulación de Yacimientos. Diseño del Modelo del Reservorio: Solución de ecuaciones lineales en base de diferencias finitas y programación. Escuela Politécnica Nacional. Ing. Petróleos. Sexto Semestre. María Alfonsina Trujillo. 13 noviembre de 2015
La Ingeniería de Yacimientos tiene como objetivo la máxima
recuperación económicamente posible de hidrocarburos de un yacimiento
petrolífero. Esta ciencia ha hecho uso de principios científicos para el desarrollo
de los modelos de yacimientos que son usados para simular el
comportamiento del yacimiento ante diversas opciones de producción y
recuperación de hidrocarburos. Entiéndase simulación de yacimientos como la
representación de los procesos de transferencia de masa y energía en el medio
poroso a través de ecuaciones diferenciales y su solución matemática.
Modelar el flujo de fluidos en un medio poroso permeable requerirá entonces
de ecuaciones de conservación de masa de ecuaciones constitutivas
relaciones roca-fluidos.
Por lo tanto la integración de estas ecuaciones para la formulación de otras
más complejas que integren todas las variables implicará la aplicación de
métodos de resolución. Es ahí donde nace la simulación numérica de
yacimientos que es el desarrollo de técnicas y métodos para resolve
numéricamente las ecuaciones diferenciales a fin de obtener una
representación aproximada de las ecuaciones en puntos específicos de espacio
y tiempo empleando una serie de métodos. Cabe destacar que proceso de
simulación mediante el uso de técnicas analíticas o matemáticas puede ser
difícil o hasta imposible; y es allí donde nace la simulación por computador que
surge como una herramienta poderosa para ayudar a estos procesos que no
es más que utilizar aplicaciones o programación por computador.
En el presente documento nos hemos centrado en los métodos de resolución
de ecuaciones diferenciales mediante diferencias finitas y la resolución
mediante programación; la primera
consistiendo en obtener una
representación aproximada de las ecuaciones en derivadas parciales en puntos
predeterminados del dominio en espacio y tiempo mediante el empleo de
métodos de discretización en diferencias finitas; y la segunda mediante el uso
de herramientas tecnológicas como lo es la programación computacional.
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La simulación de yacimientos
El objetivo de la simulación de yacimientos es estimar el comportamiento de un yacimiento bajo diferentes escenarios de producción, a fin de obtener la máxima recuperación, económicamente posible, de un yacimiento de hidrocarburos. Para ello, se involucra el uso de modelos matemáticos basados en , que han sido creados con el apoyo de sistemas computacionales, cuya resolución nos ayudará a seleccionar un conjunto óptimo de condiciones de operación para el reservorio. Los resultados de la resolución de las ecuaciones diferenciales, pueden ser obtenidos a partir de diferentes métodos, como lo es el método de diferencias finitas.
Método de diferencias finitas para la
resolución de ecuaciones diferenciales
La aproximación por medio de diferencias finitas es el método más antiguo aplicado para obtener la solución numérica de ecuaciones diferenciales.
Características
El Método consiste en una aproximación de
las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados.
Como resultado de la aproximación, la
ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados.
El valor de los puntos seleccionados se
convierten en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas.
El cálculo diferencial por diferencias finitas
es apropiado para funciones continuas solamente; sin embargo, en aplicaciones de ingeniería de yacimientos, situaciones donde los valores funcionales son conocidos solo en puntos discretos son frecuentes de encontrar.
Figura.- Puntos discretos usados en aproximaciones de diferencias finitas
RECURSOS
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Integración de Ecuaciones para la
modelación numérica
Modelar el flujo de fluidos en un medio poroso permeable requerirá entonces de ecuaciones de conservación de masa, ecuaciones constitutivas, y relaciones roca fluidos. La simulación como una representación de los procesos de transferencia de masa, y en algunas instancias de energía, a través del medio poroso de las estructuras geológicas, integra a las ecuaciones y leyes que describen dicho movimiento para la formulación de las ecuaciones diferenciales. Estas son las siguientes:
Ley de la conservación de masa y
energía; Balance de materiales
Ecuación de estado: Describe el
comportamiento volumétrico de los fluidos.
Ecuación de Darcy: Describe el
movimiento de los fluidos en el medio poroso.
Ecuación de Focheimmer: Describe el
movimiento de fluidos que no se comportan bajo la ley de Darcy.
Técnica de las diferencias finitas
El método de diferencias finitas es un clásica
aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo.
Una diferencia finita es una expresión
matemática de la forma f(x + b) − f(x +a).
Básicamente, en una solución por
diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).
Programación: Algoritmos en programas
computacionales de Simulación de
Yacimientos
Los algoritmos en simulación se basan en la solución de ecuaciones diferenciales. Entre mayor sea este, la capacidad de los sistemas computacionales deben ser mejores en cuanto a memoria (que refiere al manejo de la data), como a tiempo de procesamiento de los datos. Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en la que interviene la derivación de funciones respecto a una o más variables, sean estas dependientes o independientes. El número de ecuaciones e incógnitas, para un problema establecido, dependerá del total de bloques o celdas, en la que se discretiza el dominio de interés.
Fig.- Dibujo Esquemático computacional de la ubicación Relativa de los Pozos en un Anticlinal.
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Ejemplo de Resolución: Aproximaciones en diferencias finitas
El próximo paso para la resolución numérica de una ecuación diferencial parcial utilizando el MDF es el reemplazo de las derivadas continuas de la ecuación diferencial por las expresiones equivalentes en diferencias finitas. Esto se logra utilizando el desarrollo en serie de Taylor de la variable dependiente alrededor de un punto particular de la malla. Para ello, la variable dependiente en un nodo de la malla es indicada utilizando como subíndice y superíndice los índices que se utilizan para denotar dicho nodo. Así, por ejemplo, la función T(x, t) en el nodo (i;j) es expresada de la siguiente manera:
Para ejemplificar el procedimiento de aproximación, se considerará la derivada parcial de primer orden de la función T con respecto al tiempo. Para ello, se utilizará el desarrollo en serie de Taylor de T en (xi; tj) y se lo evaluará en (xi; tj+1). De esta manera se obtiene:
Donde Rm+1 es el término residual que está dado por:
El término residual Rm+1 es el error asociado con el truncamiento de la serie de
Taylor. Es importante conocer el orden de dicho error, es decir, conocer la forma en que el error tiende a cero cuando ht → 0. Como se puede observar, el
término residual Rm+1 depende de htm+1, por lo tanto, cuando ht → 0, el error
tenderá a cero como htm+1. En consecuencia, el orden de truncamiento de la
serie de Taylor para aproximar Ti j+1 es m+1. Esto es indicado con el símbolo O
(htm+1). Si se despeja la derivada parcial de primer orden de la función T con
respecto al tiempo resulta: Donde
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En particular, si se escribe el desarrollo en serie de Taylor de primer orden, entonces, la expresión anterior está dada por:
Donde el término de error es:
Una aproximación en diferencias finitas para la derivada temporal de primer orden se obtiene despreciando el término de error:
El término de error, que fue despreciado, se denomina error de truncamiento de la aproximación en diferencias finitas para la derivada temporal de primer orden de la función T. La aproximación recién obtenida es de primer orden y es llamada aproximación de diferencias progresivas. Del mismo modo, puede conseguirse una aproximación de diferencias regresivas de primer orden. Para ello, se escribe el desarrollo en serie de Taylor de T en (xi; tj) y se lo evalúa en (xi; tj-1).
Para poder obtener una aproximación en diferencias finitas para la derivada parcial de segundo orden de la función T con respecto al espacio, es necesario escribir el desarrollo en serie de Taylor de T de orden tres en (xi; tj). Evaluando dicho desarrollo en (xi-1; tj) y en (xi+1; tj) se obtiene:
Despreciando el término de error, se obtiene una aproximación de diferencias finitas de segundo orden:
Esta aproximación es denominada de diferencias centradas. Trabajando de manera similar, es posible obtener las siguientes aproximaciones en diferencias finitas:
Resolución por programación
Producto matriz-vector:
Esta operación tiene dos operandos: una matriz y un vector. El resultado es un vector. A los operandos los denominaremos respectivamente A y x, y al resultado, b. Un
problema recurrente en Ingeniería consiste en obtener cuál es el vector x cuando A y b son
dados:
La ecuación matricial Ax =b es una manera
abreviada de expresar un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, la ecuación del diagrama es equivalente al siguiente sistema de tres ecuaciones que tiene las tres incógnitas w , y yz :
En matemáticas, este sistema se representa matricialmente así:
Dado que este tipo de problemas aparece a menudo en la práctica, se aprenderá cómo obtener rápidamente la solución usando Python. Dentro de los varios módulos incluidos en NumPy (por ejemplo, ya vimos numpy.random), está el módulo numpy.linalg, que provee algunas funciones que implementan algoritmos de álgebra lineal, que es la rama de las matemáticas que estudia los problemas de este tipo. En este módulo está la función solve, que entrega la solución x de un sistema a partir de la matriz A y el vector b:
Podemos ver que el vector x en efecto satisface
la ecuación Ax = b:
Sin embargo, es importante tener en cuenta que los valores de tipo real casi nunca están representados de manera exacta en el computador, y que el resultado de un algoritmo que involucra muchas operaciones puede sufrir de algunos errores de redondeo. Por esto mismo, puede ocurrir que aunque los resultados se vean iguales en la consola, los datos obtenidos son sólo aproximaciones y no exactamente los mismos valores:
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N
O
M
E
N
C
L
A
T
U
R
A
.png: (Siglas en inglés de Gráficos
de Red Portátiles, pronunciadas
"ping") es un formato gráfico
basado en un algoritmo de
compresión sin pérdida para
bitmaps no sujeto a patentes.
(i;j): Nodo en la ecuación de
Taylor
MDF: Método de diferencias finitas
Algoritmo:
es
un
conjunto
prescrito de instrucciones o reglas
bien definidas, ordenadas y finitas
que permite realizar una actividad
mediante pasos sucesivos que no
generen dudas a quien deba
realizar dicha actividad, siendo
dados un estado inicial y una
entrada, siguiendo los pasos
sucesivos se llega a un estado final
y se obtiene una solución.
C
O
N
C
L
U
S
IO
N
E
S
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El objetivo de la simulación de
yacimientos
es
estimar
el
comportamiento
de
un
yacimiento
bajo
diferentes
escenarios de producción, a fin
de
obtener
la
máxima
recuperación, económicamente
posible, de un yacimiento de
hidrocarburos. Para ello, se
involucra el uso de modelos
matemáticos
basados
en
ecuaciones diferenciales, que
han sido creados con el apoyo
de sistemas computacionales,
cuya resolución nos ayudará a
seleccionar un conjunto óptimo
de condiciones de operación
para el reservor
io.
Modelar el flujo de fluidos en un
medio
poroso
permeable
requerirá
entonces
de
ecuaciones de conservación de
masa, ecuaciones constitutivas, y
relaciones roca fluidos.
El
proceso
de
simulación
mediante el uso de técnicas
analíticas o matemáticas puede
ser difícil o hasta imposible; y es
allí donde nace la simulación por
computador que surge como
una herramienta poderosa, para
ayudar a estos procesos.
La amplia aceptación de la
simulación de yacimientos en la
industria petrolera puede ser
atribuida a los avances de las
facilidades
computacionales
(particularmente, la velocidad de
computación y el aumento de la
memoria y almacenaje).
Los avances de las técnicas
numéricas,
para
resolver
ecuaciones
diferenciales
parciales; la generación de los
datos de entrada en los
simuladores; los avances en las
técnicas de caracterización de
yacimientos y el desarrollo de
técnicas complejas para recobro
de hidrocarburos, que de otra
manera serían imposibles de
analizar.
El método de diferencias finitas es
una clásica aproximación para
encontrar la solución numérica
de las ecuaciones que gobiernan
el modelo matemático de un
sistema continuo.
Básicamente, en una solución
por
diferencias
finitas,
las
derivadas son reemplazadas por
aproximaciones en diferencias
finitas, convirtiendo entonces un
problema
de
ecuaciones
diferenciales en un problema
algebraico fácilmente resoluble
por medios comunes.
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BIBLIOGRAFÍA
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