TEORÍA DE
POLIEDROS
Y
CONSTRUCCIÓN DE
CONSTRUCCIÓN DE UN OMNIPOLIEDRO
Introducción. Definiciones
Un poliedro es un cuerpo geométrico totalmente limitado por polígonos planos. La pa-labra “poliedro” significa; "varias caras" o "varias superficies".
En un poliedro vamos a conside-rar los siguientes elementos.
a) Caras: son los polígonos pla-nos que lo limitan.
b) Aristas: son los lados de esos polígonos.
c) Vértices: son los puntos de concurrencia de las aristas.
d) Ángulos diedros: son los formados por dos caras del poliedro, con una arista común. e) Ángulos poliedros: son los ángulos formados por tres o más caras que tienen un vér-tice común.
Un poliedro se dice que es convexo cuando todos sus ángulos diedros son positivos, o bien cuando al prolongar una cara cualquiera, el plano resultante deja de un mismo lado a todo el poliedro.
Un poliedro se dice que es cóncavo cuando posee ángulos diedros negativos o bien, cuando al prolongar una cara, el plano resultante, corta al poliedro.
Un poliedro es regular si está formado por polígonos regulares iguales y sus ángulos diedros y poliedros son iguales.
Propiedades de los poliedros
En cada vértice de un poliedro concurren m polígonos regulares de n lados. La suma de los ángulos de los polígonos, concurrentes, debe ser menor de 360º. Pues, de lo contrario se for-maría una figura plana, no sería un sólido.
Además, en un polígono regular, cada ángulo mide.
n ) 2 n ( · º 180
Por tanto, para formarse un poliedro debe cumplirse que.
m· n ) 2 n ( · º 180 < 360
POLIEDROS ESTRELLADOS Johann Kepler (1571-1630) estudió los poliedros estrellados, obtenidos a partir del pentagrama de los pitagó-ricos. La diferencia principal de estos poliedros estrellados con el resto es que son cóncavos.
Hay cuatro, dos de puntas estrelladas con pirámides pentagonales y otros dos de puntas estrelladas con pirámides triangulares. Kepler los llamó gran y pequeño dodecaedro estrellado (de 12 puntas) y gran y pequeño icosaedro estrellado (de 20 puntas).
El resto son trece sólidos diferentes:
El TETRAEDRO TRUNCADO: 4 hexágonos regulares y 3 triángulos equiláteros El CUBO TRUNCADO: 6 octógonos regulares y 8 triángulos equiláteros
El CUBOCTAEDRO: 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros
El ROMBICUBOCTAEDRO MENOR: 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros
El OCTAEDRO TRUNCADO: 8 hexágonos regulares y 6 cuadrados
El CUBO REDONDEADO: 6 cuadrado y 32 triángulos equiláteros
El ROMBICUBOCTAEDRO MAYOR: 4 octógonos regulares, 10 hexágonos regulares y
12 cuadrados
El ICOSIDODECAEDRO: 12 pentágonos regulares y 20 triángulos equiláteros
El DODECAEDRO TRUNCADO: 12 decágonos regulares y 20 triángulos equiláteros
El ICOSAEDRO TRUNCADO: 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares
El ROMBICOSIDODECAEDRO MENOR: 12 pentágonos regulares, 30 cuadrado y 20
triángulos equiláteros
El DODECAEDRO REDONDEADO: 12 pentágonos regulares y 80 triángulos
El ROMBICOSIDODECAEDRO MAYOR: 12 decágonos regulares, 20 hexágonos
Teorema de Euler
En todo poliedro convexo, el número de caras más el de vértices, es igual al de aristas más dos.
C + V = A + 2
No existen más que cinco poliedros convexos regulares. Propiedades de los 5 poliedros regulares.
NOMBRE CARAS Nº DE CARAS Nº DE VÉRTICES Nº DE ARISTAS
Tetraedro Triángulos equiláteros 4 4 6 Hexaedro o Cubo Cuadrados 6 8 12 Octaedro Triángulos equiláteros 8 6 12 Dodecaedro Pentágonos 12 20 30 Icosaedro Triángulos equiláteros 20 12 30
Áreas y volúmenes de los 5 poliedros regulares
Áreas
El área total de un poliedro se determina calculando el área de una cara y multiplicando por el número de caras.
Volúmenes
Todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro. Haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto en tantas pirámides iguales como caras tiene. Para calcular el volumen de un poliedro será sufi-ciente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del poliedro.
El volumen de una pirámide es, siendo B el área de la base y "a" la distancia del centro del poliedro al centro de la cara, distancia que se llama apotema.
El volumen de un poliedro regular es la tercera parte del producto del área de su cara por la apotema, multiplicado por el número de caras.
Nombre Área de una cara Área total Apotema Volumen
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Hexaedro
Un poco de historia
Los pitagóricos, que veían en los resultados matemáticos algo parecido a una verdad religiosa, consideraban muy importante la observación de que había sólo cinco poliedros regula-res posibles. Muchos creen que fueron ellos quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman "sólidos pitagóricos" a los poliedros regulares. (Lo más probable es que la demostración de esta afirmación se deba a los miembros de esa escuela.) Sin embargo, los arqueólogos han hallado imágenes en piedra de los poliedros regulares considerablemente más antiguas.
Esferas de piedra de unos 8 cm de diámetro talladas en forma de poliedros, recogidas en un ya-cimiento neolítico (2.000 a.C.) en Escocia
Se cree que fue Empédocles quien primero asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro con la tierra, el fuego, el agua y el aire, respectivamente. Estas sustancias eran los cua-tro "elementos" de los griegos antiguos. Luego Platón asoció el dodecaedro con el Universo pen-sando que, dado que era tan distinto de los restantes, por sus caras pentagonales, debía tener rela-ción con la sustancia de la cual estaban hechos los planetas y las estrellas. Por entonces se creía que los cuerpos celestes debían estar hechos de un elemento distinto del que estaban hechas las cosas que rodean al hombre en la Tierra. De aquí que a los poliedros regulares se los conozca
también como sólidos platónicos.
Platón afirmaba que una superficie perfectamente plana se compone de triángulos. Todos los triángulos tienen su origen en dos tipos de triángulos
Existen infinitos triángulos rectángulos escalenos (todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes), por esto Platón elige el mas bello: "aquel en el cual el cuadrado del cateto mayor es triple del cuadrado del menor".
Este triángulo rectángulo es aquel que se obtiene al dividir un triángulo equilátero por su altura (la hipotenusa es doble que el cateto menor).
Los triángulos isósceles y escalenos son los principios geométricos de los cuatro cuer-pos elementales (el fuego, la tierra, el agua y el aire); pero por encima de estos principios geo-métricos están los principios numéricos, los números, conocidos solamente por Dios y por un número reducido de hombres a quien ama.
Uniendo estos dos tipos de triángulos, Platón, forma los diferentes polígonos regulares (caras) y uniendo éstos forma los sólidos regulares (poliedros regulares). Finalmente asocia los poliedros regulares con los diferentes elementos:
El cubo La tierra
El tetraedro El fuego
El octaedro El aire
El icosaedro El agua
El dodecaedro El mundo
Desmenuzando estos cuerpos en los triángulos que lo constituyen y reajustándolos de nuevo, podemos efectuar transformaciones entre los elementos. Las partículas que poseen puntas agudas, penetran en los otros cuerpos. El agua se compone de partículas mucho mas suaves, de ahí el deslizamiento de los fluidos.
En este esquema no queda lugar para el dodecaedro. De los cinco poliedros regulares es el único que no tiene caras triangulares ni cuadradas, sino pentagonales (el pentágono era el sím-bolo místico de los pitagóricos).
Platón le asigna al dodecaedro la representación del mundo (es el poliedro que tiene un aspecto más redondeado).
Por otra parte, en excavaciones realizadas cerca de Pádova (Italia), se halló un dodecaedro etrusco (500 a.C.) que probablemente era usado como juguete o bien como base para flores o velas.
encontrado también en unas excavaciones romanas. La figura inferior corresponde a un icosaedro
Luca Pacioli (1445-1514)
Es el primer matemático del que tenemos un retrato auténtico. Luca Pacioli, fraile franciscano, aparece señalando con la mano izquierda un ejemplar de la Summa de Arithmetica (1494), mientras con la derecha indica en una pizarra una figura geométrica y una suma de números representada según la "nueva" notación. Por la posición de los ojos de los personajes, Pacioli parece estar observando el cuerpo suspendido enfrente, que es un rombicuboctaedro de cristal con agua, y comprobando alguna propiedad del mismo en el dibujo de la pizarra, a la vez que con-sulta la Summa. En la mesa, sobre el libro, aparece un dodecaedro. Su acompañante observa di-rectamente al espectador.
Leonardo da Vinci (1452-1519)
Fue la quintaesencia del hombre del Renacimiento: artista, matemático, científico e in-geniero. Gran amante de la geometría, dedicó mucho tiempo al estudio de los sólidos. Su más famosa muestra de los poliedros son las ilustraciones para el libro de Luca Pacioli (1509) La Di-vina Proporción. Estas son algunas de ellas
.
Johannes Kepler
Kepler estaba convencido de que Dios había hecho el mundo siguiendo proporciones matemáticas perfectas. Esto lo expresó en su primera obra Mysterium cosmograficum (1596).
Kepler fue un brillante pensador y un lúcido escritor, pero un desastre como profesor. Se perdía en digresiones. A veces era totalmente incomprensible. Su primer año como profesor en Graz (Austria) atrajo a un puñado escaso de alumnos; al año siguiente no había ninguno. Le distraía de aquel trabajo un incesante clamor interior de asociaciones y de especulaciones que
rivalizaban por captar su atención.
En la época de Kepler sólo se conocían seis pla-netas: Mercurio, Venus, La Tierra, Marte, Júpiter y Sa-turno . Kepler se preguntaba por qué eran sólo seis . ¿Por qué no eran más? ¿Por qué sus órbitas presentaban el es-paciamiento que Copérnico había deducido?. Nunca hasta entonces se había preguntado nadie cuestiones de este tipo. Se conocía la existencia de cinco sólidos regula-res o "platónicos" , cuyos lados eran polígonos regularegula-res
os matemáticos griegos
po ó que los números
esta-ba ubiera sólo seis planetas
era p egulares y que esos
sóli-dos o de tro, de erminarían
las Llamó a su idea El
Mis-teri Misterio Cósmico sólo
pod ómetra .
tal como los conocían los antig teriores a Pitágoras. Kepler pen relacionados. La razón de que
orque había sólo cinco sólidos , inscritos o anidados uno dent distancias del Sol a los planetas. o Cósmico . La explicación de ía estar en la Mano de Dios, el G u s s n h r r o t l e
Presentó una propuesta para que el duque de Württemberg le diera una ayuda a la in-vestigación, ofreciéndose para supervisar la construcción de sus sólidos anidados en un modelo
tridimensional que permitiera vislumbrar la gran-deza de la sagrada geometría.
Añadió que podía fabricarse de plata y piedras preciosas y que serviría también de cáliz ducal. La propuesta fue rechazada con el amable consejo de que antes construyera un modelo menos caro, de papel, a lo cual se puso manos a la obra. Pero a pesar de todos sus esfuerzos, los sólidos y las órbitas planetarias no encajaban bien.
Figuras tom terium Cosmograph
En el cuadro siguiente aparecen reproducciones de otros grabados de la misma obra de Kepler en donde se observa cómo sobrevivía en esta época tan tardía la asociación entre ele-mentos y poliedros establecida por Empédocles y Platón.
Los poliedros regulares y M. C. Escher
Los sólidos platónicos, por su historia, perfección, y belleza, continúan siendo hoy inspiradores de matemáticos y artistas. El holandés Maurits Cornelis Escher es uno de los artistas clásicos de nuestro tiempo que han experimentado la fascinación por estas figuras. A continuación se reproduce su grabado Estrellas (1948) y una fotografía que lo muestra obser-vando una de sus obras: un conjunto de sólidos platónicos su-perpuestos.
Se dice que cierta vez, cuando tuvo que mudarse de oficina, Escher dejó muchas de sus pertenencias, excepto ésta.
Proceso de construcción del omnipoliedro
Vamos a intentar construir el armazón de los 5 poliedros regulares de forma que queden perfectamente inscritos unos dentro de otros.
NOMBRE CARA Nº DE CARAS Nº DE VÉRTI-CES Nº DE ARISTAS Tetraedro Triángulos equiláteros 4 4 6 Hexaedro o cubo Cuadrados 6 8 12 Octaedro Triángulos equiláteros 8 6 12 Dodecaedro Pentágonos 12 20 30 Icosaedro Triángulos equiláteros 20 12 30
Vamos a utilizar para su construcción; cañitas de refrescos, tacos de plástico tipo Fichet, cáncamos y alambre.
Como el número de aristas total es.
6 + 12 + 12 + 30 + 30 = 90
Necesitaremos, 90 cañitas, 180 tacos y 180 cáncamos.
NOMBRE CARA Nº DE ARISTAS
LONGITUD ARISTAS
Tetraedro Triángulo 6 a· 2
Cubo - Hexaedro Cuadrado 12 a
Octaedro Triángulo 12
2 2 · a
Dodecaedro Pentágono 30 a·
2 5 1
Icosaedro Triángulo 30 a
Comenzamos construyendo el tetraedro.
La arista del tetraedro es justamente la diagonal menor del cubo. Por tanto, si la arista del cubo vale a.
Aplicando Pitágoras.
2 · a atetraedro cubo
A continuación, construimos el octaedro, dentro del tetraedro. De forma que los vértices del octaedro descansen sobre la mitad de la arista del tetraedro.
Fácilmente, se comprueba que. 2 a a tetraedro octaedro 2 2 · a aoctaedro cubo
El paso siguiente es la construcción del cubo. Como la arista del tetraedro es la diagonal del cubo, resulta sencillo proceder a su construcción (véase figura inicial).
Ahora pasamos al dodecaedro. El proceso se lleva a cabo teniendo en cuenta que la arista del cubo es justamente, la diagonal del pentágono.
Tomando como base, los vértices del cubo, situamos en cada uno de ellos 3 aristas del pentágono y luego las unimos tal y como se indica en la figura.
Tal como vimos en el tema del “Número de oro”, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es justamente la razón áurea . pentágono pentágono lado Diagonal Por consiguiente. cubo dodecaedro arista arista 2 5 1 · arista aristadodecaedro cubo
La estructura así formada no es rígida. Necesitamos situar ahora el icosaedro para rigidizarla.
Los triángulos equiláteros de las caras del icosaedro forman una pirámide pentagonal por encima de cada cara del dodecaedro, cuyo vértice está justo sobre el centro geométrico de cada pentágono, aunque en un plano superior.
AP = aristadodecaedro = cubo arista MP = 2 AP RQ = aristaicosaedro
El triángulo ORQ es equilátero. Por tanto.
2 RQ
MN
Por otra parte, el ángulo MNP = 108º, por ser ángulo interno de un pentágono regular y ángulo NMP = 36º.
Ahora nos construimos el triángulo NSM (triángulo aúreo), de ángulos 72º, 72º y 36º.
Prolongamos MP, hasta determinar el punto L.
Los triángulos NML y NMS son semejantes. Luego.
LN MN MN MS LN = MP MN = MP ·
aristaicosaedro = RQ = 2 · MN = 2 · MP · = · · 2 arista · 2 cubo En definitiva.