Cap 1 Lógica y Conjuntos

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(1)

Lógica y Conjuntos

Lógica y Conjuntos

Lógica y Conjuntos

Lógica y Conjuntos

1

1

1.1

1.1 Proposiciones

 Proposiciones

1.

1. Identifique Identifique cuales cuales de los side los siguientes enuguientes enunciados nciados son proposson proposiciones y iciones y en caso en caso dede no serlo justifique su respuesta.

no serlo justifique su respuesta. a.

a. El lEl luneunes es s es un dun día aía aburburridrido.o.

b.

b.

659

659

es un número par.es un número par.

c.

c.  x x22

77 x x

+

+

66

=

=

00..

d.

d. ¡¡eleli! Cumi! Cumplpleaea"o"os#s#

e.

e. $E$Estst%s %s cacansnsadado&o&

f.

f. Los raLos raciocionanamiemientntos de eneos de energírgía cona contintinúaúan.n.

g

g.. EEll

0

0

es un número es un número natural.natural.

'.

'. La caLa caída ída del (del (ol mol me inse inspirpira.a.

i.

i. El díEl día de la de la )aa )adre es dre es el seel segundo gundo domidomingo dngo del mes el mes de )ade )ayo.yo.

 j.

 j. Los días de Enero son grisLos días de Enero son grises.es.

*.

*. Las +Las +entaentas de s de automautomó+iló+iles 'aes 'an aumn aumentaentado.do.

l.

l. EsEspepera ara aququí un í un momomementnto.o.

,.

,. EscEscriba - enunciriba - enunciados que no sean proposados que no sean proposiciiciones y justifones y justifique su respuique su respuestaesta..

1.,

1., Operadore

Operadores Lógicos

s Lógicos

.

. /eter/etermine el +amine el +alor de +erdlor de +erdad de las siad de las siguientguientes propes proposicosicionesiones

a0

a0 o es +erdad que Cueno es +erdad que Cuenca es la capitca es la capital de 2!uay.al de 2!uay.

b0 b0

33

+

+

77

=

=

44

4 4 o o

=

=

22 .. 2 2 c0

c0 33reres es s es di+di+isisibible ple poror

2

2

puesto quepuesto que

5

5

es impar.es impar. d0

(2)
(3)

relaciones interpersonales se

relaciones interpersonales se deterioradeteriorar%n.r%n. 9.

9. /ada/adas ls las sas siguieiguientes ntes propproposicosiciones:iones: a: La 2samblea aprueba la ley. a: La 2samblea aprueba la ley. b: El pueblo se opone.

b: El pueblo se opone.

c: El oficialismo tiene la mayoría de los +otos. c: El oficialismo tiene la mayoría de los +otos. d: La ley se

d: La ley se debate.debate.

e: La ley beneficia al pueblo. e: La ley beneficia al pueblo.

3radu!ca literalmente las siguientes proposiciones 3radu!ca literalmente las siguientes proposiciones

[[

dd

∨ ¬

∨ ¬

cc

]]

[[

¬

¬

bb

∧ ¬

∧ ¬

aa

]]

[[

cc

∨¬

∨¬

aa

]]

↔ ¬

↔ ¬

((

dd

ee

))

((

ee

dd

))

→ ⎡

→ ⎡⎣⎣

cc

((

¬

¬

bb

aa

))

⎤⎤⎦⎦

-.

-. /efina /efina simbólicamsimbólicamente las ente las proposicionproposiciones e indies e indique la traque la traducción al ducción al lenguaje formallenguaje formal..

a0

a0 o estuo estudio toda ldio toda la noc'a noc'e y asiste y asisto al cono al conciertcierto.o.

b0

b0 o es +erdao es +erdad que estudd que estudio toda la nocio toda la noc'e y asisto al c'e y asisto al concionciertoerto..

c0

c0 i fui fumar nmar ni bebi beber es er es bueno bueno para para la sla saludalud

d0

(4)

e0

(5)

f0

f0 5arc5arcelona seelona ser% campr% campeón en la preseneón en la presente tempte temporaorada siempda siempre que la dirire que la dirigencigenciaa 'aga buenas contrataciones y los jugadores 'agan un

'aga buenas contrataciones y los jugadores 'agan un buen papel.buen papel.

1

1

g0

g0 3o3omo las medicinmo las medicinas pero no guaas pero no guardo reposo ya que trdo reposo ya que tengo muc'o traengo muc'o trabajo porbajo por 'acer.

'acer.

'0

'0 )e +oy al c)e +oy al cine o +oy al paine o +oy al partido de futbrtido de futbol7 pero nol7 pero no me quedar6 too me quedar6 toda la tardda la tarde ene en casa.

casa.

i0

i0 ;n tri;n tri%ngulo %ngulo es eques equi%ngui%ngulo slo si y si y solo solo si es i es equilequil%tero%tero..

 j0

 j0 <odr6 asis<odr6 asistir a la cita tir a la cita solo si cancelo tsolo si cancelo todas mis actiodas mis acti+idades pendientes.+idades pendientes.

=.

=. Escriba Escriba en lenguaje comen lenguaje común y foún y formal la rmal la recíproca7 la recíproca7 la in+ersa y in+ersa y la contrala contrarrecíprocarrecíproca de la

de la propproposiciosiciónón “Los aranceles se aprueban puesto que los artesanos“Los aranceles se aprueban puesto que los artesanos ecuatorianos ofrecen productos de calidad”.

ecuatorianos ofrecen productos de calidad”.

>ecíproca: >ecíproca: In+ersa: In+ersa: Contrarrecíproca: Contrarrecíproca: 8.

8. Escriba Escriba en lenguaje comen lenguaje común y foún y formal la rmal la recíproca7 la recíproca7 la in+ersa y in+ersa y la contrala contrarrecíprocarrecíproca de la proposición ?(iempre que j

de la proposición ?(iempre que juego fútbol7 me di+ierto con uego fútbol7 me di+ierto con mis amigos@.mis amigos@. >ecíproca:

(6)

4

4

In+ersa: In+ersa: Contrarrecíproca: Contrarrecíproca: A.

A. (i la proposi(i la proposición ?Lación ?Las +entas se incs +entas se incrementrementan sieman siempre que se optimipre que se optimicencen los procesos logístic

los procesos logísticos de os de la empresa@ es +erdadera entonces es falso que:la empresa@ es +erdadera entonces es falso que: a0

a0 (i se (i se optimi!an optimi!an los proclos procesos logíesos logísticos de sticos de la emprla empresa7 entoncesa7 entonces se es se incrementanincrementan las +entas.

las +entas. b0

b0 Cuando se optCuando se optimiimicen los procecen los procesos logísos logísticosticos de la empresa7 las de la empresa7 las +entas ses +entas se incrementar%n.

incrementar%n. c0

c0 El increEl incremento de las +entmento de las +entas es condias es condición nección necesaresaria para la optia para la optimi!imi!aciación de losón de los procesos logísticos.

procesos logísticos. d0

d0 La optimLa optimi!ación de i!ación de los proceslos procesos logístos logísticos de licos de la empresa a empresa es neceses necesario para ario para elel incremento de las

incremento de las +entas.+entas. e0

e0 <ara <ara el incremento el incremento de las +ede las +entas es ntas es suficiente qsuficiente que se optimiue se optimicen los proccen los procesosesos logísticos.

logísticos.

B.

B. La cLa controntrarrecarrecíprocíproca de a de la ela eprespresión: ión: ??Si no entiendo las clases, no estoySi no entiendo las clases, no estoy  prepa

 preparado parado para el examra el examen”en” es:es: a0

a0 o esto estoy prepaoy preparadrado para el eao para el eamen sólmen sólo si no ento si no entiendo liendo las claas clases.ses. b0

b0 o entio entiendo las cendo las clases clases cuanduando estoy prepo estoy preparaarado para el eamdo para el eamen.en. c0

c0 EntiEntiendo las cendo las claslases siempes siempre que estre que estoy prepaoy preparado parado para el eamra el eamen.en. d0

d0 Estoy pEstoy prepareparado parado para el eamra el eamen si enten si entiendo liendo las claas clases.ses. e0

e0 o entio entiendo laendo las class clases debides debido a que no esto a que no estoy prepaoy preparado parado para el eamra el eamen.en.

1D.(i la proposición ?3erminaremos pronto el trabajo solo si trabajas 1D.(i la proposición ?3erminaremos pronto el trabajo solo si trabajas eficientemente@ es +erdadera7 entonces la condición necesaria de

eficientemente@ es +erdadera7 entonces la condición necesaria de la proposiciónla proposición es:

es:

a0

a0 33eerminarminaremos remos prontpronto el o el tratrabajobajo.. b0

b0 o o termiterminarenaremos mos prontpronto el o el tratrabajo.bajo. c0

c0 33eerminarminamos pronmos pronto o trato o trabajabajas efics eficientientementemente.e. d0

d0 3r3rabaabajas jas eficeficientientementemente.e. e0

(7)

Lógica y Conjuntos

Lógica y Conjuntos

11.

11.

La condición suficiente de la proposición ?La condición suficiente de la proposición ? 8484 es múltiplo dees múltiplo de

2

2

puesto que espuesto que es di+isible para di+isible para

4

4

@ @ 

1

1

a0 a0 8484 es múltiplo dees múltiplo de

2

2

.. b0

b0 8484 es di+isible paraes di+isible para

4

4

o es múltiplo deo es múltiplo de

2

2

.. c0

c0 8484 es di+isible paraes di+isible para

4

4

.. d0

d0 8484 no es di+isible parano es di+isible para

4

4

.. e0

e0 8484 es múltiplo dees múltiplo de

2

2

y es di+isible paray es di+isible para

4

4

..

1.

1. Proposicione

Proposiciones simples y compuestas

s simples y compuestas

1,.(ean

1,.(ean las proposiciones simpleslas proposiciones simples::

a

a

::

)e +oy)e +oy b

b:: )e quieres)e quieres

Escriba la traducción al lenguaje formal de

Escriba la traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta:la proposición compuesta:  ?Es sufic

 ?Es suficiente que me +aya iente que me +aya para que me quieraspara que me quieras@ @ 

1./etermine el +alor de +erdad de las proposiciones simples

1./etermine el +alor de +erdad de las proposiciones simples  p p77 qq yy rr para que elpara que el +alor de +erdad de la

+alor de +erdad de la proposición compuesproposición compuestata

⎡⎡⎣⎣

((

 p p

qq

))

rr

⎤⎤⎦⎦ →

((

rr

qq

))

sea falso. sea falso.

19.(i la proposición

19.(i la proposición

⎡⎡⎣⎣

((

 p p

∧ ¬

∧ ¬

qq

))

((

rr

qq

))

⎤⎤⎦⎦

es falsa7 entonces una de las siguienteses falsa7 entonces una de las siguientes

proposiciones es falsa. Ide

proposiciones es falsa. Identifíquela.ntifíquela.

a0 a0

⎡⎡⎣⎣

((

 p p

qq

))

((

rr

∧ ¬

∧ ¬

qq

))

⎤⎤⎦⎦ ≡

00 b0b0

⎡⎡⎣⎣

((

qq

rr

))

((

¬

¬

 p p

qq

))

⎤⎤⎦⎦ ≡

00 c0c0

⎡⎡⎣⎣

((

r r 

qq

))

((

rr

 p p

))

⎤⎤⎦⎦ ≡

00 d0 d0

⎡⎡⎣⎣

((

¬

¬

rr

 p p

))

((

¬

¬

rr

→ ¬

→ ¬

qq

))

⎤⎤⎦⎦ ≡

11 e0 e0

⎡⎡⎣⎣

((

 p p

rr

))

((

qq

→ ¬

→ ¬

r r 

))

⎤⎤⎦⎦ ≡

11

(8)
(9)

1-.(ean

1-.(ean las proposiciones simpleslas proposiciones simples

a

a: oy tengo que rendir una prueba: oy tengo que rendir una prueba

b

b: e estudiado con responsabili: e estudiado con responsabilidaddad

cc

::

4btendr6 buenos resultados4btendr6 buenos resultados

La traducción al lenguaje lógico de la proposición: ?oy tengo que rendir una La traducción al lenguaje lógico de la proposición: ?oy tengo que rendir una prueba y obtendr6 buenos resultados7 puesto que 'e estudiado con prueba y obtendr6 buenos resultados7 puesto que 'e estudiado con responsabili

responsabilidad@ dad@ es:es:

a)

a)

((

aa

cc

))

b b

b)

b)

aa

((

bb

cc

))

c)

c)

¬

¬

bb

((

aa

cc

))

d)

d)

¬

¬

bb

((

aa

cc

))

e)

e)

bb

((

aa

cc

))

1

1==..((ii llaa pprrooppoossiicciióónn

((

aa

→ ¬

→ ¬

bb

))

((

¬

¬

cc

dd

))

eses 

22LL((22 iiddeennttiiffiiqquuee llaa pprrooppoossiicciióónn FE>/2/E>2:FE>/2/E>2:

a) a) bb

cc  b)  b) aa

bb c) c) bb

d d  d) d)

¬

¬

aa e) e) aa

d d  18.(i

18.(i la proposición compuestala proposición compuesta

((

¬

¬

aa

bb

))

∧ ⎡

∧ ⎡⎣⎣

bb

→ ¬

→ ¬

((

cc

dd

))

⎤⎤⎦⎦

es +erdadera7 loses +erdadera7 los +alores de

+alores de +erdad de

+erdad de

a

a

,,

b

b

,,

cc

,,

d

d

son son respecti+arespecti+amente:mente:

a0 a0

0, 1, 0, 0

0, 1, 0, 0

b0 b0

0, 0, 1, 0

0, 0, 1, 0

c0 c0

1, 0, 1, 0

1, 0, 1, 0

d0 d0

1, 0, 0, 1

1, 0, 0, 1

e0 e0

0, 1, 1, 0

0, 1, 1, 0

(10)

Lógica y Conjuntos

Lógica y Conjuntos

1A.(ean

1A.(ean las proposiciones simpleslas proposiciones simples::

 p

 p: ;ribe miente.: ;ribe miente.

1

1

q

q: Correa miente.: Correa miente.

r : ay conflicto.: ay conflicto.

 s

 s: Las 2>C entregan a los re'enes.: Las 2>C entregan a los re'enes.

La traducción de la proposición compuesta ?(i ;ribe y Correan mienten7 entonces La traducción de la proposición compuesta ?(i ;ribe y Correan mienten7 entonces 'ay conflicto. Las 2>C no entregan a los re'enes7 debido

'ay conflicto. Las 2>C no entregan a los re'enes7 debido a que 'ay a que 'ay conflicconflicto@7 es:to@7 es: a0 a0

⎡⎡⎣⎣

((

 p p

qq

))

rr

⎤⎤⎦⎦

((

¬

¬

 s s

rr

))

b0 b0

⎡⎡⎣⎣

((

¬

¬

 p p

¬

¬

qq

))

rr

⎤⎤⎦⎦

((

¬

¬

rr

 s s

))

c0 c0

⎡⎡⎣⎣

((

 p p

qq

))

rr

⎤⎤⎦⎦

((

rr

→ ¬

→ ¬

 s s

))

d0 d0

⎡⎡⎣⎣

((

 p p

qq

))

rr

⎤⎤⎦⎦

((

rr

 s s

))

e0 e0

⎡⎡⎣⎣

((

 p p

rr

))

((

qq

rr

))

⎤⎤⎦⎦ ∧∧

((

¬

¬

rr

 s s

))

1B.(i la proposición 1B.(i la proposición

⎣⎣⎡⎡

((

aa

¬

¬

bb

))

dd

⎦⎦⎤⎤

¬

¬

((

dd

ee

))

es 2L(27 entonces es FE>/2/ que: es 2L(27 entonces es FE>/2/ que:

a) a) bb

a a es falsa.es falsa.  b)  b) aa

d  d  es falsa. es falsa. c) c)

¬

¬

dd

¬

¬

ee es falsa. es falsa. d) d) dd

aa

e)

e) ee

a

a

es falsa. es falsa. es falsa. es falsa. ,D./adas

,D./adas las proposiciones simples:las proposiciones simples: a:

a: Gennifer sGennifer suspende su uspende su +iaje a +iaje a Huito.Huito. b: Gennifer no toma

b: Gennifer no toma medidas de pre+ención de rmedidas de pre+ención de riesgos.iesgos. c: (e presenta un

c: (e presenta un fuerte in+ierno.fuerte in+ierno.

Entonces una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta ?Gennifer Entonces una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta ?Gennifer suspende su +iaje a Huito y toma medidas de pre+ención de riesgos7 ya que se suspende su +iaje a Huito y toma medidas de pre+ención de riesgos7 ya que se presenta

presenta un fuun fuerte in+erte in+ierno@7 ierno@7 es:es:

a)

a)

((

aa

∧ ¬

∧ ¬

bb

))

cc  b)  b) aa

∧ ¬

∧ ¬

bb

cc

c)

c)

cc

((

aa

∧ ¬

∧ ¬

bb

))

(11)

d)

d)

((

aa

bb

))

cc

e)

e)

cc

((

aa

bb

))

(12)

,1.(ean

,1.(ean las proposiciones simpleslas proposiciones simples::

a: Carlos estudia lógica. a: Carlos estudia lógica. b: Carlos reali!a los talleres. b: Carlos reali!a los talleres. c: Carlos es

c: Carlos es responsableresponsable..

La traducción a lenguaje formal del enunciado ?Carlos estudia lógica porque reali!a La traducción a lenguaje formal del enunciado ?Carlos estudia lógica porque reali!a los talleres y es

los talleres y es responsable@ es:responsable@ es:

a) a) aa

((bb

cc))

 b)

 b)

((

bb

cc

))

aa

c)

c)

aa

((

bb

cc

))

d)

d)

((

bb

cc

))

aa

e)

e)

((

aa

cc

))

→ ¬

→ ¬

bb ,,.(i

,,.(i aa77 bb yy cc son proposiciones atómicas tales que:son proposiciones atómicas tales que:

a

a: apruebo : apruebo matem%ticmatem%ticasas

b

b: ingreso a la : ingreso a la uni+ersidaduni+ersidad

c : no apruebo física: no apruebo física

Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición molecular: ?o ingreso Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición molecular: ?o ingreso a la uni+ersidad y apruebo

a la uni+ersidad y apruebo física7 siempre que no apruebe física7 siempre que no apruebe matem%timatem%ticas@ es:cas@ es:

a)

a)

((

¬

¬

bb

∧ ¬

∧ ¬

cc

))

→ ¬

→ ¬

aa

 b)

 b)

((

¬

¬

bb

cc

))

→ ¬

→ ¬

aa c) c)

¬

¬

aa

((

¬

¬

bb

cc

))

d0 d0

¬

¬

aa

((

¬

¬

bb

∧ ¬

∧ ¬

cc

))

e e ) )

((

¬

¬

aa

→ ¬

→ ¬

bb

))

∧ ¬

∧ ¬

cc

1.A

1.A  Conjuntos

  Conjuntos

,.(i se define el conjunto ,.(i se define el conjunto

siguientes

siguientes proposicionproposiciones.es.

a) a) aa

 A A  b)  b) dd

 A A

c)

c)

{

{

d d 

 A A

d)

d)

{

{

dd ,, ee

 A A  A

 A

=

=

{

{

aa

,,

bb

,,

cc

,,

{

{

d d 

,,

ee

,,

!

!

determine el +alor de +erdaddetermine el +alor de +erdad de las

de las

e)

(13)

,9.

,9.

/etermine la cardinalidad del conjunto dado en /etermine la cardinalidad del conjunto dado en el ejercicio anteriorel ejercicio anterior..

1

1

,-.>epresente los siguientes conjuntos por

,-.>epresente los siguientes conjuntos por etensiónetensión

 A

 A

=

=

{

{

 x x // x x es +ocal de la palabraes +ocal de la palabra murci6lago

murci6lago

 B B

=

=

{

{

 x x // x x es un númeroes un número par entre 1- y ,1

par entre 1- y ,1

CC

=

=

{

{

 x x // x x es unes un mamífero marino

mamífero marino

 D

 D

=

=

{

{

 x x // x x es un número primo par mayor aes un número primo par mayor a 22

 E

 E

=

=

{

{

 x x // x x es un reptil que +i+e en (aturnoes un reptil que +i+e en (aturno

1.B

1.B  Cuantificadores

  Cuantificadores

,=./ado el referencial

,=./ado el referencial

Re

Re

=

=

{

{

0, 1, 2, 3, 4, 5

0, 1, 2, 3, 4, 5

. Identifique la . Identifique la proposición +erdadera.proposición +erdadera.

a0 a0

""

 x x

((

 x x

+

+

66

=

=

00

))

b0 b0

#

#

 x x

((

 x x

+

+

11

$

$

55

))

c0 c0

""

 x x

((

 x x

+

+

11

=

=

00

))

d0 d0

#

#

 x x

((

 x x

+

+

11

%

%

22

))

e0 e0

""

 x x

((

 x x

11

=

=

00

))

,8. ,8.&'&' ) ) b) b) c) c) d) d)  A

 A

=

=

{

{

aa,,

{

{

%%

 e*+,*ce- e- ./0& 3e e*+,*ce- e- ./0& 3e

 A

 A

 P  P (( A A))

6

6

 P  P (( A A))

 P  P (( A A))

{

{

{

{

%%

6

6

 P  P (( A A))

(14)

Lógica y Conjuntos

Lógica y Conjuntos

(15)

,A./etermine el

,A./etermine el conjunto potencia de los siguientes conjuntosconjunto potencia de los siguientes conjuntos

 A  A

=

=

{

{

,,

○○

,,

::

,▲

,▲



 B  B

=

=

{{

,,

;;



C C

=

=

{

{

1, 2,

1, 2,

!

!

,B.(ean los conjuntos

,B.(ean los conjuntos  A A

=

=

{

{

0,1, 2,3, 4,5, 6,0,1, 2,3, 4,5, 6,

7,8,9,10 7,8,9,10

77  B  B

=

=

{

{

2, 4,

2, 4,

6,

6,8

8

77 C C

=

=

{

{

1, 3, 5, 7,1, 3, 5, 7, 9,11 9,11

77  D

 D

=

=

{

{

 x x

//

 x x es un número par entre 1 y Bes un número par entre 1 y B

. /etermine el +alor de +erdad de. /etermine el +alor de +erdad de las

las

siguientes proposicion

siguientes proposiciones. Gustifique su es. Gustifique su respuesta.respuesta.

)

)

 N N

((

 A A

))

=

=

 N N

((

 B B

))

..

b)

b)

 N N

((

 B B

))

=

=

 N N

((

CC

))

.. c) c)  B B

<

<

C C  ..

d)

d)

CC

 A A ..

e)

e)

 B B

 A A ..

f)

f)

 B B

=

=

 D D ..

g)

g)

 D D

 A A ..

h)

h)

 D D

 B B ..

i)

i)

CC

 B B ..

 j)

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 D D

 B B ..

(16)

Lógica y Conjuntos

Lógica y Conjuntos

D.<ara el conjunto

D.<ara el conjunto SS

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@, $,

@, $,

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,!

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. /etermine el +alor de +erdad de las siguientes. /etermine el +alor de +erdad de las siguientes proposiciones7 justifique su respuesta.

proposiciones7 justifique su respuesta.

1

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SS

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44 ..

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1.Identifique la proposición FE>/2/E>2proposición FE>/2/E>2::

a

a00 ((ii  A A

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77

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77 entonces entonces  N  N

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77 entonces

(17)

11

11

(18)

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