Problema Resuelto Relativo

MOVIMIENTO RELATIVO. MOVIMIENTO RELATIVO. PROBLEMA 1 :

PROBLEMA 1 :

Una mujer puede remar un bote a razón de 4 km/h con respecto a la corriente. Si Una mujer puede remar un bote a razón de 4 km/h con respecto a la corriente. Si está cruzando un río de 4 km de ancho donde la corriente es de 2 km/h:

está cruzando un río de 4 km de ancho donde la corriente es de 2 km/h:

a)

a)  ¿Hacia qué dirección deberá llevar su bote si quiere llegar a un punto  ¿Hacia qué dirección deberá llevar su bote si quiere llegar a un punto

directamente opuesto a su punto de arranque? directamente opuesto a su punto de arranque?

b)

b) ¿Cuánto tiempo le tomará cruzar el río? ¿Cuánto tiempo le tomará cruzar el río? c)

c) ¿Cuánto tarda en arribar ¿Cuánto tarda en arribar a la otra a la otra orilla si rema orilla si rema perpendicularmente a laperpendicularmente a la

corriente? corriente?

d)

d) ¿Qué distancia del ¿Qué distancia del punto ubicado punto ubicado exactamente enfrente exactamente enfrente del de partidadel de partida

desembarca? desembarca?

e)

e) ¿Cuánto tiempo le tomará remar 2 km río abajo y luego regresar a su punto ¿Cuánto tiempo le tomará remar 2 km río abajo y luego regresar a su punto

de arranque? de arranque?

A partir de la lectura del problema identificamos los datos del mismo. A partir de la lectura del problema identificamos los datos del mismo.

V Vbcbc = 4 km/h = 4 km/h V Vctct= 2 km/h= 2 km/h x = 4 km x = 4 km

a) ¿Hacia que dirección deberá llevar el bote para llegar a una punto directamente a) ¿Hacia que dirección deberá llevar el bote para llegar a una punto directamente opuesto al de arranque?

opuesto al de arranque?

En primer lugar graficamos la situación: En primer lugar graficamos la situación:

Si queremos llegar a un punto directamente Si queremos llegar a un punto directamente opuesto al de partida, debemos dirigir el bote opuesto al de partida, debemos dirigir el bote contra la corriente; el vector V

contra la corriente; el vector Vbtbt (velocidad del (velocidad del bote respecto a la tierra) sea el vector bote respecto a la tierra) sea el vector resultante que medirá un observador situado resultante que medirá un observador situado en la orilla y el ángulo

en la orilla y el ángulo αα  nos determinará la  nos determinará la

dirección que debemos tomar con respecto a dirección que debemos tomar con respecto a una línea imaginaria entre A y B.

una línea imaginaria entre A y B.

Podemos ver que el problema se reduce a Podemos ver que el problema se reduce a Velocidad del bote con respecto a la corriente:

Velocidad del bote con respecto a la corriente: Es la

Es la velocidad que puede desarrollar el botevelocidad que puede desarrollar el bote en aguas quietas, es decir como si

en aguas quietas, es decir como si no hubieseno hubiese

Velocidad de la corriente con respecto a la Velocidad de la corriente con respecto a la tierra: Es la que medirá un observador situado tierra: Es la que medirá un observador situado

en la orilla, por eso la r

° = =

⇒

=

30

4

2

arcsen

V 

V 

sen

bc ct 

α 

α 

El bote debe desviarse 30º respecto a línea imaginaria AB

b) ¿Cuánto tiempo le tomará cruzar el río?:

Dado que la velocidad es constante, el problema se reduce a un movimiento rectilíneo uniforme: bt  bt  V   x t  t  V   x= × ⇒ =   (I)

Primeramente debemos calcular Vbt. A partir del gráfico del punto a) vemos que:

h

km

V 

h

km

V 

V 

V 

V 

bt  bc bt  bc bt 

_cos

₄

_cos

₃₀

₃

_.

₄₆

cos

α 

=

⇒

= ×

α 

= × °

⇒

= Reemplazando el resultado en (I):

c) ¿Cuánto tarda en llegar a la otra orilla si rema perpendicularmente a la corriente? Grafiquemos la situación:

Si rema perpendicular a la corriente, la misma lo arrastra y la velocidad resultante, determinada por un observador terrestre es Vbt.

Para calcular el tiempo requerido para cruzar a la otra orilla, podemos relacionar la distancia x= 4 km con la velocidad Vbc  o la distancia entre A y C con la velocidad Vbt. Dado que conocemos la distancia x y Vbc, calculamos el tiempo a partir de estos datos:

h t  h km km V   x t  bc 1 4 4 = ⇒ = = h t  h km km t  1.15 46 . 3 4 = ⇒ =

d) ¿A qué distancia del punto ubicado exactamente enfrente al de partida desembarca?

Observando la gráfica del punto anterior, vemos que desembarca en el punto C. Por semejanza de triángulos podemos escribir:

km

d 

h

km

h

km

km

V 

V 

 x

d 

 x

d 

V 

V 

tg

bc c bc c

2

4

2

4

×

⇒

= = × =

⇒

= =

 β 

e) ¿Cuánto tiempo le toma remar 2 km río abajo y luego regresar al punto de partida?

Al remar 2km a favor de la corriente la velocidad del bote planteada en forma vectorial viene dada por:

⇒

− = _{bt  ct}  bc

V 

V 

V 

)

₁

V 

bt 

)

1 =

V 

bc +

V 

ct   = +

⇒

h

km

h

km

₂

4

h km V bt )₁ = 6

Cuando rema contra la corriente la velocidad del bote será:

⇒

− − = bt 

)

₂

(

_ct 

)

bc

V 

V 

V 

V 

bt 

)

₂ =

V 

_bc +

(

−

V 

_ct 

)

 =

4

+

(

−

2

)

⇒

h

km

h

km

h

km

V 

bt 

)

₂ =

2

El tiempo total viene dado por:

2 1 t  t  t = +   (II) Vbc Vct Vbt Vbc Vct V_bt

Donde t1 es el tiempo que tarda para recorrer la distancia c , de 2 km a favor de la corriente y t2 es el tiempo que tarda en recorrer la misma distancia c , 2 km en contra de la corriente.

A partir de (I) y de (II):

h t  h km km h km km V  c V  c t  bt  bt  33 . 1 2 2 6 2 ) )₁ + ₂ = +

⇒

= = PROBLEMA 2 :

Un avión ligero alcanza una velocidad en el aire de 480 km/h (VAV). El piloto se dispone a salir a un destino situado a 810 km al norte, pero descubre que el avión debe enfilar en la dirección N 21°E para volar hacia allí directamente. El avión llega en 1.9 horas. ¿Cuál es el vector velocidad del viento?.

A partir de la lectura del problema identificamos las datos del mismo. VAV = 480 km/h (Velocidad del avión respecto al viento) d = 810 km

α = N 21° E

t = 1.9 h

El problema nos pide calcular la velocidad del viento (modulo y dirección) En primer lugar, grafiquemos la situación:

La VAV  es la velocidad que desarrolla el avión independientemente del viento. Sobre el eje NS esta orientado el vector VAT que es la velocidad del avión de acuerdo a un observador terrestre.

Antes de cualquier cálculo debemos ubicar en el gráfico el vector VVT (Velocidad del viento con respecto a la tierra).

Nuestra primera suposición será que el viento este orientado de Este a Oeste. Si el gráfico fuese correcto debe cumplirse que:

Podemos calcular la velocidad del avión respecto a la tierra, ya que conocemos la distancia recorrida (810 km) y el tiempo empleado (1.9 h):

h km V  h km t  d  V  _{AT   AT}  426.3 9 . 1 810 = ⇒ = = Ahora: h km V  h km

V  _AV  ×cosα =480 ×cos21°⇒  _AT  =448.11

Como no se cumple la condición (I) el planteono es correcto.

Si comparamos la velocidad real del avión con respecto a la tierra calculada a partir de los datos, con la calculada como la proyección de la velocidad del avión con respecto al viento vemos que:

VAT < VAV (proyectada)

Si llevamos esto a una gráfica podemos ver que el vector velocidad del viento tiene dirección Sur-Oeste:

De la correcta interpretación gráfica del problema podemos realizar el cálculo analítico.

Expresemos vectorialmente la suma de las velocidades:

VT   AT   AV 

V 

V 

V 

=

−

 AV   AT  VT 

V 

V 

V 

=

−

Utilizando el teorema del coseno, el módulo de la velocidad viene dado por:

α 

cos

2

2 2 × × × − + =

V 

V 

V 

V 

V 

(

) (

+

)

− × × × ° =

426

.

3

2

480

2

2

426

.

3

480

cos

21

h

km

h

km

h

km

h

km

V 

_VT  h km V _VT  =173.4

Ya conociendo el módulo del vector velocidad del viento, ahora tenemos que determinar la dirección:

⇒

× =

⇒

=

 β 

α 

α 

 β 

V  sen V  sen sen V  sen V  V   AV  V   AV  ° =

⇒



 

 



 

 

° × = 21 82.76 4 . 173 480

 β 

 β 

arcsen sen

La dirección será entonces:

S 82.76° O o bien O 7,2 ° S

OTRA FORMA DE PLANTEARLO

Trabajando con las componentes de los vectores

Expresemos vectorialmente la suma de las velocidades:

VT   AT   AV 

V 

V 

V 

=

−

VTy VTx VT 

V 

V 

V 

=

+

 AV   AT  VT 

V 

V 

V 

=

−

V_A V_AVX VAVY 69° E O N S

 AVX   ATX  VTX 

V 

V 

V 

=

−

 AVy  ATy VTY 

V 

V 

V 

=

−

h

km

h

km

V 

_VTX  =

0

−

480

 / 

×

cos

69

° = −

172

 / 

h

km

sen

h

km

h

km

V 

_VTY 

₌

426

,

3

 / 

₋

480

 / 

_×

69

_°

₌

₋

21

,

8

 / 

Ubicamos las componentes del vector V VTen un eje de coordenadas

Usando el teorema de Pitágoras hallamos el modulo de la velocidad del viento

(

V 

_VTX 2

₊

V 

)

_VTy2

₌

(

(

₋

174

km

 / 

h

)

2

₊

(

₋

21

,

8

km

 / 

h

)

2

)

₌

174

km

 / 

h

La dirección estará dada por el ángulo que forma la velocidad del viento con el eje x negativo α

 = arctg

= VTX  VTY 

V 

V 

 7,2°

La dirección de la velocidad del viento será entonces

O 7,2°  V_V VVTX E O N S VVTY