4.2 EJEMPLOS 4.2 EJEMPLOS
Ejemplo 1 Ejemplo 1
A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16 A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16 mts. de altura entra agua a una razón de 50 cm
mts. de altura entra agua a una razón de 50 cm33/seg./seg. a.
a. ¿A que velocidad está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 mts. de¿A que velocidad está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 mts. de altura?
altura? b.
b. ¿A que velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante?.¿A que velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante?.
Solución. Solución.
En la fig. 4.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en En la fig. 4.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en cualquier instante
Designese por: Designese por:
V
V : volumen (en cm: volumen (en cm33) ) de agua en de agua en el tanque en el tanque en el instanteel instante t t (seg.).(seg.). x
x: : radio radio (en cm.) (en cm.) de la de la sección del sección del cono al cono al nivel del nivel del líquido en líquido en el instanteel instante t t .. y
y: : altura altura del del agua agua (en (en cm.) cm.) en en el el instanteinstante t t
Datos: Datos: = = seg seg cm cm dt dt dV dV 5050 33
El volumen del agua en el instante
El volumen del agua en el instante t t viene dado por:viene dado por: y y x x .. 33 11 22 π π = = V V (1)(1) De
De la la semejanza semejanza de de los los triángulos triángulos ODE ODE y y OBC, OBC, se se deduce deduce que:que:
= = = = ⇔ ⇔ = = )) 33 (( 44 )) 22 (( 44 44 16 16 y y x x x x y y x x y y a)
a) Puede formularse la pregunta asi:Puede formularse la pregunta asi: ?? = = dt dt dy dy cuando
cuando y y = 4 mts. = 400 cm.= 4 mts. = 400 cm.
Una manera simple de calcular Una manera simple de calcular
dt dt dy
dy consiste en expresar consiste en expresar V
V en en (1) (1) en en términostérminos
únicamente de la variable
únicamente de la variable y y (usando (usando (3)) (3)) y y derivando en derivando en ambos lados ambos lados con respecto con respecto aa t t ..
Asi, Asi, 33 22 22 48 48 44 33 11 33 11 y y y y y y y y x x π π π π π π == = = = = V V dt dt dy dy y y dt dt dy dy y y dt dt dV dV == ⋅⋅ ⋅⋅ == ⋅⋅ 16 16 33 48 48 22 22 π π π π De donde De donde 1616 22 y y dt dt dV dV dt dt dy dy π π ⋅⋅ = =
De acuerdo a las condiciones del problema: De acuerdo a las condiciones del problema:
(
(
))
= = ⋅⋅ = = seg seg cm cm cm cm seg seg cm cm dt dt dy dy π π π π 200200 11 400 400 50 50 16 16 22 33 (5); (5);indicando con esto que la altura
indicando con esto que la alturacrececrece a esa velocidad.a esa velocidad.
b)
b) Puede formularse la pregunta asi:Puede formularse la pregunta asi: ?? = = dt dt dx dx cuandocuando y y = 4 mts. = 400 cm.= 4 mts. = 400 cm. ⇔⇔ x x = 100 cm.= 100 cm.
Una manera sencilla de encontrar
Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste la solución, consiste en derivar ambos mien derivar ambos miembros de embros de (3)(3) con respecto a con respecto a t t .. Asi, Asi, = = = = = = seg seg cm cm seg seg cm cm dt dt dy dy dt dt dx dx π π π π 800800 11 200 200 11 44 11 44 11 (6)(6)
Indicando con esto que el radio
Indicando con esto que el radiocrececrece a esta velocidad.a esta velocidad.
Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar
Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V V en en (1) (1) en en términostérminos
únicamente de la variable
únicamente de la variable x x (usando (usando (2)) (2)) y derivar y derivar en ambos en ambos lados con lados con respecto arespecto a t t ..
(¡Verifique!) (¡Verifique!)
Ejemplo 2 Ejemplo 2
Un vigil
Un vigilante siante situado en tuado en la la parte parte superior superior de un de un faro faro de de 250 pies 250 pies de altura, de altura, observa un observa un botebote de m
de motor otor que que se se acerca acerca al al faro faro a a una una velocidad de velocidad de 20 20 pies/seg. pies/seg. ¿Con ¿Con qué qué rapidez rapidez cambiacambia el ángulo
el ángulo formado por formado por la visual la visual con respecto con respecto al bote al bote cuando este cuando este se encuentra se encuentra a a 300 pies300 pies de la base del faro?.
de la base del faro?.
Solución: Solución:
En la fig. 4.2 (a)
En la fig. 4.2 (a) aparecen las variables que intervienen en el aparecen las variables que intervienen en el problema.problema.
x
x : : distancia del bote distancia del bote al pie de al pie de la basela base P P del faro en cualquier tiempodel faro en cualquier tiempo t t ..
θ
θ : : ángulo formado por ángulo formado por la visual y la visual y el boteel bote B B en cualquier tiempoen cualquier tiempo t t ..
Nótese
Nótese que que cuando cuando ““ B B se acerca ase acerca a P P ””
− − = = seg seg pies pies dt dt dx dx 20
20 , entonces es de esperar que, entonces es de esperar que
θ
(a) (b)
(a) (b)
fig. 4.2 fig. 4.2 De la f
De la fig. 4.2 (ig. 4.2 (a) a) se tiene:se tiene:
θ θ θ θ x x x x tantan tan tan == ⇒⇒ == 250250 ⋅⋅ 250 250 (1)(1) Derivando ambos
Derivando ambos miembros miembros de de (1) (1) con rcon respecto especto aa t t , se tiene:, se tiene:
dt dt d d dt dt dx dx θ θ θ θ ⋅⋅ ⋅⋅ = = 250250 secsec 22 De donde, De donde, θ θ θ θ 22 sec sec 250 250 ⋅⋅ = = dt dt dx dx dt dt d d (2)(2)
En el caso particular que interesa,
En el caso particular que interesa, x x = 300= 300
Asi que Asi que 55 66 250 250 300 300 == = = θ θ tan
tan (fig. 4.2 (b)).(fig. 4.2 (b)).
Usando la identidad trigonométrica:
25 25 61 61 25 25 36 36 25 25 55 66 11 22 22 == ++ == + + = = θ θ sseecc ((33)) De otro lado: De otro lado: seg seg pies pies dt dt dx dx == −− 2020 (4)(4)
Sustituyendo (3) y (4) en (2) se tiene finalmente: Sustituyendo (3) y (4) en (2) se tiene finalmente:
− − = = ⋅⋅ − − = = seg seg Rad Rad dt dt d d 61 61 22 25 25 61 61 250 250 20 20 θ θ
Lo cual indica que el ángulo
Lo cual indica que el ángulo θ θ decrecedecrece (como era (como era de esperar) de esperar) a una a una velocidad develocidad de
aprox. 0.0327
aprox. 0.0327 Rad/seg. Rad/seg.
Ejemplo 3 Ejemplo 3..
Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de
de 5 5 mts. mts. sobre sobre el el nivel nivel del del mismo. mismo. En En cierto cierto momento momento un un auto auto pasa pasa por por el el centrocentro C C
del
del puente puente (fig. (fig. 4.3) 4.3) a a una una velocidad velocidad de de 12 12 mts/seg. mts/seg. En En ese ese mismo mismo instante instante una una lanchalancha
L
L que que se se acerca acerca al al puente puente a a una una velocidad velocidad de de 20 20 mts/seg., mts/seg., dista dista 100 100 mts. mts. del del puntopunto P P
situado sobre el
situado sobre el agua y exactamente bajo agua y exactamente bajo el centro del el centro del puente. puente. Si la Si la carretera continúacarretera continúa perpendicular al río,
perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a l¿cuál es la velocidad a la cual se están sa cual se están separando la lancha y el autoeparando la lancha y el auto 8 seg.
Solución: Solución:
En primer lugar se definen las
En primer lugar se definen las variables que varían con el tiempo.variables que varían con el tiempo.
x
x: : distancia que recorre la lancha desde el mdistancia que recorre la lancha desde el momento en que el auto pasa por el puntoomento en que el auto pasa por el punto C C .. y
y: : distancia que recorre distancia que recorre el auto desde el el auto desde el momento en que pasa momento en que pasa por por C C .. w
w: distancia de: distancia de P P aa D D.. z
z : : distancia que distancia que separa la separa la lancha del auto.lancha del auto.
Como los triángulos
Como los triángulos BPD BPD yy PCD PCD son rectángulos enson rectángulos en P P yy C C respectivamente, serespectivamente, se
tiene de acuerdo a la relación pitagórica: tiene de acuerdo a la relación pitagórica:
((
22 22 22 == ++ −−100100 x x w w z z))
(1)(1) También, (2) También, 22 2525 22 (2) y y w w == ++ DeDe acuerdo acuerdo con con las las condiciones condiciones del del enunciado, enunciado, cuando cuando han han transcurrido transcurrido 8 8 seg., seg., el el autoauto está en el punto
está en el punto D D y la lancha en el puntoy la lancha en el punto B B. . Asi Asi queque x x = = 160 160 mts. mts. ee y y= 96 mts.= 96 mts.
La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma: La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma:
?? = = dt dt dz dz cuandocuando = = = = = = = = seg seg mts mts dt dt dy dy seg seg mts mts dt dt dx dx mts mts y y y y mts mts x x
12
12
;;
20
20
..
96
96
..
160
160
Para responderla,Para responderla, se susse sustituye tituye (2) (2) en en (1) (1) y y luego se luego se deriva en deriva en ambos lados ambos lados con respecto con respecto alal tiempo. Esto es:
tiempo. Esto es:
(
(
))
22 22 22 == 2525 ++ y y ++ x x −−100100 z z(
(
))
dt dt dx dx x x dt dt dy dy y y dt dt dz dz z z 22 22 100100 22 ⋅⋅ == ⋅⋅ ++ −− Ahora, Ahora,(
(
)
)
(
(
))
(
(
))
22 22 100100 25 25 100 100 100 100 − − + + + + − − + + = = − − + + = = x x y y dt dt dx dx x x dt dt dy dy y y z z dt dt dx dx x x dt dt dy dy y y dt dt dz dzRemplazando los valores particulares, se obtiene
Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente:finalmente:
(
(
)
)
(
(
))
seg seg mts mts seg seg mts mts mts mts seg seg mts mts mts mts seg seg mts mts mts mts dt dt dz dz 75 75 .. 20 20 12841 12841 2352 2352 60 60 96 96 25 25 20 20 60 60 12 12 96 96 22 22 ++ == ≈≈ + + ⋅⋅ + + ⋅⋅ = =Lo que indica que la lancha y el auto
Lo que indica que la lancha y el auto se están separandose están separando a una velocidad dea una velocidad de
aproximadamente 20.75
aproximadamente 20.75mts/seg mts/seg ..
Ejemplo 4. Ejemplo 4.
Una
Una piscina piscina cuyas cuyas medidas medidas son son las las indicadas indicadas en en la la fig. fig. 4.4, 4.4, tiene tiene agua agua hasta hasta 4 4 pies pies dede profundidad en el extremo mas hondo.
profundidad en el extremo mas hondo. a.
a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena?.¿Qué porcentaje de la piscina está llena?. b.
b. Si Si se se echa agua echa agua en ellen ella a a a razón de razón de 10 pies10 pies33/min. /min. ¿a qué ¿a qué ritmo ritmo sube el sube el nivel del nivel del agua enagua en el
el instante instante para para el el cual cual hay hay agua agua hasta hasta 4 4 pies pies de de profundidad?.profundidad?.
fig. 4.4 fig. 4.4
Solución: Solución:
a.
a. Se Se debe calcular debe calcular inicialmente inicialmente el el volumen volumen total total de de la la piscina. piscina. Este Este corresponde corresponde alal volumen de un sólido cuya base es
volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes mun trapecio con las siguientes medidas: edidas: base mayor:base mayor: 9
9 p, p, base base menor: menor: 4 4 p; p; y y cuyo cuyo espesor espesor es es de de 20 20 pies.pies. Luego:
Luego: VpVp= = (Área de (Área de la base) la base) . (espesor). (espesor)
33 200 200 .. 55 20 20 22 40 40 )) 44 99 (( pies pies = = ⋅⋅ + + = = Vp Vp
Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen
Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen V V ll ll del sólido que aparecedel sólido que aparece
indicado en la fig. 4.5. indicado en la fig. 4.5.
fig. 4.5 fig. 4.5 H
H
V
V = = (Área (Área de de la la base) base) . . (espesor)(espesor)
)) (( 40 40 20 20 22 .. 44 33 pies pies L L L L V V H H == ⋅⋅ ==
Como los triángulos
Como los triángulos ADB ADB yy PDC PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción:son semejantes, se tiene la siguiente proporción:
)) (( 32 32 40 40 44 55 pies pies L L L L ⇒⇒ == = = Asi que
Asi que V V ll ll == 4040 ⋅⋅3232 ==12801280(( pies pies33))
Usando una regla de tres simple se establece: Usando una regla de tres simple se establece: Si Si VpVp 55..200200 33 corresponde al 100%corresponde al 100% pies pies = = V
V ll ll ==
1280
1280
pies pies 33 correspondecorresponde 2424..6161%%5200 5200 % % 100 100 .. 1280 1280 ≈≈ = = x x b.
b. Supóngase que Supóngase que en un en un instanteinstante t t determinado, el volumen de piscina llena correspondedeterminado, el volumen de piscina llena corresponde
al volumen del sólido que aparece en la fig. 4.6 en el cual,
al volumen del sólido que aparece en la fig. 4.6 en el cual, y y (nivel (nivel vertical) vertical) yy x x
(nivel
fig. 4.6 fig. 4.6 Se tiene entonces: Se tiene entonces: y y x x x x y y .. 10 10 20 20 22 .. ⋅⋅ == = = V V (1)(1) Pero,
Pero, y y x x x x 88 y y
32 32
44 == ⇒⇒ == (2)(2)
Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir: Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir:
V
V = 80= 80 y y22 (3)(3)
Derivando en
Derivando en ambos ambos lados de lados de (3) (3) con respecto con respecto aa t t se tiene:se tiene:
dt dt dy dy y y dt dt dV dV == ⋅⋅ 160 160
De donde, De donde, y y dt dt dV dV dt dt dy dy 160 160 = = Como
Como pies pies minmin dt dt dV dV // 10 10 33 =
= yy y = 4 pies y = 4 pies, , se se tiene tiene finalmente:finalmente:
min min pies pies dt dt dy dy
64
64
11
44
160
160
10
10
=
=
⋅⋅
=
=
Esta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante. Esta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante. Puede
Puede verificarse verificarse fácilmente fácilmente (¡verifique!) (¡verifique!) que que el el nivel nivel horizontalhorizontal x x, , también también estaesta
creciendo
creciendo en en ese ese mismo mismo instante instante a a una una razón razón de de // .. 88 11 min min pies pies
